CARA JITU MENGUASAI - cakbim.files.wordpress.com · Berisi kumpulan soal yang pernah dilombakan pada Olimpiade Matematika SD tingkat Kabupaten/Kota, ... Olimpiade tingkat SMP dan

CARA JITU MENGUASAI

Penulis:

Bimmo Dwi Baskoro, S.Si.

Berisi kumpulan soal yang pernah dilombakan pada Olimpiade Matematika SD tingkat Kabupaten/Kota, Provinsi, Nasional, dan Internasional (Canadian Open Mathematics

Challenge (COMC)) Materi diulas secara tuntas, konkret, dan terstruktur

sehingga mudah dipahami oleh siswa

Kata Pengantar

Buku ini disusun untuk membantu siswa-siswi SD/MI mahir dalam

menyelesaikan soal-soal olimpiade matemtika. Perlu disadari bahwa tidak semua

materi soal yang muncul pada kompetisi sekelas olimpiade matematika tercakup

dalam kurikulum regular SD/MI. Oleh karena itu, diperlukan upaya lebih besar

dalam mengenalkan soal olimpiade matematika dengan berbagai solusi yang

sifatnya dapat merangsang siswa untuk berpikir secara kreatif.

Buku ini diharapkan dapat dipelajari untuk digunakan sebagai alat Bantu

dalam menghadapi kompetisi matematika, khususnya olimpiade matematika.

Rincian pembahasan dalam buku ini terdiri atas soal olimpiade tingkat

kabupaten/kota, provinsi, nasional, serta kompetisi matematika internasional.

Akhirnya, penulis menyadari bahwa dengan segala keterbatasan dan

kompleksitas dalam pengerjaan buku ini, tentu saja masih terdapat kekurangan.

Oleh karena itu, masukan dari pembaca sangat penulis hargai dan penulis tunggu

di alamat email: [email protected]. Dengan segala kelebihan dan

kekurangannya, penulis berharap semoga buku ini bermanfaat bagi pembaca.

Jakarta, Agustus 2009

Penulis

Selayang Pandang

Olimpiade Matematika SD

Pesatnya perkembangan ilmu pengetahuan dan teknologi hingga saat ini telah

mengantarkan umat manusia ke era kompetisi global di berbagai kehidupan.

Situasi demikian menuntut kita agar segera berbenah diri dan sekaligus menyusun

langkah nyata guna menyongsong masa depan.

Olimpiade Matematika tingkat SD/MI yang telah dirintis sejak tahun 2003

merupakan salah satu wadah strategis untuk merealisasikan paradigma pendidikan

di atas. Pelaksanaan olimpiade secara berkelanjutan akan berdampak positif pada

pelaksanaan proses pembelajaran sehingga menjadi lebih kreatif dan inovatif.

Olimpiade Matematika tingkat SD/MI merupakan langkah awal bagi

siswa-siswi SD/MI yang berbakat yang nantinya diharapkan terus mengikuti

Olimpiade tingkat SMP dan SMA.

Materi Olimpiade bersumber pada kurikulum SD/MI yang berlaku untuk

mata pelajaran Matematika, buku pelajaran, buku penunjang, dan bahan lain yang

relevan. Materi Olimpiade juga mencakup kemampuan menyelesaikan soal-soal

eksplorasi (untuk Matematika), penalaran, kreativitas, serta pemahaman konsep.

Khusus untuk Matematika, materi yang diujikan adalah soal-soal yang

tidak rutin dengan tingkat kesulitan yang cukup tinggi untuk ukuran siswa SD.

Ada dua format yang diberikan, yaitu format ujian dan format eksplorasi. Format

ujian terdiri dari dua jenis, yaitu isian singkat dan uraian. Untuk soal isian singkat,

peserta diminta untuk menuliskan jawaban soal saja. Format ini belum dapat

menggambarkan bagaimana peserta memanfaatkan pengetahuan dan kompetensi

matematikanya untuk menyelesaikan masalah. Gambaran demikian baru dapat

diperoleh melalui format uraian. Materi ujian teori dapat dikelompokkan menjadi

bilangan, geometri, pengukuran, data, dan matematika rekreasi.

Materi eksplorasi lebih menekankan pada pencarian pola. Soal eksplorasi

meminta peserta melakukan kegiatan mencoba-coba. Kegiatan ini diharapkan

tidak hanya menyentuh aspek kognitif, tetapi juga aspek psikomotorik. Sebagai

hasil mencoba-coba tersebut, peserta diharapkan dapat menemukan suatu pola dan

memberikan pendapat yang bersifat umum tentang pola tersebut.

Seleksi Olimpiade Matematika SD/MI dilaksanakan secara berjenjang

mulai dari tingkat sekolah, kecamatan, kabupaten/kota, provinsi, dan diakhiri

dengan Olimpiade Sains Nasional.

Daftar Isi

Selayang Pandang Olimpiade Matematika SD/MI

Bagian I Olimpiade Tingkat Kabupaten/Kota

Soal 1

Soal dan Pembahasan 1

Soal 2


Latihan

Bagian 2 Olimpiade Provinsi

Soal

Soal dan Pembahasan

Bagian 3 Olimpiade Tingkat Nasional

Latihan

Bagian 4 Canadian Open Mathematics Championship

English Text Problem

Soal Teks Bahasa Indonesia

Soal dan Pembahasan

1


Tingkat Kabupaten/Kota

Soal 1

(A) Pilihan Ganda

1. Jika 467 dikalikan dengan 3, maka digit terakhir dari hasil perkalian tersebut

adalah ...

(a) 1

(b) 5

(c) 6

(d) 7

2. Kakek Nana mempunyai beberapa buah apel dan beberapa orang cucu. Apel

tersebut dibagikan kepada cucu-cucunya. Jika setiap cucu mendapat masing-

masing 2 buah apel, maka bersisa 2 buah apel. Sedangkan jika setiap cucu

mendapat masing-masing 4 buah apel, maka ada seseorang yang tidak

kebagian. Banyaknya apel dan cucu masing-masing adalah ...

(a) 15 apel dan 7 cucu

(b) 12 apel dan 5 cucu

(c) 15 apel dan 4 cucu

(d) 12 apel dan 6 cucu

3. Bilangan terkecil dari himpunan {0, –10, 4, 3, –2} adalah ...

(a) –10

(b) 4

(c) –2

(d) 3

4. Perhatikan gambar di bawah ini!

2

Jika A adalah himpunan yang menyatakan banyaknya segitiga pada bangun

tersebut, maka banyaknya anggota A adalah ...

(a) 5

(b) 4

(c) 3

(d) 1

5. Rata-rata dari –6, –2, 0, 4, dan 5 adalah ...

(a) 1

5

(b) 0

(c) 12

5

(d) 1

6. Berapakah luas bangun datar di bawah ini?

4 cm 4 cm

4 cm 4 cm

4 cm

4 cm

(a) 30 cm2

(b) 46 cm2

(c) 50 cm2

(d) 56 cm2

7. Suhu udara pada hari Selasa 5°C lebih panas dari suhu udara pada hari Senin.

Suhu udara pada hari Rabu 7°C lebih dingin dari suhu udara pada hari Senin.

Jika suhu udara pada hari Selasa adalah 23°C, maka suhu udara pada hari

Rabu adalah …

3

(a) 19°C

(b) 23°C

(c) 11°C

(d) 31°C

8. ABC adalah sebuah bilangan. Jika ABC dibagi oleh 15, maka hasilnya adalah

8. Jika A adalah suatu bilangan yang 20 kurangnya dari ABC, maka nilai A

adalah ...

(a) 78

(b) 98

(c) 100

(d) 120

9. Soleh berjalan dari tempat A ke tempat B dengan kecepatan 6 km/jam selama

2 jam dan ia kembali ke tempat A dengan naik motor. Kecepatan rata-rata

seluruh perjalanan Soleh bila perjalanan dari tempat B ke tempat A

membutuhkan waktu 30 menit adalah ...

(a) 8,5 km/jam

(b) 8,6 km/jam

(c) 9,5 km/jam

(d) 9,6 km/jam

10. Nilai dari 4

0,05 :0,4

= ...

(a) 0,005

(b) 0,05

(c) 0,5

(d) 5

11. Perhatikan gambar berikut ini!

4

Jika kertas lipat, dilipat menjadi 2 bagian yang sama besar, kemudian dilipat

lagi menjadi 2 bagian yang sama besar dan dilipat lagi menjadi 2. Selanjutnya,

tepat di tengah-tengah, kertas tadi dilubangi dengan paku. Ketika kertas

dibuka maka di kertas terdapat terdapat … lubang.

(a) 8

(b) 6

(c) 4

(d) 2

12. Diketahui bahwa semua tempat duduk pada suatu bus telah penuh dan ada 7

orang yang berdiri. Pada sebuah halte bus ada 10 orang yang turun dan ada 4

orang yang naik. Berapa orang yang berdiri pada bus tersebut?

(a) Tidak ada

(b) 1

(c) 2

(d) 3


Jika panjang jari-jari lingkaran 13 cm dan panjang AB adalah 10 cm, maka

luas daerah yang diarsir pada gambar tersebut adalah … 22

7

(a) 300 cm2

(b) (196 120) cm2

(c) (169 240) cm2

(d) (169 120) cm2

14. Pedagang Es Dawet setiap harinya menghabiskan 70 gelas. Untuk membuat 2

gelas es dawet membutuhkan biaya Rp. 1.500. Ia menjual tiap gelas es dawet

A

B

5

seharga Rp. 1.500. Pada suatu hari pedagang itu hanya menghabiskan 40

gelas. Jika sisanya dijual dengan harga setengahnya dari harga semula,

ternyata masih ada sisa 10 gelas. Pernyataan yang tepat untuk kasus di atas

adalah …

(a) Pedagang untung sebesar Rp. 37.500.

(b) Pedagang rugi sebesar Rp. 37.500.

(c) Pedagang tidak untung dan tidak rugi

(d) Jawaban a, b, dan c salah semua

15. Nilai rata-rata ulangan IPA dari 6 orang anak adalah 6,8. Jika ditambah

Aisyah, maka nilai rata-ratanya menjadi 7. Berapakah nilai Aisyah?

(a) 6,5

(b) 7,2

(c) 8,2

(d) 8,8

(B) Soal Uraian

1. Sebuah bak mandi berbentuk balok yang berukuran panjang 50 cm, lebar 3

dm, dan tinggi 0,5 m. Diketahui bahwa Dinda mempunyai air sebanyak 525

liter. Berapakah banyaknya bak yang diperlukan Dinda untuk menampung

semua air tersebut?

2. Perhatikan proses pengurangan di bawah ini!

2004

A7

19B7

Berapakah jumlah digit A dan B?

3. Seekor ayam berbunyi setiap 30 menit sekali dan bunyi pertama adalah tepat

tengah malam. Pada malam yang sama, berapa menit lagikah ayam akan

berbunyi setelah pukul 04:25?

6

4. Tiga puluh persen dari planet bumi diselimuti oleh daratan dan sisanya adalah

air. Sembilan puluh tujuh persen dari air adalah air laut dan sisanya adalah air

tawar. Berapakah persentase dari bumi yang diselimuti oleh air tawar?

5. Diketahui suatu persegi panjang EFGH. Panjang EF = 20 cm dan panjang FG

= 15 cm. A adalah titik tengah garis FG, sedangkan B adalah titik tengah garis

GH. Berapakah luas segitiga?

6. Angka 945 bisa dinyatakan sebagai perkalian dua bilangan ganjil yang

keduanya lebih besar dari 1. Ada berapa banyak perkalian berbeda yang

banyak dilakukan?

7. Perhatikan segitiga siku-siku di bawah ini!

E F

G

H

Jika panjang EF = 30 cm, AC = 40 cm, dan EH tegak lurus terhadap FG.

Berapakah panjang EH?

8. Diketahui panjang lantai sebuah studio musik adalah 3

84

dan lebarnya adalah

7 m. Lantai tersebut dipasang ubin yang berbentuk persegi yang panjang

sisinya 30 cm. Berapa banyak minimal ubin yang diperlukan untuk menutupi

seluruh lantai?

9. Pipit akan mengambil tiga bilangan yang berbeda pada himpunan {5, 6, 7, 8,

9} untuk membentuk semua bilangan b

ac

dengan catatan b

ckurang dari 1

7

(misalnya 6

57

). Berapa selisih bilangan terkecil dan bilangan terbesar dari

bilangan-bilangan baru yang sudah dibentuk?

10. Aden ingin memasang iklan sebanyak 4 baris untuk mempromosikan

barangnya. Untuk hari pertama, Aden harus membayar Rp. 500 tiap baris.

Untuk 5 hari berikutnya, Aden harus membayar Rp. 200 tiap baris per hari.

Lalu untuk hari-hari berikutnya Aden harus membayar Rp. 100 tiap baris per

hari. Jika Aden membayar Rp 7.000, berapa hari iklan itu dipasang?

8




(A) Pilihan Ganda

1. Jika 467 dikalikan dengan 3, maka digit terakhir dari hasil perkalian tersebut

adalah ...

(a) 1

(b) 5

(c) 6

(d) 7

Jawaban: (a)

Pembahasan:

Untuk mengetahui digit terakhir dari perkalian 467 dengan 3, maka cukup

dengan mengalikan digit terakhir 467, yaitu 7 dikali 3 sama dengan 21. Jadi,

digit terakhir dari perkalian 467 dengan 3 adalah 1.

2. Kakek Nana mempunyai beberapa buah apel dan beberapa orang cucu. Apel

tersebut dibagikan kepada cucu-cucunya. Jika setiap cucu mendapat masing-

masing 2 buah apel, maka bersisa 2 buah apel. Sedangkan jika setiap cucu

mendapat masing-masing 4 buah apel, maka ada seseorang yang tidak

kebagian. Banyaknya apel dan cucu masing-masing adalah ...

(a) 15 apel dan 7 cucu

(b) 12 apel dan 5 cucu

(c) 15 apel dan 4 cucu

(d) 12 apel dan 6 cucu

Jawaban: (b)

Pembahasan:

Karena terdapat 2 variabel (peubah) yang tidak diketahui, maka untuk

mengetahui jawabannya adalah dengan cara mengecek jawaban yang terdapat

pada pilihan gandanya.

9

Jika setiap cucu mendapat 2 apel, maka bersisa 2 apel. Artinya, jumlah

apel keseluruhan merupakan kelipatan 2 sehingga tidak mungkin jumlah apel

tersebut 15, tetapi 12.

Karena dari 12 permen yang dibagikan harus bersisa 2, maka jumlah

permen yang dibagikan adalah sebanyak 12 – 2 = 10. Jadi, banyaknya cucu

adalah:

Banyaknya semua apel

Banyaknya apel yang diberikan

10

2

5

Dari pernyataan pertama sudah bisa diketahui banyaknya cucu. Untuk

lebih memastikan, kita cek kebenaran tersebut dengan pernyataan kedua. Jika

setiap cucu mendapatkan masing-masing 4 apel, maka ada 1 orang cucu yang

tidak kebagian.

