Catedra Metodos Numericos Unsch 04

CATEDRA 044

Facultad de Ingeniera de Minas, Geologa y CivilFacultad de Ingeniera de Minas, Geologa y Civil

Departamento acadmico de ingeniera de minas y civil

METODOS NUMERICOS

SolucindeEcuacionesNoLinealesSolucindeEcuacionesNoLineales

Ingeniera CivilING.CRISTIANCASTROP.

Capitulo IVCapitulo IV

E a i Al b ai aEcuaciones Algebraicas No LinealesNo Lineales

ING.CRISTIANCASTROP.

MTODOS NUMRICOSMTODOS NUMRICOS

Ecuaciones Algebraicas

Lineales No lineales

IntervalF l

MetodosNumericos

Halving(o bisection)

Succesive

FalsePosition(o regula falsi)

Secant

Ridder

MullerSubstitution(o fixed-point)

NewtonRaphson

Wegstein

Secant Muller

Raphson

Broyden

MetodosAnaliticos

Brent

Dogleg stepHook step

Homotopy

Para problemas multidimensionales

SUMILLA:SUMILLA:ECUACIONES ALGEBRAICAS NO LINEALES - Consideraciones generales - Solucin de ecuaciones no lineales - Separacin de races - Mtodos para ecuaciones con una sola variable:

Mtodo de bsqueda incremental - Mtodo de bsqueda incremental, - Iteracin de punto fijo, - Mtodo de biseccin, - Mtodo del Regula-Falsi, - Mtodo de Newton-Raphson,

Mtodo de la secante - Mtodo de la secante, - Criterios de convergencia - Condicionamiento - Races de polinomios - Deflacin

Al it- Algoritmos.

Capitulo IVCapitulo IV

Mt d a a a iMtodo para ecuaciones de una variablede una variable

ING.CRISTIANCASTROP.

Mt d N iMtodos Numricos para Ecuaciones con una sola Variable

MTODOS PARA ECUACIONES CON UNA SOLA VARIABLE L t d d it t i t i t d l l i dLos mtodos descritos en esta seccin estn orientados a la solucin de ecuaciones que contienen una sola variable. Se supondr que la ecuacin por resolver est escrita en la forma: ( ) 0xf ( ) 0=xf La raz de la ecuacin es un valor de x que satisface la ecuacin; por lo tanto, los mtodos para resolver la ecuacin se denominan mtodos paraencontrar racesencontrar races. CONTENIDO Antecedentes Mtodo para ecuaciones con una sola variable Mtodos de bsqueda incremental Mtodo de iteracin de punto fijo Mtodo de biseccin Mtodo de Newton-Raphson Mtodo de secante Mtodo de Muller

AntecedentesAntecedentes

La finalidad principal de las matemticas aplicadas es determinar los valores de x que cumplan con f(x) = 0. A estos valores se denomina races o ceros de la ecuacinraces o ceros de la ecuacin

Para polinomios de 1er. a 3er. orden existen frmulas que permiten lograr el objetivo antes dicho, sin embargo para grados superiores la situacin se complicasituacin se complica

Para la resolucin de las expresiones no lineales (ENL) no es posible resolverlas salvo por aproximaciones sucesivas.

Se presentarn a continuacin procedimientos para encontrar races Se presentarn a continuacin procedimientos para encontrar races, algunos vlidos para cualquier ecuacin y otros slo para polinomios

Una de las razones para mostrar alternativas es poder responder a la pregunta principal del anlisis numrico: cul de los procedimientospregunta principal del anlisis numrico: cul de los procedimientos disponibles puede alcanzar un nivel de deseado de exactitud lo ms rpido posible, mayor certeza y con menos problemas para empezar

Sistemas algebraicos no lineales por computadora son de especial Sistemas algebraicos no lineales por computadora son de especial ayuda par obtener races de ecuaciones por simple inspeccin

Ecuaciones algebraicas no lineales

Objetivo

Ecuaciones algebraicas no lineales

ObjetivoSea f(x) una funcin no lineal en x. Hallar el valor de x, x*, tal que se cumple f(x*)=0.x* se suele denominar el cero o raz de f(x)

x* se puede determinar por medios analticos (solucin t ) di i ( l i i d )exacta) o por medios numricos (solucin aproximada)

La eleccin del mtodo numrico depende del problema a l ( d l bl i d iresolver (estructura del problema, tipo de ecuaciones,

precisin requerida, rpidez del clculo,....).

Por tanto no existe un mejor mtodo universalmente aplicablePor tanto no existe un mejor mtodo universalmente aplicable.

Tipos de mtodos

Mtodos acotados (bracketing methods) Mtodos abiertos (open methods)

p

E i l b i li lEcuaciones algebraicas no lineales

Mtodos acotados vs. Mtodos abiertos

Mtodos acotados

La raz est situada en un intervalo (necesita dospuntos). Acaba convergiendo dentro de unatolerancia.

Mtodos abiertos

Slo emplean un punto inicial (o dos puntos que notienen por qu contener a la raz) y una frmula paraencontrar la raz. No siempre convergen, perocuando lo hacen son mucho ms rpidos que losmtodos acotadosmtodos acotados.


Mtodos abiertosEmplean una aproximacin funcional para obtener el nuevo valor estimado de la raz (lnea recta, cuadrtica, polinomio)

Mtodos:

Punto-fijo (sustitucin sucesiva o directa)

Newton-Raphson (lnea recta empleando informacin del gradiente)

Secante (lnea recta empleando dos puntos)

Muller (aprox. cuadrtica empleando tres puntos)


Comparacin entre ambos mtodos.

Convergence Rate

Similaridades:Ambos mtodos necesitan DOS valores iniciales

10

Requieren un procedimiento para determinar el cambio de signo.

Acaban convergiendo a la raz con cierta tolerancia

lativ

e E

rrors

Bisection method

1Acaban convergiendo a la raz con cierta tolerancia

Diferencias:El clculo del nuevo punto estimado se hace con

Rel

False-position method

El clculo del nuevo punto estimado se hace con diferentes estrategias

En general el mtodo de la posicin falsa converge id l d l bi i

Number of iterationsms rpido que el de la biseccin.

