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Universidad Autónoma de San Luis Potosí
Facultad de Ciencias
Polinomio de Ehrhart del politopo de bases de un matroidelattice path serpiente
TESIS
Para obtener el grado de
Licenciado en Matemática Educativa
P r e s e n t a :
Uriel Alejandro Salazar Martínez
Asesor:
Dr. César Israel Hernández Vélez
SAN LUIS POTOSÍ, AGOSTO DE 2019
Formato de Autorización para la Impresión Final de la Tesis, Facultad de Ciencias,UASLP
FORMATO DE AUTORIZACIÓN PARA LA IMPRESIÓN FINAL DE LA TESIS
SECRETARÍA GENERAL
FACULTAD DE CIENCIAS
—_J_L_——_____—__hdf0Salazar NUI‘HMZ
Clave: 02406;}?
Fecha: —a_—_—_—_92—1ole aos+0 ¿6‘ 20H
Carrera: _gy1___—__—L\(_uo\‘víoev“ Maïemu'iíco tdhucah'm
Especialidad:
Nombre:
Generación: 2,0 |4
Título dela Tesis:
____¿—L(>__—Polm0miod Evil/wifi de! M7) o de bases de on—__pa__¡)_——___ma+ro¡delai’hce HA Sena/1+6
Asesor: CAE/SCL! (mas! HC’YILÍYICIEZ V6162
AdscripcióndelAsesor: FauH’nCÍ de (encías
SINODALES ASIGNADOS
Presidente:L_—_v—_—___lajioSaiazav A000
Secretario: M____—Pi‘ofCLouCrG Gmnkro
1de2
Formato de Autorización para la Impresión Final de la Tesis, Facultad de Ciencias,UASLP
Vocal: Samoa) üíndif? MWh/n82
Suplente: L_____—__________—_—_'€'5QvLsraei “eina'ndCZ \(€|€Z
Por medio dela presente atestiguamos que después de leer el documento de tesispuesto a nuestra consideración, no tenemos recomendaciones o sugerencias a sucontenido y damos nuestra aprobación para que se impriman las versiones finalesdel mismo.
Firmas:
Sinodal Presidente
Sinodal Suplente
2de2GENERAL
A mi madre, por todo su esfuerzo, dedicación y sacrificio para
convertirme en la persona que el día de hoy soy y ayudarme a
llegar a este momento, por sus constantes ánimos que me
ayudan a seguir adelante en los momentos difíciles y por ser
la luz que guía mi camino e ilumina mi vida. Sin lugar a
duda, el regalo más grande que la vida me ha dado.
A mi asesor, el Dr. César (que no le gusta que le diga doctor),
por su paciencia (que seguro fue mucha tratándose de mí), por
siempre impulsarme a llegar lejos y dar todo de mí, por ver el
lado divertido de las cosas cuando todo se complica, por
siempre darse el tiempo de recibirme, por siempre estar
dispuesto a platicar, aunque sea sólo de mis tragedias y, sobre
todo, por su constante apoyo en cualquier situación en la que
necesito ayuda. El mejor asesor del mundo.
Al coordinador, el Dr. Flavio, por su apoyo en trámites
administrativos y por estar al pendiente de mí durante la
carrera.
A la Dra. Rita, por ir más allá de su trabajo como profesora e
investigadora de la universidad y convertirse en una amiga
siempre dispuesta a escucharme, a darme un consejo y a
motivarme para llegar lejos.
A mis hermanos, por su constante apoyo y ánimo.
A mis amigas Lupita y Jessy, por hacer más placentera y
divertida mi vida universitaria, por apoyarme y acompañarme
en la mayoría de mis locuras y en la mayoría de mis
tragedias, y por ser mi familia lejos de casa (nada más dejen
de inventarme parejas, por favor).
A mi amiga Isayuvi, porque a pesar del poco tiempo que
tenemos de conocernos se ha convertido en una de mis mejores
amigas, por su forma de ser que hace que pueda hablar con
ella prácticamente de lo que sea y por siempre estar dispuesta
a apoyarme y a salvarme cuando la situación lo requiere. Sin
duda, de las mejores personas y de las más queridas que me
dejó la universidad (y los eventos académicos).
A Mapita y Rossanita, por ser grandes amigas y siempre estar
ahí para mí a pesar de los años y la distancia.
A mi amiga Luisa, por siempre tener abierta la puerta de su
casa cuando los foráneos (y los no tan foráneos) lo necesitan,
aunque eso implique que me corran de la casa.
A mi tío Raúl y mi prima Daniela, por ayudarme a estudiar
la universidad y apoyarme cada que se requiere.
Al resto de mis amigos, profesores y familiares, porque sin
ellos no habría logrado todo lo que he logrado ni habría llegado
a donde he llegado.
Índice general
Introducción vii
1. Teoría de Grafos 1
1.1. Nociones de grafos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2. Caminos, ciclos y grafos bipartitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3. Conexidad y componentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2. Teoría de matroides 7
2.1. Nociones básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2. Matroides transversales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.3. Politopo de bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.4. Grafo de bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.5. Matroides lattice path . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.6. Dualidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3. Teoría de Ehrhart 24
4. Resultados 29
Bibliografía 39
vi
Introducción
En 1899, Georg Alexander Pick probó que es posible determinar el área de un polígono
en el plano, cuyos vertices son puntos enteros (puntos cuyas coordenadas son todas
números enteros), contando simplemente los puntos enteros que tiene en su interior y
en su borde. Sin embargo, si tenemos un poliedro en el espacio no es posible calcular
su volumen solamente contando puntos enteros. Para un politopo (la abstracción de un
poliedro en dimensiones mayores) tampoco es posible obtener su volumen d-dimensional
contando únicamente puntos enteros, al menos no directamente.
Si tenemos un politopo, su k-expansión es multiplicar sus coordenadas por k, donde k
es un entero no negativo. En 1962, Eugène Ehrhart probó que para politopos enteros
convexos d-dimensionales se puede contar el número de puntos enteros en su k-expansión
mediante un polinomio de grado d y término independiente 1 (llamado posteriormente
polinomio de Ehrhart en su honor). Además, definió una serie de potencias (serie de
Ehrhart) donde los coeficientes son el número de puntos enteros en la k-expansión
del politopo y probó que, como función generatriz, es una función racional. Desde
entonces, el estudio del polinomio y la serie de Ehrhart se han convertido en objetos de
constante investigación, generado así una área denominada Teoría de Ehrhart. Entre
los principales resultados de esta área se encuentran: la relación que existe entre el
polinomio de Ehrhart y el volumen del politopo, la relación entre el polinomio y la serie
de Ehrhart y el comportamiento de los coeficientes del polinomio correspondiente al
numerador de la función racional que determina la serie de Erhart.
El presente trabajo se centra en politopos asociados a matroides. En particular, a ma-
vii
INTRODUCCIÓN viii
troides (matroides lattice path) definidos a partir de regiones delimitadas por caminos
(lattice paths) en el plano. Un resultado reciente de Knauer, Martínez-Sandoval y Ra-
mírez Alfonsín relaciona el número de puntos enteros en la k-expansión con el número
de caminos generalizados (lattice path generalizados) en la (k−1)-división del matroide.
En esta investigación se caracteriza el polinomio correspondiente al numerador de la
función racional que determina la serie de Erhartt para el caso del politopo asociado
al matroide lattice path serpiente S(a, b), que es un caso particular de matroide lattice
path, y se prueba la conjetura propuesta en 2009 por De Loera, Haws y Köpe para esta
clase de matroides lattice path.
El presente trabajo está dividido en 4 capítulos. En el capítulo 1 se abordan las nociones
de Teoría de Grafos que se utilizan como interpretación geométrica de los matroides y
sirven para probar propiedades de los matroides en las que estamos interesados. En el
capítulo 2 se abordan las nociones de Teoría de Matroides, donde, en particular, se les da
una interpretación geométrica, asociándoles un politopo y un grafo. En el capítulo 3 se
presentan los resultados sobre el polinomio y serie de Ehrhart que nos serán de utilidad.
Finalmente, en el capítulo 4 se muestran los resultados obtenidos en esta investigación.
Capítulo 1
Teoría de Grafos
En este capítulo, tomando como referencia los libros Graph theory de Bondy y Murty [2],
Graph theory de Diestel [6] e Introduction to graph theory de West [16], se abordan las
nociones de Teoría de Grafos que se utilizarán a lo largo del documento, especialmen-
te en el capítulo 2, donde se emplearán para darles una interpretación geométrica a
los matroides y que servirán para visualizar lo que más delante denominaremos como
transversales parciales, y serán una herramienta importante para probar propiedades
de los matroides con los que se trabajarán.
1.1. Nociones de grafos
Dado un conjunto X, denotamos por [X]2 al conjunto de todos los conjuntos con dos
elementos distintos deX. Un grafo G es un par ordenado G = (V,E) que consiste de un
conjunto no vacío V , llamado conjunto de vértices, y un conjunto E ⊆ [V ]2, llamado
conjunto de aristas. Con la definición anterior sólo se están considerando grafos
simples, es decir, grafos que no tengan aristas múltiples ni lazos (aristas que comienzan
y terminan en el mismo vértice). Si {u, v} ∈ E es un arista de G la denotaremos
simplemente como uv. Un dibujo de un grafo es una representación donde cada vértice
1
CAPÍTULO 1. TEORÍA DE GRAFOS 2
es un punto y se traza un arco entre dos vértices si estos forman una arista, como se
muestra en la Figura 1.1.
b
b
b b
b
1
2
3
7
5
b
b
4
6
G
Figura 1.1: Dibujo del grafo definido por el conjunto de vértices V = {1, . . . , 7} y el
conjunto de aristas E = {{1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {2, 7}, {3, 5}, {4, 6}}.
