cercetari operationale grila

1

Tehnici de optimizare

Programare liniara

MULTIPLE CHOICE

1. Fie problema de programare liniara:

1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 2 3

[max] 5 10 20

2 3 5

2 4

2 2 6

0, 1,3i

f x x x

x x x

x x x

x x x

x i

= + +

+ + ≤

+ + ≤ + + ≤

≥ =Sa se aduca la forma standard pentru simplex.

a.

1 2 3

1 2 3 4

1 2 3 5

1 2 3 6

[max] 5 10 20

2 3 5

2 4

2 2 6

0, 1,6i

f x x x

x x x x

x x x x

x x x x

x i

= + +

+ + + ≤

+ + + ≤ + + + ≤

≥ =b. [max]f = 5x 1 + 10x 2 + 20x 3 + 0x 4 + 0x 5 + 0x 6

x 1 + 2x 2 + 3x 3 + x4 = 5

2x1 + x 2 + x 3 + x 5 = 4

x 1 + 2x 2 + 2x 3 + x6 = 6

Ï

Ì

Ó

ÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔ

x i ≥ 0,i = 1,6

c.

1 2 3

1 2 3 4

1 2 3 5

1 2 3 6

[max] 5 10 20

2 3 5

2 4

2 2 6

0, 1,6i

f x x x

x x x x

x x x x

x x x x

x i

= + +

+ + − =

+ + − = + + − =

≥ =

d.

1 2 3 4 5 6

1 2 3 4

1 2 3 5

1 2 3 6

[max] 5 10 20

2 3 5

2 4

2 2 6

0, 1,6i

f x x x Mx Mx Mx

x x x x

x x x x

x x x x

x i

= + + + + +

+ + + =

+ + + = + + + =

≥ =

user0

Oval

2

2. Fie problema de programare liniara

1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 2 3

[max] 5 10 20

2 3 5

2 4

2 2 6

0, 1,3i

f x x x

x x x

x x x

x x x

x i

= + +

+ + ≤

+ + ≤ + + ≤

≥ =Prima iteratie a algoritmului simplex este

5 10 20 0 0 0CB B XB a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6

0 a 4 5 1 2 3 1 0 0

0 a 5 4 2 1 1 0 1 0

0 a 6 6 1 2 2 0 0 1

f j 0 0 0 0 0 0

∆ j = c j − f j 5 10 20 0 0 0

Pivotul se afla pe linia corespunzatoare lui a. a 4

b. a 5

c. a 6


1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 2 3

[max] 5 10 20

2 3 5

2 4

2 2 6

0, 1,3i

f x x x

x x x

x x x

x x x

x i

= + +

+ + ≤

+ + ≤ + + ≤

≥ =Prima iteratie a algoritmului simplex este

5 10 20 0 0 0CB B XB a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6

0 a 4 5 1 2 3 1 0 0

0 a 5 4 2 1 1 0 1 0

0 a 6 6 1 2 2 0 0 1

f j 0 0 0 0 0 0

∆ j = c j − f j 5 10 20 0 0 0

Stabiliti care este vectorul care iese, respectiv vectorul care intra in bazaa. intra a 3 , iese a 4

b. intra a 3 , iese a 5

c. intra a 3 , iese a 6

d. intra a 1 , iese a 6

e. intra a 1 , iese a 5

user0

Oval

user0

Oval

3


1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 2 3

[max] 5 10 20

2 3 5

2 4

2 2 6

0, 1,3i

f x x x

x x x

x x x

x x x

x i

= + +

+ + ≤

+ + ≤ + + ≤

≥ =Care este solutia optima pentru problema de programare liniara?

a. max f =10

3, x o = 0,0,

5

3

Ê

Ë

ÁÁÁÁÁÁÁ

ˆ

¯

˜̃˜̃˜̃˜, y o = 0,

7

3,8

3

Ê

Ë

ÁÁÁÁÁÁÁ

ˆ

¯

˜̃˜̃˜̃˜

b. max f =100

3, x o = 0,0,

5

3

Ê

Ë

ÁÁÁÁÁÁÁ

ˆ

¯

˜̃˜̃˜̃˜, y o = 0,

7

3,8

3

Ê

Ë

ÁÁÁÁÁÁÁ

ˆ

¯

˜̃˜̃˜̃˜

c. max f =100

3,x o = 0,

7

3,8

3

Ê

Ë

ÁÁÁÁÁÁÁ

ˆ

¯

˜̃˜̃˜̃˜, y o = 0,0,

5

3

Ê

Ë

ÁÁÁÁÁÁÁ

ˆ

¯

˜̃˜̃˜̃˜

d. alt raspuns

5. Fie problema de programare liniara[max]f = 7x 1 + 8x 2

2x 1 + x 2 ≤ 5

x 1 + 2x 2 ≤ 4

Ï

Ì

Ó

ÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔ

x 1 ,x 2 ≥ 0

Forma standard pentru simplex a problemei de programare liniara estea. [max]f = 7x 1 + 8x 2

2x 1 + x 2 + y1 = 5

x 1 + 2x 2 − y2 = 4

Ï

Ì

Ó


x 1 ,x 2 ≥ 0,y 1 ,y 2 ≥ 0

c. [max]f = 7x 1 + 8x 2 +My1 +My 2

2x 1 + x 2 + y1 = 5

x 1 + 2x 2 + y2 = 4

Ï

Ì

Ó


x 1 ,x 2 ≥ 0,y 1 ,y 2 ≥ 0

b. [max]f = 7x1 + 8x 2 + 0y 1 + 0y 2

2x 1 + x 2 + y 1 = 5

x 1 + 2x 2 + y 2 = 4

Ï

Ì

Ó


x 1 ,x 2 ≥ 0,y 1 ,y2 ≥ 0

d. [max]f = 7x 1 + 8x 2 −My1 −My 2

2x 1 + x 2 + y1 = 5

x 1 + 2x 2 + y2 = 4

Ï

Ì

Ó


x 1 ,x 2 ≥ 0,y 1 ,y 2 ≥ 0

user0

Oval

user0

Oval

4


2x 1 + x 2 ≤ 5

x 1 + 2x 2 ≤ 4

Ï

Ì

Ó


x 1 ,x 2 ≥ 0

Prima iteratie a algoritmului simplex este:7 8 0 0

CB B XB a 1 a 2 a 3 a 4

0 a 3 5 2 1 1 0

0 a 4 4 1 2 0 1

f j 0 0 0 0 0

∆ j 7 8 0 0

Pivotul se afla pe coloana corespunzatoare lui a. a 1

b. a 2

c. a 3

d. a 4


2x 1 + x 2 ≤ 5

x 1 + 2x 2 ≤ 4

Ï

Ì

Ó


x 1 ,x 2 ≥ 0

Prima iteratie a algoritmului simplex este:7 8 0 0

CB B XB a 1 a 2 a 3 a 4

0 a 3 5 2 1 1 0

0 a 4 4 1 2 0 1

f j 0 0 0 0 0

∆ j 7 8 0 0

Stabiliti care este vectorul care intra, respectiv vectorul care iese din bazaa. intra a 1 , iese a 3




user0

Oval

user0

Oval

5


2x 1 + x 2 ≤ 5

x 1 + 2x 2 ≤ 4

Ï

Ì

Ó


x 1 ,x 2 ≥ 0

Aplicandu-se algoritmul simplex se ajunge la un moment dat la:7 8 0 0

CB B XB a 1 a 2 a 3 a 4

0 a 3 3 3

2

0 1−

1

28 a 2 2 1

2

1 0 1

2f j 16 4 8 0 4

∆ j

Linia lui ∆ j este

a. 3, 0, 0, -4b. -3, 0, 0, 4c. 7, 8, 0, 0d. -7, -8, 0, 0


2x 1 + x 2 ≤ 5

x 1 + 2x 2 ≤ 4

Ï

Ì

Ó


x 1 ,x 2 ≥ 0

Aplicandu-se algoritmul simplex se ajunge la un moment dat la:7 8 0 0

CB B XB a 1 a 2 a 3 a 4

0 a 3 3 3

2

0 1−

1

28 a 2 2 1

2

1 0 1

2f j 16 4 8 0 4

∆ j 3 0 0 -4

Pivotul se afla pe coloana lui a. a 1

b. a 2

c. a 3

d. a 4

user0

Oval

user0

Oval

6


2x 1 + x 2 ≤ 5

x 1 + 2x 2 ≤ 4

Ï

Ì

Ó


x 1 ,x 2 ≥ 0

a. problema are optim infinit;

b. solutia optima este f max = 54, x o = 2,5ÊËÁÁ ˆ

¯˜̃ ,y o = 0,0Ê

ËÁÁ ˆ

¯˜̃

c. solutia optima este f max = 22, x o = 2,1ÊËÁÁ ˆ

¯˜̃ ,y o = 0,0Ê

ËÁÁ ˆ

¯˜̃

d. solutia optima este f max = 29, x o = 3,1ÊËÁÁ ˆ

¯˜̃ ,y o = 0,0Ê

ËÁÁ ˆ

¯˜̃

11. Fie problema de programare liniara[min]f = 6x1 + 7x2

−x 1 + x2 ≥ 1

x 1 − 2x 2 ≤ 1

Ï

Ì

Ó


x 1 ,x 2 ≥ 0

Matricea asociata formei standard este

a. A = −1

1

1

2

1

1

0

0

Ê

Ë

ÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁ

ˆ

¯

˜̃˜̃˜̃˜̃˜̃̃

c. A = 1

1

1

2

1

0

1

0

Ê

Ë


ˆ

¯

˜̃˜̃˜̃˜̃˜̃̃

b. A = −1

1

1

−2

1

0

0

1

Ê

Ë


ˆ

¯

˜̃˜̃˜̃˜̃˜̃̃

d. A = −1

1

1

−2

−1

0

0

1

Ê

Ë


ˆ

¯

˜̃˜̃˜̃˜̃˜̃̃


−x 1 + 5x 2 ≥ 1

x 1 − 2x 2 ≥ 1

Ï

Ì

Ó


x 1 ,x 2 ≥ 0

Duala acestei probleme de programare liniara estea. [max]g = 6y 1 + 7y 2

−y 1 + 5y 2 ≥ 1

y1 − 2y2 ≥ 1

Ï

Ì

Ó


y 1 ,y 2 ≥ 0

c. [max]g = y 1 + y 2

−y 1 + y 2 ≤ 6

5y 1 − 2y 2 ≤ 7

Ï

Ì

Ó


y 1 ,y2 ≥ 0

b. [max]g = y 1 + y 2

−y 1 + 5y 2 ≥ 6

y 1 − 2y 2 ≥ 7

Ï

Ì

Ó


y 1 ,y2 ≥ 0

d. [max]g = y 1 + y 2

−y 1 + y 2 ≥ 6

5y 1 − 2y 2 ≥ 7

Ï

Ì

Ó


y 1 ,y2 ≥ 0

user0

Oval

user0

Oval

user0

Oval

7

13. Fie problema de programare liniara[min]f = 4x 1 + 5x 2 + 6x 3

x 1 + 2x 2 + x 3 ≥ 2

2x 1 + x 2 + x 3 ≥ 1

Ï

Ì

Ó


x 1 ,x 2 ,x 3 ≥ 0

Duala acestei probleme de programare liniara este:a. [max]g = 2y 1 + y2

y1 + 2y2 ≥ 4

2y 1 + y 2 ≥ 5

y 1 + y 2 ≥ 6

Ï

Ì

Ó


y 1 ,y2 ≥ 0

c. [min]g = 2y 1 + y 2

y1 + 2y2 = 4

2y 1 + y 2 = 5

y 1 + y 2 = 6

Ï

Ì

Ó


y 1 ,y2 ≥ 0

b. [min]g = 2y 1 + y 2

y1 + 2y2 ≤ 4

2y 1 + y 2 ≤ 5

y 1 + y 2 ≤ 6

Ï

Ì

Ó


y 1 ,y2 ≥ 0

d. [max]g = 2y 1 + y2

y1 + 2y2 ≤ 4

2y 1 + y 2 ≤ 5

y 1 + y 2 ≤ 6

Ï

Ì

Ó


y 1 ,y2 ≥ 0

14. Fie problema de programare liniara[max]f = 2x1 − x 2 + 3x 3 + 2x 4 + 3x 5

3x 1 + 2x 3 + 5x 4 ≥ 4

2x 1 + x 2 − x3 + x 4 = 1

x 1 + 2x 3 + 2x4 + x 5 = 5

Ï

Ì

Ó


x i ≥ 0,i = 1,5

Matricea asociata formei standard are prima linie:a. 3 0 2 5 0 1b. 3 2 5 4c. 3 0 2 5 0 -1d. alt raspuns