Mtodo de la Bsqueda Mtodo de la Bsqueda

Mt d N i

qqIncrementalIncremental

Mtodos Numricos Aplicados a la Ingeniera

Mtodo de Bsqueda Incremental


MTODO DE BSQUEDA INCREMENTAL Este mtodo es el anlogo numrico de la determinacin de una raz de una ecuacin al graficar f(x) contra x con el propsito de observar el punto en que f(x) cruza el eje x.

ALGORITMO: Mtodo de Bsqueda Incremental 1) Un contador i se iguala a cero, se elige un valor inicial x0, se elige un

incremento h y se calcula un valor de referencia f0 igula a f(x0). incremento h y se calcula un valor de referencia f0 igula a f(x0). 2) i se incrementa en 1, xi se iguala a (x0+ih) y se calcula f(xi).

3) Si ( )[ ]{ } 00 >ixff , se regresa al paso 2; en caso contrario, se contina con el paso 4.

4) Se calcula la raz x a partir de ( )[ ] ( ) ( )[ ]hxfxfxfhxx iiii =

Mtodo de Bsqueda IncrementalMtodo de Bsqueda Incremental

Ejercicio de Aplicacin Desviacin de una viga en voladizo Una viga voladiza horizontal se somete a una carga vertical uniforme. La viga se extiende desde su extremo fijo (x=0) hasta su extremo libre (x=L). La desviacin mxima max se produce en (X=L). La desviacin en el punto (x=L) est relacionada con max mediante: ( ) 0/364 max234 =+= f

Aplicar el mtodo de bsqueda incremental para resolver la ecuacin para el valor de al que max es igual a 0.75.

Solucin: A partir del problema fsico, se espera que para entre 0 y 1 exista una solucin y que est ms proxima a 1 que a 0 Por consiguiente se elige unsolucin y que est ms proxima a 1 que a 0. Por consiguiente, se elige un valor inicial 0 igual a 1 y se usa un incremeno negativo h = -0.05. Bsqueda con 10 = , 75.00 =f y 05.0=h



i i ( )if ( )iff 0 1 0.95 0.550006 >0

2 0 90 0 350100 >02 0.90 0.350100 >0

3 0.85 0.150506 >0

4 0.80 -0.048400 >0

Interpolacin:

81217.0)150506.00484.0/()0484.0)(05.0(8.0

Mtodo de Aproximaciones Mtodo de Aproximaciones

Mt d N iSucesivasSucesivas


Mtodo de Aproximaciones SucesivasMtodo de Aproximaciones Sucesivas

MTODO DE ITERACIN DE PUNTO FIJO Tambin denominado mtodo de aproximaciones sucesivas, requiere volver a escribir la ecuacin f(x) = 0 en la forma x = g(x)volver a escribir la ecuacin f(x) = 0 en la forma x = g(x).El procedimiento empieza con una estimacin o conjetura inicial de x, que es mejorada por iteracin hasta alcanzar la convergencia. Para que ocurra convergencia la derivada (dg/dx) debe ser menor que 1 en magnitud Laconvergencia, la derivada (dg/dx) debe ser menor que 1 en magnitud. La convergencia ser establecida mediante el requisito de que el cambio en x de una iteracin a la siguiente no sea mayor en magnitud que alguna pequea cantidad .a dadALGORITMO: Mtodo de Iteracin de Punto Fijo 1) Se conjetura un valor inicial x y se elige un parmetro de convergencia 1) Se conjetura un valor inicial x0 y se elige un parmetro de convergencia . 2) Se calcula un valor mejorado mejoradox a partir de ( )0xgxmejorado = 3) Si > 0xxmejorado , x0 se iguala a mejoradox y se vuelve al paso 2; en

caso contrario, mejoradox es la raz aproximada. mejorado


Un punto fijo de una funcin g(x) es un nmero p tal que g(x) = p.

Dado un problema f(x) = 0 se puede definir una funcin g(x) conDado un problema f(x) = 0, se puede definir una funcin g(x) con un punto fijo en p de diferentes maneras.

Por ejemplo g(x) = x f(x).Por ejemplo g(x) x f(x).

TeoremaSi g C[a, b] y g(x) C[a, b] para toda x C[a, b], entonces g tiene un punto fijo en [a, b].

Si adems g(x) existe en (a, b) y una constante positiva k


Grfica del algoritmo de punto fijo

y = xy

y = x y = g(x)

y y = x

p3= g(p2)

( )

p2= g(p1)p3= g(p2)

y = g(x)

p1= g(p0)

p2= g(p1)

y = g(x)p1= g(p0)

3 2

xp0p3 p2p1 xp0 p2p1


Casos de no convergencia

y = xy y = x

y = g(x)

y y = x

y = g(x)

y = g(x)

x x


Ejercicio de Aplicacin Ejercicio de Aplicacin Desviacin de una viga en voladizo Una viga voladiza horizontal se somete a una carga vertical uniforme. La viga se extiende desde su extremo fijo (x=0) hasta su extremo libre (x=L) Lase extiende desde su extremo fijo (x=0) hasta su extremo libre (x=L). La desviacin mxima max se produce en (X=L). La desviacin en el punto (x=L) est relacionada con max mediante: ( ) 0/364 234 f ( ) 0/364 max234 =+= f

Aplicar el mtodo de aproximaciones sucesivas para resolver la ecuacin para el valor de al que max es igual a 0.75. Empezar con 75.00 = y usar el q max g p 0 ycriterio 50 10

xxmejorado para indicar la convergencia. Solucin:

La ecuacin se reescribe como ( ) ( ) 6/4/3 43max +== g Luego, ( )0 gmejorado = g , ( )0gmejoradoLa sucesin de valores mejorado se tabula para nmeros de iteraciones denotadas por i.