No hay una única forma de dibujar un grafo. La posición en que se coloquen los puntos
que representan los vértices y la forma de los arcos que representan las aristas no tendrá
relevancia en este trabajo. En adelante, nos referiremos a los puntos que aparecen en
el dibujo como el conjunto de vértices del grafo, a las líneas que aparecen en el dibujo
como su conjunto de aristas y al dibujo del grafo como el grafo mismo.
Un vértice v es incidente a una arista e si v ∈ e. Los dos vértices incidentes a una aristason sus puntos finales o extremos. Dos vértices v1, v2 de un grafo G son adyacentes
o vecinos si v1v2 es una arista de G. Por otro lado, dos aristas e 6= f son adyacentes
si tienen un vértice en común. El grado d(v) de un vértice v es el número de aristas que
tienen como extremo a v. Para grafos simples d(v) corresponde al número de vecinos
de v.
Sean G = (V,E) y G′ = (V ′, E ′) dos grafos. El grafo G′ es un subgrafo de G, y lo
denotamos como G′ ⊆ G, si V ′ ⊆ V y E ′ ⊆ E (Figura 1.2b). También se puede decir
que G es un supergrafo de G′. Por otro lado, si G′ es un subgrafo de G y G′ contiene
todas las aristas v1v2 ∈ E con v1, v2 ∈ V ′ entonces G′ es el subgrafo inducido por el
conjunto de vértices V ′ (Figura 1.2c).
Los elementos de un conjunto de vértices V ′ ⊆ V (o de un conjunto de aristas E ′ ⊆ E)
de un grafo G = (V,E) son independientes si no hay dos elementos en V ′ (o en E ′)
CAPÍTULO 1. TEORÍA DE GRAFOS 3
b
b
b b
b
1
2
3
7
5
b
b
4
6
G
(a) Grafo G
b
b
b b
b
1
2
3
7
5
G′
(b) Subgrafo G′
b
b
b b
b
1
2
3
7
5
G′′
(c) Subgrafo inducido G′′
Figura 1.2: Un grafo G, un subgrafo G′ de G y el subgrafo inducido G′′ por el conjunto
de vértices {1, 2, 3, 5, 7}.
que sean adyacentes. Un conjunto de aristas M de G es un emparejamiento en G
si los elementos de M son independientes. Dado un conjunto de vértices U ⊆ V , el
emparejamiento M satura a U si cada vértice en U es incidente a una arista de M .
Los elementos de U son los vértices emparejados (por M), mientras que los vértices
que no son incidentes a ningún arista de M son los vértices no emparejados. La
Figura 1.3 muestra, en rojo, un emparejamiento de un grafo.
b
bb
v1
v2
v3v4
v5 b
b
Figura 1.3: Emparejamiento {v1v2, v3v5}.
1.2. Caminos, ciclos y grafos bipartitos
Dado un grafo G = (V,E), decimos que G es bipartito si su conjunto de vértices V
admite una partición en dos conjuntos X, Y tales que para todos los vértices x1, x2 ∈ Xse cumple que x1x2 /∈ E y para todos los vértices y1, y2 ∈ Y se cumple que y1y2 /∈ E. La
CAPÍTULO 1. TEORÍA DE GRAFOS 4
Figura 1.4 muestra un grafo bipartito donde el conjunto V = {v1, v2, v3, v4, v5, v6, v7, v8}de vértices puede particionarse en los conjuntosX = {v2, v4, v6} y Y = {v1, v3, v5, v7, v8}cuyos elementos son independientes.
b
b
b
b
b
b
b
b
v1
v3
v5
v7
v8
v2
v4
v6
Figura 1.4: Grafo bipartito.
Un camino es un grafo P = (V,E), con V,E 6= ∅, que cumple:
V = {v1, v2, . . . , vn},
E = {v1v2, v2v3, . . . , vn−1vn},
con vi 6= vj siempre que i 6= j. Los vértices v1, vn son los vértices extremos de P
y los vértices v2, . . . , vn−1 son los vértices interiores. Se dice que P va de v1 a vn o
bien, que P es un camino entre v1 y vn . El número de aristas de P es la longitud del
camino. Un camino P es par si su longitud es un número par y es impar si su longitud
es un número impar. La Figura 1.5 muestra un camino par.
b
b
b
b
b
b
b
v1
v2
v3
v4
v5
v6
v7
Figura 1.5: Camino de longitud 6.
Equivalentemente, un camino P es un grafo simple cuyos vértices pueden ser ordenados
en una sucesión lineal tal que dos vértices son adyacentes si y sólo si son dos términos
CAPÍTULO 1. TEORÍA DE GRAFOS 5
consecutivos de la sucesión. Considerando lo anterior, nos referiremos al camino P
simplemente como la sucesión de sus vértices escritos en orden, e.g., el camino P =
v1v2 · · · vn es el camino que va de v1 a vn.
Un ciclo con 3 o más vértices es un grafo simple que puede ser ordenado en una sucesión
cíclica tal que dos vértices son adyacentes si y sólo si son dos términos consecutivos de
la sucesión. Considerando lo anterior, nos referiremos al ciclo C simplemente como la
sucesión cíclica de sus vértices escritos en orden, esto es, C = v1v2 · · · vnv1. La longitudde un ciclo C es el número de aristas (equivalentemente, el número de vértices) que
tiene. Un ciclo C es par si su longitud es un número par y es impar si su longitud es
un número impar. La Figura 1.6 muestra un ciclo par.
b b
bb
bb
v2
v3
v4v5
v6
v1
Figura 1.6: Ciclo de longitud 6.
1.3. Conexidad y componentes
Un grafo G es conexo si cualesquier dos vértices v1, v2 de G están unidos por un
camino en G, es decir, existe un camino P ⊆ G que tiene como vértices extremos a v1
y a v2. Si G no es conexo se le denomina disconexo. Equivalentemente, se puede decir
que un grafo G es conexo si para cada partición de sus vértices en dos conjuntos no
vacíos X y Y , existe una arista de G con un extremo en X y otro en Y .
La Figura 1.7a muestra un grafo G que cumple que cualesquier dos vértices están unidos
por un camino, por lo que G es conexo. Por otro lado, la Figura 1.7b muestra un grafo
G′ en el cual los vértices v′3 y v′9 no están unidos por un camino, por lo que G′ es
disconexo. Como G′ es disconexo entonces admite una partición de V ′ = {v′1, . . . , v′9}
CAPÍTULO 1. TEORÍA DE GRAFOS 6
b b
b
b
b
b
b
Gv1
v2
v3
v4
v5
v6
v7
(a) Grafo G
bb
b b
b
b
bb
b
v′1
v′2
v′3
v′4
v′5
v′6
v′7v′8
v′9
G′
(b) Grafo G’
Figura 1.7: Grafo conexo G y grafo disconexo G′.
en dos conjuntos X y Y , dados por X = {v′1, v′2, v′3} y Y = {v′4, v′5, v′6, v′7, v′8, v′9}, talesque no hay ninguna arista con un extremo en X y otro en Y .
Una componente de un grafo G es un subgrafo conexo maximal, es decir, no existe
un subgrafo conexo que lo contiene propiamente. Una componente es trivial si no
tiene aristas, de lo contrario es no trivial. En la Figura 1.8 se muestra un grafo G
cuyas componentes son el ciclo C = v1v2v3v1 y el camino P = v4v5v6v7v8v9, ambas
componentes son no triviales.
bb
b b
b
b
bb
b
v1
v2
v3
v4
v5
v6
v7v8
G
v9
Figura 1.8: Grafo G cuyas componentes son un ciclo y un camino.
Capítulo 2
Teoría de matroides
En este capítulo, tomando como referencia el libro Matroid theory de Oxley [12], se
introducen nociones de Teoría de Matroides. Con base en los artículos Combinatorial
geometries, convex polyhedra, and Schubert cells de Gel′fand, Goresky, MacPherson y
Serganova [9] y Matroid basis graphs I de Maurer [11] le damos una interpretación
geométrica a los matroides, asociandoles un politopo y un grafo, ambos definidos por
las bases del matroide. Finalmente, con base en los artículos Lattice path matroids:
enumerative aspects and Tutte polynomials de Bonin y Mier [3], Lattice path matroids:
structural properties de Bonin y Mier [4] y On lattice path matroid polytopes: integer
points and Ehrhart polynomial de Knauer, Martínez-Sandoval y Ramírez Alfonsín [10]
se presenta un tipo particular de matroides, conocidos como matroides lattice path, y
se aborda la dualidad de dichos matroides.
2.1. Nociones básicas
Whitney [17] introdujo la noción de matroide en 1935. Él intentó capturar las pro-
piedades fundamentales de independencia lineal en espacios vectoriales.
Un matroide M es un par ordenado (E, I) que consiste de un conjunto finito E y una
7
CAPÍTULO 2. TEORÍA DE MATROIDES 8
colección I de subconjuntos de E que satisfacen las siguientes tres condiciones:
(I1) ∅ ∈ I.(I2) Si I ∈ I e I ′ ⊆ I entonces I ′ ∈ I.(I3) Si I1 e I2 están en I y |I1| < |I2|, entonces existe un elemento e en I2− I1 tal que
I1 + e ∈ I.
