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Capítulo 1
Conjuntos
1.1 Conjuntos. Operaciones básicas
Comenzaremos dando una noción intuitiva de uno de los conceptos matemáticos
más utilizados: el de conjunto. La Teoría de conjuntos, desde el punto de vista
axiomático, fue introducida por Georg Cantor. Cantor nació en San Petersburgo
en 1845, donde vivió sus primeros once años. Desde 1869 ejerció como profesor
en la universidad de Halle. Entre 1879 y 1884 Cantor publicó una serie de seis
artículos en el Mathematische Annalen en los que desarrollaba una introducción
básica a la teoría de conjuntos. Falleció en 1917.
En este primer tema pretendemos proporcionar una primera toma de contacto
con el lenguaje de la Teoría de conjuntos. Empezamos dando una “definición
intuitiva” de conjunto.
Conjunto
Llamaremos conjunto a cualquier colección de objetos. Normal-
mente los objetos que forman un conjunto estarán caracterizados
por compartir alguna propiedad. Para que un conjunto esté bien
definido debe ser posible discernir si un objeto arbitrario está o
no en él.
Los conjuntos pueden definirse de manera explícita, citando todos los objetos
de los que consta entre llaves, por ejemplo
A = {1, 2, 3, 4, 5},
17
o de manera implícita, dando una o varias características que determinen si un
objeto dado está o no en el conjunto, por ejemplo
A = {x | x es un número natural par},
que se leerá: “A es el conjunto formado por los x tales que x es un número natural
par”. Esta última opción (la definición implícita) es la que usamos cuando no nos
resulta posible (o conveniente) dar la lista de todos sus elementos, por ejemplo si
el conjunto en cuestión tiene una cantidad infinita de elementos.
El uso de las llaves a la hora de especificar un conjunto es preceptivo. Si A es
el conjunto formado por los objetos 1, 2, 3, 4 y 5, escribiremos
A = {1, 2, 3, 4, 5},
pero nunca
A = 1, 2, 3, 4, 5
que para nosotros carecerá de sentido.
Uno de los conjuntos más importantes de las Matemáticas es el de los números
naturales
N = {x | x es un número natural} = {0, 1, 2, 3, . . .}.Para referirnos al conjunto de los naturales estrictamente positivos utilizaremos la
siguiente notación
N+ = {x ∈ N | x > 0} = {1, 2, 3, . . . }.
Otro conjunto igualmente importante es el conjunto de los números enteros
Z = {x | x es un número entero} = {. . . ,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, . . .}.
Relación de pertenencia
Los objetos de los que consta un conjunto se denominan elemen-
tos del conjunto y decimos que pertenecen a él. La pertenencia
es la relación fundamental de la Teoría de conjuntos. Si A es un
conjunto y a es un elemento que pertenece a A escribiremos
a ∈ A, que leeremos “a pertenece a A”.
Si b no pertenece a A escribiremos b /∈ A.
Por ejemplo:
18
-) si A = {1, 2, 3, 4, 5} se tiene: 1 ∈ A y 6 /∈ A.
-) Si A = {x | x es un número natural par} se tiene: 2 ∈ A y 3 /∈ A.
A partir de ahora para referirnos a que un objeto x forme parte de un con-
junto A, emplearemos la frase x pertenece a A, o también, x es un elemento de A(a todos los efectos, ambas frases tendrán el mismo significado para nosotros),
que simbólicamente escribiremos: x ∈ A. Análogamente con la negación: em-
plearemos la frase x no pertenece a A, o también, x no es un elemento de A, que
simbólicamente escribiremos: x /∈ A.
En ocasiones hay que considerar varios conjuntos simultáneamente. En estos
casos es frecuente denotar los distintos conjuntos con la misma letra y un subíndi-
ce que los diferencia. Los subíndices pueden ser finitos y concretos, por ejemplo,
X1, X2, X3, X4, X5,
finitos pero en cantidad desconocida,
X1, X2, ..., Xn, donde n ∈ N,
o arbitrarios, pero serán siempre a su vez elementos de algún conjunto; un ejemplo
de esto sería considerar
{Ai}i∈I ,
que se leería: la familia de conjuntos Ai donde i pertenece a I . Aquí I es el
conjunto de subíndices que puede o no ser finito (en los ejemplos anteriores I ={1, 2, 3, 4, 5}, I = {1, 2, . . . , n} con n ∈ N y también I podría ser todo N).
Ejemplo 1.1.1. 1) Para cada i = 0, 1, . . . , 9, definimos los conjuntos Xi como
Xi = {Españoles cuyo año de nacimiento termina en i}.
2) Para cada n ∈ N, definimos el conjunto
An = {m ∈ Z |m es múltiplo de n}.
De esta forma se tiene una familia infinita {An}n∈N de conjuntos. En particular,
si n = 5 se tiene
A5 = {. . . ,−10,−5, 0, 5, 10, . . .}.
19
Igualdad de conjuntos
Dos conjuntos son iguales si y sólo si tienen los mismos elemen-
tos. O dicho de otra forma, para que dos conjuntos sean distintos
es necesario que uno de ellos tenga algún elemento que no perte-
nezca al otro.
En forma simbólica, dados dos conjuntos A y B se tiene:
A = B ⇔ (x ∈ A⇔ x ∈ B) .
En un conjunto no tiene sentido hablar de “elementos repetidos”. Si al listar
los elementos de un conjunto repetimos algún elemento, el conjunto no varía:
{a, b, c} = {a, b, c, a},
o también
{a, b, c} = {a, b, c, d} si b = d.
El conjunto vacío
El conjunto que carece de elementos se denomina conjunto vacío
y se denota por ∅:∅ = {}.
Un conjunto con un único elemento se denomina unitario.
Notemos que, si X = {x} es un conjunto unitario, debemos distinguir entre
el conjunto {x} y el elemento x:
x 6= {x}.
De hecho, siempre consideraremos que ningún objeto se pertenece a sí mismo
como conjunto. Expresado simbólicamente, dado cualquier objeto x, se tiene
x /∈ x.
También podemos entresacar la siguiente equivalencia
y ∈ {x} ⇐⇒ y = x.
20
Subconjunto
Dados dos conjuntos A y B, si todo elemento de A es a su vez
elemento de B diremos que A es un subconjunto de B y lo no-
taremos A ⊂ B. En caso contrario se notará A 6⊂ B.
En forma simbólica:
A ⊂ B ⇔ (x ∈ A⇒ x ∈ B) .