i 0 mejorado i 0 mejorado 1 0.750000 0.776863 9 0.811333 0.811682

2 0.776863 0.791745 10 0.811682 0.811889

3 0.791745 0.800240 11 0.811889 0.812011

4 0.800240 0.805166 12 0.812011 0.812084

5 0 805166 0 808048 13 0 812084 0 8121275 0.805166 0.808048 13 0.812084 0.812127

6 0.808048 0.809743 14 0.812127 0.812152

7 0.809743 0.810742 15 0.812152 0.8121670 809 3 0 8 0 5 0 8 5 0 8 6

8 0.810742 0.811333 16 0.812168 0.812176

El ltimo valor calculado de mejorado es la raz estimada: 812176.0

Mtodo de Punto FijoMtodo de Punto Fijo

Mt d N i

Mtodo de Punto FijoMtodo de Punto Fijo


Ecuaciones algebraicas no linealesg

S tit i i Problema f(x)=0y

y= x

Sustitucin sucesiva f( )1. Transformar a x=g(x)

2. Seleccionar un punto inicial x0y= x p 03. Calcular nuevo valor xi+1=g(xi)

4. Repetir hasta llegar a la tolerancia requerida

Raiz

y= g(x) y

y= x

xxx x 02 1 x01y= g(x)

Si:

|g(x)|=1 El algoritmo divergexx xx x 0 23 1

MTODO DEL PUNTO FIJOMTODO DEL PUNTO FIJO

Considera la descomposicin de la funcin f(x) en una difere Considera la descomposicin de la funcin f(x) en una diferencia de dos funciones: una primera g(x) y la segunda, siempre la funcin x.p

La raz de la funcin f(x) se da cuando f(x) = 0, es decir, cuando g(x) x = 0, por lo que g(x) = x.

El punto de interseccin de las dos funciones, da entonces el valor exacto de la raz.

El mtodo consiste en considerar un valor inicial x0, comoaproximacin a la raz, evaluar el valor de esta funcin g(x0) id d i i d l ), considerando ste como una aproximacin de la raz.

El proceso se repite n veces hasta que g(x) coincide prctictamente con x.

Mtodo de BiseccinMtodo de BiseccinMt d N i

Mtodo de BiseccinMtodo de BiseccinMtodos Numricos

Aplicados a la Ingeniera

Mtodo de Biseccin

Mtodos acotadosMtodos acotadosBase: Una funcin cambia de signo en la proximidad de una raz

Una raz est acotada en el intervalo [a b] si el signo de f(a) es diferenteUna raz est acotada en el intervalo [a,b] si el signo de f(a) es diferente al signo de f(b)

Bisection MethodMtodo de la biseccin (o intervalo medio)

f(x)

Bisection Method

f(b)

Algoritmo

Mtodo de la biseccin (o intervalo medio)

a bMid-point

f(b)

[nuevo punto]

1. Selecciona un intervalo [a,b] donde halla un cero

2 Calcula el punto medio como nuevo puntoa b x

Next estimate of Bisection

[a,b]

2. Calcula el punto medio como nuevo punto

3. Comprueba si hay cambio de signo en [a,p] o en [p,b]. Comprobacin: f(a)*f(p).

l dNext estimate of Bisection

f(a)

4. Si el producto es cero, entonces p es una raz. Si no es cero volver al punto 2.

Mtodo de Biseccin

MTODO DE BISECCIN

Mtodo de Biseccin

MTODO DE BISECCIN El mtodo de biseccin tambin se denomina mtodo de biparticin delintervalo porque la estrategia es bisectar o separar a la mitad el intervalo de

l t l ii t l t i t d lxa y xb y luego retener el semiintervalo cuyos extremos siguen acotando la raz. Este se clasifica como un mtodo de acotamiento. Es aplicable a ecuaciones de la forma f(x) 0 cuando es posible encontrar dos valores limitantes x y xla forma f(x) = 0 cuando es posible encontrar dos valores limitantes xa y xbtales que la funcin f(x) cambia de signo una vez para valores x en el intervalo( )ba xxx . Por consiguiente, los valores limitantes acotan la raz. El requisito de que la funcin cambie de signo slo una vez constituye una manera de detrminar cul semiintervalo retener. Este mtodo se basa en encontrar una raz de (x)=0 empezando con dos

valores que encierran o ponen entre corchetes a la raz Nos damos cuenta que una funcin est entre corchetes cuando cambia q

de signo en sus puntos extremos. La funcin tiene que ser continua Se concibe como un mtodo de bsqueda binaria en donde se va buscando

la raz en subintervalos de intervalos

Mtodo de BiseccinMtodo de Biseccin

(x) (xm)0

raz

(xm)1 raz

x

(xa)0 (xa)1,2

(xb)0,1 (xb)2

Despus de la biseccin (1)

Intervalo original (0)

Despus de la biseccin (1)

Mt d d Bi i

S t t d t l d

Mtodo de Biseccin

Se trata de encontrar los ceros de

f(x) = 0

Donde f es una funcin continua en [a b] con f(a) y f(b) con signosDonde f es una funcin continua en [a,b] con f(a) y f(b) con signos diferentes.

y

f(a)De acuerdo con el teorema del alo medio e iste p [a b] taly = f(x)

f( )valor medio, existe p [a,b] tal que f(p) = 0.

El mtodo consiste en dividir a la

xbmitad el intervalo y localizar la mitad que contiene a p.

El procesos se repite hasta laa f(b)

El procesos se repite hasta la lograr la precisin deseada.

Mtodo de BiseccinMtodo de Biseccin

y Mitad del intervalo que

Primera iteracin del algoritmo

y

f(a)

Mitad del intervalo que contiene a p

y = f(x)f(p )

xbf(p1)

a f(b)p

p1=(a+b)/2

MTODO DE BISECCINf(x)

Consiste en considerar un intervalo (xi,( i,xs) en el que se garantice que la funcintiene ratiene raz.

xx

MTODO DE BISECCINf(x) Consiste en considerar un intervalo (xi, xs)

l ti l f i ti

f(xi)

en el que se garantice que la funcin tieneraz.

f(xi) El segmento se bisecta, tomando el punto

de biseccin xr como aproximacin de lar praz buscada.

xi xs xf(x )f(xs)

MTODO DE BISECCINMTODO DE BISECCINf(x) Consiste en considerar un intervalo (xi, xs)

en el que se garantice que la funcin tiene

f(xi)


El segmento se bisecta, tomando el punto( i) El segmento se bisecta, tomando el puntode biseccin xr como aproximacin de laraz buscada.