126

2 adalah pernyataan yang tepat, dimana 12 apel hanya bisa dibagikan

pada 2 cucu agar masing-masing cucu mendapatkan 6 apel.

3. Bilangan terkecil dari himpunan {0, –10, 4, 3, –2} adalah ...

(a) –10

(b) 4

(c) –2

(d) 3

Jawaban: (a)

Pembahasan:

Sudah jelas bahwa bilangan terkecil dari himpunan {0, –10, 4, 3, –2} adalah –

17.


10

Jika A adalah himpunan yang menyatakan banyaknya segitiga pada bangun

tersebut, maka banyaknya anggota A adalah …

(a) 5

(b) 4

(c) 3

(d) 1

Jawaban: (a)

Pembahasan:

Perhatikan gambar berikut ini!

A B

C

D E

F

Yang merupakan segitiga adalah:

ABC, ADF, BEF, CDE, dan DEF

Jadi, terdapat 5 segitiga pada bangun tersebut.

5. Rata-rata dari –6, –2, 0, 4, dan 5 adalah ...

(a) 1

5

(b) 0

(c) 12

5

(d) 1

Jawaban: (a)

Pembahasan:

Rata-rata dari sejumlah bilangan adalah hasil penjumlahan semua bilangan itu,

kemudian hasilnya dibagi dengan banyaknya bilangan. Jadi, rata-rata dari –6,

–2, 0, 4, dan 5 adalah:

11

Jumlah semua bilangan

Banyaknya bilangan

6 2 0 4 5

5

1

5

6. Berapakah luas bangun datar di bawah ini?

4 cm 4 cm

4 cm 4 cm

4 cm

4 cm

(a) 30 cm2

(b) 46 cm2

(c) 50 cm2

(d) 56 cm2

Jawaban: (d)

Pembahasan:

Perhatikan gambar di berikut ini!

4 cm 4 cm

4 cm 4 cm

4 cm

4 cmI

II

Pada gambar tersebut, diketahui bahwa gambar I adalah segitiga dan gambar

II adalah persegi panjang. Luas bangun datar gabungan adalah penjumlahan

12

dari luas daerah bangun datar yang diketahui. Jadi, luas bangun datar

gabungan tersebut adalah:

Luas Bangun I + Luas Bangun II

1

4 4 12 42

8 48 56 cm2

7. Suhu udara pada hari Selasa 5°C lebih panas dari suhu udara pada hari Senin.

Suhu udara pada hari Rabu 7°C lebih dingin dari suhu udara pada hari Senin.

Jika suhu udara pada hari Selasa adalah 23°C, maka suhu udara pada hari

Rabu adalah …

(a) 19°C

(b) 23°C

(c) 11°C

(d) 31°C

Jawaban: (c)

Pembahasan:

Suhu udara pada hari selasa adalah 23°C. Suhu udara pada hari Selasa 5°C

lebih panas dari suhu udara pada hari Senin sehingga suhu udara pada hari

Senin adalah 23°C – 5°C = 18°C. Kemudian karena suhu udara pada hari

Rabu lebih dingin 7°C daripada suhu udara pada hari Senin, maka suhu udara

pada hari Rabu adalah 18°C – 7°C = 11°C.

8. ABC adalah sebuah bilangan. Jika ABC dibagi oleh 15, maka hasilnya adalah

8. Jika A adalah suatu bilangan yang 20 kurangnya dari ABC, maka nilai A

adalah ...

(a) 78

(b) 98

(c) 100

(d) 120

Jawaban: (c)

Pembahasan:

13

ABC8

15

ABC 15 8 120

Jika A adalah suatu bilangan yang 20 kurangnya dari ABC, maka

A ABC 20

120 20

100

Jadi, A = 100.

9. Soleh berjalan dari tempat A ke tempat B dengan kecepatan 6 km/jam selama

2 jam dan ia kembali ke tempat A dengan naik motor. Kecepatan rata-rata

seluruh perjalanan Soleh bila perjalanan dari tempat B ke tempat A

membutuhkan waktu 30 menit adalah ...

(a) 8,5 km/jam

(b) 8,6 km/jam

(c) 9,5 km/jam

(d) 9,6 km/jam

Jawaban: (d)

Pembahasan:

Kecepatan dari A ke B = 8 km/jam

Waktu dari A ke B = 2 jam

Waktu dari B ke A = 0,5 jam

Kecepatan rata-rata total perjalanan

Jarak total

Waktu total

Jarak total = Jarak dari A ke B + Jarak dari B ke A

Kecepatan dari A ke B

Jarak dari A ke B

Waktu dari A ke B

14

Jarak dari A ke B

kecepatan dari A ke B waktu dari A ke B

6 km/jam 2 jam

12 km

Jarak total = 12 km + 12 km = 48 km

Waktu total:

waktu dari A ke B + waktu dari B ke A

2 jam + 0,5 jam = 2,5 jam

Kecepatan rata-rata total perjalanan

24 km9,6 km/jam

2,5 jam

10. Nilai dari 4

0,05 :0,4

= ...

(a) 0,005

(b) 0,05

(c) 0,5

(d) 5

Jawaban: (a)

Pembahasan:

4 0,40,05: 0,05

0,4 4

2

5 1 2 1 15

100 4 20 20 20 10

1

200

0,005


15

Jika kertas lipat, dilipat menjadi 2 bagian yang sama besar, kemudian dilipat

lagi menjadi 2 bagian yang sama besar dan dilipat lagi menjadi 2. Selanjutnya,

tepat di tengah-tengah, kertas tadi dilubangi dengan paku. Ketika kertas

dibuka maka di kertas terdapat terdapat … lubang.

(a) 8

(b) 6

(c) 4

(d) 2

Jawaban: (c)

Pembahasan:


Pada kertas tersebut terdapat 4 bagian yang sama besar sehingga jika kertas

dilubangi dengan paku tepat di bagian tengah akan terdapat 4 buah lubang.

12. Diketahui bahwa semua tempat duduk pada suatu bus telah penuh dan ada 7

orang yang berdiri. Pada sebuah halte bus ada 10 orang yang turun dan ada 4

orang yang naik. Berapa orang yang berdiri pada bus tersebut?

(a) Tidak ada

(b) 1

(c) 2

(d) 3

Jawaban: (b)

Pembahasan:

16

Jika pada suatu halte bus ada 10 orang yang turun dan ada 4 orang yang naik,

maka maksudnya adalah jumlah penumpang berkurang dari 10 orang dan

bertambah 4 orang. Jadi, bus tersebut berkurang 6 orang. Karena sebelumnya

terdapat 7 orang yang berdiri di dalam bus, maka sekarang ada 1 orang yang

berdiri.


Jika panjang jari-jari lingkaran 13 cm dan panjang AB adalah 10 cm, maka

luas daerah yang diarsir pada gambar tersebut adalah … 22

7

(a) 300 cm2

(b) (196 120) cm2

(c) (169 240) cm2

(d) (169 120) cm2

Jawaban: (c)

Pembahasan:

Diketahui:

AB = 10 cm

Jari-jari lingkaran, r = 13 cm

Kita tarik garis dari pusat lingkaran menuju titik A dan titik B.

A

B

A

B

17

A

B

10 cmO

Karena OA = OB = 13 cm, maka panjang garis O tegak lurus AB adalah:

O

AB

r = 13 cm

5 cm

t = ?

Perhatikan segitiga siku-siku tersebut! Menurut Teorema Phytagoras,

2

2 21AB t OA

2

22 25 t 13

2

25 t 169

2

t 169 25

2

t 144

t 144

t 12

Karena panjang persegi panjang di dalam lingkaran adalah 212 cm, maka

luas persegi panjang adalah:

persegi panjangL AB 2t

210 2 12 240 cm

Luas lingkaran O adalah:

2

lingkaranL r

18

2

lingkaranL 13 = 169π cm2

Karena luas lingkaran dan luas persegi panjang sudah diketahui, maka luas

daerah yang diarsir adalah:

lingkaran persegi panjangL L

2169 240 cm

14. Pedagang Es Dawet setiap harinya menghabiskan 70 gelas. Untuk membuat 2

gelas es dawet membutuhkan biaya Rp. 1.500. Ia menjual tiap gelas es dawet

seharga Rp. 1.500. Pada suatu hari pedagang itu hanya menghabiskan 40

gelas. Jika sisanya dijual dengan harga setengahnya dari harga semula,

ternyata masih ada sisa 10 gelas. Pernyataan yang tepat untuk kasus di atas

adalah …

(a) Pedagang untung sebesar Rp. 37.500.

(b) Pedagang rugi sebesar Rp. 37.500.

(c) Pedagang tidak untung dan tidak rugi

(d) Jawaban a, b, dan c salah semua

Jawaban: (a)

Pembahasan:

40 Rp. 1.500 Rp. 60.000

140 Rp. 1.500 Rp. 30.000

2

10 gelas terakhir tidak terjual. Seluruh pendapatannya adalah:

= Rp. 60.000 + Rp. 30.000

= Rp. 90.000

Sedangkan modal yang penjual perlukan untuk membuat 70 gelas es dawet

adalah:

70 Rp. 750 Rp. 52.500

Jadi, pedagang es dawet itu masih untung sebesar Rp. 90.000 – Rp. 52.500 =

Rp. 37.500.

19

15. Nilai rata-rata ulangan IPA dari 6 orang anak adalah 6,8. Jika ditambah

Aisyah, maka nilai rata-ratanya menjadi 7. Berapakah nilai Aisyah?

(a) 6,5

(b) 7,2

(c) 8,2

(d) 8,8

Jawaban: (c)

Pembahasan:

Diketahui nilai rata-rata IPA 6 orang anak adalah 6,8.

Misalkan nilai keenam anak itu adalah A, B, C, D, E, dan F.

Sehingga:

A B C D E F6,8

6

A B C D E F 6,8 6

A B C D E F 40,8

Kemudian, jika nilai Aisyah ditambahkan, maka nilai rata-ratanya menjadi 7.

Misalkan nilai Aisyah adalah G.

Sehingga:

A B C D E F G7

7

A B C D E F G 7 7

A B C D E F G 49

40,8 G 49

G 49 40,8

G 8,2

Jadi, nilai Aisyah adalah 8,2.

20

(B) Uraian

1. Sebuah bak mandi berbentuk balok yang berukuran panjang 50 cm, lebar 3

dm, dan tinggi 0,5 m. Diketahui bahwa Dinda mempunyai air sebanyak 525

liter. Berapakah banyaknya bak yang diperlukan Dinda untuk menampung

semua air tersebut?

Pembahasan:

Diketahui:

P = 50 cm

= 5 dm

L = 3 dm

T = 0,5 m

= 5 dm

Sehingga, V P L T

35 3 5 dm

375 dm 75 liter

Jika Dinda mempunyai 525 liter air, maka banyaknya bak yang diperlukan

untuk menampung air tersebut adalah:

525 liter 7 bak

75 liter

2. Perhatikan proses pengurangan di bawah ini!

2004

A7

19B7

Berapakah jumlah digit A dan B?

Pembahasan:

Pengurangan pada kolom satuan adalah 4 – 7 = 7. Ini berarti, angka 1

dikurangkan pada kolom puluhan. Pengurangan pada kolom puluhan adalah 9

– A = B. Jadi, sesuai dengan kaidah penjumlahan nilai A + B = 9.

21

3. Seekor ayam berbunyi setiap 30 menit sekali dan bunyi pertama adalah tepat

tengah malam. Pada malam yang sama, berapa menit lagikah ayam akan

berbunyi setelah pukul 04:25?

Pembahasan:

Bunyi pertama adalah tepat tengah malam, yaitu pukul 00.00. Bunyi

berikutnya adalah setiap kelipatan 30 menit. Lamanya waktu dari pukul 00:00

sampai pukul 04:25 adalah:

4 jam 25 menit

4 60 menit 25 menit

240 menit + 25 menit

= 265 menit

Selanjutnya, kita mencari kelipatan 30 terbesar yang lebih kecil dari 265

menit.

265 58

30 6

Kelipatan 30 terbesar yang lebih kecil dari 265 adalah 830 = 240.

Karena dari menit ke-240 untuk menuju menit ke-265 (pukul 04:25)

membutuhkan 25 menit, maka kita tinggal membutuhkan 5 menit lagi agar

sampai pada kelipatan 30 menit pertama setelah pukul 04:25. Perhatian:

waktu 5 menit berasal dari 30 – 25 menit.

4. Tiga puluh persen dari planet bumi diselimuti oleh daratan dan sisanya adalah

air. Sembilan puluh tujuh persen dari air adalah air laut dan sisanya adalah air

tawar. Berapakah persentase dari bumi yang diselimuti oleh air tawar?

Pembahasan:

Jika 30% dari bumi diselimuti oleh daratan, maka 70% diselimuti oleh air.

Kemudian jika 97% dari air adalah air garam, maka 3% dari air adalah air

tawar.

Jadi, persentase air tawar yang menyelimuti bumi adalah:

3% 70% 0,03 0,7

0,021

= 2,1%

22

5. Diketahui suatu persegi panjang EFGH. Panjang EF = 20 cm dan panjang FG

= 15 cm. A adalah titik tengah garis FG, sedangkan B adalah titik tengah garis

GH. Berapakah luas segitiga?

Pembahasan:

Perhatikan gambar di bawah ini!

E F

GH

A

B

Diketahui:

EF = 20 cm

FG = 15 cm

BG = HB dan AF = AG

Karena BG = HB, maka:

BG HB

1GH

2

1

20 cm 10 cm2

AF GA

1FG

2

1

15 cm 7,5 cm2

Luas ΔEAB

persegi panjang ABCD EFA EHB GBAL L L L

1 1 1

EF FG EF FA EH HB GB BA2 2 2

23

21 1 120 15 20 7,5 15 10 7,5 10 cm

2 2 2

2300 75 75 37,5 cm

2112,5 cm

6. Angka 945 bisa dinyatakan sebagai perkalian dua bilangan ganjil yang

keduanya lebih besar dari 1. Ada berapa banyak perkalian berbeda yang

banyak dilakukan?

Pembahasan:

Nyatakan 945 sebagai perkalian faktor-faktornya yang ganjil.

Amati pohon faktor berikut ini!

945

3 315

3 315

3 105

3 35

7 5

945 dapat dinyatakan sebagai

I. 3 315

II. 5 (73333)

III. 7 (33335)

IV. (3333) (75)

V. (3337) (35)

VI. (3335) (37)

VII. (3357) (33)

Jadi, terdapat 7 cara untuk menyatakan 945 sebagai hasil perkalian 2 bilangan

ganjil.

7. Perhatikan segitiga siku-siku di bawah ini!

24

E F

G

H

Jika panjang EF = 30 cm, AC = 40 cm, dan EH tegak lurus terhadap FG.

Berapakah panjang EH?