Las propiedades (I2) e (I3) son llamadas la propiedad hereditaria y la propiedad de
aumento de independencia, respectivamente. Al conjunto E se le llama conjunto
base y a los miembros de I se les conoce como los conjuntos independientes de M .
Un conjunto independiente maximal (es decir, no existe un conjunto independiente que
lo contenga propiamente) en un matroide M es una base de M .
Lema 2.1 (Oxley [12, Lema 1.2.1]). Si B1 y B2 son bases de un matroide M entonces
|B1| = |B2|
Demostración. Supongamos que |B1| < |B2|. Como B1 y B2 son conjuntos indepen-
dientes de M cumplen (I3), lo que implica que existe un elemento e en B2−B1 tal que
B1 + e ∈ I. Esto contradice que B1 sea un cunjunto maximal. Por lo tanto |B1| ≥ |B2|.Análogamente |B2| ≥ |B1|.
Por (I1) se sabe que I 6= ∅ y, por lo tanto,
(B1) B 6= ∅.
El siguiente resultado establece una propiedad nada obvia respecto a B.
Teorema 2.2 (Oxley [12, Lema 1.2.2]). Sea B el conjunto de todas las bases de un
matroide (E, I). Se cumple que
(B2) Si B1 y B2 pertenecen a B y x ∈ B1−B2, entonces existe un elemento y ∈ B2−B1
tal que (B1 − x) + y ∈ B.
Demostración. Sean B1 y B2 dos elementos de B y x ∈ B1 − B2, notemos que tanto
B1−x como B2 son conjuntos independientes. Además, por el Lema 2.1, |B1−x| < |B2|.
CAPÍTULO 2. TEORÍA DE MATROIDES 9
Por la propiedad (I3), existe un elemento y ∈ B2−(B1−x) tal que (B1−x)+y ∈ I. Como
x ∈ B1−B2 entonces x /∈ B2−B1 y, en particular, B2−B1 = B2− (B1− x), de donde
tenemos que y ∈ B2−B1. Además, como (B1− x) + y es independiente, está contenido
en un conjunto maximal B′1. Por el Lema2.1 |B′1| = |B1|. Además, |B1| = |(B1−x)+y|.Por lo tanto (B1 − x) + y = B′1, y (B1 − x) + y es una base de M .
La Propiedad (B2) se conoce como el Axioma del cambio de base.
Lema 2.3 (Oxley [12, Lema 1.2.4]). Sea E un conjunto finito y B una colección de
subconjuntos de E que satisfacen (B1) y (B2). Los miembros de B tienen la misma
cardinalidad.
Demostración. Supongamos que B1 y B2 son miembros distintos de B con |B1| > |B2|,para los que |B1 − B2| es mínima. Notemos que B1 − B2 6= ∅. Sea x ∈ B1 − B2,
sabemos que existe un elemento y ∈ B2 − B1 tal que (B1 − x) + y ∈ B. Además,
|(B1 − x) + y| = |B1| > |B2| y |((B1 − x) + y) − B2| < |B1 − B2|. Esto contradice la
elección de B1 y B2.
Teorema 2.4 (Oxley [12, Teorema 1.2.3]). Sea E un conjunto finito y B una colección
de subconjuntos de E que satisfacen (B1) y (B2). Sea I la colección de subconjuntos
de E que están contenidos en algún miembro de B, entonces (E, I) es un matroide que
tiene a B como su colección de bases.
Demostración. Como B 6= ∅, existe al menos un conjunto B ∈ B y, como ∅ ⊆ B
entonces ∅ ∈ I, lo cual implica que I satisface (I1). Si I ∈ I entonces I ⊆ B para
algún conjunto B ∈ B y si I ′ ⊆ I entonces I ′ ⊆ B, por lo que I ′ ∈ I. Por lo tanto Isatisface (I2).
Supongamos que (I3) no se cumple para I. Entonces I tiene dos miembros I1 e I2 con
|I1| < |I2| tales que, para cada x ∈ I2 − I1, el conjunto I1 + x /∈ I. Por construcción,
B contiene dos miembros B1 y B2 tales que I1 ⊆ B1 e I2 ⊆ B2. Sea B2 tal que
|B2 − (I2 ∪B1)| es mínima.
CAPÍTULO 2. TEORÍA DE MATROIDES 10
Afirmamos que
I2 −B1 = I2 − I1. (2.1)
Para probarlo, notemos que si x ∈ I2 − B1 entonces x ∈ I2 y x /∈ B1, como I1 ⊆ B1
entonces x /∈ I1 y por lo tanto x ∈ I2 − I1. Ahora, si x ∈ I2 − I1 entonces x ∈ I2 y
x /∈ I1. Si x ∈ B1 entonces I1 + x ⊆ B1, lo cual implica que I1 + x ∈ I, contradiciendoque (I3) no se cumple, así que x /∈ B1 y por lo tanto x ∈ I2 −B1.
Supongamos que B2− (I2∪B1) 6= ∅ y sea x ∈ B2− (I2∪B1). Notemos que x ∈ B2−B1,
entonces, por (B2), existe un elemento y ∈ B1 − B2 tal que (B2 − x) + y ∈ B. Estoimplica que |((B2− x) + y)− (I2 ∪B1)| < |B2− (I2 ∪B1)|, lo que contradice la elección
de B2. Por lo tanto B2 − (I2 ∪B1) = ∅.
Afirmamos que
B2 −B1 = I2 −B1. (2.2)
Notemos que B2 − (I2 ∪ B1) = ∅ implica que B2 ⊆ I2 ∪ B1. Si x ∈ B2 − B1 entonces
x ∈ B2 y x /∈ B1 lo que implica que x ∈ I2 y, por lo tanto, x ∈ I2 − B1. Ahora,
si x ∈ I2 − B1 entonces x ∈ I2 y x /∈ B1, como I2 ⊆ B2 entonces x ∈ B2, así que
x ∈ B2 −B1.
De (2.2) podemos reescribir (2.1) como
B2 −B1 = I2 − I1. (2.3)
Supongamos que B1− (I1∪B2) 6= ∅ y sea x ∈ B1− (I1∪B2). Notemos que x ∈ B1−B2,
entonces, por (B2), existe un elemento y ∈ B2 − B1 tal que (B1 − x) + y ∈ B. Como
x /∈ I1, tenemos que I1 + y ⊆ (B1−x) + y, de donde I1 + y ∈ I. Dado que y ∈ B2−B1,
de (2.3), se sigue que y ∈ I2 − I1, lo que contradice la suposición de que (I3) no se
cumple. Por lo tanto, podemos concluir que B1 − (I1 ∪B2) = ∅
Afirmamos que
B1 −B2 = I1 −B2. (2.4)
CAPÍTULO 2. TEORÍA DE MATROIDES 11
Del hecho que B1 − (I1 ∪ B2) = ∅ se sigue que B1 ⊆ I1 ∪ B2. Si x ∈ B1 − B2, entonces
x ∈ B1 y x /∈ B2, lo cual implica que x ∈ I1 y, por lo tanto, x ∈ I1 − B2. Ahora, si
x ∈ I1 − B2 entonces x ∈ I1 y x /∈ B2, como I1 ⊆ B1 entonces x ∈ B1 y, por lo tanto,
x ∈ B1 −B2.
Como I2 ⊆ B2 entonces I1 − B2 ⊆ I1 − I2. Por (2.4), B1 − B2 = I1 − B2, de donde se
sigue que
B1 −B2 ⊆ I1 − I2. (2.5)
Por el Lema 2.3, |B1| = |B2|. Notemos que |B1| = |B1 − B2| + |B1 ∩ B2| y |B2| =
|B2 − B1| + |B2 ∩ B1| y por lo tanto |B1 − B2| = |B2 − B1|. De (2.3) y (2.5), tenemos
que |I1− I2| ≥ |I2− I1|, lo que podemos reescribir como |I1| − |I1 ∩ I2| ≥ |I2| − |I2 ∩ I1|.Podemos concluir que |I1| ≥ |I2|, lo cual es una contradicción. Por lo tanto I cumple (I3)
y nos permite concluir que (E, I) es un matroide. Además, ya que B cumple (B1) y
(B2) entonces B es la colección de bases del matroide (E, I).
Como se mencionó al inicio de la sección, los primeros ejemplos de matroides provienen
del estudio de las propiedades de independencia lineal en espacios vectoriales. Sea F
un campo y n un número natural, V (n,F) denota el espacio vectorial n-dimensional
sobre F. El siguiente ejemplo muestra cómo se puede definir un matroide tomando en
consideración la independencia lineal de un espacio vectorial sobre un campo F.
Ejemplo 2.5. Consideremos una matriz A de m × n con entradas sobre un campo
F. Numeremos las columnas con 1, 2, . . . , n. Sean E = {1, 2, . . . , n} e I la colección
de subconjuntos X de E tales que las columnas numeradas con un elemento en X
son linealmente independientes en el espacio vectorial V (n,F). Entonces (E, I) es un
matroide.