Se identifica luego en cul de los dosintervalos est la raz.

f(x )xi xsxr x

f(xs)

f(xr)

f(xs)


f(xi) rxx =i ri

f(xr)xi xsxr x

f(xs)

( r)

MTODO DE BISECCINMTODO DE BISECCIN

C i t id i t l ( ) l ti Consiste en considerar un intervalo (xi, xs) en el que se garantice que la funcin tiene raz.

El segmento se bisecta, tomando el punto de biseccin xr comi i d l b do aproximacin de la raz buscada.

Se identifica luego en cul de los dos intervalos est la raz.

El proceso se repite n veces, hasta que el punto de biseccii id i l l d l n xr coincide prcticamente con el valor exacto de la raz.


f(xi)

f(xr)xi xsxr x

f(xs)

( r)

ALGORITMO: Mtodo de BiseccinMtodo de Biseccin 1) Se eligen los valores limitantes ax y bx (con )ab xx > ( )xff = ( )xff =2) Se calcula ( )aa xff = o ( )bb xff = 3) Se calcula el punto medio del intervalo ( ) 2/bam xxx += y se calcula( )mm xff = ( )mm xff 4) Se usa (i) o (ii), dependiendo de si fa o fb est disponible a partir del

paso (2); i) Si ( ) 0>ff , recolocar x en x ; i) Si ( ) 0>ma ff , recolocar ax en mx ;

En caso contrario, recolocar bx en mx ii) Si ( ) 0>mb ff , recolocar bx en mx ;

En caso contrario, recolocar ax en mx 5) Si ( )ab xx es suficientemente pequeo; es decir, menor o igual que

alguna pequea cantidad prescrita continuar con el paso (6); en casoalguna pequea cantidad prescrita , continuar con el paso (6); en casocontrario, volver al paso (3).

6) Usar interpolacion lineal para estimar la raz x a partir de una de las dosexpresiones:

( ) ( ) ( ) ( )[ ]abaaba xfxfxfxxxx = O bien ( ) ( ) ( ) ( )[ ]bbbb xfxfxfxxxx = ( ) ( ) ( ) ( )[ ]abbabb xfxfxfxxxx =

Ejercicio de Aplicacin j pDeterminacin del Nmero de Mach Crtico El Nmero de Mach se refiere al cociente de la velocidad de un avin entre la velocidad del sonido. Los aviones subsnicos experimentan flujo de aire acelerado sobre la superficie de las alas. El Nmero de Mach crtico es el Nmero de Mach de vuelo al que el flujo en algn punto del ala alcanza la velocidad del sonido. El coeficiente de presin mnimo C sobre una superficie aerodinmica seEl coeficiente de presin mnimo Cp sobre una superficie aerodinmica se define de modo que sea negativo y corresponda a la mxima velocidad del flujo sobre la superficie aerodinmica. Al nmero de Mach crtico M, la expresin para Cp es:

( )[ ]{ }{ }25.32 7.014.24.02 MMC p += P fi i di i d f t b li iPara una superficie aerodinmica se pueden efectuar pruebas preliminares a bajas velocidades, cuando los efectos de la compresibilidad son insignificantes. Se supondr que el coeficiente de presin mnimo Cpi se obtiene para flujo incompresible y se relacionar con Cp mediante la relacin de Karman-Tsien: p

( ) [ ]{ } 1222 112/1 ++= MCMMCC pipip Para determinar M, la expresin para Cp se sustituye en la relacin de p p p yKarman-Tsien y con la ecuacin resultante se evala M. La ecuacin a resolver es:

( ) ( )[ ]{ } { } ( ) [ ]{ } 0112/17.014.24.02 122225.32 =+++= MCMMCMMMf pipi( ) ( )[ ]{ } { } ( ) [ ]{ }f pipi

Mt d d Bi i

Aplicando el mtodo de biseccin resolver la ecuacin cuando Cpi = -0 383

Mtodo de Biseccin

Aplicando el mtodo de biseccin, resolver la ecuacin cuando Cpi = 0.383. Usar los valores lmite (Ma=0.18) y (Mb=0.98), y detener las bisecciones cuando (Mb-Ma) se vuelve menor o igual que 0.01

Biseccin aM bM mM i ( )mMf 1 0.18000 0.98000 0.58000 2.44757

2 0.58000 0.98000 0.78000 -0.15476

3 0.58000 0.78000 0.68000 0.79287

4 0 68000 0 78000 0 73000 0 123134 0.68000 0.78000 0.73000 0.12313

5 0.73000 0.78000 0.75500 -0.19607

6 0.73000 0.75500 0.74250 -0.03705

7 0.73000 0.74250 0.73625 0.04284

Despus de la biseccin 736250M y 742500M ; as ( ) 010MaMbDespus de la biseccin, 73625.0=aM y 74250.0=bM ; as ( ) 01.0 MaMb Interpolando se produce la solucin estimada:

73960.0M , en donde ( ) 5103062.4 = xMf, ( )f

Mtodo de la Falsa PosicinMtodo de la Falsa PosicinMt d N i

Mtodo de la Falsa PosicinMtodo de la Falsa PosicinMtodos Numricos


Mtodo de la Falsa Posicin (Regula Falsi)

MTODO DE LA FALSA POSICIN f


El mtodo de la falsa posicin se puede entender como un intento por mejorar las caractersticas de convergencia del mtodo de biseccin. Se comienza con valores limitantes xa y xb tales que f(x) cambia de signo slo una vez en el intervalo de xa a xbintervalo de xa a xb. Por interpolacin lineal se encuentra una raz aproximada entre xa a xb que sirve como valor intermedio xintermedio. El nuevo intervalo que contiene la raz comprende ahora de xa a xintermedio o de xintermedio a xb. El razonamiento para

f(x)

False-Position Method

1. Selecciona un intervalo [a,b] donde halla Algoritmo

determinar que intervalo se retiene es le mismo que para el mtodo de biseccin.

f( )

f(b)

[nuevo

[ , ]un cero

2. Calcula un punto interseccin como nuevo punto

( ) ( ) ( )[ ])f f b f b b

a b xIntersection point

[nuevo punto]

[a,b]

p

3. Comprueba si hay cambio de signo en [a p] o en [p b] Comprobacin: f(a)*f(p)

( ) ( ) ( )[ ])( ) ( )

f a f b f b a bm bm a m b f a f b

-= = -- - -

Next estimate of False-position

f(a)

[a,p] o en [p,b]. Comprobacin: f(a) f(p).