Hemos dicho que dos conjuntos A y B son iguales si y sólo si tienen los
mismos elementos, es decir, si todo elemento de A es un elemento de B y si todo
elemento de B es un elemento de A, o dicho de otro modo, si A ⊂ B y B ⊂ A.
Esto constituye el procedimiento más habitual de demostración en teoría de
conjuntos: la prueba de la igualdad de dos conjuntos por doble inclusión. Si
queremos probar que dos conjuntos A y B son iguales, lo que haremos es probar
que A ⊂ B y que B ⊂ A. A lo largo de esta sección veremos algunos ejemplos
de esta técnica.
En situaciones concretas, a menudo existe un cierto conjunto del que los
conjuntos que estemos considerando son subconjuntos. Por ejemplo, si A ={−1, 1, 2, 3, 4, 5} y B = {x | x ∈ N es par}, A y B son subconjuntos del conjun-
to de los números enteros Z. Cuando este conjunto esté fijado y nos interese, lo
denominaremos conjunto universal y lo denotaremos por U. De una forma algo
más precisa, sin olvidar que estamos dando nociones intuitivas, podemos dar la
siguiente definición:
Conjunto universal
Conjunto universal o de referencia, que lo notaremos por U , es un
conjunto del que son subconjuntos todos los posibles conjuntos
que origina el problema que tratamos.
Cuando el conjunto universal U se haya fijado, todo conjunto A podrá repre-
sentarse con un diagrama de Venn.
Proposición 1.1.2. Sean A, B y C tres conjuntos cualesquiera. Se tienen las
siguientes propiedades:
21
A
U
Figura 1.1: Diagrama de Venn
(a) A ⊂ A, ∅ ⊂ A.
(b) Si A ⊂ B y B ⊂ C, entonces A ⊂ C.
PRUEBA: La primera propiedad se sigue directamente de la definición.
La demostración de (b) se sigue de la definición de subconjunto: todo elemen-
to de A está en B, por ser A ⊂ B y, dado que es elemento de B, está en C por ser
B ⊂ C. Así todo elemento de A está en C y hemos finalizado. �
Los subconjuntos de A distintos de ∅ y de A se denominan subconjuntos
propios de A.
Complementario
Supongamos que hayamos fijado un conjunto universal U . Dado
un conjunto A se define el complementario de A, notado por Ao Ac, como
A = {x ∈ U | x /∈ A}.
A
U
Figura 1.2: Complementario
Dado A ⊂ U , se dan las siguientes igualdades:
∅ = U, U = ∅, A = A.
22
Nos detendremos solamente en la tercera de las anteriores propiedades. En
efecto, por definición
A = {x | x ∈ U, x /∈ A},
pero para un x ∈ U , x /∈ A si y sólo si x ∈ A, por tanto los elementos de A son
precisamente los de A.
Unión de conjuntos
Dados dos conjuntos A y B se define la unión de A y B, notado
A ∪ B, como el conjunto formado por aquellos elementos que
pertenecen al menos a uno de los dos conjuntos, A ó B, es decir
A ∪B = {x | x ∈ A ∨ x ∈ B}.
Nótese que en la definición anterior la disyunción x ∈ A ∨ x ∈ B no es
excluyente, es decir un tal x podría pertenecer simultáneamente a A y a B.
U
A B
Figura 1.3: Unión
Ejemplo 1.1.3. 1) Sean A = {a, b, c} y B = {2, 5, 7, c, a}, entonces
A ∪ B = {a, b, c, 2, 5, 7}.
2) Si A = {x ∈ Q | − 2 ≤ x ≤ 7} y B = {x ∈ Q | − 4 ≤ x ≤ 3}, entonces
A ∪B = {x ∈ Q | − 4 ≤ x ≤ 7}.
3) Sean A = {Alumnos nacidos en enero} y B = {Alumnos nacidos en día par}.Entonces
A ∪B = {Alumnos nacidos en día par o en los días impares de enero}.
23
Se definen de forma similar la unión de una familia finita de conjuntosA1, ..., An,
que denotaremos
A1 ∪ ... ∪ An =
n⋃
i=1
Ai,
o de una familia arbitraria de conjuntos A = {Ai}i∈I , que denotaremos
⋃A =
⋃
i∈I
Ai :
⋃
i∈I
Ai = {x | ∃i ∈ I tal que x ∈ Ai}.
Propiedades de la unión
La unión de conjuntos verifica las siguientes propiedades, para
cualesquiera conjuntos A, B y C:
(a) Conmutativa: A ∪ B = B ∪ A.
(b) Asociativa: (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C).
(c) A ⊂ A ∪B,B ⊂ A ∪ B.
(d) ∅ ∪A = A.
(e) A ⊂ B si y sólo si A ∪ B = B.
PRUEBA: (a) Los elementos de A ∪ B son los que pertenecen a A ó a Bque, evidentemente, son los mismos elementos que pertenecen a B ó a A, es decir
A ∪ B = B ∪ A. La prueba de (b) se hace igual.
(c) Sea a ∈ A. Es claro que a ∈ A ∪ B pues el elemento a verifica que está en Ao en B. Análogamente B ⊂ A ∪ B.(d) Probaremos esta propiedad por doble inclusión. Por (c) tenemos que A ⊂∅ ∪ A. Recíprocamente, sea a ∈ ∅ ∪ A. Esto quiere decir que el elemento a tiene
que estar, al menos, en uno de los conjuntos ∅ ó A. Sabemos que a /∈ ∅, luego
a ∈ A.
(e) Supongamos que A ⊂ B. Para probar que A ∪ B = B basta probar que
A ∪ B ⊂ B, pues la otra inclusión la tenemos por (c). Sea x ∈ A ∪ B, entonces
x ∈ A ó x ∈ B. Pero si x ∈ A, como A ⊂ B se tiene que x ∈ B.
Recíprocamente, supongamos que A ∪ B = B. Entonces, por (c) tenemos
A ⊂ A ∪ B = B.
24
�
Intersección de conjuntos
Dados dos conjuntos A y B se define la intersección de A y B,
notado A∩B, como el conjunto formado por aquellos elementos
que pertenecen al mismo tiempo a ambos conjuntos, A y B, es
decir
A ∩ B = {x | x ∈ A ∧ x ∈ B}.