Demostración. Claramente ∅ ∈ I por lo que la propiedad (I1) se cumple. Supongamos
que la propiedad (I2) no se cumple, es decir, existen conjuntos I = {x1, . . . , xk} ∈ Ie I ′ = {xn1 , . . . , xnr} ⊆ I, con I ′ linealmente dependiente. Sin pérdida de genera-
lidad, podemos suponer que I ′ = {x1, . . . , xr}. Como {Cx1 , . . . , Cxk} es un conjun-
CAPÍTULO 2. TEORÍA DE MATROIDES 12
to linealmente independiente, los únicos coeficientes a1, . . . , ak ∈ F que cumplen que
a1Cx1 + · · ·+akCxk= 0 son a1 = a2 = · · · = ak = 0. Por otro lado, como {Cx1 , . . . , Cxr}
es linealmente dependiente, existen coeficientes b1, . . . , br ∈ F, no todos cero, tales que
b1Cx1 + · · · + brCxr = 0, de donde b1Cx1 + · · · + brCxr + 0Cxr+1 · · · + 0Cxk= 0, lo cual
es una contradicción. Por lo tanto (I2) se cumple.
Para probar que la propiedad (I3) se cumple, consideremos I1, I2 ∈ I con |I1| < |I2|. SeaW el subespacio vectorial de V (n,F) generado por I1∪I2. Se cumple que dim(W ) ≥ |I2|.Supongamos que I1+e /∈ I para todo e ∈ I2−I1. EntoncesW está en el espacio generado
por I1, por lo que |I2| ≤ dim(W ) ≤ |I1| < |I2|, lo cual es una contradicción. Por lo tanto
existe un elemento e ∈ I2 − I1 tal que I1 + e ∈ I.
Denotaremos como M [A] aquellos matroides obtenidos de una matriz A, este matroide
se conoce como el matroide vector de A.
2.2. Matroides transversales
En el presente trabajo denotaremos [n] como el conjunto {1, 2, ..., n} y [m,n] como
el conjunto {m,m+ 1, ..., n− 1, n} para m < n.
Dado un conjunto finito S, una familia de subconjuntos o un sistema de conjuntos
de S es una secuencia finita (A1, A2, ..., Am) que cumple que Aj ⊆ S para todo j ∈ [m].
Abreviamos (A1, A2, ..., Am) como A = (Aj : j ∈ [m]) a un sistema de conjuntos de
un conjunto finito S. Un transversal o sistema de representantes distintos de Aes un conjunto {xj : j ∈ [m]} de m elementos distintos tales que xj ∈ Aj para todo
j ∈ [m]. Un transversal parcial de A es un transversal de un sistema de conjuntos
de la forma (Ak : k ∈ K) con K ⊆ [m].
Consideremos A = (Aj : j ∈ [m]) un sistema de conjuntos de un conjunto finito S. Una
forma de ver los transversales parciales de A es usando la noción de emparejamiento
en un grafo bipartito. Definimos un grafo bipartito ∆[A] = (V,E) donde V = A ∪ [m]
CAPÍTULO 2. TEORÍA DE MATROIDES 13
y E = {xj : x ∈ A, j ∈ [m] y j ∈ x}. Un subconjunto X de S es un transversal parcial
de A si y sólo si existe un emparejamiento en ∆[A] en el cual cada arista tiene como
extremo a uno de los elementos de X.
Ejemplo 2.6. Sean S = {1, 2, . . . , 10}, A1 = {1, 2, 3, 4, 5}, A2 = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8},A3 = {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} y A4 = {8, 9, 10}.
b
b
b
b
b
b
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
bA1
b
b
bA2 b
bA3
b
bA4
(a) Grafo bipartito ∆[A]
b
b
b
b
b
b
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
bA1
b
b
bA2 b
bA3
b
bA4
(b) Emparejamiento en ∆[A]
Figura 2.1: Grafo bipartito corresponiente a A y emparejamiento en él.
Dado el sistema de conjuntos A = (A1, A2, A3, A4), definimos el grafo bipartito ∆[A]
asociado, como se muestra en la Figura 2.1a.
El conjunto {A11, A23, A35, A48} es un emparejamiento en ∆[A] (aristas azules en la
Figura 2.1b) y por lo tanto el conjunto {1, 3, 5, 8} es un transversal de A.
El siguiente teorema será de utilidad para los matroides con los que trabajaremos que
se conocen como Matroides Lattice Path (MLP).
Teorema 2.7 (Oxley [12, Teorema 1.6.2]). Sean A = (Aj : j ∈ [m]) una familia de
subconjuntos de un conjunto finito S e I el conjunto de los transversales parciales de
A. Entonces I es la colección de conjuntos independientes de un matroide sobre S.
CAPÍTULO 2. TEORÍA DE MATROIDES 14
Demostración. El conjunto vacío es una transversal del sistema de conjuntos vacío de
A, por lo que la propiedad (I1) se cumple. Más aún, si I es un transversal parcial de
A e I ′ ⊆ I entonces I ′ es un transversal parcial de A, por lo que la propiedad (I2) se
cumple.
Para probar que la propiedad (I3) se cumple, supongamos que I1 e I2 son transversales
parciales de A tales que |I1| < |I2|. Entonces, en ∆[A], existen emparejamientos M1 y
M2 correspondientes a I1 e I2, respectivamente (Figura 2.2).
A3
A4
A5
A6
b
b
b
b
4
5
6
7
8
9
10
11
12
b
b
b
b
b
b
b
b
A1
A2
b
b
1
2
3
b
b
b
b
(a) Emparejamiento correspon-
diente a I1
A3
A4
A5
A6
b
b
b
b
4
5
6
7
8
9
10
11
12
b
b
b
b
b
b
b
b
A1
A2
b
b
1
2
3
b
b
b
b
(b) Emparejamiento correspon-
diente a I2
Figura 2.2: Emparejamientos en ∆[A].
Coloreemos las aristas de M1 − M2,M2 − M1 y M1 ∩ M2 de rojo, azul y morado,
respectivamente (Figura 2.3).
Sea M el subgrafo de ∆[A] inducido por las aristas que son rojas o azules (Figura 2.4).
Como |I1| = |M1| y |I2| = |M2|, entonces hay más aristas azules que rojas en M . Como
M1 y M2 son emparejamientos, cada vértice de M tiene grado uno o dos, entonces las
componentes de M son ciclos o caminos. Más aún, como M es bipartito, cada ciclo
es par. Como no hay dos aristas con un vértice en común que tengan el mismo color,
cada ciclo y cada camino par tiene el mismo número de aristas rojas y azules. Como
CAPÍTULO 2. TEORÍA DE MATROIDES 15
A3
A4
A5
A6
b
b
b
b
4
5
6
7
8
9
10
11
12
b
b
b
b
b
b
b
b
A1
A2
b
b
1
2
3
b
b
b
b
Figura 2.3: Coloración de las aristas de ∆[A] correpondientes a M1 −M2,M2 −M1 y
M1 ∩M2.
A3
A6
5
7
11
12
b
b
b
b
b
b
A1
A2
b
1
2
b
b
b
A5
b
Figura 2.4: Subgrafo inducido por las aristas que son rojas o azules.
M tiene más aristas azules que rojas, M debe contener un camino impar, digamos P ,
el cual tenga la primera y la última arista de color azul (Figura 2.4). Consideremos los
vértices de P en orden, v1, v2, ..., v2k. Uno de los vértices v1 o v2k está en S y el otro
CAPÍTULO 2. TEORÍA DE MATROIDES 16
en A. Sin pérdida de generalidad asumamos que v2k ∈ S. Luego, como v2k es extremo
de una arista azul pero no roja, v2k ∈ I2 − I1. Además, {v2, v4, ..., v2k−2} ⊆ I1 ∩ I2y {v1, v3, ..., v2k−1} ⊆ A. Ahora, intercambiemos el color de las aristas rojas y de las
aristas azules de P dejando el resto sin cambios. En la nueva coloración del grafo ∆[A]
(Figura 2.5) hay una arista roja más que antes.
A3
A4
A5
A6
b
b
b
b
4
5
6
7
8
9
10
11
12
b
b
b
b
b
b
b
b
A1
A2
b
b
1
2
3
b
b
b
b
Figura 2.5: Cambio en la coloración del grafo ∆[A].
Notemos que cada vértice en I1 + v1 es el extremo de una arista roja o morada. Más
áun, el conjunto de aristas rojas y moradas forman un emparejamiento en M . Con esto
concluimos que I1 + v1 es un transversal parcial de A. Por lo tanto, la propiedad (I3)
se cumple e I es, de hecho, el conjunto de los independientes de un matroide.
Dos matroides M1 = (E1, I1) y M2 = (E2, I2) son isomorfos, lo cual denotamos como
M1∼= M2, si existe una biyección ψ : E1 −→ E2 tal que para todo X ⊆ E1 el conjunto
ψ(X) ∈ I2 si y sólo si X ∈ I1. Denotamos como M [A] al matroide definido por los
transversales parciales de un sistema de conjuntos A = (Aj : j ∈ [m]). Si M es un
matroide arbitrario y M ∼= M [A] para algún sistema de conjuntos A se dice que M es
un matroide transversal y el sistema de conjuntos A se le denomina presentación
de M .
CAPÍTULO 2. TEORÍA DE MATROIDES 17
2.3. Politopo de bases
Consideremos un matroideM = (E,B) y n = |E|. A cada base B deM le asociamos
su vector característico eB que viene dado por
eB =∑i∈B
ei,
donde ei es el i-ésimo vector estándar en Rn.
