CAPÍTULO 6

TEOREMAS ENERGÉTICOS

LA ENERGÍA ELÁSTICA EXPRESADA EN FUNCIÓN DE LAS CARGAS APLICADAS

Hasta ahora, habíamos utilizado la siguiente expresión de la densidadde energía elástica:

Que, integrada a lo largo de todo el sólido, nos proporcionaba la energíaelástica almacenada por éste.

¿Podríamos expresar dicha energía en función de las cargas aplicadas al sólido o en función de los desplazamientos que en él se producen?

( )xzxzyzyzxyxyzzyyxx γτγτγτεσεσεσω +++++=21

Supongamos que las cargas aplicadas al sólido crecen, progresivamente, desde cero hasta su valor final de una manera continua. En ese caso, el trabajo W realizado por todas las cargas que actúan sobre el sólido quedaría almacenado como energía elástica de deformación U en el sólido y, por tanto:

WU =

El trabajo realizado por las cargas exteriores aplicadas a un sólido es la mitad de la suma del producto de dichas cargas por los desplazamientos de sus puntos de aplicación (en las dirección de las mismas, por supuesto).

Si entre las cargas aplicadas existiera algún momento, bastaría con tener en cuenta que:- donde se dijera fuerza se debería decir momento- donde se dijera desplazamiento se debería decir giro- donde se expresara trabajo (W=Fd, en el caso de fuerzas) se debería escribir W=Mθ.

∑=

⋅=n

1iii dF

21W

Fi

di

i

i∆r

Geometría sin deformar

Geometría deformada

2

F1

F2 1

21

F1F2 ∆1d1∆2

d2

d

P

W=1/2 P.d

M

W=1/2 M.θθ

EJEMPLOS:

ENERGÍA ELÁSTICA ALMACENADA POR UNA BARRA A TRACCIÓN

Fx

ooxFW21

=

AELFFdUW

AEFLL

ELd

AF

221 2

===

=⋅=⋅=

=

σε

σ

F

d

A

L

COEFICIENTES DE INFLUENCIA

F i

i∆

ii

∆ji

j

F j

F iF i

i∆

ii∆

ii

∆ji

∆ji

j

F j

iFr

jFr

ii∆r

ji∆r

Consideremos dos puntos i y j del sólidosobre los que actúan, respectivamente, lascargas:

Representemos por los vectores desplazamientos, de manera tal que:

= vector desplazamiento del punto icuando sólo actúa la carga:

= vector desplazamiento del punto jcuando sólo actúa la carga:

∆r

iFr

iFr

Si sobre el sólido actúa un sistema de cargas:

en los puntos: 1,2,……n, el vector desplazamiento total en el punto i será:

nFFFrrr

,......, 21

i∆r

iniii ∆∆∆∆rrrr

+++= ........21F i

ijd ij

1

F i

ijd ij

1

ijd = coeficiente de influencia: proyección deldesplazamiento que experimenta el puntoi , sobre la recta de acción de cuando seaplica una carga unidad en el punto j con lamisma dirección y sentido que

iFr

jFr

id = proyección del vector desplazamiento del punto i, según la dirección de la fuerza cuando actúan todas las cargasiF

r

niniii FdFdFdd ⋅++⋅+⋅= ........2211

FÓRMULAS DE CLAPEYRON EmileCLAPEYRON(1799-1864)

∑ ⋅===

n

iii dFWU

121

niniii FdFdFdd ⋅++⋅+⋅= ........2211Como:

ji

n

iij

n

j

FFdWU ∑∑= =

==1 1

21

Cabe otra expresión alternativa a la anterior si consideramos que, del sistema de n ecuaciones: despejáramos las fuerzas:niniii FdFdFdd ⋅++⋅+⋅= ........2211

njnjjj dkdkdkF ⋅++⋅+⋅= ........2211

∑ ∑ ∑=⋅=== = =

n

j

n

j

n

mmjjmjj ddkdFWU

1 1 121

21

PRINCIPIO DE LOS TRABAJOS VIRTUALESJean Baptiste Le Rond

D’ALEMBERT(1717-1783)

Se denomina desplazamiento virtual de un punto a undesplazamiento arbitrario, concebido matemáticamente y que no tiene lugar en la realidad, pero que es geométricay físicamente posible. El sistema al que se aplica este Principio debe encontrarse en equilibrio

Caso de una partícula puntual

x

y

zP

F1

F2

F3

P’ F1

F2F3

δ

x

y

zP

F1

F2

F3

P’ F1

F2F3

δδr

= desplazamiento virtual

kji

kRjRiRFFFR

zyx

zyxrrrr

rrrrrrr

δδδδ ++=

++=++= 321

1 2 3T F F F R 0

como R 0, T 0

= δ + δ + δ = δ =

= = ∀δ

r r r r r r r r

rr r

Caso de un sólido rígido

F1

F i1 Fi2

Fi3

Fini

. .

