DAN BRNZEI

MSURI N GEOMETRIE

MATERIAL PENTRU STUDII APROFUNDATE DE DIDACTICA MATEMATICII

2002 - 2003 FACULTATEA DE MATEMATIC

UNIVERSITATEA AL. I. CUZA - IAI

2

Cap. I Msuri Principale p.5 1.Preambul: Geometrie i msurare. 2. Msuri pe dreapt. 3. Msuri geometrice pe mulimea R. 4. Aria. 5. Drepte. 6. Cercuri. 7. Alte msuri n plan. 8. Rspunsuri la pauze de cafea.

Cap. II Diverse Geometrii p.58 1. Diferenieri. 2. Geometrie afin. 3. Geometrie proiectiv. 4. Programa de la Erlangen. 5. Geometrie hiperbolic. 6. Corpul coordonatelor. 7. Rspunsuri la pauze de cafea. Cap. III Transformri geometrice p.111 0. Preambul 1. Translaii 2. Rotaii 3. Simetrii fa de drepte 4. Izometrii 5. Omotetii 6. Similitudini 7. Inversiunile planului P 8. Omografii 9. Rspunsuri la PC-uri

Cap. IV Metode analitice p.158 1. Preambul 2. Repere afine i euclidiene 3. Dreapta n reper afin 4. Poziii relative ale dreptelor 5. Schimbri de coordonate afine

6. Distane i unghiuri 7. Cercul 8. Conice, studiu afin 9. Reducerea ecuaiilor conicelor 10. Forme canonice euclidiene

11. Caracterizri geometrice 12. Definiii geometrice 13. Proprieti remarcabile 14. Familii de conice 15. Rspunsuri la

pauze de cafea 16. Locul geometriei analitice Cap. V. Msuri complexe p.273 1. Proprieti algebrice 2. Interpretarea geometric

3. Operaii cu numere complexe 4. Studiul figurilor rectilinii 5. Raportul simplu a trei puncte 6. Biraportul numerelor

complexe 7. Probleme asupra cercului 8. Rspunsuri la pc-uri Cap. VI. Geometria triunghiului p.340

1 Preambul 2 Coordonate baricentrice 3 Coordonate normale 4 Coordonate seminormale 5.Glosar 6 Rspunsuri la pc-uri

3

Cuprins Cap. I Msuri Principale 3 fig PC 1 Geometrie i msurare 6 1 2 Msuri pe dreapt 8 1-4 2 3 Msuri geometrice pe R 14 6-8 4 Aria 16 9 5 Drepte 18 5, 6 10 6 Cercuri 22 7,8 7 Alte msuri n plan 28 9-16 11,12 8 Construcii geometrice 35 17-22 9 Rspunsuri la PC-uri 44 23-36

Cap. II Diverse Geometrii 58 fig PC 1 Diferenieri 59 13 2 Geometrie afin 60 1-7 14 3 Geometrie proiectiv 71 8-16 15, 16 4 Programa de la Erlangen 79 17, 18 5 Geometrie hiperbolic 83 17-21 19-21 6 Corpul coordonatelor 92 22 7 Rspunsuri la PC-uri 93 22-29

Cap. III Transformri geometrice 111 0 Preambul 112 23 1 Translaii 114 1, 2 24 2 Rotaii 115 3 25 3 Simetrii fa de drepte 116 4 - 7 4 Izometrii 120 8- 12 26 5 Omotetii 126 13-16 6 Similitudini 129 17-20 27 7 Inversiunile planului P 134 21-35 8 Omografii 152 9 Rspunsuri la PC-uri 153 36

4

Cap. IV Metode analitice 158 1 Preambul 160 2 Repere afine i euclidiene 162 1 - 3 28 3 Dreapta n reper afin 166 29, 30 4 Poziii relative ale dreptelor 170 31 5 Schimbri de coordonate afine 173 4 - 9 32 6 Distane i unghiuri 180 10-17 33 7 Cercul 188 18-25 35 8 Conice, studiu afin 196 26-32 9 Reducerea ecuaiilor conicelor 208 33-40 36 10 Forme canonice euclidiene 217 41-46 37 11 Caracterizri geometrice 226 47-60 12 Definiii geometrice 236 61-72 13 Proprieti remarcabile 245 73-82 14 Familii de conice 257 83-86 15 Rspunsuri la PC-uri 263 87-92 16 Locul geometriei analitice 268

Cap. V. Msuri complexe 273 1 Proprieti algebrice 274 39 2 Interpretarea geometric 277 1 - 3 40 3 Operaii cu numere complexe 282 4 - 9 41 4 Studiul figurilor rectilinii 288 10 5 Raportul simplu a trei puncte 298 11-15 6 Biraportul numerelor complexe 303 16 7 Probleme asupra cercului 316 27-39 46 8 Rspunsuri la PC-uri 330 40-47

Cap. VI. Geometria triunghiului 340 1 Preambul 341 47 2 Coordonate baricentrice 342 1-10 48,49 3 Coordonate normale 353 11-14 4 Coordonate seminormale 357 50 5 Glosar 359 5 Rspunsuri la PC-uri 392 15-21

5

Motto: Totul n geometrie este cu msur

Cap. I MSURI PRINCIPALE

CUPRINS CAPITOL I

1.Preambul: Geometrie i msurare p.6 2. Msuri pe dreapt p.8 1. Lungimea unui segment p.8 2. Raport simplu p.11 3. Biraport p13 3. Msuri geometrice pe mulimea R p.14 4. Aria p.16 5. Drepte p.18 A. Unghi p.18 B. Unghi orientat a dou semidrepte p.19 C. Unghi orientat a dou drepte p.19 D. Drepte orientate p.20 E. Distana ntre drepte p.20 F. Familii uniparametrice de drepte p21 6. Cercuri. p.24 A. Unghi a dou cercuri p.24 B. Tangente comune p.24 C. Cicluri p.24 D. Teoremele lui Casey p.25 E. Modelul lui Feodorov p.27 7. Alte msuri n plan p.28 A. F - un punct p.28 B. F - pereche de puncte p.28 C. F - triplet de puncte p.31 D. F - o dreapt p.31 E. F - o pereche de drepte p.31 F. F - un cerc p.32 G. F - pereche de cercuri p.33 H. Locuri geometrice p.34 8. Construcii geometrice p.37 A. Figuri p.37 B. Existene p.38 C. Probleme de construcie p.39 D. Etapele unei probleme de construcie p.40 E. Exemple de probleme de construcie p.41 9. Rspunsuri la pauze de cafea. p.44

6

1.Preambul: Geometrie i msurare

Exist o impresie c ar exista, n regatul matematicii, dou trmuri distincte i disjuncte: o lume G a geometriei alctuit din figuri ce se altur, se coreleaz, se ntreptrund, convieuind n armonii geometrice; o lume N a numerelor cu ierarhii necontestate i operaii precise. Ar fi uneori ncuviinate i treceri de pe un trm pe cellalt, cam ca acest curs de msuri n geometrie. Impresia este nrdcinat i de strdanii colare, gimnaziale i liceale, cnd trmurile marcate apar ca ri lipsite i de relaii ... diplomatice. Dac ar fi aa, am preciza rostul unui curs de msuri n geometrie: s introduc nite funcii din G n N, s le legitimeze i s le coreleze. O grij ar fi s atenionm c termenul msur a cptat conotaii universitare, de funcie nenegativ (sub) adi-tiv, pe care este prielnic s le facem aici neoperante. Zicem ns c realitatea matematic e mai complex, c trmurile G i N se edific i se legitimeaz simultan i nu e nici cuminte, nici posibil s tragem granie n ape curgtoare. Povestea noastr ar fi mai lung dect o via de om dac ar fi s o lum de la facerea lumii geometrice, s zicem cum s-au nscut figurile, cum au nceput s fie msurate i cum au evoluat vorbirile noastre despre ele. Ne vedem astfel silii s acceptm ca premize cunotine geometrice consistente, numeroase, va-riate i s ne rezumm a le conexa prin msurri diverse. Cnd sperana unor asemenea cunotine ni se va prea nerealist, vom face trimitere la cte un capitol auxiliar. Linearitatea paginrii nu va fi sincron cu cea a citirii, nc mai puin cu a unui sperat studiu sau a cutrilor de mprosptare. Sunt posibile numeroase excursii pe trmul geometriei spre ilustrarea temei. Prezenta pune accente pe metode analitice, predominant afine i pe geometria triunghiului. Opiunea a fost n bun msur dictat de faptul c aceste note au constituit curs de Studii Aprofundate n Didactica Matematicii.

7

Aici i pe parcurs, vom marca unele odihne n desfura-rea ideilor cu semnul:

Pauza de cafea 1 Motiv pentru a gndi geometria drept trm distinct este i nlesnirea natural ce o are omul n perceperea figurilor, independent de poziie. Studiind reflexe necondiionate i pregtind altele condiionate, la psri i la reptile cercettorii au sesizat reacii complet diferite la semnele i =, N i O. Pre-colarii nu se simt deloc deranjai n recunoaterea literelor A, B, C, D, E, F, H, K, L, M, N, O, P, R, S, T, U, V, X, Y, Z de faptul c acestea le apar n picioare, culcate sau rsturnate. La nvarea scrierii sunt destule necazuri spre a-i obinui s nu ntoarc, N, S sau Z! Existena unei etape n care geometria este intuit n mod natural constituie bun motiv de a zidi pe ea nvturi care s ctige treptat niveluri de abstracie. Cutarea msurilor este exemplu n aceast direcie. Ca regul general pauzele de cafea vor constitui ntrebri la care se va rspunde pe parcurs; acesta este motivul pentru care apare i numerotarea lor.

8

2. Msuri pe dreapt

1. Lungimea unui segment. Poate cea mai uzual operaie const n msurarea segmentelor unei drepte d cu un etalon OE. Nu restrngem generalitatea (euclidian!) plasnd punctele O, E pe dreapta n atenie i impunnd msurarea unui segment OP. Ca n multe situaii, ceea ce apare la o prim vedere simplu i evident, ascunde n profunzime dificulti majore. Vom contura parte dintre aceste dificulti i pentru c simim nevoia s argumentm un fapt adesea uitat. Numrul real s-a nscut n geometrie, la Euclid. O modalitate acceptat adesea necritic pleac de la premiza c tim (mpreun cu elevi de clasa a IX-a sau nc mai fragezi) numrul real R, structura geometric a dreptei d i putem asocia unui reper (O; E) o bijecie f: dR cu toate proprietile ce i le dorim. Manualul de geometrie de clasa a IX-a din anii "80" a pus n eviden (prin axioma riglei din sistemul Birkhoff) varianta de a postula existena unor asemenea bijecii f (cu proprieti suplimentare) pentru a permite structurarea geometric a dreptei d i a planului. Edificnd axiomatic geometria, Euclid nu avea conceptul de numr real i a fost necesar o alt modalitate: de a intui i construi simultan mulimea R (structurat algebric) i bijecia f. Acestei concepii i s-a asigurat ntreaga rigoare logic n construcia axiomatic dat de Hilbert. Vom expune n continuare principalele idei din sistemele Euclid i Hilbert privitoare la sistemele afine de coordonate pe dreapt.

Funcia h:Zd. Se asigur axiomatic posibilitatea "purtrii congruente a segmentelor". Reperul R=(O,E) permite construirea recursiv a unei mulimi E ={En/ nZ} astfel nct:

fig. 1

9

E0 = O, E1 = E, "nZ EnEn+1 = OE i"nZ En(En-1En+1). Definind h(n) = En, am construit o restricie h : Zd a funciei g considerate. Funcia i : Q d. Pentru P arbitrar pe d, P0, aa cum am asociat E lui (O, E) asociem P ={Pm/mZ} lui (O, P). (Pentru un plus de claritate, mulimea P a fost plasat n figura 1.2.4 pe o translat a dreptei d). S acceptm acum c pentru numere naturale m, n, ambele nenule, are loc coincidena punctelor Pn i Em; aceasta revine succesiv la:

n mOP OE= , , ( ) : : .n OP m OE f P OP OE m n = = = n geometria euclidian tim s construim punctul P pentru care s aib loc eventualitatea de mai sus. Punnd

i mn

P

= , constatm uor c am construit o restricie i:Qd a

funciei f mai sus considerate. Criza msurabilitii: Este uor de constatat c mulimea do = = i(Q) nu coincide cu d; de exemplu, dac OF este ct diagonala ptratului de latur OE, are loc Fdo. Pentru grecii antici situaia se putea rezuma astfel: numrul (raional) a fost introdus pentru msurare, adic pentru a exprima raportul (dintre un segment OP i un etalon OE); prin folosirea subetaloanelor aceast msurare poate fi orict de bun; poate fi raportul altceva dect numr? Pentru a rezolva aceast criz au fost necesare ingeniozitate i asiduitate.