U
A B
Figura 1.4: Intersección
Ejemplo 1.1.4. 1) Sean A = {a, b, c} y B = {2, 5, 7, c, a}, entonces
A ∩ B = {a, c}.2) Si A = {x ∈ Q | − 2 ≤ x ≤ 7} y B = {x ∈ Q | − 4 ≤ x ≤ 3}, entonces
A ∩B = {x ∈ Q | − 2 ≤ x ≤ 3}.3) Sean A = {Alumnos nacidos en enero} y B = {Alumnos nacidos en día par}.Entonces
A ∩B = {Alumnos nacidos en los días pares de enero}.Se definen de forma similar la intersección de una familia finita de conjuntos
A1, ..., An, y la intersección de una familia arbitraria de conjuntos A = {Ai}i∈I ,
que denotaremos, respectivamente,
A1 ∩ ... ∩An =
n⋂
i=1
Ai, y⋂
A =⋂
i∈I
Ai :
⋂
i∈I
Ai = {x | x ∈ Ai ∀i ∈ I}.
Si A y B son dos conjuntos tales que A ∩ B = ∅ se dice que A y B son
disjuntos.
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Propiedades de la intersección
La intersección de conjuntos verifica las siguientes propiedades,
para cualesquiera conjuntos A, B y C:
(a) Conmutativa: A ∩B = B ∩A.
(b) Asociativa: (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C).
(c) A ∩ B ⊂ A, A ∩ B ⊂ B.
(d) ∅ ∩ A = ∅.
(e) A ⊂ B si y sólo si A ∩B = A.
PRUEBA: (a) Los elementos de A ∩ B son los que pertenecen a A y a Bque, evidentemente, son los mismos elementos que pertenecen a B y a A, es decir
A ∩ B = B ∩ A. La prueba de (b) se hace igual.
(c) Sea a ∈ A ∩ B. Entonces a ∈ A pues el elemento a verifica que está en A y
en B. Análogamente B ∩A ⊂ B.(d) Probaremos esta propiedad por doble inclusión. Por (c) tenemos que A∩∅ ⊂ ∅.La inclusión contraria se tiene pues sabemos que el ∅ es subconjunto de todos los
conjuntos, en particular es ∅ ⊂ ∅ ∩ A.(e) Supongamos que A ⊂ B. Para probar que A ∩ B = A basta probar que
A ⊂ A∩B, pues la otra inclusión la tenemos por (c). Sea x ∈ A, entonces x ∈ Bpues A ⊂ B. Es decir x ∈ A ∩ B.
Recíprocamente, supongamos que A ∩ B = A. Entonces, por (c) tenemos
A = A ∩ B ⊂ B.�
Diferencia de conjuntos
Dados dos conjuntos A y B se define la diferencia de A y B(en este orden), notada A \B, como el conjunto formado por los
elementos de A que no están en B, es decir
A \B = {x | x ∈ A ∧ x /∈ B}.
Cuando tengamos fijado un conjunto universal, se tiene que A \ B = A ∩ B.En efecto, sea x ∈ A \ B. Entonces x ∈ A y x /∈ B, luego x ∈ A y x ∈ B, es
26
decir x ∈ A ∩B. Para demostrar la inclusión contraria basta leer la demostración
anterior de derecha a izquierda.
U
A B
Figura 1.5: Diferencia
Ejemplo 1.1.5. 1) Sean A = {a, b, c} y B = {2, 5, 7, c, a}, entonces
A \B = {b}.
2) Si A = {x ∈ Q | − 2 ≤ x ≤ 7} y B = {x ∈ Q | − 4 ≤ x ≤ 3}, entonces
A \B = {x ∈ Q | 3 ≤ x ≤ 7}.
3) Sean A = {Alumnos nacidos en enero} y B = {Alumnos nacidos en día par}.Entonces
A \B = {Alumnos nacidos en los días impares de enero}.
Notemos que, en general, A \ B 6= B \ A. En el apartado 1) del ejemplo
anterior es A \B = {a} y B \ A = {2, 5, 7}.
Diferencia simétrica de conjuntos
Dados dos conjuntos A y B se define la diferencia simétrica de
A y B, notada A△B, como el conjunto formado por los elemen-
tos que pertenecen a uno sólo de los conjuntos A,B, es decir
A△B = {x | x ∈ A \B ∨ x ∈ B \ A}.
Se tiene que A△B = (A∩B)∪(A∩B) = (A\B)∪(B\A) = (A∪B)\(A∩B).
Ejemplo 1.1.6. 1) Sean A = {a, b, c} y B = {2, 5, 7, c, a}, entonces
A△B = {b, 2, 5, 7}.
27
U
A B
Figura 1.6: Diferencia simétrica
2) Si A = {x ∈ Q | − 2 ≤ x ≤ 7} y B = {x ∈ Q | − 4 ≤ x ≤ 3}, entonces
A△B = {x ∈ Q | − 4 ≤ x < −2 o 3 < x ≤ 7}.
3) Sean A = {Alumnos nacidos en enero} y B = {Alumnos nacidos en día par}.Entonces
A△B = {Alumnos nacidos en los días impares de enero o en los pares del resto de meses}.
Veremos ahora algunas propiedades más de los conjuntos y demostraremos
algunos resultados fundamentales utilizando la técnica de la doble inclusión.
Proposición 1.1.7. Sean A y B dos conjuntos. Se satisfacen las siguientes pro-
piedades:
1. A ∩ (B \ A) = ∅.
2. A ∪ (B \ A) = A ∪ B.
3. Si A ⊂ B, entonces A ∪ (B \ A) = B.
PRUEBA: La demostración de ambas afirmaciones es sencilla y se deja como
ejercicio. �
28
Leyes distributivas - Leyes de De Morgan
Dados tres conjuntos A, B y C se verifican las siguientes igual-
dades:
(a) Leyes distributivas:
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C),
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
(b) Leyes de De Morgan:
C \ (A ∪B) = (C \ A) ∩ (C \B),
C \ (A ∩ B) = (C \ A) ∪ (C \B)
PRUEBA: Probaremos una de las leyes distributivas y una de las leyes de De
Morgan; las restantes quedan como ejercicio por ser simétricas a las probadas.
Ambos resultados se probarán por doble inclusión.
Veamos que A∩(B∪C) ⊂ (A∩B)∪(A∩C). Para ello tomemos un elemento
arbitrario x ∈ A∩ (B ∪C). Esto quiere decir que x está en A y además en B ó en
C. Esto implica que, bien está en A ∩ B, bien está en A ∩ C. En cualquier caso
x ∈ (A ∩ B) ∪ (A ∩ C).Demostremos ahora que (A∩B)∪ (A∩C) ⊂ A∩ (B ∪C). Si consideramos
un elemento cualquiera y ∈ (A ∩ B) ∪ (A ∩ C), y ha de pertencer a A ∩ B o a
A∩C. Por tanto, bien está en A y en B o en A y en C. En cualquier circunstancia
ha de estar en A y al menos en uno de los otros dos conjuntos B ó C, es decir,
y ∈ A y además y ∈ B ∪ C.