F1

F i1 Fi2

Fi3

Fini

. .

iFr

= fuerza exterior aplicada al sólido en el punto i

ijFr

= fuerza interior que ejerce el punto j sobre el i

kMjMiMM

kRjRiRR

zyxO

zyxrrrr

rrrr

++=

++=

kzjyixrrrrr δδδδ ++=kji zyxrrrr

δθδθδθθδ ++=

θδδδθδθδθδδδθδδrrrrrr

,0 rMMMzRyRxRMrRT zzyyxxzyxOext ∀=+++++=⋅+⋅=

00,0 =⇒=====≠ xzyx Rzyx δθδθδθδδδ

0

0

===

===

zyx

zyx

MMM

RRR

.

W

A

B

x

y

xA

yBG

¿F?

NB

NA

.

W

A

B

x

y

xA

yBG

¿F?

NB

NA

EJEMPLO

.

A

B

G.δyG

δyB

δxA

.

A

B

G.δyG

δyB

δxA

( ) ( ) 22222 Lyδyxδxyx BBAABA =++−=+

ABAB

GABA

B xyxyyx

yxy δδδδδ

21

2==⇒=

B

AA

B

AAGAext y

xWFxyxWxFyWxFT

2210 =⇒=⇒=−= δδδδ

Caso de un sólido deformable

Sólido elástico en equilibrio bajo la acción de un sistema de fuerzas y unas ligaduras

Q11 u,F rr

22 u,F rr

33 u,F rr

44 u,F rr

u6

u5

u7

[ ]T

iFrConsideremos un sólido en equilibrio bajo la acción de un sistema de

cargas , como se muestra en la figura. En cualquier punto genérico (Q) del sólido, el tensor de tensiones verificará las ecuaciones de equilibrio interno. Sean los desplazamientos de los puntos del sólido.iu

r

iFr

iurSistema de fuerzas reales:

Sistema de desplazamientos reales:

Q11 u,F rrδδ

iFr

δSometamos al sólido anterior a un segundo sistema de fuerzas virtualescomo se muestra en la figura. Sean los desplazamientos virtuales de lospuntos del sólido, los cuales no violan las condiciones de contorno del sólido.

iurδ

2urδ

33 u,F rrδδ

4ur

δF6

δ F5

δ F7

ijij δεδσ

Sólido elástico en equilibrio bajo la acción de un sistema de fuerzas “virtuales”

ijδσijδε

Sistema de tensiones virtuales:

Sistema de deformaciones virtuales:

∑ ⋅= iiExt uFT rrδδ

Trabajo realizado por las fuerzas exteriores reales:

∫=v

ijij dVU δεσδ

Energía interna virtual almacenada en el sólido:

δδ UTExt =

Se puede demostrar que, estos dos trabajos virtuales son iguales:

Lógicamente, si el cuerpo considerado fuese un sólido rígido:

0== δδ UTExt

x

y

z fΩ

fV

[T], [D]d

x

y

z fΩ

fV

[T], [D]u

( )dVolU

dfdVolfT

V yzyzxzxzxyxyzzyyxx

V VExt

∫∫∫∫∫∫ ∫∫

+++++=

Ω⋅+⋅=Ω Ω

δδδδδδδ

δ

γτγτγτεσεσεσ

δδrrrr

kji zyxrrrr

δδδδ ++=

Campo de desplazamientos virtuales(físicamente posibles) impuestos al sólido:

De una manera más formalista….

se llega a:

δδ UTExt =

( )dVol

dfdVolf

V yzyzxzxzxyxyzzyyxx

V V

∫∫∫

∫∫∫ ∫∫

+++++=

=Ω⋅+⋅Ω Ω

δδδδδδ γτγτγτεσεσεσ

δδrrrr

Trabajo virtual realizado por las fuerzas reales (por unidad de volumen y en el contorno) aplicadas al sólido cuando se le imponen los desplazamientos virtuales

