Centro Pre Universitario

Lic. Fis. Mario Armando Machado Diez

Curso : Física General

Capitulo II: Magnitudes Físicas y Algebra de Vectores

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¿Cuánto vale una camisa? ¿Qué grosor tiene un cristal? ¿Cuál es la altura de un niño? ¿Qué capacidad tiene una jarra?

Todas estas preguntas tienen por respuesta un número y una unidad de medida.

Magnitudes escalares y Magnitudes escalares y vectorialesvectoriales

Sin embargo, si hablamos del viento no basta con una cantidad que exprese su intensidad, necesitamos su dirección y su sentido.

Estamos ante dos tipos de magnitudes:• Las magnitudes escalares, para cuya determinación se

necesita un número que exprese su medida.• Las magnitudes vectoriales, como la velocidad de un

móvil, el viento, la fuerza, la gravedad,…, que necesitan determinar su intensidad, dirección y sentido.

VECTOR

• Un vector es un segmento de recta orientado que se utiliza para representar a

las magnitudes vectoriales.

Magnitudes Vectoriales

Posición Desplazamiento Fuerza

Campo Magnético

… etc

SIMBOLOGÍA

Vector que entra (-) Vector que sale (+)

VectorVector

Notación A

Módulo A > 0

A

x

y

Dirección o Línea de Acción

Notación de un vector: se denota utilizando cualquier letra en mayúscula del alfabeto, con una pequeña flecha en la parte superior de la letra: Vector “A”

ELEMENTOS DE UN VECTOR

Módulo : Geométricamente es el tamaño vector. Indica el valor de la magnitud vectorial. A = A

Punto de aplicación (origen): Es el punto donde se inicia el vector

Dirección: Es la línea de acción de un vector; su orientación respecto del sistema de coordenadas (es el ángulo que forma el vector con la horizontal)

Sentido: Se indica mediante una punta de flecha situada en el extremo del vector, indicando hacia qué lado de la línea de acción se dirige el vector.

ELEMENTOS DE UN VECTOR

Tipos de Tipos de VectoresVectores

COLINEALES.- Si se encuentran sobre la misma línea de acción.

CONCURRENTES.- Si sus líneas de acción concurren en un mismo punto.

A

C

B

Punto deConcurrencia

A B C

PARALELOS.- Cuando las líneas de acción son paralelas.

A

B C

A -A

VECTORES OPUESTOS.- Son iguales en tamaño (Módulo) pero sentidos opuestos.

Los vectores opuestos son paralelos:

A y -A son vectores opuestos, por lo tanto, son paralelos

VECTORES IGUALES.- Si tienen su módulo, dirección y sentido iguales

α β

A B

Si A y B son iguales se cumple/ A/ = /B/α = βSentido de A = Sentido de B

Por ejemplo, si se tienen los siguientes vectores, se puede determinar que:

- Los vectores A y D poseen igual módulo, dirección y sentido, por lo tanto son vectores idénticos o guales

- Los vectores A y E poseen igual módulo y dirección, pero diferente sentido.

-Los vectores B y C poseen igual módulo, pero diferente dirección y sentido

-Los vectores A y F poseen igual dirección y sentido, pero diferente módulo

SUMA DE VECTORES O VECTOR RESULTANTE

Consiste en reemplazar a un conjunto de vectores por un único vector llamado RESULTANTE

MÉTODOS PARA HALLAR EL VECTOR RESULTANTE

SUMA DE VECTORES COLINEALES Y/O PARALELOS

Cuando la línea de acción de los vectores es la misma o paralelas, se efectúa algebraicamente teniendo en cuenta los sentidos.

Ejemplo: Determinar la resultante de los siguientes vectores:

El signo negativo indica que el vector está dirigido hacia la izquierda.

AB R=A+B

AB

R=A-B

SUMA PARA VECTORES CONCURRENTES

Este método se usa cuando dos vectores forman un ángulo diferente de cero entre sí.Se construye el paralelogramo fijando los vectores que se van a sumar en un mismo punto, luego se trazan paralelas por los extremos de cada vector.La RESULTANTE de los dos vectores queda determinada en valor, dirección y sentido por la diagonal que une el origen con el vértice opuesto.

Método delMétodo del

ParalelogramoParalelogramo

AI

BI

A

B

Método del Paralelogramo• Este método es válido sólo para dos vectores coplanares y

concurrentes, para hallar la resultante se une a los vectores por el origen (deslizándolos) para luego formar un paralelogramo, el vector resultante se encontrará en una de las diagonales, y su punto de aplicación coincidirá con el origen común de los dos vectores.