Pauza de cafea 2 Mrturie a acestei crize a rmas vorba de segmente comensu-rabile i incomensurabile. (Comensurabile fiind cnd exist un etalon n raport cu care lungimile ambelor segmente s fie numere naturale, adic raportul lungimilor lor s fie numr raional). Dei diferenierea comensurabile incomensurabile intervine n demonstrarea riguroas a teoremei lui Thales, apre-ciem c la gimnaziu este un exces de zel. Cum se poate demonstra incomensurabilitatea dintre cateta i ipotenuza unui triunghi dreptunghic isoscel?

10

Axioma lui Arhimede afirm c oricare ar fi punctul P(OE

exist mN nct P(O, Em). Pare a se afirma aici un fapt evident dar gnditorii antici au imaginat situaii n care analogul acestei afirmaii s nu fie adevrat. Aplicnd aceast axiom pentru punctul Pn ( cu n arbitrar n N*) se deduce existena unui numr ntreg a(n) astfel nct Pn[Ea(n) Ea(n)+1) i urmeaz

(1) ( ) ( ) 1( , ; ) .n nP E On n

a a + <

Aceasta exprim posibilitatea de a aproxima orict de bine raportul simplu prin numere raionale. Euclid a utilizat (12) pentru a structura algebric mulimea rapoartelor (considerat mai ampl dect cea a "numerelor"). Funcia j:dR. O prelucrare relativ simpl pentru (1)

asigur dubla inegalitate ( ) ( ) 10 ;kn n kkn n kn

a a - - < schimbnd

rolurile lui k i n urmeaz ( ) ( ) 1 1min( , )k nk n k n

a a- < . Se deduce

de aici c irul cu termen general nu (n) / n= a este convergent la un numr real ce depinde doar de punctul P pe care l putem nota cu j(P). Acum (1) asigur (P, E; O)=j(P) i putem interpreta funcia j drept o restricie a funciei f mai sus considerat; este injectiv dar nu tim dac i surjectiv. Axioma lui Cantor asigur surjectivitatea funciei j, deci coincidena cu f. O variant relativ comod a acestei axiome este: Dac avem un ir descresctor de segmente nchise ale unei drepte d, s1 s2..... sn....., fiecare cu lungimea ct jumtate din cea a segmentului precedent, exist un singur punct X ce aparine tuturor segmentelor sm. Rezumnd consideraiile din Observaia 2, putem spune c ne putem asigura de existena bijeciei f cernd ca structura geometric a dreptei d s satisfac anumite axiome. Aici a fost evideniat rolul axiomelor de "purtare congruent a segmentelor", Arhimede i Cantor. Afirmm c dreapta geometric a generat (la Euclid i

11

Hilbert) mulimea R. Pauza de cafea 3

Este oare legitim s acceptm n geometrie ideea c putem folosi acelai etalon OE pentru a exprima lungimi de direcii diferite? 2. Raport simplu (a trei puncte coliniare) S presupunem c avem date trei puncte coliniare distincte M, N, P i c dorim s descriem printr-un numr real r poziia lui P fa de M i N.

Dac am putea msura lungimile MP i NP am avea o indicaie suficient de bun asupra acestei poziii dac am ti i lungimea MN pentru a putea decide n care dintre situaiile:

P(MN); M(PN); N(PM); suntem. n loc de a da lungimea lui MN pare mai eficient s comparm i sensurile n care s-au fcut msurtorile lui MP (de la M spre P) i NP (de la N spre P). Considernd pozitiv sensul de la M spre P, putem scrie MP >0, i n aceste condiii: NP >0 semnific P[MN], iar NP

13

3. Biraport. Vom preciza acum importanta noiune de biraport, pentru nceput doar cu referire la patru puncte coliniare distincte. Fiind date puncte coliniare distincte A, B, C, D, numim biraport al lor numrul real

(8) (A, B; C, D) = ( , ; )( , ; )A B C CA DBA B D CB DA

= .

Notnd (A, B; C, D) = l se constat imediat: (9) (C, D; A, B) = = , (10) (A, B; D,C) = (B, A; C, D) =

l1 i (A, C; B, D) = 1- l.

Iternd aceste formule putem gsi valorile biraportului pentru oricare dintre cele 24 de permutri ale punctelor A, B, C, D; n general sunt ase valori distincte:

(11) 1

,11,1

1,1,1,-ll

l-

l-l-

ll .

Dintre consecinele relaiei (7) consemnm o prim demonstraie a ,,teoremei de invarian a biraportului'' descoperit de Pappus. Teorema 2. Fie a, b, c, d patru drepte n fascicul. Dac dreptele e, f le intersecteaz n A, B, C, D i respectiv n M, N, P, Q, atunci are loc: (12) (M, N; P, Q) = (A, B; C, D)

Demonstraie. S admitem c a, b, c, d au n comun un

punct O. Prin (7) gsim: (M, N; P)= (M, A;O)(N, B;O)

(A, B; C) i

(M, N; Q)= (M, A;O)(N, B;O)

(A, B; D). mprind membru cu membru

deducem (12). Cazul a || b || c || d se elucida direct prin teorema lui Thales.

fig. 4

14

3. Msuri geometrice pe mulimea R. Nu ne grbim, nici s afirmm dar nici s negm, c principalele mulimi numerice, R i C, ar fi structurate geometric. Cel puin curiozitatea ne ndeamn s vedem cum acioneaz msurile introduse n paragraful precedent pe aceste mulimi. n acest paragraf inta noastr este R. Pentru C, vezi cap. V. 1. Lungimea unui segment, n raport cu etalonul standard generat de 0 i de 1, corespunde funciei f : R2 R dat prin

( , ) .f x y x y= - Este bine cunoscuta funcie distan pe R, ce i binemerit numele deoarece satisface condiiile:

) ( , ) 0, ) ( , ) 0 , ) ( , ) ( , )a f x y b f x y x y c f x y f y x = = = i inegalitatea triunghiular ) ( , ) ( , ) ( , ).d f x z f x y f y z + 2. Lungimea unui segment orientat corespunde funciei g : R2 R, ( , ) ,g x y y x= - care nu prea ne aduce nimic nou.

Pauza de cafea 6

Fie puncte A, B i un numr real k, 0< k < 1. Se cere locul geometric al punctelor M pentru care MA = k$MB.

3. Raportului simplu i corespunde o funcie h : D R, D fiind o submulime a lui R3 satisfcnd (pentru precauie) cererea ( , , ) .x y z D x y z x Proprietile (5) i (6) se demonstreaz uor n acest nou (?) context. Teorema 1. Dac ( , . )h x y z r= , atunci 1r i pentru o permutare ( , , )u v w a lui ( , . ),x y z valorile lui ( , , )h u v w pot fi:

1 1 1, , 1 , 1 , ,1 1

rr rr r r r

- -- -

i numai acestea.

Nu sunt dificulti de demonstrare. n general apar ase valori prin permutarea argumentelor; excepii apar cnd r ia una dintre valorile -1, 2, 1/2, cnd apar aceste trei valori. Interpreta-rea geometric: un punct este mijlocul segmentului determinat de celelalte dou.

15

Pauza de cafea 7 Fie patrulaterul ABCD i numere reale pozitive subunitare, m, n. Pe laturile AB, BC, CD, DA se consider puncte E, F, G, H nct AE = m$AB, BF = n$BC, DG = m$DC, AH = n$AD. Fie I intersecia lui EG cu FH. Se cer rapoartele simple (E,G; I) i (F,H; I). 4. Biraportului i corespunde o funcie precizat prin

(1) ( , , , ) .z x u yx y z uz y u x

- -b =

- - Condiiile (9), (10) din

paragraful precedent i teorema 1 de mai sus se obin imediat. Este important condiia (2) ( , , , ) 1,x y z ub = - ce se expliciteaz rapid prin (3) 2 ( ) ( ) ( ).xy zu x y z u + = + + Aceasta ne arat c (2) este condiie asupra perechilor neordo-nate { , }, { , }m x y n z u= = i ordinea acestor perechi este arbitrar. Folosim pentru (2) formularea perechile m, n sunt conjugate armonic. Revenind la cadrul geometric, perechile m, n devin segmente (nenule), pe care le notm uzual XY, ZU i este comod s spunem c aceste segmente sunt conjugate armonic. n cazul generic, date x, y, z distincte gsim unic u nct s aib loc (2); face excepie cazul deja ntlnit cnd 2 ,z x y= + pentru care trebuie s gndim u aruncat la infinit. Avem astfel un bun motiv s extindem funcia de la R, la compactificatul su, R$ = R { }, w fiind un simbol, interpretabil drept + i infinit. Revenind pe dreapta geometric d reprezentat de R, o completm cu un punct impropriu spre a deveni d$, n coresponden bijectiv cu R$.

Pauza de cafea 8

Fie triunghiurile ABC, DEF. 1 S se gseasc puncte M, N, P situate respectiv pe BC, CA, AB astfel nct triunghiurile MNP, DEF s fie asemenea i la fel orientate. 2 S se arate c cercurile circumscrise triunghiurilor ANP, BPM, CMN au un punct comun K. 3 Locul geometric al centrului de greutate Q al triunghiului MNP.

16

4. Aria

Aria (unui triunghi) constituie una dintre cele mai impor-tante msuri geometrice. ncepem prin a consemna c didactica colar prevede dou circuite pentru a asocia aceast msur principalelor figuri. Circuitul 1 pornete de la aria ptratului ce precizeaz i unit-ile de msur. Urmeaz: dreptunghi, paralelogram, triunghi i apoi alte figuri (n baza triangulrilor i a aditivitii ariilor). Circuitul 2 pornete de la triunghi i urmeaz paralelogram, dreptunghi, ptrat (justificnd unitile de msur introduse de la nceput, relativ artificial). Am putea afirma c circuitul 1 pare mai avantajos. Mai exist ns un motiv ce pledeaz pentru al doilea. Alternativa apare i la introducerea volumelor; trecerea de la volumul para-lelipipedului la cel al piramidei (tetraedru) aduce dificultatea unei sumri infinite (rezumate de profesori sau de elevi prin expresia scara mei). Indiferent de varianta impus de progra-ma colar, aici vom prefera circuitul 2, dnd independen i relevan ariei triunghiului. Dup introducerea nlimilor, definiia rezumat de

formule de tipul 12 2 a

B HS a h= = este necesar o demon-

straie de consisten: nu conteaz ce baz alegem etc. Zicem c aceast etap este important din punct de vedere formativ. Ca urmare, dezaprobm linia de predare frecvent n Balcani de a face nti arii (,,mai intuitive) i apoi relaii metrice. Cum nlimile nu intr n lista datelor naturale pentru triunghi, vine vremea de a construi formula ce se refer exclusiv la laturile triunghiului. Rezumm ,,ce se face pentru a sugera inserri. Din teorema lui Pitagora generalizat desprindem pentru proiecia BD a lui AB pe BC o egalitate

2 2 22 ( ).a BD a b c = - + Pentru calculul lui AD2 (cu teorema lui Pitagora) trecem prin egalitatea

2 2 2 2 2 2 2 2 216 4 4 ( )S a AD a c a b c= = - - + (1).

17

De aici, descompunnd de trei ori diferene de ptrate n produse, notnd semiperimetrul cu p, se ajunge la formula lui Heron. Zicem c parte din relevana acestei formule deriv din avantajele ,,calculabilitii prin logaritmi ce i-au ,,cam trit traiul. Zicem c e pcat s nu continum (1) cu mai naturala

2 2 2 2 2 2 2 4 4 4

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

16 2( ) ( )4( ) ( ) .