user0

Oval

user0

Oval

8

15. Fie problema de programare liniara[max]f = 7x 1 − 8x 2 + 3x 3 + 2x 4 + 2x 5

3x 1 + x 3 + x4 ≤ 4

2x1 − x 3 + x 4 + x 5 = 1

x 1 + x 2 + 2x3 + 2x4 = 5

Ï

Ì

Ó


x i ≥ 0,i = 1,5

Dupa ce se aduce la forma standard se obtine primul tabel simplex:7 -8 3 2 2 0

CB B XB a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6

4 3 0 1 1 0 11 2 0 -1 1 1 02 1 1 2 2 0 0

Baza initiala pentru algoritmul simplex estea. B = {a 6 ,a 2 ,a 5}

b. B = {a 2 ,a 6 ,a 5}

c. B = {a 2 ,a 5 ,a 6}

d. B = {a 6 ,a 5 ,a 2}

16. Fie problema de programare liniara[max]f = 2x 1 + 2x 2 + 3x 3 + 2x 4 + 5x 5

3x 1 + x 3 + x4 ≤ 4

2x1 + x 2 − x 3 + x 4 = 1

x 1 + 2x 3 + 2x 4 + x5 = 5

Ï

Ì

Ó


x i ≥ 0,i = 1,5

Dupa ce se aduce la forma standard se obtine primul tabel simplex:2 2 3 2 5 0

CB B XB a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6

0 a 6 4 3 0 1 1 0 1

2 a 2 1 2 1 -1 1 0 0

5 a 5 2 1 0 2 2 1 0

Linia lui f j este

a. 12, 9, 2, 8, 12, 5, 0b. 0, 2, 2, 3, 2, 5, 0c. 0, 9, 2, -2, 12, 5, 0d. alt raspuns

user0

Oval

user0

Oval

9


3x 1 + x 3 + x 4 ≤ 4

2x 1 + x 2 − x3 + x 4 = 1

x 1 + 2x 3 + 2x4 + x 5 = 5

Ï

Ì

Ó


x i ≥ 0,i = 1,5

Dupa ce se aduce la forma standard se obtine tabelul simplex:2 -1 3 2 3 0

CB B XB a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6

0 a 6 4 3 0 1 1 0 1

-1 a 2 1 2 1 -1 1 0 0

3 a 5 2 1 0 2 2 1 0

f j 5 1 -1 7 5 3 0

∆ j 1 0 -4 -3 0 0

Pivotul se afla pe coloana luia. a 1

b. a 2

c. a 3

d. a 4


3x 1 + x 3 + x 4 ≤ 4

2x 1 + x 2 − x3 + x 4 = 1

x 1 + 2x 3 + 2x4 + x 5 = 5

Ï

Ì

Ó


x i ≥ 0,i = 1,5

Dupa ce se aduce la forma standard se obtine tabelul simplex:2 -1 3 2 3 0

CB B XB a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6

0 a 6 4 3 0 1 1 0 1

-1 a 2 1 2 1 -1 1 0 0

3 a 5 2 1 0 2 2 1 0

f j 5 1 -1 7 5 3 0

∆ j 1 0 -4 -3 0 0

Ce decizie se ia?

a. s-a obtinut solutia optima x o = 0,1,0,0,2ÊËÁÁ ˆ

¯˜̃

b. problema are optim infinitc. solutia obtinuta nu este optima, a 1 intra in baza, a 5 iese din baza

d. solutia obtinuta nu este optima, a 1 intra in baza, a 2 iese din baza

user0

Oval

user0

Oval

10


3x 1 + x 3 + x 4 ≤ 4

2x 1 + x 2 − x3 + x 4 = 1

x 1 + 2x 3 + 2x4 + x 5 = 2

Ï

Ì

Ó


x i ≥ 0,i = 1,5

Atuncia. problema are optim infinit

b. f max =11

2, x 0 =

1

2,0,0,0,

5

2

Ê

Ë

ÁÁÁÁÁÁÁ

ˆ

¯

˜̃˜̃˜̃˜

c. f max =11

2, x 0 =

1

2,0,1,0,

3

2

Ê

Ë

ÁÁÁÁÁÁÁ

ˆ

¯

˜̃˜̃˜̃˜

d. f max =11

2, x 0 =

1

2,0,0,0,

3

2

Ê

Ë

ÁÁÁÁÁÁÁ

ˆ

¯

˜̃˜̃˜̃˜

20. Se considera problema de transport:B1 B2 B3 Disponibil

N1 2 1 3 20

N2 1 4 2 45

N3 3 5 4 65

Necesar 30 40 60O solutie initiala de baza obtinuta prin metoda coltului N-V estea. x 11 = 20, x 21 = 10, x 22 = 35, x 32 = 5, x 33 = 60, in rest x ij = 0

b. x 11 = 20, x 21 = 30, x 22 = 35, x 32 = 5, x 33 = 20, in rest x ij = 0

c. x 11 = 30, x 21 = 10, x 22 = 15, x 32 = 5, x 33 = 60, in rest x ij = 0

d. x 11 = 20, x 21 = 15, x 22 = 35, x 32 = 10, x 33 = 60, in rest x ij = 0

21. Se considera problema de transport:B1 B2 B3 Disponibil

N1 2 1 3 20

N2 1 4 2 45

N3 3 5 4 65

Necesar 30 40 60O solutie initiala de baza obtinuta prin metoda costului minim pe linie estea. x 12 = 40, x 21 = 30, x 23 = 15, x 32 = 10, x 33 = 45, in rest x ij = 0

b. x 12 = 20, x 21 = 15, x 23 = 15, x 32 = 20, x 33 = 50, in rest x ij = 0

c. x 12 = 20, x 21 = 30, x 23 = 15, x 32 = 20, x 33 = 45, in rest x ij = 0

d. x 12 = 30, x 21 = 20, x 23 = 25, x 32 = 20, x 33 = 45, in rest x ij = 0

user0

Oval

user0

Oval

user0

Oval

11


5x 1 + 2x 2 ≥ 7

3x1 + x 2 ≥ 4

Ï

Ì

Ó


x 1,2 ≥ 0

Duala acesti probleme de programare liniara estea. [max]f = 6x 1 + 8x 2

5x 1 + 2x 2 ≥ 7

3x1 + x 2 ≥ 4

Ï

Ì

Ó


x 1,2 ≥ 0

c. [max]f = 7x 1 + 4x 2

5x 1 + 3x 2 ≤ 6

2x1 + x 2 ≤ 8

Ï

Ì

Ó


x 1,2 ≥ 0

b. [max]f = 7x 1 + 4x 2

5x 1 + 3x 2 ≥ 6

2x1 + x 2 ≥ 8

Ï

Ì

Ó


x 1,2 ≥ 0

d. [max]f = 7x 1 + 4x 2

5x 1 + 3x 2 = 6

2x1 + x 2 = 8

Ï

Ì

Ó


x 1,2 ≥ 0

23. Fie problema de programare liniara[max]f = 3x1 + 5x2 + x 3 + 6x 4

x 1 + x 3 + 2x 4 ≤ 40

2x 1 + x 2 + 3x 3 ≤ 16

x 1 + x 2 + 2x 3 ≤ 48

Ï

Ì

Ó


x i ≥ 0,i = 1,4

Matricea sistemului restictiilor este

a. A =

0

1

1

1

3

2

2

0

0

Ê

Ë

ÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁ

ˆ

¯

˜̃˜̃˜̃˜̃˜̃˜̃˜̃˜

b. A =

1

2

1

1

1

1

2

3

2

Ê

Ë


ˆ

¯

˜̃˜̃˜̃˜̃˜̃˜̃˜̃˜

c. A =

1

2

1

0

1

1

1

3

2

2

0

0

Ê

Ë


ˆ

¯

˜̃˜̃˜̃˜̃˜̃˜̃˜̃˜

d. A =

1

2

1

1

3

1

1

3

2

2

0

1

Ê

Ë


ˆ

¯

˜̃˜̃˜̃˜̃˜̃˜̃˜̃˜

user0

Oval

user0

Oval

12


x 1 + x 3 + 2x 4 ≤ 40

2x 1 + x 2 + 3x 3 ≤ 16

x 1 + x 2 + 2x 3 ≤ 48

Ï

Ì

Ó


x i ≥ 0,i = 1,4

Forma standard a problemei de programare liniara estea. [max]f = 3x1 + 5x2 + x 3 + 6x 4

x 1 + x 3 + 2x 4 = 40

2x 1 + x 2 + 3x 3 = 16

x 1 + x 2 + 2x 3 = 48

Ï

Ì

Ó


x i ≥ 0,i = 1,4

b. [max]f = 3x1 + 5x2 + x 3 + 6x 4

x 1 + x 3 + 2x 4 ≥ 40

2x 1 + x 2 + 3x 3 ≥ 16

x 1 + x 2 + 2x 3 ≥ 48

Ï

Ì

Ó


x i ≥ 0,i = 1,4

c. [max]f = 3x1 + 5x2 + x 3 + 6x 4 +My1 +My 2 +My3

x 1 + x 3 + 2x 4 + y 1 ≤ 40

2x 1 + x 2 + 3x 3 + y 2 ≤ 16

x 1 + x 2 + 2x 3 + y 3 ≤ 48

Ï

Ì

Ó


x i ≥ 0,i = 1,4,y i ≥ 0, i = 1,3

d. [max]f = 3x 1 + 5x 2 + x 3 + 6x 4 + 0y 1 + 0y 2 + 0y 3

x 1 + x3 + 2x4 + y 1 = 40

2x 1 + x 2 + 3x 3 + y 2 = 16

x 1 + x2 + 2x3 + y 3 = 48

Ï

Ì

Ó


x i ≥ 0,i = 1,4,y i ≥ 0,i = 1,3

user0

Oval

13


x 1 + x 3 + 2x 4 ≤ 40

2x 1 + x 2 + 3x 3 ≤ 16

x 1 + x 2 + 2x 3 ≤ 48

Ï

Ì

Ó


x i ≥ 0,i = 1,4

Prima iteratie a algoritmului simplex esteCB B XB a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7

