Carti Metoda Figurativa Matematica Pentru Invatamantul Primar Ed Carminis

8/12/2019 Carti Metoda Figurativa Matematica Pentru Invatamantul Primar Ed Carminis

1/59

lducaJvr4


2/59

Mitici DudiuFlorentina Dudiu ffJfis8*fill:l.:Stril, r i ' l

I*II,gproaPutnhlesPrerwlndargtt'"twa

EdituraCARNtrNIS ''. PITESTI


3/59

Dor(rlclor CIP r DlbllotocllN0llonrle a RomenieiAproipc totul despremetoda lgurativtr:natematici pentru |lvtrlllm0ntul rlmsr / MiticdDuddu, eodor teft]ice,MarinOanea,..- PitcAlir arminis ducalional,006112 .;20cm .BibliosrISBN 10)973-7826-86-8;SBN(13)978-9?3-7826-86-2L Dudiu, Mitic;IL $tefinici, TeodorIIL Oanea,MarinJl (075.33)

O Toate drepturile apar{in trditurii CARMINISRedactor:Carmen JoldescuTebrcredactor:Marina Zan irCoredurA: utoriiRevizie:Cristina Neculai, f,nese DunitruTebnoredact e conputerizara:Editlra CARMINISTiDaml executat a TIPARG S.A. PitestiComenzile eprimesc ateLffax: n2441253O22,52467saupe adresa:Editura CARMINISstr. Exerciliu, bl. D 22, sc. B, ap. Icod 110242, itetti,ud.Arge$ISBN 973-7826-86-8iSBN(13)978-973-7826-86-2

PREFATA. Ptuinli, brmici $i alte rudq..prietenid9. amilie sau,colegideseNiciuai pirinlilor sechinuie uneorise ajuteun scolarsi r;mlve oproblemd.Telefoanelezbdmdie, irul explicaliilor sepierde gi atuncise apeleazda altcineva,stareade nervozitatecre$te,uneod copilulmerge a gcoalacu problemanerczolvatd ,,...se ti-o rezolve nvlle-ioarea. acda dar a$aproblema rea ")cand... orulpoaledevenifoartesimplu: fie descoperim inguri, fie vedem ezolvarea hcuti inclasi, oricum,nu ne vine sdcredem e doar catevasegmenteesenateinspiratclarifi cd otul.. Da, metoda figurativi, fiindci dspreea estevmba,poateclarrfrca onlinululuneiprobleme- poare ace epardutoari.Cu ocondi.tie: i o fi inlelescat mai bine,crmoscandat rnai multenuantealeeiprinaplicarean caLmaimulle ituali i .Iati de ce am consialeratnecesarsi elaboldn lucrarea,,Aproape totul despre metoda figurativi.. Aceasta i w ajuta inpnmd rand pe copii, dm $i pe cei care vor se-iWrijinepe acegi4 segdseascenfoniafii despreconlinuirl metodei, despremodul ei deaplicare n diversesituatii, oferind explicaFi reorctice,modalitili declasificarea problemelor,modele de rezolvareti propunands )Ierezohanen numir maredeFoblemede o largd ?detate.Irl cartea noashi ,,Matematici penlru clasle III-IV:Tipuri de probleme.Metode de rezolvare.Teste de selectie..(FdituraC.arminis. iretlj.2002)priml acu inleres e ulililarori,ampus in evidenli cele patuu ipud clasice de prcblemecare se potrezolva prin metoda figurativi: sume Si diferenli, sumd qi cat,diferenfdqicat, mperFrecu rest.Experienla a catedri ne-a ndemnatsAevidenliem n Drimaparlea actualel ucreri i alte caEgorii de probleme are se polrezolva prin metoda igurativi decatcele clasice.Am consideratcd,pe hngd legetulaacestornoi categorii de problemecu cele clasice,exlsti lm specifical lor caremeriti cunoscutsi utilizat in eforfirl derczoh,are,


4/59

Partca a II-a cuprinde problemecare se pot rezolva prinmotodgigurativd darnu in mod excJusiv). neledjntreelepudn-du.so ncadran subcapitoleledrfii . all,e'e ecesildnddei din maimult. astfel dc subcapitole.Ordinea or este elativ in$mpldtoare.Nulndrplrtdre estd.?ldsabea,n'6fia1;;aaoelorpesencare:.: vorbesc",pafcurgerda riCip5x,ti'datmai insermatedin lucrarcanoastrdpermi-Fnd elevilor e-$i ncununezeforturile rincreadvilateaugera6 eaoeste esene.,'':Af,telitdh eaciile dtunneavoaste.Nd-ambucua se afldfii,ceproblemeleqeastre -au reat ,,Fobleme ' 9i,mai ales,ne-amblrcurasaaflamce ucmrea e atev-a ostde olos.,Mult succes

," ,Autot i

, r ' 'l '

DESPRE

*s*


5/59

INTNOOACESEConlinutul unor problemepare foarte incurcat. Rezolvitorulciteste de rlai multe ori problerna, ncercandsi $i-o apropie, sIrenunte temporar la unele informalii, punand accentpe altele Sirevenind apoi la cele la care a renuntat, spre a face textul rnaiaccesibil, nai u$orde nfeles. E ca $i cum ai incercasAexplici ceva

cuiva care n'a piceput de prima datd $i_f tot adaptezi stilul deexpunerepani cand, n sfirgit, se ntevede cd ar inlelege $i el catepu,m (numaice, n cazuinostru,cel carear nlelegemai greuarputeafi rezolvitorulnsusi ).inlelegerea relaliilor dintre mdrimile unor probleme, intre\,?lorile cunoscutesi/ sal valodle necunoscute le aceston estermproces carc se desfr$oarl in rnai multe etape, de la o etapS a altarezolvitorul sim,tind ezona cercetatdproblema )devinedin ce n cemai luminatddup6ce, ni1ial, sepArea i este n beztI. Uneledinteaceste tapepresupundiverse ipuri de reformulareaproblemeipdnise giselte foma care seasigure ntelegereaclari a corLmutuluiei,asdel ncat, el, rezolvitorul, sa$tiecu preciziece opera$iefectueazipentrua afla necunoscuteleroblemei celeceruteexplicit de ext sancele ormulate cacerinte ntermediarede rezolvitor).in multe situaIii, o reformulareschematicd ficientd sereali_zeaz,prin metoda lig[rativi (grafici), o metodl foafie desutilizatiiin clasele -IV, Ea cons$ in reprezentaream5rimilor necunoscuteprin diferite simboluri,evidenliind n aceastd eprezentare i posibFiele relalii dintre mirimile problmei.Utilizand pentru reprezentareamirimilor, segmente e dreaptesau alte figuri geometrice, recum$lscbemeale obiectelordesprcare se vorb$te n probleme,metodau$uleazerecereade la abstract a concretSi inve6, netezind caleaspreulili/afeameLodelorlgebricen re,,olvarearoblemelor-h aphcarea etodere a o nlinme drept eper deregula eamai micd) celelaltemarimi fiind reprezentaten flmcfe deacesta'Metodapel1nite,uneori chiar ncesitd, ormulareade ipotezereferitoarea evolu(iauneisitualii reprezentatenifal sau aposibileleconsecinleale unor modificiri efectuatede rezolvtor precumrmeletansferu sau folosirea unor expresii ca ,,il tnai dau an cehi mainic". ..ii mai au eu celuimainare".

DacAproblema e refre h dinamica evoluiia n timp a tmorrtArimi, trebuie dentificatecu grijn momertele$i ales cel care rebuiereprezentat,ar n cazul eprezentirii uturor,cel careconfme cperul.Cum ajungem a concluziacd trebuie sa folosim metoda igu-rativi? Rareoricalld citim o problemA utem ormulao judecadsau mrSspunsmediat a cerinF acesteia. e aceea, tre a incercasAalgorit-mizf,mabordareaemlvirii rmeiprobleme,ccomanalimezolvitorului,a$a um am nai Ecut-o ialtddati,sdparcurgd rmdtoarele tape:a) Cutroatterea i inlelegerea nunlului problemeiEle 'rt hebuie se aibe n vedere:lectura atentda textului;clarifi careaelementelor e vocabular;- scrjerea schematici (se includ in schemdnumai infor-matii esenliale de regule cantitative $i carepermitreconstituirca extului dupeschend);eviden{iereanforma$ilor esenliale,a detaliilor, a legdtu-.ilor intre date.G. Polya rcomandd e se pomeasci totdeaunade la mlml,afima'nd: -\4ergrnainle bra and c.eslnun I esre raldeclarsi debine lrpdmat in minte ncatpoli sI nu te Inai ui,ti a problemdpentruoclipi, frrE teami ci ai si pierzidin vedere nsamblul."'b) Atraliza ti intocmirea unui planCercetind egiturile dinhe valodle cunoscutei cele necunos-cute ale merimilor problemei, se descoperd dei p.ivind aflareaoecrmoscutelor au aflarea unor date intermediare ce pot duce laallarea acestom.Acest proces poateduce la punerean eviden 5 aideilor ce contribuie a rezolvareaproblemei. n acestcaz, stabilireaunei succesiuni onvenabile oateusula ob,tinerea olulei. Seajrmge,astfef.a nlocmrrea nur lan de ezolvare problemei.Unod ste mpodant si gisim o idee de,,umire" a problemei,etapeleplanului de rezolvare revelandu-se o date cu rezolvareapropnu-z1si.c) RealizareaplanuluiCoincideclr rczolvarcapropriu-zisaaproblemei,prin alegerea$iefectuareaperafiilor orespunz;loare.' G. Polya ,,Cum ezolvdmo problemi ", Ed. $tiinlifici, Bucuesti, I 965

*6* *7*


6/59

Stabilireaoper4iilor sprefigureaz.an etapeleanterioare, andlectura extului, identificarea elitiilor dintre alate,ntocmireaplanu-lui de rezolvareconduc mplicit sprecalculelece rebuieefectuate.d) Privira retrospectiviEsteo etapdde multe ori ignorat5,dar Iere de care ezolvareaunei problemenu hebuie consideratdncheiate.Neabordarea cesteietapediminueazd and a anulareefectul n plan intelectual^$i rogre_sul in capacitatea e rezolvare n viitor a altor probleme. n aceastaehpe se poate reconstitui cu claritate planul optim de rczolvareaproblemei(inclusiv prin renuntarca a wrele etape$i restructumrcaaltora),s evidentiaze eglturi cu alte probleme i se fixeazd di cepot fi folosite in rezolvareaacestora, e fac generaliziri sauparticu-larizeri, sepoi compunealteprobleme.In ce priveqt lucmrea noastrdcrcdem ce mai sunt necesarecateva bservalii.Uneo am apelat la foqnalinrea problemei folosind penhudiversemirimi litere: a, b, c,. . In cadrul acestor ormalizdriam optatpentrusc ereacu ajutorul inmulFrii a unor rlatii exprimaten textpdn cuvintece sugereaz5mpi4ireai ,,bestede rei ori Inai mic decata"sescriea-3 b; ,,catulmpd4idi ui a ab este t i reshrl3" escrie a = 2 x b + 3. La fel, experientane indeanmAse folosimoperalia de adunaratunci cand textul ne sugereazesi folosimscddetea:.b eslecu 3 mai mic decAta" se sariea= b + 3Tot din experientd ecomandimrezolvitorilor ca ingalit4ilesugemte e extele unorproblemesi fie scrisecu ajutonrlegaltefilor:.e maimareca b cu 2A" sescriea: b + 20;,,4mai marede 2 ori ctt b"se scrie a 2 b.Respectand ceste ecomand5rivom ajunge, n cazul in caream decis si folosim metodagrafici, sA eprezentdmu u$udnfe iguracorespunzitoarc roblemei.

Paragtafelecare urmeazi reprezlntao incercare de gruparaproblemelorcarepot fi rezolvateprin meloala igurativi in categonipe car noi le-am identificat in actiyitateapmctici. RezolYito i potavea i alteDAreri.

t. sami t DtFEREnffrin cazul acesteicategorii de probleme, eprezmtfunpdn seg-mentecele doui numere,punandn evidenle aptul ci unul dinhe eleeslemarmare ecel elalall udrfermla rnne leDacA uam ca rcper num6rulmai mic, atunci oblinem dublulacestuinumir scizanddin surnddiferntacelor douenumere.Daciluim ca repernumerul rnai rnare, atunciobtinemdublul acestuinu-mar adunanda sumediferenlacelordouenumere.A Problcma roEolrtra{EI Suna a doui numere ,a" $i ,,b"este 18 Si se afle cele douinumere$tiindcAunul estemai marecu 4 dcatcelilaltRezplvarea+b=18a-b- 4::-.)UEgalarea elordouenunere se ace:a) prin scddereernai utilizate)bl.---------l I I" F__]j---]rJ18 4=14(2xbsau2b)14: 2= 7 (b)

7-4- l l (a)Veri f icare:11+7= 8Daci din numirul marc ,,a" scedem , atunci,,a" va fi egalcu,,b". Scizandpe 4 din sumd 18), atunci oblinemdouenumereegale

*8* *9*


7/59

b) prin adunare:u+l lR4lb +-:i J

18+4=22(2a)22: 2:11 (a)11-4= 7 (b)Veri f icare:l 7=18Dacdnumdrului nai mic ,,b" ii adrmem (diferen{a),atunci vafi cgal cu numerulmai mare ,a".Diferenla aceasta a fi adunate i bsumi $iatunciobfnem 22 (2 x a s v 2a).3- Probleme proDrrse* l. Sumaa doui numereeste25, iar diferenla or este5.Allali cele doudnumere.* 2. Sumaa doui numereeste54, iar unul dintre ele estecu18 mai maredecatceldlalt.Care sunt celedoudnumere?* 3, Doud compuneri u n total49 de anduri.Una mai scur-td cu 17 anduridecatcealaltd.Carc induri are iecarecompunere?* 4. in dounbidoanese afl6 58 l,lapte. CaShtri slmt n fiecarebidondacd n p.imulsunt u 14 mai mult decatn al doilea?* 5. Doi ftaS au impreuni 26 de ani. Unul dinhe ei are cu4 ani mai mult dcatceldlalt.Cati ani are fiecare?* 6. Bogdanare 100 de timbre omanettiqi striine. Catetimbr are din fiecarefel, gtiind ci timbre romane$tiate ctt 24 maimultedecat triine?* 7. Doui cdr,tiau mprcuni 244depagini.Una din ele are cu38 depaginimaipuiin decatcealaltl. Catepaginiar fiecarc ca.te?