Pembahasan:

Dengan memanfaatkan rumus luas segitiga, kita dapat menghitung luas

segitiga sebagai

1EF EG

2 atau sebagai

1FG EH

2

Jadi, 1 1

EF EG FG EH2 2 (kalikan kedua ruas dengan 2)

Sehingga diperoleh:

EFEG = FGEH

4030 = 50EH

1200 50 EH

1.200

EH50

24

Jadi, panjang EH adalah 24 cm.

8. Diketahui panjang lantai sebuah studio musik adalah 3

84

dan lebarnya adalah

7 m. Lantai tersebut dipasang ubin yang berbentuk persegi yang panjang

sisinya 30 cm. Berapa banyak minimal ubin yang diperlukan untuk menutupi

seluruh lantai?

Pembahasan:

Diketahui ukuran lantai kamar adalah

25

3P 8 m

4 = 7,25 m = 725 cm

L = 7 m = 700 cm

Sehingga, luas lantai P L

875 cm 700 cm

2612.500 cm

Sedangkan, luas lantai ubin S S

30 cm 30 cm

2900 cm

Jadi, banyaknya ubin yang diperlukan untuk menutupi seluruh lantai adalah

Luas lantai 612.500

Luas tiap ubin 900

6.125

9

5680

9

Jadi, supaya lantai ditutupi ubin dengan sempurna, maka setidaknya harus

memiliki 681 ubin.

9. Pipit akan mengambil tiga bilangan yang berbeda pada himpunan {5, 6, 7, 8,

9} untuk membentuk semua bilangan b

ac

dengan catatan b

ckurang dari 1

(misalnya 6

57

). Berapa selisih bilangan terkecil dan bilangan terbesar dari

bilangan-bilangan baru yang sudah dibentuk?

Pembahasan:

Perhatikan bahwa a, b, dan c ketiganya harus berbeda. Oleh karenanya,

bilangan terkecilnya adalah 6

59

dan bilangan terbesarnya adalah 7

98

. Jadi,

selisihnya:

7 69 5

8 9

26

79 51

8 9

79 9 51 8

72 72

711 408

72 72

303

72

154

72

10. Aden ingin memasang iklan sebanyak 4 baris untuk mempromosikan

barangnya. Untuk hari pertama, Aden harus membayar Rp. 500 tiap baris.

Untuk 5 hari berikutnya, Aden harus membayar Rp. 200 tiap baris per hari.

Lalu untuk hari-hari berikutnya Aden harus membayar Rp. 100 tiap baris per

hari. Jika Aden membayar Rp 7.000, berapa hari iklan itu dipasang?

Pembahasan:

Karena memasang 4 baris, maka pada hari pertama harus membayar

4 Rp. 250 Rp. 2.000 .

Hari ke-2 sampai hari ke-6 harus membayar 4 5 Rp. 200 Rp. 4.000 .

Hari berikutnya harus membayar Rp. 100 per hari.

Aden membayar iklan Rp. 7.000.

Biaya iklan yang digunakan setelah hari ke-6 adalah

Rp. 7.000 – (Rp. 2.000 + Rp. 4.000)

= Rp. 7.000 – Rp. 6.000

= Rp. 1.000

Banyaknya hari setelah hari ke-6 adalah

=Rp. 1.000

Rp. 100= 10

Jadi, Aden memasang iklan selama (1 + 5 + 10) hari = 16 hari.

27



Soal 2

(A) Pilihan Ganda

1. Banyaknya kelereng Adi dua kali kelereng Zaki. Banyaknya kelereng Imam

tiga kali banyaknya kelereng Adi. Jumlah seluruh kelereng mereka ada 846

butir. Banyaknya kelereng Imam adalah ...

(a) 658 butir

(b) 564 butir

(c) 188 butir

(d) 94 butir

2. Harga 9 bungkus cokelat adalah Rp. 72.000,-. Harga 3 bungkus permen adalah

Rp. 12.000,-. Hadi ingin membeli 4 bungkus cokelat dan 2 bungkus permen.

Uang yang harus dibayar Hadi adalah ...

(a) Rp. 32.000,-

(b) Rp. 40.000,-

(c) Rp. 42.000,-

(d) Rp. 312.000,-

3. Sebuah perusahaan peternakan ayam menyeleksi 5.000 ayam. Ternyata

terdapat 904 ayam yang kurang produktif. Banyaknya ayam yang masih cukup

produktif adalah ...

(a) 153

(b) 163

(c) 173

(d) 183

4. Arif duduk di kursi pada suatu ruangan. Di belakang dia terdapat sebuah jam

weker dan tepat di depan dia terdapat sebuah cermin. Di cermin, dia melihat

bayangan jam weker seperti pada gambar di bawah ini.

28

Jam berapakah yang ditunjukkan oleh weker tersebut pada saat itu?

(a) 04:10

(b) 07:50

(c) 05:10

(d) 04:50

5. Jika 62,4 10 dikalikan dengan 3, maka hasilnya adalah ...

(a) 7,2 610

(b) 7,21012

(c) 7,2103

(d) 2,41018

6. 5

4,127 A 63 72,4158

Nilai A adalah ...

(a) 4,663

(b) 4,783

(c) 6,663

(d) 7,288


F

G

O

Jika luas daerah FOG pada lingkaran di atas adalah 20% dari luas lingkaran

penuh, maka besar sudut FOG adalah ...

29

(a) 90°

(b) 72°

(c) 70°

(d) 36°

8. Sebuah kamar berbentuk persegi panjang dengan ukuran 6 m5,4 m. Kamar

tersebut akan dipasangi ubin berbentuk persegi dengan panjang sisi 30 cm.

Jumlah ubin yang diperlukan adalah …

(a) 38 buah

(b) 108 buah

(c) 360 buah

(d) 380 buah

9. Sebuah mobil berlaju dengan kecepatan 72 km/jam. Jarak yang ditempuhnya

dalam waktu 135 detik adalah …

(a) 2,7 km

(b) 4,5 km

(c) 5,4 km

(d) 9,72 km


Berapakah jumlah binatang pada lingkaran tetapi tidak pada segi lima?

(a) 3 ekor

(b) 5 ekor

30

(c) 8 ekor

(d) 10 ekor

11. Setiap meja di kelas Andi digunakan oleh dua orang temanku. Andi duduk

dikelas sehingga ada sebuah meja di sebelah kanan, kiri, dan di depannya.

Sedangkan ada dua meja lagi di belakangku. Jadi, banyaknya siswa di kelanya

adalah …

(a) 24 orang

(b) 20 orang

(c) 16 orang

(d) 12 orang

12. Manakah di antara gambar di bawah ini yang merupakan jaring-jaring kubus?

(a)

(b)

(c)

(d)

13. Perhatikan bangun berikut ini!

31

Besarnya sudut pada tiap titik sudut dalam gambar tersebut adalah ...

(a) 72°

(b) 98°

(c) 108°

(d) 144°

14. Perhatikan pola gambar berikut ini!

Bentuk yang paling sesuai untuk mengisi bagian yang bertanda tanya adalah ...

(a)

(b)

(c)

(d)

15. ABC adalah suatu segitiga sama kaki dimana AB = AC dan besar

BAC 92 .

D B C

A

92°

Jika sisi BC diperpanjang sampai D, maka besar DBA adalah ...

(a) 88°

(b) 44°

(c) 92°

?

32

(d) 136°

(B) Soal Uraian

1. Misalkan Z* melambangkan1

Z. Sebagai contoh,

14*

4 . Berapa banyaknya

pernyataan di bawah ini yang benar?

2* 4* 6*

2* 4* 8*

7* 3* 4*

16* 4* 4*

2. Tiga gelas air dituangkan ke dalam ember, ternyata dapat mengisi setengah

dari ember tersebut. Kemudian ember tersebut diisi lagi 1 gelas air yang

ukurannya sama. Berapa bagiankah air yang mengisi ember sekarang?

3. Berapakah nilai S jika S = 1 2 + 3 4 + … + 99 100?

4. Sebuah perusahaan memperkerjakan 4 kali jumlah pekerja tahun lalu.

Diketahui jumlah pekerja tahun lalu 30 orang kemudian yang berhenti bekerja

sebanyak 5 orang, sedangkan yang masuk adalah 2 kali dari banyaknya yang

berhenti. Berapakah banyaknya pekerja sekarang?

5. Rata-rata dari 5 bilangan adalah 12 dan rata-rata dari 6 bilangan adalah 15.

Berapa rata-rata dari 11 bilangan tersebut?

6. Seorang pegawai mengalami kenaikan gaji dari Rp. 1.000.000,- per bulan

menjadi Rp. 1.200.000,- per bulan. Berapa persentase kenaikan gaji pegawai

tersebut?

7. Uning mendapat gaji Rp. 15.000,- per hari dan Fatkur mendapat gaji Rp.

25.000,- per hari. Setelah berapa hari Uning bekerja dan setelah berapa hari

Fatkur bekerja sehingga gaji mereka jumlahnya sama?

33

8. Berat maksimum penumpang pada sebuah lift adalah 1.500 kg. Rata-rata berat

badan dari semua orang yang menumpangi lift tersebut adalah 50 kg. Karena

kelebihan 100 kg, lift tersebut tidak bisa naik. Berapa banyak orang yang

menumpangi lift tersebut?

9. Hari ini Deri harus menemui Bobi pada pukul 10.00 di rumah Bobi. Jarak

rumah Deri dan Bobi adalah 60 km. Deri menaiki mobil dengan kecepatan 80

km/jam dan ternyata Deri terlambat 20 menit pada saat tiba di rumah Bobi.

Pukul berapa Deri berangkat dari rumahnya?

10. Sejumlah uang akan dibagikan kepada Lutfi, Iwan, dan Rio. Lutfi

mendapatkan Rp. 2.000,-, sedangkan Iwan dan Rio mendapatkan1

3dan

1

4 dari

seluruh uang yang dibagikan. Berapakah jumlah seluruh uang yang dibagikan?

34




(A) Pilihan Ganda

1. Banyaknya kelereng Adi dua kali kelereng Zaki. Banyaknya kelereng Imam

tiga kali banyaknya kelereng Adi. Jumlah seluruh kelereng mereka ada 846

butir. Banyaknya kelereng Imam adalah ...

(a) 658 butir

(b) 564 butir

(c) 188 butir

(d) 94 butir

Jawaban: (b)

Pembahasan:

Misalkan n(A) adalah banyaknya kelereng Adi, n(Z) adalah banyaknya

kelereng Zaki, dan n(I) adalah banyaknya kelereng Imam.

Diketahui bahwa banyaknya kelereng ketiganya adalah 846 dimana:

n(A) = 2 n(Z) → n(Z) = ½ n(A)

n(I) = 3 n(A)

Sehingga,

n(A) + n(I) + n(Z) = 846

n(A) + 3 n(A) + ½ n(A) = 846

9n(A) 846

2

846 2n(A)

9

= 188

Jadi, banyaknya kelereng Imam adalah n(I) = 3 n(A) = 3188 = 564.

2. Harga 9 bungkus cokelat adalah Rp. 72.000,-. Harga 3 bungkus permen adalah

Rp. 12.000,-. Hadi ingin membeli 4 bungkus cokelat dan 2 bungkus permen.

Uang yang harus dibayar Hadi adalah ...

(a) Rp. 32.000,-

(b) Rp. 40.000,-

35

(c) Rp. 42.000,-

(d) Rp. 312.000,-

Jawaban: (b)

Pembahasan:

Misalkan C menotasikan harga satuan cokelat dan P menotasikan harga satuan

permen sehingga 9C = Rp. 72.000,- dan 3P = Rp. 4.000,-. Oleh karenya,

Rp. 72.000,-C Rp. 8.000,-

9

Rp. 12.000,-P Rp. 4.000,-

3

Jadi, harga 4 buah cokelat dan 2 buah permen adalah 4C + 2P = Rp. 32.000,- +

Rp. 8.000,- = Rp. 40.000,-

3. Sebuah perusahaan peternakan ayam menyeleksi 5.000 ayam. Ternyata

terdapat 904 ayam yang kurang produktif. Banyaknya ayam yang masih cukup

produktif adalah ...

(a) 153

(b) 163

(c) 173

(d) 183

Jawaban: (b)

Pembahasan:

Banyaknya ayam yang masih cukup produktif adalah

Banyaknya ayam Banyaknya ayam non-produktif

5000 904

4096

316

4. Arif duduk di kursi pada suatu ruangan. Di belakang dia terdapat sebuah jam

weker dan tepat di depan dia terdapat sebuah cermin. Di cermin, dia melihat

bayangan jam weker seperti pada gambar di bawah ini.

36

Jam berapakah yang ditunjukkan oleh weker tersebut pada saat itu?

(a) 04:10

(b) 07:50

(c) 05:10

(d) 04:50

Jawaban: (d)

Pembahasan:

Perlu diperhatikan bahwa jika kita mencerminkan apa pun maka arah yang

ditunjukkan oleh cermin selalu berkebalikan. Benda yang berada kanan akan

terlihat berada di sebelah kiri.

Untuk menyelesaikan soal ini, terlebih dahulu kita gambar kembali weker

hasil pencerminan, kemudian kita buat cermin buatan seperti gambar di bawah

ini.

12

6

39

Jadi, waktu yang ditunjukkan oleh weker pada saat itu adalah pukul 04:50.

5. Jika 62,4 10 dikalikan dengan 3, maka hasilnya adalah ...

(a) 7,2 610

(b) 7,21012

(c) 7,2103

(d) 2,41018

Jawaban: (a)

Pembahasan:

37

6 63 2,4 10 7,2 10

6. 5

4,127 A 63 72,4158

Nilai A adalah ...

(a) 4,663

(b) 4,783

(c) 6,663

(d) 7,288

Jawaban: (a)

Pembahasan:

54,127 A 63 72,415

8

A 67,752 72,415

A 72,415 67,752

A 4,663


F

G

O

Jika luas daerah FOG pada lingkaran di atas adalah 20% dari luas lingkaran

penuh, maka besar sudut FOG adalah ...

(a) 90°

(b) 72°

(c) 70°

(d) 36°

Jawaban: (b)

Pembahasan:

38

Luas daerah FOG pada lingkaran di atas adalah 20% dari luas lingkaran

penuh. Besarnya sudut FOG adalah 20% dari total sudut lingkaran yaitu:

20% 360

20360

100

1360

5

72

8. Sebuah kamar berbentuk persegi panjang dengan ukuran 6 m5,4 m. Kamar

tersebut akan dipasangi ubin berbentuk persegi dengan panjang sisi 30 cm.