S a b b c c a a b ca b b c c a a b c= + + - + + =

= + + - + +

(Examenul de ocupare a posturilor din 2002 s-a referit la un triunghi cu laturi 2, 2, 3; este de imaginat ce bucurii procur calculul ariei lui cu formula lui Heron! Era un subiect de metodic, ce obliga suplimentar candidaii s gndeasc dnd prioritate arsenalului elevilor). Spre a nu oropsi (suplimentar) formula lui Heron inserm

Pauza de cafea 9 S se exprime funciile simetrice fundamentale de laturile unui triunghi 1 2 3, , ,s a b c s ab bc ca s abc= + + = + + = n funcie de invarianii simetrici fundamentali p, r, R. Trecem direct la rezolvare. Vom apela (de dou ori la formula S = pr. Gsim uor 1 32 , 4 ,s p s prR= = aa c mai rmne de explicitat s2. Din formula lui Heron desprindem egalitatea simetric 2( )( )( )p a p b p c pr- - - = din a crei des-facere simetric deducem 3 2 21 2 3 ,p p s ps s pr- + - = ce conduce rapid la ceruta 2 22 4 .s p r rR= + + Exprimarea analitic a ariei (mai ales a celei orientate) este relativ avantajoas: pn la un factor de proporionalitate ce depinde de reper este dat de un determinant asociat vrfurilor sale (vezi IV 5). De aici se conchide Teorem. Aria este un invariant a subgrupului transfor-mrilor afine 1 2 1 2' , 'o ox a x a y a y b x b y b= + + = + + (cu 1 2a b -

2 1 0)a b- numit grupul transformrilor echiafine, precizat prin condiia 1 2 2 1 1.a b a b- =

5. Drepte

18

n cadrul acestui paragraf vom privi dreptele (i semidreptele) din planul euclidian ca elemente primare. Msurile ce le vom asocia iniial unei perechi de (semi)drepte vor fi unghiul () i unghiul orientat ( ) . n spaiul euclidian tridimensional vom trata distana dintre dou drepte. Spre finalul paragrafului vom considera familii F uniparametrice de drepte i ne vom referi la msuri n cadrul acestor familii. A. Unghi. Noiunea primar este unghiul a dou semi-drepte cu aceeai origine. Pentru semidrepte Ox, Oy se folosete notaia xOy. Aceste msuri se fac pe scale diferite i nu este totdeauna uor s desprindem din context ce anume scal este considerat. Apar n discuie: - grade sexagesimale, notate cu , variind de la 0 la 360, dar msura unghiurilor nu poate depi 180; - radiani, variind n R, msura unui unghi fiind ns cuprins ntre 0 i ; - unghiul drept, 1dr., amplificat uneori cu numere raionale; - grade centesimale, notate cu c, variind de la 0c la 400c, pentru un unghi msura neputnd trece de 200c i altele. Aici, folosim aproape exclusiv msura ce s-a impus n geometrie n grade (sexagesimale). Msura n radiani este prielnic analizei, unde funciile trigonometrice nu sunt definite pe unghiuri (cu extensie la cercul trigonometric) ci pe R. Ne strduim s lmurim unele uzane. Am afirmat deja c noiunea de unghi este primar i, n geometrie, msura trebuie s i se asocieze nemediat. Considerm cunoscute dificultile geometrice de a mpri un unghi, de exemplu n trei pri egale. Practica (inclusiv observaiile astronomice) au impus ceea ce numim msura unghiurilor pe cerc. Nici mcar cercul nu este figur primar n geometrie. Ideea de a msura arcele unui cerc este intuitiv, dar trebuie s mai gndim nainte de a o include n geometrie. Folosind (din plin) analiza putem defini lungimea oricrui arc de curb, inclusiv a cercului. Acesta este un exerciiu de analiz accesibil i relevant. A nu-l face la analiz nseamn a o pgubi esenial. Apar n manuale (i de gimnaziu) strdanii

19

de a defini geometric lungimea arcului de cerc. Le apreciem ca neavenite i neaccesibile vrstei. Zicem c ar fi bine ca aici s rmnem la o relatare a rezultatelor, fr a fora folosirea unor metode de demonstraie ce sunt la ele acas n analiz. Este bine s observm c ideea de msur a arcelor nici nu coincide cu lungimea, fiind nece-sar nc o operaie de ,,factorizare. ntrebm atunci de ce batem moned pe msurarea unghiurilor prin arce n loc de a msura arcele prin unghiuri (la centru i, eventual, cu vrful pe cerc). Apreciem c msurarea n fraciuni de unghi drept a devenit perimat. Gradele centesimale apar rar n texte matema-tice romneti. B. Unghi orientat a dou semidrepte. Unghiul este dat de o mulime (neordonat) de semidrepte ce au aceeai origine. Vom considera acum aceast mulime ordonat. Ca urmare vom avea ,xOy xOy= e e fiind +1 sau -1 dup cum sensul n care trebuie s rotim Ox (cu xOy ) spre a o suprapune peste Oy este: cel trigonometric, respectiv al acelor ceasornicului. Deoa-rece, n considerarea funciilor trigonometrice ale unor unghiuri, este evitat (ca pleonastic) inserarea semnului de unghi, se impune de exemplu scrierea sin ( , )h k , citit: sinusul unghiului orientat al semidreptelor h, k. Cu acelai neles este utilizat (mai rar) scrierea sin( , )h k (nu funcia sinus este orientat ci unghiul asociat perechii de semidrepte). C. Unghi orientat a dou drepte. Precizm c este utilizat rar, dar l considerm important. Nu pledm pentru introducerea lui n coal (unde nu prea i gsesc loc nici segmentele sau ariile orientate). Fie perechea ordonat de drepte (a, b). Dac ayb, con-siderm unghiul lor orientat nul i notm ( , ) 0.a b = n cazul generic, numim unghiul orientat al acestei perechi unghiul notat

( , ),a b strict mai mic dect 180 cu care trebuie s rotim dreapta a (n jurul punctului lor comun), n sens trigonometric, pentru a o

20

suprapune peste b. Au loc proprietile: 0 ( , ) 180 ,a b < ( , ) ( , ) 180 .a b b a+ =

Utilitatea aceste msuri deriv n principal din proprie-tatea c, atunci cnd punctul M parcurge un cerc prin punctele A, B (srind peste A sau B spre a nu ne obliga s lum n seam tangente), AMB este constant, spre deosebire de AMB ce ia valori suplementare pe cele dou arce delimitate de A i B. Aceasta face ca demonstrarea unor formule s nu mai trebuiasc s fie defalcat pe diverse cazuri posibile. D. Drepte orientate. Pe o dreapt d se pot alege dou sensuri (relaii de ordine totale, dense, fr prim sau ultim ele-ment). Pentru un cuplu d+ = (d, ), unde d este o dreapt i este un sens pe d, se folosete denumirea de dreapt orientat. Notaia permite s ne referim la dreapta contrar orientat prin d-. Pentru dou drepte orientate unghiul lor este determinat fr ambiguitate: n cazul generic, din punctul lor comun se identi-fic semidrepte al cror unghi este luat n consideraie. E. Distana ntre drepte. Trecerea de la plan la spaiu aduce n general puine msuri noi. Ca exemplu, unghiurile (semi)dreptelor revin imediat la noiunile plane prin posibilitatea de a le nlocui prin paralele convenabile. Msura ce suntem pe cale de a o analiza face excepie i intervine relativ frecvent n probleme (de clas sau de concursuri). Acest tip de problem identific ntr-o configuraie K, dou drepte a, b i cere distana ntre ele. Relativ des, aceast formulare lacunar, solicit i modalitatea de a identifica perpendiculara comun [AB] cu A pe a i B pe b. Vom da cteva metode de rezolvare. 1. Plasarea celor dou drepte n plane paralele. Se pot determina relativ uor planele (prin a, coninnd o paralel b la b) i (prin b, coninnd o paralel a la a). Problema se reduce la aflarea distanei ntre planele , (n general mai uoar). Metoda nu prea d indicaii pentru gsirea perpendicu-larei comune.

21

2. Plasarea celor dou drepte n plane perpendiculare. Acum planele cutate nu mai sunt unice; putem alege oricum prin a i apoi , planul prin b perpendicular pe . Unele alegeri pot fi mai avantajoase ca altele. Plasarea identific dreapta c de intersecie a planelor , i interseciile ei: C cu a, D cu b. Calitatea alegerii rezid n manevrabilitatea datelor ce urmeaz a ne servi: lungimea CD i unghiurile lui c cu a i b. Cadrul construit permite evidenierea unor perpendiculare din spaiu prin perpendiculare din planele i , suportul teoretic fiind teorema celor trei perpendiculare. Pentru M variabil pe a (controlat de exemplu de parametrulCM x= ) fie N proiecia pe c i apoi P proiecia lui N pe b. tim astfel c are loc MP z b. Se poate continua n dou variante distincte. a) Evalum 2 2 2MP MN NP= + ca trinom de grad doi n x i gsim acel x ce i confer minim. Pentru acest x, are loc i MP z a etc. b) Continum ducnd perpendiculare: PQ pe c, QM pe a. Acum trebuie s avem M = M, ecuaie liniar n x etc. 3. Proiectarea datelor n plan convenabil. Un astfel de plan este perpendicular n O pe dreapta a. Fie p proiecia lui b pe planul . Perpendiculara comun cutat, [AB], paralel cu , se va proiecta pe dup un segment [OL] ce trebuie s fie per-pendicular pe dreapta p. Am redus problema spaial iniial la urmtoarea n planul : gsirea proieciei L a lui O pe dreapta p i mrimea lui [OL]. Metoda nu d indicaii (directe) asupra plasrii lui A pe a, dar permite gsirea acelui B ce se proiecteaz n L ...

Pauza de cafea 10 Fie ABCD tetraedru regulat de muchie a. Aflai ce valori poate lua distana dintre dou mediane necoplanare a unor fee ale tetraedrului ABCD. F. Familii uniparametrice de drepte. ntr-o asemenea familie F avem o coresponden biunivoc ntre F i mulimea parametrilor ce poate fi considerat R. Msurile pe R induc msuri pe mulimea F. Problema ce se pune este dac aceste msuri sunt sau nu relevante din punct de vedere geometric.

22

1. Fascicul de drepte. Conform teoremei lui Pappus (vezi I.2) este relevant biraportul. Pentru drepte n fascicul date, a,b,c,d putem considera o dreapt arbitrar m (ce nu aparine fasciculu-lui) i care le intersecteaz pe cele date n puncte A, B, C, D. egalitatea (a,b; c,d) = (A,B; C,D) poate fi interpretat drept definiie geometric a biraportului a patru drepte n fascicul. Un calcul analitic simplu confirm echivalena celor dou definiii. Aceast echivalen spune c, avnd o parametrizare liniar a fasciculului, dac celor patru drepte le corespund parametrii , , , , atunci are loc i egalitatea (a,b; c,d) = (,; , ). 2. Drepte tangente la o conic. Fie o conic i familia F a tangentelor la aceast conic. Fie drepte a,b,c,d n F, punctele lor de contact fiind A, B, C, D. Pentru o alt dreapt m, de aseme-nea tangent la conic, ce taie dreptele date n A, B, C, D, au loc egalitile (a,b; c,d) = (A,B; C,D) i (a,b; c,d) = (A,B; C,D). Cea de a doua egalitate poate constitui definiie a biraportului n familia dat F dac avem o definiie geometric a biraportului a patru puncte situate pe o conic. Aceast definiie este dat n IV 12. Pauza de cafea. Rspuns la PC. 6 Fie puncte A, B i un numr real k, 0< k < 1. Se cere locul geometric al punctelor M pentru care MA = k$MB. Locul geometric cutat are puncte particulare relevante C, D pe dreapta AB. Notm cu C punctul interior lui (AB) i gsim CA(1+k) = k$AB. CB(1+k) = AB, apoi DA(1-k) = k$AB, DB(1-k) = AB. Punctele C, D sunt conjugate armonic fa de (AB). Cutm i alte puncte P ale locului pentru a le pune pe figur. Lum n acest scop PB = x, deci PA = kx. Cercurile (A,kx) i (B, x) se intersecteaz n puncte simetrice fa de AB dac au loc

inegalitile AB ABx .1 k 1 k

< 1 este elips de focare O1, O2. Pentru k = 1, locul geometric este segmentul nchis [O1O2], considerat uneori ca elips limit. B.2. O1M - O2M = k$O1O2. Locul geometric este: pentru k0, o ramur de hiperbol de focare O1, O2 (cealalt ramur fiind dat de k = -k); pentru k = 0, mediatoarea segmentului [O1O2]. B.3. O1M$O2M = k$(O1O2)2. Cu aceast ocazie rspundem la Pauza de cafea 5, de unde prelum i notaiile O1 = A, O2 = B. Abordarea cea mai comod este cea analitic, ntr-un reper cartezian n care A(- a, 0), B(a, 0). Pentru M(x,y) condiia revine rapid la 2 2 2 2 2 4[( ) ][( ) ] 16 ,x a y x a y k a+ + - + = adic