* 8. Pedoui rafturialeuneibiblioteci unt75 de cd4i. Seseaflecate e4i seaflape fiecare aft,$tiindcdpe al doilea untcu 17maipu,tine catpe pdmul.* 9. Suma a ffei numere este 50. Si se afle fiecare numar,$tiind cd al doilea est mai mic cu 4 decatprimul qi cu 7 decat al* | O, Sumaa nei numereste682. Al fteilea numfu estemaimaredecat l doilea u 115, ar decat rimuiestmai mic cu 170.SIsea le numerele,* 1 1. Pe3 caiete -au crisn total 101pagini.Pepdmulcaiets-ascdscu 8 pagini naipulindecat eal doilea, ar pe al teilea cu13mai mult decat eal doilea.Catepagini -au cris e iecare aiet?* 12. Mirind cu 12 suma doui numerc b.tinem16.Sdseaflenumereletiind dprimuleste u 28 maimaredecat l doilea.* 13. Daci dintr-unnumerscedem 5, ar din altul scddem83, diferenla numerelor oblinute este 10. Si se afle diferenla dintrenumerele nifiale.* 14, Sumaa doui numereeste226. Dace din p.imul nurnirscidem 22 $i din al doilea scedem 52, atunci diferenla dinhenumerele blinute a i 12.SI seaflenumerele.* I 5. Sumaa doudnumereeste208. Dacepe pdmul il mfuimde 2 ori, iar peal doilea de 3 ori, sumanumercloroblinute va fi egaiicu 512.Seseaflenumerele.* 16. Diferenfa dintre doua umere este 9. Mirind de 3 oricele doui numre, surrn numcrelor obfinute este 363. Sd se aflenumerele nitiale.* | 7. Mdrind de 3 ori doui numere obfinempentru noilenumeresuma333, ar diferenta51. Caresuntnumerele?

*10* *1r*


8/59

* 18. Sumaa doudnumere ste121-Dacd l micsordm eprimul de 3 frei ori Sip al doilea cu 3, sumanumereloroblinute esteegala u 54.Aflali numereleniliai.* 19. Semisuma douanumere ste 9. Saseaflenumerele$tiindci primul estemai marc cu 18 dcatal doilea.* 2O, Semisuma doudnumereeste70, iar semidiferentaeste16.Sdseaflenumerele.* 21 . Dublul sumeia doudnumereeste2fl. Afla1i numerele$tiindcAprimul estecu 28 mai mic decatal doilea.* 22. Triplul sumei a trei numereste282. Si se afle nume-rel, $tiindci primul estecu 26 mai mic decatal doilea$i mai maredecet l heileacu 28.* 23. Mdrindde 6 ori suna a douenumere blinem 38.Siseafle numerele$tiindci diferenfadintre ele este2 1* 24. Sumaa trei mrmereeste 52. Primul nurnlr este 10, ardiferenta dintre al treilea $i al doilea este 12. Allati celelalte doui* 25. Un elev a citit in trei zile 43 depagini dintr-o carte. nprima zi a citit cu 3 paginimai pulin decata tlia zi., $ a do'Ja i acitit 16pagini.Catepaginia citit in fiecarezi?* 26, Un elev a citit in ffei zile 46 depagini. in pdma i in adoua zi a citit un nunir gal depagini, iar a keia zi cu 18paginimaiputindecatn celedoue iie a un oc.Cate aginia citit n fiecare i?* 27. Trei elevi au ezolvat ntr-o sdplimani 95 deprobleme.Pdmul si al doilea au rezolvat rm numdr egal d probieme, ar altreila cu 7 problememai mult decat ceilalli doi imprermi. Cateproblemea rezolt fiecarc?

2. SAMAt CATCaracteristica senlialea acestorproblmeconsti in faptul cise precizeazi (sau se poatededuce)de cete ofi este mai rnarc unnumdr ,a"decatalt nunar,,b" $icare estesuma or,Reprezntarearin segmente e va sugemcd,,a" estemai n1aredecet,,b" e,,n"ori SicAsumaor este n + 1)b.Vom obfineastfel e,,b" pnn impd4irea sumei a ,,n+ 1" 9i pe ,,a"prin inmul{irea ui ,,b"

A Problenrii reeohutiEI Sumaa doul numereeste28. St se afle numerele,$tiindceunuleste e lei ori maimarelmic decat c161a1t.Rezolvqrea+b 28a:3bsaub=a:3Din scriereaprcscudati se obse d cA numarul mai mic este,,b". il vom figura primul. Pe al doilea il vom desenade 3 ori maimate.bH It^^a#JConfom figurii, 28(suma)cp.ezinti de 4 od numerulmic (b).28:4- 7 (b)7 \ 3 21 a)

*13*


9/59

s- Proble||lepropur* I . Sumaa doui numereeste27. Aflali numerele, tiind cdal doilea estede2 o mai rnaredecatpdmd.* 2. Sumaa doui numereeste 35. Primul este de4 on mai

mic decatal doilea. Aflali numerele.* 3. Doi frali au imprema 64 de nuci. AflaF cate nuci arehecare, laci unul din ei are de 7 ori mai multe nuci decatceldlalt.* 4, ia doud zile rur elev a citit 24 de pagini. Catepagini acitit in fiecare zi, dac5 n prina zi a citit de 3 ori mai mult decat adoua i?* 5. Trei persoane umpdrn100 kg de vazd- Primele doudcumpfudcantit4i egal, ar a teia cat celelaltedou5 a un loc. Cate

kilogramede varzda cumperat iecarepersoand?* 5. Trei ci4i au impreunI525 depagini. Cea de-a reiaarerm numir dubludepagini fald de a doua, ar pdmaesteumitate din adoua.Care aginiare lecare arle?* 7. in trei saci$mt 120kg de cirnent.Cate ilogramede cimert$mt in iecare sac,$tiindci in al doileaestejwrEtatedin cantitatea inprimul, ar n al treilade 3 ori mai mult decatll al doilea?

* 8. Sumaa doudnumereeste 136.DacSpe primul il inmlrl-lim cu 2, iar peal doilea cu 6, oblinemnumereegale.Aflati cledoui

* 9. Suna a doui numere este48. Dacdpe primul il mlimde 3 ori, iar pe al doilea de 9 ori, obFnemnumere egale- AllaF

* 1O. impdtritul unui numdr$i dublul celui de-al doilea suntnumereegale$i au surna448.Aflali numerele.* 1 1. Triplul unui numdr esteegal cu dublul altui numtu. Sdseafle numerele,$tiindcd sumacelor doudnumereest250.* 12. Sumaa doudnumereeste80.Diferenla or estede 3 orinumirul mai mic- Care suntnumercle?* 13. Sumaa doud numer ste 200. Daci pe primul ilinmul,rm cu 6, iar pe al doilea cu 2, obFnemnumereegale.Si se aflenumerele.

*14* *15*


10/59

3. D//FESENIAl Gefin acesteproblemeseprecizeazd e cate ori estmai mare unnumer ,a"decatun numlr,,b" (saude ceteori este nai mic ,,b"decat,,a")$icareestedifercnla dintre ele.Reprczentarca rin segmente ugercazd A, dacd,,a" este de,,n"ori mai mareca ,b",atuncidifernla,a b" este n - 1)b.Vomoblinenumirul,,b"prin mptulirca iferenleia,,n l" $iapoip ,a"prrn nmullireaur .b" u .nA Problenri rcolu iBI Diferenla doui numere ste18, ar catul or este3. Sdsedtermine umerele.Rezolttarea b=18a:b:3saua=3b^._' lJ

Pentru a-mi ulun interyrctarca datelorproblemei $i a vedeamai bine n minte figura, am rcsois a doua clalieprin operalianversiimp;rFrii:. deimper,titui catd x impeqitorul, in cazul nostrua:3 x b.bl.---a#

cd diferenta (18) rprezinte de doua

os Proble|n0 DroDN$* l. Catula douenumer ste2, iar diferenlaor este ot 2.Aflati numerele.* 2. O compunercare de 4 ori mai multe rendu decatalta.Si se afle cate anduri are iecare,gtiindci una are cu 27 randuri maimult decat ealalte.* 3. Diferenla a doul numreeste40, iar catul este5. Ailafnumercle.* 4. Un caietareclr 150depaginimaimult decat ltul.Aflalicatepagini arc ficarc caiet, dac5 unul e de 3 ori rnai gros decatcelelalt.* 5. Pe un raft sunt detrei ori mai multepAinidecatpealtul,

adrca u40 marmulle. latr ale ernr unt e iecarcafi.* 5, intr-un sac sunt de 5 ori mai multe kilogramede cimentdecat n alhr1.Difernla dintre cantilA,tiledin cei doi saci este de60 kg.Catekilogramesunt n total?* 7. Fiul are de 6 ori lnai pulini ani decat alal, adica cu 25maipulin. CareestevArsta ichrlia?* 8. Se dau 3 numere.Al doilea este de 2 ori mai mic decatprimul, al treilea este suma celorlalte dou6, iar diferentadintre al

treileaqial doilea este22. Si se afle lumerele.* 9. S; se alle numarul 64. )tirnd ca b - c. b 2a, ib + c-2a:8.

18Din figuri se observa18:2= 9(b)9\3:27(a)Vrificare: 7 9: 18

lO. O pnine$i jumitate costi 6000 de lei. Cat costi o

*16*

*paine?*17*


11/59

* 1 1. Doui cutii au acela$i umdrde bomboane. upece seiau din pdma85 de bomboane i din a doua25, se constati i in adoua au ramas de 5 ori mai multe bomboane.Cate bomboanearefiecare utie?* 12. endrei are a trcia partedin varstabunicii $i jumeiatedin varstamamei.Bunica este mai Inarc cu r|4 de ani dcetAr&ei.Aflali varstelecelor tli persoane.* 1 3, O carteare cu 384 depaginimai mult decatalta, adiclde 4 ori mai multe. Catepaginiar iecarc carte?* | 4. La un concurs de atletism numfuul copiilor de peste10 ani a fost de 7 ori mai mare decatcel al copiilor carc aveaumaipuFnde l0 ani. Sdseafle nume.d copiilordin fiecare ategorie evarstn, tiindci cei de peste 0 ani erau cu 144mai mulf decatceilalri.* | 5. Penru kgdecanofi -aupl i l i l cu4 ,ermaimulldecdrpentru2 kg. Cat costi I kg decarlofi?* 16. 7caiete ucu 192 e , lemarmulrdec;t ]caiele.it efile are Lmcaiet?* 17, Diferenla doui numere ste54 si estede 3 ori mairnare cet l dorlea umir.Al la| lnumerele.* I 8. Dacd4 sticlede apeminerale ost5 u 6 lei mai mul{decat ma singure,cat costi o sticle?

4. M?itfnEAcutEsrIn unle probleme se cunoa$tesuma sau diferenla a douinumerenaturale, catul impd4irii celui rnai mare la cel mai mic qirestulacesteimparliri.Astlel, dacda : b x n + r, atuncivom rcprezenta,b,,printr-unsegment,ar pe ,a"p n,,n" segmnteemerimea eluicarel repr-zintepe ,,b"qi incdun sgmentmaimic) carese eprezinte estul.Reprezentareaigurativb sugereazd e scddemdin sumd saudiferentipe,,r" pentru rdrnaneu,,n+ 1" (sau,,n l") segmenteemirimea celuicarel reprezindpe,,b".6 Pr.oblc||r( ()soh oBI 1. Sumaa doue numereeste26. Catul impe4tuii numiruluimai mare a cel mic este3, iar restul 2. Caresunt cele doui numere?Rezolyarea+b=26a:b= 3 (rest )sau = 3b+ 2a- lb:?b F---------r I2 126a# JDin figxre observim ci daci din suma 26 ii indepirtam

(scidem) e2.ob rneme4 ori ,b-.26 2:24 (4b)De aici avem problemin care unoa$temuma icatul.24:4=6(b)6\3+2:20(a)Verificare: 0 : 6: 3 (rest2) sau20 + 6 - 26

18* *19*


12/59

EI 2. Diferenfa a'doui [umere est 20,restul4. Si seafle nume.ele.Rezolrarea b=20a:b= J (rest ) sau = 3b+ 4a-2b=?bf-------- 4a# l-------------_ ---,20Diferenta esle20. Daci indepdrtampe4 din aceastidiferenld,obtinem e2 od ,,b".20 4: 16 2b)16:2: 8(b)8x 3+ 4=2E(a)Verif icare:8:8=3 (rest ) sau 8 8:20

rs P|'oblonrcpaoprrae* l. Sumaa doui numereest 69. Cetul dintreprimul numdr

$i al doilea ste , ar restul5. Seseaflenumerele.* 2. intr-o clasi numerul fotbali$tilor este clr 2 mai maredecat dublul numirului tenismenilor, ?n total 29 de elevi Aflali

numirul de sportivi din fiecarecategorie.* 3, Mama9i fiica au mpreuni37 de ani. Sd se afleverstafiecareia,stiind ce manu arc cu un an nai mult dcatvarsta iiceimeriti de 5 on.