0 a 5 40 1 0 1 2 1 0 0

0 a 6 16 2 1 3 0 0 1 0

0 a 7 48 1 1 2 0 0 0 1

Linia lui ∆ estea. 3, 5, 1, 6, 0, 0, 0 b. -3, -5, -1, -6, 0, 0, 0 c. 3, 5, 1, 6, M, M, M d. 3, 5, 1, 6, -M, -M, -M


x 1 + x 3 + 2x 4 ≤ 40

2x 1 + x 2 + 3x 3 ≤ 16

x 1 + x 2 + 2x 3 ≤ 48

Ï

Ì

Ó


x i ≥ 0,i = 1,4

Prima iteratie a algoritmului simplex este3 5 1 6 0 0 0

CB B XB a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7

0 a 5 40 1 0 1 2 1 0 0

0 a 6 16 2 1 3 0 0 1 0

0 a 7 48 1 1 2 0 0 0 1

f 0 0 0 0 0 0 0 0∆ j 3 5 1 6 0 0 0

Pivotul se afla pea. coloana lui a 3 , linia lui a 5

b. coloana lui a 3 , linia lui a 6

c. coloana lui a 4 , linia lui a 5

d. coloana lui a 4 , linia lui a 6

user0

Oval

user0

Oval

14


x 1 + x 3 + 2x 4 ≤ 40

2x 1 + x 2 + 3x 3 ≤ 16

x 1 + x 2 + 2x 3 ≤ 48

Ï

Ì

Ó


x i ≥ 0,i = 1,4

Prima iteratie a algoritmului simplex este3 5 1 6 0 0 0

CB B XB a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7

0 a 5 40 1 0 1 2 1 0 0

0 a 6 16 2 1 3 0 0 1 0

0 a 7 48 1 1 2 0 0 0 1

f 0 0 0 0 0 0 0 0∆ j 3 5 1 6 0 0 0

Coloana lui a 1 din urmatorul tabel simplex este

a.

1

2

3

1

b.

1

2

2

1

c.

1

2

1


x 1 + x 3 + 2x 4 ≤ 40

2x 1 + x 2 + 3x 3 ≤ 16

x 1 + x 2 + 2x 3 ≤ 48

Ï

Ì

Ó


x i ≥ 0,i = 1,4

A doua iteratie a algoritmului simplex este3 5 1 6 0 0 0

CB B XB a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7

6 a 4 20 1

2

0 1

2

1 1

2

0 0

0 a 6 16 2 1 3 0 0 1 0

0 a 7 48 1 1 2 0 0 0 1

f 120 3 0 3 6 3 0 0∆ j 0 5 -2 0 -3 0 0

Stabiliti care este vectorul care intra si respectiv care iese din bazaa. intra a 1 , iese a 7




user0

Oval

user0

Oval

15


x 1 + x 3 + 2x 4 ≤ 40

2x 1 + x 2 + 3x 3 ≤ 16

x 1 + x 2 + 2x 3 ≤ 48

Ï

Ì

Ó


x i ≥ 0,i = 1,4

Prin aplicarea algoritmului simplex se ajunge la urmatorul tabel simplex3 5 1 6 0 0 0

CB B XB a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7

6 a 4 20 1

2

0 1

2

1 1

2

0 0

5 a 2 16 2 1 3 0 0 1 0

0 a 7 32 -1 0 -1 0 0 -1 1

f 200 13 5 18 6 3 5 0∆ j -10 0 -17 0 -3 -5 0

Ce decizie se ia?a. problema are optim infinit;b. solutia obtinuta nu este ce optima: intra a 3 in baza si iese a 7

c. solutia obtinuta este cea optima si f max = 200, x o = 0,16,0,20ÊËÁÁ ˆ

¯˜̃ , y o = 0,0,32Ê

ËÁÁ ˆ

¯˜̃

d. solutia obtinuta este cea optima si f max = 172, x o = 20,16,32,0ÊËÁÁ ˆ

¯˜̃ , y o = 0,0,0Ê

ËÁÁ ˆ

¯˜̃

30. Fie problema de programare liniara:max f = 10x 1 + 16x 2 .

2x 1 + 5x 2 ≤ 1200

x1 + 1,5x2 ≤ 300

4x1 + x 2 ≤ 600

Ï

Ì

Ó


x 1 ,x 2 ≥ 0

Forma standard a problemei de programare liniara va fia. max f = 10x 1 + 16x 2 +Mu 1 +Mu 2 +Mu 3

2x 1 + 5x 2 + u 1 = 1200

x1 + 1,5x 2 + u 2 = 300

4x1 + x 2 + u 3 = 600

Ï

Ì

Ó


x 1 ,x 2 ≥ 0, u 1 ,u 2 ,u 3 ≥ 0

c. max f = 10x 1 + 16x 2 −Mu 1 −Mu 2 −Mu 3

2x 1 + 5x 2 + u 1 = 1200

x 1 + 5x 2 + u 2 = 300

4x1 + x 2 + u 3 = 600

Ï

Ì

Ó


x 1 ,x 2 ≥ 0, u 1 ,u 2 ,u 3 ≥ 0

b. max f = 10x 1 + 16x 2 + 0u 1 + 0u 2 + 0u 3

2x 1 + 5x 2 + u 1 = 1200

x1 + 1,5x 2 + u 2 = 300

4x1 + x 2 + u 3 = 600

Ï

Ì

Ó


x 1 ,x 2 ≥ 0, u 1 ,u 2 ,u 3 ≥ 0

d. max f = 10x 1 + 16x 2 − 0u 1 − 0u 2 − 0u 3

2x 1 + 5x 2 − u 1 = 1200

x 1 + 5x 2 − u 2 = 300

4x1 + x 2 − u 3 = 600

Ï

Ì

Ó


x 1 ,x 2 ≥ 0, u 1 ,u 2 ,u 3 ≥ 0

user0

Oval

user0

Oval

16

31. Fie problema de programare liniara:max f = 10x 1 + 16x 2

2x 1 + 5x 2 ≤ 1200

x1 + 1,5x2 ≤ 300

4x1 + x 2 ≤ 600

Ï

Ì

Ó


x 1 ,x 2 ≥ 0

Prima iteratie a algoritmului simplex este:10 16 0 0 0

CB B XB a 1 a 2 a 3 a 4 a 5

0 a 3 1200 2 5 1 0 0

0 a 4 300 1 3/2 0 1 0

0 a 5 600 4 1 0 0 1

f j 0 0 0 0 0

∆ j = c j − f j 10 16 0 0 0

Pivotul se va afla pe coloana corespunzatoare lui:a. a 1 d. a 4

b. a 2 e. a 5

c. a 3


2x 1 + 5x 2 ≤ 1200

x1 + 1,5x2 ≤ 300

4x1 + x 2 ≤ 600

Ï

Ì

Ó


x 1 ,x 2 ≥ 0


CB B XB a 1 a 2 a 3 a 4 a 5

0 a 3 1200 2 5 1 0 0

0 a 4 300 1 3/2 0 1 0

0 a 5 600 4 1 0 0 1

f j 0 0 0 0 0

∆ j = c j − f j 10 16 0 0 0

Stabiliti care este vectorul care intra in baza, respectiv care iese din bazaa. intra a 2 , iese a 3 d. intra a 1 , iese a 3

b. intra a 2 , iese a 4 e. intra a 1 , iese a 4


user0

Oval

user0

Oval

17


2x 1 + 5x 2 ≤ 1200

x1 + 1,5x2 ≤ 300

4x1 + x 2 ≤ 600

Ï

Ì

Ó


x 1 ,x 2 ≥ 0


CB B XB a 1 a 2 a 3 a 4 a 5

0 a 3 1200 2 5 1 0 0

0 a 4 300 1 3/2 0 1 0

0 a 5 600 4 1 0 0 1

f j 0 0 0 0 0

∆ j = c j − f j 10 16 0 0 0

Care este solutia optima pentru problema de programare liniara?

a. max f = 3200 x 0 = 0,200ÊËÁÁ ˆ

¯˜̃ ,

y=(200,0,400)

c. nu are solutie

b. max f = 3400 x 0 = 0,400ÊËÁÁ ˆ

¯˜̃ ,

y=(200,0,400)

34. Fie problema de programare liniara:min f = 2x 1 + x 2 + x 3 + 3x 4 + 2x 5

x 1 + x 4 + 2x 5 = 8

x 2 + 2x 4 + x5 = 12

x 3 + x4 + 3x5 = 16

Ï

Ì

Ó


x i ≥ 0, i=1,2,3

Baza initiala pentru algoritmul simplex este

a. B = a 1 ,a 2 ,a 5

ÏÌÓ

ÔÔÔÔ

¸˝˛

ÔÔÔÔ d. B = a 2 ,a 3 ,a 4

ÏÌÓ

ÔÔÔÔ

¸˝˛

ÔÔÔÔ

b. B = a 1 ,a 2 ,a 3

ÏÌÓ

ÔÔÔÔ

¸˝˛

ÔÔÔÔ e. nu are baza initiala

c. B = a 1 ,a 3 ,a 4

ÏÌÓ

ÔÔÔÔ

¸˝˛

ÔÔÔÔ

user0

Oval

user0

Oval

18


x 1 + x 4 + 2x 5 = 8

x 2 + 2x 4 + x5 = 12

x 3 + x4 + 3x5 = 16

Ï

Ì

Ó


x i ≥ 0, i=1,5

2 1 1 3 2CB B XB a 1 a 2 a 3 a 4 a 5

2 a 1 8 1 0 0 1 2

1 a 2 12 0 1 0 2 1

1 a 3 16 0 0 1 1 3

∆ j = c j − f j

Linia corespunzatoare lui ∆ j = c j − f j este

a. 2 1 1 3 2 c. 0 0 0 6 2

b. 2 1 1 5 8 d. 0 0 0 −2 −6


x 1 + x 4 + 2x 5 = 8

x 2 + 2x 4 + x5 = 12

x 3 + x4 + 3x5 = 16

Ï

Ì

Ó


x i ≥ 0, i=1,2,3

Precizati care este solutia optima

a. min f = 12 si x 0 = 0 4 4 8 0ÊËÁÁ

ˆ¯˜̃ c. min f = 16 si x 0 = 4 0 0 8 4Ê

ËÁÁ

ˆ¯˜̃

b. min f = 16 si x 0 = 4 0 4 8 0ÊËÁÁ

ˆ¯˜̃ d. min f = 20 si x 0 = 0 8 4 0 4Ê

ËÁÁ

ˆ¯˜̃

user0

Oval

user0

Oval

19

37. Fie problema de programare liniara:min f =x 1 + 2x 2 + x 5

2x 1 + x 2 + x3 ≥ 1

−x 1 + 3x 2 ≤ 0

2x 1 + 2x 2 + x 3 + x4 + x 5 = 5

Ï

Ì

Ó


x i ≥ 0, ∀( )i = 1,5

Forma standard a problemei este :a. min f = x 1 + 2x 2 + x 5 + y 1 ⋅0− y 2 ⋅0

2x 1 + x 2 + x 3 + y 1 = 1

−x 1 + 3x 2 − y2 = 0

2x 1 + 2x 2 + x 3 + x4 + x 5 = 5

Ï

Ì

Ó


x i ≥ 0, ∀( )i = 1,5 y j ≥ 0, ∀( )j = 1,2

c. min f = x 1 + 2x 2 + x 5 − y 1 ⋅0− y 2 ⋅0

2x 1 + x 2 + x 3 − y 1 = 1

−x 1 + 3x 2 − y2 = 0

2x 1 + 2x 2 + x 3 + x4 + x 5 = 5

Ï

Ì

Ó


x i ≥ 0, ∀( )i = 1,5, y j ≥ 0, ∀( )j = 1,2

b. min f = x 1 + 2x 2 + x 5 + y 1 ⋅0+ y 2 ⋅0

2x 1 + x 2 + x 3 − y 1 = 1

−x 1 + 3x 2 + y2 = 0

2x 1 + 2x 2 + x 3 + x4 + x 5 = 5

Ï

Ì

Ó


x i ≥ 0, ∀( )i = 1,5y j ≥ 0, ∀( )j = 1,2


2x 1 + x 2 + x3 ≥ 1

−x 1 + 3x 2 ≤ 0

2x 1 + 2x 2 + x 3 + x4 + x 5 = 5

Ï

Ì

Ó


x i ≥ 0, ∀( )i = 1,5

Matricea asociata problemei scrisa in forma standard este:

a. A =

2 1 1 0 0 −1 0

−1 3 0 0 0 0 −1

2 2 −1 −1 1 0 0

Ê

Ë


ˆ

¯

˜̃˜̃˜̃˜̃˜̃˜̃˜̃˜

c. A =

2 1 1 0 0 −1 0

−1 3 0 0 0 0 1

2 2 1 −1 −1 0 0

Ê

Ë


ˆ

¯

˜̃˜̃˜̃˜̃˜̃˜̃˜̃˜

b. A =

2 1 1 0 0 −1 0

−1 3 0 0 0 0 1

2 2 1 1 1 0 0

Ê

Ë


ˆ

¯

˜̃˜̃˜̃˜̃˜̃˜̃˜̃˜

d. A =

2 1 1 0 0 1 0

−1 3 0 0 0 0 1

2 2 1 1 1 0 0

Ê

Ë


ˆ

¯

˜̃˜̃˜̃˜̃˜̃˜̃˜̃˜

user0

Oval

user0

Oval

20

39. Fie urmatoarea problema de programare liniara:max f = 3x1 + 4x 2 + x 3

5x 1 − x 2 + 2x 3 + x4 = 7

x 1 + 2x 2 − x 3 − x5 ≥ 4

3x 1 + 2x 2 + 4x 3 ≤ 2

Ï

Ì

Ó


x i ≥ 0

Matricea asociata formei standard este

a. A =

5 −1 2 1 0 0 0

1 2 −1 0 −1 −1 0

3 2 4 0 0 0 1

Ê

Ë


ˆ

¯

˜̃˜̃˜̃˜̃˜̃˜̃˜̃˜

c. A =

5 −1 2 1 0 0 0

1 2 −1 0 −1 1 0

3 2 4 0 0 0 1

Ê

Ë


ˆ

¯

˜̃˜̃˜̃˜̃˜̃˜̃˜̃˜

b. A =

5 −1 2 1 0 0 0

1 2 −1 0 1 −1 0

3 2 4 0 0 0 1

Ê

Ë


ˆ

¯

˜̃˜̃˜̃˜̃˜̃˜̃˜̃˜

d. A =

5 −1 2 1 0 0 0

1 2 −1 0 −1 1 0

3 2 4 0 0 0 1

Ê

Ë


ˆ

¯

˜̃˜̃˜̃˜̃˜̃˜̃˜̃˜


5x 1 − x 2 + 2x 3 + x4 = 7

x 1 + 2x 2 − x 3 − x5 = 4

3x 1 + 2x 2 + 4x 3 = 2

Ï

Ì

Ó


x i ≥ 0

Prima iteratie a algoritmului simplex este:Prima iteratie pentru aceasta problema este:

3 4 1 0 0 -M -MCB B XB a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 u 1 u 2

0 a 4 7 5 -1 2 1 0 0 0

-M u 1 4 1 2 -1 0 -1 1 0

-M u 2 2 3 2 4 0 0 0 1

∆ j = c j − f j

Linia corespunzatoare lui ∆ j = c j − f j este:

a. 3+4M;4+4M;1+3M;0;-M;-M-1 c. -3+4M;-4+4M;-1+3M;0;M;M-1b. 3+4M;4+4M;1+3M;0;-M;0,0 d. -3-4M;-4-4M;1-3M;0;-M;-M+1

user0

Oval

user0

Oval

21


5x 1 − x 2 + 2x 3 + x4 = 7

x 1 + 2x 2 − x 3 − x5 = 4

3x 1 + 2x 2 + 4x 3 = 2

Ï

Ì

Ó


x i ≥ 0

Prima iteratie pentru aceasta problema este:

3 4 1 0 0 -M -M CB B XB a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 u 1 u 2

-M a 4 7 5 -1 2 1 0 0 0

-M u 1 4 1 2 -1 0 -1 1 0

0 u 2 2 3 2 4 0 0 0 1

∆ j = c j − f j

Pentru prima iteratie a algoritmului simplex stabiliti ce vector intra in baza respectiv care iese din bazaa. intra a 1 iese a 4 c. intra a 2 iese a 4

b. intra a 1 iese u 2 d. intra a 2 , iese u 2


2x 1 + x 2 + x 3 ≥ 1

−x 1 + 3x 2 ≤ 0

2x 1 + 2x 2 + x 3 + x4 = 5

Ï

Ì

Ó


x i ≥ 0, ∀( )i = 1,5

Solutia problemei este a. min f =-1/2

x 1 = 0;x 2 = 0;x3 = 1;x 4 = 4;x 5 = 0c. min f =0

x 1 = 1;x 2 = 0;x3 = 0;x 4 = 0;x 5 = 4

b. min f =0x 1 = 0;x 2 = 0;x3 = 1;x 4 = 4;x 5 = 0

d. min f =1/2x 1 = 1;x 2 = 0;x3 = 1;x 4 = 0;x 5 = 4

43. Fie urmatoarea problema de transportB1 B2 B3 B4 Disponibil

D1 70

D2 10

D3 20

Necesar 50 25 15 10

Folosind metoda coltului de NV stabiliti valoarea lui x11 si a lui x33

a. x11=50, x32=5 c. x11=50, x33=10

b. x11=20, x32=10 d. x11=50, x32=20

user0

Oval

user0

Oval

user0

Oval

22


D1 5 6 2 3 70

D2 2 2 1 4 10

D3 6 8 3 4 20

Necesar 50 25 15 10

Folosind metoda costurilor minime(din tablou) stabiliti valoarea lui x14 si a lui x32

a. x14=10, x32=25 c. x14=10,x32=20

b. x14=5,x32=25 d. x14=15,x32=20

user0

Oval

23

45. Sa se scrie forma standard pentru problema de programare liniara:

max f = 4x 1 + 10x 2 +9x 3

x 1 + x 2 + 2x 3 ≤ 18

2 x 1 + x 2 + 4x 3 ≤ 20

x 1 + x 2 + x 3 ≤ 12

x i ≥ 0 ; i = 3,1

a. max f = 4x 1 + 10x 2 +9x 3 +0y1+0y 2 +0y 3

x 1 + x 2 + 2x 3 + y1 = 18

2x 1 + x2+ 4x 3 + y 2 = 20

x 1 + x 2 + x 3 + y 3 = 12

x i ≥ 0 ; i = 3,1

y1 , y 2 , y 3 ≥0

b. max f = 4x 1 + 10x 2 +9x 3

x 1 + x 2 + 2x 3 + y1 = 18

2x 1 + x 2 + 4x 3 - y 2 = 20

x 1 + x 2 + x 3 - y 3 = 12

x i ≥ 0 ; i = 3,1

y1<0; y 2 , y 3 >0

c. min f = 0 x 1 + x 2 + 2x 3 + y1 = 18

2x 1 + x 2 + 4x 3 + y 2 = 20

x 1 + x 2 + x 3 + y 3 = 20

x i ≥ 0 ; i = 3,1

y1 , y 2 , y 3 ≥0

d. alt raspuns

user0

Oval

24


D1 5 6 2 3 70

D2 3 2 1 4 10

D3 6 8 3 4 20

Necesar 50 25 15 10

Folosind metoda costurilor minime pe linie stabiliti valoarea lui x14 si a lui x32

a. x14=10, x32=15 c. x14=10,x32=20

b. x14=5,x32=25 d. x14=15,x32=20


D1 5 6 2 3 70

D2 3 2 1 4 70

D3 6 8 3 4 70

Necesar 50 75 25 60

Folosind metoda diagonalei (coltului N-V) determinati x34

a. 40 c. 80b. 50 d. 60


D1 5 6 2 3 70

D2 3 2 1 4 70

D3 6 8 3 4 70

Necesar 50 75 25 60


a. 40 c. 10b. 50 d. 60


D1 5 6 2 3 70

D2 3 2 1 4 70

D3 6 8 3 4 70

Necesar 50 75 25 60


a. 40 c. 80b. 50 d. 60

user0

Oval

user0

Oval

user0

Oval

user0

Oval

25


D1 5 6 2 3 70

D2 3 2 1 4 70

D3 6 8 3 4 70

Necesar 50 75 25 60


a. 40 c. 55b. 50 d. 60


D1 5 6 2 3 70

D2 3 2 1 4 70

D3 6 8 3 4 70

Necesar 50 75 25 60


a. 40 c. 20b. 50 d. 60


D1 5 6 2 3 70

D2 3 2 1 4 70

D3 6 8 3 4 70

Necesar 50 75 25 60

Folosind metoda diagonalei (coltului N-V) determinati costul de transporta. 665 c. 500b. 765 d. 400