4 2 2 2 2 2 2 2 42( ) ( ) 16 0.y x a y x a k a+ + + - - =

Privind ca trinom de grad doi (n y2), suma rdcinilor este

Fig. 9

29

negativ; vom avea o rdcin y2 pozitiv ddac produsul este negativ, ceea ce revine la 2 2 2 24 4ka x a ka- - sau

2 2 2(1 4 ) (1 4 )k a x k a- + (1). Aceste inegaliti ce limiteaz domeniul variabilei x permit evidenierea unei valori critice a parametrului: k = 1/4. Pentru k

31

Am inserat aceast rubric doar din dorina de a preciza unele denumiri. Asociind celor trei puncte msurile distan la acel punct, avem aa numitele coordonate tripolare ale unui punct generic M. Sunt relativ incomode deoarece: - date dou, cea de a treia mai poate lua doar cel mult dou valori; - date trei dar pn la un factor, exist dou puncte corespunz-toare, inverse fa de cercul circumscris triunghiului de referin. Contextul ne impune s atenionm c cele trei puncte determin diverse sisteme de coordonate: afine, baricentrice, normale, seminormale, deci sisteme de msuri ce pot individua-liza puncte, drepte, cercuri, conice etc. D. F este o dreapt, a. Folosind i un etalon pentru msura lungimilor, avem determinat msura distana de la un punct la dreapta a. Valorile acestei msuri sunt n R+, varianta cu distana orientat fiind utilizat mai rar. Se utilizeaz notaia d(M, a) i reprezint, desigur, lungimea segmentului perpendi-cular pe dreapta a, limitat de M i de dreapt. D.1. Dat dreapta a i numrul real nenegativ k, locul geometric al punctelor M ce satisfac condiia d(M, a) = k este o pereche de drepte paralele (i echidistante) cu a. E. F este o pereche de drepte, a, b. Notnd cu , dis-tanele punctului generic M la aceste drepte avem o list de locuri geometrice similar celei de la B, pe care o redm succint; ne restrngem atenia la drepte a, b secante (n O); k va desemna constante ce corespund dimensional. E.1. + = k. Frontiera unui dreptunghi cu vrfurile pe dreptele date. [Se identific A, A pe a i B, B pe b constituind punctele critice ale locului. Se valideaz apoi propoziia n fiecare interior

de unghi].

Fig. 11

Fig. 12

32

E.2. = k. Un antidreptunghi obinut prelungind laturile dreptunghiului precedent dincolo de vrfurile B, B. E.3. / = k. O pereche de drepte prin O, armonic conjugat perechii date. E.4. $ = k. O hiperbol cu asimptote a, b. Pentru a folosi aparatul geometriei analitice afine n abordarea acestor propoziii, ducem prin M i paralele la aceste drepte i pentru coordonatele afine x, y asociate vom avea x = = $sinu, y = $sinu, unde u este unghiul dreptelor a, b.

Pauza de cafea 12

n raport cu un unghi xOy, unui punct M i asociem pro-ieciile M1, M2 pe Ox, Oy. Se mai d un segment a. Se cer locurile geometrice pentru punctele M ce satisfac condiiile: 1 M1M2 = a; 2 OM1 + OM2 = a; 3 OM1 - OM2 = a. F. F este un cerc O (O, R). Evitm lacune n listarea locurilor geometrice insernd urmtoarele, presupuse cunoscute; bivalena formulrilor provine din acceptarea sau neacceptarea punctelor de intersecie cu coordonate complexe nereale. F.1. Locul geometric al mij-loacelor corzilor cercului O paralele cu o dreapt d este perpendiculara prin O pe d (un diametru al cercului O ). F.2. Locul geometric al mijloacelor corzilor cercului O al cror drepte suport sunt incidente unui punct dat A este cercul de diametru [OA] (arcul acestui cerc interior lui O ). F.3. Locul geometric al punctelor conjugate armonic unui punct A fa de cercul este o perpendicular pe OA numit polara lui A fa de cerc (pentru A exterior lui O , doar segmentul acestei polare ce este interior lui O ).

Fig. 13

Fig. 14

33

Comparnd cu rubrica A, avem n plus, nu doar raza R, ci o figur ce permite s asociem punctului generic M diverse msuri: - puterea O (M); - lungimea tangentei din M la cercul O ; unghiul sub care este vzut din M cercul O . Apar astfel urmtoarele condiii ce genereaz locuri geometrice. F.4. O (M) s fie o constant k. Revine la OM2 = k + R2. Se reduce la A.1 dar apare valoarea critic - R2. F.2. Lungimea tangentei din M s fie o constant k. Revine la OM2 = k2 + R2. F.5. Cercul O s fie vzut din M sub unghiul dat 2. Revine la OM = R /sin. Este de semnalat c este admisibil situaia = = 90 dar i = 180 ce corespunde tuturor punctelor interioare cercului, deci locul geometric poate fi i disc. Adugm acum nc o msur ocazionat de cercul dat O n planul : distana de la un punct M la cercul O , d(M,O ). Ne subsumm aici conceptului mai general de distan de la un punct M la o mulime A, definit ca minimul distanelor d(M,X) cnd punctul X parcurge mulimea A. Acest concept convine i pentru cazurile cnd A este o dreapt (sau un plan, n spaiu). Pentru a preciza acest minim n cazul cercului O (O,R) avem de analizat cteva cazuri: - dac M coincide cu O, avem evident d(M,O ) = R (1); - dac M nu coincide cu O, identificm n mod unic punctul A al cercului situat pe semidreapta (OM. Are loc d(M,O ) = MA (2), formul ce se demonstreaz uor (cu inegaliti n triunghiul XMO pentru X variabil pe cerc) pe cazurile: M exterior, M pe cerc, M interior. Formulele (1) i (2) se comaseaz uor n d(M,O ) = .MO R- F.6. Locul geometric al punctelor la distan constant k de cercul O este (n funcie de k): o pereche de cercuri, un cerc plus punctul O, un singur cerc.

G. F este o pereche de cercuri O i(Oi, Ri), i = 1,2. Considerm uzual condiia de a nu fi concentrice.

Fig. 15

34

G.1. Locul geometric al punctelor cu puteri egale fa de cele dou cercuri este axa radical a celor dou cercuri. Se poate proceda analitic dar recomandm reducerea la B.6. G.2 Locul geometric al punctelor din care se pot duce tangente egale la cele dou cercuri. Fa de G.1 trebuie s excludem din loc punctele interioare cercurilor. G.3. Locul geometric al centrelor cercurilor ortogonale celor dou cercuri. Coincide cu G.2. De notat c familia acestor cercuri formeaz un fascicul. G.4. Locul geometric al punctelor cu raportul puterilor la cele dou cercuri constant. Se poate reduce la o generalizare pentru B.5 dar pare preferabil abordarea analitic. Fiecare constant (diferit de 1) precizeaz un cerc din fasciculul determinat de cele dou date. G.5. Locul geometric al punctelor din care cele dou cercuri se vd sub unghiuri egale. Apare locul G.4, deci un cerc din fasciculul celor dou dar la care trebuie s adugm conform F.3 i punctele interioare ambelor cercuri. G.6. Locul geometric al punctelor M egal deprtat de cercurile (secante, neegale) date este reuniunea unui ram de hiperbol (exterioar cercurilor) i o elips (interioar cercurilor). ambele cu focare n centrele cercurilor, ambele trecnd prin punctele comune cercurilor. Inserm o denumire. Spunem c cercul M (M,) taie diametral cercul O (O,R) dac axa radical a celor dou cercuri trece prin O. Condiia revine rapid la

2 2 2 .OM Rm = + G.6. Locul geometric al centrelor cercurilor ce taie diametral ce dou cercuri date este o dreapt, simetric axei radicale fa de mijlocul lui O1O2. (Relativ frecvent, acest loc este numit ax antiradical). H. LOCURI GEOMETRICE. Listarea de mai sus ocazio-neaz cteva comentarii cu caracter mai general. 1. Circul o definiie: Loc geometric este mulimea punctelor M

Fig. 16

35

ce satisfac o proprietate dat. Zicem c asta nu spune nimic, dar ne mpiedec s vedem mai departe. Atta vreme ct locului i spunem geometric trebuie s ne ngrijim ca proprietatea sa definitorie s fie geometric. Este clar c despre un punct, privit ca entitate individual i izolat nu avem ce zice; poate doar c binevoim a-l considera, sau nota. O proprietate geometric a unui punct M nu poate fi formulat dect referitor la un set de date, D. Nu excludem eventualitatea ca D s conin i date numerice (constante), dar este esenial s cuprind i elemente geometrice. n consecin, listarea de mai sus a fost grupat n funcie de datele geometrice necesare formulrii proprietii sale definitorii. 2. Constantele ce pot s apar ntre datele definitorii ale unui loc geometric exprim msuri geometrice. Numeroase familii de locuri geometrice constituie astfel vizualizri de msuri. Exemplificm asemenea vizualizri n lista de mai sus: A.1 pentru distana la un punct, B.1, 2, 4 pentru sum, diferen, res-pectiv raport de distane, B.7 pentru unghiuri, D.1 pentru distana la o dreapt, F.4 pentru puterea fa de un cerc, F.6 pentru distana la un cerc. Am ilustrat astfel parial ideea c msurile geometrice nu srcesc geometria (prin ieirea lor n mulimi numerice) ci o mbogesc prin reveniri fecunde. 3. Apare firesc o ntrebare: dac loc geometric = mulime, de ce s-i spunem altfel? Credem c botezul a aprut n Grecia antic, dominat filosofic de contrapunerea continuu discontinuu. Oricte puncte a gndi pe o dreapt (discontinue, finite, cel mult numrabile) acestea nu fac dreapta (continu). Ne referim acum i la disjuncia infiniilor: actual i potenial. Conceptul de loc geometric ne impune s nu fim satisfcui de reete care s produc orict de multe puncte ale locului ci s investigm caracterizri geometrice ale mulimii obinute: dreapta prin ..., cercul ..., conica ..., inclusiv cu excluderi sau limitri. 4. Vorba loc geometric sperie elevi i profesori. Poate i pentru faptul c este un concept practic neexplicat, al crei utilitate nu este clar. Probabil, pentru c nu sunt suficient dezvoltate tehnici de gsire a locurilor. Aproape sigur, pentru c se prevede din start un cuplu de sarcini (dou incluziuni) ce inhib.

36

5. Educaia matematic (cel puin la noi) nu ncurajeaz ghicitul. O problem de loc geometric este deschis: nu ni se spune ce anume trebuie s artm. ndrznim s extrapolm i s apreciem c (noi) stm ru cu problemele deschise la matema-tic. ncadrarea locurilor n clasa problemelor deschise oblig ns la etape acceptabil rezumate de vorba ghicit. Se pot cuta sinonime ca intuire, lansare de ipoteze, ... 6. Putem pregti ghicirea unui loc geometric prin construcii de puncte particulare; ntre acestea unele pot fi relevante i merit prioritate n construcie i n atenia rezolvitorului. Fapt este c de bun vreme, programele de geometrie neglijeaz construc-iile. Acest fapt lovete de dou ori n locuri geometrice: sunt greu de soluionat i li se interzice o pia de desfacere. [ntre cele mai uzitate metode de construcie citm metoda interseciei locurilor geometrice]. 7. Dup ce tim suficiente puncte ale unui loc geometric, operaiunea ghicire nu mai conine nimic aleator i binemerit numirea lansare de ipoteze. Nu suntem silii ca, nc de la lansare, s formulm sarcini multiple; adesea este util s ncepem prin a constata doar una dintre incluziuni. Dup lansarea unei ipoteze, problema nu mai este deschis i nici de loc geometric: devine o problem obinuit de demonstrare. 8. Punctul este cel mai important element geometric primar dar nu este singurul. Este natural s cutm mulimi de drepte sau cercuri ce satisfac anumite proprieti (geometrice); apare dreptul de a gndi locuri geometrice de drepte sau cercuri. Aspectul ce apare pregnant n descrierea unei asemenea familii este cel mai adesea faptul c elementele lui sunt tangente unei linii L. Se spune atunci c L este nfurtoarea familiei .