* 4. Caful a doui nltme. este 2, restul 5, iar diferenraesle12.Saseaflenumercle-* 5. Deteminali nuderele ,a" $i ,,b", $tiindc5 diferentadinhe ele este20, iar prin imperlireaprimului numer a al doilea seoblinecetd 3 qi estul2.* 6. Nicoleta are d 6 ori mai multe bomboanegi incd 4comparativcu Cistian. Catcbomboane re iecare,$tiindce diferenladintri celedoudcantitdli estede44 de bomboane?* 7. Doua caieteau 148de file. Primul arede 2 ori mai multefile decatal doileagi ince 4. Cate ile are fiecarecaiet?* 8, Suma trei numere ste 915.A1doileanurnar stede3 ori mai mare decatp mul, iar dace l impi4im p al treilea la aldoilea, bfinem atul2 si restul 5. Seseaflenumerele.* 9. Saseafle suma trei numere, tiindce al doileaestededoud ori mai mare decatprimul, iar dacd l impirtim pe cl de-alhilea aprimul,oblinem ahrl5 $i restul7. Smai$tieci difercnqadintreal heilea$iprimuleste 9.* lO. Mnrind cu 5 triplul unui num5r natural, obFnem unnund. cu 33mai maredecat um6rulni{ial.Care ste umfuul?* 1 1 Pe un raft suntde douaori mai multepaini decatpe unalt raft ti inca4. Sdseaflecatepainisrmtpeceledoud afturi,$tiindcdpeal doilea unt u 34 mai multedecat epdmul.* | 2. in doun coquri suntnuci. in primul co$ sunt de 3 orirnai multe mrci decat n al doilea co$ $i inci 6. Diferenla dintrecantitefile in celedoueco$uriestede 54 denuci.Cetenuci sunt nficarc co$?

iar catul or este3 si

*20* * 21 *


13/59

5. ?808LEME ANAMEBE0NSECAflVEConsiderAm iru1numerelornaturale,scrise n ordine cresce-toare: , l, 2, 3,... . Luanda inamplare secventdacestui ir (carecuprinde cel pulin 2 numere uate n ordinea n care e gisim in tir),spunem d numereie arecompunaceasecventi suntnumerenaturale

consecut ive:,8,9,... 15,16.Dacd dintr-o astfel de secventeeuminlm numerelenatualeimpare, btinem umere aturale onsecutiveare:8, 10,12, 14,16.DacAvom limina dintr-o secventd e numerenaturalepe celpare,obtinem umere aturale onsecutivempare: , 9, 11,13,15.In rezolvareaunorprobleme eferitoare a numercconsecutivese recomandd tilizarea unor figuriri prin segment are evidantiazddiferenleledintre numerele a care face refrire textul fiecerei pro-bleme.Seva observaastfelca suntproblemedesumi Sidiferenll.6 Problen|,o agohatEI l. Suma t-ernumereonsecutit e{e 39.Care unL uJnercle?RczolrarPa+b + c:39a,b, c - numele consecutlvea:2 b:2 c:2b=a+lc-a '2Seobi$nuieste i se igureze n doud elu.i:

Se ezolvdca o problem; desumdsi diferenfe:39 3 = 36 (3a)36 :3 - 12 a),13 b),14 c)M 2. Suma rei numere onsecutiveareeste48.numerele. Sa se afle

Rezobarca+2b+)1c f-----------l+r

ar- l

48 b#+2]-

a F-lb#c F__|_l__]

a F--------------1

39 b++1] , ,

a8 6=a20a)42 :3:14 (a).16b), E(c)q |troblcmc paopr|$o* 1. Sumaa trei numere atumleeste33. Aflali numerele,$tiind aelesrmt onsecutive.* 2, Suma a trei numere consecutivpare este 24. Afla1inumerle.* 3. Sumaa tlei numere consecutive mparc este 33. Afla1i

* 4. Numnrd 70 rcprezirtd sumaa trei numereco[secutiveimpare$i numirul 7. Aflali numrele.* 5. Suma trei numrc atural ste117.Daci dinpimul sescade24, din al doilea20, iar din al treilea25, se oblin numereconsecutiven ordine crescitoare.Afla1i numerele.

*23tr


14/59

* 5. Un elev citeSteo carte n patruzile. in fiecare cite$tecu o pagini mai mult decatn ziuaprecedenti. atepaginia citit infiecare i, stiindcaa alut de citit i 10pagini?* 7. in 4 pungisunt 140 de bomboane.Si seafle numarul debomboane in liecarepunge,qtiindce n p.ima suntcu 15 bomboanemai mult decat n a palr'a,ar in ultimele trei cantitateadebomboane

e)le epre/enlararinnumereonceculr \e.* 8. Dublul sumei pafu numere onsecutiveareest 96.Aflali numerele.* 9. Suma 4 numere ste162.Saseaflenumerele,tiind ip.imele doui $i ultimele doui stmt numereconsecutive,ar diferenladintreultimul $iprimul ste2 .* lO. Sumaa4 numere ste l1. Al patrulea ste57, iarprimele trei su,1tnumereconsecutivepare in ordine descrescitoarc.

Aflati numerele.

6, ?NOSLEMEE'M'Y'FE8Suntprobieme n care estenecesarsi evaludmdiferenfeleceapar ntre merimi de acela$i el, prcum i modalitilile prin care elpot fi create,schimbate auanulate.O modalitate e a crea,schimba auanuladifercnladintr douemdrimi consd n efectuareae transferuride la o mirime la alta. Prinmetoda igurativi vom evidenla rnai clar relaliile dintre m&imi, iieinaintede ransfer, ie dupi efectuareaui, fi n ambele ituaiii-6 Problcnre resol&ttEI f. in doud cutii avem acela$i umir de creioane.Dacdtransfrim 10 creioanedin prima cutie in cea de-a doua, atunci inprimacutievor fi de 2 o maipuine creioaneecatn a doua utie.Cate reioane unt n celedoui cutii a un oc?Rezolvdre+ --"r I-- t10Figura sugereaz.i I, dupa transfer, avem de 2 o mai multecreioane n a doua cutie decat n prima Si cd, in felul acesta pdntransfer), n a douaculic vor fi 4 pe4i a cate I 0 creioane, a. in primacutie 2 pi4i a carc 10 crcioane.4 x l0 = 40 creioanedupihansfern a doua utie)2 x 10= 20 creioanein primacutie)40 + 20= 60 creioanein ambele utii)

E|2. intr-o adi suntcu 10kg de cartofimaimult decatntr-oadoua hda. DacAmutdm 5 kg din a doua ad5 n prirna ladi, atunciaceastaa con,tine cantitate e 3 ori mai mardecata doua adi.Catekilogramede cartofi sunt n cele doui 16zi?*24* *2s*


15/59

RezohtareDupi transferavemurmatoarca ituafie:

20 : 2 = 10nuci avea l doitea opil)10+8= i8 nuci(avea rimulcoPii)Alt mod adouavaria fi):28 : 2 = 14 nuci (aravea,dup5 ransfer, iecarecopil)14+ 4 = 18nuci(avea .imulcopil)L4 4 - l0 nuci avea ldoi lea opil l6 Problcnre proprrr* 1. Dace dintr-un numdr uim 5 $i il adiugtun a alt numdr,numereledevinegale.Care a fostdiferenladintre ele?* 2. Sumaa doud numereeste38. Daci lu-im 4 din primulnumdr$iadlug5m a al doilea,oblinemnumereegale Caresuntele?* 3. Diana 9i Andreeaau mpreula 18 creioaneDacd Dianaii dI Andreei doue creioane,atunci ele vor ava acela$inumlr decreioane.Catecreioanea ar,rrt iecare a inceput?* 4. in doi sacisrmt 108kg d fiinn. SAseafle cetekilognmde fdine sunt in fiecare sac, tiind cE daca uem din al doilea sac6 kilograme $i le punem in primul, atunci in cei doi saci vor ficantitegegaled {dtnl* 5. Suma a doudnumereeste 60 DacA uim 7 din primulnumarSiadunim a al doilea, atuncial doileava fi de3 ori mai maredecatprimul. Careaufost numerelea inceput?* 5. in doua utii slmt 186de bomboane.ace au dinprimacutie 14 bomboanei le pun n a doua,atunci n aceasta in umll vorfi cu 6 bomboanemai puline decat n pima Catebomboane u fostinitial n fiecare uti?

rnalnre e ranslel aveamsl|rl:It]al

ObservdmcA dublul canrit4ii rimase in a doua ladi dupetransfeaste e:5kg+ l0 kg+ 5 kg:20 kg20 kg : 2 - 10kg (dmen in a douahde)10kg x 3 = 361t 1"". fi in prima adddupdh?nsfer)30kg + 10kg=40kg(inceledou-ihzitiinainte idupitransfer)EI 3. Doi copiiau mpreuni28 denuci.Dace el carearemaimulte a. da 4 nuci celuilalt, atunci ei ar aveaacela$inumfude nuci.Catenuci avea iecare?Rezolrarer,_++q28< |L--l lFigurane sugereazed cel car:e re mai multede urnltate djnceare n plusceluilalt.4 x 2 : 8 nuci avean plusprimulcopil)28 8 :20 nuci(dublulnundruluidenuciale celuide-aldoi-leacopil)

*26'k *27*


16/59

* 7. in doudclasesunt 62 deelevi. Daca s-ar ransfera3 elevidin prima clase in cea de-a dolra, atunci ?ncele doul clase ar fiacela$inlrmdrde elevi. Cali elevi sunt n fiecareclase?* f. in doud classunt 47 de elei. Dacd 2 elevi din a douaclasdse mutd n prima,atunci difercnfadintr colctivelecelor douiclase ste e un elev.Cafieleviau ost nilial n fiecare hsa?* 9, in trei ase unr 4 y'de apa.Daca"e roaman al treiteavas2 ,din primulsi Ldin al doilea, tuncial doilea asva conlinede doui ori mai multe api decatprimul, iar primul va aveade rei odmai putin, ape decat al treilea. Cate ap[ a fost la inceput n liecare\,?s?* 1O. Doui numere lmtegale.Daces a 7 din primul$i seadrmi la al doilea, atrmci acestadevine de doui od mai mare decatprimul.Care au fost numerele?

7.EvoLAfnn nnp a aMon aNMtIn uneleproblemeavem nformalia despreevolulia in timp aunor mdrimi, evolulie ce vizeazi schimbarea, tai a valorilm pe carele iau acestemdrimi, cat$ia reialiilor dintreaceste alori.De asemenea, ulrt Fobleme in carc unei modificari suntinitiate de rezolvitor.In aceste ondilii este mpo ant seaiegemcugije ce momenteale evoluliei reprezentim $i ce reper luem in fiecare caz. Oricum,.ezoh'itorul tebuie se aibi abilitateade a fractu probleman douesaumai multeprobleme,de a vedea uccesiunean careacesteaot firezoll?te, astfel ncat, a final, si poatd 1 ezolvateproblemadat5 pecare trebuie s-o avem pemanent in minte ca ansamblual pfulilorcomponnte).A Prohlcnre rFokateEI 1. Tafil, rnarrn, biiatul Si fata vor aveapeste4 ani sunave.sielor de 80 de ani. Aflati cati aniare iecare,dacabeiatul estemaimaredecat ata cu 2 ani, tatdl dcatmama ot cu 2 ani, iar tatdl decatfatacu28 deani.RezolrareT + M + B + F : 80ani (peste4 ani)Ca si aducem impul la preznt,scedemdin sund (80) 16 ani,deoareceicarea naintat n varstacu cate4 ani.80 16= 64 (ani n prezenl)Realizdmmai intai urmatoareaigurer:F#l 2lB+l 2b 164Mt-------- : l , lr# l

,6*29*

I*28*


17/59

Am ajLmsa o problemade surni i diferentd:64 (2 + 2):602l{+2F=60impi4ind la 2, oblinem:M+F = 30MF2flF+lrr-----------f---- lto-) )2630-26= 4 QF)4'. 2:2ani(arefat^)4+ 2= 6 ani arebdiatul)2 + 26 = 28 ani(are Jlarna)28+ 2 = 30 anl arctutel)Verificare:0-28 4 2-b4aniEl 2. Peste7 ani fiul va ayea22 de ?f.ll, ar tat'l 46. Acum caiani varsta iului a fost de5 ori mai mici decatvarsta atdlui?RezolvareViitor Pre,,mlTat5l:46ani Tat6'1:6 7 = 39 (aai)Fiul: 22ani Fiul: 22 . 7 : 15 ani)Diferenla evaistd ste ,e:39 15= 24 (an1)TrecutFl-.]

Am tblosit metoda igurativd pntru impul trecut. Acum avemde rezoh?t o problem5dediferenf5Sicat.

24:4- 6 ani f l t l )6x5-30ani( tard)Situa(iaaceasta fost acum:15 6: 9 ani sau39 30- 9 aniEI 3. Ia un concurss-au?nscris dieli qi fete.Numerulbiietilorestecu I mai mare decatumdrarcdin numirul fetelor. Dupe prirna

probdsmt eliminafi6 baieli fi 5 fte dmanand n concursde 3 ori maimulte fetdecatbeiei. Cate ete$icaf bdieli s-au nscris a concurs?RezolrdreRealizim mai intai o figure corespunzitoare itua{iei niliale:Ff I IFigura urmetoarene indici rezultatul modificdrilor survenitedupi primaprobd:F F______J__F______-B F--lCum s-a ob,tinutacestrezultat? Figua umetoare ne poatesugeraun rispunsSi deead rezolvar:

51|-.--v#LALa ncepur u ost 20 de ere 4 x 5)$i I I beieli(2 x 5+ l).os Proble|neIrolnrS* 1. Tatelare31 de ani, ar fiuI4. Ce ari au recutde candtatil aveade 10ori versta iului?* 2. Pest8 ani mamava avea30 de ani, iar fiica 9.pestecaatu mamavaaveade4 od varsta iicei?