user0

Oval

user0

Oval

user0

Oval

26


2x1 + x2 ≥ 5

x1 + 2x2 ≥ 4

Ï

Ì

Ó


x1 ,x2 ≥ 0

Duala sa estea. [max]g = 5u 1 + 4u 2

2u 1 + u 2 ≤ 7

u 1 + 2u 2 ≤ 8

Ï

Ì

Ó


u 1 ,u 2 ≥ 0

c. [max]g = 7u 1 + 8u 2

2u 1 + u 2 ≤ 5

u 1 + 2u 2 ≤ 4

Ï

Ì

Ó


u 1 ,u 2 ≥ 0

b. [max]g = 5u 1 + 4u 2

2u 1 + u 2 = 7

u 1 + 2u 2 = 8

Ï

Ì

Ó


u 1 ,u 2 ≥ 0

d. [max]g = 5u 1 + 4u 2

2u 1 + u 2 ≥ 7

u 1 + 2u 2 ≤ 8

Ï

Ì

Ó


u 1 ,u 2 ≥ 0


2x 1 + x 2 ≥ 5

x 1 + 2x 2 ≥ 4

Ï

Ì

Ó


x 1 ,x 2 ≥ 0

Forma standard estea. [min]f = 7x 1 + 8x 2 +My 1 +My 2

2x 1 + x 2 − y 1 = 5

x 1 + 2x 2 − y 2 = 4

Ï

Ì

Ó


x 1 ,x 2 ≥ 0,y 1 ,y2 ≥ 0

c. [min]f = 7x 1 + 8x 2 + 0y 1 + 0y 2

2x 1 + x 2 − y 1 = 5

x 1 + 2x 2 − y 2 = 4

Ï

Ì

Ó


x 1 ,x 2 ≥ 0,y 1 ,y2 ≥ 0

b. [min]f = 7x 1 + 8x 2 + 0y 1 + 0y 2

2x 1 + x 2 + y 1 = 5

x 1 + 2x 2 + y 2 = 4

Ï

Ì

Ó


x 1 ,x 2 ≥ 0,y 1 ,y2 ≥ 0

d. [min]f = 7x 1 + 8x 2 + 0y 1 + 0y 2

2x 1 + x 2 − y 1 = 5

x 1 + 2x 2 + y 2 = 4

Ï

Ì

Ó


x 1 ,x 2 ≥ 0,y 1 ,y2 ≥ 0

user0

Oval

user0

Oval

27


2x 1 + x 2 ≥ 5

x 1 + 2x 2 ≥ 4

Ï

Ì

Ó


x 1 ,x 2 ≥ 0

Matricea problemei in forma standard este

a.2

1

1

2

−1

0

0

−1

Ê

Ë

ÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁ

ˆ

¯

˜̃˜̃˜̃˜̃˜̃

c.2

1

1

2

−1

−1

Ê

Ë


ˆ

¯

˜̃˜̃˜̃˜̃˜̃

b.2

1

1

2

1

0

0

1

Ê

Ë


ˆ

¯

˜̃˜̃˜̃˜̃˜̃

d.2

1

−1

−2

−1

0

0

−1

Ê

Ë


ˆ

¯

˜̃˜̃˜̃˜̃˜̃


2x 1 + x 2 ≥ 5

x 1 + 2x 2 ≥ 4

Ï

Ì

Ó


x 1 ,x 2 ≥ 0

Matricea problemei in forma standard pentru simplex, cu baza artificiala este

a.2

1

1

2

−1

0

0

−1

1

0

0

1

Ê

Ë


ˆ

¯

˜̃˜̃˜̃˜̃˜̃

c.−2

1

1

2

−1

0

0

−1

−1

0

0

1

Ê

Ë


ˆ

¯

˜̃˜̃˜̃˜̃˜̃

b.2

1

−1

−2

−1

0

0

−1

1

0

0

1

Ê

Ë


ˆ

¯

˜̃˜̃˜̃˜̃˜̃

d.2

−1

1

−2

1

0

0

−1

1

0

0

1

Ê

Ë


ˆ

¯

˜̃˜̃˜̃˜̃˜̃

57. Într-o problemă de programare liniară dacă prin aplicarea algoritmului simplex după un anumit număr de intrări toate diferenŃele jj zc − , Jj∈ satisfac criteriul de optimalitate,

dar baza mai conŃine variabile artificiale nenule, problema iniŃialăa. nu are soluŃie optimăb. are soluŃie optimăc. are optim infinit

58. Să se determine[ ] 321 34max xxxz +−=

pe mulŃimea soluŃiilor nenegative ale sistemului

≤+−

≤−−

35

464

321

321

xxx

xxx.

a.11

88=optz b.

13

88=optz c.

13

70=optz d.

11

70=optz

user0

Oval

user0

Oval

user0

Oval

user0

Oval

28

59. Să se determine programul optim pentru problema de programare liniară

[ ] 321

321

321

34max

3,2,1,0

35

464

xxxz

ix

xxx

xxx

i

+−=

=≥

≤+−

≤−−

.

a.

13

43

73

19

3

2

1

=

=

=

x

x

x

b.

13

4

03

19

3

2

1

=

=

=

x

x

x

c.

3

19

03

4

3

2

1

=

=

=

x

x

x

d.

3

193

73

4

3

2

1

=

=

=

x

x

x

60. Problema de programare liniară[ ]

=≥

=−+

=+−

+++=

4,3,2,1,0

1

12

1

22max

432

421

4321

ix

xxx

xxx

xxxxz

i

a. are soluŃie optimă 3=optz

b. nu are optim finitc. nu are soluŃied. altă variantă

61. O soluŃie a problemei de programare liniară[ ]

=≥

≤+

≤++

≤++

++=

3,2,1,0

32

123

232

235max

21

321

321

321

ix

xx

xxx

xxx

xxxz

i

este

a.

8

5

08

1

3

2

1

=

=

=

x

x

x

b.

8

4

08

1

3

2

1

=

=

−=

x

x

x

c.

08

38

1

3

2

1

=

=

=

x

x

x

d.

8

48

38

1

3

2

1

=

=

−=

x

x

x

user0

Oval

user0

Oval

user0

Oval

29

62. Duala problemei de programare liniară[ ]

=≥

≤+

≤++

≤++

++=

3,2,1,0

32

123

232

235max

21

321

321

321

ix

xx

xxx

xxx

xxxz

i

este

a.

[ ]

=≥

≤+

≥++

≤++

++=

3,2,1,0

33

122

523

32min

21

321

321

321

iy

yy

yyy

yyy

yyyz

i

b.

[ ]

=≥

≥+

≥++

≥++

++=

3,2,1,0

23

322

523

32max

21

321

321

321

iy

yy

yyy

yyy

yyyz

i

c.

[ ]

=≥

≥+

≤++

≥++

++=

3,2,1,0

23

322

523

32min

21

321

321

321

iy

yy

yyy

yyy

yyyz

i

63. Fie problema de programare liniară

[ ] 54321

521

421

321

232max

51,0

2

1

1

xxxxxz

ix

xxx

xxx

xxx

i

+−+−=

≤≤≥

=++

=+−

=++−

Dacă tabloul simplex pentru prima iterată este2 -1 3 -2 1

Bc BBx 1a 2a 3a 4a 5a

3 3a 1 -1 1 1 0 0

-2 4a 1 1 -1 0 1 0

1 5a 2 1 1 0 0 2

Să se indice vectorul care intră în bază şi vectorul care pleacă din bază.a. intră vectorul 2a în locul vectorului 5a

b. intră vectorul 2a în locul vectorului 4a

c. intră vectorul 1a în locul vectorului 4a

d. intră vectorul 1a în locul vectorului 3a

user0

Oval

user0

Oval

abc

Highlight

30

64. Să se aducă la forma standard următoarea problemă de programare liniară

[ ] 321

321

32

21

43max

3,2,1,0

4232

12

5

xxxz

ix

xxx

xx

xx

i

+−=

=≥

−≥+−

≥−

=−

a.

[ ] 321

5321

432

21

43max

5,4,3,2,1,0

4232

12

5

xxxz

ix

xxxx

xxx

xx

i

+−=

=≥

−=−+−

=+−

=−

b.

[ ] 321

6321

532

421

43max

6,5,4,3,2,1,0

4232

12

5

xxxz

ix

xxxx

xxx

xxx

i

+−=

=≥

=++−

=−−

=+−

c.

[ ] 321

5321

432

21

43max

5,4,3,2,1,0

4232

12

5

xxxz

ix

xxxx

xxx

xx

i

+−=

=≥

=+−+−

=−−

=−

d.

[ ] 321

5321

432

21

43max

5,4,3,2,1,0

4232

12

5

xxxz

ix

xxxx

xxx

xx

i

+−=

=≥

=−−−−

=+−

=−

user0

Oval

31

65. Să se aducă la forma standard programul liniar:

[ ] 1 2max f=6x 10x+

1 2

1 2

1 2

1

2 2

, 0

x x

x x

x x

− ≤− + ≤

≥

a. [ ] 1 2 3 4max f=6x 10 0 0x x x+ + ⋅ + ⋅

1 2 3

1 2 4

1

2 2

0, 1,4i

x x x

x x x

x i

− + =− + + =

≥ =

c. [ ] 1 2max f=6x 10x+

1 2

1 2

1

2 2

0, 1, 2i

x x

x x

x i

− =− + =

≥ =

b. [ ] 1 2 3 4max f=6x 10 0 0x x x+ + ⋅ + ⋅

1 2 3

1 2 4

1

2 2

0, 1,4i

x x x

x x x

x i

− − =− + − =

≥ =

d. [ ] 1 2max f=6x 10x+

1 2

1 2

1

2 2

x x

x x

− + ≥ −

− ≥ −

66. Să se scrie matricea sistemului de restricŃii ataşată programului liniar:

[ ] 1 2min f=3x 2x+

1 2 3

1 2 4

2 10

2 20

0, 1, 4

i

x x x

x x x

x i

+ + =− + + =

≥ =

a. 2 1 1

1 2 1A

= −

c. 2 1 1 10

1 2 1 20A

= −

b. 2 1 1 0

1 2 0 1A

= −

d.2 1 1 110

2 2 0 1 20

A

= −

user0

Oval

user0

Oval

32

67. Să se aducă la forma standard programul liniar :

[ ] 1 2 3max 2 3f x x x= − +

1 2 3

1 2 3

1 2 3

2 8

2 12

3 7

0, 1,3i

x x x

x x x

x x x

x i

+ + ≤ + + ≤ + + ≤ ≥ =

a. [ ] 1 2 3max 2 3f x x x= − +

1 2 3

1 2 3

1 2 3

2 8

2 12

3 7

0, 1,3i

x x x

x x x

x x x

x i

+ + = + + = + + = ≥ =

c. [ ] 1 2 3 4 5 6max 2 3 0 0 0f x x x x x x= − + + ⋅ + ⋅ + ⋅

1 2 3 4

1 2 3 5

1 2 3 6

2 +x 8

2 + x 12

3 + x 7

0, 1,6i

x x x

x x x

x x x

x i

+ + = + + = + + = ≥ =

b. [ ] 1 2 3max 2 3f x x x= − +

1 2 3

1 2 3

1 2 3

2 8

2 12

3 7

0, 1,3i

x x x

x x x

x x x

x i

+ + ≥ + + ≥ + + ≥ ≥ =

d. [ ] 1 2 3 4 5 6max 2 3 0 0 0f x x x x x x= − + + ⋅ + ⋅ + ⋅

1 2 3 4

1 2 3 5

1 2 3 6

2 x 8

2 x 12

3 x 7

0, 1,6i

x x x

x x x

x x x

x i

+ + − = + + − = + + − = ≥ =

68. Fie programul (S) :

1 2 3

1 2 4

2 8

2 10

0 i=1,4 i

x x x

x x x

x

+ − =

+ − =

≥Atunci :

a. Vectorul ( )1 5,1, 1,1X = − este o soluŃie posibilă deoarece verifică ecuaŃiile sistemului

(S);

b. Vectorul ( )2 5,0, 3,0X = − este o soluŃie de bază degenerate;

c. Sistemul (S) nu admite soluŃii de bază nedegenerate;

d. Vectorul ( )1 5,1, 1,1X = − este o soluŃie de bază nedegenerată, iar vectorul

( )2 5,0, 3,0X = − este o soluŃie posibilă.