Jumlah ubin yang diperlukan adalah …

(a) 38 buah

(b) 108 buah

(c) 360 buah

(d) 380 buah

Jawaban: (c)

Pembahasan:

Diketahui ukuran lantai kamar adalah

P = 6 m = 600 cm

L = 5,4 cm = 540 cm

Luas lantai P L

600 cm 540 cm

2324.000 cm

Luas ubin S S

30 cm 30 cm

2900 cm

Jadi, banyaknya ubin yang diperlukan untuk menutupi seluruh lantai adalah

Luas lantai 324.000

Luas tiap ubin 900

3.240

3609

39

9. Sebuah mobil berlaju dengan kecepatan 72 km/jam. Jarak yang ditempuhnya

dalam waktu 135 detik adalah …

(a) 2,7 km

(b) 4,5 km

(c) 5,4 km

(d) 9,72 km

Jawaban: (a)

Pembahasan:

Untuk menyelesaikan soal ini terlebih dahulu kita mengubah satuan km/jam

menjadi m/s (meter per detik) sebagai berikut.

km 1.000 m 1 jamv (kecepatan) 72

jam 1 km 3.600 detik

m

20detik

Kita dapat mengetahui jarak yang ditempuh dalam lamanya waktu perjalanan

dari rumus kecepatan:

s v t

dimana: v = kecepatan

s = jarak yang ditempuh

t = waktu

Pada soal diketahui bahwa:

v = 20 m/detik

t = 135 detik

Jadi, waktu yang ditempuh adalah

s v t

ms 20 135 detik

detik

s 2.700 m 2,7 km


40

Berapakah jumlah binatang pada lingkaran tetapi tidak pada segi lima?

(a) 3 ekor

(b) 5 ekor

(c) 8 ekor

(d) 10 ekor

Jawaban: (b)

Pembahasan:

Jumlah binatang pada lingkaran sebanyak 8 ekor. Jumlah binatang yang

terdapat pada segi lima dan lingkaran sebanyak 3 ekor. Jadi, jumlah binatang

pada lingkaran tetapi tidak pada segi lima sebanyak 8 – 3 = 5 ekor.

11. Setiap meja di kelas Andi digunakan oleh dua orang temannya. Andi duduk di

kelas sehingga ada sebuah meja di sebelah kanan, kiri, dan di depannya.

Sedangkan ada dua meja lagi di belakangnya. Jadi, banyaknya siswa di kelas

Andi adalah …

(a) 24 orang

(b) 20 orang

(c) 16 orang

(d) 12 orang

Jawaban: (d)

Pembahasan:

Agar dapat menjawab soal berikut, kita dapat menggunakan gambar denah

bangkunya sebagai berikut

41

Kotak yang diarsir adalah meja Andi. Banyaknya meja tersebut adalah 6 buah

sehingga jumlah siswa pada kelas tersebut adalah 2 6 12 siswa.

12. Manakah di antara gambar di bawah ini yang merupakan jaring-jaring kubus?

(a)

(b)

(c)

(d)

Jawaban: (c)

Pembahasan:

Gambar yang tepat menggambarkan jaring-jaring kubus adalah

42

Pada jejaring kubus tersebut yang merupakan alas adalah kotak yang diarsir.

13. Perhatikan bangun berikut ini!

Besarnya sudut pada tiap titik sudut dalam gambar tersebut adalah ...

(a) 72°

(b) 98°

(c) 108°

(d) 144°

Jawaban: (a)

Pembahasan:

Bangun tersebut merupakan bangun segi lima dengan besarnya sudut pada tiap

titik sudut sama besarnya. Jumlah sudut pada tiap titik sudut dalam gambar

tersebut adalah 360°. Jadi, besarnya sudut pada tiap titik sudut dalam bangun

segi lima adalah

360 36072

n 5

14. Perhatikan pola gambar berikut ini!

Bentuk yang paling sesuai untuk mengisi bagian yang bertanda tanya adalah ...

(a)

(b)

(c)

?

43

(d)

Jawaban: (a)

Pembahasan:

Perhatikan bahwa pada deretan gambar-gambar hanya terdapat 3 gambar yang

berbeda.

Jadi, gambar yang bertanda tanya adalah potongan dari gambar sebelumnya

yaitu

15. ABC adalah suatu segitiga sama kaki dimana AB = AC dan besar

BAC 92 .

D B C

A

92°

Jika sisi BC diperpanjang sampai D, maka besar DBA adalah ...

(a) 88°

(b) 44°

(c) 92°

(d) 136°

Jawaban: (d)

Pembahasan:


?

44

D B C

A

92°

44° 44°136°

Karena AB = AC dan BAC 92 , maka:

ABC ACB 180 BAC

180 92

88

ABC ACB 44

Jadi, besarnya sudut DBA adalah

DBA 180 ABC

180 44

136

(B) Soal Uraian

1. Misalkan Z* melambangkan1

Z. Sebagai contoh,

14*

4 . Berapa banyaknya

pernyataan di bawah ini yang benar?

2* 4* 6*

2* 4* 8*

7* 3* 4*

16* 4* 4*

Pembahasan:

Kita cek satu per satu.

1 1 2 1 3 1

2* 4* 6*2 4 4 4 6

Jadi, pernyataan 2* 4* 6* adalah pernyataan yang salah.

1 1 1

2* 4* 8*2 4 8

Jadi, pernyataan 2* 4* 8* adalah pernyataan yang benar.

45

1 1 3 7 4 1

7* 3* 4*7 3 21 21 4

Jadi, pernyataan 7* 3* 4* adalah pernyataan yang salah.

1 1 1 4 4 1

16* 4* : 4*16 4 16 1 16 4

Jadi, pernyataan16* 4* 4* adalah pernyataan yang salah.

Terdapat 2 pernyataan yang benar.

2. Tiga gelas air dituangkan ke dalam ember, ternyata dapat mengisi setengah

dari ember tersebut. Kemudian ember tersebut diisi lagi 1 gelas air yang

ukurannya sama. Berapa bagiankah air yang mengisi ember sekarang?

Pembahasan:

3 gelas air dapat mengisi 1

2 ember. Oleh karenanya,

1 gelas air dapat mengisi 2

3 ember =

1 1

2 3 6

ember.

Jadi, 4 gelas air dapat mengisi 1

46

ember4

6 ember

2

3 ember.

3. Berapakah nilai S jika S = 1 2 + 3 4 + … + 99 100?

Pembahasan:

1 2 3 4 99 100

1 2 3 4 99 100

1 1 1

50 1

50

4. Sebuah perusahaan memperkerjakan 4 kali jumlah pekerja tahun lalu.

Diketahui jumlah pekerja tahun lalu 30 orang kemudian yang berhenti bekerja

sebanyak 5 orang, sedangkan yang masuk adalah 2 kali dari banyaknya yang

berhenti. Berapakah banyaknya pekerja sekarang?

Pembahasan:

46

Karena tahun lalu banyaknya pekerja = 30 orang, maka perusahaan itu

mempekerjakan 3 30 orang = 90 orang.

Pekerja yang berhenti = 5 orang.

Pekerja yang masuk = 2 5 orang = 10 orang.

Jadi, banyaknya pekerja sekarang:

90 5 10

95 orang

5. Rata-rata dari 5 bilangan adalah 12 dan rata-rata dari 6 bilangan adalah 15.

Berapa rata-rata dari 11 bilangan tersebut?

Pembahasan:

Dari 5 bilangan yang pertama diperoleh jumlah kelima bilangan tersebut

adalah 5 12 . Kemudian dari 6 bilangan selanjutnya diperoleh jumlah kelima

bilangan tersebut adalah 6 15 80. Jadi, jumlah kesebelas bilangan adalah 60

+ 80 = 140. Oleh karena itu, rata-rata kesembilan bilangan itu adalah

14012,73

11 .

6. Seorang pegawai mengalami kenaikan gaji dari Rp. 1.000.000,- per bulan

menjadi Rp. 1.200.000,- per bulan. Berapa persentase kenaikan gaji pegawai

tersebut?

Pembahasan:

Besarnya kenaikan gaji:

= Rp. 1.200.000,- – Rp. 1.000.000,-

= Rp. 200.000,-

Persentase kenaikan gaji:

Besar kenaikan gaji100%

Besarnya gaji awal

Rp. 200.000,-100%

Rp. 1.000.000,-

20%

47

7. Uning mendapat gaji Rp. 15.000,- per hari dan Fatkur mendapat gaji Rp.

25.000,- per hari. Setelah berapa hari Uning bekerja dan setelah berapa hari

Fatkur bekerja sehingga gaji mereka jumlahnya sama?

Pembahasan:

Terdapat banyak kemungkinan jawaban. Salah satu jawaban dapat diperoleh

dengan cara mencari KPK dari 15.000 dan 25.000 yaitu 75.000 dimana jumlah

tersebut diperoleh setelah Uning bekerja 5 hari dan Fatkur bekerja 3 hari.

8. Berat maksimum penumpang pada sebuah lift adalah 1.500 kg. Rata-rata berat

badan dari semua orang yang menumpangi lift tersebut adalah 50 kg. Karena

kelebihan 100 kg, lift tersebut tidak bisa naik. Berapa banyak orang yang

menumpangi lift tersebut?

Pembahasan:

Berat maksimum dari lift adalah 1.500 kg dan berat penumpang kelebihan 100

kg. Jadi, berat totalnya adalah 1.500 kg + 100 kg = 1.600 kg. Karena berat

rata-rata tiap penumpang adalah 50 kg, maka banyaknya penumpang dalam

lift tersebut adalah:

Berat total penumpang

Berat rata-rata tiap penumpang

1.600 kg

50 kg

32 orang

9. Hari ini Deri harus menemui Bobi pada pukul 10.00 di rumah Bobi. Jarak

rumah Deri dan Bobi adalah 60 km. Deri menaiki mobil dengan kecepatan 80

km/jam dan ternyata Deri terlambat 20 menit pada saat tiba di rumah Bobi.

Pukul berapa Deri berangkat dari rumahnya?

Pembahasan:

Untuk mengetahui waktu Deri berangkat dari rumahnya, perlu diketahui

lamanya waktu Deri menempuh perjalanan. Kita dapat mengetahui lamanya

waktu perjalanan dari rumus kecepatan

st

v

48

dimana: v = kecepatan

s = jarak yang ditempuh

t = waktu

Pada soal diketahui bahwa:

v = 80 km/jam

s = 60 km

Jadi, waktu yang ditempuh Deri

s

tv

kmjam

60km

80

3

jam4

3

60 menit4

45 menit

Karena Deri terlambat 20 menit dari waktu yang seharusnya ia datang pukul

10.00, maka Deri datang pada pukul 10:20.

Karena waktu yang ditempuh Deri selama 45 menit, maka Deri berangkat dari

rumahnya pada pukul 10:20 – 00:45 = 09:35.

10. Sejumlah uang akan dibagikan kepada Lutfi, Iwan, dan Rio. Lutfi

mendapatkan Rp. 2.000,-, sedangkan Iwan dan Rio mendapatkan1

3dan

1

4 dari

seluruh uang yang dibagikan. Berapakah jumlah seluruh uang yang dibagikan?

Pembahasan:

Misalkan seluruh uang yang dibagikan adalah Rp. N,-, maka

1 1N 2.000 N N

3 4

1 1N 2.000 N

3 4

4 3N 2.000 N

12

7N 2.000 N

12

49

7N N 2.000

12

5N 2.000

12

12N 2.000

5

N 4.800

Jadi, seluruh uang yang dibagikan adalah Rp. 4.800,-.

50



Latihan 1

(A) Soal Pilihan Ganda

1. 103 + 10

2 + 10

0 = ...

(a) 1110

(b) 110

(c) 1101

(d) 1011

2. Nilai dari1

41

12

adalah ...

(a) 3

10

(b) 10

3

(c) 3

5

(d) 4

5

3. Yang merupakan bilangan ganjil adalah ...

(a) 42

(b) 25 – 18

(c) 8 40

(d) 80 :8

4. Berapa sisa pembagian 79.680 oleh 14?

(a) 0

(b) 4

(c) 5

51

(d) 6

5. Berapa luas bangun datar di bawah ini?

4 cm

28 cm

14 cm

(a) 178 cm2

(b) 183 cm2

(c) 189 cm2

(d) 192 cm2

6. Rata-rata berat badan dari 12 wanita adalah 50 kg. Berapakah rata-rata berat

badan Tata dan Dina jika jumlah berat badan kesepuluh wanita lainnya adalah

496 kg?

(a) 50 kg

(b) 52 kg

(c) 60 kg

(d) 65 kg

7. Gaji seorang karyawan pada bulan ke-5 adalah Rp. 1.200.000,-. Kenaikan gaji

karyawan tersebut adalah 5% dari gaji pertama per bulan. Berapa gaji

karyawan tersebut pada bulan pertama?

(a) Rp. 1.000.000,-

(b) Rp. 900.000,-

(c) Rp. 800.000,-

(d) Rp. 700.000,-

52

8. Nilai siswa untuk mata pelajaran IPS pada suatu kelas berkisar antara 0

sampai 5 dan semua siswa pada kelas tersebut bernilai angka bulat, seperti

yang ditunjukkan pada grafik berikut ini.

1

2

3

4

5

0 1 2 3 4 5Nilai

Banyaknya Siswa

Berapa nilai rata-rata IPS di kelas tersebut?

(a) 3,34

(b) 2,82

(c) 2,75

(d) 2,72


Berapakah jumlah segitiga yang ada dalam bangun di atas ini?

(a) 14 buah

(b) 13 buah

(c) 9 buah

(d) 8 buah

10. Sebuah segitiga siku-siku luasnya 30 cm. Jika sisi terpendeknya 5 cm,

berapakah keliling segitiga tersebut?

(a) 8 cm

53

(b) 10 cm

(c) 15 cm

(d) 30 cm

11. Yang manakah di antara bilangan bulat berikut yang merupakan bilangan

ganjil, mengandung digit 4, habis dibagi oleh 3, dan terletak antara 122 dan

132?

(a) 175

(b) 156

(c) 147

(d) 105

12. Jika n 2009

1006 n2

, maka nilai n adalah …

(a) 1

3

(b) 1

(c)1

3

(d) 3

13. Pernyataan n! Didefinisikan sebagai perkalian bilangan bulat positif dari 1

sampai n. Sebagai contoh 6! =1 2 3 4 5 6 . Berapakah nilai dari 7! – 4!?

(a) 3

(b) 768

(c) 5.016

(d) 1.680

14. Dalam perjalanan wisata, sebuah kendaraan menempuh jarak 50 km pada jam

pertama. Pada jam kedua, jarak yang ditempuh hanya 35 km karena banyak

belokan. Pada jam ketiga, jarak yang ditempuh mencapai 90 km karena

melalui jalan bebas hambatan. Kecepatan rata-rata kendaraan tersebut adalah

...

54

(a) 175 km/jam

(b) 105 km/jam

(c) 85 km/jam

(d) 58,3 km/jam

15. Dewi memberi makan kedua kucingnya, yaitu Caplang dan Meong dengan

makanan kaleng yang sama. Setiap hari si Caplang menghabiskan3

8kaleng

dan si Meong menghabiskan1

2kaleng. Kucing yang menghabiskan makanan

lebih banyak adalah ...

(a) Caplang

(b) Meong

(c) Caplang dan Meong

(d) Tidak ada yang benar

(B) Soal Uraian

1. Seorang pedagang menjual 254 butir telur pada hari Senin. Pada hari Selasa, ia

menjual telur dua kali banyaknya telur yang dijual hari Senin. Jumlah telur

yang tersisa ada 150 butir. Jika ia ingin menjual habis telur-telur tersebut

hanya dalam dua hari dengan jumlah yang sama, berapakah banyaknya telur

yang harus ia jual setiap harinya?