' t30* *3r*


18/59

* 3. La unmagazin antitatea e rotii scoasa vanzarc stede 3 ori mai mare dcatceade ardeigras.Daca sevand 30kg de ro$iiqi20 kg deardei, rnnAn depatruori nai multe.osii decatardei.Caresunt antiteilede rolii $iardeiscoase venzare?* 4. intre brmicqinepot esteo diferenfi de 48 de ani. Acuml0 ani buniculera de9 ori mai in verstd decatnepotul. Cai ani a.e

acum iecare?* 5. in doui vaseesteape. Cantitateade apd dinprimui vasestecu un lih1r mai maredecato treime din cantitatea onlinute de aldoileavas.Dacdmaiadiugim in primulvas7 ,d ap5, ar in al doila4 4 atunci n al doilea vas va fi de doui orimai multi api decat nprimul vas.Ce cantit4i eruu a inceput n lieca.e vas?* 6. Tatil arede 5 ori vnrsta iLtlui,altfel spus, stecu 28 de animai rnarc decatacesta.Pe$ecali ani talil ara de hei ori lnai multdecat iul?* 7. Elevii uneiclaseplanteazentr-o zi de douaori mai mullimeri decatperi.A douazi maiplanteazi16 meriqi 2 peri$i astfelnumarul merilor plantafi in cele doui zile este de 3 ori mai marcdecatnunr,irulperilor.Cali pomiauplantatelevii in cele douSzil?* 8. Acum 5 ani sumavarstelorbunicului, tatilui $inepotuluiera de 90 de ani. Si se aflepestecal ani tatdl qi bunicul vor aveadublul, rcspctiv triplul varstei copiiului, qtiind cA atunci cand s-andscut opilul, atil avea 5 deani, arbunicul50.* 9, Andrei a rczo7\.at 6 deprobleme, ar Cristina 6 pro-bleme.Dace iecare dintre ei rezolvi de acum ncolocate2 problemepezi, pestecatezile Andreiva avea ezolvatede 2 ori nai multpro'blmedecatCristina?* 'lO. Suna dintrever$ele atiilui, etiqei ibeiatuluiestede48deani. Difden{a dintresord$i&ateestede 2 ani. Sdseafle var$a ieciruia,ltiind cAacum4 a1i atdlavea e 5 ori suma aistelorcelor2 copii.

8. EXEtCtfu AAPR0SLEME?Existi tmdinta ca o sarcinimatematicl formulati in scris carefolosegtenumai numerc eventual,n locul unon, litere) qi senmedeopemlii matematice, dici {Xri text, si fie considerate xerciliu.Dareste ntotdeauna xerciliu?A$a cum am mai spus,cerinla de a atinge unscopclar definit(aflar:ea mei ecunoscute e,exemplu) arenu este mediat accesibil,reprezintd,pntu cel care ncearcl sdo rczolve, oprobleme.Penhr unii copii, chiarperfeclionali in aflarea unei necunos-cut dintr-o egalitateprin metodamersului nvers, esteo problemtsIdept$easciun anumit stadiu de rezolvare.Dupd ce seobline o folmemai simple (nu mai u$oare, ci mai putin stufoase)pin metodamersului invers, aplicAndmetoda igurativi se?oatevedeamai clarce opera,tiiefectrlam enfu aafla.necrmoscuta.1+21 : { l +[a+(a:4 2) x2] :7 \ =82l : { l - [a | (a:4 -2) '21 7) 7I + [^+ (a:4 2)x2l t7=3P @:a 2) '21 7 2^+ (a.:4 2)x2=14a+a:2-4=14alr ' - lRAjun$i aici, folmulem umetorul enunl:Daceunui num5r i adiugimjumitatea sa, ob.tinem 8. Careenum5rul?

a\ . ------------.J

1818:3= 6 oumdtateaurnerului)6x2:12(a)

f , (32* *33*


19/59

A$a cum obsrvdndin exempltrldat, daci foma de la carc seface rezolvateaprin metoda lguativd esteprivifi ca o problemaacdrei descifiare st conceputisub fomi de exercifiu,daci se faceefortul de a, bompune in minte o astfel de prpblemi, mlmcarezolyitoruluidevine nai con$tientAimai eficie4ti.Propunemca, inainte dea trece la aflareanecunosputelorinproblemelepropuse,si s ezolve urntitoile cerin,te are eprzntAposibile enur4ui al unor ,,exercilii" aduse a forma d la carerezolvarea e ace.prinmetoda igurativi.

l. Numirul 17 reprezintddublul rmui numdrmarit cu 1. Aflalinumdnrl..2. Dacd mic$orim dublul unuinumdr'cu 3, obinem numarulAflafi-l.t. Dacedin 90 se scade ublul unuinumfu,se ob,meum6-talea celui umar.Care ste umirul?4, A treiapartedintr-unnumfu se ob,tine acedin 35se scadedublul numZrului.Afla numdrul..5, Daca mic$ordm m numer cg,2 ,-pbFnem a treiapartedinel .Aflal inumarul.5. Daci din 19 scddem $aptea anedintr'rm numer,obiinemrlumirul micsomt cu 13.Care esteacelnumfu?.

lsi ProblQrDo ropuro ,,* l . x (x:7 +l l )=s5* 2. a+(a+a:a)=17* 3. a-(13+a:3)=15* 4. 62-l' +(a 3+ a)+z] =23

*34* *3s*

* 5. 1oo-[(b:2+5)+2 b]=5 " -* 6 . 16+[a (38:2 a :7)-10]=19* 7, 42tlc+(c x 2-3)-2s)=3* 8. a-S x 4+a)12=136

.* 9. a+a:2-a :4 =7Q* f0. c [(c:++ e)+ ]=o


20/59

9. EOALT|AT|A7E AA gft'IUTEA fost dificil sd decidem xislcnla cestui ubcapitol i denu-mirea ui. Ne-amgendilsd evidenliem xistenta cestei atgorii probleme pe care e-am ntalnit in practica a catdri) Siun anume

modd ezolvare lor.Trei modele eproblemeredm ese ncadreazi ici.L SeStie cd nille mdrimi au talori egale, se tlie cu ait semodiJiad raloaree fiecdrei ndrimi Si care este suma valorilornodifcdte sau unele dilbreille dintt'e acestea i se cere aflarcaraloii in lia e cotnune.2. Se cunouste u a vulotilor iniliule ale unor mArimi salrdifercnlele dintre ele, se cunosc ilodncdrile rdlorilor acestor md-rifl1i,se tie cd in urma acestormodi.ficAri e oblin valori egale i se

cerc afLlea ralorilor iniliale.3. SeSliesuha wlotilor iniliale ale unor mdrimi,se $tiecdJiecaremfuime iSi nodiJicd valoareaprin cre$tere au mic$orarecuaceea$i antitate,se cunosc ezultalelemodiJicdrik)r i se cerc valoa-r ea acesor modi/ic,rLin astfeldesitualii, eprezentarearafice un n e\.idnfe ga-[tef, diferenje$i modificlrile opetate, ugerand stflmodul derezolvar,A Problomo roFo|loteM 1. Fiind datedounnumere gal, deuganddmului14, arcelui de-al doilea 17, se obfine surna75. Care au fost numereleinitiale?

Rezolrarea+ b-75x+ 14= ax+17= b

"#-+.'22',+'z

t * t 14 t ' )' * , i ,1"

l

Suma umerelormodilicate ste75.Din aceasli ume cidemces-aadeugat,blinand ublut iciruiadin celedoue umere gale.

75 ( 14+ 17 = {{ (dsblulunuinundr)44 | 2 = 22(unul dtn celedouanumere)EI 2. Surna trei numre ste 4 DacA escad inpdmul 17,din al doilea25 qi din al treilea20, seoblin numre galeCaresuntnumerelnitiale?Rezobarca+ b+c=14b-25=xc-20=x;=1b-- .1c=7

'|II17+ 25 + 20 = 62 (strrnamodificirilor cfectuate)74 62= 12 suma elor reinumere gale)12 : 3 - 4 (fiecare in cel reinumere gale)4 + l7 = 21 (primulnum&)4 + 25 29 (aldoilea umtu)4 + 20 = 24 (al reilea umdr)

*36* *37*


21/59

EI 3. Sumaa douenumerc este53. Dacedin fiecarese scadercelasj Lm;r. eoblrn umerele4sj lq.Care unr umerelenidale? * 5. in doui camioane fost incercatacelagi umdrdesaci cugrau.Dupaceprimula dsclrcai a o moari 35 desaci, ar aldoila 48,alr mairirnas n total 117saci.Ca,ti aciau ost in fiecarecamion?* 6. Suma treinumere ste145 Daci scedem in fiecarcacela$iumir, seobline32,40 i 37.Careeste aloareani$ali a ficaruinumar?& 7. Sumaa trbi numereeste2 -Dace se adaugda primul unnumer, l devine galcu al doilea; acd eadauge cela$ umfu a aldoilea, cesta evin galcu al treilea,ar daci a al trileadildugimacela$inumIr, el va devenicu 9 mai maredecatprimul numAr.Careau ostnumrele?

' * 8. Surnaa trei numreste28. Merind{iecarenomarcupn-mul numdr,se ob,tin umerel 6, 13, 23. Aiai valoarca iecdruinumar* 9. Dacd a douanumere galadiugemprimului 14' iarcelui de-aldoilea17, oblinemsuma75.Careaufost numerele?* | O. in doud lase unt56deelevi Dacbdinprimachse es18 elevi, ar din a doua 14,atuncj n cele doui claseva ramaneacelagiumar eelevr.Cali eleviau emasn fiecare 1as5?

Rezolvarc

b-x = 19utlo v.lit 1..

I"Nouasumd: 4+ 19= 43. Scidem oua umtdin vechea ume$iob,tinem10,carc eprczinti 2x. Decinunidrulcares-a scAzut ste5.Afl5m numerele:24 5 - 2s (valoareauj a)19+ 5 - 24 (valoarcaui b)g Protlomp Drop 6e* l. Suma doua r:mere ste41.Adunand cela$i umir lafiecare, eobtine25, espectiv 0.SdseaIlnumerle.* 2. Pe doue aflud sunt62 de cdr . Dacdad5ugdm cela$inumerde ci4i pe fiecare aft, atuncipe primul raft vor fi 35de cfuF,iarpe aldoilea 3.Cate ir au ost a nceput e fiecareafl?* 3. in doi saci sunr79 kg d Eint. Dacd uim alin iecaresacaceea$i antitated faind,mai reman n pdmul 24 kg, iar in al doilea27 kg. Cateklogram de feindau fost in fiecaresac?* 4. intr-o sali despectacole, e doud anduri,era un numaregald copii-DacAmai vin 12copiipe pdmulrand$i 19copiipealdoilea, luncivor fi pe ambeleinduri 61 de copii.Cali copiiau ostla inccpur ehecare end: I

* . ls* * :s*


22/59

to,ALIEEpnEzErfiatccirPRlltsEaMEilrEin unele problemereprezentarea rin sgmenteeste relativdificili $i nu suficient e sugestivi uprivire a relaliiledintremiri-mileproblemei.n astfel econditiisc ecomandedlizarca ltormo-

duri de rcprezentarearesi evidenlieze ai bine atat semnificatiafiecdreimarimi cprczentate,at$i clatiiledinheacesiemirimi.Putem stfel prezentachematicase,iinte, iucte,supmfel tc.$tim ci unii rezolvitori u scdescurc5 tatdc bine a dsn id aceeae va veni greusd reprezinte,e exemplu,iinte. Pe angdlaplul ci nu nebuiesi urmireascioblinrea e aprccierin cea eprive$tealcntul a desen,iind suficiente i$tc chi{eveziexenrplelI $i 3), crcdem d n cazulnrerirnilor c cxprimi ele]llento lc unormullimi este uficientd tilizarca nor iterecaresdsugorezeesprecc clemente slevorba$i ce relalii se stabilescntre mullimj (ca nexemplul ).lfo lDrotlomo ropolootoE 1 intr-o cute s\rnr dsiri $i oi, in tolal 15oapete i 40 depicioare. atepesdri$icateoi suni?Rezolvarea)D)

15capcte40 picioare

-}-JL_' \ .-/ 510rnprrrnalgura tnsutserat\ rs lenla tJ capele,

ooooil tloolilt iill tl

(J r) capteO 15capetell :opi"ion."oooi i l i l

in a doua iguri ampuscate picioareenge iecare apNe-au amas 0 30= 10(picioare).De ce?Pentru a a fiecareoaieampusdoarcat2picioaren locde 4.in a treia igure am mai puscale2 picioare a fiecareoaie,adicnla 0:2 =5 (oi).Exist i , cci ,5 i $i 15 5:10Gnini)..t ObscrvrfieProblena se , ezalit coltloll$i Prin melodaalsei ipotezeDa/, chiar si a$a, obsirea odulti .leJigurarepreze tatiace l aiu;oard i lelegerea ezobArii.El 2. ntr-o urni suntde 3 od mai multcbile ro$iidcat lbeDacI sescot6 bile roqii$i seadaugd bile albe,atuncin utni stultde doue fi maimultebile ofii decat lbe.Catebile o$iiauxistatainceput? ar albc?Rezolrare

RRRRa) RAR RAR RAR.. . . . . . . . .R4RRRRRb) R,A.R AR R^R....... . . . . . .RAR A

c) RAR RAR RAII RAR llAR... ... .RAR\--\--,-/8 bilc ro$ii+ 4 bile albe 8 bile albe+ 14bilerogii

in prima figuri am sugcrat aptul cd existl de 3 ori rnai multebile roqii decatalbe, irA a$i categrupedecete4 bile exisli In a douafigwI am sugeratdispariliaa 6 bile ro$ii $i aparitiaa inca doudbilalbe. n a heia figuri am sugerateorganizareaillor in grupedecate3 bile din care2 rosii $i unaalbd.Pentruca angi flecarcbili albd dincele4 rimase ,shnghere" upi operaFa recdente dapad cate2 bilero$ii (in total 8 bile roqii) am |-rat cdteuna de acolode undeexistaucate3 bile o$ii. n final, emann um612bile albeqi 24 debile oqii,iar a nceput uexistat 0bilealbe9i30debile o$ii.