user0

Oval

user0

Oval

user0

Polygon

33

69. Să se scrie tabloul simplex ataşat problemei de programare liniară la iteraŃia iniŃială :

[ ] 1 2 3 4 5max f=3x 2 2 0x x x x− + + + ⋅

1 2

1 3 4

1 3 5

2 6

2 10

3 8

0 i=1,5 i

x x

x x x

x x x

x

+ =− − + = + + = ≥

a)

BC B B

X 3 -2 1 2 1

1a 2a 3a 4a 5a

-2

2

0

2a

4a

5a

6

10

8

2

-1

3

1

0

0

0

-2

1

0

1

0

0

0

1

jf 8 -6 -2 -4 2 0

j jf c− -9 0 -5 0 -1

b)

BC B B

X 3 -2 1 2 1

1a 2a 3a 4a 5a

-2

2

0

2a

4a

5a

6

10

8

2

-1

3

1

0

0

0

-2

1

0

1

0

0

0

1

jf 8 -6 -2 -4 2 0

j jc f− 9 0 5 0 1

c)

BC B B

X 3 -2 1 2 1

1a 2a 3a 4a 5a

3

-2

1

1a

2a

3a

6

10

8

2

-1

3

1

0

0

0

-2

1

0

1

0

0

0

1

jf -6 11 3 5 -2 1

j jf c− 8 5 4 -4 0

d)

user0

Oval

user0

Line

user0

Line

user0

Line

user0

Line

34

BC B B

X 3 -2 1 2 0

1a 2a 3a 4a 5a

3

1

0

1a

3a

5a

6

10

8

2

-1

3

1

0

0

0

-2

1

0

1

0

0

0

1

jf 28 5 3 -2 1 0

j jf c− 2 5 -3 -1 0

a. ab. bc. cd. d

user0

Oval

35

70. Să se scrie tabloul simplex ataşat programului liniar la iteraŃia iniŃială :

[ ] 1 2 3max 5 4 3f x x x= + +

1 2 3

1 2

2 3

1 2 3

2 2 10

2 8

2 8

, , 0

x x x

x x

x x

x x x

+ + ≤ + ≤

− ≤ ≥

a)

BC B B

X 5 4 3 0 0 0

1a 2a 3a 4a 5a 6a

10

8

8

1a

2a

3a

5

4

3

1

2

0

2

1

2

2

0

-1

1

0

0

0

1

0

0

0

1

jf 116 26 44 12 10 8 8

j jc f− -21 -40 -9 -10 -8 -8

b)

BC B B

X 10 8 8 0 0 0

1a 2a 3a 4a 5a 6a

5

4

3

4a

5a

6a

10

8

8

1

2

0

2

1

2

2

0

-1

1

0

0

0

1

0

0

0

1

jf 116 13 20 7 5 4 3

j jc f− -3 -12 1 -5 -4 -3

c)

BC B B

X 5 4 3 0 0 0

1a 2a 3a 4a 5a 6a

0

0

0

4a

5a

6a

10

8

8

1

2

0

2

1

2

2

0

-1

1

0

0

0

1

0

0

0

1

jf 0 0 0 0 0 0 0

j jc f− 5 4 3 0 0 0

d)

user0

Oval

user0

Line

user0

Line

user0

Line

user0

Line

36

BC B B

X 5 4 3 0 0 0

1a 2a 3a 4a 5a 6a

0

0

0

4a

5a

6a

10

8

8

1

2

0

2

1

2

2

0

-1

1

0

0

0

1

0

0

0

1

jf 0 0 0 0 0 0 0

j jf c− -5 -4 -3 0 0 0

a. ab. bc. cd. d

71. Să se aplice criteriul de optimalitate programului liniar de maxim care are tabloul simplex la iteraŃia k :

BC B

BX 5 4 3 0 0 0

1a 2a 3a 4a 5a 6a

3

5

0

3a

1a

6a

3

4

11

0

1

0

3

41

211

4

1

0

0

1

2

0

1

2

1

4−

1

21

4−

0

0

1

jf 29 5 19

4

3 3

2

7

4

0

j jc f− 0 3

4−

0 3

2−

7

4−

0

a. SoluŃia ( )3,4,11,0,0,0t

X = este optimă, algoritmul ia sfârşit;

b. SoluŃia ( )0,0,3, 4,11,0t

X = nu este optimă, deoarece nu toate diferenŃele sunt pozitive;

c. SoluŃia ( )4,0,3,0,0,11t

X = este optimă , algoritmul ia sfârşit;

d. Problema nu are optim finit, deoarece nu există diferenŃe 0j j fc f∆ = − > .

user0

Oval

user0

Oval

37

72. Să se aplice criteriul de intrare în baza pentru programul liniar de maxim , care are tabloul simplex ataşat :

BC B B

X 3 1 -1 2 0 1

1a 2a 3a 4a 5a 6a

0

1

2

5a

6a

4a

8

13

5

2

-1

3

1

2

-1

1

-2

1

0

0

1

1

0

0

0

1

0

jf 23 5 0 0 2 0 1

j jc f− -2 1 -1 0 0 0

a. Vectorul 2a intră în bază, întrucât corespunde unei valori 2 0f = , iar 2a nu apare în

baza B ;b. Vectorul 3a intra în bază, întrucât corespunde celei mai mare diferenŃe negative

3 3 3c f∆ = − ;

c. În bază intră vectorul 5a , întrucât 5 5 5c f∆ = − este singura diferenŃă nulă

corespunzatoare unui vector aflat în baza B ;d. Vectorul 1a intra în bază întrucât corespunde celei mai mari valori jf .

73. Să se aplice criteriul de ieşire din bază pentru programul liniar căruia îi corespunde tabelul simplex de mai jos :

BC B B

X 6 10 7 0 0 0θ

1a 2a 3a 4a 5a 6a

0

0

0

4a

5a

6a

200

600

800

1

2

0

1

1

2

2

0

-1

1

0

0

0

1

0

0

0

1

200

600

400

jf 0 0 0 0 0 0 0

j jc f− 6 10∗ 7 0 0 0

a. Iese din baza vectorul 4a , întrucât îi corespunde cel mai mic raport θ =200;

b. Iese din baza vectorul 5a , întrucât îi corespunde cel mai mare raport θ =600;

c. Iese din baza vectorul 6a , întrucât, valoarea 5 800x = este cea mai mare valoare din

vectorul BX ;

d. Toate afirmaŃiile de mai sus sunt false.

user0

Oval

user0

Oval

38

74. Să se scrie prima iteraŃie din tabloul simplex ataşat problemei de programare liniară extinsă :

[ ] 1 2 3 4max 20 10 30 20f x x x x= + + +

specificând şi o soluŃie iniŃială de bază BX .

a) ( )1000,800,500,0,0,0,0t

BX =

BC B B

X 20 10 30↓ 20 0 0 0 θ

1a 2a 3a 4a 5a 6a 7a

0

0

0

1a

2a

3a

1000

800

500

1

0

1

2

1

0

1

1

1

1

1

0

1

0

0

0

1

0

0

0

1

1000

800

500

jf 0 0 0 0 0 0 0

j jc f− 20 10 30∗ 20 0 0 0

b) ( )0,0,0,0,1000,800,500t

BX =

BC B B

X 20 10 30 20 0 0 0 θ1a 2a 3a 4a 5a 6a 7a

0

0

0

5a

6a

7a

1000

800

500

1

0

1

2

1

0

1

1

1

1

1

0

1

0

0

0

1

0

0

0

1

1000

800

500

jf 0 0 0 0 0 0 0

j jc f− 20 10 30∗ 20 0 0 0

c) ( )0,0,0,0,1000,800,500t

BX =

BC B B

X 20 10 30 20 0 0 0 θ1a 2a 3a 4a 5a 6a 7a

0

0

0

5a

6a

7a

1000

800

500

1

0

1

2

1

0

1

1

1

1

1

0

1

0

0

0

1

0

0

0

1

1000

800

500

jf 0 0 0 0 0 0 0

j jf c− -20 -10 -30 -20 0 0 0

d) Altă variantă.

a. ab. bc. cd. d

user0

Oval

user0

Oval

user0

Line

user0

Line

user0

Line

user0

Line

39

75. Să se scrie a doua iteraŃie a tabloului simplex de mai jos ataşat unei probleme de programare liniară (pentru maxim) :

BC B B

X 2 1 -3 0 0 0θ

1a 2a 3a 4a 5a 6a

0

0

0

4a

5a

6a

6

10

7

1

2

1

1

1

1

2

3

1

1

0

0

0

1

0

0

0

1

6

110

27

1

jf 0 0 0 0 0 0 0

j jc f− 2∗ 1 -3 0 0 0

a)

BC B B

X 2 1 -3 0 0 0θ

1a 2a 3a 4a 5a 6a

0

2

0

4a

1a

6a

1

5

2

0

1

0

1

21

21

2

1

2

3

21

2−

1

0

0

1

2−

1

21

2−

0

0

1

jf 10 2 1 3 0 1 0

j jc f− 0 0 -6 0 -1 0

b)

BC B B

X 2 1 -3 0 0 0θ

1a 2a 3a 4a 5a 6a

0

2

0

4a

1a

6a

2

5

4

0

1

0

11

21

13

2-1

2

0

0

-11

2-1

0

0

2

jf 10 5 1 3 0 1 0

j jc f− -3 0 -6 0 -1 0

c)altă variantă;

d)

user0

Oval

user0

Line

user0

Line

user0

Line

user0

Line

abc

Highlight

40

BC B B

X 2 1 -3 0 0 0θ

1a 2a 3a 4a 5a 6a

0

1

0

4a

2a

6a

1

5

2

0

1

0

1

21

21

2

1

2

3

21

2−

1

0

0

1

2−

1

21

2−

0

0

1

jf 5 1 1

2

3

2

0 1

2

0

j jc f− 1 1

2

9

2−

0 1

2−

0

a. ab. bc. cd. d

76. Să se continue algoritmul simplex pentru programul liniar cu maxim f obiectiv al cărui tabel la

iteraŃia k , este dat mai jos :

[ ] 1 2 3max 4 2f x x x= + −

BC B B

X 4 1 -2 0 0 0θ

1a 2a 3a 4a 5a 6a

0

4

0

4a

1a

6a

8

10

7

0

1

0

3

21

21

2

3

2−

3

21

2−

1

0

0

1

2−

1

21

2−

0

0

1

jf 40 4 2 6 0 2 0

j jc f− 0 -1 -8 0 -2 0

a. Intră în bază vectorul 2a şi iese 4a ;

b. problema nu admite un optim finit;

c. ( )40 10,0,0t

optf pentru X= = .SoluŃia este degenerată;

d. ( )40 10,0,0t

optf pentru X= = .SoluŃia este nedegenerată.