2. Diketahui persegi panjang EFGH dengan perbandingan P (panjang) : L (lebar)

= 3 : 0,5 dan kelilingnya 28 cm. Tentukan nilai dari 1 1

12LP L

!

3. Tentukan nilai A, B, dan C jika diketahui:

ABC

BCA

719

55

4. Yoki menulis 2004 bilangan: 1, 2, ... , 2004. Berapa banyak digit yang dia

tulis?

5. Bari mempunyai sebidang tanah yang berbentuk seperti gambar di bawah ini!

7 cm

2,5 cm

3,5 cm

1,5 cm

2,5 cm

Dengan skala luas 1 : 1.000. Hitunglah luas sebenarnya!

6. Jika 20% dari m adalah 2p dan m adalah1

n2

, maka berapa persenkah (p + n)

dan m?

7. Elvan membeli baju yang harganya Rp. 40.000,-. Baju itu mendapat potongan

harga sehingga Bogi hanya membayar Rp. 36.000,-. Berapa persenkah

potongan harga dari baju tersebut?

8. Umur Arif adalah p tahun. Umur Aden 5 tahun lebih tua dari Arif, umur Yuni

2 kali umur Arif, sedangkan umur Romi 2 tahun lebih muda dari Arif. Jika

rata-rata umur dari keempat anak tersebut adalah 12 tahun, maka berapa tahun

umur Aden?

9. Suatu persegi panjang, panjangnya 3 cm lebih panjang dari lebarnya. Luas

persegi panjang itu adalah 40 cm2. Tentukan panjang dan lebarnya!

10. Amati pola yang muncul pada penjumlahan bilangan berikut:

1 2 3

4 5 6 7 8

56

9 10 11 12 13 14 15

Berdasarkan pola yang ada, tulislah kesamaan pada baris ke-4!

57

Kunci Jawaban

(A) Pilihan Ganda

1. C

2. B

3. B

4. D

5. C

6. B

7. A

8. B

9. B

10. D

11. B

12. B

13. C

14. D

15. B

(B) Uraian

1. 456 butir

2. 14 cm

3. A = 2, B = 4, C = 7

4. 6909

5. 1.750 cm2

6. 210%

7. 10%

8. 14 tahun

9. 8 cm dan 5 cm

10. 16 + 17 + 18 + 19 + 20 = 21 + 22 + 23 + 24

58


Tingkat Provinsi

Soal

(A) Soal Isian Singkat

1. Berilah contoh 3 bilangan asli yang mempunyai tepat 4 faktor yang berbeda!

2. Hasil kali 2 bilangan asli adalah 216 dan selisihnya adalah 6. Tentukanlah 2

bilangan asli tersebut!

3. Berikut ini adalah diagram perolehan suara dalam pemilihan ketua tim voli.

Arif

Ecep

56%

Apin

20%

Jika banyaknya anggota yang memilih adalah 50 orang, berapa orang yang

memilih Arif sebagai ketua tim voli?

4. Rata-rata 4 bilangan 6 dan rata-rata 5 bilangan 6,5. Berapa rata-rata dari 9

bilangan tersebut?

5. Berapa banyak bilangan pada barisan berikut:

2, 5, 8, 11, ... , 515

6. 40% dari B adalah 20. Berapakah nilai B?

7. Seorang buruh mengalami kenaikan gaji dari Rp. 400.000,- per bulan menjadi

Rp. 475.000,- per bulan. Berapa persentase kenaikan gaji karyawan tersebut?

59

8. Suatu kompetisi bulutangkis melibatkan 8 orang. Masing-masing pemain

bertanding tepat 1 kali dengan pemain lainnya. Pertandingan bulutangkis yang

dikompetisikan adalah pertandingan tunggal. Ada berapa kali pertandingan

dalam kompetisi tersebut?

9. Beberapa tahun yang lalu Rudi berusia 13 tahun dan Idun berusia 8 tahun. Bila

sekarang usia Rudi 3

2kali lebih tua dari usia Idun, maka berapakah usia Idun

tahun ini?

10. A, B, C, dan D adalah angka yang berbeda dan diambil dari angka 0 sampai 9.

Tentukan A, B, C, dan D sehingga penjumlahan

AAA

C

ABD

bernilai benar!

11. Diketahui pola berikut:

3 3 3 2

3 3 3 3 2

3 3 3 3 3 2

1 2 3 6

1 2 3 4 10

1 2 3 4 5 15

Tentukan nilai 3 3 3 3 3 31 2 3 4 5 10 !

12. Jika suhu sekarang adalah 30°C dan setiap jam suhu turun 3°C. Berapa derajat

celcius suhu 5 jam kemudian?

13. Harga celana diturunkan dari Rp. 70.000,- menjadi Rp. 55.000,-. Jika semua

harga toko tersebut diturunkan dengan persentase yang sama, maka

tentukanlah harga baru suatu kemeja yang mula-mula harganya Rp. 95.000,-!

14. Jarak mendatar dan tegak pada grafik di bawah ini adalah 1 satuan.

60

P

Q

R

Tentukan luas segitiga PQR!

15. Suatu persegi panjang, panjang 7 cm lebih panjang dari pada lebarnya. Luas


16. Tentukan banyaknya simetri lipat bangun berikut!

17. Jarak mendatar dan tegak di antara 2 titik yang berdekatan pada gambar

berikut adalah 1 satuan.

Tentukan keliling bangun di atas!

18. Jarak mendatar dan tegak lurus di antara 2 titik yang berdekatan pada gambar


61

19. Diketahui kecepatan cahaya adalah 300.000 km/detik. Planet Merkurius

75,7 10 km dari matahari. Berapa lama waktu yang diperlukan cahaya dari

matahari ke planet merkurius?

20. Joni membeli 3 kaos dan 2 celana, harga semuanya Rp. 125.000,-. Di toko

yang sama, Aji akan membeli 6 celana dan 9 kaos. Berapa rupiah Aji harus

membayar?

21. Pada latihan tendangan bebas pemain sepak bola, untuk penjaga gawang yang

sama, diperoleh data hasil latihan sebagai berikut.

Nama Pemain Banyaknya Tendangan Bebas Tendangan yang Sukses

P 15 12

Q 20 15

R 10 8

S 12 10

Dalam pertandingan yang sesungguhnya, pemain mana yang paling

berpeluang sukses dalam melakukan tendangan bebas?

22. Pada gambar berikut, N merupakan pusat lingkaran luar segi-8 beraturan.

Tentukan persentase luas bangun ABC terhadap luas segi-8 beraturan!

A

B

C

62


1 2 3

4 5 6 7 8

9 10 11 12 13 14 15


24. Temukan sebuah bilangan yang lebih besar dari 0,7 tetapi lebih kecil dari3

4?

25. Diberikan sebaran nilai IPA sekelompok siswa sebagai berikut.

Nilai 5 6 7 8 9 10

Frekuensi 1 2 1 4 3 2

Tentukan banyaknya siswa yang di atas rata-rata!

(B) Soal Uraian

1. Amin seorang penjual minyak sayur. Ia hanya mempunyai takaran 2 literan

dan 3 literan. Tetangganya ingin membeli minyak sayur 1 liter. Bagaimana

cara Amin menakar minyak sayur dengan akurat?

2. Jari-jari setiap lingkaran pada gambar di bawah ini adalah 7 cm.

Tentukan luas daerah yang diarsir jika panjangnya 21 cm dan lebarnya 14 cm!

(π = 22

7)

3. Pak Nana memberikan kupon berhadiah notebook kepada para pembeli di

tokonya. Di balik setiap kupon dituliskan 1 bilangan asli dari 1 sampai 1.000

63

untuk setiap pembelian di atas Rp. 100.000,-.Hadiah notebook tersebut

diberikan kepada pembeli yang mempunyai 3 kupon yang memuat 3 bilangan

asli berurutan dan jumlahnya habis dibagi 3. Berapa banyak notebook yang

harus disediakan oleh Pak Nana?

4. Barisan 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ... dikenal sebagai salah satu barisan

aritmatika.

(a) Hitung dan amati pola berikut!

2 3 4

2 3 4 5

2 3 4 5 6

2 3 4 5 6 7

(b) Rumuskan cara mendapatkan jumlah dari bilangan aritmatika secara

berurutan mulai dari yang pertama!

5. Selidikilah apakah pernyataan berikut benar! Jika salah, berilah contoh

penyangkal!

Pernyataan: ”Jumlah 3 bilangan asli berurutan selalu habis dibagi 3.”

6. PQRSTUV adalah gambar segilima beraturan dengan U adalah pusatnya.

P Q

R

S

T

U

V

Tentukanlah:

(a) PUR

(b) RQV

64

7. Terdapat tiga bilangan, yaitu m, n, dan p. Nilai m adalah 3 kali nilai n,

sedangkan p adalah 3 kali nilai m. Jumlah dari ketiga bilangan itu adalah 91.

Tentukan ketiga bilangan itu!

8. Nilai rata-rata IPS siswa kelas IV adalah 6, sedangkan kelas V adalah 7.

Banyaknya siswa kelas IV adalah 30 orang, sedangkan kelas V adalah 25

orang. Jika siswa kelas IV dan V digabungkan, maka tentukan nilai rata-rata

IPS mereka!

(C) Soal Eksplorasi

1. Bilangan 12 dapat dinyatakan sebagai penjumlahan dari 4 bilangan ganjil

dengan 3 cara, yaitu:

(i) 12 = 9 + 1 + 1 + 1

(ii) 12 = 7 + 3 + 1 + 1

(iii)12 = 5 + 3 + 3 + 1

(a) Gunakan pola di atas untuk menyatakan bilangan 10 sebagai penjumlahan

4 bilangan ganjil! Berapa banyaknya cara yang diperoleh?

(b) Berapa banyaknya cara bilangan 15 dinyatakan sebagai penjumlahan 5

bilangan ganjil?

2. Jarak rumah Sulton ke rumah Yoko adalah 12 km. Jarak rumah Bagus ke

rumah Yoko adalah 5 km. Tentukan letak ketiga tempat tersebut dan berapa

sajakah jarak dari rumah Yusuf ke rumah Nurdin yang mungkin sehingga

jarak kedua rumah mereka dapat ditentukan tanpa pengukuran langsung!

3. Perhatikan pola nilai pada fungsi n3 1, dengan n bilangan prima sebagai

berikut!

32 – 1 = 8, adalah bilangan genap

33 – 1 = 27 – 1 = 26, adalah bilangan genap


Selidikilah apakah 3n – 1 selalu menghasilkan bilangan genap, untuk n prima!

65


Tingkat Provinsi

Soal dan Pembahasan


1. Berilah contoh 3 bilangan asli yang mempunyai tepat 4 faktor yang berbeda!

Pembahasan:

Contoh bilangan asli yang mempunyai tepat 4 faktor adalah:

6 mempunyai faktor 1, 2, 3, dan 6



2. Hasil kali 2 bilangan asli adalah 216 dan selisihnya adalah 6. Tentukanlah 2

bilangan asli tersebut!

Pembahasan:

Karena selisihnya 6, maka kedua bilangan asli itu mempunyai digit satuan

yang sama. Kemudian hasil perkalian digit yang sama tersebut menghasilkan

digit satuan 6 yang artinya kedua digit yang sama tadi haruslah berupa digit 8

atau 2 dan 3 atau 2. Dengan cara memeriksa, diperoleh 2 bilangan puluhan,

yaitu 18 dan 12 yang hasil perkaliannya 216.

3. Berikut ini adalah diagram perolehan suara dalam pemilihan ketua tim voli.

Arif

Ecep

56%

Apin

20%

Jika banyaknya anggota yang memilih adalah 50 orang, berapa orang yang

memilih Arif sebagai ketua tim voli?

Pembahasan:

66

Misalkan banyaknya anggota yang memilih Arif sebagai p. Jadi, banyaknya

anggota yang memilih Arif adalah:

100% %Apin %Ecepp 50 orang

100%

100% 56% 20%p 50 orang

100%

24%

50 orang100%

6

50 orang25

12 orang

4. Rata-rata 4 bilangan 6 dan rata-rata 5 bilangan 6,5. Berapa rata-rata dari 9

bilangan tersebut?

Pembahasan:

Dari 4 bilangan yang pertama diperoleh jumlah keempat bilangan tersebut

adalah 4 6 24 . Kemudian dari 5 bilangan selanjutnya diperoleh jumlah

kelima bilangan tersebut adalah 5 6,5 32,5 . Jadi, jumlah kesembilan

bilangan tersebut adalah 24 + 32,5 = 56,5. Oleh karena itu, rata-rata

kesembilan bilangan itu adalah 56,5

6,289

.

5. Berapa banyak bilangan pada barisan berikut:

2, 5, 8, 11, ... , 515

Pembahasan:

Perhatikan bahwa beda dari setiap suku pada barisan di bawah ini adalah 3.

2, 5, 8, 11, ... , 515

Untuk mengetahui banyaknya suku pada barisan di atas, perhatikan uraian

berikut ini!

Suku ke-1 = 2

Suku ke-2 = (suku ke-1) + 3

= (suku ke-1) + 1 3

67


= (suku ke-1) + 3 + 3

= (suku ke-1) + 2 3


= (suku ke-1) + 3 + 3 + 3

= (suku ke-1) + 3 3

Perhatikan bahwa terdapat keteraturan pola sehingga dapat disimpulkan

bahwa:

Suku ke-n = (suku ke-1) + (n – 1)(3)

= 2 + 3(n – 1)

= 3n – 1

Suku ke-n = 515

3n – 1 = 515

3n = 516

n = 172

Jadi, 515 adalah suku ke-172.

Karena 515 adalah suku terakhir, maka banyaknya suku pada barisan di atas

adalah 172.

6. 40% dari B adalah 20. Berapakah nilai B?

Pembahasan:

40% B 20

40B 20

100

100B 20

40

50

7. Seorang buruh mengalami kenaikan gaji dari Rp. 400.000,- per bulan menjadi

Rp. 475.000,- per bulan. Berapa persentase kenaikan gaji karyawan tersebut?

Pembahasan:

Besarnya kenaikan gaji:

68

= Rp. 475.000,- – Rp. 400.000,-

= Rp. 75.000,-

Persentase kenaikan gaji:

Besar kenaikan gaji100%

Besarnya gaji awal

Rp. 75.000,-100%

Rp. 400.000,-

18,75%

8. Suatu kompetisi bulutangkis melibatkan 8 orang. Masing-masing pemain

bertanding tepat 1 kali dengan pemain lainnya. Pertandingan bulutangkis yang

dikompetisikan adalah pertandingan tunggal. Ada berapa kali pertandingan


Pembahasan:

Misalkan, kedelapan pebulutangkis itu bernama A, B, C, D, E, F, G, dan H.