Pasemos a probar la segunda ley de De Morgan. Veamos primero C \ (A ∩B) ⊂ (C \ A) ∪ (C \ B). Un elemento x de C \ (A ∩ B) ha de estar en C, pero
no en A ∩ B, por lo que no puede estar en al menos uno de los dos conjuntos
A ó B. Así, x ha de pertenecer, bien a C \ A, bien a C \ B. En cualquier caso
x ∈ (C \ A) ∪ (C \B).Si tomamos ahora un elemento z ∈ (C \ A) ∪ (C \ B), observemos que z ha
de estar, bien en C \A, bien en C \B, por lo que debe estar en C y no estar en Ao en B. Así, z ∈ C, pero nunca puede estar en A∩B, por lo que z ∈ C \ (A∩B).�
Notemos que si en el apartado (b) del teorema anterior tomamos C = U, el
conjunto universal, la leyes de De Morgan nos dicen que:
29
A ∪B = A ∩B, A ∩ B = A ∪ B.
A B
C
A B
C
Figura 1.7: Ley distributiva A ∩ (B ∪ C) = (A ∩B) ∪ (A ∩ C)
A B
C
A B
C
Figura 1.8: Ley de De Morgan C \ (A ∩ B) = (C \ A) ∪ (C \B)
Damos ahora una noción clave en Teoría de conjuntos que permite construir
nuevos conjuntos a partir de uno dado.
Partes de un conjunto
Dado un conjunto X , el conjunto de las partes de X , notado
P(X), es el conjunto cuyos elementos son todos los subconjuntos
de X .
De manera simbólica:
A ∈ P(X)⇔ A ⊂ X.
La consideración del conjunto P(X) transforma pues la propiedad “ser subconjunto
de X” en ser “elemento perteneciente a P(X)”:
Nótese que si B ⊂ C, se tiene P(B) ⊂ P(C).
30
Ejemplo 1.1.8. Si tenemos el conjunto X = {0, 1, 2, 3}, entonces
P(X) = { ∅, {0}, {1}, {2}, {3}, {0, 1}, {0, 2}, {0, 3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3},{0, 1, 2}, {0, 1, 3}, {0, 2, 3}, {1, 2, 3}, X }
1.2 Producto cartesiano. Correspondencias. Apli-
caciones.
Pares ordenados
Dados dos objetos x e y, diremos que x (respectivamente y) es la
primera (resp. la segunda) componente del par ordenado (x, y).Dos pares ordenados son iguales si y sólo si coinciden sus prime-
ras componentes y coinciden sus segundas componentes:
(x, y) = (x′, y′)⇔
x = x′
∧y = y′.
Producto cartesiano
Dados dos conjuntos A y B, se define el producto cartesiano
de A y B como el conjunto cuyos elementos son todos los pares
ordenados cuya primera componente es un elemento de A y cuya
segunda componente es un elemento de B y se denota A×B:
A× B = {(a, b) | a ∈ A, b ∈ B}.
Nótese que ∅ ×B = ∅ = A× ∅.
Ejemplo 1.2.1. Sean A = {a, b, c} y B = {b, 1, 2, 3}. Entonces el conjunto A×Bes igual a:
{(a, b), (a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, b), (b, 1), (b, 2), (b, 3), (c, b), (c, 1), (c, 2), (c, 3)}
De manera similar, podemos considerar n-uplas ordenadas de objetos (x1, . . . , xn)y definir el producto cartesiano de una familia finita de conjuntos (no trataremos
31
por ahora el caso de familias infinitas):
A1 × ...× An =
n∏
i=1
Ai = {(a1, ..., an) | ai ∈ Ai, para i = 1, ..., n} .
Cuando todos losAi son iguales a un conjunto dado A notaremosAn = A×· · ·×A(n veces).
En muchas situaciones, dados dos conjuntos A y B, nos aparecen reglas o
procedimientos para asociar ciertos elementos de A con ciertos elementos de B.
Damos a continuación la noción matemática que sirve para modelizar este hecho.
Correspondencia
Una correspondencia G de A en B es un subconjunto del pro-
ducto A×B. Una correspondencia de A en B se interpreta como
una regla que asocia algunos elementos de A con algunos elemen-
tos de B. Concretamente, entendemos que la correspondencia G“asocia” a ∈ A con b ∈ B si y sólo si (a, b) ∈ G.
El conjunto de todas las correspondencias de A en B es pues
P(A×B).
Nótese que toda correspondencia G de A en B determina (y está determinada
por) otra correspondencia G′ de B en A
G′ = {(y, x) ∈ B × A | (x, y) ∈ G}.
Así, los conjuntos A y B juegan papeles simétricos, por lo que podríamos hablar
de correspondencias entre los conjuntos A y B en lugar de correspondencia de Aen B.
Ejemplo 1.2.2. Sean A = {a, b, c} y B = {b, 1, 2, 3} los conjuntos del ejemplo
anterior. Entonces G = {(a, 1), (a, 3), (b, b), (b, 1), (b, 3)} es una correspondencia
de A en B.
Si A = B = [−1, 1] (el intervalo de los números reales x con −1 ≤ x ≤ 1),
una correspondencia de A en B viene dada por
G = {(x, y) ∈ [−1, 1]× [−1, 1] | x2 + y2 = 1}.
32
Si denotamos por A al conjunto de los estudiantes de la Facultad de Matemáticas
y por B al conjunto de las aulas de la Facultad de Matemáticas,
G = {(a, b) ∈ A×B | a tiene alguna clase en el aula b}
es una correspondencia de A en B.
Las correspondencias se pueden representar como sigue:
ba
c
b1
2
3
A B
Figura 1.9: Correspondencia
Es claro que la representación del ejemplo anterior es posible por trabajar
con conjuntos finitos (y con pocos elementos). Si los conjuntos son infinitos, las
correspondencias (no finitas) se tienen que dar definiendo propiedades de los pares
que la componen. Por ejemplo, si A = Z, B = N una correspondencia de Z en N
es G = {(x, y) ∈ Z× N | x es par, y es impar}.
Ejemplo 1.2.3. Si A (ó B) es el conjunto vacío, entonces A× B = ∅ y por tanto
la única correspondencia de A en B, ó entre A y B, es la correspondencía vacía.