user0

Oval

user0

Oval

41

77. Să se scrie dualul programului liniar :

[ ] 1 2min 8 10f x x= +

1 2

1 2

1 2

2 3

3 4 7

0, 0

x x

x x

x x

+ ≥

+ ≥ ≥ ≥

a. [ ] 1 2max 8 10g y y= +

1 2

1 2

1 2

2 3 3

4 7

0, 0

y y

y y

y y

+ ≤

+ ≤ ≥ ≥

b. [ ] 1 2max 3 7g y y= +

1 2

1 2

1 2

2 3 8

4 10

0 , 0

y y

y y

y y

+ ≤

+ ≤ ≥ ≥

c. Altă variantă ;

d. [ ] 1 2max g=3y 7y+

1 2

1 2

1 2

2 8

3 4 7

0 , 0

y y

y y

y y

+ ≤

+ ≤ ≥ ≥

user0

Oval

42

78. Se dă tabloul simplex ataşat dual unui program liniar de maxim la iteraŃia k are următorul tabel :

BC B B

Y 6 8 0 0

1a 2a 3a 4a

8

6

2a

1a

3

42

3

0

1

1

0

1

2

3

2−

5

2

jg 10 6 8 20 3

j jc g− 0 0 -20 -3

Să se completeze tabloul simplex la iteraŃia următoare şi să se scrie soluŃiile problemelor primară şi duală.

a)

BC B B

Y 6 8 0 0

1a 2a 3a 4a

0

6

3a

1a

3

45

6

0

-1

1

2

1

0

3

2−

11

2−

jg 5 -6 12 0 -33

j jc g− 12 -4 0 33

( )3 5, X= 0, 33

4 6

tt

Y =

a. a

b. Algoritmul ia sfârşit. SoluŃia optimă a dualei este 10optg = pentru 3 2,

4 3

t

Y =

iar,

soluŃia optimă a primalei este 10optf = pentru ( ) X= 3,20 ;

c. Algoritmul ia sfârşit. Problema duală nu are un optim finit, întrucât, toŃi j j jc g∆ = −

sunt negative sau zero;d. Algoritmul ia sfârşit. SoluŃia optimă a dualei este 10optg = pentru

2 3,

3 4

t

Y =

,iar,soluŃia optimă a primalei este 10optf = pentru ( ) X= 20, 3t.

user0

Oval

43

79. Să se scrie forma standard a dualului problemei de programare liniară:

[ ] 1 2 3 4max 20 10 30 20f x x x x= + + +

1 2 3 4

2 3 4

1 3

2 1000

800

500

x x x x

x x x

x x

+ + + ≤

+ + ≤ + ≤

( )0 1,4ix i≥ =

a. [ ] 1 2 3min 1000 800 500g y y y= + +

1 3

1 2

1 2 3

1 2

20

2 10

30

20

y y

y y

y y y

y y

+ ≥ + ≤

+ + ≥ + ≥

( )0 1,3iy i≥ =

b. [ ] ( )1 2 3 5 6 7min 1000 800 500 0g y y y y y y= + + + + +

1 3 4

1 2 5

1 2 3 6

1 2 7

20

2 y 10

30

20

y y y

y y

y y y y

y y y

+ + = + + =

+ + + = + + =

( )0 1,7iy i≥ =

c. [ ] ( ) ( )1 2 3 4 5 6 1 2 3 4min 1000 800 500 0g y y y y y y M u u u u= + + + + + + + + +

1 3 4 1

1 2 5 2

1 2 3 6 3

1 2 7 4

20

2 y Mu 10

30

20

y y y Mu

y y

y y y y Mu

y y y Mu

+ − + = + − + =

+ + − + = + − + =

( )( )

0 1,7

0 1, 4

i

j

y i

u j

≥ =

≥ =

d. altă variantă

user0

Oval

user0

Polygon

44

80. Se consideră dualul unui program liniar de maxim şi tabloul simplex ataşat la iteraŃia k .Atunci:

BC B B

X 5 4 2 0 0

1a 2a 3a 4a 5a

5

2

1a

3a

1

19

1

0

3

1011

15

0

1

1

5

1

5−

1

10−

3

5

jf43 5

59

10 23

5

7

10

j jc f−0

19

10− 0

3

5−

7

10−

a. Algoritmul continuă până când toŃi 0j j jc f∆ = − ≥ 1,5j∀ =

b. Algoritmul se opreşte. SoluŃia optimă a primalei este:

( )1,19,0,0,0tX = , max 43f =

c. Algoritmul se opreşte. SoluŃia optimă a dualei este:

3 7 19, ,0, , 0

5 10 5tY

= − − −

min 43g =

d. Algoritmul se opreşte. SoluŃia optimă a primalei este:

( )1,0,19,0,0tX = max 43f =

81. Să se rezolve problema de programare liniară

[ ] 1 2max 50 25f x x= +

1 2

1 2

1 2

3

2 5

, 0

x x

x x

x x

+ ≤

+ ≤ ≥

a. 1 2 max50, 0, 2500 x x f= = =

b. 1 2 max30, x 50, 2750x f= = =

c. 1 2 max10, 20, 1000x x f= = =d. alt răspuns

user0

Oval

user0

Oval

45

82. Să se scrie şi să se rezolve duala problemei de programare liniară

[ ] 1 2min 6 10f x x= +

1 2

1 2

2 1

2 3

x x

x x

+ ≥

+ ≥

a. [ ] 1 2max 3g y y= +

1 2

1 2

1 2

2 6

2 10

, 0

y y

y y

y y

+ ≤

+ ≤ ≥

1 3y = 2 0y = max 18g =

c. [ ] 1 2max 3g y y= +

1 2

1 2

2 6

2 10

y y

y y

+ ≤

+ ≤ 1 0y = 2 3y = max 9g =

b. [ ] 1 2max 6 10g y y= +

1 2

1 2

2 1

2 3

y y

y y

+ ≤

+ ≤ 1 3y = 2 2y = max 38g =

d. [ ] 1 2max 3g y y= +

1 2

1 2

2 6

2 10

y y

y y

+ ≤

+ ≤ 1 5y = 2 0y = max 5g =

83. Fie problema de transport

1B 2B 3B

1A2 1 3

7

2A5 3 1

8

3A2 4 3

5

6 7 7Utilizând metoda diagonalei o soluŃie estea. 611 =x ; 112 =x ; 222 =x ; 623 =x ; 532 =x

b. 611 =x ; 121 =x ; 222 =x ; 732 =x

c. 611 =x ; 112 =x ; 622 =x ; 223 =x ; 533 =x

d. 611 =x ; 112 =x ; 422 =x ; 223 =x ; 733 =x


1B 2B 3B

1A2 1 3

7

2A5 3 1

8

3A2 4 3

5

6 7 7Utilizând metoda costurilor minime o soluŃie estea. 712 =x ; 121 =x ; 722 =x ; 531 =x

b. 611 =x ; 112 =x ; 723 =x ; 531 =x

c. 712 =x ; 122 =x ; 523 =x ; 731 =x

d. 712 =x ; 121 =x ; 732 =x ; 533 =x

user0

Oval

user0

Oval

user0

Oval

46


1B 2B 3B 4B

1A1 2 2 3

70

2A2 2 1 4

10

3A3 2 2 1

20

50 25 15 10Urilizând metoda diagonalei o soluŃie de bază estea. 120=f b. 125=f c. 145=f d. 135=f


1B 2B 3B 4B

1A1 2 2 3

70

2A2 2 1 4

10

3A3 2 2 1

20

50 25 15 10Urilizând metoda diagonalei o soluŃie de bază estea. 110=f b. 125=f c. 130=f d. 135=f

87. Fie problema de transport cu o tabelă iniŃială

1B 2B 3B 4B

1A1

502

202 3

70

2A2 2 1

54

510

3A3 2 2

101

1020

50 25 15 10Să se justifice că 135=f nu este soluŃie optimă.

a. toŃi 0≥δ ijb. toŃi 0<δ ijc. o singură valoare 0<δ ij

user0

Oval

user0

Oval

user0

Oval

47

88. Pentru soluŃia problema de transport

1B 2B 3B 4B

1A1

502

202 3

70

2A2 2 1

54

510

3A3 2 2

101

1020

50 25 15 10dacă 032 <δ o soluŃie îmbunătăŃită este

a. 110=f b. 130=f c. 125=f d. 115=f


1B 2B 3B

1A2 3 1

10

2A4 1 2

20

3A3 2 5

30

15 30 15Utilizând metoda diagonalei o soluŃie de bază estea. 150=f b. 160=f c. 165=f d. 155=f


1B 2B 3B

1A2 3 1

10

2A4 1 2

20

3A3 2 5

30

15 30 15Utilizând metoda costurilor minime o soluŃie de bază estea. 115=f b. 110=f c. 120=f d. 140=f

91. Pentru soluŃia problema de transport

1B 2B 3B

1A2 3 1

1010

2A4 1

202

20

3A3

152

105

530

15 30 15dacă 023 <δ , o soluŃie îmbunătăŃită este

a. 110=f b. 115=f c. 90=f d. 95=f

user0

Oval

user0

Oval

user0

Oval

user0

Oval

48

92. Fie problema de transport cu o tabelă iniŃială

1B 2B 3B

1A2 3 1

1010

2A4 1

202

20

3A3

152

105

530

15 30 15Să se justifice că 110=f este soluŃie optimă.

a. toŃi 0≤δ ijb. un 0<δ ij şi restul pozitivi

c. toŃi 0>δ ij

93. Fie problema de transport. O soluŃie iniŃială a problemei este:

Centre de consum Depozite

1B 2B 3B 4B Disponibil

1A 10 0 20 11 15

2A 12 7 9 20 25

3A 0 14 16 18 5

Necesar 5 15 15 10 a b

Atunci:

a. Problema este echilibrată 35a = , 45b =b. Problema este neechilibrată 45a = , 45b =c. Problema este echilibrată , 45a b= =d. Altă variantă

user0

Oval

user0

Oval

49


1B 2B 3B Disponibil

1A 10 1 15 30

2A 12 5 7 40

Necesar 20 15 40

Notăm: m-numărul centrelor de consum n-numărul depozitelor

1

m

i

i

a a=

=∑ , 1

n

j

j

b b=

=∑

Atunci:

a. 3m = , 2n = , 70a = , 75b =b. 2m = , 3n = , 75a = , 70b =c. 2m = , 3n = , 70a = , 75b =d. altă variantă

95. Aplicând metoda costului minim din tabel să se determine o soluŃie iniŃială de bază pentru programul de transport având tabloul alăturat.

1B 2B Disponibil

1A 10

11x 25

12x 15

2A 6

21x 15

22x 25

Necesar 20 20

a. 11 12 21 220 , x 15 ,x 20 , x 5 , f 570x = = = = =

b. 11 12 21 2215 , x 0 , x 5 , x 20 , f 480x = = = = =

c. 11 12 21 220 , x 20 , x 15 , x 5 , f 465x = = = = =d. altă variantă

user0

Oval

user0

Oval

50

96. Folosind metoda costului minim să se determine o soluŃie iniŃială de bază a problemei de transport:

1B 2B 3B Disponibil

1A 10

11x 0

12x 20

13x 15

2A 12

21x 7

22x 9

23x 25

3A 14

32x 16

33x 18

34x 5

Necesar 5

15 10

a.

11 12 13

21 22 23

31 32 33

15 x 0 x 0

0 x 15 x 10

0 x 0 x 5

x

x

x

= = =

= = = = = =

0 435f =

c. altă variantă

b.

11 12 13

21 22 23

31 32 33

0 x 15 x 0

0 x 15 x 10

5 x 0 x 5

x

x

x

= = =

= = = = = =

0 355f =

d.