37

8. Construcii geometrice

A. Figuri Aici, i n general n geometrie, ne referim prin acest termen la entiti distincte: - figura ca obiect de studiu al geome-triei; - figura, ca rezumat al unui text geometric. Deosebim ntre texte: propoziii (axiome, teoreme, leme, probleme) i argumentri (demonstraii, determinri); ca urmare, figurile corespunztoare vor fi ilustraii, sau instrumente de cercetare. Figurile se realizeaz aproape exclusiv n cadrul modelu-lui intuitiv al geometriei euclidiene. (Vezi i II4). Aceasta nseamn c ele nu au calitatea de a atesta un adevr geometric. Totui, prin folosirea lor ndelung repetat, figurile au o enorm for de sugestie. Prea des citata butad geometria este arta de a judeca pe figuri greite conine desigur un smbure de adevr (liniile au grosimi, punctele au arii etc) dar o figur bun d sfaturi bune, n timp ce una neglijent nu spune nimic (sau minte). Dorim s spunem c figurile geometrice ofer i un ajutor psihologic: recitirea unui enun cu gndul de a-l ilustra printr-o figur permite simultan: concentrarea ateniei i privirea dintr-un unghi de vedere mai mult sau mai puin diferit, dup plac. Zicem c figurile dau un ajutor substanial n etapa de cutare; ulterior acestei etape este bine s ne asigurm indepen-dena de ele; nici mcar notaiile nu trebuie s provin din figuri ci din textul argumentrii. Figurile (din modelul intuitiv) se realizeaz cu anumite instrumente; cele uzual permise sunt rigla i compasul. (La gimnaziu se folosesc i raportorul i echerul iar rigla este gradat). O bun etap din studierea geometriei, instrumentele au un caracter concret; treptat ele trebuie s devin instrumente abstracte. Aceasta nseamn c rigla permite doar s asociem la dou puncte M, N dreapta MN incident lor iar compasul permite s asociem punctelor numite cercul de centru M ce trece prin M. (Este justificat folosirea compasului i prin luarea n compas a lungimii ce va constitui raza cercului). Punctul de vedere ansamblist, dominant n matematica actual (i n didactica ei)

38

merit mbriat cu rezerve n cadrul geometriei colare. Subliniem faptul c edificarea axiomatic de ctre Hilbert a geometriei evit complet orice referire la vreo teorie a mulimilor. n raport cu formulri acceptate cvasi-unanim este util s remarcm mcar c figurile din geometrie sunt finit generate. Nu este important c un segment sau un arc de cerc conin infiniti de puncte ci doar c avnd un numr finit de puncte le putem genera pe toate celelalte ce ne intereseaz. Ca exemplu, un triunghi este generat de cele trei vrfuri ale sale, fie acestea A, B, C. l vom vedea trasnd (n consens cu contextul) segmente [AB], [BC], [CA], sau dreptele lor suport. l vom completa apoi cu mediane, bisectoare, cercuri (nscrise, circumscrise, exnscrise etc). Cu un nou punct generic vom avea triunghiuri podare, pedale, circumpedale, polare triunghiulare sau circulare. Orice propoziie geometric va putea fi gndit cu referire exclusiv la un set finit de puncte. Aceast restrngere la domenii finite se extinde n mod automat i la constantele numerice ce intervin n configuraii geometrice. B. Existene n diverse domenii ale matematicii, propoziiile de existen asigur temelie; geometria nu face excepie. ntre demonstraiile propoziiilor de existen le distingem pe cele constructive. Problemele de construcie se ncadreaz astfel n demonstraiile constructive ale teoremelor de existen. Urmrind manualele de geometrie nu prea gsim asemenea propoziii. Absena are un prim motiv ce decurge din particulariti de vrst. Psihologii spun c preadolescentul se consider (nc) centrul universului: ce gndete el e mai real dect ce ntlnete ntmpltor. Ziceri de tipul: demonstrai c exist ... apar ca nonsensuri. Pentru aceast vrst apare ns fireasc, mobilizatoare i formativ ntrebarea cum obinei ... ce d neles problemelor de construcie. Distingem astfel un important rol formativ al proble-melor de construcie. Dac diversitatea solicitrilor reale ne

39

stingherete, putem s ne rezumm aici la solicitrile nvrii matematicii. Dup un lung antrenament (predominant intuitiv) n geometrie, pn la clasa a zecea, la nceputul clasei urm-toare, la analiz, elevul ntlnete iruri definite recursiv. Nu are dreptul s treac la limit n relaia de recuren spre a afla constructiv limita! C. Probleme de construcie. Formularea n circulaie a unei asemenea probleme solicit identificarea unei figuri cu proprieti prescrise. Este mereu necesar s abstragem din aceast formulare general: - c este dat un set de date, D, n raport cu care pot fi formulate acele proprieti ale figurii cutate, F; - c este subneleas folosirea unor anumite instrumente geometrice, n general rigla i compasul; - c ne va fi suficient s identificm un set finit de puncte care s genereze figura F cerut; - c intr n sarcina rezolvitorului (i nu a propuntorului) s precizeze condiii pentru D nct problema s admit mcar o soluie i s precizeze numrul acestor soluii. (n cazul unei infiniti de soluii este necesar precizarea modalitii de generare). Se poate spune c problema de construcie nu solicit n fond figura F ci un algoritm A de generare a ei. Se impune astfel rezolvitorului s demonstreze c acest algoritm conduce la toate figurile cerute. Dac algoritmul A solicit, n diverse etape, n-deplinirea unor anumite condiii de regularitate, este necesar validarea lor sau a reformulrilor ce se impun cnd acestea nu au loc. (Ca exemplu, dac A prevede considerarea unui punct de in-tersecie a dou drepte, este necesar s se certifice c dreptele n discuie sunt secante; dac exist cazuri cnd dreptele sunt paralele, aceste cazuri trebuiesc semnalate i continuarea lui A pentru aceast eventualitate se cere reformulat).

40

D. Etapele unei probleme de construcie. Este corect s gndim c, n rezolvarea unei probleme P de construcie avem de parcurs, succesiv, patru etape. Sunt cazuri n care una sau alta dintre etape nu este necesar, dar i atunci este benefic s gndim la motivul ce-i justific absena. 1 Analiza. Aceast etap debuteaz cu o poezie: Presupunem problema rezolvat; ... fie F figura cutat ... cu notaiile ..., verificnd condiiile ... i avnd particularitile .... . Avnd n vedere c nu tim de la nceput dac F exist sau dac are anumite particulariti, aceast poezie are i menirea de a legaliza parte din consideraiile ce urmeaz. n aceast etap se precizeaz elementele figurii F necesare i suficiente determi-nrii ei. Lista iniial D a datelor i figura cutat F pot fi completate la o list D i o figur F ce conin elemente ce permit reformulri avantajoase. Relativ frecvent, problema iniial P este aici complet reformulat la o problem P. 2 Construcia. Este adesea util s renumim aceast etap algoritm sau reet constructiv spre a nu confunda etapa cu rezolvarea ntregii probleme. Aici trebuie s apar, n succesiune clar, modalitatea folosirii instrumentelor spre a trece de la datele D la cele ale lui F (trecnd eventual prin elemente din D sau F). Este bine s ncheiem aceast etap cu alt poezie: afirmm c figura ... (astfel determinat) satisface condiiile cerute. 3 Demonstraia. Aici demonstrm c figurile construite (i numai acestea) rspund cerinelor. 4 Discuia. Aici se precizeaz numrul soluiilor n funcie de datele iniiale. Dac survin particulariti de aplicare a algoritmului de la 2, aici trebuiesc explicitate, mpreun cu principalele lor consecine. Vom exemplifica succesiunea acestor etape n rubrica urmtoare. E. Exemple de probleme de construcie

41

Ex.1. S se mpart un cerc dat n cinci arce egale. Analiza. Presupunem problema rezolvat. Fie O (O,R) cercul dat i AB un arc al su cu msura de 72 (adic o cincime din msura ntregului cerc de 360). Proiectm O n M pe AB. Desigur, M este mijlocul lui AB i OM bisectoarea unghiului AOB. Dedu-cem AB = 2$AM = 2Rsin36. tim (*) c are loc 4$cos36 = 1 + 5. Avem deci de construit un segment OM cu lungimea m = R (1 5) / 4. + Fie A diametral opus lui A; problema revine la construcia unui segment AB = 2m. Construcia. Lum A arbitrar pe cercul O. Perpendiculara n O pe AO taie cercul ntr-un punct K. Construim mijlocul L al lui OK. Cercul L de centru L ce trece prin O intersec-teaz prelungirea segmentului AL n N. Cercul de centru A de raz AN taie cercul ntr-un punct B. Afirmm c AB este arcul cutat. (...) Demonstraia. Cu teorema lui Pitagora deducem 2$AL = = R 5.Urmeaz AB = AN = m. Din triunghiul dreptunghic AOM deducem AOM = 36 etc. Discuia. mprirea este unic pn la o rotaie a cercului dat n el nsui. Comentarii. 1) Nu este de luat n consideraie un rspuns de forma: msurm cu raportorul un unghi de 72 ... 2). Este discutabil dac formula (*) este cunoscut. n fond problema dat este echivalent cu construcia unui unghi u de 36. Cunoscnd cos u, construcia unghiului u nu ridic probleme. n funcie de contextul n care s-a cerut rezolvarea problemei, poate fi considerat datoria de a demonstra formula (*). Iat dou variante. Varianta 1 (trigonometric). Ecuaia sin2x = sin3x admite o singur soluie unghi ascuit. Dup desfaceri i simplificarea factorului sinx, n necunoscuta c = cos x, apare ecuaia 4c2 2c 1 = 0, cu singura soluie pozitiv (1 5) / 4.+

Fig. 17

Fig. 18

42

Varianta 2. Relum analiza problemei iniiale. Fie ABCDE pentagonul regulat nscris n cercul dat. Diagonala AC este intersectat de diagonalele BE, BD n F i n G. Pentru figura ABGF reinem proprietile AF = FB = = BG i AG = AB. Ne propunem deci s construim aceste trei triunghiuri isoscele nlnuite. Notm AB = a, AF = FB = BG = x (i FG = a x). Cum BF este bisectoare n triunghiul ABG, urmeaz a/x = = x / (a - x), x2 + ax a2 = 0, cu singura soluie convenabil

1 5 2 sin182

x - += = . [Funciile trigonometrice ale unghiu-

rilor de 18 i 36 se citesc pe figur dup proiectarea lui B n mijlocul B al lui (FG)]. Continuare comentariu. Determinarea din varianta 2 permite construirea unghiului de 36 de exemplu cu triunghiul isoscel GAB. n prima construcie se poate considera i intersec-ia N a cercului L cu segmentul AK; AN este latura decago-nului regulat nscris n cercul dat. Ex.2. Fie cercuri B (B, b) i C (C, c) tangente exterior n A i [DE] o tangent comun exterioar. S se afle raza r a cercului nscris n triunghiul curbiliniu ADE. Comentariu iniial. Aparent, problema nu cere cons-trucia cercului nscris ci doar raza sa. Interpretarea ca problem de construcie este destinat unei demonstraii a corectitudinii rezultatului gsit. Binevoim ns s constatm c datele iniiale se refer la un ,,triunghi curbiliniu despre care trebuie s tim elementele eseniale nainte de a porni la cutarea ,,necunoscute-lor. Am marcat astfel c trebuie s recunoatem probleme de construcie i n probleme ce nu se prezint n mod explicit ca aparinnd acestui tip. Spre a-i acorda importana cuvenit problemei ,,pregtitoare o tratm (cu un plus de generalitate) ca problem numerotat distinct. Ex.3. Se dau cercuri B (B,b) i C (C,c); se noteaz BC = d. Se cere lungimea tangentei comune [DE].

Fig. 19

43

Analiza. Fixm notarea datelor admind c are loc b c. Cutm o tangent comun exterioar. Presupunem problema rezolvat; fie D, E punctele de contact ale tangentei comune. Fie F punctul comun dreptei CE cu paralela prin B la DE. Deducem BFC = 90 i CF = c b .- Vom construi F ca intersecie de locuri geometrice. Construcia. Trasm cercul O de diametru [BC] i

cercul D (C, c b ).- Fie F comun acestor dou cercuri, E punctul comun cercu-lui C i semidreptei CF, D astfel nct BFED s fie dreptunghi. Afirmm c [DE] este tangent comun.

Demonstraia este imediat. Discuia. Tangenta comun (exterioar) exist cnd cer-curile O i D sunt secante, ceea ce revine la d < c b .- (Dac aceste cercuri sunt tangente exterior n T, exist o unic tangent comun exterioar, perpendiculara n T pe BC, punctele ei de contact fiind confundate). Problema admite dou soluii sime-trice fa de linia centrelor, BC. De o construcie i discuie ana-loag beneficiaz tangenta comun interioar, ce exist pentru d b c + . n totalitate, problema admite n soluii cu n numr natural, 0 n 4. Comentariu. Rspunsul la ntrebarea pus explicit de enun se obine cu teorema lui Pitagora din triunghiul dreptun-ghic BCF: 2 2 2 2DE BF d (c b) .= = - (1). Revenire la Ex.2. Analiza. Presupunem problema rezol-vat; fie M (M,r) cercul tangent: n U la B , n V la C , n T la [DE]. Formula (1) se particularizeaz pentru situaiile de tangen ce survin prin: DE 2 bc, DT 2 br , TE 2 cr.= = = Din DE = = DT + TE rezult r ( b c) bc+ = (2).