Dengan aturan bahwa setiap pebulutangkis bertanding tepat 1 kali dengan

pebulutangkis lainnya, maka A bertanding tepat 7 kali, yaitu dengan B, C, D,

E, F, G, dan H. Kemudian karena B telah bertanding dengan A, maka B hanya

boleh bertanding sebanyak 6 kali lagi, yaitu dengan C, D, E, F, G, dan H.

Selanjutnya karena C telah bertanding dengan A dan B, maka C hanya boleh

bertanding sebanyak 5 kali, yaitu dengan D, E, F, G, dan H. Begitu seterusnya,

sampai terakhir H tidak bertanding lagi karena sebelumnya telah bertanding

dengan A sampai G. Jadi, banyaknya pertandingan adalah 7 + 6 + 5 + 4 + 3 +

2 + 1 + 0 = 28.

9. Beberapa tahun yang lalu Rudi berusia 13 tahun dan Idun berusia 8 tahun. Bila

sekarang usia Rudi 3

2kali lebih tua dari usia Idun, maka berapakah usia Idun

tahun ini?

Pembahasan:

Beberapa tahun yang lalu usia Rudi 13 tahun dan usia Idun 8 tahun.

Misalkan, lamanya waktu dari tahun tersebut sampai sekarang adalah M

tahun.

69

Oleh karenya, sekarang umur Rudi dan Idun masing-masing (13 + M) tahun

dan (8 + M) tahun.

Bila sekarang usia Rudi adalah3

2kali usia Idun. Sehingga,

3

13 M 8 M2

313 M 12 M

2

3M M 13 12

2

1M 1

2

M 2

Jadi, lamanya waktu dari tahun tersebut sampai sekarang adalah 2 tahun.

Akibatnya, usia Idun sekarang adalah:

(8 + M) tahun = (8 + 2) tahun

= 10 tahun

10. A, B, C, dan D adalah angka yang berbeda dan diambil dari angka 0 sampai 9.

Tentukan A, B, C, dan D sehingga penjumlahan

AAA

C

ABD

bernilai benar!

Pembahasan:

Suatu bilangan 3 digit (ketiga digitnya sama), ditambah dengan bilangan

satuan selalu menghasilkan bilangan 3 digit, maka bilangan 3 digit itu

haruslah 888. Jadi, A = 9.

AAA 888

C C

ABD ABD

Perhatikan digit C pertama pada bilangan 3 digit ABD, digit C haruslah

merupakan digit 2 karena hasil penjumlahan digit 8 dengan angka satuan, digit

puluhannya adalah 2.

70

888

C

AB2

Kemudian, perhatikan digit C. Karena digit satuan dari penjumlahan 8 dengan

C adalah 2, maka C adalah 4.

888

4

8B2

Selanjutnya, karena digit satuan dari penjumlahan 8 dengan 4 adalah 1, maka

B = 9.

888

4

892

Jadi, A = 8, B = 9, C = 4, dan D = 2.

11. Diketahui pola berikut:

3 3 3 2

3 3 3 3 2

3 3 3 3 3 2

1 2 3 6

1 2 3 4 10

1 2 3 4 5 15

Tentukan nilai 3 3 3 3 3 31 2 3 4 5 10 !

Pembahasan:

Perhatikan bahwa jumlah dari setiap bilangan yang dipangkatkan 3 sama

dengan jumlah dari setiap bilangan kemudian dikuadratkan. Jadi,

3 3 3 3 3 3

2

2

1 2 3 4 5 10

1 2 3 10

55

12. Jika suhu sekarang adalah 30°C dan setiap jam suhu turun 3°C. Berapa derajat

celcius suhu 5 jam kemudian?

Pembahasan:

Suhu turun 5 3 C 15 C dari 30°C.

30°C – 15°C = 15°C

Jadi, suhu 5 jam kemudian adalah 15°C.

71

13. Harga celana diturunkan dari Rp. 70.000,- menjadi Rp. 55.000,-. Jika semua

harga toko tersebut diturunkan dengan persentase yang sama, maka

tentukanlah harga baru suatu kemeja yang mula-mula harganya Rp. 95.000,-!

Pembahasan:

Penurunan harga celana:

= Rp. 70.000,- – Rp. 55.000,-

= Rp. 15.000,-

Persentase penurunan harga celana:

Penurunan harga celana100%

Harga celana awal

Rp. 15.000,-100%

Rp. 70.000,-

25%

Karena semua harga di toko tersebut diturunkan dengan persentase yang sama,

maka persentase penurunan harga kemeja 25%.

Penurunan harga kemeja:

25% Rp. 95.000,-

Rp. 23.750,-

Jadi, harga kemeja setelah penurunan harga:

= Rp. 95.000,- – Rp. 23.750,-

= Rp. 71.250,-

14. Jarak mendatar dan tegak pada grafik di bawah ini adalah 1 satuan.

P

Q

R

72

Tentukan luas segitiga PQR!

Pembahasan:


A Q

CD

P

R

Luas segitiga PQR

Luas persegi panjang AQCD Luas segitiga PQA Luas segitiga PRD

Luas segitiga QRC

1 1 1

5 5 5 3 4 2 5 12 2 2

25 7,5 4 2,5

25 14

11

Jadi, luas segitiga PQR adalah 11 satuan luas.

15. Suatu persegi panjang, panjang 7 cm lebih panjang dari pada lebarnya. Luas


Pembahasan:

Dua bilangan yang dimaksud adalah faktor dari 60 yang selisihnya 7, yaitu 12

dan 5.

16. Tentukan banyaknya simetri lipat bangun berikut!

Pembahasan:

73

Banyaknya simeri lipat adalah 4.

17. Jarak mendatar dan tegak di antara 2 titik yang berdekatan pada gambar


Tentukan keliling bangun di atas!

Pembahasan:


Pertama-tama kita geser bangun di atas sebesar setengah satuan ke arah kanan

sehingga dapat ditentukan besar keliling dengan mudah, yaitu sebesar 14

satuan panjang.

18. Jarak mendatar dan tegak lurus di antara 2 titik yang berdekatan pada gambar


74

Pembahasan:

Pertama-tama kita geser bangun di atas sebesar setengah satuan ke arah kanan

sehingga luasnya bisa ditentukan.


A

B C

D E

F G

H

I

J

K

L

M

Luas = luas persegi panjang ABKL + luas persegi panjang CDIJ + luas persegi

EFMI + luas segitiga IMG + luas segitiga HGI = 2 satuan luas + 2 satuan luas

+ 1 satuan luas + 1

2satuan luas + 1 satuan luas = 6,5 satuan luas.

Jadi, luas bangun pada gambar adalah 6,5 satuan luas.

19. Diketahui kecepatan cahaya adalah 300.000 km/detik. Planet Merkurius

75,7 10 km dari matahari. Berapa lama waktu yang diperlukan cahaya dari

matahari ke planet merkurius?

Pembahasan:

Misalkan:

v = kecepatan cahaya

= 300.000 km/detik

= 53 10 km/ detik

s = jarak matahari dan merkurius

= 75,7 10 km

t = waktu yang diperlukan cahaya dari matahari ke merkurius

sv

t

st

v

75

7

5

5,7 10 km

3 10 km/detik

25,7 10

detik3

570

detik3

190 detik

20. Joni membeli 3 kaos dan 2 celana, harga semuanya Rp. 125.000,-. Di toko

yang sama, Aji akan membeli 6 celana dan 9 kaos. Berapa rupiah Aji harus

membayar?

Pembahasan:

Aji harus membayar 3 kali dari Joni, yaitu sebesar Rp. 375.000,-.

21. Pada latihan tendangan bebas pemain sepak bola, untuk penjaga gawang yang

sama, diperoleh data hasil latihan sebagai berikut.

Nama Pemain Banyaknya Tendangan Bebas Tendangan yang Sukses

P 15 12

Q 20 15

R 10 8

S 12 10

Dalam pertandingan yang sesungguhnya, pemain mana yang paling

berpeluang sukses dalam melakukan tendangan bebas?

Pembahasan:

Peluang sukses adalah perbandingan banyaknya sukses dengan banyaknya

percobaan. Peluang sukses tiap pemain adalah:

12 4P 0,80

15 5

15 3Q 0,75

20 4

8 4R 0,20

10 5

76

10 5S 0,83

12 6

Jadi, pemain yang paling berpeluang sukses adalah pemain A.

22. Pada gambar berikut, N merupakan pusat lingkaran luar segi-8 beraturan.

Tentukan persentase luas bangun ABC terhadap luas segi-8 beraturan!

A

B

C

Pembahasan:

Karena setiap segitiga pada segi-8 beraturan kongruen (sama), maka

persentase luas bangun ABC terhadap luas segi-8 beraturan adalah:

2100% 25%.

8


1 2 3

4 5 6 7 8

9 10 11 12 13 14 15


Pembahasan:

25 + 26 + 27 + 28 + 29 + 30

= 31 + 32 + 33 + 34 + 35

24. Temukan sebuah bilangan yang lebih besar dari 0,7 tetapi lebih kecil dari3

4?

Pembahasan:

Terdapat banyak bilangan di antara 0,7 dan 0,75, misalnya 0,71, 0,72, 0,7007,

dan lainnya.

77

25. Diberikan sebaran nilai IPA sekelompok siswa sebagai berikut.

Nilai 5 6 7 8 9 10

Frekuensi 1 2 1 4 3 2

Tentukan banyaknya siswa yang di atas rata-rata!

Pembahasan:

Rata-rata nilai IPA semua siswa adalah:

1 5 2 6 1 7 4 8 3 9 2 10

1 2 1 4 3 2

5 12 7 32 27 20

13

103

13

7,92

Jadi, banyaknya siswa yang nilainya di atas rata-rata sebanyak 9 orang.

(B) Soal Uraian

1. Amin seorang penjual minyak sayur. Ia hanya mempunyai takaran 2 literan

dan 3 literan. Tetangganya ingin membeli minyak sayur 1 liter. Bagaimana

cara Amin menakar minyak sayur dengan akurat?

Pembahasan:

Agar hasil penakaran akurat, harus dicari bilangan kelipatan 2 dan kelipatan 3

yang selisihnya 1. Bilangan tersebut adalah 8 dan 9. Jadi, Amin harus menakar

9 liter dengan takaran 3 literan sebanyak 3 kali kemudian dikurangi 8 liter

dengan takaran 2 literan sebanyak 4 kali.

2. Jari-jari setiap lingkaran pada gambar di bawah ini adalah 7 cm.

78

Tentukan luas daerah yang diarsir jika panjangnya 21 cm dan lebarnya 14 cm!

(π = 22

7)

Pembahasan:


B

P Q

RS

Luas daerah yang diarsir (B)

1

Luas persegi PQRS 2 Luas sebuah lingkaran2

Luas persegi PQRS Luas sebuah lingkaran

2 221 cm 14 cm 7 cm

2 22221 cm 14 cm 7 cm

7

2 2294 cm 154 cm

2140 cm

Jadi, luas daerah B adalah 140 cm2.

3. Pak Nana memberikan kupon berhadiah notebook kepada para pembeli di

tokonya. Di balik setiap kupon dituliskan 1 bilangan asli dari 1 sampai 1.000

untuk setiap pembelian di atas Rp. 100.000,-.Hadiah notebook tersebut

diberikan kepada pembeli yang mempunyai 3 kupon yang memuat 3 bilangan

asli berurutan dan jumlahnya habis dibagi 3. Berapa banyak notebook yang

harus disediakan oleh Pak Nana?

Pembahasan:

Jumlah 3 bilangan asli berurutan selalu habis dibagi 3.

Bukti:

79

Misalkan, ketiga bilangan asli yang dimaksud berurutan itu adalah a, b, dan c,

dimana a < b < c. Karena ketiganya berurutan, maka:

b a 1

c b 1

c a 1 1

c a 2

Jadi, ketiga bilangan itu adalah a, (a + 1), dan (a + 2).

Jumlah ketiga bilangan itu:

a a 1 a 2

3a 3

3a dan 3 keduanya kelipatan 3, mengakibatkan jumlah keduanya merupakan

kelipatan 3.

Jadi, jumlah 3 bilangan asli berurutan merupakan 3 atau dengan kata lain habis

dibagi 3.

Jadi, tidak ada notebook yang harus disiapkan oleh Pak Nana.

4. Barisan 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ... dikenal sebagai salah satu barisan

aritmatika.

(a) Hitung dan amati pola berikut!

2 3 4

2 3 4 5

2 3 4 5 6

2 3 4 5 6 7

(b) Rumuskan cara mendapatkan jumlah dari bilangan aritmatika secara

berurutan mulai dari yang pertama!

Pembahasan:

(a) 2 + 3 + 4 = 10

2 + 3 + 4 + 5 = 15

2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21

2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 28

(b) Jumlah deret aritmatika berikutnya diperoleh dari jumlah deret aritmatika

sebelumnya ditambah dengan suku terakhir pada deret sesudahnya.

80

5. Selidikilah apakah pernyataan berikut benar! Jika salah, berilah contoh

penyangkal!

Pernyataan: ”Jumlah 3 bilangan asli berurutan selalu habis dibagi 3.”

Pembahasan:

Pernyataan benar.

Contohnya adalah 3 bilangan asli berurutan 3, 4, dan 5 ketiganya berjumlah 12

habis dibagi 3.

6. PQRSTUV adalah gambar segilima beraturan dengan U adalah pusatnya.

P Q

R

S

T

U

V

Tentukanlah:

(a) PUR

(b) RQV

Pembahasan:

(a) PUR 2 PUQ

360

25

144

(b) Perhatikan segitiga PUQ!

Karena PUQ segitiga sama kaki, maka:

PUQ QPU

PUQ QPU PQU 180

72 2 QPU 180

81

2 QPU 180 72 108

QPU 54

Karena segitiga PQU sama dengan segitiga QRU, maka:

RQU QPU 54

PQU RQU RQV 180

54 54 RQV 180

108 RQV 180

RQV 180 108 72

7. Terdapat tiga bilangan, yaitu m, n, dan p. Nilai m adalah 3 kali nilai n,

sedangkan p adalah 3 kali nilai m. Jumlah dari ketiga bilangan itu adalah 91.

Tentukan ketiga bilangan itu!

Pembahasan:

Nyatakan n dan p dalam m!

1n m

3 dan p 3m

m + n + p = 91

1m m 3m 91

3

13m 91

3

3m 91

13

m 21

Sehingga,

1n 21 7

3

p 3 21 63

Jadi, 3 bilangan yang dimaksud adalah 21, 7, dan 63.

8. Nilai rata-rata IPS siswa kelas IV adalah 6, sedangkan kelas V adalah 7.

Banyaknya siswa kelas IV adalah 30 orang, sedangkan kelas V adalah 25

82

orang. Jika siswa kelas IV dan V digabungkan, maka tentukan nilai rata-rata

IPS mereka!

Pembahasan:

Jumlah nilai kelas IV adalah 30 6 180

Jumlah nilai kelas V adalah 25 7 175

Jumlah nilai kelas IV dan V adalah 180 + 175 = 355

Jumlah siswa kelas IV dan V adalah 30 + 25 = 55

Jadi, rata-rata gabungan kelas IV dan V adalah

3556,45

55 .