*40*. *lr" t


23/59

de segmente.A l---1

I ObsrvafiePloblenapoatefr rezol|atd Siprin frgurare ,,clasicA",pe bazd

9 ProblQ||reproltt$e* 1 La rm concursde cros se nscriu de3 ori mai mulfi b6ielidecat fete. in ziua concursului, datoriti unor probleme medicale,2 baie $i4 fte se retrag$i astfel a concursseprezintade 4 ori maimulfi beieli decat ete. Cati beieli li cate ete s-au nscris a concurs?* 2. La un concursse nscriude doudod mai multefete decat

bdieli. Dupe prima Fobd sunt eliminati 4 bnieli si 4 fete. Grupandconcurenlii ima$i cate4 fete i un bAiat,dman 2 baieli necuprin$i nnici o grupd.Cd biiegi si cate eie s-au nscris a concurs?* 3. intr-un las sunt de 3 ori lrlai multe prunedecet mere.Dacd am mai adiuga n vas 3 mere$iam ua 3 pnme,atunci n vas arfi de doue ori mai multe prunedecatmere.Cate mere$i catepnmeerau a inceput n vas?& 4. intr-rm r,as suntde 3 ori mai multe piersici decatcaise.La rnasi sunt 5 pemoane.Fiecare a din vas cate o caisi 9i doui

piersici. Rin1an n vas de 4 oi rnai multe piersici decetcaise.Catecaise$icatepieEici emu a inceput n vas?* 5. Pe o masi eraude 5 ori mai multebanane ecat orto-cale.Fiecare in prsoanelegezatea masi minanci 2 portocali3 banane, n final rimAnind pe maseo portocala$i 33 d banane.Catepersoane mu a masa?* 5. Un grupde tineri srmt a restauant aSezali atedoud ete

9i 3 bdie{i a fiecare masa.La tm momentdat, cetevaperechimerg adansqi rdmanh mese4 fet $i 12 bnie . CaS baieli ti cate ete suntin grup?& 7. intr-o zi, fiecaredin elevii lmei claseavea a el 3 pixuriqi doui creioane.A douazi, 10 copii i$i mai cumpiri cate mpix, iar4 copii 'i$i uitd creioaneleacasd9i astfel, numirul pixudlor tuturorcopiilor estede doua ori mai mare decat numarul creioanelor' Calicopii sunt n clas5'l

R- situale iniliah

a\n^f \ /'\f\a\r\

- situa{iedupdmodificeri

Din figura se obseryecA o treime din bilele ro$ii existente ainceput n ume insearymd 0 bile albe. Avem deci la inceput 30 debile o$ii$i 10bilealbe.EI 3. Dacd intr-o clase stau cete 2 elevi intr-o bancA, iman4 eleyi in picioare, ar dacastaucate 3 elevi ntr-o bance amandouibAnci ibere.Ca elevi Sicatebinci sunt n clasi?Rezolvarea)OOOO.. .OOb)oooo. oo0 a@[email protected]@

oo

In prima figuri am sugent asezarea opiilor cete 2 in bance$ifaptul c; mai rdman4 in picioare.In a doua igllri amsugemt idicarea n picioarea elevilor dinultimele doudbdnci(care imdn libere).Observdm d vor fi in picioare8 ele\ i .in a treia figuri amplasatpecei 8 elevicarestateaun picioare,cateunul in fiecarebancd n carc maiexistaudeja 2. Vor fi 8 benci cucate3 eleviSidoui banci ibere.Avemdeci24 de elevisi 10benci.

-.i 8 binci

i:IItl* 42* *43Jt


24/59

* 8, DacA ntr-o clasS taucate3 elevi n bance, drian 2 eleviin picioare.Dace staucate4 elevi ll bance, imane o banci liberd, arintr-o banci vor fi 3 elevi. Cali elevi qi catebinci sunt n clas4?S 9. Mai mulfi copii vor- sA mvercezeeul cu ni$te btuci.Daci seaSazicate 5 copii in barc5, imer pe mal 2 copii. Daci staucate6 in barce,atunci,peni ultima barcd,mai remandoar 3 copii.

Catebdrcisi cali copii sunl?' * | O. Se samd50 Capdn 15 vase, nGle e 3 l'gi alele de4 1,.Cdtevase untde iecare el?

* 44* *45* '

n. nEToDArcUnArtvAt FnAf|]t/,EFamilia zareaelevilor cu deeadefiaclie se ace nci din clasaa II-a cand li se vorbe$te de jumitate i sfert. Tot atunci, uniiinv4etori le spun copiilor despre doime", ,,heime", ,,p5tlime" etc.ca rezultateale mpi4idi unui intreg n 2, 3 sau4 pn4i egale.Folosind metoila figurative evidenliem mai clar irnpd4ireaunui intreg n unitili fraclonare de un anume ip.

Numerul

treimea

pdtrimea

A Probleme reBolsotcEI l. Jundtataunui numer esteegali cu treimeaaltui numfu.Care suntnumrele,qtiindce suna lor este25?Rezolvare

jumitatea


25/59

DesenAm oud segmentgipgale e ieFezlnLi dolmeaprimuluinumdr, respectivheimea celui de-al doilea. Dublim pimul segmentgi obfinemprimul nurnlr, tripEm al doilea segment$i obtinem aldorleanumir.n toral5 segmenle.egale.z) : ) = J (dotmeanmulut au retmeaelur e-al orleal5_x_2 10(prirnulnumir)5 \ I - l5 (aldoilea umar)El 2. Dacaunuinumdr i adaugameimeasaoblinem16.Carea lost numerul?Rezobare#l

1616:4- 4 (neimea)4\3-12(num.rul)EI3- Sfertulunuinunxr este . Car ste umirul?.Rczolvare#

66x4-24(numArul)EI 4. Numerul 74 reTezintd doud heimi dintr-un alt num.{r.Allali mrmirul.Rezolvare\--------.Y- t414:2= 7 (o reime)7x3=21 (nurnarul)

*46* *47*

g Pr'oblem Dropuselarelestd umbrul? | . Cincimeaunui numir este9. C

, * 2. Douecincimidintr-un umerau valoarea;18.arcestnumerul?.* 3. Adunind la un numdr eimea sa, oblinem20. Desprecenumft estvorba?* 4. Adundnd la rm numdr treimea sa $i apoi sfertul sdu,oblinem 76.Carc a fost numirul?* 5. D'acd a un numnradunem reimeasa$i nci 25, obinm61.Care fostnumad?* 6. DacI dinh-un num;r scidem umitatea sa $i inci 12,

obtinem33. Carcestenumarul?* 7. Suma doui numere rie58. Sdseaflenumerele.{lindca aldoilea eprezinlefenulprimului. a care eadaugal.* 8. Jumitateaunui numer esteegaldcu sferful alh.rinumdr'Caresuninumerle,$tiindci suma or este30?* 9. Un numir esteegalcu umdtateaaltui numfu Caresuntnumerele.dindc5suinaor e'Le 0?* 1O. Doui pntrimi dinh-un numir sunt egalecu treimeaaltui numer.Aflati numerele,qtiindcd suma or este80.


26/59

2. Mtnsul ilvEnstt MET0DAFtauR,fiuain general,o problemdcare ;e rezolvd prin metodamersLrluiinvers recaceriniiaflarea alorji niEiale uneimal mi, valoare eaiost supusi unor modific,iri succesiveprezentat e text), rezultatul

finalal acestor odificiri iind cunoscut.Pentruezolvareanorastfel eprobleme,neori, stndicatifiguarea acestormodificdri, fapt ce duce a o mai buni inlelegerealor $i a succesiuniiperaliilor c care rebuie A e efectudn enlruaaflavaloarcanitial6.De obicei,daci textul sugereazenumitc peralii, nh-o anu-mita ordinc,pentrurczolvarea roblemeivoln efectuaopemliilernverse clor ndicate c cxt$t n ordineanversArdiniidin ext.A llrobhmo roeolulrtoE 1. Alin rezolvi n prina zi a vacan]ei eprimivari umitatedinproblcmcleecare c ava e ezolvat.n fiecare in urmdtoarele3 zile rezolv[ uftetatedin problemeleimasenerezolvatein ziuaprecedentd.entrua cincea i ii mai reman4 problcme.Catepro-bleme vea e ezolvat lin?RezolvareFigurade rnai os ne ajut5 si inlelegem uccesiuneaodifi-c:lrilorasupramirimii ,,problemee rczolvat"qi succesiuneapera-liilor deefectuatentru aflavaloa.eanitiali a acesteimirimi.I t f f i+Ir vjtl]4-,

lIl V+tt---1VFX

4 * 2 = 8 (problemeimase nerezolvate upi primele3 zile)8 x 2 - 16 problemeerezolvateuplprimele zile)16x 2 = 32 (problemeerezolvateupl primazi)32 2 - 64 problemcc e/oltr l)& 2. Mama lasi intr-o farfirric prune penfu cei 3 fii ai sei.

lPrimul are rne onsuma din prunele a"ileSi ncA pnrne. lIdoilcx onsumaor] dinprurclc i 'rrc l lnca pntne.ar elde-xlheilea consumeumdtatedin prunelegasite esandneconsunatc5 prune.Cateprune e-a Esat mamacelor 3 fii ai sii?

RezoltareFigwa um;toare sugerazee situaliegdse$teiecare in cei3 fii $icatconsumd i. 2W

,tII

l11-/1C+q-/+,5 x 2 = 10prune a gisit altreileacopil),)10+ 2 = 12prune : din cea gdsital doilea opil)

12 : 2 x 3 = 18prune a gAsit l doilea opil),)18+ 2 = 20prune : din otalulprunelor)20 : 2= 10prune l dmtotalulorunclor)' l10x 3 : 30prun le-a isat mama elor3 fii)

*4s* *49*

I


27/59

EI 3. Un turisi parcurge,pe os, un Faseumontan n 3 zile. inprima zi merge cu 2 lan mai puin decat o treime din lungimeafaseului, a doua zi merge cu 1 km mai mult debat umdtate dinpo4iuneade traseu imasl, iar a heia zi parcuge ultimii l0 km. Celungimeavea raseul?Rezolr'drcffi

Ittiitttirrtttt lifr, 'o t10+ 1: 11km (lumdtate in po4iunea e haseu imasi dupiprimazi)11x 2 = 22 lcll](porfrunea e traseu imasa dupaprimazi)

722- 2 : 20 kn (- din ungimea raseului)I20 : 2 x 3 : 30 kn (lungimea raseului), |trohleme prop$6e* 1. Din cnlntorii aflaqi ntr-rm autoblLz,a prima stalie co-boareun sfert $i urci 4. La stala umetoarecoboad un sfert din cei

exlslmlrl ufcd . a penullrmatalle oborrA dincAlaLorirdma$i4$i ince 2. La ultina stalie ajung 25 de cililori. Ce,ticilStori aufost lainceput n autobuz?

* 2. Un biciclist parcurgeun ilrum de o anumiti lungime n3 ore. in prima ori parcurgeo treime din lungimea raseului$i ince4 km. In a doua ori parcurgecu 7 lar mai mult decat un sfrt dinpo4iunea ramasa, iar in a treia ora parcurge ultimii 20 hn.Ce urgime are drumul?*so* *5r*

* 3. Un turist ti-a propusse stdbati lm traseumontan n^t4 ,/ile. In primazi parcurge din lungimea raseului. doua /i4)aparcurge din rest, a treia zi parcurg din noul rcst, ar apahazi

ultimii 8 lan. Ce ungime are raseul?* 4. O hime din caitelecare existe a un mommt dat ntr-o?papetdriesunt de rnatematicd, din celelalte sunt de dictando, ar)restul de 32 de caiete sunt cu foaie velind. Cate caiete sunt in acelmoment n papetade?* 5. ? din romlulde oerechi e ncdllamrnlexrstmlenn-un5 )magazinsuntpentruberbafi, : din rest suntpentru emei, ar restulJ

de 36 deperechisuntpentrucopii. Cateperechide ncdljdminteslmtin magazin?* 6. Un sfertdin totalulelevilorcicluluiprimaral uneiscoliqi nci 5 elevisuntn clasa. Un sfefidin ceilalli$i ncd 15elevistmtin clasaa II-a. Doua cincimi din elvii claselora III-a si a IV-a 9i inca15elevisunt n clasa III-a, ar 75de elevisunt n clasa IV-a.Caielevi sunt n total?* 7. O ferrnn agricoli cultiva cu cereale.jumitate dinsuprafa,ta mbile gi ince 10 ha. Jumetatedin rcst $i inci 10 ha sunicultivate cu cafiofi, cu 10 ha maipulin decetumelatedin noul rest ecultiva cu floarea-soarelui i ultimele 40 ha le cultivd cu sfecli dezahAr.Careestesuprafala otala cultivate?


28/59

* 8. Din totalul problemelorpe care le avea de rezolwtpentruvacanldr m copil rezolva n prima zi ; ti inci 5. A doua zirezolve f din rest si ince 3 Drobleme.A treia zi rezolve I din noul43rest si incd doud probleme.A pariazi rczo7ve1 din problemelerdmase9ipeultimele 5. Cateproblemeare de rezolvat n total?

b 9. un copil a citit o carte n 4 zile. in piima zi a iitit cuI20 de pagini naipunndecil : din numarul agrnrlor. douazi acitit cu 20 de pagini mai mult decat rm sfert din nurndrulpaginilorrimase-A treia zi a citit jumetatedin noul rest, iar a paha zi a cititultimele 50 depagini.Catepaginiare cartea?

* 1O. Tabdra Bddigor isi ocupd locurile unei serii dstfel:1 din locud sunt ocupatede elevi din jude{ul calali, I dir rest $i1'5inc5 10 ocuri revin elevilor din judelul Buz[u, cu 5 locud maiputindecatumatata ocurilor remase unt rcpartizateudefului lalomifa,iar ultimele 40 de locuri revin eleyilo. din judelul Constanqa. atelocuri are abdn Bddiqor intr-o serie?