Comentariu intermediar. Problema enunat explicit este aparent

Fig. 20

44

complet rezolvat prin formula (2). De fapt nu am dovedit nc dect c este posibil ca valoarea r furnizat de (2) s fie cea valabil. Suntem relativ aproape de o soluie a proble-mei de construcie subneleas, expediind construcia cu o formu-lare de tipul: construim grafic un segment cu lungimea r furnizat de (2). Construim apoi grafic T pe (DE nct DT 2 br= (3). Pe perpendiculara n T pe DE lum M nct TM = r. Afirmm c cercul M (M,r) este tangent segmentului DE i arcelor (mici) AD, AE. Demonstraia trebuie s mai asigure tangenele de cercuri. Relund formula (1) pentru cercurile B i M deducem

2 2 2 2BM DT (b r) (b r) ,= + - = + deci BM = b + r, deci cercurile sunt tangente etc. Ex4. S se rezolve triunghiul ABC cunoscnd laturile: AB = c, AC = b 1 5,= + tiind c are loc condiia : 2 .B C= Aplicaie numeric: b

1 5,= + c =2. Tentativa 1 de rezolvare. Cunoscnd dou laturi ne pro-punem s o aflm pe cea de a treia din explicitarea relaiei

2 .B C= Avem 2 2 2 22 cos , 2 cosac B a b c ab C a= - + = + 2 2 .b c- (1)

Urmeaz 2 cos cos 2 cosB C B C B= = = 22cos 1.C= - Amplificnd cu 2 22 ,a b c obinem :

2 2 2 2 2 2 2 2 2( ) ( ) 2 .ab a b c a b c a b c- + = + - - Regrupnd dup puterile lui a gsim:

4 3 2 2 3 2 2 2 2 2 2( ) 2 ( ) ( ) 0P a a c a b a c ab b c c b c - - - - + - = (2). Este drept c, nlocuind valorile date pentru b, c obinem o ecuaie concret

4 3 2(3 5) 8 8 (2 5) 8(3 5) 0a a a a- + - - + - + = (3), dar continuarea nu pare deloc atractiv! Tentativa 2 de rezolvare. Egalitatea desprins din teorema sinusurilor sin sinb C c B= ne asigur de:

2 2 cosB C c C b= = (4).

Fig. 22

45

Pentru aplicaia numeric deducem de aici 4 cos 1 5C = + (6) i devine operant teorema cosinusurilor, cu exprimarea unghiurilor cerute prin intermediul funciei arccos.... Tentativa 3 de rezolvare. A doua egalitate din (4) devine

2 2 2 2( ) .c a b c ab+ - = Acum rolul lui (2) i (3) l preiau 2 2 2 2( ) ( ) 0Q a a c ab c b c - + - = (7) i

2 (3 5) 2(1 5) 0a a- + + + = (8). De aici urmeaz dou soluii. Prima, a =2, conduce la unghiuri A = C = 45, B = 90 dar ...(*). A doua soluie, a = 1+ 5 = b, asigur A = B = 72, C = 36. Apreciem c cele trei tentative, n loc s ne lumineze, dau un sentiment de inconfort: soluiile par a depinde mai mult de calea de cutare dect de datele problemei. ncadrarea n clasa problemelor de construcie este obligatorie (nu doar pentru c suntem ntr-un paragraf destinat acestora). Analiza. Presupunem problema rezolvat i ABC un triunghi satisfcnd condiiile date. n baza acestei propoziii formale, consideraiile din cele trei tentative au un aspect legal. Cutarea triunghiului ABC nseamn cutarea tuturor laturilor (deci i a lui a), precum i a tuturor unghiurilor. Dac notm C = u, deducem B = 2u i A = 180 - 3u. Triunghiul ABC urmeaz deci s fie rezolvat prin teorema sinusurilor. O scriem, amplificm prin sin 0u i notm cos .u t= Deducem astfel (pe cazul general): b = 2c$t, a = c(4t2 -1) (9). Eliminnd t din (9) gsim 2 2ac b c= - (10). Ultima egalitate permite construcia grafic a lui a (n funcie de b, c date), construcia reducndu-se la ... L.L.L. Tentativele anterioare conin (10) mpreun cu relaii parazite rezultate din folosirea unor relaii ce nu determin unic triunghiul. Pentru (7) factorul parazit este (a - c); n (2) acest factor este

3 2 2 2 2 2( ) ( )a a c a b c c b c- - + - - i prezena sa ntunec substanial vederea. Discuia este simpl. Din C < B se impune c < b.

46

Deoarece n (9), t este un cosinus, trebuie s avem b < 2c. Reinem deci pentru datele problemei condiia c < b < 2c (11). Pentru a furnizat de (10), condiiile (11) asigur existena i unicitatea triunghiului ABC.

9. Rspunsuri la pauze de cafea PC.2. Cum se poate demonstra incomensurabilitatea dintre cateta i ipotenuza unui triunghi dreptunghic isoscel? Dup demonstrarea teoremei lui Pitagora, problema revine la a constata c 2 nu este numr raional. Presupunnd prin absurd c este dat de fracia ireductibil m /n, deducem m2 = 2n2. Cum m nu poate fi impar ar urma m = 2p i 2p2 = n2. De aici ar urma n par deci reductibilitatea. Fie triunghiul isoscel ABC dreptunghic n A. S admitem c ar exista un segment u ce s-ar cuprinde de un numr ntreg de ori att n cateta AB ct i n ipotenuza BC. Trasm cercul (B,BA) ce taie BC n D. Deducem c u se va cuprinde de un numr ntreg de ori i n CD. Perpendiculara n D pe BC taie AC n E. Triunghiul DCE este dreptunghic isoscel, DC = DE. Avem i ED = EA, ca tangente dintr-un punct la un cerc. Dup aezarea lui DC pe AC ca AE, deducem c u trebuie s se cuprind de un numr ntreg de ori i n CE. Deci acelai segment u trebuie s convin i triunghiului dreptunghic isoscel DCE. Acesta are cateta DE mai mic dect jumtatea catetei AC a triunghiului iniial. Deci u s-ar cuprinde de un numr ntreg de ori ntr-un ir de segmente AB, CD, ... unde fiecare este mai mic dect jumtatea precedentului etc. PC.3. Este oare legitim s acceptm n geometrie ideea c putem folosi acelai etalon OE pentru a exprima lungimi de direcii diferite? Nu neaprat. Spaiul i planul ar putea s nu fie izotrope. ntr-un spaiu afin am putea da o elips E de centru O. Pentru fiecare punct M al elipsei, pe dreptele de direcie OM am lua ca

Fig. 23

47

etalon pentru msurarea direciilor pe OM. Acesta este n fond efectul unei dilatri axiale pentru evaluarea distanelor.

PC.4. Demonstrai (7) (M, N; P)(N, B; O) = (M, A; O) (A, B; C). Demonstraie sintetic. Cu teorema sinusurilor n

triunghiurile ACO i BCO deducem CA OA ,sin COA sin C

=

CB OB .sin COB sin C

= mprind membru cu

membru reinem CA OA sin COACB OB sin COB

= (1).

Pentru cealalt transversal avem analog PM OM sin COAPN ON sin COB

= (2). Din (1) i (2)

rezult CA OM PM ON .CB OA PN OB

= Comparnd i orientrile de

segmente, aceasta este tocmai relaia de demonstrat. Demonstraie analitic. n reperul R = (O, A, B) lum

puncte C, M, N, P nct (A, B; C) = k, (M, A; O) = m, (N, B; O) =

= n, (M, N; P) = . Gsim C

--

- k1k,

k11 , M(m, 0), N(0, n),

P

l-l-

l- 1n,

1m . Condiia de coliniaritate a punctelor O, P, C revine

la n = km, deci la (7). Relevana formulelor. Revenim asupra figurii 4 din 2. Comparnd i orientri dm formulei (1) aspectul (A,B;C) =

OA sin(c,a) .OB sin(c,b)

= Transcriem aceasta i pentru punctul D,

mprim membru cu membru, i deducem: (A,B;C) sin(c,a) sin(d,a)(A,B;C, D) : .(A,B;D) sin(c,b) sin(d, b)

= = Reinem formula

fig. 24

48

remarcabil sin(c,a) sin(d,b)(A,B;C, D)sin(c,b) sin(d,a)

= (3).

PC.7. Fie patrulaterul ABCD i numere reale pozitive subunitare, m, n. Pe laturile AB, BC, CD, DA se consider puncte E, F, G, H nct AE = = m$AB, BF = n$BC, DG = m$DC, AH = n$AD. Fie I intersecia lui EG cu FH. Se cer rapoartele simple (E,G; I) i (F,H; I). Interpretare trengreasc. Problema este (foarte) general; enunul pare a fi indicat toate datele necesare formul-rii rspunsurilor i acestea se reduc la m i n. Oare nu este posibil s ghicesc rapoartele cerute, x = EI/ EG i y = HI/HF? Pentru ghicire am la ndemn dou metode: 1 s iau cazuri particulare foarte simple, 2 s desenez bine cazul general i s msor. Merit s fac efortul fiindc, dac tiu ce am de demonstrat, sunt mai aproape de soluie. mi propun s aplic 1, s ghicesc i s verific prin 2. Nu merit s gndesc acum ce se va ntmpla dup aceast etap. Primul atac. Cel mai simplu este dac patrulaterul ABCD este triunghi ABC! Va trebui s iau G n C, FH va fi pa-ralel cu AB i asemnri evidente de triunghiuri m-ar conduce la x = EI/ EG = EI/ EC = BF/BC = n, y = HI/HF = AE/AB = m! Simplu, chiar periculos de simplu!

Al doilea atac. Spre a nu leza litera enunului, e simplu s iau ABCD paralelogram. Acum EG i FH sunt paralele la laturi i rspunsurile de mai sus sunt confirmate.

Fig. 25

49

Extinderea bazei de sprijin. n baza acestor cazuri particulare, extindem uor valabilitatea prezumiei la cazul cnd patrulaterul este trapez. (Fig.25c). Al treilea atac. Conform programrii iniiale, vreau s desenez bine cazul general. Cum egalitatea de rapoarte se deseneaz ducnd paralele convenabile, voi folosi figura cu pa-ralelogramul; evit confuzii posibile notnd cu D2 vrful parale-logramului. (Este posibil s folosesc i primul atac, folosind indicele 1). Punctele E, F sunt arbitrare pe AB, BC fiindc nu-merele m, n erau arbitrare. Cu paralele la laturile paralelogramu-lui ABCD2, gsesc G2 pe CD2 i H2 pe AD2. Acum iau D n poziie generic. Identific G pe CD ducnd G2G paralel cu D2D i H pe AD cu paralela prin H2 la acelai D2D. Termin figura trasnd EG, FH i marcnd intersecia I. Verificarea ghicirilor de mai sus revine la a constata paralelismul lui I2I cu H2H, respectiv G2G, deci n fond cu D2D! Zic: ce am ghicit este confirmat de desenul general. Reformularea problemei. Singurul necaz spre demon-straie pare a proveni din faptul c punctul I este definit (ca intersecie) n mod incomod. Prefer ca, n locul lui I s am n vedere altele dou: J pe EG nct EJ/EG = n, K pe FH nct HK/HF = m. Acestora le pot impune s coincid cu I artnd c J este pe FH, iar K pe EG. Inventez deci urmtorul: Enun rectificat. Fie patrulaterul ABCD i numere reale pozitive subunitare, m, n. Pe laturile AB, BC, CD, DA se consider puncte E, F, G, H nct AE = m$AB, BF = n$BC, DG = = m$DC, AH = n$AD. Fie J pe EG nct EJ/EG = n, K pe FH nct HK/HF = m. S se arate c J este pe FH, iar K pe EG. Demonstraia enunului rectificat. Reiau din cele de mai sus cele referitoare la paralelogramul ABCD2. Constat c intersecia I2 satisface egaliti de rapoarte ce justific renotarea lui cu J2 sau K2 dup trebuin. Pentru a da nelesul dorit acestei reluri, zic c am rezolvat problema n cazul particular cnd