(C) Soal Eksplorasi

1. Bilangan 12 dapat dinyatakan sebagai penjumlahan dari 4 bilangan ganjil

dengan 3 cara, yaitu:

(i) 12 = 9 + 1 + 1 + 1

(ii) 12 = 7 + 3 + 1 + 1

(iii)12 = 5 + 3 + 3 + 1

(a) Gunakan pola di atas untuk menyatakan bilangan 10 sebagai penjumlahan

4 bilangan ganjil! Berapa banyaknya cara yang diperoleh?

(b) Berapa banyaknya cara bilangan 15 dinyatakan sebagai penjumlahan 5

bilangan ganjil?

Pembahasan:

(a) 10 = 7 + 1 + 1 + 1

10 = 5 + 3 + 1 + 1

10 = 3 + 3 + 3 +1

Terdapat 3 cara penguraian yang berbeda.

(b) 15 = 11 + 1 + 1 + 1 + 1

15 = 9 + 3 + 1 + 1 + 1

15 = 7 + 3 + 3 + 1 + 1

15 = 7 + 5 + 1 + 1 + 1

15 =. 5 + 5 + 3 + 1 + 1

15 = 5 + 3 + 3 + 3 + 1

83

15 = 3 + 3 + 3 + 3 + 3

Terdapat 7 cara penguraian yang berbeda.

2. Jarak rumah Sulton ke rumah Yoko adalah 12 km. Jarak rumah Bagus ke

rumah Yoko adalah 5 km. Tentukan letak ketiga tempat tersebut dan berapa

sajakah jarak dari rumah Yusuf ke rumah Nurdin yang mungkin sehingga

jarak kedua rumah mereka dapat ditentukan tanpa pengukuran langsung!

Pembahasan:

Misalkan S, B, dan Y masing-masing menyatakan rumah Sulton, rumah

Bagus, dan rumah Yoko. Ada 3 kemungkinan yang dapat terjadi, yaitu:

Kemungkinan 1

S Y B12 km 5 km

Jadi, jarak rumah Sulton dan rumah Bagus adalah 17 km.

Kemungkinan 2

S B Y7 km 5 km


Kemungkinan 3

S

B Y

12 km

5 km

2 2 2SB SY BY

2 212 5

144 25

SB 169

13

84


3. Perhatikan pola nilai pada fungsi n3 1, dengan n bilangan prima sebagai

berikut!

32 – 1 = 8, adalah bilangan genap



Selidikilah apakah 3n – 1 selalu menghasilkan bilangan genap, untuk n prima!

Pembahasan:

Fungsi 3n – 1 dengan n bilangan prima, selalu merupakan bilangan genap.

Contoh, untuk n = 11,

maka:

311

– 1 = 177.147 – 1

= 177.146

177.146 merupakan bilangan genap karena mempunyai angka satuan 6 dan

faktor positifnya merupakan kelipatam dari 2.

85


Tingkat Nasional

Latihan


1. Nilai dari 1

11

41

44

adalah …

2. Jika 2 n 7 2 17 7 , maka nilai n = …

3. Berikut ini adalah diagram perolehan suara dalam pemilihan ketua RT.

Sudjono

45%

Karim

35%Hasim

Jika banyaknya warga yang memilih adalah 100 orang, berapa orang yang

memilih Hasim sebagai ketua RT?

4. Nilai dari 2

169 144 adalah …

5. Berapakah nilai dari 9 6

3

4 4 4

4

?

6. Jika a = 5, maka pernyataan manakah yang merupakan bilangan genap?

(a) 7a2

(b) a3

(c) 2(a2 + 9)

(d) 2a2 + 6

(e) 5a2

86

7. Nilai dari 390 – 391 + 392 – 393 + 394 – ... – 409 + 410 adalah ...

8. Rata-rata dari 20 buah bilangan adalah 0. Jika 100 dan – 12 ditambahkan ke

daftar bilangan tadi, berapakah rata-ratanya sekarang?

9. Berapakah seperempat dari 202,4 10 ?

10. Jika a + b + c = 30 dan 1 1

b c 112 2

, maka nilai a adalah ...

11. Perhatikan gambar persegi ajaib yang berukuran 4 4 di bawah ini!

1

D

G

J

A

2

H

K 1

3

E

B C

L

I

F

Jika setiap baris, kolom, dan diagonal persegi di atas harus diisi oleh semua

angka 1, 2, 3, dan 4, maka nilai D + L adalah ...


P

Q

R

S

75°50°

100°

Jika PS = QR, maka besar PRS

13. Suatu kompetisi “gaple” melibatkan 7 orang. Masing-masing pemain

bertanding tepat 1 kali dengan pemain lainnya. Ada berapa kali pertandingan


87

14. 125 kubus kecil digabung menjadi sebuah kubus besar. Jika seluruh

permukaan kubus besar dicat, berapakah jumlah kubus kecil yang terkena cat?

15. Empat buah kubus terletak dalam suatu garis lurus. Jika PQ : QR = 1 : 3 dan

QR : RS = 3 : 1, maka PQ : QS adalah …

P Q R S

16. ABCD adalah suatu persegi yang dibuat dari 2 persegi panjang yang sama dan

2 persegi yang luasnya masing-masing 4 cm2 dan 16 cm

2. Berapakah luas

persegi ABCD (dalam cm2)?

17. Jika 2.025 = ax b

y c

z dimana a, b, dan c adalah bilangan ganjil, maka nilai dari

x + y + z = …

18. Perhatikan gambar berikut!

40°

60°

N

Berapa nilai dari N?

19. 1, 3, 6, 8, 16, 18, (…), (…), …

Tentukan bilangan ke-7 dan ke-8 dari pola bilangan di atas!

20. Perjalanan dari kota B ke kota N jika ditempuh dengan kecepatan 100 km/jam

akan lebih cepat 10 menit daripada ditempuh dengan kecepatan 80 km/jam.

Berapa jarak dari kota B ke kota N?

88

21. Jika Q adalah salah satu titik pada kubus yang panjang sisinya 3 satuan, maka

panjang NQ adalah …

N

Q

22. Drajat mempunyai 50 buah kartu yang masing-masing dinomori 1 sampai 50.

Drajat mengambil semua kartu yang nomornya habis dibagi 3. Selanjutnya,

Drajat mengambil semua kartu yang nomornya habis dibagi 2. Berapa buah

kartu yang belum diambil oleh Drajat?

23. Berapakah banyaknya digit 0 pada hasil perkalian bilangan 987.654.321

dengan 777.777.777?

24. Suatu lingkaran yang berpusat di O, berjari-jari 7 cm dan di dalamnya terdapat

suatu segitiga sama sisi AOB. Berapakah luas daerah yang diarsir?

(22

7 )

OA

B


89

A

B

C

D

12

9

25

Dalam gambar tersebut, ΔACB memiliki siku-siku di C dan ΔADC memiliki

siku-siku di D dimana AD = 12 cm, DC = 9 cm, dan AB = 25 cm.

Tentukanlah panjang dari BC!

(B) Soal Uraian

1. Empat buah bilangan positif berbeda rata-ratanya 8. Di antara empat buah

bilangan itu, berapa bilangan terbesar yang mungkin?


P

Q R

S T

a

a2 + 4

1

6

S terletak di antara P dan Q dan T terletak di antara P dan R dimana ST sejajar

dengan QR. Panjang ST = 1 cm, QR = 6 cm, PT = a cm, dan TR = a2 + 4 cm.

Tentukan nilai a yang mungkin!

90

3. Pada bulan Januari, perbandingan antara pria dan wanita di SD Prihatin adalah

3 : 2. Pada bulan April, jumlah pria berkurang sebanyak 80 siswa dan jumlah

wanita berkurang 20 siswa pada SD tersebut sehingga perbandingan pria dan

wanita menjadi 7 : 5. Berapakah banyaknya siswa di sekolah pada bulan

Januari?

4. Suatu bilangan aritmatika, a, a + b, a + 2b, … memiliki perbedaan (selisih)

sebesar b. Sebagai contoh, 2, 5, 8, … adalah deret aritmatika dengan

perbedaan (selisih) b = 3 karena 5 – 2 = 8 – 5 = 3. Jika c 1 , 2c 2 , dan

7c 1 adalah tiga buah deret aritmatika pertama, tentukan nilai dari c!

5. Tentukan digit satuan dari persamaan bilangan 9 + 92 + 9

3 + 9

4! (Digit satuan

suatu bilangan adalah yang paling kanan. Sebagai contoh, digit satuan dari

bilangan 1234 adalah 4.)

(C) Soal Eksplorasi

1. Adi akan membuat semua rusuk balok dari seutas kawat yang panjangnya

tidak diketahui. Panjang, lebar, dan tinggi balok tersebut memiliki

perbandingan 5 : 4 : 3. Diketahui bahwa panjang balok 5 cm, berapa panjang

kawat semula jika ternyata setelah selesai, panjang kawat yang tersisa adalah

10 cm?

2. Ana berjalan pada suatu garis lurus terhadap lampu pos yang tingginya 8 m.

Ketika ia berjarak 12 cm dari lampu pos, panjang bayangannya adalah 4 m.

Jika Ana ke lampu 8 m, berapa panjang bayangannya?

3. Ikhwan pergi 60 km ke selatan, 40 km ke barat, 20 km ke utara, dan 10 km ke

timur. Berapa jarak titik awal perjalanan sampai titik akhir perjalanan?

91

Kunci Jawaban

(A) Isian Singkat

1. 5

2. 17

3. 20 orang

4. 1

5. 413

6. Pernyataan (c) 2 (a2 + 9)

7. 500

8. 4

9. 196 10

10. 8

11. 7

12. 40°

13. 21

14. 27

15. 1 : 4

16. 36

17. 10

18. 80°

19. 36 dan 38

20. 150 km

21. 3 3 satuan panjang

22. 19

23. 0

24. 132,79 cm2

25. 20 cm

(B) Uraian

1. 26

2. 1 atau 4

3. 1.300

4. 1

5. 0

(C) Eksplorasi

1. 110 cm

2. 2

23

m

3. 50 km

92

Canadian Open Mathematics Challenge (COMC)

The Canadian Mathematical Society in collaboration with the Centre for

Education in Mathematics and Computing University of Wanterloo, Ontario

English Text Problem

Wednesday, November 19th

, 2008

Time: 2,5 hours

Instructions

This part of the paper consists of 15 questions, each worth 5 marks. You can earn

full value for each question by entering the correct answer in the space provided.

If you do not have the correct answer, any work you do in obtaining an answer

will be considered for part marks, provided that it is done in the space allocated to

that question in your answer booklet. Calculators are not allowed.

93

Canadian Open Mathematics Challenge

1. What is the value of 1 1 1 1

1 1 1 12 3 4 5

?

2. If 2a + b = 13 and a + 2b = 11, what is the value of (a + b)?

3. If a = 15 and b = –9, what is the value of (a2 + 2ab + b

2)?

4. Determine the value of 102 – 9

2 + 8

2 – 7

2 + 6

2 – 5

2 + 4

2 – 3

2 + 2

2 – 1

2.

5. A function f (x) has the following properties:

a) f (1) = 1

b) f (2x) = 4f (x) + 6

c) f (x + 2) = f (x) + 12x + 12

Calculate f (6)!

6. Jeff, Gareth and Ina all share the same birthday. Gareth is one year older than

Jeff, and Ina is two years older than Gareth. This year the sum of their ages is

118. How old is Gareth?

7. Two different numbers are chosen at random from the set {0, 1, 2, 3, 4}. What

is the probability that their sum is greater than their product?

8. In triangle PQR, F is the point on QR so that PF is perpendicular to QR. If PR

= 13, RF = 5, and FQ = 9, what is the perimeter of ΔPQR?

Q R

P

F9 5

12

94

9. An operation “Δ” is defined by a Δ b =a

1b

, b 0.

What is the value of 1 2 3 4 ?

10. The sequence 9, 18, 27, 36, 45, 54, … consists of successive multiples of 9.

This sequence is then altered by multiplying every other term by –1, starting

with the first term, to produce the new sequence –9, 18, –27, 36, –45, 54, ... .

If the sum of the first n terms of this new sequence is 180, determine n!

11. The symbol n! is used to represent the product n n 1 n 2 3 2 1 .

For example, 4! 4 3 2 1 . Determine n such that

n! 15 6 3 22 3 5 7 11 13 !

12. How many five-digit positive integers have the property that the product of

their digits is 2000?

13. In the diagram, ΔABC is equilateral and the radius of its inscribed circle is 1.

A larger circle is drawn through the verticals of the rectangle ABDE. What is

the diameter of the larger circle?

A B

DE C

14. Determine all real numbers b such that b 3 b 6 14 !

95

15. The numbers 1, 2, 3, … , 9 are placed in a square array. The sum of the three

rows, the sum of the three columns, and the sum of the two diagonals are

added together to form a “grand sum”, S.

For example, if the numbers are placed as shown, the grand sum is

1

4

7

2

5

8

3

6

9

S = row sums + column sums + diagonal sums

= 45 + 45 + 30

= 120

What is the maximum possible value of the grand sum S?

96

Kompetisi Matematika Kanada Terbuka

Perkumpulan Matematika Kanada bekerjasama dengan Pusat Kegiatan

Pendidikan Matematika dan Komputasi Universitas Waterloo, Ontario

Soal Teks Bahasa Indonesia

Rabu, 19 Nopember 2008

Waktu: 2,5 jam

Petunjuk

Lembar soal yang diberikan terdapat 15 pertanyaan, setiap jawaban yang benar

diberikan nilai 5. Anda bisa mengisi jawaban pada kotak kosong yang diberikan.

Tidak ada ralat untuk jawaban yang salah. Penggunaan kalkulator tidak

diizinkan.

97


1. Berapakah nilai dari 1 1 1 1

1 1 1 12 3 4 5

?

2. Jika 2a + b = 13 dan a + 2b = 11, berapa nilai dari (a + b)?

3. Jika a = 15 dan b = –9, berapa nilai dari (a2 + 2ab + b

2)?

4. Tentukan nilai dari 102 – 9

2 + 8

2 – 7

2 + 6

2 – 5

2 + 4

2 – 3

2 + 2

2 – 1

2.

5. Suatu fungsi f (x) diketahui sebagai:

a) f (1) = 1

b) f (2x) = 4f (x) + 6

c) f (x + 2) = f (x) + 12x + 12

Hitung nilai dari f (6)!

6. Jeff, Gareth and Ina mempunyai hari ulang tahun yang sama. Gareth satu

tahun lebih tua dari Jeff, dan Ina dua tahun lebih tua dari Gareth. Pada tahun

ini, jumlah umur ketiganya adalah 118. Berapa umur Gareth sekarang?

7. Dua buah bilangan yang berbeda dipilih secara acak dari {0, 1, 2, 3, 4}.

Tentukan kemungkinan penjumlahan kedua buah bilangan tersebut lebih besar

dari hasil perkaliannya?