*s2*

t3. METOOArctmfflvi It aEoMEfStAIn rezolvareaunor probleme"u "onlinut geometric, elatiiledintr elementele nor figuri geomet ce se evidenqiazimai clar dacifdlosim reprezntarean desen a acelor figuri sau numai a unorelementealefigurilor respective-Putem epreznta, ubforrni de segmente,elalii intre elementeale figurilor geometricee se educ n esenfe una din cel4 v?Iianteale metodei igumtive clasice,dupi cum, ealizareaflcientd a figuriigeometrice espre are sevorbe$ten text, cu ncercarca a respectainfomaFile, darsi ce nlele textului,poate i sugstivipenh1r dsireaciii de rezolvareaproblemei.6 Problernc rcsoltl|teEt l. lnr-un dreprunghrungimea slecu 5 m mai maredec;l

lilimea. $tiind ci perimetrui&eptunghiului este egal cu 50 ft, sd safle dimensiuniledreptungliului.Rezolrdrer#s I

-\ 125r#JP-50m+2L+2/=50mL+l=25m25rr: 5m=20mQI)20rt,2=l0m(Dl0m+5m=l5m(L)tr Observ|tieEste o problemd in care se poate afla u$otnumere tiindu-sediferenla or.

*s3*


29/59

El 2. Dac4 rfiiim do 6 din laturile naleturat le rmui patratcu cate 5 m, figul? oblinut, va aveaperimetul de42 m. Aflali peri-metirl qi aria figurii iniliale.

Rezolrorcl5

l5Efectuandoperajia indicat5, oblinm un dreptunghi a ciruilungime estecu 5 m mai mare decathlmea. De aici, problema easemdndloareu ceadinainte.42m 5'ir.-5'J-32m(41)J2:4-8m(08 m x 8 m: 64 m'?ariafigurii iniliale) .6 Problenrr proD|rse* | . Se se afleperimetrulunui dieptunghi, iiind ce tmg1meaestealedou.iori mai maredecat etimea, ar aria ui estede 50 m'?.

' )S 2, Sdseaileeriaunuldrepunghj. xindca aFmea rle --J

din lungime, ar perimehul sduesteegal cu 40 m.* 3. Un dreptunghicare nu estepltat areperimehll 8 m tifiecare laturi a sa este exprinatd p.intr-un numer intreg dq metri.Caie sunldrmensiunilereptungfulu ?

*54* *55*

* 4. Un dreptunghiareperimetrulegal cu 64 cm. $tiind cdlungimeaestede 3 ori mai maredecat i1imea,sdse afle catepltratecu latura de 4 cm acopd completdreptungltiul.* 5. Un teren de handbalare ungimeade 40 m $i b(imea de30 m. La ce distanfe de marginea erenului se construiegeun gardimprejmuitor ung de 220 m?* 6. Daci mdrim atura unuipatat cu 2 m, aria ui se rnfuestecu 36 m'?.Careesteperimetrulpdtratului ni,tial?* 7. Dacd mic$ordm atura unui pehat cu 1 m, aria lui semic;oreazl cu 9 m'?.Carea fostpedmetrulpitratului inifial?* 8, Lungimea mui dreptunghieste cu 8 m mai mare decatlalmea. Dace mtuim litime clr 5 miii mictorelir ludqlmeacu 3 m,obtinem o figula cuperimetnil de 28 m. Carea fostperimetrul igurii

iniliate?* t. Un teren dreptunghiularcu lungimeade 4 ori mai marcdecet 6limea, este despi4it in 4 suprafefe u aceea$i rie. Precizaficardin varianteleunndtoarede construclieagardurilordespirlitoareestemai eftina?

sau

* | O, Lungimeaunui &epnmghi estede 5 ori llrai maredecatlitimea. Daca mtuim lungimea cu ruloarea le{mii $i ligimea cuvaloarea ungimii, figura oblinuti are perimetrul 24 m. Care esteperimetrul igldi ini,tiale?


30/59

?ANTEAAII-A

*s6* *s7*

ffi f. in patrLr dzi seafle caise.Numerulde caisedin fiecareladecrcstedin t in 2. Ce ransferuri rebuiese acempentruca n celepafu lezi sAavemacela$inumdrde caise?

ffi 2, Sumaa cinci numerenaturale onsecutiveste235 C'rcsuntn;erele 9i ce transferuri rebuiesa facempertru caacstea efie egale?ffi . impitritr-rluaui numir esteegalcu dublul altui nurEi$tiind cAsurnaor este36,aflali cele douanunere'

ffi 4. Triplul unui numaresteegal cu dublul altui numir' Si

se aflenumerele, hindca surnaor este40ffi 5. Dou6 cdrf au impreund365de pagini Daceprima aravea cu 5 pagini mai pu1in, atunci cea de-a doua ar rcprezentajumitaie dinprima. Catepagini are iecarecarte?X 6. La olimpiadade matematiciaupalticipat 28 debeieli $ifeft. D;n numnrulbnielilor ar fi fost cu 3 mai mic, atunci umetateilin numerul or arfi reprezentat treiapall din numarul etelor'Ca,tibeiel $i cate eteauparticipat a olimpiadATX 7. Un eleva citit o povest n douAzile Dacd n p ma ziar fi cfr cu 4 pagini mai mlrlt, atunciun sfert din acestnumir ar fircprczentato ieime din mrmirul paginilor citite a doua zi Catepaginiacitit in frecarezi, $hindcepovestea al'ut45depagini?

L ?NOS'f;jMEABEENEaOLVr?Nll MEtooAFto,tlfitve


31/59

ffi 8. Sumaa nei numere ste819.Primulestede 4 ori rnaimare ecat l doilea, ar al treileaeste galcu diferenJaintreprimulnumir$i dubll celuide-alaloilea. dseaflecle lelnumere.X 9. Suma trei numere ste860.A1doilcaestcdc 5 ori rnaimare ecat rimul, ar al treileaeste galcu dilerenta intreal doilea$iprimul. AIlali cele rei numere.ffi 1O. Suma treinumere ste400.Al doilea umarested4 ori mai maredecat rimulmic$orat u 15, ar al fteilea eprezintesunacelorlalle ou i. AIlali numerele.ffi I l. Suma trei nunere este138.A1 doilcncstede 3 orimai nare decatprimul micsorat u 12, ar al trcilcaestcegal cudiferenla intrccelelalte oun.Allali numcrele.ffi 12. Avem o mullime de numercnaturale onsecutivenenule crisc n ordine rcscitoarc, ouenumere lituratedin mul-

limc au suma23. )up cl sunt ot atatea umre ite sunt naintealor. CAte umere remu\imea$i careeste umaor?ffi 13. Sedau rei numere. l treileaestede 3 od mai maredecetal doilea9i cu 84 mai mare decatprimul. Allali cele treinulncre, tiind i pri ul estemaimic cu 12decat l doilea.ffi 14. Peste ani Cristian$i Bogdan or avea mpretmd 8 deani.DifercnFdevalstedintreei este e4 ani.Ce ani aualllt acum5 ani?X 15. Afla1ice varsti areacum iecare opil,qtiindcAdiferen,ta

dintrebiiat $i fati estede 3 ani, ar peste15 ani tatdl or, careacumare44de ani,vaavea arsta gald u suma ersblor celordoi copii.ffi16. Suma trei numere ste80.Primulestejundtate in aldoilea, ar al treileaestecu 3 mai n1arc ecat umitatap mului-Aflati numerele.

ffi | 7. Sumaa nei numeresteE7.Primul estede trei ori maimaredecat l doilea,ar al treilea ste u 12mai mic decatjumitateaprimului. Afl ali numerele-X 18, Suma trei numere st79. A1 rcileaeste u 7 maimic decit al doilea,ar ai doileaeste u 5 maimaredcatumitateaprimuluj-Si scaflecele rci numere-X | 9. Aflali douenumerc, tiindci suma intredublulpri-muluiqi riplul celuide-aldoilea stc252, aral doilea ste undtateaprimuluinumir.ffi 2O. Acum 7 ani mamaava26 dc ani Peste3 ani va aveavarstaegald cu sunu varstelorcelor trei copii ai sii la timpulrespectiv. dse afle varctel opiilor,$tiindci ele sunt cprezntatep{in numore onsecutivempar,ffi 2l, Luoiaare 18ani.Peste ani va avea uma arstelor ecaro c aveauStclice$i Alin acurn3 ani Si se afle varsta iecfuuibAiat. tiind i Stelicit stccu 3 animaimarcdocatAlinffi 22, intr-ogospodiric untoi, capre i gdini, n tolal 208depicioare. i seaflenumarul e capctc, tiindci oi suntde 3 ori maimultcdecat apre,ar giini dc 6 ori maimultedeciloi .ffi 23. intr-ogospodnrieunt120de picioare e oi, gdini9ira1e.Giini suntde 6 oli mai multedecatoi, iar ratemai pulinecu5 decatumltate din numirul gdinjlor. Sase afle cile Yiefuitoare unt

de fiecare el.ffi 24, intr-un pa.c slmt copii care se plimbd cu maiinu,te,biciclete i trotinete,n total48 de oti. Caficopii sunt n parc,stiindci cej care au ffotinete sunt de doud ori mai mulli decat cei cuma$inufeidedoueori maipu.tini ecat ei cu biciclele?

*58* *59*


32/59

X 25, Acum3 ani a151vea arsta ctuald mami,ar peste4 ani elilava avea arsta ctualia biiatului.Mamaeste e 4 ori maiin varsti decat baiatul, iar peste5 ani, cei patru membri ai familieivor aveamDreuni 9 de ani.CAtiani areacum iecar?ffi 26. Sumaa doui numereste cu 18 mai mare decetdiferenfa or.Si se aflc cele doudnumere, tiindci diferenla1orreprezinteun sfert din numirul mai mare.X 27. Catuldintrsumasidiferenla doul mrmere ste3 $irestul . Aflati numerel,tiind i difcrcnla stcmaimici decat umacu28.ffi 28. in 3 ghivcce unt30dc Ilori. n primcledoua, umerulflorilor reprezintd umere onseculive,ar in al hcilea sunt cat ncelelalle ouir a un oc.Cate lori sunt n ficoarc hivcci?f f i 29. Arrdrcr c i l i t o cancdc 72 dc pagrnin 4 zi ie. n apatra i a citit cat n primelerei zile a utxLoc,ar n primelerei zile,numirul paginilorcitite n fiecare i reprezintd umcrc onsecutiveparen ordin rescitoare. atepaginia citit n fiecarc i?ffi 3O. Suma patrunu ereeste125. rimele rei s nt conse-cutive mparc,ar al patrulea ste u 9 maimic decat l treilea.Seseafle numerele,ffi 31 . Daci dub1ul nui nu er este24, cat eprezinti ] din e1?3X t2. Un dreptunghi u perimctrul c 3 920mm are ungi-mea cu 28 cm mai mare decat ilimea. Sa s,3afle dimensiuneafiecdreiaturi.ffi 33. Perimetrul unui dreptunghieste mai mare cu 24 cmdecatftimea$i cu 21 cm decatlurgimea. dscafle alurile.

ffi 3,1. un dreptunghiare aria de 63 cm'z,ar perimetrul de32 crn.Afla1idimensiunilereptunghiului.ffi 35. Un gmp dc copii trebuie azat1aun cemin Dacaserepafiizeazicate3 copii intr-o camera,aman14 copii necazali Dacisecazeazdate4 copii ntr-ocamerd,imine un copilnecaT-at.el icopiisunt$icate amere untdisponibile?X 36. O inireprinderee construclii trimis a o fabricl decimentun numir dc camioaneenfluaprovizionare.aci s-arpunecei 100 de saci in fiecarccamion,ar mai r.imane100 de sacineincAlcati,ar daci s-arpunecete150dc saci n fiecare amron, rrimene reicamioaneoalo iunulcu 100de saci.Si safle:a) numarul amioanelorial sacilor;b) doui variante arevi spar potrivitepcntrua inc6(ca aciiin camioan.ffi 37, Suma douir umere ste15.Dacdpe primul l mdrim

de 3 ori, iat pe al doilea l mic$orem e 4 ori, sumaacestoma fiegalicu 23.Aflali numerele.ffi 38, Difercnlaa doui numere slc6- Dupircc pe pimul ilmicoorem c 5 ori, al pc al doilea e 2 ori, dilcrcntaor dcvine uli(egale u 0).A0ali celedouiinumere.ffi 39. Acum 5 anisuma arstelor trei fia1icrade 16ani Seseaflc varsta iecfuuia,tiind ci peste ani ftatelmai mic va aveavarsiaactualia ftateluimijlociu, ar acum5 ani, fratele nai marc

area usra eluimic.ffi 4O. Un gospodar regiini, ra1e, orci5i cpuri, n total 258depicioare.Sd seafle numAruldecapet,gtiind cA af suntde doui omai putine dcatgnini, iepuri dc 5 ori mai mulli decat porci, iarnumdrul epicioare l iepurilor ial porciloresle 8

*60* *61 *


33/59

ffi 4l . Un grupdeexcursioni$timerge a masd.DacAse a$azacate4 la o mase, iman 6 excursioni$ti E i loc. Daci se aSazicate6,rdman3 mese ibere- Cafi excursionitti ti catemeseau fost?X 42, La o moare'-a adus ntr-ozi greupmtru macinaL.n3 .^.^^^ 2..acea l 5-amactnat $l Inca6uu (g- eea e repfezrnla drn

cantitateaaduse.Cat kilograme de gau au fost aduse n aceazj lamoard?ffi 43. Ce numaradmat cu sfertul sAuesteeg l cu 220'lffi 44, Dacd din 400 se scade np5tritul unui numdr se ob-,tine12. Careesteacelnumir?ffi 45. Un grddinarare risaduri de ardei. DacApunecate 8 pun rand, i mai riman 1l rasaduri, ar daci punecate 10, i rinane unrand cu 5 dsaduri. Cate anduri apregitit $i cate esaduria a\,'rrt?ffi 45. Un cnhtor merge n prima zi un sfert din drumul pecare l aveadeparcurs;a douazi mergeo umitate din rest, a treia zi,)merge drnce a ramas. ara patra i restul e 20 km.Care cle un-

gimeadrumului?ffi 47. Sumadintre diferenla$i catul a doudnumereeste21,iar pdn impi4tuea diferentei la cat obtinem 3 $i restul 1. Aflalinumetele.ffi 48. intr-o cofeterie, acd ea$aza ete3 scaunea fiecarernase,dman 4 scaune, ar dace se a$azacete 4 scaune a liecaremasi, dmane o mase ire scaune$i o rnasAcu doui scaune.Catemese$icate scarme unt n cofetarie?