4. Si el producto es cero, entonces p es una raz. Si no es cero volver al punto 2.

f(a)

Mtodo de la Falsa Posicin (Regula Falsi)Mtodo de la Falsa Posicin (Regula Falsi)

(x) (xint)0

raz

(xint)1

x

(xa)0 (xa)1

(x )

(xb)0,1,2

(xa)2

D d l it i (1)

Intervalo original (0)

Despus de la iteracin (1)

MTODO DE LA REGLA FALSAMTODO DE LA REGLA FALSAf(x)

Consiste en considerar un intervalo (xi, xs) en el que se garantice que la funcin tiene razraz.

x


Consiste en considerar un intervalo (xi, xs)

f(xi)

i sen el que se garantice que la funcin tieneraz.( i)

Se traza una recta que une los puntos(xi, f(xi)), (xs, f(xs))

xi xs xf(xs)( s)

MTODO DE LA REGLA FALSAMTODO DE LA REGLA FALSAf(x) Consiste en considerar un intervalo (xi, xs)

en el que se garantice que la funcin tiene

f(xi)


Se traza una recta que une los puntosf(xi) q p(xi, f(xi)), (xs, f(xs))

Se obtiene el punto de interseccin de estarecta con el eje de las abscisas: (xr, 0); setoma xr como aprox. de la raz buscada.

xi xs xf(x )f(xs)

MTODO DE LA REGLA FALSAf(x)

Consiste en considerar un intervalo (xi, xs) en el quese garantice que la funcin tiene raz.

f(xi)

Se traza una recta que une los puntos (xi, f(xi)),(xs, f(xs)) y se obtiene el punto de interseccin deesta recta con el eje de las abscisas: (xr, 0); se tomaf(xi) j ( r, );xr como aproximacin de la raz buscada.

Se identifica luego en cul de los dos intervalos estla raz.

xi xsxr xf(x )f(xr)f(xs)


f(xi) rxx =sf(xi) rxxs


MTODO DE LA REGLA FALSAMTODO DE LA REGLA FALSA

Consiste en considerar un intervalo (x x ) en el que se garanti Consiste en considerar un intervalo (xi, xs) en el que se garantice que la funcin tiene raz.

Se traza una recta que une los puntos (xi f(xi)) (x f(x ))Se traza una recta que une los puntos (xi, f(xi)), (xs, f(xs)) Se obtiene el punto de interseccin de esta recta con el eje d

e las abscisas: (xr, 0); se toma xr como aproximacine las abscisas: (xr, 0); se toma xr como aproximacinde la raz buscada.

Se identifica luego en cul de los dos intervalos est la raz Se identifica luego en cul de los dos intervalos est la raz.

El proceso se repite n veces, hasta que el punto de interseccin xr coincide prcticamente con el valor exacto de la razaz.


f(xi) )(f)(f

)xx)(x(fxx sis

sr

--=f(xi) )x(f)x(f

sisr -


ALGORITMO: ALGORITMO: Mtodo de la Falsa Posicin 1) Se eligen los valores limitantes ax y bx (con )ab xx > ( ) ( )2) Se calcula ( )aa xff = o ( )bb xff = y un contador i se coloca en cero 3) EL contador i se incrementa en 1 y se calcula el punto ermedioxint a partir

de una de las dos expresiones: de una de las dos expresiones: ( ) ( ) ( ) ( )[ ]abaabaermedio xfxfxfxxxx =int O bien ( ) ( ) ( ) ( )[ ]fff ( ) ( ) ( ) ( )[ ]abbabbermedio xfxfxfxxxx =int 4) Se calcula ( )ermedioermedio xff intint = 5) Dependiendo de si fa o fb est disponible a partir del paso (2), se usa i o ii 5) Dependiendo de si fa o fb est disponible a partir del paso (2), se usa i o ii

i) Si ( ) 0int >ermedioa ff , ax se recoloca en ermedioxint ; En caso contrario, bx se recoloca en ermedioxint ( )ii) Si ( ) 0int >ermediob ff , bx se recoloca en ermedioxint ; En caso contrario, ax se recoloca en ermedioxint

6) Si ( )f fi i t t d i i l 6) Si ( )ermedioxf int es suficientemente pequeo; es decir, menor o igual quealguna pequea cantidad prescrita , o si f alcanza un lmite de iteracinN, ermedioxint se considera como la raz aproximada; en caso contrario,volver al paso (3).

Ejercicio de Aplicacin j pDeterminacin del Nmero de Mach Crtico El Nmero de Mach se refiere al cociente de la velocidad de un avin entre la velocidad del sonido. Los aviones subsnicos experimentan flujo de aire acelerado sobre la superficie de las alas. El Nmero de Mach crtico es el Nmero de Mach de vuelo al que el flujo en algn punto del ala alcanza la velocidad del sonido. El coeficiente de presin mnimo C sobre una superficie aerodinmica seEl coeficiente de presin mnimo Cp sobre una superficie aerodinmica se define de modo que sea negativo y corresponda a la mxima velocidad del flujo sobre la superficie aerodinmica. Al nmero de Mach crtico M, la expresin para Cp es:

( )[ ]{ }{ }25.32 7.014.24.02 MMC p += P fi i di i d f t b li iPara una superficie aerodinmica se pueden efectuar pruebas preliminares a bajas velocidades, cuando los efectos de la compresibilidad son insignificantes. Se supondr que el coeficiente de presin mnimo Cpi se obtiene para flujo incompresible y se relacionar con Cp mediante la relacin de Karman-Tsien: p

( ) [ ]{ } 1222 112/1 ++= MCMMCC pipip Para determinar M, la expresin para Cp se sustituye en la relacin de p p p yKarman-Tsien y con la ecuacin resultante se evala M. La ecuacin a resolver es:

( ) ( )[ ]{ } { } ( ) [ ]{ } 0112/17.014.24.02 122225.32 =+++= MCMMCMMMf pipi( ) ( )[ ]{ } { } ( ) [ ]{ }f pipi


Aplicando el mtodo de falsa posicin, resolver la ecuacin cuando Cpi=-


p

0.383. Usar los valores lmite (Ma=0.18) y (Mb=0.98), y terminar las iteraciones cuando ( )ermedioMf int se vuelve menor o igual que 10-2.