Método delMétodo del

ParalelogramoParalelogramoSi los vectores forman un ángulo agudo

2AB.cosθ2

B2

AR

A

B

R

Método delMétodo del

ParalelogramoParalelogramoSi los vectores son perpendiculares

22 BAR

B

A

R

Método delMétodo del

PolígonoPolígono

BA

R

BA C

C

Los vectores se trazan uno a continuación de otro con sus direcciones, sentidos y magnitudes; luego se une el origen del primero con el extremo del último, éste es el Vector Resultante.

Algebra vectorial: Resta vectorial • Considere dos vectores A y B como se muestra.

• El vector suma se puede determinar mediante la regla del paralelogramo o del triángulo .

• La magnitud del vector diferencia D es

• La dirección mediante la ley de cosenos

2 22 22 cos( ) 2 cos( )D A B A B A B A B

( )

AD B

sen sen sen

Leyes del algebra vectorial 1. Conmutatividad.

2. Asociatividad

Multiplicación de un escalar por un vector

Consideremos la multiplicación de un escalar c por un vector . El producto es un nuevo vector . La magnitud del vector producto es c veces la magnitud del vector . Si c > 0 el vector producto tiene la misma dirección y sentido de A. Por el contrario si c < 0 el vector producto es de sentido opuesto a

cA

Propiedades de la Multiplicación de un escalar por un vector

1. Les asociativa para la multiplicación.

Si b y c son dos escalares la multiplicación se escribe

2. Ley distributiva para la adición vectorial.

si c es un escalar, cuando este se multiplica por la suma de dos vectores se tiene

Propiedades de la Multiplicación de un escalar por un vector

3. Ley distributiva para la suma escalar.

Si b y c son la suma de dos escalares por el vector A se tiene

Suma de varios vectores

Para sumar varios vectores se utiliza la ley del poligono. Esto la aplicación sucesiva de la ley del paralelogramo o del triángulo. Es decir:

VECTOR UNITARIO

• Es un vector colineal con el vector original• Tiene un módulo igual a la unidad • Se define como el vector dado entre su modulo

correspondiente es decir

ˆAA

eA

ˆAA A e

VECTOR UNITARIOS RECTANGULARES • A cada uno de los ejes coordenado se le asigna

vectores unitarios

• Cada uno de estos vectores unitario a tiene módulos iguales a la unidad y direcciones perpendiculares entre sí.

ˆˆ ˆ, ,i j k

ˆˆ ˆi j k

DESCOMPOSICIÓN VECTORIAL Cualquier vector puede descomponerse en infinitas componentes. El único requisito es que La suma de esta componentes nos de le vector original. La descomposición pude ser en un plan o en el espacio.

1. EN DOS DIRECIONES PERPENDICULARES EN EL PLANO

DESCOMPOSICIÓN VECTORIAL 1. EN DOS DIRECIONES PERPENDICULARES EN EL

PLANO

ˆ ˆ

ˆ ˆcos

ˆ ˆ(cos )

ˆ

ˆ ˆˆ (cos )

x y

x y

A

A

A A A

A A i A j

A A i Asen j

A A i sen j

A Ae

e i sen j

2 2x yA A A

y

x

A

Atg

DESCOMPOSICIÓN VECTORIAL 2. EN DOS DIRECIONES NO PERPENDICULARES EN

EL PLANO.

Para ello trace rectas paralelas y a las originales que pasen por el extremo del vector original formándose un paralelogramo cuyos lados son las componentes

a a b bA A A

DESCOMPOSICIÓN VECTORIAL 3.En el espacio. Cualquier vector puede

descomponerse en tres componentes

DESCOMPOSICIÓN VECTORIAL 3.En el espacio.

ˆˆ ˆ

ˆˆ ˆcos cos cos

ˆˆ ˆ(cos cos cos )

ˆ

ˆˆ ˆˆ (cos cos cos )

x y z

x y z

A

A

A A A A

A A i A j A k

A A i A j A k

A A i j k

A Ae

e i j k

22 2 2x y zA A A A

cos xAA

cos yA

A

cos AzA

VECTOR POSICIÓN

ˆˆ ˆr OP xi yj zk ��������������

VECTOR POSICIÓN RELATIVO

1 2 1 2 1 2ˆˆ ˆ( ) ( ) ( )r x x i y y j z z k

PRODUCTO ESCALAREl producto escalar o producto punto de dos vectores A y B denotado por y expresado A multiplicado escalarmente B, se define como el producto de las magnitudes de los vectores A y B por el coseno del ángulo que forman ellos.