Aplicación
Una aplicación f de A en B es una correspondencia f ⊂ A×Bdonde cada elemento de A tiene asociado un único elemento de
B. Esto es, en notación matemática, la correspondencia f es una
aplicación si y sólo si se verifica que
∀a ∈ A ∃!b ∈ B tal que (a, b) ∈ f.
Nota 1.2.4. Para referirnos a una correspondencia f ⊂ A×B que sea una aplica-
ción, es habitual denotarla de la forma f : A −→ B. Además, en este caso, dado
un a ∈ A, el único b ∈ B verificando (a, b) ∈ f se denotará f(a) y se denominará
33
imagen de a (por la aplicación f ). A veces también llamaremos a f(a) valor de
f en a. Una aplicación f de A en B también se especificará en la forma
a ∈ A 7−→ f(a) ∈ B.
De esta notación surge la terminología, comúnmente usada, de llamar a Aconjunto de partida (o dominio) y a B conjunto de llegada (o rango) de la apli-
cación f . Nótese que, contrariamente al caso de las correspondencias en general,
en una aplicación el conjunto de partida y el conjunto de llegada juegan papeles
que no son intercambiables.
Para dar una aplicación debemos pues indicar:
-) su conjunto de partida,
-) su conjunto de llegada, y
-) la imagen de cada elemento del conjunto de partida, que habrá de ser un
elemento bien determinado del conjunto de llegada.
A veces, cuando estamos definiendo una aplicación, para dar la imagen de cada
elemento del conjunto de partida utilizamos alguna elección auxiliar. En tal caso
hemos de probar que el resultado no depende de esta elección, o dicho de otra for-
ma, que la imagen de cada elemento del conjunto de partida está “bien definida”.
Importante: Para probar que dos aplicaciones f, g : A −→ B son iguales de-
bemos probar es que las imágenes de cualquier elemento de A por f y por gcoinciden. Simbólicamente
f = g ⇔ f(x) = g(x) ∀x ∈ A.
Ejemplo 1.2.5. 1) Sea X un conjunto cualquiera. Siempre se tiene la aplicación
f : X → X, definida por f(x) = x, ∀x ∈ X,
que llamaremos aplicación identidad y notaremos por 1X .2) Sean X, Y conjuntos cualesquiera e y0 ∈ Y un elemento fijo. Siempre se tiene
la aplicación
g : X → Y definida por g(x) = y0, ∀x ∈ X,
que llamaremos aplicación constante (con valor y0).3) Si X es un subconjunto de Y , X ⊂ Y , siempre disponemos de una aplicación
especial iX : X → Y , definida por iX(x) = x para cada x ∈ X . Dicha aplicación
se denomina la inclusión de X en Y .
34
4) Sea f ⊂ R× R la correspondencia dada por
(a, b) ∈ f si y sólo si b2 = a.
La correspondencia f no es aplicación, pues no todos los elementos de R poseen
una imagen (si a < 0, no existe b ∈ R con b2 = a.)
5) Consideremos la correspondencia anterior donde la primera componente la su-
ponemos en R+ (los números reales positivos), es decir f ⊂ R+×R. En este caso,
a todos los elementos de R+ les corresponde algún elemento de R, pero f no es
aplicación, pues este elemento no es único. Por ejemplo, (4, 2) ∈ f y (4,−2) ∈ f.
6) Si consideramos f ⊂ R+ × R+, definida por
(a, b) ∈ f si y sólo si b2 = a,
entonces sí es aplicación.
7) La correspondencia
f ⊂ (Z− {1})×Q, f =
{(n,
n
n− 1
)| n ∈ Z− {1}
}
es aplicación.
8) Fijemos un conjunto U y un subconjunto A ⊂ U . Definimos las corresponden-
cias f, g ⊂ P(U)×P(U) por:
f = {(B,A ∩B) | B ∈ P(U)}, g = {(B,A ∪B) | B ∈ P(U)}.
Ambas son aplicaciones.
9) Si X e Y son conjuntos, las aplicaciones p : X × Y → X , q : X × Y → Ydadas por
p(x, y) = x, q(x, y) = y ∀(x, y) ∈ X × Y
se denominan respectivamente primera y segunda proyección.
10) Si A = ∅, la única correspondencia de A en B es la correspondencia vacía
que es de hecho una aplicación. Si B = ∅, la única correspondencia de A en Bes la correspondencia vacía, pero dicha correspondencia sólo será una aplicación
cuando A también sea el conjunto vacío. En particular, si B = ∅ y A 6= ∅, no
existe ninguna aplicación de A en B.
35
Exponenciación de conjuntos
Dados dos conjuntos X e Y , el conjunto Y elevado a X , notado
Y X , es por definición el conjunto cuyos elementos son todas las
aplicaciones de X en Y :
Y X = {f ∈ P(X × Y ) | f es una aplicación de X en Y .}.
Se tiene pues que Y X ⊂ P(X × Y ).
Producto cartesiano de aplicaciones
Dadas dos aplicaciones f : X → Y y f ′ : X ′ → Y ′, el producto
cartesiano de f y f ′ es la aplicación que denotaremos f × f ′ :X ×X ′ → Y × Y ′ definida por
(f × f ′)(x, x′) = (f(x), f ′(x′)), para cada (x, x′) ∈ X ×X ′.
36
Imagen y anti-imagen
Sea f : X −→ Y una aplicación. Dado un subconjunto A ⊂ Xdefinimos:
(a) La imagen de A (o imagen directa de A), notada f(A),como
f(A) = {y ∈ Y | ∃x ∈ A con f(x) = y} ⊂ Y,
esto es, el conjunto de los elementos del conjunto de llegada
que son imagen de algún elemento de A. Si A = X se
denota f(X) = Im(f) y se denomina imagen de f .
Dado un subconjunto B ⊂ Y definimos:
(b) La anti–imagen (o contraimagen, o imagen recíproca o
imagen inversa) de B, notada f−1(B), como
f−1(B) = {x ∈ X | f(x) ∈ B} ⊂ X,
esto es, el conjunto de elementos del conjunto de partida
cuya imagen pertenece a B.
Nota 1.2.6. En general, si f : X → Y es una aplicación, f(X) 6= Y. Basta tomar
la última aplicación del ejemplo anterior. Sí se verifica siempre que f−1(Y ) = X.
Dada una aplicación f : X −→ Y , la notación f(·) se utiliza para dos situa-
ciones distintas:
-) Cuando x ∈ X , es decir, x es un elemento que pertenece a X , f(x) denota
la imagen de x por f , que es un elemento que pertenece a Y : f(x) ∈ Y .
-) Cuando A ⊂ X , es decir, A es un subconjunto de X , f(A) denota la imagen
(directa) de A, que es un subconjunto de Y : f(A) ⊂ Y .
