Sistemas de ecuaciones lineales y combinaciones lineales de vectores

111 12 1

21 22 2 2

1 2

1 2

Otra forma de representar el sistema de ecuaciones lineales (2)

n

n

n

m m mmn

aa a b

a a a bx x x

a a ba

1 2 1 2

1 1 2 2

Sea un vector es una combinacion lineal de

vectores , ,..., en , con escalares , ,..., tal que

... =

m

m

n n

n n

v k

u u u k

u u u v

Sistemas de ecuaciones lineales y combinaciones lineales de vectores

111 12 1

21 22 2 2

1 2

1 2

Otra forma de representar el sistema de ecuaciones lineales (2)

n

n

n

m m mmn

aa a b

a a a bx x x

a a ba

1 1 2 2 ... = n nu u u v

Entonces el sistema de ecuaciones lineales (2) y la ecuación vectorial equivalente

tienen solución si el vector columna de constantes (i.e.v.) es una combinación

lineal de las columnas de la matriz de coeficientes (i.e. familia de u’s)

Teorema

Un sistema Ax=B de ecuaciones lineales tiene solución si y solo si Bes una combinación lineal de las columnas de la matriz de coeficientes A.

1 2 3

1 2 3

Ejemplo:

Escribir (1, 2,5) como una combinacion de vectores

(1,1,1), (1,2,3), (2, 1,1),

i.e.

, , incognitas que buscamos

v

u u u

v xu yu zu

x y z

Desarrollando,

1 1 1 2

2 1 2 1

5 1 3 1

x y z

1 2

2 2

5 3

x y z

x y z

x y z

Ejemplo (representación de vectores como combinación lineal de un conjunto

de vectores)

1

2

3

Considerar (1, 1, 1)

(1, 3, 2)

(5, 1, 4)

u

u

u

3vectores en

1 2 3 1 2

1 3

2 3

, , son ortogonales i.e = 0

= 0

= 0

u u u u u

u u

u u

1 2 3Queremos escribir (4, 14, 9) como combinacion lineal de , y v u u u

5 4

3 14

2 4 9

x y z

x y z

x y z

ero1 Eliminacion hacia adelante

5 4

-4 6 10

9 13

x y z

y z

y z

2 Sustitucion hacia atrasdo

•Método 1. Encontrar el sistema de ecuaciones lineales y resolver

5 4

9 13

4 6 10

x y z

y z

y z

5 4

9 13

-42 42

x y z

y z

z

1 2 3

1

4

3

3 4

z

y

x

v u u u

Método 2. (explotando la ortogonalidad de los vectores aritmética más sencilla)

Queremos resolver

(4,14, 9) (1,1,1) (1, 3,2) (5, 1, 4) (a)x y z

1Producto punto de (a) con

(4,14, 9) (1,1,1) (1,1,1) (1,1,1)

4 14 9 (1 1 1)

9 3

3

u

x

x

x

x

Mismo para los demás productos punto. Resultado y=-4 , z=1

Podemos generalizar para esta forma de representar la combinación lineal de

Vectores cuando sabemos que son mutuamente ortogonales

n

Los otros dos sumandos son cero porque los vectores son ortogonales

1 1 1 1 2 2 1 1... n nv u a u u a u u a u u

1 2

n

1 21 2

1 1 2 2

Teorema.

Sean , ,..., vectores mutuamente ortogonales diferentes

de cero en (i.e. 0)

Entonces para cualquier vector

...

n

i i

n

nn

n n

u u u

u u

v

v uv u v uv u u u

u u u u u u

n

1 2

1 1 2 2

1 2

Prueba

Suponer como combinacion lineal de vectores , ,...,

Entonces ... (*)

donde , ,..., o

n

n n

n

v u u u

v a u a u a u

a a a

0

1 1 1 1 2 2 1 1... n nv u a u u a u u a u u 0

2 1 1 2 2 2 2 2... n nv u a u u a u u a u u

11

1 1

v ua

u u

0

2 1 1 2 2 2 2 2... n nv u a u u a u u a u u 0

22

2 2

v ua

u u

repetir hasta n y sustituir en (*)

1

1 1

21 2

2 2

... nn

n n

v uv uv u u u

u

v u

u u u u u

Coeficiente de Fourier

de v con respecto a ui

Sistemas Homogéneos y no Homogéneos de Ecuaciones Lineales

• Un sistema de ecuaciones lineales es homogéneo si y solo si el vector columna de constantes es cero. Esto es Ax=0

• Sistema siempre con solución trivial (vector cero)

• En que condiciones tiene Ax=0 otras soluciones?

2 2

11 1 12 2 1

2 2

Sistema homogeneo en forma escalonada

... 0

0

... 0 r r

n n

j j n n

rj j rn n

a x a x a x

a x a x

a x a x

, numero de ecuaciones

, numero de incognitas

r

n

Si r = n solo solución trivial (sistema triangular)

Si r < n solución diferente de cero (debido a variables libres)

No se da el caso de r > n en forma escalonada.

De hecho, si comenzamos con mas incógnitas que ecuaciones, entonces

en forma escalonada, r < n se mantiene.

Esto se muestra en el siguiente teorema:

Teorema

El sistema homogéneo Ax=0 con más incógnitas que ecuaciones tiene al

menos una solución diferente de cero.

Base de la solución general de un sistema homogéneo

1 2

Sea la solucion general de un sistema homogeneo 0.

| es una combinacion lineal de vectores base

Una base para es un conjunto de vectores solucion , ,...,

si cada vector solucion se

s

W Ax

W w W w

W u u u

w W

1 2

1 2 1 1 2 2

puede expresar como una com-

binacion lineal de los vectores , ,..., . Esto es, existen esca-

lares , ,..., tal que ...

s

s s s

u u u

a a a w a u a u a u

s, número de vectores de la base es igual al número de variables libres.

s, dimensión de W dim(W)=s

Si 0 , solucion cero, se define dim 0w W

¿cómo encontrar esa base?

Siguiente teorema nos lo dice

1 2Sea , ,..., soluciones haciendo la variable libre igual

a una constante (i.e. a 1) y el resto a cero.

su u u i

1 2Entonces dim y la base es , ,..., sW s u u u

Ojo: la solución general puede tener muchas bases!!!

Este teorema nos da solo una base.

Teorema

Sea W la solución general del sistema homogéneo Ax=0.

Suponer que la forma escalonada del sistema Ax=0 tiene s variables libres

Sistemas no homogéneos y sistema homogéneo asociado

Sea Ax=B sistema no homogéneo

Ax=0 sistema homogéneo asociado

0 0

0

0

Teorema

La solucion general de esta dada por |

donde es una solucion particular y W es la solucion general del sistema

homogeneo. En otras palabras añadimos a cada elemento de

Ax B u v w v w w W

v

v

W.