Fig. 26

50

ABCD este paralelogram. Pregtesc legtura cu cazul general relund i demonstraia pentru G2G y H2H y D2D. Pentru a demonstra situarea lui J pe HF l folosesc pe I2 n rolurile suc-cesive: de J2, apoi K2. Am prin Thales I2J y G2G, deci K2J y H2H i cu teorema fundamental a asemnri constat egali-tatea K2J = K2K. Cea de a doua parte a concluziei se demonstreaz analog sau se afirm c este prima parte citit pe patrulaterul BCDA. Observaie. Este legitim s gndim c ar fi preferabil s bazm demonstraia cazului general pe situaia particular cea mai larg, deci s pornim de la trapezul ABCD i s mutm punctul D n D. Apreciem c, aici, avantajul este minor. Relevana soluiei. Am folosit convenabil c triunghiu-rile CD2D, G1G2G, H1H2H, I1I2I sunt omotetice. Morale. 1. Cazurile particulare sunt importante. 2. A ghici bine nseamn a pregti viitorul. 3. Un desen bun arat i scurteaz calea ctre soluie. PC.8. Fie triunghiurile ABC, DEF. 1 S se gseasc puncte M, N, P situate respectiv pe BC, CA, AB astfel nct triunghiurile MNP, DEF s fie asemenea i la fel orientate. 2 S se arate c cercurile circumscrise triun-ghiurilor ANP, BPM, CMN au un punct comun K. 3 Locul geometric al centrului de greutate Q al triunghiului MNP. Citirea problemei. Succesiunea ntrebrilor las s se neleag c vor fi multe triunghiuri ABC satisfcnd condiiile date. Ne vom concentra atenia asupra primei ntrebri. Lum dup voie M pe BC. Acum este clar c lund la ntmplare i N pe CA, va fi unic determinat un punct P nct triunghiurile MNP, DEF s fie asemenea i la fel orientate dar c, n general, P nu va fi situat pe CA. Distingem dou probleme ajuttoare, P1 i P2, a cror depire ne va apropia de problema dat. P1. Se dau: triunghiul DEF i puncte distincte M, N. Cum construim punctul P astfel nct triunghiurile MNP, DEF s fie asemenea i la fel orientate?

Fig. 27

51

Condiia ,,la fel orientate ne deter-min un semiplan s, delimitat de dreapta MN, n care trebuie s cutm punctul P. n acest semiplan determinm unic semidreptele Mm, Nn nct mMN = DEF, MNn = EFD. Aceste semidrepte vor avea n comun punctul P dorit. P2. Se dau: un triunghi DEF, un punct M i o dreapt d. Se cere locul geometric al punctului P cnd un punct N parcurge dreapta d iar triunghiurile MNP, DEF sunt asemenea i la fel orientate. Destinm o prim etap construirii pe dreapta d a punc-telor No, Po nct triunghiurile MNoPo, DEF s fie asemenea i la fel orientate. Pentru aceasta este suficient s ducem nlimea DD n triunghiul DEF i proiecia Mo a lui M pe d. DD i MMo fiind omoloage n triunghiul dat i n cel cutat, paii pn la determinarea punctelor No, Po se ntrevd clar. Prin aceast prim etap zicem c am concentrat datele problemei, ce se poate enuna acum: dat triunghiul MNoPo, s se afle locul geometric al lui P cnd N parcurge dreapta NoPo iar triunghiurile MNP, MNoPo sunt asemenea i la fel orientate.

Pentru N pe semidreapta (NoPo, punctul P al locului va nchide patrulaterul inscriptibil MNPoP deci P va aparine unei semidrepte Pop nct MPop =MNoPo i va par-curge toat aceast semidreapt. Cnd No este ntre Po i N,

patrulaterul MNPPo este inscriptibil i P parcurge semidreapta opus lui Pop. Conchidem c locul geometric cerut este o dreapt d prin punctul Po evideniat. Reciprocele reiau cele de mai sus rolurile lui d i DEF prelundu-le d i DFE. Revenire, la punctul 1 al problemei date. Problemele P1 i P2 ne apropie efectiv (din direcii diferite) de rezolvarea ntrebrii 1. Luasem M, dup voie pe BC. Dac lum, la ntmplare i N pe CA, determinm unic P conform P1. Cum nu putem spera n plasarea lui pe AB, ne

Fig. 28

Fig. 29

52

rmne s strngem sau s extindem figura dinspre punctul C. (Formularea corect este: printr-o omotetie de centru C, aducem punctul P n P situat pe AB). Avem de fcut urmtorii pai: CP intersecteaz AB n P (dac CP y AB nseamn c am ales N cu ghinion; l nlocuim i nu vom mai avea aceast neans); paralelele prin P la PM, PN intersecteaz BC, respectiv CA n M, N. Triunghiul MNP satisface condiiile. (Comentariu repauzator: se ntmpl n geometrie ca n cursele cicliste: a condus trena punctul M, apoi N, dar primul a trecut linia de sosire punctul P). Dac gndim (prin prisma problemei P2) cum s alegem N pentru a gsi P situat pe AB, avem de construit dreapta loc geometric d (datele fiind M i dreapta CA n rolul lui d) ce intersecteaz AB n punctul dorit P. De la acest P ne ntoarcem spre a gsi i punctul N. Recitirea problemei. nc nu apare vreo justificare pentru plasarea cererii 2 dup l. Este evident c putem lua orice puncte (necoliniare) M, N, P situate pe dreptele BC, CA, AB, triunghiul DEF putnd fi ales ulterior. Este posibil ca rostul succesiunii s ne apar abia la abordarea punctului 3. Demonstraie 2. Primele cercuri men-ionate n enun au n comun punctul P i n cazul generic vor mai avea nc unul, pe care l numim K, obligndu-ne s-i dovedim aparte-nena i la cel de al treilea cerc. (Pentru cazul special cnd cele dou cercuri ar fi tangente am lua K n P). S admitem c suntem n situaia (provenit dintr-un desen comod) c NAPK i MBPK sunt patrulatere i K este interior triunghiului ABC. Deducem uor: MKN = 360 - NKP - PKM = (180 - NKP) + + (180 - PKM) = A + B = 180 - C, deci patrulaterul MCNK este inscriptibil, deci K este i pe cel de al treilea cerc, q.e.d. Apreciem c demonstraia ar curge analog i n alte situaii dect cea analizat i c listarea diverselor posibiliti este inutil.

Fig. 30

Fig. 31

53

Alt citire a problemei. Ni s-a confirmat prerea c gsim o infinitate de triunghiuri MNP ce rspund cererii 1. Pasul intermediar ce trebuie s-l facem este s gsim legturi ntre asemenea ,,triunghiuri soluii MNP, MNP. Este posibil ca punctul K ce a intervenit la 2 s faciliteze astfel de legturi, aa c suntem n situaia de a cuta, fr s ni se fi spus dinainte ce trebuie s gsim. a. Relund situaia descris n demonstraia dat punc-tului 2 i notnd cu M, N, P, D, E, F unghiurile triunghiurilor MNP, DEF, gsim de exemplu: BKC = BKM + MKC = = BPM + MNC = (180-P -NPA) + (180 - N -PNA) = = (180 - P N) + (180 - NPA - PNA) = M + A = A + D. Analog stabilim CKA = B + E, AKB = C + F. Cel puin pentru situaia analizat, unghiurile sub care se vd din K laturile triunghiului ABC sunt constante, deci K nu depinde de triunghiul MNP ales la 1. b. Fie , , lungimile diametrelor cercurilor circum-scrise triunghiurilor ANP, BPM, CMN. Cu teorema sinusurilor

stabilim BK = $sinM, CK = $sin M, deci BKCK

b=

g (1). Mai

avem i PM = $sinB, MN = $sinC. Folosind teorema sinusu-rilor i n triunghiul ABC, innd cont de asemnarea triunghiu-rilor MNP, DEF, notnd lungimile laturilor ultimului triunghi cu

d, e, f deducem: PM FD e b ,MN DE f c

b= = =

g deci ce

bfb

=g

i (1)

devine bf$BK = ce$CK. (2). Explicitnd analog i alt raport reinem irul simetric de rapoarte egale

a AK b BK c CKd e f

= = (3).

Avem deci un alt criteriu pe baza cruia s afirmm indepen-dena lui K de triunghiul MNP ales la 1. Suntem astfel asigurai

Fig. 32

54

c punctul K poate ocaziona legtura dorit ntre triunghiurile MNP ce ne stau n atenie. Comentarii. 1. Pentru punctul K se folosete denumirea de punct pivot a crei semnificaie va fi evideniat treptat. 2. Legturile evideniate permit diverse con-strucii ale pivotului K ce premerg aflarea unui triunghi MNP. Conform a. punctul K se va afla pe arce capabile subntinse de (BC), (CA), (AB). Conform b., K este situat pe cercuri Apolonius remarcabile n raport cu laturile triunghiului ABC. De exemplu, (2) evideniaz un cerc Apolonius fa de (BC). Dup gsirea lui K rezolvarea ntrebrii 1 se poate face trasnd succesiv cecuri prin K i vrfuri care s se taie pe dreptele BC, CA, AB. 3. Relaiile de la b. ne arat c i devin simultan minime cnd KM z BC. Din conciclicitile evideniate rezult n acest caz i KN z CA, KP z AB. n acest caz, triunghiul MNP este podarul lui K n raport cu triunghiul ABC i fie-care latur a sa este minim n clasa triunghiurilor ce satisfac cererea 1. Vom renota acest triunghi cu DoEoFo. 4. Avnd K i triunghiul su podar DoEoFo, pentru a obine un triunghi generic MNP trebuie s rotim semidreptele KDo, KEo, KFo (n acelai sens) cu acelai unghi , pentru a obine semi-dreptele KM, KN, KP. Aceast operaie binemerit denumirea de pivotare i o justific pe cea de la comentariul 1. 5. Dac triunghiul MNP se obine prin pivotare de unghi a lui DoEoFo, raportul de asemnare al celor dou triunghiuri este DoEo/MN = cos. 6. Oricare pereche de puncte dintre M, N i P se corespund n involuii ale laturilor ce le parcurg. Ca urmare, fiecare latur a triunghiului MNP nfoar cte o conic.

Fig. 33

Fig. 34

55

7. Listarea situaiilor posibile ce a rmas restant n demonstra-rea punctului 2 este mult uurat de considerarea poziiilor pivotului K n raport cu triunghiul ABC. 8. Interseciile de locuri geometrice prin care se identific la 2. punctul K nu l precizeaz n mod unic ci doar mpreun cu un omolog al su, K, ce corespunde celeilalte orientri a triun-ghiului DEF. Demonstraie 3. Fie pivotul K, triunghiul su podar DoEoFo i centrul su de greutate Go. Ne vom situa iniial n cazul generic, K Go. Un triunghi MNP se obine prin pivotarea de la comentariul 4. n asemnarea triunghiurilor DoEoFo, MNP punctul K este propriul su omolog iar lui Go i corespunde centrul de greutate Q al triunghiului MNP. Rezult c au loc: GoKQ = i KGo = KQ$cos. Aceasta nseamn c punctul Q parcurge perpendiculara q n Go pe KGo. Rspundem deci c, n cazul generic, locul geometric cerut este aceast dreapt q. Eventualitatea Go = K atrage, pentru orice triunghi MNP, Q = K, deci locul geometric al lui Q se reduce la punctul K. Este necesar s precizm pentru ce date iniiale (ABC, DEF) are loc situaia Go = K. Rspunsul este uor de enunat dar mai greu de demonstrat: Situaia are loc1) ddac pivotul K este punctul lui Lemoine al triunghiului ABC. Moral. Actuala pauz de cafea a fost lansat drept o problem abordabil, deci solicitnd oarece prospeime de gndire i o tehnic acceptabil de atac. Trebuie s spunem (mcar) acum c a fost conceput ca un cui. Sperana de fi rezolvabil de o persoan ce nu s-a dedulcit ndelung cu probleme 1) n literatura matematic mondial s-au ncetenit convenii de scriere prescurtat: n englez pentru expresia if and only if apare prescurtarea iff, n francez, pentru si et seulment si apare prescurtarea ssi, n rus (cu litere latine), togda i tolko togda este prescurtat prin ttogda. Dei n limba romn convenia analoag dac i numai dac = ddac nu este prea rspndit, noi o folosim.