Propiedades del producto escalar1. El producto escalar es conmutativo

2. El producto escalar es distributivo

3. Producto de un escalar por el producto escalar

4. Producto escalar entre la suma de dos vectores por un tercer vector

Propiedades del producto escalar4. Producto escalar de dos vectores unitarios iguales

5. Producto escalar de dos vectores unitarios diferentes.

6. Producto escalar de dos vectores

Propiedades del producto escalar7. Producto escalar de dos vectores en forma de

componentes . Entonces tenemos

8. Si el producto escalar de dos vectores es nulo. Entonces dichos vectores son perpendiculares

. 0A B A B

INTERPRETACIÓN DEL PRODUCTO ESCALAR

Geométricamente esta situación se muestra en la figura

VECTOR PROYECCIÓN ORTOGONAL

PRODUCTO VECTORIALEl producto escalar o producto cruz de dos vectores A y B, es un tercer vector C el cual es perpendicular al plano formado por los dos vectores y cuya magnitud es igual al producto de sus magnitudes multiplicado por el seno del ángulo entre ellos y cuyo sentido se determina mediante la regla de la mano derecha. La notación del producto cruz es

REGLA DE LA MANO DERECHA•Primera forma: Tome la mano derecha y oriente el dedo índice con el primer vector y el dedo corazón el segundo vector, el dedo pulgar extendido nos da el vector producto de ambos.

•Segunda forma: curve los dedos de la mano derecha tendiendo a hacer girar al primer vector hacia el segundo; el dedo pulgar extendido nos da el vector producto.

PROPIEDADES DEL PRODUCTO VECTORIAL1. El producto vectorial no es conmutativo

2. El producto vectorial es distributivo

3. Multiplicación de un escalar por el producto vectorial.

4. Multiplicación vectorial de vectores unitarios

2) Producto Cruz entre versoresEl sentido antihorario es positivo.Luego:

… etcEJEMPLO:

En general, AxB se calcula con un determinante:

PROPIEDADES DEL PRODUCTO VECTORIAL5. El producto vectorial de dos vectores en componentes es

6. La magnitud del producto vectorial es igual al área del paralelogramo que tiene a los vectores A y B

7. Si el producto vectorial es nulo entonces los dos vectores son paralelos.

ˆˆ ˆ ˆˆ ˆ ( ) ( ) ( )

x y z y z z y x z z x x y y z

x y z

i j k

AxB A A A i A B A B j A B A B k A B A B

B B B

( ) ( )Area AxB A Bsen A h

Ejemplo 01• La figura muestra un cubo en donde se han

trazado distintos desplazamientos de un abeja cuando cambia de la posici1,2,3 y 1.¿Cuanto vale cada uno de los desplazamientos?. ¿Cual es el desplazamiento total?.

Ejemplo 02En la figura se muestra dos fuerzas actuando sobre un cuerpo puntual. Si los módulos de ellas son 200 N y 100 N, respectivamente. ¿Cuál es la magnitud y la dirección de la fuerza resultante?.

Ejemplo 03• Un avión viaja en la dirección Este con una

velocidad de 480 km/h y entra a una región donde el viento sopla en la dirección 30° Norte del este con una velocidad de 160 km/h. Determine la magnitud y dirección de la nave

SOLUCION

Ejemplo 04La figura muestra un triángulo cuyos lados son

Demuestre el teorema de los cosenos

SOLUCION

Ejemplo 05 Sabiendo que el módulo de los vectores D y G son 10

y unidades respectivamente. Determine el vector unitario del vector

20 2

W A B C D E F G

Ejemplo 06En la figura mostrada, determine el vector x, en función de los vectores A y B. Si PQRS es un cuadrado y PORQ es un cuadrante de círculo

Ejemplo 07Descomponga el vector fuerza de 400 kN representado en la figura en dos componentes, una según la dirección AB y la otra perpendicular a ella

Ejemplo 08La resultante de la tres fuerzas mostradas en la figura es vertical. Determine: (a) la magnitud de la fuerza A y (b) la resultante del sistema

Ejemplo 09Determine la resultante del sistema de vectores fuerza mostrados en la figura

Ejemplo 10

Halle el vector unitario perpendicular al plano formado por los vectores

Usando (a) el producto escalar y (b) el producto vectorial.

ˆ ˆ ˆ ˆ2 6 3 4 3A i j k B i j k

Ejemplo 11Halle la ecuación del plano perpendicular al vector y que pasa por el extremo del vector

ˆ ˆ2 3 A i j k

ˆ ˆ5 3B i j k