Siempre debemos saber en qué contexto estamos utilizando f(·). Una posibilidad
para evitar confusiones sería usar una notación para la imagen (o imagen directa)
de un subconjunto A ⊂ X por la aplicación f distinta de la notación de la imagen
de un elemento x ∈ X , como por ejemplo f∗(A) ó f [A], pero como no es lo
habitual en los textos de Matemáticas, no lo haremos en estas notas.
37
Nótese que si x ∈ X , f({x}) = {f(x)}, donde estamos utilizando la notación
f(·) en las dos situaciones mencionadas.
Nótese también que se verificas las siguientes propiedades (se deja como ejer-
cicio su prueba)
A ⊂ A′(⊂ X) ⇒ f(A) ⊂ f(A′),
B ⊂ B′(⊂ Y ) ⇒ f−1(B) ⊂ f−1(B′).
Ejemplo 1.2.7. En el caso de la aplicación identidad 1X : X −→ X es claro que
1X(A) = A y 1−1X (B) = B para cualesquiera subconjuntos A,B ⊂ X .
Ejemplo 1.2.8. 1) Consideremos la aplicación
f : Z→ Z definida por f(n) = 2n,
y A = {−1, 0, 4, 5}. Entonces f(A) = {−2, 0, 8, 10}, y la imagen de f es
Im(f) = {enteros pares}.Sean B1 = {2, 3, 8,−4,−1}, B2 = {1, 3}. Se tiene que
f−1(B1) = {1, 4,−2}, f−1(B2) = ∅.
2) Sea la aplicación
f : R→ R definida por f(x) = x2,
A = [0, 2]. Entonces f(A) = [0, 4], pues ∀x ∈ [0, 4], existe√x ∈ [0, 2] tal que
f(√x) = x. En este caso, la imagen de f es Im(f) = [0,+∞), los números reales
no negativos.
Proposición 1.2.9. Sea f : X −→ Y una aplicación, A1, A2 ⊂ X y B1, B2 ⊂ Y .
Se verifica:
(a) f(A1 ∪ A2) = f(A1) ∪ f(A2), f(A1 ∩ A2) ⊂ f(A1) ∩ f(A2).
(b) f−1(B1∪B2) = f−1(B1)∪f−1(B2), f−1(B1∩B2) = f−1(B1)∩f−1(B2).
(c) f(f−1(B1)) ⊂ B1, A1 ⊂ f−1(f(A1)).
PRUEBA: Vamos a probar la segunda afirmación de (a) y la primera de (b) y
de (c). Las demás son similares.
(a) Consideremos y ∈ f(A1 ∩ A2). Entonces existe x ∈ A1 ∩ A2 tal que
y = f(x). Por tanto, y ∈ f(A1) e y ∈ f(A2), por lo que se tiene el resultado.
38
Es importante entender que, para afirmar que la otra inclusión no es cierta,
basta con dar un contraejemplo; esto es, un caso particular donde no sea cierto el
enunciado. Para ello consideremos por ejemplo f : N −→ N definida por
f(x) =
{x/2 + 1 si x es par
x+ 2 si x es impar
Tomamos A1 = {1, 3, 5}, A2 = {2, 4, 6}. Claramente f(A1 ∩ A2) = f(∅) = ∅,pero f(A1) ∩ f(A2) = {3}.
(b) Sea x un elemento de f−1(B1 ∪B2). Entonces
x ∈ f−1(B1 ∪B2)⇔ f(x) ∈ B1 ∪ B2 ⇔ f(x) ∈ B1 ó f(x) ∈ B2 ⇔
⇔ x ∈ f−1(B1) ó x ∈ f−1(B2)⇔ x ∈ f−1(B1) ∪ f−1(B2).
(c) Probemos ahora que f(f−1(B1)) ⊂ B1. Si y ∈ f(f−1(B1)), es porque
existe x ∈ f−1(B1) tal que y = f(x). Pero, al ser x ∈ f−1(B1), por definición
tenemos que y = f(x) ∈ B1.
Para demostrar que la inclusión contraria no es cierta en general podemos
tomar la misma aplicación que en el caso anterior y considerar B1 = {1, 3, 5}nuevamente. Entonces f−1(B1) = {0, 1, 3, 4, 8}. Pero f(f−1(B1)) = {3, 5}, por
lo que hemos acabado.
Veamos que A1 ⊂ f−1(f(A1)). Pongamos C = f(A1). Sea x ∈ A1, lue-
go f(x) ∈ C. Esto quiere decir, por la definición de contraimagen, que x ∈f−1(C) = f−1(f(A1)).
Para demostrar que la inclusión contraria no es cierta en general consideramos
la aplicación constante f : X → Y dada por f(x) = y0, para un elemento y0 ∈ Yfijado. Sea A cualquier subconjunto propio de X. Entonces
f−1(f(A)) = f−1({y0}) = X 6⊂ A.
�
Nota 1.2.10. Sea f : X → Y una aplicación e {y} ⊂ Y un subconjunto unitario
de Y . Con objeto de aligerar la notación, en la mayoría de los textos se escribe
f−1(y) en lugar de f−1({y}), es decir, la notación f−1(y) se refiere a:
f−1(y) = {x ∈ X | f(x) ∈ {y}} = {x ∈ X | f(x) = y}.
Hemos de tener especial cuidado con esta notación, pues puede confundirse con la
imagen de y por la aplicación inversa de f , cuando dicha aplicación inversa exista
(ver Nota 1.2.20).
39
Aplicaciones inyectivas, sobreyectivas y biyectivas
Sea una aplicación f : X −→ Y .
(a) f se dice inyectiva si dos elementos distintos de X siem-
pre tienen imágenes distintas. Dicho de otro modo, si para
x, x′ ∈ X se tiene
f(x) = f(x′)⇒ x = x′.
(b) f se dice sobreyectiva (o sobre) si todo elemento de Yes imagen de algún elemento de X . O sea, f es sobre si
f(X) = Im(f) = Y , o dicho de otro modo, si
∀y ∈ Y, ∃x ∈ X tal que f(x) = y.
(c) f se dice biyectiva si es inyectiva y sobreyectiva.