Iteracin aM bM intM i ( )intMf 1 0.18000 0.98000 0.74306 -0.04414

2 0.18000 0.74306 0.74258 -0.03804

3 0.18000 0.74258 0.74217 -0.03278

4 0.18000 0.74217 0.74181 -0.028254 0.74217 0.74181 0.02825

5 0.18000 0.74181 0.74151 -0.02435

6 0.18000 0.74151 0.74124 -0.02099

7 0 18000 0 74124 0 74101 0 018097 0.18000 0.74124 0.74101 -0.01809

8 0.18000 0.74101 0.74082 -0.01560

9 0.18000 0.74082 0.74065 -0.01345

La raz estimada es:

74065.0M , en donde ( ) 01345.0=Mf74065.0M , en donde ( ) 01345.0Mf

Mtodo de NewtonMtodo de Newton--RaphsonRaphson

Mt d N i

Mtodo de NewtonMtodo de Newton RaphsonRaphson


Ecuaciones algebraicas no linealesProblema g(x)=0

1. Seleccionar un punto inicial x02 C l l ( ) ( )

Newton Raphson2. Calcular g(xi) y g(xi)

3. Aplicar la tangente en ese punto y en el corte con el eje de abcisas tenemos el nuevo punto estimadoj p

xi+1=xi-g(xi)g(xi)

4. Repetir hasta llegar a la tolerancia requerida

g(x)y

g(x)

Necesita conocer la derivada de la funcin

Convergencia cuadrtica (rpida)

Puede no converger (depende de la f i d l i i i i i l)

xx xx 02 1

funcin y de la estimacin inicial)

El Mtodo de Newton-Raphson Es lejos uno de los mtodos ms usados para resolver ecuaciones Se basa en una aproximacin lineal de la funcin, aunque aplicando una

ltangente a la curva A partir de una estimacin inicial x0 se efecta un desplazamiento a lo

largo de la tangente hacia su interseccin con el eje x y se toma sta comolargo de la tangente hacia su interseccin con el eje x, y se toma sta comola siguiente aproximacin

0 00 1 0

0 1 0

( ) ( )tan '( ) , '( )

f x f xf x x xx x f x

= = =

12 1

Se continua el calculo al estimar( )f xx x=

(x0)2 1

1'( )f x

x0-x1

x1 x0

El Mtodo de Newton-Raphson

0 0Se calculan ( ) '( )f x y f x

El Mtodo de Newton-Raphson

0 0

1 0

0 0 0 0

IF ( ( ) 0) AND ( '( ) 0) RepeatSe Hace Se Hace ( ) / '( )

f x f x

x xx x f x f x

== Para determinar una raz de (x)=0

Algoritmo

0 0 0 0

0 1 0

Se ace ( ) / ( )Until ( valor de tolerancia 1) OR ( ( ) valor de tolerancia 2) End IFEND

x x f x f xx x f x < O \n') ;elsewhile 1

it = it + 1;b = (a + c)/2; Y_b = feval(f_name, b) ;fprintf('%3.0f %10.6f, %10.6f', it, a, b) ;fprintf('%10.6f, %10.6f, %10.6f0', c, Y_a, Y_c) ;f i f('%12 3 \ ' b (( )))fprintf('%12.3e\n', abs((Y_c - Y_a))) ;if ( abs(c-a)/2it_limit )

fprintf('Se excedi lmite de iteraciones \n');fprintf( Se excedi lmite de iteraciones.\n );break

endif ( Y a*Y b

EXAMEN DE MTODOS NUMRICOS 2003-I Un automvil permanece estacionado a la intemperie durante bastante tiempo un da enUn automvil permanece estacionado a la intemperie durante bastante tiempo un da enque la temperatura ambiente Ta = 70 F. A medida que el automvil es conducido conventilacin mnima, el compartimiento de los pasajeros se enfra lentamente. Se mide latemperatura T del compartimiento, encontrndose que es de 101 F despus de 5 minutostemperatura T del compartimiento, encontrndose que es de 101 F despus de 5 minutosde conduccin, 86 F despus de 10 minutos de conduccin y 77 F despus de 15minutos de conduccin. Un modelo de la temperatura T de la cabina en funcin del tiempo de conduccin m estadado por:

kma eTTT 0=

Donde To es el valor de (T-Ta) cuando el automvil comienza a ser conducido y k es unaDonde To es el valor de (T Ta) cuando el automvil comienza a ser conducido y k es unaconstante de la rapidez de enfriamiento. Usando una aproximacin lineal por mnimoscuadrados, calcular el valor de k y To.

EXAMEN DE MTODOS NUMRICOS 2003-I La profundidad normal y del flujo en un canal de seccin parablica abierto de ancho T est relacionada con el caudal Q, la pendiente del canal S y el coeficiente de friccin de Manning n mediante las ecuaciones:

2/13/21 SARn

Q = 3/23/52/1 = PASQn

Determinar y usando cualquier mtodo de solucin de ecuaciones no lineales para el conjuntoDeterminar y usando cualquier mtodo de solucin de ecuaciones no lineales para el conjunto de datos: Caudal (Q) 100.0 m3/s Coeficiente (n) 0 050

16.00

Coeficiente (n) 0.050 Pendiente (S) 0.0045 Espejo de agua (T) 16.00 m Foco (K) 8.00 m

EXAMEN DE MTODOS NUMRICOS 2003-I Imagine una pared de tabique con un espesor de 0.05 m. La temperatura en el lado interior de la pared T0 = 625 K, pero se desconoce la temperatura del lado exterior. La prdida de calor de la superficie exterior se efecta por conveccin y por radiacin. La temperatura T1 est p p y p p 1determinada por la ecuacin:

( ) ( ) ( ) ( ) 01441011 =++= fTThTTTTxkTf xDonde: k : Conductividad trmica de la pared, 1.2 W/mK : Emisividad, 0.8 ,