La envolvente convexa de un conjunto finito de puntos V = {v1, . . . , vm} es el con-
junto de todas las combinaciones lineales c1v1 +c2v2 + · · ·+cmvm, donde los coeficientes
ci son números reales no negativos que satisfacen la ecuación c1 + c2 + · · ·+ cm = 1, es
decir
conv(V ) =
{m∑i=1
civi : ci ≥ 0 ym∑i=1
ci = 1
}.
Cada punto vi en V que no está en la envolvente convexa de los otros puntos, es decir,
vi /∈ conv(V − vi), se le denomina vértice de conv(V ).
Un politopo convexo (o, en nuestro caso, simplemente politopo) P es la envolvente
convexa de un conjunto finito de puntos en Rn. Los segmentos, los polígonos conve-
xos y los poliedros convexos son ejemplos de politopos de dimensión uno, dos y tres,
respectivamente.
Tomando lo anterior en consideración definimos el politopo de bases de un matroide
M como la envolvente convexa de los vectores característicos, es decir,
P (M) := conv{eB : B es una base}.
Ejemplo 2.8. Consideremos la matriz A dada por
A =
1 0 1
0 1 1
.
Podemos numerar las columnas con 1, 2, y 3. Del ejemplo 2.5 sabemos que se puede
definir el matroide M [A] sobre el conjunto {1, 2, 3} donde los independientes vienen
CAPÍTULO 2. TEORÍA DE MATROIDES 18
dados por los conjuntos de columnas que son linealmente independientes. Es decir,
M [A] = (E, I) donde E = {1, 2, 3} e I = {∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}}. Elconjunto de las bases de M [A] es B = {{1, 2}, {1, 3}, {2, 3}} y el politopo de bases de
M [A] es P (M) = conv{(1, 1, 0), (1, 0, 1), (0, 1, 1)} el cual corresponde con el triángulo
que se muestra en la Figura 2.6.
b
b
b
b
b
y
x
z
(1, 0, 0)
(0, 1, 0)
(0, 0, 1)
(1, 1, 0)
(0, 1, 1)b
bb(1, 0, 1)
b
Figura 2.6: Politopo de bases del matroide asociado a la matriz A.
2.4. Grafo de bases
Dado un matroide M , su grafo de bases BG(M) es el grafo cuyos vértices corres-
ponden con las bases de M y para cualesquiera B,B′ ∈ B se cumple que BB′ ∈ E si y
sólo si |B −B′| = |B′ −B| = 1 o, dicho de otra forma, si |B4B′| = 2.
Ejemplo 2.9. Retomemos el matroide M [A] del ejemplo 2.8 definido a partir de la
matriz
A =
1 0 1
0 1 1
.
El conjunto de las bases de M [A] es B = {{1, 2}, {1, 3}, {2, 3}}. Con esto podemos
construir el grafo de bases de M [A], como se muestra en la Figura 2.7.
Dado un politopo P el 1-esqueleto de P es el conjunto de los vértices y aristas de P .
CAPÍTULO 2. TEORÍA DE MATROIDES 19
b
b
{1, 3}
{1, 2}
{2, 3}
b
bb
b
Figura 2.7: Grafo de bases de M [A].
La siguiente proposición nos permite hacer una conexión entre el politopo de bases de
un matroide y su grafo de bases.
Proposición 2.10 (Gel′fand et al. [9]). Sea M un matroide. El 1-esqueleto del politopo
de bases P (M) corresponde con el grafo de bases BG(M).
2.5. Matroides lattice path
Un lattice path P en Z2 es una secuencia de vectores v0, ..., vn ∈ Z2, tales que cada
diferencia consecutiva si = vi−vi−1 ∈ {(1, 0), (0, 1)}. Decimos que P va de v0 a vn y a si
se le denomina el i-ésimo paso de P . En el presente trabajo consideraremos los lattice
path que van de (0, 0) a (m, r). Denotamos Este (E) para (1, 0) y Norte (N) para
(0, 1). Entonces P puede ser repla gráficaresentado como una palabra de longitud m+r
en el alfabeto {E,N} o como el conjunto {i : el i-ésimo paso de P es N} de [m+ r].
Teorema 2.11. Sean U y L dos lattice path que comienzan en (0, 0) y terminan en
(m, r) tales que tales que U nunca pasa por debajo de L. Los caminos U y L definen un
matroide M [U,L] cuyas bases son todos los lattice path que se mantienen en el área
delimitada por U y L
Demostración. Sabemos que un lattice path podemos identificarlo como un subconjunto
de {1, ...,m+r}. Luego, U = {p1, ...pr} y L = {q1, ..., qi}. Sean Ai = [pi, qi],A = (Ai : i ∈
CAPÍTULO 2. TEORÍA DE MATROIDES 20
P1
P3
P2
(10, 7)
(0, 0)
b
b
P1 = NNNEEEENNEEENNEEE
P1 = {1, 2, 3, 8, 9, 13, 14}eP1 = (1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0)
P3 = NEENEEEENNEENNENE
P3 = {1, 4, 9, 10, 13, 14, 16}eP3 = (1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 0)
P2 = EEEENEEENNEENNENN
P2 = {5, 9, 10, 13, 14, 16, 17}eP2 = (0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 1)
Figura 2.8: Izquierda: Los lattice path P1, P2 y P3 que van de (0, 0) a (10, 7). Derecha:
la representación de los caminos P1, P2 y P3 como palabras en el alfabeto {E,N}, como
subconjuntos de {1, 2, ..., 17} y sus vectores característicos.
[r]) e I el conjunto de todos los transversales parciales deA. Por el Teorema 2.7 sabemos
que I es el conjunto de los independientes de un matroide sobre {1, ..., r+m}. Además,
los transversales son los conjuntos maximos de I y por lo tanto los transversales son
las bases del matroide M [U,L]. Luego, cada transversal es de la forma {t1, ...tr} dondepi ≤ ti ≤ qi. Por lo tanto, cada transversal corresponde a un camino en la región
delimitada por U y L. Por otro lado, sea S un camino en la región delimitada por
U y L, sabemos que S = {v1, ..., vr}, como S está en la región delimitada por U y
L entonces pi ≤ vi ≤ qi, por lo tanto S corresponde a un transversal del sistema de
conjuntos A.
El matroide definido en el Teorema 2.11 se le denomina Matroide Lattice Path
(MLP), la Figura 2.8 muestra la idea de este teorema. Nos referiremos al diagrama
de un MLP como su dibujo en el plano, en nuestro caso, no haremos distinción entre el
diagrama de un MLP y el matroide mismo.
Consideremos un MLP M [U,L]. Sea li la recta definida por la ecuación x+ y = i para
todo i = 0, ..., r + m. Sea R(M [U,L]) la región delimitada por U y L. Definimos el
segmento de li contenido en R como Ti = li ∩ R(M [U,L]) para todo i = 0, ..., r + m
(Figura 2.9).
CAPÍTULO 2. TEORÍA DE MATROIDES 21
b
b(0, 0)
(4, 4)U
L
l0 l1 l2 l3 l4
l5
l6
l7
l8
T1
T2
T3
T4
T5
T6
T7
Figura 2.9: Caminos lattice path U y L que van de (0, 0) a (4, 4) con las rectas li y los
segmentos Ti que definen.
Con esto se puede generalizar la noción de lattice path a un lattice path generalizado
P el cual es un camino poligonal, que va de (0, 0) a (r,m), formado por r+m segmentos
que conectan al punto (xi, yi) con (xi+1, yi+1), donde xi, yi ∈ Ti, xi ≤ xi+1 y yi ≤ yi+1
para todo i = 0, ..., r +m− 1. La Figura 2.10 muestra un lattice path generalizado.
(0, 0)
(4, 4)U
L
P
b
b
Figura 2.10: Caminos lattice path U , L y camino lattice path generalizado P que van
de (0, 0) a (4, 4).
Al igual que los lattice path, un lattice path generalizado P puede codificarse como una
sucesión de r+m+1 vectores v0, ..., vr+m. Consideremos un MLP definido por los lattice
path U y L. Definimos la (k − 1)-división del matroide M [U,L] como el conjunto de
todos los lattice path generalizados tales que la coordenada y de vi es un múltiplo entero
de1
k, para todo i = 0, ..., r+m. El i-ésimo paso si = vi−vi−1 de un camino generalizado
CAPÍTULO 2. TEORÍA DE MATROIDES 22
P en la (k − 1)-división safisface que si ∈ {( jk, k−j
k) : j ∈ [0, k]} = Ck. La Figura 2.11
muestra la idea de la (k − 1)-división de un MLP.
b b
bb
b bb
bb
b
bb
bb b
bb
bb
b
bb
bb
bb b
bbb
b bb
b
b
bbb
b
bk −1
Figura 2.11: (k − 1)-división de un MLP.
En el presente trabajo estamos especialmente interesados en un tipo particular de ma-
troides lattice path llamados serpientes. Un MLP se le denomina serpiente (Figu-
ra 2.12) si está compuesto de al menos dos elementos, es conexo y su diagrama no
tiene puntos enteros en su interior. La serpiente se representa como S(a1, . . . , an), su
diagrama empieza en el origen y contiene a1 cuadros hacia la derecha, a2 cuadros hacia
arriba, a3 cuadros hacia la derecha y así sucesivamente. Formalmente, dados a1, . . . , an
enteros positivos, con ai ≥ 2, para i = 2, . . . , n, la serpiente S(a1, . . . , an) es el MLP
delimitado por los caminos:
1. U = NEa1−1Na2−1Ea3−1 · · ·Nan−1−1E y L = Ea1Na2−1Ea3−1 · · ·Ean−1−1Nan , si n
es par;
2. U = NEa1−1Na2−1Ea3−1 · · ·Nan−1−1Ean y L = Ea1Na2−1Ea3−1 · · ·Ean−1−1N , si n
es impar.
