Capıtulo 16

Teorema de pitagoras

Hemos visto que la razon de segmentos es igual a la de sus medidas toma-das con una misma unidad. Toda proporcion entre segmentos puede interpre-tarse como proporcion entre sus medidas. Habiendo elegido (arbitrariamente)una unidad, a todo segmento le corresponde el numero real de su medida conrespecto a dicha unidad. En lo que sigue, supondremos que hemos fijado unaunidad y entenderemos la expresion AB ·CD como el producto de las medidascon respecto a la unidad elegida de los segmentos AB y CD.

16.1. Rectas antiparalelas

s r

A a A’ O

b B’

B

Figura 1

Sean a y b dos rectas secantesen O. Sean r y s rectas secantes enlos puntos A, B y A′, B′ a las rec-tas a y b respectivamente, de modoque los pares AA′ y BB′ esten a unmismo lado o a distinto lado de O,y que el angulo ^OAB sea igual a^A′B′O. Diremos que las rectas r ys son antiparalelas respecto de a y b.

Tambien son iguales los angulos

137

138 CAPITULO 16. TEOREMA DE PITAGORAS

s

A’

B’

O

B

A a

b r

Figura 2

∠ABO y ∠B′A′O por ser suplemen-tarios de la suma de los anteriores conAOB. La recta r forma ası con cadauna de las rectas a y b, angulos igualesa los que su antiparalela s forma conestas. Se sigue que el antiparalelismoes una relacion recıproca, esto es: Lasrectas a y b son tambien antiparalelasrespecto de r y s.

Los triangulos AOB y B′OA′ son semejantes porque tienen, respectiva-mente iguales los angulos homologos en este orden. Por tanto

OA

OB=

OB′

OA′ , (16.1)

OA · OA′ = OB · OB′. (16.2)

Dos rectas concurrentes en O son cortadas por dos antiparalelas respectode ellas en puntos cuyo producto de distancias a O es el mismo en ambasrectas

Reciprocamente, si se verifica (16.2), o equivalentemente se verifica (16.1)y los angulos OAB y OB′A′ son iguales, los triangulos OAB′ y OBA′ sonsemejantes y las rectas AB y A′B′ son antiparalelas de las rectas OA y OB.

De (16.1) tambien se desperende que

OA

OB′ =OB

OA′ , (16.3)

O

A

a

b

B

r

A '

s

Figura 3

de modo que las rectas AB′ y A′Btambien son antiparalelas de OA yOB.

Si B coincide con B′ tendremos

OA · OA′ = (OB)2.

Diremos que el segmento OB es me-dio proporcional entre los segmentosOA y OA′.

16.1. RECTAS ANTIPARALELAS 139

16.1.1. Triangulo rectangulo

Consideremos el triangulo rectangulo ABC, con angulo recto en C. SeaCH la altura del vertice C. Tenemos que el cateto CB y la altura CH sonantiparalelas de la hipotenusa AB y el otro cateto AC. Similarmente, laaltura CH y el cateto AC son antiparalelas del otro cateto y la hipotenusa.

A H B

C

Figura 4

Se sigue que

(AC)2 = AH · AB (16.4)

(BC)2 = BH · BA (16.5)

Cada cateto de un triangulo rectangu-lo es medio proporcional entre la hi-potenusa y su proyeccion sobre ella.

De la semejanza de los triangulos ACH y CBH se desprende que

HA

HC=

HC

HBde donde HA · HB = (HC)2 (16.6)

La altura sobre la hipotenusa de un triangulo rectangulo es media proporcionalentre los segmentos en que aquella divide a esta.

El recıproco tambien es cierto: Si la altura de un triangulo verifica laecuacion (16.6) entonces el triangulo es rectangulo.

En efecto, (16.6) prueba que el los triangulos ACH y CBH son semejantesy

∠ACH = ∠CBH = 90◦ − ∠HCB

de donde ∠ACB = ∠ACH + ∠HCB = 90◦.

16.1.2. Construcciones de medias proporcionales

Los teoremas anteriores permiten la construccion del segmento x medioproporcional a dos segmentos a y b dados. En la figura de la izquierda se ha

140 CAPITULO 16. TEOREMA DE PITAGORAS

x

x

a

b

H

A

B

C

H

A

B

C

a

b

a b

Figura 5

construido el segmento AB = a+b, lasemicircunferencia ACB de diametroAB y el punto H tal que AH = a.La altura del triangulo es el segmen-to buscado. En la figura de la dere-cha, sea ha construido el segmentoAB = b, la semicircunferencia con di-cho diametro y el punto H de formatal que AH = a. El cateto AC cu-ya proyeccion es AH es el segmentobuscado.