0T : Temperatura del lado interior de la pared, 625K

1T : Temperatura del lado esterior de la pared, desconocida en K T : Temperatura del entorno, 298 K

T : Temperatura del aire, 298 K h : Coeficiente de transferencia de calor, 20 W/m2K , : Constante de Stefan-Boltzmann, 5.67x10-8 W/m2K4

x : Espesor de la pared, 0.05 m Determine 1T por cualquier mtodo para hallar races de ecuaciones no lineales. 1 p q p

EXAMEN DE MTODOS NUMRICOS 2003-I En el grfico se muestra una seccin tpica de tipo Bal, en la cual se desea determinar el tiranteEn el grfico se muestra una seccin tpica de tipo Bal , en la cual se desea determinar el tirante normal o calado Y que tiene para los datos mostrados en la tabla adjunta. Adems es necesario hallar el grfuco de la variacin tirante (Y) vs. Caudal (Q), conocida como curva de descarga. Para determinar Y puede utilizar cualquier mtodo para hallar races de ecuaciones no lineales.

EXAMEN DE MTODOS NUMRICOS 2003 IEXAMEN DE MTODOS NUMRICOS 2003-I Un eje longitudinal L (pulg) est fijo en un extremo y es sometido a un par de torsin T (lb.pulg) aplicado en el otro extremo. La seccin transversal del eje es rectangular con lados de dimensiones a y b (pulg), con b < a. El esfuerzo cortante mximo Smx (lb/pulg2) y el ngulo mximo de giro mx g g g g(grados) estn dados por:

( )21abTCSmax = ( )( )32

180GabCTL

max = Donde G es el mdulo de deformacin (lbf/pulg2), C1 y C2 son coeficientes que dependen de (a/b) ( /p g ), y q p ( / )como sigue:

a / b C1 C2 1.0 4.81 0.141 1 5 4 33 0 1961.5 4.33 0.1962.0 4.06 0.229 3.0 3.74 0.263 5.0 3.44 0.291

Escribir un diagrama de flujo y/o un pseudocdigo para un lenguaje de programacin estructuradoEscribir un diagrama de flujo y/o un pseudocdigo para un lenguaje de programacin estructurado que permita calcular Smx y mx para ejes de acero (G = 12x 106 lb/pulg2) cuando a y b estn en el intervalo (1.0 a/b 5.0). Calcular segn la metodologa empleada en el pseudocdigo, para los siguientes conjuntos de datos de entrada. Conjunto 1: T = 7500 lb-pulg L = 12.0 pulg. a = 1.00 pulg b = 0.80 pulg. Conjunto 2: T = 8000 lb-pulg L = 10.0 pulg. a = 1.00 pulg b = 0.60 pulg. Conjunto 3: T = 9000 lb-pulg L = 15.0 pulg. a = 1.50 pulg b = 0.40 pulg.

EXAMEN DE MTODOS NUMRICOS 2004-I Un tanque en forma de un cono circular recto invertido (el vrtice hacia abajo) tiene unaUn tanque en forma de un cono circular recto invertido (el vrtice hacia abajo) tiene una fuga de agua en su vrtice. Suponga que el tanque mide 20 ft. de altura y 8 ft. de radio, y que el agujero circular

tiene un radio de 2 in. En el modelo tomar en cuenta la friccin y la contraccin del agua en el agujero, con c = 0.6 y se toma g = 32 ft/s2. Si el tanque est lleno, Cunto tardar en vaciarse?

Suponga que en el vrtice el tanque forma un ngulo de 60 y que el agujero circular

tiene un radio de 2 in. Deduzca la ecuacin diferencial que gobierne la altura h del agua. Use c = 0.6 y g = 32 ft/s2.

Si la altura inicial del agua es de 9 ft. Cunto tardar el agua en vaciarse?.

EXAMEN DE MTODOS NUMRICOS 2004-I El desplazamiento x(m) de una masa que experimenta una oscilacin amortiguada vara con el tiempo t(s) segn el modelo:el tiempo t(s) segn el modelo:

( ) ( )

= ttex t sincos1.0

Donde y tienen unidades en s-1. Al realizar mediciones se obtiene un desplazamiento x1 de 0.0162 m en un instante t1 de 0 41 s y un desplazamiento en x de 0 0026 m en un instante t de 0 83 s Los valores de0.41 s, y un desplazamiento en x2 de -0.0026 m en un instante t2 de 0.83 s. Los valores de x1 y x2 estn prximos a los desplazamientos mximos y mnimo, respectivamente. Usando stos valores en el modelo para x, determinar y . Las estimaciones iniciales para y se pueden encontrar a partir de la cercana de x1 y x2 a los extremos del desplazamiento. Estas estimaciones son:

12ln x

x

[ ]12 tt

= [ ]12 tt =

EXAMEN DE MTODOS NUMRICOS 2002-I Un ingeniero civil disea un tanque de agua en forma de baln de ftbol (tanque esfrico) conUn ingeniero civil disea un tanque de agua en forma de baln de ftbol (tanque esfrico) con radio de 5 m. est lleno hasta el tope. Se va a drenar por un agujero de radio b = 0.1 m en el fondo, comenzando a t = 0.00 seg. Si no hay friccin Cunto tiempo tardar el nivel de agua en llegar a 0.5 m, medido desde el fondo?

Sugerencia.- La velocidad de agua que drena por el agujero est determinada por la ecuacin de la energa:de la energa:

( )2

2uRzg =+ Donde u es la velocidad, z es el nivel de agua medido desde el centro de la esfera, R es el radio del tanque y g es la aceleracin de la gravedad igual a igual a 9.81 m/s2. El primer trmino del miembro derecho es la energa cintica del agua que sale del tubo y el segundo trmino es el efecto de la prdida por friccin Utilice 20 intervalossegundo trmino es el efecto de la prdida por friccin. Utilice 20 intervalos.