El politopo de bases de una serpiente es un politopo serpiente.
2.6. Dualidad
Para definir lo que es el dual de un matroide consideremos el siguiente resultado.
Teorema 2.12 (Oxley [12, Teorema 2.1.1]). Sean M = (E,B) un matroide y B∗ =
CAPÍTULO 2. TEORÍA DE MATROIDES 23
a2
a3
a1
b
b
Figura 2.12: Serpiente S(a1, a2, a3).
{E −B : B ∈ B}. El conjunto B∗ es el conjunto de bases de un matroide sobre E.
El matroide definido en el teorema anterior, que tiene como conjunto base a E y como
conjunto de bases a B∗, se conoce como el dual de M y se denota como M∗. A las
bases de M∗ se les denomina cobases de M . Es sencillo notar que (M∗)∗ = M .
Para el caso de un MLP M , las bases del matroide dual M∗ son todos los conjuntos
de la forma {i : el i-ésimo paso de P es Este}, donde P es un lattice path en la región
correspondiente a M . Para obtener el diagrama de M∗ basta con reflejar el diagrama
de M con respecto a la recta y = x, como se muestra en la Figura 2.13, con lo cual es
fácil ver que M∗ es también un MLP.
(0, 0)
(5, 3)U
L
b
b
y = x
(0, 0)
(3, 5)
L
U
b
y = x
b
Figura 2.13: Izquierda: Matroide lattice path M delimitado por los lattice path U y L.
Derecha: Matroide dual M∗.
Capítulo 3
Teoría de Ehrhart
En este capítulo, tomando como referencia el libro Computing the continuous dis-
cretely de Beck y Robins [1] y los artículos Sur les polyèdres rationnels homothétiques
à n dimensions de Ehrhart [7], On lattice path matroid polytopes: integer points and
Ehrhart polynomial de Knauer, Martínez-Sandoval y Ramírez Alfonsín [10] y Decompo-
sitions of rational convex polytopes de Stanley [13], se introducen las nociones de Teoría
de Ehrhart, como lo son el polinomio de Ehrhart y la serie de Ehrhart de un politopo.
Además, se muestran los resultados que se tienen en esta área y se relacionan con los
matroides lattice path que se abordaron en el capítulo 2.
Para un conjunto S ⊆ Rn y k un entero no negativo, definimos la k-expansión de S
como
kS := {(kx1, kx2, . . . , kxn) : (x1, x2, . . . , xn) ∈ S}.
En particular, si el conjunto es un politopo P ⊆ Rn y k un entero no negativo, la
k-expansión del politopo P es
kP := {kp : p ∈ P} = {(kx1, kx2, . . . , kxn) : (x1, x2, . . . , xn) ∈ P}.
Un punto entero en Rn es un punto cuyas coordenadas son todas números enteros.
24
CAPÍTULO 3. TEORÍA DE EHRHART 25
En base a esto definimos la función
L(P, k) := #(kP ∩ Zn),
la cual cuenta el número de puntos enteros de la k-expansión del politopo y se le conoce
como el volumen discreto de P .
Un politopo P ⊆ Rn es entero si todos sus vértices son puntos con coordenadas enteras.
El politopo de bases de un matroides es un politopo entero.
Teorema 3.1 (Ehrhart [7]). Si P es un politopo entero convexo d-dimensional entonces
L(P, k) es un polinomio en k de grado d.
El polinomio L(P, k) se conoce como el polinomio de Ehrhart del politopo P .
Lema 3.2 (Beck y Robins [1, Lema 3.19]). Sea P ⊆ Rn un politopo d-dimensional. Su
volumen d-dimensional viene dado por
vol(P ) = lımk→∞
1
kdL(P, k).
Demostración. El volumen de P se puede calcular aproximando a P con cubos d-di-
mensionales. Consideremos los cubos de lado 1ky volumen 1
kd. El volumen de P pue-
de aproximarse mediante el volumen de los cubos, el cual puede calcularse contando
los puntos enteros en(
1
kZ)d
, esto es #
(P ∩
(1
kZ)d). Por otro lado, notemos que
#
(P ∩
(1
kZ)d)
= #(kP ∩ Zd). Luego, tenemos que
vol(P ) = lımk→∞
1
kd#
(P ∩
(1
kZ)d)
= lımk→∞
1
kd#(kP ∩ Zd
)= lım
k→∞
1
kdL(P, k)
Teorema 3.3 (Beck y Robins [1, Corolario 3.20]). Sea P ⊆ Rn un politopo entero
convexo d-dimensional con polinomio de Ehrhart L(P, k) = cdkd + cd−1k
d−1 + · · · +c1k + c0. Se cumple que cd = vol(P ).
CAPÍTULO 3. TEORÍA DE EHRHART 26
Demostración. Por el Lema 3.2 tenemos que
vol(P ) = lımk→∞
1
kdL(P, k),
entonces,
vol(P ) = lımk→∞
cdkd + cd−1k
d−1 + · · ·+ c1k + c0kd
= cd
Definimos la serie de Ehrhart de un politopo P como la serie infinita
Ehr(P, z) :=∑k≥0
L(P, k)zk.
Teorema 3.4 (Beck y Robins [1, Lema 3.9]). Si P ⊆ Rn es un politopo entero convexo
d-dimensional su serie de Ehrhart viene dada por la función racional
Ehr(P, z) =h∗P (z)
(1− z)d+1=h∗dz
d + h∗d−1zd−1 + · · ·+ h∗1z + h∗0
(1− z)d+1.
El polinomio h∗P (z) se conoce como el h∗-polinomio de P y los coeficientes de h∗P (z)
son las entradas del h∗-vector de P .
Teorema 3.5 (Stanley [13]). Supongamos que P es un politopo entero convexo d-di-
mensional con serie de Ehrhart
Ehr(P, z) =h∗dz
d + h∗d−1zd−1 + · · ·+ h∗1z + h∗0
(1− z)d+1.
Entonces h∗0, h∗1, . . . , h∗d−1, h∗d son enteros no negativos.
Lema 3.6 (Beck y Robins [1, Lema 3.13]). Si P es un politopo entero convexo d-
dimensional con serie de Ehrhart
Ehr(P, z) =h∗dz
d + h∗d−1zd−1 + · · ·+ h∗1z + h∗0
(1− z)d+1.
Entonces h∗0 = 1.
Lema 3.7 (Beck y Robins [1, Lema 3.14]). Sea P un politopo entero convexo d-
dimensional con serie de Ehrhart
Ehr(P, z) =h∗dz
d + h∗d−1zd−1 + · · ·+ h∗1z + 1
(1− z)d+1.
Entonces L(P, k) =
(k + d
d
)+ h∗1
(k + d− 1
d
)+ · · ·+ h∗d−1
(k + 1
d
)+ h∗d
(k
d
)
CAPÍTULO 3. TEORÍA DE EHRHART 27
Demostración. Expandiendo la función racional correspondiente a la serie de Ehrhart
en serie de potencias tenemos que
Ehr(P, z) =h∗dz
d + h∗d−1zd−1 + · · ·+ h∗1z + 1
(1− z)d+1
= (h∗dzd + h∗d−1z
d−1 + · · ·+ h∗1z + 1)∑k≥0
(k + d
d
)zk
= h∗d∑k≥0
(k + d
d
)zk+d + h∗d−1
∑k≥0
(k + d
d
)zk+d−1 + · · ·
+ h∗1∑k≥0
(k + d
d
)zk+1 +
∑k≥0
(k + d
d
)zk
= h∗d∑k≥d
(k
d
)zk + h∗d−1
∑k≥d−1
(k + 1
d
)zk + · · ·
+ h∗1∑k≥1
(k + d− 1
d
)zk +
∑k≥0
(k + d
d
)zk.
Sabemos que(mn
)= 0 si m < n. Luego, podemos reescribir la serie de Ehrhart como
Ehr(P, z) =∑k≥0
(h∗d
(k
d
)+ h∗d−1
(k + 1
d
)+ · · ·+ h∗1
(k + d− 1
d
)+
(k + d
d
))zk.
Por otro lado
Ehr(P, z) =∑k≥0
L(P, k)zk.
Por lo tanto,
L(P, k) =
(k + d
d
)+ h∗1
(k + d− 1
d
)+ · · ·+ h∗d−1
(k + 1
d
)+ h∗d
(k
d
).
Teorema 3.8 (Beck y Robins [1, Corolario 3.15]). Si P es un politopo entero convexo
d-dimensional, entonces el término constante de su polinomio de Ehrhart L(P, k) es 1.
Demostración. Por el Lema 3.7, tenemos que
L(P, k) =
(k + d
d
)+ h∗1
(k + d− 1
d
)+ · · ·+ h∗d−1
(k + 1
d
)+ h∗d
(k
d
).
CAPÍTULO 3. TEORÍA DE EHRHART 28
Entonces, el término constante viene dado por
L(P, 0) =
(d
d
)+ h∗1
(d− 1
d
)+ · · ·+ h∗d−1
(1
d
)+ h∗d
(0
d
).