8. Dalam segitiga PQR, F terletak diantara QR sehingga PF tegak lurus QR. Jika

PR = 13, RF = 5, dan FQ = 9, berapa keliling ΔPQR?

98

Q R

P

F9 5

12

9. Operasi “Δ” didefiniskan sebagai (a Δ b) =a

1b

, b 0.

Berapakah nilai dari 1 2 3 4 ?

10. Urutan bilangan 9, 18, 27, 36, 45, 54, … memiliki faktor perkalian 9. Urutan

ini kemudian dikalikan dengan –1 dengan urutan tertentu sehingga

menghasilkan urutan bilangan yang baru yaitu –9, 18, –27, 36, –45, 54, ... .

Jika penjumlahan n pertama menghasilkan nilai 180, tentukan nilai n!

11. Notasi n! digunakan untuk menjelaskan n n 1 n 2 3 2 1 . Sebagi

contoh, 4! 4 3 2 1 . Tentukan n dimana n! 15 6 3 22 3 5 7 11 13 !

12. Berapa banyak kemungkinan bilangan positif lima-digit yang perkalian

digitnya menghasilkan angka 2000?

13. Dalam suatu segitiga, ΔABC suatu segitiga sama-sisi dan jari-jari lingkaran di

dalamnya yaitu 1 satuan panjang. Lingkaran yang terluar digambarkan

melingkupi persegi ABDE. Berapakah diameter lingkaran yang terluar?

99

A B

DE C

14. Tentukan semua bilangan nyata b pada b 3 b 6 14 !

15. Bilangan 1, 2, 3, … , 9 ditempatkan dalam suatu kotak persegi. Penjumlahan

tiga baris, penjumlahan tiga kolom, dan penjumlahan dua diagonal

dijumlahkan bersamaan membentuk “penjumlahan besar”, S.

Sebagai contoh, jika bilangan tersebut ditempatkan dalam urutan di bawah ini,

maka ”penjumlahan besar”-nya adalah:

1

4

7

2

5

8

3

6

9

S = penjumlahan baris + penjumlahan kolom + penjumlahan diagonal

= 45 + 45 + 30

= 120

Tentukan kemungkinan nilai terbesar dari “penjumlahan besar” tersebut!

100


Perkumpulan Matematika Kanada bekerjasama dengan Pusat Kegiatan

Pendidikan Matematika dan Komputasi Universitas Waterloo, Ontario

Soal dan Pembahasan

Rabu, 19 Nopember 2008

Waktu: 2,5 jam

1. Berapakah nilai dari 1 1 1 1

1 1 1 12 3 4 5

?

Pembahasan:

1 1 1 1 3 4 5 61 1 1 1

2 3 4 5 2 3 4 5

3 4 5 6

2 3 4 5

6

2

3

2. Jika 2a + b = 13 dan a + 2b = 11, berapa nilai dari (a + b)?

Pembahasan:

Dengan menambahkan dua persamaan tersebut akan memberikan

2a b 13

a 2b 11

3a 3b 24

Jadi, nilai dari a b 8.

3. Jika a = 15 dan b = –9, berapa nilai dari (a2 + 2ab + b

2)?

Pembahasan:

Jika a = 15 dan b = –9, maka

22 2 2a 2ab b 15 2 15 9 9 225 270 81 36

101

4. Tentukan nilai dari 102 – 9

2 + 8

2 – 7

2 + 6

2 – 5

2 + 4

2 – 3

2 + 2

2 – 1

2.

Pembahasan:

102 – 9

2 + 8

2 – 7

2 + 6

2 – 5

2 + 4

2 – 3

2 + 2

2 – 1

2

10 9 10 9 8 7 8 7 6 5 6 5 4 3 4 3 2 1 2 1

1 10 9 1 8 7 1 6 5 1 4 3 1 2 1

10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

55

5. Suatu fungsi f (x) diketahui sebagai:

a) f (1) = 1

b) f (2x) = 4f (x) + 6

c) f (x + 2) = f (x) + 12x + 12

Hitung nilai dari f (6)!

Pembahasan:

Dengan menggunakan (b) dengan x = 1 akan menghasilkan

f 2 4f 1 6 4 1 6 10

dimana f (1) = 1.

Dengan menggunakan (b) dengan x = 2 akan menghasilkan

f 4 4f 2 6 4 10 6 46

Dengan menggunakan (c) dengan x = 4 akan menghasilkan

f 6 f 4 12 4 12 46 48 12 106

6. Jeff, Gareth and Ina mempunyai hari ulang tahun yang sama. Gareth satu

tahun lebih tua dari Jeff, dan Ina dua tahun lebih tua dari Gareth. Pada tahun

ini, jumlah umur ketiganya adalah 118. Berapa umur Gareth sekarang?

Pembahasan:

Misalkan umur Gareth sekarang G tahun. Kemudian umur Jeff adalah (G – 1)

tahun dan umur Ina adalah (G + 2) tahun.

Diketahui jumlah umur mereka adalah 118 sehingga

G 1 G G 2 118

102

G 39

Jadi, umur Gareth sekarang adalah 39 tahun.

7. Dua buah bilangan yang berbeda dipilih secara acak dari {0, 1, 2, 3, 4}.

Tentukan kemungkinan penjumlahan kedua buah bilangan tersebut lebih besar

dari hasil perkaliannya?

Pembahasan:

Untuk memudahkan menyelesaikan soal ini, kita akan menggunakan tabel

sebagai berikut.

Angka yang Dipilih Penjumlahan Hasil Perkalian

(0, 1) 1 0

(0, 2) 2 0

(0, 3) 3 0

(0, 4) 4 0

(1, 2) 3 2

(1, 3) 4 3

(1,4) 5 4

(2, 3) 5 6

(2, 4) 6 8

(3, 4) 7 12

Pada tabel tersebut terdapat 10 kemungkinan dua angka yang berbeda yang

dipilih dan terdapat 7 kemungkinan penjumlahan 2 angka yang berbeda lebih

besar daripada hasil perkaliannya.

Jadi, kemungkinan (peluang) penjumlahan kedua buah bilangan lebih besar

dari hasil perkaliannya adalah 7

.10

8. Dalam segitiga PQR, F terletak diantara QR sehingga PF tegak lurus QR. Jika

PR = 13, RF = 5, dan FQ = 9, berapa keliling ΔPQR?

103

Q R

P

F9 5

12

Pembahasan:


Q R

P

F9 5

12

Dengan menggunakan teorema Pythagoras dalam segitiga PFR, kita akan

mendapatkan nilai PF yaitu:

2 2 2PF PR FR

2 2 2PF 13 5 144

PF 144 12 cm

Dengan menggunakan teorema Pythagoras dalam segitiga PFQ, kita akan

mendapatkan nilai PQ yaitu:

2 2 2PQ QF PF

2 2 2PQ 9 12 225

PQ 225 15 cm

Jadi, sisi segitiga PQR adalah 13 cm, 14 cm, dan 15 cm sehingga keliling

segitiga PQR adalah (13 + 14 + 15) cm = 42 cm.

9. Operasi “Δ” didefiniskan sebagai (a Δ b) =a

1b

, b 0.

Berapakah nilai dari 1 2 3 4 ?

Pembahasan:

104

Sesuai dengan definisi “Δ”, maka

1 11 2 1

2 2

3 13 4 1

4 4

Jadi,

11 1 21 2 3 4 1 1 2 1

12 4

4

10. Urutan bilangan 9, 18, 27, 36, 45, 54, … memiliki faktor perkalian 9. Urutan

ini kemudian dikalikan dengan –1 dengan urutan tertentu sehingga

menghasilkan urutan bilangan yang baru yaitu –9, 18, –27, 36, –45, 54, ... .

Jika penjumlahan n pertama menghasilkan nilai 180, tentukan nilai n!

Pembahasan:

Bagian dari deret tersebut dipasangkan dengan mengkombinasikan setiap

bilangan ganjil sebagai contoh, kita mengkombinasikan 1 dan 2, 3 dan 4, 5

dan 6, dan seterusnya.

Penjumlahan setiap pasangan bilangan tersebut adalah 9.

Jadi, kita memerlukan 20 pasangan bilangan ini untuk menghasilkan nilai 180

dimana 2 20 atau n = 40.

11. Notasi n! digunakan untuk menjelaskan n n 1 n 2 3 2 1 . Sebagi

contoh, 4! 4 3 2 1 . Tentukan n dimana n! 15 6 3 22 3 5 7 11 13 !

Pembahasan:

Misalkan n! mempunyai faktor bilangan prima 13, n harus kurang dari 13.

Misalkan n! tidak mempunyai faktor bilangan prima 17, n harus kurang dari

17.

Dua pernyataan tersebut benar karena jika m n , maka m dapat membagi n!

Misalkan n! mempunyai 53 sebagai faktor, maka n 15, dimana kita perlu n!

untuk mempunyai 3 faktor yang dikalikan dengan 5.

Sekarang, kita harus menentukan jika n = 15 atau n = 16.

Jadi, kita lihat angka 2 sebagai faktor dari 16.

105

16! mempunyai 1 faktor pada 2 dari 2, 6, 10, dan 14

2 faktor pada 2 dari 4, 12

3 faktor pada 2 dari 8

4 faktor pada 2 dari 16

Akhirnya, kita memiliki 15 pasangan dimana bersesuaian pada n = 16.

12. Berapa banyak kemungkinan bilangan positif lima-digit yang perkalian

digitnya menghasilkan angka 2000?

Pembahasan:

Misalkan bilangan positif lima-digit dalam bentuk a b c d e dimana

0 a,b,c,d,e 9, a 0.

Jika hasil perkalian angka tersebut adalah 2000, maka kita harus mempunyai

perkalian a b c d e = 2000 = 245

3.

Jika hasil perkalian angka tersebut adalah 2000, maka 3 digit diantaranya

haruslah 5. Dua digit yang dimaksud adalah hasil perkalian yaitu 16 atau 24.

Kemungkinan 1

Kasus 1 Dengan menggunakan angka 5, 5, 5, 4, 4 terdapat 5!

103!2!

kemungkinan bilangan

Kasus 2 Dengan menggunakan angka 5, 5, 5, 2, 8 terdapat 5!

203!

kemungkinan bilangan

Jadi, banyaknya kemungkinan bilangan positif lima-digit yang perkalian

digitnya menghasilkan angka 2000 adalah 10 + 20 = 30 kemungkinan.

13. Dalam suatu segitiga, ΔABC suatu segitiga sama-sisi dan jari-jari lingkaran di

dalamnya yaitu 1 satuan panjang. Lingkaran yang terluar digambarkan

melingkupi persegi ABDE. Berapakah diameter lingkaran yang terluar?

106

A B

DE C

Pembahasan:


30°

O

A BP

C

Misalkan O adalah pusat dari lingkaran kecil di dalam segitiga sama-sisi dan P

merupakan titik tengah yang terdapat pada garis AB.

Kemudian kita hubungkan OP dan OB.

Diketahui bahwa OPB 90 dan OBP 30 dengan CBA 60 .

Diketahui bahwa OP = 1 dan sudut-sudut segitiga BOP adalah 30°-60°-90°,

kemudian OB = 2 dan BP = 3 sehingga AB 2 3 .

Karena simetris, CO = OB = 2, maka CP = 3.

Perhatikan pula gambar berikut ini!

107

E

A B

D

3

2 3

Karena ABDE adalah persegi dan CP tegak lurus AB, maka AE = 3. Sekarang

lihat pada persegi ABDE dan lingkaran terluarnya!

Karena ABDE adalah persegi, sudut EAB adalah 90°, maka BE adalah

diameter lingkaran tersebut.

Dengan menggunakan rumus Pythagoras,

2 2 2BE EA AB

2

23 2 3

21

Jadi, diameternya adalah 21 cm.

14. Tentukan semua bilangan nyata b pada b 3 b 6 14 !

Pembahasan:

Karena b 3 b 6 14 , maka 2b 3b 18 14 atau 2b 3b 4 0.

Dengan memfaktorkan, kita mendapatkan

b 4 b 1 0 ,

sehingga b = 4 atau b = 1.

15. Bilangan 1, 2, 3, … , 9 ditempatkan dalam suatu kotak persegi. Penjumlahan

tiga baris, penjumlahan tiga kolom, dan penjumlahan dua diagonal

dijumlahkan bersamaan membentuk “penjumlahan besar”, S.

Sebagai contoh, jika bilangan tersebut ditempatkan dalam urutan di bawah ini,

maka ”penjumlahan besar”-nya adalah:

108

1

4

7

2

5

8

3

6

9

S = penjumlahan baris + penjumlahan kolom + penjumlahan diagonal

= 45 + 45 + 30

= 120

Tentukan kemungkinan nilai terbesar dari “penjumlahan besar” tersebut!

Pembahasan:

Jika 9 angka tersebut ditempatkan pada susunan dalam pengaturan yang

berbeda, maka penjumlahan dari penjumlahan baris adalah selalu 1 + 2 + 3 + 4

+ 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45 karena setiap 9 bilangan tersebut terdapat dalam satu

baris.

Hampir sama dengan dengan hal di atas, penjumlahan dari penjumlahan

kolom adalah selalu 45 sebagai sembilan bilangan yang ada dalam satu

kolomnya. Jadi, penjumlahan besar S adalah sama dengan 90 ditambah

dengan jumlah penjumlahan diagonal dan tergantung pada input diagonal

sebagai berikut:

a

g

e

c

k

Jadi, S = 90 + (a + e + k) + (c + e + g) = 90 + 2e + a + c + g + k. Untuk

membuat S sebesar mungkin, kita harus membuat 2e + a + c + g + k sebesar

mungkin.

Karena a, c, e, g, dan k dapat berupa angka dari 1 sampai 9, maka S adalah

yang terbesar pada e = 9 dan a, c, g, dan k adalah 5, 6, 7, dan 8 dalam hal

lainnya. Sebagai contoh,

109

5

2

7

1

9

4

6

3

8

Jadi, nilai maksimum yang mungkin untuk S adalah 90 + 2(9) + 8 + 7 + 6 + 5

= 90 + 44 = 134.

110

Daftar Pustaka

1. Brennan, J.W. 2002. Understanding Algebra. www.jamesbrennan.org/algebra

2. Engel, A. 1998. Problem-Solving Strategies. Springer.

3. Anonymous. 2000. Text of Canadian Open Mathematics Challenge.

4. __________. 2006. Text of Canadian Open Mathematics Challenge.



7. __________. 2006. Naskah Soal Olimpiade Matematika Tingkat

Kabupaten/Kota. Depdiknas.





10. __________. 2008. Naskah Soal Olimpiade Matematika Tingkat Provinsi.

Depdiknas.

11. __________. 2006. Naskah Soal Olimpiade Matematika Tingkat Nasional.

Depdiknas.


Depdiknas.


Depdiknas.

Documents

CARA JITU MENGUASAI - cakbim.files.wordpress.com · Berisi kumpulan soal yang pernah dilombakan pada Olimpiade Matematika SD tingkat Kabupaten/Kota, ... Olimpiade tingkat SMP dan