EXAMEN DE MTODOS NUMRICOS 2006-I El factor de friccin f para los flujos turbulentos en una tubera esta dado por:p j p

+=fD

ef Re

35.9log214.11 10 Llamada correlacin de Colebrook. Donde:

Re = Nmero de Reynolds Re Nmero de Reynolds e = aspereza de la superficie de la tubera D = dimetro de la tubera Aplicacin.- Con base en los resultados de la expresin mostrada, se construye el p p , yDiagrama de Moody y que sirve para determinar f cuando se conoce el caudal. Tambin se puede construir el diagrama de Jonson-Rouse que sirve para determinar f cuando el caudal es desconocido. a) Escribir un procedimiento (pseudocdigo y/o diagrama de flujo) que resuelva la

ecuacin para f, utilizando un mtodo numrico apropiado. b) Evale f ejecutando el procedimiento previo para los siguientes casos:

D = 0.1 m e = 0.0025 m Re = 3 x 104 D = 0 1 m e = 0 0001 m Re = 5 x 106 D = 0.1 m e = 0.0001 m Re = 5 x 10

EXAMEN DE MTODOS NUMRICOS 2009-I ECUACIONES NO LINEALES APLICACIONES A LA INGENIERA Consideremos el cable AB de la figura adjunta que muestra un cable de transmisin suspendido por accin de su peso; con una carga vertical distribuida con intensidad constante L a lo largo del cable La intensidad desu peso; con una carga vertical distribuida con intensidad constante L a lo largo del cable. La intensidad de carga L se mide en unidades de fuerza por unidad de longitud. Un cable que cuelga bajo la accin de su propio peso soporta una carga de este tipo, y la curva que adopta corresponde a un coseno hiperblico o catenaria. La solucin de la catenaria para c es un resultado intermedio para calcular la tensin mxima y mnima en el cable y la longitud s del mismomnima en el cable y la longitud s del mismo.

= 1coshcxcy c

Con un mtodo numrico abierto y uno cerrado, calcular el valor de la constante c de tal forma que pueda determinar la longitud s del cable usando la expresin:

A B

=cxsenhcs

20 m

100 m

TareaTexto: Anlisis Numrico; Autor: R. Burden; Ejercicios 2.1:

Tarea

Una artesa de longitud L tiene una seccin transversal en forma de semicrculo con radio r (ver figuras). Cuando se llena con agua hasta una distancia h desde la parte superior, el volumen V de agua es:

V L[0 5 2 2 (h/ ) h( 2 h2 )1/2]V=L[0.5r2 - r2 arcsen(h/r) h(r2 h2 )1/2]Suponga que L=10 pies, r=1 pie y que V=12.4 pies3. E t l f did d ( D ) d l l tEncuentre la profundidad ( D ) del agua en la artesa dentro de 0.01 pie.

DD

TareaTareaUn abrevadero de longitud L tiene una seccintransversal en forma de semicrculo con radio r(vase la figura) Cuando se llena de agua hasta unadistancia h de la parte superior, el volumen V deagua es

V = L [ 0.5r2 r2 arcsen(h/r) h(r2 h2)1/2 ]E ib M tL b i bl lEscriba un programa en MatLab amigable para elusuario que lea los datos de este problema yencuentre la profundidad h del abrevadero Utiliceencuentre la profundidad h del abrevadero. Utiliceel mtodo de biseccin para encontrar la solucin.

h

r

LL

Volumen del abrevaderoVolumen del abrevadero

r

=rhsen

hL

r2sectorarea r=

h

r

== rhsen 1

22

( )== rhsenrr /sectorarea 122 h ( ) == rhsenrr /2sectorarea 22alturabase2triangulararea hrh ==

( ) 2212 /2

triangularareasectorareaA hrhrhsenr

== 2

2triangulararea hrh

( )2

g ( )

== 2212 /

2hrhrhsenrLLAV 2

TareaTarea

Texto: Anlisis Numrico; Autor: R. Burden; Ejercicios 2.3:

L bl l i d l tid d d diLos problemas relacionados con la cantidad de dinerorequerida para pagar una hipoteca en un periodo fijo(n) involucran la frmula:(n), involucran la frmula:A = [1 (1 + i )-n]*(p/i)

Donde:A = monto de hipoteca; p = cuota; i = tasa de intersA = monto de hipoteca; p = cuota; i = tasa de intersSuponga que se necesita una hipoteca a 30 aos parauna casa por $75000 y que el deudor puede pagar a louna casa, por $75000 y que el deudor puede pagar a losumo $625 al mes. Cul es la tasa de inters mximaque el deudor puede pagar?que el deudor puede pagar?

TareaTareaEl valor acumulado de una cuenta de ahorros puede calcularsecon la ecuacin de anualidad vencidaA = P[(1 + i )n - 1 ] / i

En esta ecuacin A es el monto de la cuenta, P es la cantidadque se deposita peridicamente e i es la tasa de inters porperiodo para los n periodos de depsito A n ingeniero leperiodo para los n periodos de depsito. A un ingeniero legustara tener una cuenta de ahorros con un monto de$ 750,000 dlares al momento de retirarse dentro de 20 aos,$ , ,y puede depositar $ 1,500 dlares mensuales para lograr dichoobjetivo. Cul es la mnima tasa de inters a que puedei ti di i d i t tinvertirse ese dinero, suponiendo que es un inters compuestomensual?Escriba un programa en MatLab para este problema, elp g p p ,programa deber pedir todos los datos necesarios y utilizar elmtodo de Newton para calcular el inters a que debei ti l diinvertirse el dinero.

Sugerencia:Sugerencia:

Para estimar el valor inicial de i podemosdesarrollar el binomio (1 + i)n para aproximarlo a( ) p pla segunda potencia. El resultado es

( )PA2( )( )Pnn

nPAi1

20

= ( )Se sugiere validar los datos de entrada. El capitala obtener debe ser mayor que el depsito por elnmero de abonos, es decir

A > nP

TareaTareaL i it RLC i t d dLa carga en un circuito RLC serie esta dada por

R 21( )

= tL

RLC

eqtq LRt2

)2/(0 2

1cos Supongap g

q0/q = 0.01, t = 0.05 s, L = 5H y C = 10-6 F.

Encuentre el valor de la Resistencia R usando elmtodo de Newton. Haga un programa en C paraeste problema.

Aplicaciones a la IngenieraAplicaciones a la IngenieraAplicaciones a la IngenieraAplicaciones a la IngenieraMt d N iMtodos Numricos


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