Trabajo virtual de las tensiones internas caso de que el sólido sufriera el campo de desplazamientos virtuales supuesto (las componentes de tensión son las que, realmente, existen dentro del sólido, mientras que las componentes de deformación que aparecen se deducen del campo de desplazamientos virtuales)

δδ γε ,

TEOREMA DE RECIPROCIDAD DE MAXWELL-BETTI James ClerkMAXWELL

(1831-1879)

SISTEMA I SISTEMA II

Fi

Pi

Gj

Q j

SISTEMA I SISTEMA II

Fi

Pi

Gj

Q j

En un sólido elástico, el trabajo realizado por un sistema de cargas para los desplazamientos resultantes de aplicar otro sistema de cargas distinto es idéntico al trabajo realizado por el sistema de cargas para los desplazamientos resultantes de aplicar el sistema de cargas .

Fr Gr

Fr Gr

qMdF ′=′FQ1

P1

q’j=q’

di=d Q1

P1

qj=q

d’i=d’M

FQ1

P1

q’j=q’

di=d

FQ1

P1

q’j=q’

di=d Q1

P1

qj=q

d’i=d’M

Q1

P1

qj=q

d’i=d’M

Sistema I Sistema II jiij dd =

Una barra de longitud “L” se encuentra empotrada en su extremo B y sometida, deforma independiente, a dos sistemas de cargas diferentes (Sistema 1 y Sistema 2), talcomo se representa en la figura. Cuando actúa el sistema de cargas 1, las flechas(desplazamientos verticales, “y”) que experimentan los puntos de la barra vienen dados

por la ecuación (referida al sistema de ejes de la figura): ( ) ( )xLxLCFy +−= 22 , donde C

es una constante conocida. Determinar la flecha del punto A cuando actúa sobre la barrael sistema de cargas 2.

x

y

F

L

Sistema 1F

L/2

Sistema 2

A B A B

L/2

x

y

F

L

Sistema 1F

L/2

Sistema 2

A B A B

L/2

Sistema 1: flecha en el punto medio: CFLf I8

5 3

=

Teorema de reciprocidad:CFLf

CFLFfFfF II

AIII

A 85

85 33

=⇒⋅=⋅=⋅

EJEMPLO DE APLICACIÓN DEL TEOREMA DE RECIPROCIDAD

TEOREMAS DE CASTIGLIANO

PRIMER TEOREMA DE CASTIGLIANO:Carlo Alberto

CASTIGLIANO(1847-1884)

La derivada de la energía elástica respecto de una de las cargas aplicadas al sólido es igual a la proyección del desplazamiento del punto de aplicación de la carga considerada según la dirección de la misma

nmmnjiij ddkFFdU ΣΣΣΣ21

21

==

∑ ==∂∂

ijiji

dFdFU

∑ ==∂∂

mnmnm

FdkdU

La derivada de la energía elástica de un sólido respecto del desplazamiento en uno de los puntos en los que actúa una fuerza, proporciona la componente de dicha fuerza según la dirección del desplazamiento considerado

SEGUNDO TEOREMA DE CASTIGLIANO:

Sabiendo que la energía elástica almacenada en la viga de la figura toma el valor:

determinar el valor de la carga aplicada en la sección 1.

[ ]2212

21 004760511030

2ddddEIU ,,, +−=

[ ] PFddEIdU

==−=∂∂

1211

2555030 ,,

1 2

6 m3 m

2 m

F1=P F2=2P

EJEMPLO DE APLICACIÓN DEL SEGUNDO TEOREMA DE CASTIGLIANO

(Ver Ec.(2))

L. F.MENABREA(1799-1864)

TEOREMA DE MENABREA (O DEL TRABAJO MÍNIMO)

P

RC RD RE

AB C

EDP

RC RD RE

AB C

ED

Las tres reacciones hiperestáticas RC, RD y RE pueden calcularse liberando todas las coacciones excepto la de los apoyos en A y en B y, por tanto, resolviendo la estructura, ya isostática, en función de las tres reacciones mencionadas. Si calculásemos la energía elástica U almacenada en la pieza (que resultaría ser función de las tres reacciones incógnitas), podríamos aplicar el primer teorema de Castigliano teniendo en cuenta que, en la estructura original, los puntos C, D y E no sufren desplazamientos verticales, por lo que:

0=∂∂

=∂∂

=∂∂

EDC RU

RU

RU

Los valores de las reacciones hiperestáticas que actúan sobre un sólido hacen mínima su energía elástica