Como(m
n
)= 0 si m < n, entonces tenemos que
L(P, 0) =
(d
d
)= 1.
Recordemos que un lattice path generalizado está en la (k − 1)-división de un MLP M
si y sólo si los i-ésimos pasos pertenecen a la familia Ck = {( jk, k−j
k) : j ∈ [0, k]}. Sea
CkM el conjunto de todos los lattice path generalizados en la (k − 1)-división de M .
El siguiente teorema nos permite hacer una conexión entre el número de puntos enteros
en la k-expansión del politopo de bases P (M) de un matroide lattice path M y el número
de caminos generalizados en la (k − 1)-división en el diagrama del matroide.
Teorema 3.9 (Knauer, Martínez-Sandoval y Ramírez-Alfonsín [10]). Sea M un ma-
troide lattice path con n elementos y sea k ∈ N. Entonces, un punto p ∈ Rn está en
kP (M) ∩ Zn si y sólo si p corresponde a un lattice path generalizado en CkM .
Capítulo 4
Resultados
En este capítulo se muestran los resultados obtenidos, los cuales son: la caracteriza-
ción del h∗-vector del politopo de bases P (S(a, b)) y la demostración de la conjetura de
De Loera, Haws y Köpe [5] para este politopo.
Un vector (c0, . . . , cd) es unimodular si existe un índice j, con 0 ≤ j ≤ d, tal que
ci−1 ≤ ci para todo i ≤ j y ci ≥ ci+1 para todo i ≥ j.
Conjetura 4.1 (De Loera, Haws y Köppe [5]). Sea P (M) el politopo de bases de un
matroide M .
(A) El h∗-vector de P (M) es unimodular.
(B) Los coeficientes del polinomio de Ehrhart de P (M) son positivos.
Los resultados del presente trabajo se centran en el inciso (A) de la conjetura 4.1.
Proposición 4.2. Sean m, ` enteros no negativos. Tenemos que
m∑j=0
(j
`
)=
(m+ 1
`+ 1
)
29
CAPÍTULO 4. RESULTADOS 30
Demostración. Procedamos por inducción sobre m. Para m = 0 tenemos que
0∑j=0
(j
`
)=
(0
`
)=
0 si ` ≥ 1,
1 si ` = 1.
.
Por otro lado, (0 + 1
`+ 1
)=
(1
`+ 1
)=
0 si ` ≥ 1,
1 si ` = 1.
.
Por lo tanto0∑
j=0
(j
`
)=
(0 + 1
`+ 1
).
Supongamos ahora que la igualdad se cumple para m = n. Es decir,
n∑j=0
(j
`
)=
(n+ 1
`+ 1
). (4.1)
Queremos probar que la igualdad se cumple para m = n+ 1. O sea,
n+1∑j=0
(j
`
)=
((n+ 1) + 1
`+ 1
).
Notemos quen+1∑j=0
(j
`
)=
n∑j=0
(j
`
)+
(n+ 1
`
).
Por hipótesis de inducción (ecuación 4.1) tenemos que
n+1∑j=0
(j
`
)=
(n+ 1
`+ 1
)+
(n+ 1
`
).
Por la identidad de Pascal(pq
)=(p−1q
)+(p−1q−1
), tenemos que
n+1∑j=0
(j
`
)=
((n+ 1) + 1
`+ 1
).
Lo que queríamos demostrar.
CAPÍTULO 4. RESULTADOS 31
Lema 4.3. Consideremos la (k − 1)-división de la serpiente S(a, 1) y numeremos los
k + 1 puntos sobre las diagonales de los cuadros dentro del diagrama de S(a, 1) con
0, 1, . . . , k−1, k, como se muestra en la Figura 4.1. El número de caminos generalizados
dentro del diagrama de S(a, 1) que van de (0, 0) a(a− i
k, ik
)es(i+ a− 1
a− 1
), para
i = 0, 1, ..., k.
b
b
bb
bb
bb
bb
b
bb b
bbbb
b bb
bb
bb b
bb
bbb
bbbbb
a
k − 1. . .
i . . .
1
0
k
b
k
. . .
k − 1
i . . .
1
0
k
. . .
k − 1
i . . .
1
0
k
. . .
k − 1
i . . .
1
0
k
. . .
k − 1
i . . .
1
0
Figura 4.1: Etiquetado de los k + 1 puntos en las diagonales de una serpiente.
Demostración. Procedamos por inducción sobre a. Como la serpiente está compuesta
de al menos dos elementos entonces a ≥ 2. Para a = 2, notemos que el número de
caminos generalizados que van de (0, 0) a (1 − jk, jk) es 1 para j = 0, . . . , k. Luego,
para obtener el número de caminos generalizados que van de (0, 0) a (2 − ik, ik) basta
con sumar el número de caminos generalizados que van de (0, 0) a (1 − jk, jk) para
j = 0, . . . , i. Por lo que el número de caminos generalizados que van de (0, 0) a (2− ik, ik)
es i+ 1 =
(i+ 1
1
)=
(i+ 2− 1
2− 1
).
Supongamos que para a = n el número de caminos generalizados que van de (0, 0) a(n− i
k, ik
)es(i+ n− 1
n− 1
).
Para a = n+1 tenemos que para conocer el número de caminos generaliados que van de
(0, 0) a(n+ 1− i
k, ik
)basta con sumar el número de caminos generalizados que van de
(0, 0) a (n− jk, jk) para j = 0, . . . , i. Por hipótesis de inducción sabemos que el número
de caminos generalizados que van de (0, 0) a(n− j
k, jk
)es(j + n− 1
n− 1
). Luego, por la
Proposición 4.2, tenemos que
i∑j=0
(j + n− 1
n− 1
)=
(i+ (n− 1) + 1
(n− 1) + 1
)=
(i+ (n+ 1)− 1
(n+ 1)− 1
).
Lo que queríamos demostrar.
CAPÍTULO 4. RESULTADOS 32
Teorema 4.4. El número de caminos generalizados en la (k−1)-división de la serpiente
S(a, b) esk∑
i=0
(i+ a− 1
a− 1
)(i+ b− 1
b− 1
)
Demostración. Numeremos los k+1 puntos en la a-ésima diagonal de la serpiente S(a, b)
con 0, 1, . . . , k − 1, k. Para contar el número de caminos generalizados en la (k − 1)-di-
visión de S(a, b) determinemos primero el número de caminos generalizados que pasan
por el i-ésimo punto en la a-ésima diagonal (Figura 4.2).
b
b
bb
bb
bb
bb
b
bb b
bbbb
b bb
bb
bb b
bb
bbb
bb
bb
bb
bb
bb
bb
b
b
bbbb
bb
bb
bb
b
a
b
k − 1. . .
i . . .
1
0
k
b
b
Figura 4.2: Camino generalizado que pasa por el i-ésimo punto en la a-ésima diagonal
de S(a, b).
Podemos dividir el diagrama de S(a, b) en los diagramas que se muestran en la Figura 4.3
b
b
bb
bb
bb
bb
b
bb b
bbbb
b bb
bb
bb b
bb
bbb
bbbbb
a
k − 1. . .
i . . .
1
0
k
b
(a) Parte horizontal de S(a, b)
b
bbb
bbb
bb
bb
bb
bb
bb
bb
b
b
b
bb
bb
bb
b
b
k − 1. . .
i . . .
1
0
k
b
(b) Parte vertical de S(a, b)
Figura 4.3: División de la serpiente S(a, b) en dos partes.
CAPÍTULO 4. RESULTADOS 33
La Figura 4.3a corresponde con el diagrama de la serpiente S(a, 1) y por el Lema 4.3
sabemos que el número de caminos generalizados que llegan al punto etiquetado con i
es(i+ a− 1
a− 1
).
Por otro lado, el matroide dual de la parte vertical de S(a, b) (Figura 4.3b) corresponde
con la serpiente S(b, 1), como se muestra en la Figura 4.4.
y = xy = x
b
b bb
b
bb b
bb
bbb b
bb
bb
b bb
bb
bb
bbbbb
b
k − 1
. . .
i
. . .
1
0
k
bb
bb
bb
b
bb
bb
bb
b bb
bb
bb
b bb
bb
bb
b b
b
. . .
i
k − 1
1
. . .0
k
Figura 4.4: Parte vertical de S(a, b) y su dual.
Sabemos que el polinomio de Ehrhart de un matroide dual es igual al polinomio de
Ehrhart del matroide original, por lo que el número de caminos generalizados en la
(k − 1)-división también es el mismo para un matroide y su dual. Por el Lema 4.3
sabemos que el número de caminos generalizados que pasan por el i-ésimo punto de la
b-ésima columna de S(b, 1) es(i+ b− 1
b− 1
). Luego, el número de caminos generalizados
que pasan por el punto etiquetado con i en la Figura 4.2 es(i+ a− 1
a− 1
)(i+ b− 1
b− 1
).
De lo anterior se concluye que el número de caminos generalizados en la (k−1)-división
de la serpiente S(a, b) esk∑
i=0
(i+ a− 1
a− 1
)(i+ b− 1
b− 1
).
Teorema 4.5. Sean P (S(a, b)) el politopo de bases de la serpiente S(a, b) y h∗ =
(h∗1, ..., h∗d) su h∗-vector. Entonces h∗i =
(a− 1
i
)(b− 1
i
).