11 12 13

21 22 23

31 32 33

0 x 15 x 0

0 x 0 x 15

5 x 0 x 0

x

x

x

= = =

= = = = = = 0 405f =

97. Să se scrie soluŃia de bază 0f pentru problema de transport după aplicarea metodei costului

minim din tabel:

1510

025

120

2015

135

40 3

17 0

1830

510

a. 0f =238

b. 0 410f =

c. 0 800f =

d. 0 1225f =

user0

Oval

user0

Oval

51

98. Folosind metoda costului minim pe linie să se determine o soluŃie iniŃială de bază a problemei de transport a cărui tablou este:

1B 2B 3B Disponibil

1A 15

11x 35

12x

0

13x

50

2A 15

21x

0

22x

15

23x 30

Necesar 30 35 15

a.11 12 13

21 22 23

0 x 15 x 35

30 x 20 x 0

x

x

= = =

= = = 0 1095f =

b.11 12 13

21 22 23

0 x 35 x 15

15 x 0 x 15

x

x

= = =

= = = 0 1675f =

c. altă variantă

d.11 12 13

21 22 23

30 x 0 x 20

0 x 35 x 0

x

x

= = =

= = = 0 450f =

99. Folosind metoda costului minin pe linie să se scrie o soluŃie iniŃială de bază pentru problema de transport:

1B 2B 3B Disponibil

1A 50

11x 10 12x

40

13x

100

2A 30

21x

20

22x

50

23x 100

3A 0

31x

40

32x

10

33x 50

Necesar 80

70 100

a. Problema de transport nu admite o soluŃie iniŃială de bază b. Altă variantă

c. :X

11 12 13

21 22 23

31 32 33

30 x 0 x 0

30 x 10 x 50

0 x 30 x 0

x

x

x

= = =

= = = = = =

d. :X11 12 13

21 22 23

31 32 33

0 x 30 x 0

10 x 30 x 50

30 x 0 x 0

x

x

x

= = =

= = = = = =

user0

Oval

user0

Oval

52

100. Aplicând metoda colŃului N-V să se determine o soluŃie iniŃială de bază a problemei de transport : a. Toate variantele sunt false

b. :X

11 12 13

21 22 23

31 32 33

20 x 20 x 0

50 x 30 x 20

10 x 40 x 80

x

x

x

= = =

= = = = = =

0 5900f =

c. :X

11 12 13

21 22 23

31 32 33

80 x 20 x 0

0 x 50 x 50

0 x 0 x 50

x

x

x

= = =

= = = = = =

0 8200f =

d. :X11 12 13

21 22 23

31 32 33

0 x 80 x 20

0 x 50 x 50

80 x 0 x 20

x

x

x

= = =

= = = = = =

0 5300f =

101. După aplicarea metodei costurilor minime, o problemă de transport are tabloul de mai jos şi soluŃia iniŃială de bază corespunzătoare 0f

1B 2B 3B

1A 70

130

3 0

2A 910

230

450

3A 330

80

12 0

Verificarea optimalităŃii presupune evaluarea unor cicluri i j i j i jc xδ = − asociate celulelor libere

şi ale căror moduri corespund componentelor bazice. Să se precizeze câte cicluri i jδ se pot

determina şi să se evalueze 11δ a. 3 cicluri ; 11δ =2

b. 4 cicluri : 11δ =-2

c. 4 cicluri ; 11δ =2

d. 4 cicluri ; 11δ = -1

102. Fie trei soluŃii iniŃiale de baza 1 2 30 0 0, ,x x x corespunzătoare funcŃiilor de eficienŃă

10 1200f = , 2

0 800f = , 30 1000f =

Care dintre aceste soluŃii consideraŃi că trebuie aleasă drept soluŃie iniŃială de bază?

a. 20x ,deoarece 2

0f are cea mai mică valoare

b. 10x ,deoarece 1

0f are cea mai mare valoare

c. 30x ,deoarece 3

0f este o valoare medie

d. Toate variantele sunt corecte

user0

Oval

user0

Oval

user0

Oval

1

tehnici de optimizare

logice

TRUE/FALSE

1. Fie problema de programare liniara:

max f = 10x 1 + 16x 2

2x 1 + 5x 2 ≤ 1200

x1 + 1,5x2 ≤ 300

4x1 + x 2 ≤ 600

Ï

Ì

Ó


x 1 ,x 2 ≥ 0

Prima iteratie a algoritmului simplex este:

10 16 0 0 0

CB B XB a 1 a 2 a 3 a 4 a 5

0 a 3 1200 2 5 1 0 0

0 a 4 300 1 3/2 0 1 0

0 a 5 600 4 1 0 0 1

f j 0 0 0 0 0

∆ j = c j − f j 10 16 0 0 0

Solutia gasita este cea optima.

2. Trei depozite D1 ,D2 ,D3 aprovizioneaza cu produse de larg consum 4 magazine B1 ,B2 ,B3 ,B4

astfel:

B1 B2 B3 B4 Disponibil

D1 3 2 1 2 30

D2 4 3 3 2 20

D3 2 1 4 5 40

Necesar 10 15 15 40

Problema este echilibrata.

3. Forma standard a problemei de programare liniara

[min]f = 3x1 + 5x2

x 1 − 2x 2 ≤ 3

2x 1 + 5x 2 ≥ 9

Ï

Ì

Ó


x 1 ,x 2 ≥ 0

este

[max]f = 3x 1 + 5x 2

x 1 − 2x 2 ≤ 3

2x 1 + 5x 2 ≥ 9

Ï

Ì

Ó


x 1 ,x 2 ≥ 0

user0

Line

user0

Line

user0

Line

user0

Line

user0

Line

user0

Line

user0

Line

user0

Line

user0

Line

2


[min]f = 3x1 + 5x2

x 1 − 2x 2 ≤ 3

2x 1 + 5x 2 ≥ 9

Ï

Ì

Ó


x 1 ,x 2 ≥ 0

este

[min]f = 3x1 + 5x2

x 1 − 2x 2 = 3

2x 1 + 5x 2 = 9

Ï

Ì

Ó


x 1 ,x 2 ≥ 0


[max]f = 5x 1 + 4x 2

x 1 + 2x 2 ≤ 3

3x 1 − 4x 2 ≥ 9

Ï

Ì

Ó


x 1 ,x 2 ≥ 0

este

[max]f = 5x 1 + 4x 2 −My1 −My 2

x 1 + 2x 2 + y 1 = 3

3x 1 − 4x 2 − y 2 = 9

Ï

Ì

Ó


x 1 ,x 2 ≥ 0,y 1 ,y 2 ≥ 0


[max]f = 5x 1 + 4x 2

x 1 + 2x 2 ≤ 3

3x 1 − 4x 2 ≥ 9

Ï

Ì

Ó


x 1 ,x 2 ≥ 0

este

[max]f = 5x1 + 4x 2 + 0y 1 + 0y 2

x 1 + 2x 2 + y1 = 3

3x 1 − 4x 2 − y2 = 9

Ï

Ì

Ó


x 1 ,x 2 ≥ 0,y 1 ,y2 ≥ 0

user0

Line

user0

Line

user0

Line

user0

Line

user0

Line

user0

Line

user0

Line

user0

Line

user0

Line

user0

Line

3

7. Se considera urmatoarea problema de transport:


N1 4 6 5 2 35

N2 3 2 7 8 30

N3 2 10 5 6 50

Necesar 20 25 45 25

Problema de transport este echilibrata.



N1 4 6 5 2 35

N2 3 2 7 8 30

N3 2 10 5 6 50

Necesar 20 25 45 25

O solutie initiala de baza determinata folosind metoda coltului de N-V este x 11 = 20, x 12 = 15,

x 22 = 10, x 23 = 20, x 33 = 25, x 34 = 25, x 13 = x 14 = x 21 = x 24 = x 31 = x 32 = 0.



N1 4 6 5 2 35

N2 3 2 7 8 30

N3 2 10 5 6 50

Necesar 20 25 45 25

O solutie initiala de baza determinata folosind metoda costului minim pe linie este x 11 = 10,

x 14 = 25, x 21 = 5, x 22 = 25, x 31 = 5, x 33 = 45, x 12 = x 13 = x 23 = x 24 = x 32 = x 34 = 0.


( )

( )( )

( )32

1

minmax

0

cxz

X

bAx

=

≥

=

cu ( )nmMA ,∈ , nmA <=rang , ( )tnxxx ,...,1= .

Vectorul ( )tnxxx ,...,1= care satisface condiŃiile (1) şi (2) se numeşte soluŃie posibilă.


( )

( )( )

( )32

1

minmax

0

cxz

X

bAx

=

≥

=


O soluŃie posibilă ( )tnxxx ,...,1= se numeşte soluŃie de bază dacă coloanele rii aa ,...,

1 din

matricea A corespunzătoare coordonatelor nenule rii xx ,...,

1 ale vectorului x sunt liniar

dependente.

user0

Line

user0

Line

user0

Line

user0

Line

user0

Line

user0

Line

user0

Line

user0

Line

user0

Line

user0

Line

user0

Line

user0

Line

user0

Line

user0

Line

user0

Line

user0

Line

user0

Line

user0

Line

user0

Line

user0

Line

4


( )

( )( )

( )32

1

minmax

0

cxz

X

bAx

=

≥

=

cu ( )nmMA ,∈ , nmA <=rang , ( )tnxxx ,...,1= şi x o soluŃie de bază. Dacă x are şi

coordonate nenule ea este o soluŃie degenerată.


( )

( )( )

( )32

1

minmax

0

cxz

X

bAx

=

≥

=


O soluŃie posibilă care satisface (3) se numeşte soluŃie optimă.

14. 1. Următoarea problemă de transport este echilibrată

1B 2B 3B

1A1 2 4

5

2A3 1 2

15

3A5 6 1

10

6 4 10

15. Următoarea problemă de transport este echilibrată

1B 2B 3B 4B

1A1 3 1 2

15

2A2 4 1 3

25

3A3 2 4 2

20

30 25 15 20

16. Următoarea problemă de transport nu este echilibrată

1B 2B 3B

1A1 2 3

10

2A2 1 4

25

3A3 1 2

35

20 35 15

user0

Line

user0

Line

user0

Line

user0

Line

user0

Line

user0

Line

user0

Line

user0

Line

user0

Line

user0

Line

user0

Line

user0

Line

user0

Line

user0

Line

user0

Line

user0

Line

5

17. Fie o problemă de transport. Pentru determinarea soluŃiei de bază prin metoda costurilor

minime în primul pas se determină componenta khx pentru care ijkh cc min= şi se ia

( )hkkh bax ,max= , unde maa ,...,1 sunt cantităŃile disponibile iar nbb ,...,1 cererile

corespunzătoare.

18. Fie o problemă de transport unde maa ,...,1 sunt cantităŃile disponibile, nbb ,...,1 cererile şi

ijc costurile. Utilizând metoda diagonalei se alege în primul pas componenta bazică

( )1111 ,min bax = modificând concomitent valorile lui 1a şi 1b .

19. Problema de transport

1B 2B 3B 4B

1A1

50

2

20

2 370

2A2 2 1

5

4

510

3A3 2 2

10

1

1020

50 25 15 10

are soluŃie multiplă

user0

Line

user0

Line

user0

Line

user0

Line

user0

Line

user0

Line

user0

Line

user0

Line

user0

Line

user0

Line

user0

Line

Documents

cercetari operationale grila