Fig. 35

56

nrudite este practic nul. Includerea ei n context nu s-a dorit un mesaj de tipul keep out ci ca o atenionare c unele probleme solicit de la rezolvitor nu numai creativitate de moment ci i o apreciabil zestre care se acumuleaz n timp. Mesajul ce l aduce l-am mai inserat ntr-o carte cu scop similar: Inside is Geometry! Those who love it and those who dont are invited in! PC.10. Fie ABCD tetraedru regulat de muchie a. Aflai ce valori poate lua distana dintre dou mediane necoplanare a unor fee ale tetraedrului ABCD. Vom aplica metoda a treia din 5.E. Fie mediana (BE) i centrul de greutate G al triunghiului BCD. nainte de a decide care va fi a doua median de considerat, pregtim un plan per-pendicular n E pe BE. Evident, acest plan va conine muchia CD. Fie F proiecia lui A n planul ; AGEF este dreptunghi. O a doua median ce poate fi luat n discuie este CH, H fiind mijlocul lui AB. Punctul H se proiecteaz pe n mijlocul H al lui EF. Distana ntre medianele BE, CH va fi distana x de la E la dreapta CH. Aceeai distan va apare i ntre medianele BE, DH. Punem n eviden i mijlocul K al lui BC, proiectat pe n mijlocul K al segmentului (CE). Distana ntre medianele BE, AK va fi distana y de la E la dreapta FK. Nu vor surveni distane diferite de acestea. n acest moment problema este redus la calcule de geometrie plan. Pentru a evita calcule neapetisante, fie 2b = EF = GA. Calculul lui x i y din triunghiurile dreptunghice ECH, EFK d x$CH = EH$EC, y$FK = EK$EF. Dup ridicare la ptrat i eliminri de numitori, 2 2 2 2 2x (a 4b ) a b ,+ = 2 2 2y (a 64b )+ =

2 24a b .= Ar avea loc x = y doar n eventualitatea a = 4b, uor de exclus. Pentru finalizarea calculelor vom observa a2 = 6$b2, 10$x2 = a2, 35$y2 = 2$a2. Observaie. Figura ilustrativ a evitat desenul spaial, prezentnd doar configuraiile din dou plane, convenabil alese.

Fig. 36

57

PC.11. Fiind dat un unghi (orientat) , precizai locurile geome-trice ale punctului M date de urmtoarele condiii: a) 1 2 ;O MO = a b)

1 2 ;O MO = a c) 1 2 ;O O M = a d) 1 2 .O O M = a a) Dou arce capabile de unghi subntinse de O1O2. b) Un cerc prin O1 i O2. c) Dou semidrepte prin O2, simetrice fa de O1O2. d) O dreapt prin O2. PC.12. n raport cu un unghi xOy, unui punct M i asociem proiec-iile M1, M2 pe Ox, Oy. Se mai d un segment a. Se cer locurile geometrice pentru punctele M ce satisfac condiiile: 1 M1M2 = a; 2 OM1 + OM2 = a; 3 OM1 - OM2 = a. 1 Prin M1M2 = OM$sin xOy rezult OM = constant. Condiiile 2, 3 trebuiesc reformulate n raport cu unghiul xOy cu laturile perpendiculare pe Ox, Oy. 2 revine la suma distanelor lui M la dreptele Ox, Oy deci este un dreptunghi similar cu cel de la E.1 din I 7. Analog, 3 este un antidreptunghi ca n E.2.

58

Motto: Geometria e divers ca

lumea pe care o reprezint

Cap. II. DIVERSE GEOMETRII

CUPRINS CAPITOL II

1. Diferenieri .............................................................. p.59 2. Geometrie afin ....................................................... p.60

3. Geometrie proiectiv ............................................... p.71 A. Argumente pentru geometria proiectiv 71 B. Geometrie proiectiv pe o dreapt 74 C. Reper proiectiv n plan 76 4. Programa de la Erlangen .................................... p.79 5. Geometrie hiperbolic .......................................... p.83 A. O metaimplicaie 83 B. Elemente specifice 89 C. Alte metaimplicaii 90 D. Grupul transformrilor hiperbolice 91

6. Corpul coordonatelor .............................................. p.92 7. Rspunsuri la Pauze de cafea ................................ p.95

59

1. Diferenieri

coala ar ndrepti impresia unei singure geometrii. Titulaturi un pic deosebite, n plan, n spaiu, analitic ngduie subsumarea diverselor capitole termenului comun de geometrie; elementele unificatoare predomin clar asupra diferenelor. Zicem c, pn la un punct, este bine s fie cultivat aceast vedere unitar, consonant cu ideea de universalitate a geometriei. Aici ns este justificat s vorbim de un mnunchi de geometrii. Un prim criteriu de difereniere ar fi dat de modalitatea de prezentare ce poate fi axiomatic sau constructiv. Apreciem c termenii sunt corect nelei i c nu sunt justificate eforturi de delimitare. Conform cu un criteriu al dimensiunii, uor de intuit dar mai greu de precizat teoretic, am separa pentru fiecare n (natural, nenul) cte o geometrie. Vom limita (aproape exclusiv) consideraiile din acest capitol la dimensiunea doi, adic la plan. O difereniere ce a intrat pe drept n cultura general separ o geometrie euclidian, de altele neeuclidiene, ramificabile n hiperbolice sau eliptice. Rspunsurile la ntrebrile: cte paralele se pot duce printr-un punct la o dreapt i ct este suma unghiurilor unui triunghi sunt decisive pentru a contura diferenieri obiective. Penuria spaiului ne-a determinat s nu marm pe calea explicitrii detaliilor. Onorm doar datoria de a nu lsa tirbit ideea de universalitate zicnd c acceptarea oricreia dintre ele determin i acceptarea celorlalte. Desigur, nu este vorba de o valabilitate simultan, pe acelai model, ci doar c un model al uneia permite edificri de modele pentru fiecare dintre celelalte. Potrivit cadrului conturat de titlul prezentului curs, este uor de spus c msurile ce le acceptm ca relevante determin o bun ierarhizare rezumat de tabelul anexat.

Invariant lungime raport simplu biraport Geometrie euclidian afin proiectiv

Vom constata c aceast separare impune i diferene n modul n care concepem planul ca mulime de puncte.

60

Un bun criteriu de clasificare va fi furnizat de acceptarea unei definiii comune a geometriilor; este vorba de concepia lui Felix Klein ce o vom preciza n paragraful 4 al acestui capitol. Metodele analitice permit formulri complete ale unei geometrii n limbaj analitic. formulele fiind subnelese peste corpul R. Este posibil nlocuirea lui R cu diverse alte corpuri, fapt ce duce formal la geometrii diverse.

Pauza de cafea 13 1. Fie ABC un triunghi oarecare i M mijlocul laturii [BC]. Se noteaz cu N un punct pe AB astfel ca ( ).A BN Ortocentrul H al triunghiului ABC se proiecteaz pe bisectoarele unghiurilor BAC i CAN respectiv n punctele P i Q. S se arate c punctele M, P i Q sunt coliniare. (Concurs de ocupare a posturilor din 1994).

2. Geometrie afin

Bun parte din acest paragraf este destinat deducerii unor teoreme de geometrie bine cunoscute. Vom alterna aici demonstraii prin metode analitice i sintetice pentru a evidenia aplicabilitatea tehnicilor analitice dar i pentru a ilustra corelri ale celor dou metode. Teorema 1. (Menelaos) Fie un triunghi ABC i puncte M, N, P situate pe dreptele BC, CA, AB, toate distincte de vrfuri. Punctele M, N, P sunt coliniare dac i numai dac are loc "relaia lui Menelaos": (1) (B, C; M) (C, A; N) (A, B; P) = +1. Demonstraie analitic. Considerm reperul afin R = = (C, A, B). Putem preciza coordonatele vrfurilor F(A) = (1, 0), F(B) = (0, 1), F(C) = (0, 0). Fie numerele reale (2) a = (B, C; M), b = (C, A; N), g = (A, B; P). Prin formulele (22) din 3 deducem

61

(3) 1 1( ) 0, , ( ) , 0 , ( ) ,1 1 1 1

F M F N F P -b -g = = = - a - b - g - g .

Condiia de coliniaritate a punctelor M, N, P revine (vezi verificarea lui (s1) n teorema 5.1.) la D(MNP) = 0. Amplificnd liniile determinantului cu 1-a, 1-b, 1-g condiia devine:

,01110110

=g-g-b-b-a-

i apoi abg = 1, adic (1).

Demonstraie sintetic. Admitem situarea punctelor M, N, P pe o dreapt d; fie D intersecia ei cu paralela prin A la BC. Redm membrului stng din (1) forma familiar i notm

.MB NC PAkMC NA PB

= Asemnri evidente, asociate cu comparri de

orientri, asigur ,NC MC PA DANA DA PB MB

= = i urmeaz k = 1.

Implicaia invers beneficiaz de posibilitatea aplicrii metodei reducerii la absurd. Fie P punctul n care MN taie AB; nu zicem, dar este de analizat ipoteza c P ar fi diferit de P. Calculnd (A, B; P) din ipoteza (1) i (A, B; P) din aplicarea directei, observm egalitatea celor dou rapoarte simple, deci coincidena punctelor P, P.

Teorema 2. (Ceva) Fie un triunghi ABC i puncte M, N, P,

situate pe dreptele BC, CA, AB toate distincte de vrfuri. Dreptele AM, BN, CP sunt n fascicul dac i numai dac are loc "relaia lui Ceva" (4) (B, C; M)(C, A; N)(A, B; P) = -1. Demonstraie analitic. Folosim acelai reper afin R i identificm M, N, P prin numerele reale a, b, g cu semnificaiile

fig. 1 fig. 2

62

date de (2). Putem desigur continua scriind efectiv ecuaiile dreptelor AM, BN, CP dar preferm alt abordare. Considerm ecuaiile generale sub form de determinant ale dreptelor BC, CA, AB sub forma: (5) / / 0 , / / 0 , / / 0.BC CA AB= = = Ecuaia general a dreptei AM este (vezi (3) i observaia 1 din

IV 4) (6)/ / / /

0./ /( ) / /( )

CA ABCA M AB M

= Evalum cu lema 1

din IV 5 raportul numerelor reale de pe linia doua a

determinantului: / /( ) / /( ) / /( ) / /( )/ /( ) / /( ) / /( ) / /( )AB M AB M AB C CA BCA M AB C CA B CA M

= =

( )( )

BM ABC CBCABBC CM

D=

D.)M;C,B(

MCMB

a-=-=-= Astfel (6) devine:

(7) / / / / / / 0.AM CA AB a + = Prin permutri ciclice se deduc i ecuaii generale ale dreptelor BN, CP: / / / / / / 0,BN AB BC= b + = / / / / / / 0.CP CA BC= + g = Explicitm acum ecuaiile generale ale dreptelor suport: / / , / / , / / 1.BC x CA y AB x y= = + = - - + Ecuaia (7) i analoagele devin (dup schimbri de semn):

(8) x (1 )y 1 0,(1 )x y 0,x y 0.

+ - a - = - b -b + b =g + =

Condiia ca cele trei drepte s fie n fascicul se exprim prin (5)

din 4: (9) ,001

1111

=g

bb-b--a-

ce devine imediat a b g = -1,

adic (4). Se apreciaz drept sintetic deducerea relaiei lui Ceva prin dou aplicri de relaii Menelaos. Actualul context privile-giaz pentru acest epitet o demonstraie independent a directei, folosind rapoarte de arii orientate. Admitem deci c dreptele AM, BN, CP au n comun un punct Q i observm:

63

( ) ( ) ( ) ( )( , ; ) .( ) ( ) ( ) ( )

MB AMB QMB AQB ABQB C MMC AMC QMC AQC ACQ

s s s s= = = = =

s s s sPermutm ciclic, nmulim cele trei egaliti i facem trei simplificri de factori de tipul ( ) ( )XYQ YXQs = -s spre a deduce egalitatea (4). Implicaia reciproc se deduce ca n teorema precedent prin reducere la absurd. Observaia 1. Din cauza rolurilor distincte ale lui A, B, C n reperul R, ecuaiile (8) au pierdut din simetrie. Putem interpreta (5) ca preciznd un reper tangenial T. Pentru a explicita (6) a mai intervenit o condiie, frecvent utilizat, de "uniformitate a normrii" /BC/(A) = /CA/(B) = /AB/(C). Acum (7) i analoagele dau coordonatele tangeniale [0, a, 1], [1, 0, b], [g, 1, ,0] i condiia de a fi n fascicul apare mai simetric.

(9/) .0)1(01

0110

=abg+=g