CAPÍTULO 4. RESULTADOS 34
Demostración. Por el Teorema 4.4 sabemos que el número de caminos generalizados en
la (k − 1)-división del MLP serpiente S(a, b) es
k∑i=0
(i+ a− 1
a− 1
)(i+ b− 1
b− 1
).
Entonces, por el Teorema 3.9 tenemos que
L(P (S(a, b)), k) =k∑
i=0
(i+ a− 1
a− 1
)(i+ b− 1
b− 1
)
Por el Lema 3.7 sabemos que
L(P (S(a, b)), k) =d∑
j=0
h∗j
(k + d− j
d
),
donde d es la dimensión de P (S(a, b)).
Feichtner y Sturmfels [8] probaron que para el politopo de bases P (M) de un matroide
M la dimensión es d = n − c, donde n es la cardinalidad del conjunto base y c es el
número de componentes conexas de M .
Para el caso de S(a, b) el conjunto base es {1, ..., a+ b} y como es conexo, c = 1. Por lo
tanto d = dim(P (S(a, b))) = a+ b− 1.
Para probar que efectivamente h∗i =
(a− 1
i
)(b− 1
i
)basta probar que
k∑i=0
(i+ a− 1
a− 1
)(i+ b− 1
b− 1
)=
a+b−1∑j=0
(a− 1
j
)(b− 1
j
)(k + a+ b− 1− j
a+ b− 1
).
Procedamos por inducción sobre k. Para k = 0 tenemos que
0∑i=0
(i+ a− 1
a− 1
)(i+ b− 1
b− 1
)=
(a− 1
a− 1
)(b− 1
b− 1
)= 1.
Por otro lado,
a+b−1∑j=0
(a− 1
j
)(b− 1
j
)(0 + a+ b− 1− j
a+ b− 1
)=
(a− 1
0
)(b− 1
0
)(a+ b− 1
a+ b− 1
)= 1
CAPÍTULO 4. RESULTADOS 35
De donde podemos concluir que
0∑i=0
(i+ a− 1
a− 1
)(i+ b− 1
b− 1
)=
a+b−1∑j=0
(a− 1
j
)(b− 1
j
)(0 + a+ b− 1− j
a+ b− 1
)
Ahora, supongamos que la igualdad se cumple para k = n, es decir,
n∑i=0
(i+ a− 1
a− 1
)(i+ b− 1
b− 1
)=
a+b−1∑j=0
(a− 1
j
)(b− 1
j
)(n+ a+ b− 1− j
a+ b− 1
)(4.2)
Queremos probar que la igualdad se cumple para k = n+ 1, es decir,
n+1∑i=0
(i+ a− 1
a− 1
)(i+ b− 1
b− 1
)=
a+b−1∑j=0
(a− 1
j
)(b− 1
j
)(n+ 1 + a+ b− 1− j
a+ b− 1
)
Por la identidad de Pascal(m`
)=(m−1`
)+(m−1`−1
), tenemos que(
n+ 1 + a+ b− 1− ja+ b− 1
)=
(n+ a+ b− 1− j
a+ b− 1
)+
(n+ a+ b− 1− j
a+ b− 2
).
Luego,
a+b−1∑j=0
(a− 1
j
)(b− 1
j
)(n+ 1 + a+ b− 1− j
a+ b− 1
)
=a+b−1∑j=0
(a− 1
j
)(b− 1
j
)((n+ a+ b− 1− j
a+ b− 1
)+
(n+ a+ b− 1− j
a+ b− 2
))
=a+b−1∑j=0
(a− 1
j
)(b− 1
j
)(n+ a+ b− 1− j
a+ b− 1
)
+a+b−1∑j=0
(a− 1
j
)(b− 1
j
)((n+ 1) + a+ b− 2− j
a+ b− 2
).
Por hipótesis de inducción, de la ecuación (4.2), tenemos que
a+b−1∑j=0
(a− 1
j
)(b− 1
j
)(n+ a+ b− 1− j
a+ b− 1
)
=n∑
i=0
(i+ a− 1
a− 1
)(i+ b− 1
b− 1
)
CAPÍTULO 4. RESULTADOS 36
Por la identidad de Surányi [15]∑m
r=0
(mr
)(hr
)(`+m+h−r
m+h
)=(`+mm
)(`+hh
), tenemos que
a+b−1∑j=0
(a− 1
j
)(b− 1
j
)((n+ 1) + a+ b− 2− j
a+ b− 2
)=
((n+ 1) + (a− 1)
a− 1
)((n+ 1) + (b− 1)
b− 1
).
Por lo tanto,
a+b−1∑j=0
(a− 1
j
)(b− 1
j
)(n+ 1 + a+ b− 1− j
a+ b− 1
)
=
[n∑
i=0
(i+ a− 1
a− 1
)(i+ b− 1
b− 1
)]+
[(n+ 1 + a− 1
a− 1
)(n+ 1 + b− 1
b− 1
)]
=n+1∑i=0
(i+ a− 1
a− 1
)(i+ b− 1
b− 1
)Lo que queríamos demostrar.
Un vector (c0, . . . , cd) es log-concave si c2i ≥ ci−1ci+1 para todo 1 ≤ i ≤ d− 1.
Lema 4.6. El h∗-vector del politopo de bases P (S(a, b)) es log-concave.
Demostración. Sea h∗ = (h∗0, h∗1, . . . , h
∗d) el h∗-vector del politopo de bases P (S(a, b)).
Notemos que:
h∗i2 =
((a− 1
i
)(b− 1
i
))2
=
(a− 1
i
)2(b− 1
i
)2
=
((a− 1)!
(a− i− 1)!i!
)2((b− 1)!
(b− i− 1)!i!
)2
=
(((a− 1)!)2
((a− i− 1)!)2(i!)2
)(((b− 1)!)2
((b− i− 1)!)2(i!)2
)=
(((a− 1)!)2((b− 1!))2
((a− i− 2)!)2((b− i− 2)!)2((i− 1)!)4
)(1
(a− i− 1)2(b− i− 1)2i4
).
Por otro lado,
h∗i−1h∗i+1 =
(a− 1
i− 1
)(b− 1
i− 1
)(a− 1
i+ 1
)(b− 1
i+ 1
)
CAPÍTULO 4. RESULTADOS 37
=
((a− 1)!
(a− i)!(i− 1)!
)((b− 1)!
(b− i)!(i− 1)!
)((a− 1)!
(a− i− 2)!(i+ 1)!
)·(
(b− 1)!
(b− i− 2)!(i+ 1)!
)=
(((a− 1)!)2((b− 1)!2)
((a− i− 2)!)2((b− i− 2)!)2((i− 1)!)4
)·(
1
(a− i)(a− i− 1)(b− i)(b− i− 1)i2(i+ 1)2
)≤(
((a− 1)!)2((b− 1)!2)
((a− i− 2)!)2((b− i− 2)!)2((i− 1)!)4
)·(
1
(a− i)(a− i− 1)(b− i)(b− i− 1)i4
)≤(
((a− 1)!)2((b− 1)!2)
((a− i− 2)!)2((b− i− 2)!)2((i− 1)!)4
)·(
1
(a− i− 1)2(b− i− 1)2i4
)= h∗i
2.
Por lo tanto, el h∗-vector es log-concave.
El siguiente Lema, que relaciona vectores log-concave y unimodulares, lo menciona
Stanley [14] sin demostración, por lo cual nosotros realizamos una a continuación.
Lema 4.7 (Stanley [14]). Todo vector log-concave de entradas positivas es unimodular.
Demostración. Sea C = (c0, . . . , cd) un vector log-concave. Como c2i ≥ ci−1ci+1 para
todo 1 ≤ i ≤ d − 1 y ci es positivo, se tiene que ci−1 ≤ ci o ci+1 ≤ ci. Notemos que
c0 ≤ c1 o bien c0 ≥ c1.
Por un lado, si c0 ≥ c1, entonces c1 ≥ c2. Análogamente c2 ≥ c3 y así sucesivamente
obtenemos que c3 ≥ c4 ≥ · · · ≥ cd. Por lo tanto, c0 ≥ c1 ≥ · · · ≥ cd que es claramente
unimodular.
Por otro lado, supongamos que c0 ≤ c1. Se tienen dos casos: que ci−1 ≤ ci, para todo
1 ≤ i ≤ d, o bien, existe i tal que ci−1 ≤ ci > ci+1. En el primer caso se tiene que
c0 ≤ c1 ≤ · · · ≤ cd y por lo tanto C es unimodular. Ahora, supongamos que existe i
CAPÍTULO 4. RESULTADOS 38
tal que ci−1 ≤ ci > ci+1. Como C es log-concave y ci > ci+1, por argumentos previos,
ci+1 ≥ ci+2 y consecuentemente ci+2 ≥ ci+3 ≥ · · · ≥ cd. De lo anterior se concluye que
c0 ≤ c1 ≤ · · · ≤ ci−1 ≤ ci ≥ ci+1 ≥ · · · ≥ cd y por lo tanto C es unimodular.
Por lo tanto, todo vector log-concave de entradas positivas es unimodular.
Para finalizar, enunciamos el resultado principal de esta investigación.
Teorema 4.8. El h∗-vector del politopo de bases P (S(a, b)) es unimodular.
Demostración. Por el Lema 4.6 sabemos que el h∗-vector es log-concave y por el Le-
ma 4.7 sabemos que todo vector log-concave es unimodular. Por lo tanto el h∗-vector
del politopo de bases P (S(a, b)) es unimodular.
Bibliografía
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