Tambien tenemos el siguiente

Teorema 16.1.1 (Pitagoras) El cuadrado de la longitud de la hipotenusade un triangulo rectangulo es igual a la de las longitudes al cuadrado de loscatetos sumadas.

En efecto, basta sumar las ecuaciones (4) y (5) para obtenter

(AC)2 + (BC)2 = AH · AB + BH · BA = (AH + HB) · AB = (AB)2

16.1.3. Generalizacion del teorema de Pitagoras

c mn

b

A B

C

H

hca

Figura 6

Sean ABC un triangulo, a la me-dida del lado BC, c la medida del ladoAB y b la medida del lado AC. Tra-cemos por C la altura hc y sean m yn las medidas en valor absoluto de lossegmentos BH y AH respectivamen-te. En las figuras 6 y 7 tendremos

a2 = m2 + h2c = (c − n)2 + b2 − n2

16.1. RECTAS ANTIPARALELAS 141

c mn

b

A B

C

H

hca

Figura 7

= b2 + c2 − 2nc

y en la figura 8

a2 = m2 + h2c = (c + n)2 + b2 − n2

= b2 + c2 + 2nc

De modo que a2 = b2 + c2 − 2nc si∠A < 90◦ y a2 = b2 + c2 + 2nc si∠A > 90◦. Si ∠A = 90◦ entonces

cm

n

b

A B

C

H

hca

Figura 8

n = 0.Segun este teorema, dadas las me-

didas de los tres lados de un triangu-lo se puede reconocer si es acutangu-lo, recto o obtusangulo sin contruirle,comprobando si el cuadrado del ladomayor es menor, igual o mayor quela suma de los cuadrados de los otrosdos.

16.1.4. Suma y diferencia de los cuadrados de los ladosde un triangulo

Apliquemos el teorema anterior para expresar los cuadrados de dos ladosa y b (a > b) de un triangulo ABC en funcion de la mitad del tercer lado y

142 CAPITULO 16. TEOREMA DE PITAGORAS

c

b

A

B

C

H

m c

a

M

Figura 9

de la mediana correspondiente mc. Enel triangulo MBC tendremos

a2 = (c/2)2 + m2c + 2 c/2 MH.

Analogamente, en el triangulo AMCtendremos

b2 = (c/2)2 + m2c − 2 c/2 MH.

Sumando obtenemos

a2 + b2 = 2( c

2

)2

+ 2 m2c (16.7)

y restando

a2 − b2 =c

2MH (16.8)

Las ecuaciones (7) y (8) nos permiten hacer el siguiente analisis. Supongamoslos puntos A y B fijos. Podemos

1. Hallar el lugar geometrico de puntos en el plano cuyas distancias alcuadrado a los puntos A y B sumada es contante.

Puesto que la longitud AB = c es fija, la ecuacion (7) nos dice que dicholugar geometrico es la circunferencia cuyo centro es el punto medio delsegmento AB y para que tal lugar exista es necesario y suficiente quea2 + b2 > c2/2 = (AB)2/2

2. Hallar el lugar geometrico de puntos en el plano cuyas distancias alcuadrado a los puntos A y B restadas es constante.

En este caso la ecuacion (8) nos dice que los puntos que stisfacen lacondicion han de tener la misma proyeccion H sobre el segmento AC.El lugar geometrico resulta ser una recta perpendicular a la recta AB.

Ejercicios.

1. Sean a, b, r y s dos pares de rectas antiparalelas (veanse las figuras 1,2, o 3). Sean A, A′ B y B′ los puntos de interseccion de estas rectas,tal como aparecen en las figuras refieridas. Muestre que dichos puntosse hallan sobre una cirunferencia.

16.1. RECTAS ANTIPARALELAS 143

2. Para el triangulo de la figura 9 muestre que si a = b entonces MH = 0

3. Referiendonos a la figura 9, si a2 + b2 > c2 halle el radio de la circunfe-rencia cuya distancia a los puntos A y B es a2 + b2.