*62* *63/.

ffi 49. Suma a doue numere este24. Dac6'pe primul ilmicgoremde 3 ori, iar pe al doilea l rnirim de 3 ori, suma or nu seschimba.Afl af numerele.X 50. Catva muncito au plantat un numer de pomi in

4 zile. in primazi auplantatcu 8 maipulin decat din total, a doua3zi au Dlantat din rest,a treia "i cu ? mai pulin decatumatatedin'1noul rst, ar a paffazi auplantat35 depomi. Cafi pomi s-auplantatin primele rei zile?

X 51. impe4ind sumaa doui mrmereh catul lor, oblinemcatul l0 $i restul 2. Daci seadunl sumacelordoui numerccu catul1or,ob,them35.Sd seaflenumerele.ffi 52. Diferenlaa doudnumereeste 28. S[ seafle numerele,

$tiind cA daci mdrim al doilea numlr d doue oi, iar p primul ilmic$olemdedouaori, atuncisumavafi egalacu 344ffi 53, Dacndintr-un umir luim 15, ar a cincimeaestuluiadunim87,obtinem um6rul.Care ste cest umer?X 54. Sfertul umdtilii sfrtului unui numi. est 12. Afla.tinumdrul.ffi 55. Daci mirim de 3 ori un numir, atltnci el va fi mai

marecu 108decdt din valoareaui. Careestenumirul?4X 55. Dacd la sfertul unui numdr adiuglm 28, oblinemdublul nunardui. Careestacelnumar?


34/59

ffi 57. Sumaa trei numeroeste45. Sdse afle numerele, tiind. - I . . . . '7 . .capnmur epreTrnradrnai oo ea. arat eltea dtnpnmul,

X 58. Seseafl trinumere,$tiindci sumaor este166,primulste u 29 nrai nare ecat l doilea,ar al tieilea cprezind1 * tt-t.5

X 59. Perimehul nui dreptunghi sre e 108m. Sa seanearia, $tiind cd dimensiunile ui sunt reprezentate dn numereconse-cuh\epare,X 60. Un dreptunghi$i un pitrat au aceeagiarie: 81 cm2.Care diite cele doue igui areperimehulmai mare? lK 6l . in tli butoaiesunt450 / de vin. Dupi ce se ransferdun sfert din primul butoi irl al doilea, iar un alt sfert in al treilea,

atunci n cele rei butoaievor fi cantitAli egale.Celi litri d vil au ostin fiecarebutoi?X,62. 100de copii din 4 clasea$lbapti d ntle in $coali.Dace ar trece 2 copii din prira clase n a doua9i a\i 2 copii'in ateia. iar un copil trecedin a rreia n a patraclasii.atunct lasele ra\eaefecr ivegale. el i opt i unl n iecarelaoe?X 63. in doue cudi srmt 280 de bomboare.Dace udmjumdtate din bomboaneledin prima cutie gi le punerir n cea de-a

doua, atunci n a doua vor fi cu 70 de bomboanemai multe decat nprima,CAte omboaneunlacum n fiecafe ulie?X 64. Patrumuncitori,au sdpatun $anI n felul urndtor: aldoilea a sepatd 8 ori mai mult decatprimul, al heilea-asepata heiapaftedin cat au sdpatprimii doi, iar al patruleaa s;pat a treia parte

*64* *6s*

din cat au sepatprimii tei. Sd se afle cat a sdpat iecare,$tiind cd aldoileaa sdpat u 20 m maimult decatal parulea.

X 55. Mic$orand u23 suma treinumere, blinem 63.Sase afle numerele,$tiind cA pdmul estemai mare cu 106 decat aldoi leaj cu50 naimicdecat l rei lea.

ffi 66. Sumaa doui numereeste 65. Dacepe primul ilmirim de 4 ori, iar pe al doileade 3 ori, obfinem uma 31.Deter-minali numerele.X 57. Meilnd de 4 ori primul numar $i cu 4 pe al doilea,oblinem surna88. SA se afle numerele,gtiind ca diferenla dintre aldoileaSiprimul este9.ffi 58. Mamaavea26 de ani cind s-a niscut biiatul qi 28 deani cands-a nescut ata. Acum varstele utwor insumeazi69 de ani.

CAli ani are iecare?ffi 69. Suma a doue numere este 312 Dacd pe primul ilmerim de 9 ori, iar peal doileade 3 ori, oblinemnumercegale.Si seafle nurrcrele,ffi 7O. Dacn adwem fiplul unui mrmer cu dublul altuinumir, obrinem270. Sd se afle numerele,$tiind cA triplul primuluiestededoui oi firaimaredecatdublul celui de_aldoileaffi 71. Un pix costd cat dou6 caiete.Un pix $i tm caiet costd3 lei. Cristian re18 ei.a) Catepixuri saucatecaietepoatecumpdra?b) Carcestenurnerulqgaldepixuri 9icaietece sepot curnpera?


35/59

ffi 72. Sumaa 4 numereeste 106. Se se afle numrele, tiindc5 al doilea este mai mare clt 5 decato treime din primul, al treileaestesumadintrep mul $i al doilea, ar al patruleaestemai mic cu 5decatal treilea.f f i 73. lrercopr i u rn roral 9 denucl.DupA epr imul r i-meqteun numdr de nuci, al doilea de doudori mai multe decatacesta,

iar al treilea de 3 ori mai multedecatplimul, acum ieca-re re acela$inunft de nuci, n total I I I . Catenuci a a\.ut nilial fiecare copit?X 74, Trei copii auacela$inumir de bomboane.Dupdcep.i-mesc14 bomboane, u impreund 7 de bomboane. e se afle catebomboaneare acum iecare,$tiind ci al doilea a pdmit jumdtatedincat a p mit p mul, iar al heilea umdtatedin cat aprimit al doilea.ffi 75. Trei copii au 72 de cire$.Dlrpi ceprimul consumecateva cire$, al doilea de doue oi mai multe decatacesta, ar altreileade 3 ofi mar multedecarprimul. fiecare amene u aLireacfue$eatau consumatmpreunl. Cateciresea a\ut fiecare copillffi 76. Cubaniipecare i arc,o gospodine oatecumpim 2 kgdeportocale au8 kg de artofi. Cali bani aregospodin4daci difercnladintre kg depoftocale$i I kg de cartofi estede3 de ei?ffi 77. Suma a doud numereeste 72. SA se afle numercle,$tiind cA un sfefi din al doilea numd. este mai mare cu 2 decat msfef l inprimulnumar.ffi 78. Un elevspme cd a citit o cincimedintr-ocarte, lar dacaar mai citi 4 pagini,ar ajungea sfertul ei. Catepaginiarecartea?ffi 79. Perimetrulunui triunghi estede 24 cm. SEse afle lun-gimile laturilor sale,$tiindci ele slurtexp.iinateprin numerenatuale

*66* *67*

ffi 8O. Sumaa dou[ numere 'ste 0. Sd seafle numercle,tiindce sfen[ celui de-aldoileaestemai nmecu4 decatjumdtatearinnrlui.X 81. Sese mpanenumdrul84 in patrupd4i, astfel ncatprima parte mpndti la 4; a doua mp6rfln h 3, a treia mpa4ite a 5,iar apaha pafie mpir,titi la 2, se deaacla$i at.

ffi 82. Numirul 125a fost impd4it in patruptuti astfel:prinlaparte este umitate din a doua,a treia parte reprczintf, sumadintreprima Si a douaparte, iar parteaa patm este cu 5 mai mare decatjumitarc din a treiapafie.Sd seafle fiecareparte.. X 83. Dace dintr-un numer se ia o pdtrime $i la rest seadauga12, seoblre 24. Carea fost numArul?

ffi 84. Un firan aregdini li oi, in total 77de capete$i 184 depicioare. eleor i cetegainjare dranul?ffi 85. Un gospodarreoi, capre, dini$i ale, n total 118ca-pete $i 272 de picioare. Si se afle cateanimale suntdin fiecarefel,$tiind cAoi suntde 5 ori mai multe decatcapre, ar mie sunt de 3 onmaipuline ecdl dinj.ffi 86. in doudcutii sunt 54 de bomboane.Dace au umdtatedin numerul bomboanelor in prirnacutie si le mut in a doua, ahmcinuminrl bomboanelor in a douacutie se dubleazi. Cate bomboaneau fost la inceput n fiecarc cutie?ffi 87. Sumaa doudnumercestecuprinsdntl 78 $i90, catuleste4, iar restul4. S5se afl celedouenumere.Catevaiante sunt?ffi 88. in tei sacierau116kg d zahAr. updce din primuls-au uat 25 kg, din al doilea 16 kg, iar din al treilea 27kg, in cei trei

de chibrit Da'a se au din


36/59

saci au rdmascantitdqi eprezentate n numereconsecutiven ordinecrescdtoare. ate kilogramede zahSrau ost la inceput n fiecarc sac?ffi 89. in dounvaze sunt 20 de flo . Dacemut doui flori dinprimavazd n a doua, ahrnci n a doua azi vor fi de 3 ori mai multeflori decat n prima.Cate lo.i au fost in fiecarevazd?ffi 9O, intr-un gnrp se afl6 cu 12 copii mai mult decat n altgrup, iar prtu impe4ireanumdi:ului de copii din primul glup la celde-al doilea se obline catul 2 $i restul4. Din numarul total de copiiweau sA omez 4 echipe.Cati copii vor fi in fiecaregchipd?X 91. Pedoui talereale meibalanle eafld 12kg de ndlai.Daci se au 2 kg de mehi de pe al doilea taler gi sepun pe primul,atunci balanta se echilibre^zd.CAte kilograme de milai au fost peIiecare aler?ffi 92. h 3 navereunr 5 desncle.Dacamuts shcle inprima

in a doua$i6,din a doua n a treia,atunci n cele rei navete fi acelaqinumerde sticle.Catesticleau ost a inceputn fiecare aveti?ffi 93. in doui cutii se afli 42 decrete. Dace mut doui cretedin prima cutie in a doua, atunci in prima vor fi de doui ori maimulte cretedecat n a doua.Cetecreteau fost in fiecare cutie?ff i 94. h doua utii unr 7debomboane.acae au7 bom-boanedin prina cutie$isepun?na doua,atunci n a douacutie vor ficu 3 bomboane lai multe decat n prima. Catebomboane u fost infiecare utie?ffi 95. Pedouabervi aleuner osele irculi intredoua oca-Ltefi 75 d ma$ini. Daci un sfert din nurndrulma$inilor dpe pfinabanili ar hece pe banda a dou4 atuncipe banila a doua.ar circulaiumatare in numarulmasinilor are cLculau a inceput e bandaintei. Catemasini aucirculat De iecare bandi?

*68* *69*

X 95. in trei cutii sunt114bleorima cutie 24 debete,din a doua 13 be e' ar din a ria 32 de bete'atunci n fiecarecutieva ramaneaclafinumfude beie Catebele dechibrit au fost n fiecarccutie?X 97, Adminisffafia unei taberes-a aprovizionat,pentru

seriede copli.cu camedepamrori aslfel:prirna ataa cumpdralI5din cantitatea otale ti inci 50 dekg; a douaoarda crmrperat dnrest$i inci 50 de kg; a teia oari a cumparat u20 kg maipulin decatiumitate din noul iest, iar ulrima oar6 a cumptuat215 kg Cu catei.ilogru-e d" "um" .-u aprovizionatabdrapentruaceaserie?

M 98. Sumaa fiel nuinere ste25 Marim fiecare umar uprimuftmar, iarpenmlcaele 5a ie egale. rimuluj rebuie t-i maiadundm1, ar celui de-al reilea4. Afla nurnerele'ffi 99. Pe doui rafturi sunt76 depaini- Dace au 5 paini depeal doilea raft 9i le punpe primul, atuncipe acesta or fi de3 ori ma1multe paini aecatpe at aoitea.Carcpaini au fost pe fiecareraft lainceput?X lOO' in doudgrupuri sunt 24 de copii' DacAdin primulgup vin 2 copii in al doileagl1lp,atuncj n primd remande 3 ori maimulli.CeF opiiau osl n fiecarerup

ffi | Ol. in trei clase unt7l deelevi Dupdcedinp ma chsaies n G'uza 18elevi,din a doua 0 ele\'r.ar drna trerr7 elevi inorinra lasa ,mAnde doueori maipulini elevidecel n a doua ar ini treia de 3 ori mai muli decat r prima. Cali elevrau fosl la ora infiecarc lasi?

ffi 102. Un numtu este triplul altui mrml{. Daci adrmim M lO9. Avem cuoinumerolatee a I la 8' f iecareonu-


37/59

triplul primului nundr cu dublul celui de-al doilea,ob.tinem 40. Sise detrmine eledoui numere.ffi | O3. Trei copii citescacea$i arte.Primul a citit 82 depagini; celui de-al doilea -au r4ai rfunasde citit cu douepagini maimult decatprimului; al heilea mai arede citit de doudo mai multepagrni ecat l doilea, dic6 6 depagini.Sdseafle:a) carcpaginiare caltea;b) catepaginia citit al doilea copil;c) cele agini cir ir l rel lea opil .X l04. Dilerentadoua umere{e 8. Suma inredublulnumaruluima.e$i triplul numerului mic este86. SAse afle numerele.f f i lO5. In treichse5unt l decopii . n pauzaesdinpr imaclasl 16 copii,din care4 seduc a colegii or din a doua hse;din adouaclasi ies 12 copii $i ldman cu 9 mai mul(i decat n prima clase,

iar din a heia clas5 es6 copii 9irimAn de doui ori mai multi decat npnmaclasa.SasedeErmrninumdrul e copiidrn iecare lasA.ffi | O5. Surna douanumere sle25.Drferenla intresfenulprimului numlr $i treimeacelui de-al doileaeste . Allali numercle.ffi 107. Trei'copii aveau iecarcacelaginumia de nuci. Dupece fiecaremenancd10 nuci, le mai reman h un loc tot atateanucicateavea iecare a inceput,Catenuci avea iecare?ff i lO8, Arem6cuti i . iecareineleconlinandcela$iumarde creioane,Dacadrn fiecare ulie luamcale5 creloane, nrnci ncele6 cutii rdman n total atatea reioanecateerau n fiecare cutie aincepul.Cate reioane u olt la incepul n fiecare ulie?