Ejemplo 1.2.11. 1) Sea f : R → R la aplicación definida por f(x) = x2. Esta
aplicación no es inyectiva, pues f(x) = f(−x). Tampoco es sobreyectiva, pues
Im(f) = [0,+∞) 6= R.2) Sea f : Z → Z la aplicación definida por f(n) = 2n. Esta aplicación es
inyectiva ya que, si f(n) = f(m), entonces 2n = 2m, y de aquí se tiene que
n = m. La aplicación no es sobreyectiva pues Im(f) = {números pares} 6= Z.3) Sean U,A ⊂ U,A 6= ∅ unos conjuntos fijos. Sea f : P(U) → P(A) la
aplicación definida por f(B) = A ∩ B. Esta aplicación no es inyectiva, pues
si f(B) = f(C), tenemos que A ∩ B = A ∩ C, y de aquí no se deduce que
B = C. Basta tomar dos conjuntos distintos B,C ⊂ A. Entonces se verifica que
A ∩ B = ∅ = A ∩ C y B 6= C.Veamos que esta aplicación es sobreyectiva. Sea D ∈ P(A) y pongamos
B = D. Entonces
f(B) = A ∩B = A ∩D = D.
Notar que también podemos tomar B = A ∪D, pues
f(B) = A ∩B = A ∩ (A ∪D) = (A ∩ A) ∪ (A ∩D) = ∅ ∪D = D.
Esto nos da otra forma de ver que la aplicación no es inyectiva.
4) La aplicación identidad es biyectiva.
5) Sea f : Z → Z la aplicación definida por f(n) = n + 3. Veamos que esta
aplicación es biyectiva.
40
Inyectiva: si f(n) = f(m)⇒ n + 3 = m+ 3⇒ n = m.Sobreyectiva: si m ∈ Z, tomando n = m− 3 se tiene que f(n) = m.
6) Si X ⊂ Y , la inclusión iX : X → Y es una aplicación inyectiva.
7) Si X e Y son conjuntos con Y 6= ∅, la primera proyección p : X × Y → X es
sobreyectiva. Se tiene un resultado análogo para la segunda proyección si X 6= ∅.
La prueba de la siguiente proposición se deja como ejercicio.
Proposición 1.2.12. Sean dos números enteros m,n ≥ 1. Probar que existe una
aplicación biyectiva f : {1, . . . , m} × {1, . . . , n} → {1, . . . , mn}.
Nota 1.2.13. En términos de la imagen inversa de conjuntos unitarios tenemos las
siguientes equivalencias:
(a) f es inyectiva si y sólo si para todo y ∈ Y , el conjunto f−1({y}) consta, a
lo más, de un elemento.
(b) f es sobre si y sólo si para todo y ∈ Y , el conjunto f−1({y}) consta, por lo
menos, de un elemento (es decir, es no vacío).
(c) f es biyectiva si y sólo si para todo y ∈ Y , el conjunto f−1({y}) consta,
exactamente, de un elemento.
Nota 1.2.14. A partir de cualquier aplicación f : X → Y podemos definir una
aplicación sobreyectiva f̂ : X → Im(f) cuya acción sobre los elementos de X
coincide con la de f : f̂(x) = f(x) para cada x ∈ X . Aunque la acción de ambas
aplicaciones está definida de la misma manera, debemos considerarlas en general
como aplicaciones distintas, pues sus conjuntos de llegada son distintos. Tan sólo
serán iguales cuando la aplicación f de partida fuera sobreyectiva.
Composición de aplicaciones
Dadas dos aplicaciones f : X −→ Y y g : Y −→ Z se define
la composición de f y g, notada g ◦ f : X −→ Z, que será una
aplicación de X en Z, como
(g ◦ f)(x) = g(f(x)), para todo x ∈ X.
Obviamente g ◦ f es una aplicación. Es claro también que g ◦ 1Y = g y
1Y ◦ f = f .
41
Ejemplo 1.2.15. 1) Sean las aplicaciones f : Z→ Q, g : Q→ R definidas por
f(n) =n
2, g(x) =
√x2 + 3.
La composición de f y g es
g ◦ f : Z→ R dada por (g ◦ f)(n) =√(n
2
)2
+ 3,
pues
(g ◦ f)(n) = g(f(n)) = g(n2
)=
√(n2
)2
+ 3.
2) Sea A un conjunto fijo y consideremos las aplicaciones
f, g : P(U)→ P(U) definidas por f(B) = A ∩B, g(B) = A ∪B.
En este caso podemos calcular la composición de f y g y la composición de g y
f .
Calculamos g ◦ f :
(g◦f)(B) = g(f(B)) = g(A∩B) = A∪(A∩B) = (A∪A)∩(A∪B) = U∩(A∪B) = A∪B,
luego la composición de f y g es la aplicación
g ◦ f : P(U)→ P(U), (g ◦ f)(B) = A ∪B, ∀B ∈ P(U).
Por otro lado, f ◦ g :
(f◦g)(B) = f(g(B)) = f(A∪B) = A∩(A∪B) = (A∩A)∪(A∩B) = ∅∪(A∩B) = A∩B,
luego la composición de g y f es
f ◦ g : P(U)→ P(U), (f ◦ g)(B) = A ∩B, ∀B ∈ P(U).
Nótese que f ◦ g 6= g ◦ f.
Nota 1.2.16. Dadas aplicaciones entre conjuntos
X1f−→ X2
g−→ X3h−→ X4,
es elemental comprobar que (h ◦ g) ◦ f = h ◦ (g ◦ f) (asociatividad de la compo-
sición de aplicaciones).
42
Aplicaciones invertibles
Diremos que una aplicación f : X −→ Y es invertible cuando
exista una aplicación g : Y −→ X tal que
g ◦ f = 1X , f ◦ g = 1Y .
Proposición 1.2.17. Si una aplicación f : X −→ Y es invertible, la aplicación
g : Y −→ X tal que g ◦ f = 1X y f ◦ g = 1Y es única.
A la aplicación g de la proposición anterior se la denomina aplicación inversa
de f y se denota por f−1 : Y −→ X .
Ejemplo 1.2.18. 1) La aplicación identidad 1X : X → X es invertible y su
inversa es ella misma.
2) La aplicación
f : Z→ Z definida por f(n) = n+ 3
es invertible y su inversa es la aplicación
f−1 : Z→ Z definida por f−1(m) = m− 3.
Proposición 1.2.19. Sea f : X → Y una aplicación. Las propiedades siguientes
son equivalentes:
(a) f es invertible.
(b) f es biyectiva.
PRUEBA: (a) ⇒ (b): Supongamos que f es invertible y consideremos su
aplicación inversa f−1. Veamos que f es biyectiva:
Inyectiva: si f(a) = f(b), aplicando f−1 tenemos f−1(f(a)) = f−1(f(b)),luego a = b por ser f−1 ◦ f = 1X .