*70* *71 *

ndnda?lasi numarde creroane. aca uamdin llecare ulreatateadeioane c;te indica numirul ile ordine, atunci n cele 8 cutii lam:inJAteacreioanecataufost la inceput n 5 cutii Cate ieioane au ost'la inceput, n fiecarecutie?ffi 1 | O. Sumadintre descdzutul, cizetorul 9i diferenlauneiscederi*este 00.Reconshtuifiscdderea, tiindci scizdtorul estede

3 ori maimaredecatdilerenta.X I I l. Sumrd,nredescblutul.c'zalorul rdiferenlane lscaderfi.tc 160.Reconslituincaderealrindca scaza{orul5(e u20 mai nare ecal il-erenlaffi | 12. Suma douA umelenaluftleeste70' jar diferentaloresleo n-ermernnumirulmic.Sasealleceledoudnumereffi I | 3. Sumaa douf,numerenaorale este100, ar diferenta

lor estJi treime lin numerulmare.Sese afle celedouanumere'ffi | 14. Suna a doudnumerenaturaleeste63 DacAscddemdin num^mardai mic 3, oblinem un nurnir de 5 oli mai mic decatnumirul maimarc'Carcsuntceledou[ numere?ffi 1 15' Sumaa doui nume.enaturaleestecu 80 mai maredecatdiferenla or. Sese afle cel mai mic difltre Ilumere'ffi I | 6. Sumaa doui numerenaturaleestecu 90 mai maredecetAifrenla lor sau ale 4 ori n1aimare decataceasti diferenli'Aflati celedoui numere.f f i 1|7. lonel re25de mete ar Nicuare 0 mereDacd erdoi orilmes"acelasinumdr de mere, Ionel v aveade doueori rnaimulte meredecatNicu Catemereaprimit fiecare?

ori nmi multt apirdecal n


38/59

ffi 1 18. Rdzvanare 25 debomboane,ar Adrian are 10 bom-boane. Daci fiecare din cei doi copii minanci acela$i numdr debomboane, ui R5zvan i vor rimane de 4 od mai multe bomboanedecat ui Adrian. Catbomboanemirancd fiecare?ffi | 19. Doicopir u mpreuna8de nuci.SrindcAunuldi nei are.cu8 nuci mai mult decetjun5tatedin numdrr-rl ucilor celuilalt,sd safle cate iuci are iecar,f f i l2O. Doi copii ezolv6mpreund2 deprobleme.$nindce unul din ei rezolvd cu 12nai mult decato treime din nullrirul deproblemeezolvatede celdlalt,sdseafle cateproblerneezolvi fiecare.ffi 121. Ca se cumpde un obiect, Mihai mai are nevoie de5 lei. Ca si cumpere acelagi obiect, Nelu mai are nevoie de3 lei. Dacd gi prmbanii la un loc 1emai rdmane leu. Ce sumeaveafiecare$i cat a costatobiectul?ffi 122. Ca si cumpere n obiect,Danamai arenevoiede7 lei- Ca sd cumperc acela$i obiect, Ioana mai are nevoie de5 lei. Dace qi punbanii a un loc, mai au nevoiede 2 lei. Ce sum6avea iecare icata costal biecrul?ffi 123, Doi copiiau de rezolvat mpreunl60 deprobleme.Daci primul at rehlya de 4 ori mai multe probleme decat qi-apropus, ar al doilea de doudori mai multe, atunci ar rezolva mpre-lme 170deprobleme.Cateproblemeare de rezolvat iecare?ffi 124. intr-un depozitsunt de 3 o.i mai multe cerealedecatin altul. DupAce se scot din p mul depozit 95 de tone, iar din aldoilea 15 tone, in cele doud depozite riman cantitifi egale. Cecantitatede cerealeemla inceput n fiecare depozit?

*72* *73*

skt 125. irtr-un vas seaflad Iatrul.b?ca n pr;mutvass-arnui adduga0 l iar n celde-aldoileaao7. o*tt"i i" ""t" aouzvasear fl cantitdfiegalede apa Cecantitatedeapda fost a nceputn llecare as?ffi | 25. irrtr-un vas safli de 4 ori mai multd apddecat naltul. D^acin vasulmai plin mai addugnm 0 C, ar in celalalt l0 'deaD6. tuncin primul rai va fi o cantitate e3 on mai laredecetn

"ital"lt. C" "untitut d. api a ost a inceputn fiecare as?M 127. intr-ochsa suntde douaon maimulte feledecatbaieli.Gca in clasaar md veni? baiei $i ar plecadoua ete atuFcii '-nJ-t i"t"tot u, n .gal cunumtuulbliefilor' Cate etesi ca$ baietisunt n clasd?DK 128. inn-o clasasunlde dour4 ri mai multe ele decalbdieli.Gca in clasdar md \eni douii ete$l ar pleca baieli'atunci

'"-li-fi"i"Gt

".n a"4 od maimare ecet umerd nieflor'cate

fele$i cdli beiei sunt n cla'a?DK 129. La un magaTin.anlilzteae cirese coa)ea ?m,zaree"le d;ori mat maredecalceade 4fFe Dacasevend20 kgdeclreie,iiOt s d" uirrn., t"i tamat de "andulde 8 ori maimulreciresedecall.io.i. .-rit* a. fucted n ietare el a fost coasea anz e?DK| 30. t a unconcurs uparriclpat aieti l lete Numarulblie-dlores?cAturnatare lu: 5 drnnumarulelelor'Dupa rimaproba uilri.Urnr*fi Z U;"ri 9r5 fere- aminandn conclm un nunlir egalde

tai"ti ti a" i.t". Cati eief li cate eteaupafiicipat aconcurs?ffi 131. La un concurss-au nscris beieli $i fete Numdnrlfetelor-inscrise in concurs este o treime plus unu din numirultJi"6iot. Oupap.i-" ptobi au fost eliminali 6 beiefi ti o fatE'rdrna-

nand n concus de doudo mai mulli baiefi decat ete. Cali bdiei elevl propus arezolve cela:inurruiLre


39/59

$icat ete s-au nscds a concurs?ff i | 32, Doi copi iau cumparal minge u i4 lei . t imul ddat tofi banii sii, iar al doileaa dat umetatedin banii sii. Dacf,primul dddea oarjumdtatedin banii sei, ar al doilea d-idea oF baniisii, le'ar mai fi febuit I leu. Ce sund aavut fiecare?ffi 133, Doi levi au cumperat d4i in valoarede 43 lei.Pentu apldti aceste drli primul a dat oF banii sii, iar al doilea doudhimi din sumasa. DacAprimul dddeadou5 reimi din sumasa, ar aldoilea l$i didea toli banii, ar mai Ii trebuit I leu pcnffu a puteacumpdra arllle.Cesuma awt fiecare.)ffi | 34. Doi copii au cump5rat saniede 50 de ei, penhucarcp mul copil a pus trer sfenuri din sumape car o avea. arceldlalt oti baniipe carc-iavea.Daci primul copil ar fi dat toal4sumasa, ar al doilea ar fi pus doar 1lei sferturi din swnape care o

avea, ei doi copii ar fi pututcumpera sanie u 5 lei mai scumpe.Cc sumi aver iecare?ffi | f5. Doi fraliau cumpAratmpreunlun dicfionar e 59deIlei. penmrcareprimulcopil a pus : din sumape careo avea,ar42.. 2..cetatatr pus - otn suma x.uacapnmulcopllar Tlpus Gtn urL:t

pe careo avea, ar al doiiea copil ar fi pldtit cu hei sferhfi din sumape care o avea, atunci le-ar mai fi dmas 1 leu. Ce sume a allltfiecare?ffi 136. Cdtula dounnumere ste6. Dacdmictordmdeim-p5r,titutcu 96, iar impertitorul de 3 ori, catul remane neschimbat.Atlali celedoue umere.

* i4* *7s*

M lf7. Doi si-auoroble^nre.upa eprimL,l reTol\'?Io plobleme ar al dorlea 8 de;;;il;.;, constaiai primul mararede rc/ol ?r de douaori rnaii"ufi" ptoUf".n" decat ai doilea. Cate probleme ava de rezolvatfiecarcelev?ffi | 38. Un numnrnatuml estede 3 ori mai maredecataltnumi ^natural.SAseafle cele dou[ numere,$tiindcd diferentadinfte

dublulprimuluinumdrqi riplulceluide-aldoilea ste 0'M | 39. Marind u I0 irnpitntul nuinumar atural blinem nnumar^cu maimare ecat umerulnillal Care foslacel urn'4r?DK 40. Marindcu I0 sfertulunuinumdrnaturaloblinem nnumar? I 1 maimicdecat umarulnjlial Carea foslacelnumft?X | 41 . MicsorAndu2? mpetritul nuinumer atural' bli-n"- ul n*a,

"u3 mai matedecet utn5rulnitial care a fost acel

num6r?M | 42. Din comandaecareo a\cade onomt un muncilor

"*".ur?rnui inLAi n fer. opoiiutatale di resl$i in 6nal uhimele12piese.Cate iese vea eexecutat uncitorul?M 143. Un camion ncarcalu canof i asao lecimedi nincdrcfird la primapjald.o Edmedin rest aa douapiatir'umilateiir-""ri t." fl, u tt.in pi"lu 5i ultimele3 lone a o cattine Cu celetonea fost ncErcata inceputcamionul?DK 144' Din cut iacu bomboanee carea primit-o e lafuni"frt\1"i, aa u.o.it saleun slerl o rermedin resto di unuiprie-ien. ar ur i mai amdn0 bomboane etebomboaneraua incepulin cuti?

ffi 145. Jumdtate in apaftame.nteleepe scaraunui bloc au DR 5l. Llevi iuneiclase u panioipala amma;areane r


40/59

douecamere, zecimedin rcstau 4 camere, oui treimi din noul restau 3 camere,ar ultimele 3 au cate o cameri.Cate apartamente rmtpescare?X 46. cradina din fala caseiesteorgani,,ardsrfel:o cincime in suprafalai tl incA 0 m'esreculLivatau f lor i ,oneime in resl5r nci 20 m secult i \A u legume.eJumataleinnoul rest ;i incd 10 m'?se planteazl pomi, iar ultimii 30 m, suntpmtrualei.Ce supmfataregedlna:f f i 147. lr inaavea e ci l l r o care. n primazi a ci l i l cu5 pagini mai mult decatumatatedin numdrul otal depagini, a douazi a citit cu 10paginimai mult deceto treimedin rest, ar a treiazi aci l i lulrmele 0depaginr. ale aginr \a anea:DKI148. Din toLalul tsenlorexislenlenr-o cune.w slert$iinci l0 suntgdini,a cinceapartedin rest$i ncd 16 sunt a1e, treimedin noul restSi nci 7 slmtga$te,ar reshrlde 9pasfuisunt clllci. Catepdseri un(_ucufie?ffi 149. Panu muncitori au de xecutato comandd.primulmuncltor executi cu 10piesemai purin decatumetatedin numdrultotal de piese ce trebuieexecutate.,Al doilea muncitor txecute cu6 piesemai mult decatun sfert din restulpieselor.Al treileamuncitorexecutd u 5 piesemai mult deceto heime din noul resl,iar alpatruleamuncitor executaultimele 11 piese. Cate piese aveaudeexecutat ei 4 mlmcitori?X l5O. Anal inrr-oexcursie e J zile Lm opil chelruie$Enp.imazi un sfert din sumape careo avea a el gi nci 15 ei. A douazichelhrie$ten sfert dinrcst$i nce 18 ei, iar a treia zi cheltuieqteltimii27de ei.Ce sund aarut copilul n excursie?

*76* *77*

ponr-iuniain radinaScolii Un 'lefl drntreei $l incaJ au planlatio-i. o t .iti" ilin rest $i ince 4 au sepatstaturi penti flon' iar;ltimii 8 au amena.jatlei Cali elevi sunt n clast?DK 152. Din cantitalea e egurne ucare nisr Ia irg un t'ranvinde iccesrr:o zecime in cantitate:0 Lg: o zrcimedln ce a mairinlaq 13 kg o pitrime din ce amai arnas;25 kg un sfertdin noulrest

si irc; 10G; jumntatedin ce a rnairernas;15 kg Teranulse?ntoarcacasicu 10 ,gde eglrme.Cu cecantitate venit iranul h terg?5K 153. Alexandru prrmit n dar o cutiecu bomboanee

"".. l"? mat.rl ir 4 zile ir primazi a m2rncatn sfefldin loatebomboanele;i ince 5, a douazi a mancatcu o bomboandmarpuFndec6tumaraie ir ce -a rnai amas. treta i a rn'incal u dou{ibom-Uo-J -ui putindecel oue elmi dln noulresl iarapavazia

mancatultimeft 7 bomboane.Catbomboane veacutia?

X 154' Un lziranvinde inpiale mrre la-.5cump6raton

ftrmuGr.rrnpari u ) kg malpulin decalun 'fefl din cantilalea e"u." o ut"n 6r"nul Al d;ilea cumpara lecimedin resl5l nci 9 kge.t t.,t"u "urnpa.ao treimedin noul restsi inca4 kg Al patruleacumparaumaiaredin ce-i mai ramasesearanului$i incd I kgLllrrmul umpdrz kg Cecanlitale e mere vandutAranLrl?

ffi 155. Dace elvii tmei clase se agazdcate 2 in banc'"3 copii? au oc Daci staucate3 in bance, ouebnnci &nin-liberc'iarl"ii t"""a ta-a." a.*rrn copil Caf elevi$icatebencisrmtn clasd?Dkl 156. Un lrup de excursionitlirrea abepllmbe ubarcaoe Lac? Rosu Conducator,,lnrpulur ocolestea dacaar metge- ii

Documents

Carti Metoda Figurativa Matematica Pentru Invatamantul Primar Ed Carminis