Sobreyectiva: sea y ∈ Y y consideremos x = f−1(y) ∈ X. Aplicando ftenemos que f(x) = f(f−1(y)) = 1Y (y) = y, luego f es sobreyectiva.
(b) ⇒ (a): Si f es biyectiva, tomemos la aplicación g : Y → X definida del
siguiente modo: para cada y ∈ Y , g(y) = x siendo x el único (pues f es inyectiva)
elemento de X que verifica f(x) = y (que existe, pues f es sobreyectiva).
Comprobamos sin dificultad que g ◦ f = 1X y f ◦ g = 1Y , y por tanto f es
invertible. �
43
Nota 1.2.20. Al igual que ocurría con la notación f(·) (ver Nota 1.2.6), cuando
f : X → Y es una aplicación, la notación f−1(·) se utiliza para dos situaciones
distintas que pueden dar lugar a confusiones de fondo:
i) Cuando B ⊂ Y , f−1(B) denota la anti-imagen de B por f , que es un
subconjunto de X .
ii) Cuando f es invertible e y ∈ Y , f−1(y) indica la imagen de y por la inversa
de f , que es un elemento de X .
De hecho, tal como indicamos en la Nota 1.2.10, la notación f−1(·) es también
utilizada en una tercera situación que puede confundirse fácilmente con ii). Es
pues fundamental saber en cada caso en qué situación estamos. En ii) estamos
suponiendo que f es invertible (o, equivalentemente, biyectiva), mientras que i)
tiene sentido para cualquier aplicación f , invertible o no.
Restricción de una aplicación
Dada una aplicación f : X −→ Y y un subconjunto A ⊂ X , se
define la restricción de f a A como la aplicación
f |A : A −→ Y
x ∈ A 7−→ f |A(x) := f(x) ∈ Y
Esto es, f |A actúa exactamente como f , pero sólo sobre los elementos de A.
Nótese que la inclusión iA : A −→ X no es más que la restricción de la identidad
1X a A, y que la restricción f |A coincide con la composición de f con la inclusión
iA : A→ X:
f |A = f ◦ iA.Ejemplo 1.2.21. Sean A ⊂ U conjuntos fijos y consideremos la aplicación f :P(U) → P(U) definidas por f(B) = A ∩ B. La restricción de f a P(A),f : P(A)→ P(U) es
f |P(A)(B) = f(B) = A ∩B = B, ya que B ⊂ A.
Ejemplo 1.2.22. Veamos un ejemplo que pone de manifiesto la importancia de, a
la hora de dar una aplicación, precisar los conjuntos de partida y de llegada y no
sólo cómo se determina la imagen de cada elemento.
Consideremos f : A→ B dada por f(x) = x2. Entonces:
• Si A = B = R, la función anterior no es ni inyectiva ni sobreyectiva.
44
• Si A = R y B = R+, f es sobreyectiva y no inyectiva.
• Si A = [0, 1] y B = R, f es inyectiva y no sobreyectiva.
• Si A = B = [0, 1], f es biyectiva.
1.3 Relaciones de equivalencia. Conjuntos cocien-
tes.
Relación
Sea A un conjunto. Una relación R definida en A es una corres-
pondencia de A en sí mismo.
Dos relaciones R y R′ en el conjunto A son iguales si y sólo si aRb⇔ aR′b:
R = R′ ⇔ (aRb⇔ aR′b).
Ejemplo 1.3.1. Sea A = {a, b, c}. Entonces R = {(a, a), (a, c), (b, c)} es una
relación en A.
Si el par (x, y) ∈ A×A está en R, diremos que x está R–relacionado con y, o
que x está relacionado con y por R. Esto se notará normalmente xRy (nótese que
el orden es importante).
Algunas propiedades de una relación
Sea R una relación en A. Diremos que R es:
(a) Reflexiva cuando para todo x ∈ A se tiene que xRx.
(b) Simétrica cuando xRy siempre implica yRx (y por tanto
xRy ⇔ yRx).
(c) Antisimétrica cuando, si tenemos xRy e yRx, entonces
x = y necesariamente.
(d) Transitiva cuando, si tenemos xRy e yRz, entonces se tie-
ne xRz.
45
Relaciones de orden y de equivalencia
Las relaciones que son reflexivas, simétricas y transitivas se de-
nominan relaciones de equivalencia. Las relaciones que son re-
flexivas, antisimétricas y transitivas se denominan relaciones de
orden.
Ejemplo 1.3.2. 1) En el conjunto Z definimos las relaciones siguientes:
xRy ⇐⇒ x ≤ y, xSy ⇐⇒ x− y es par, xTy ⇐⇒ x divide a y
a) R es una relación de orden (de hecho, las relaciones de orden se denominan así
por ser éste el ejemplo fundamental). En efecto:
• Reflexiva: ∀n ∈ Z se tiene que n ≤ n, luego nRn.
• Antisimétrica: Si nRm y mRn se tiene que n ≤ m y m ≤ n, luego n = m.
• Transitiva: Si nRm y mRs es n ≤ m ≤ s, luego nRs.
b) S es una relación de equivalencia.
• Reflexiva: ∀n ∈ Z se tiene que n− n = 0 es par, luego nSn.
• Simétrica: si nSm es n−m par, luego m− n es par y, por tanto, mSn.
• Transitiva: si nSm y mSp se tiene que n−m y m− p son pares. Sumando
se tiene que n− p es par, luego nSp.
c) T no es ni de orden ni de equivalencia, pues T no verifica la propiedad antisi-
métrica ni la simétrica.
Notemos que S es de equivalencia si sustituimos la condición “x − y es par”
por la condición “x − y es múltiplo de p”, para cualquier número p que fijemos
con antelación.
2) Sea U un conjunto y A ⊂ U un subconjunto fijo. En P(U) definimos la
relación RA :
∀B,C ∈ P(U), BRAC si A ∩ B = A ∩ C.
Veamos que es una relación de equivalencia.
• Reflexiva: ∀B ∈ P(U), A ∩ B = A ∩ B, es decir BRAB.
• Simétrica: si BRAC, es A∩B = A ∩C, luego A∩C = A∩B y CRAB.
46
• Transitiva: si BRAC y CRAD se tiene que A ∩ B = A ∩ C = A ∩ D,luego BRAD.
3) En el conjunto Z la relación definida por el menor estricto, xRy ⇐⇒ x < y,verifica la propiedad antisimétrica ya que no existe ningún par de enteros n,mtales que nRm y mRn. La relación es también transitiva, pero no es reflexiva ni
simétrica.
Clase de equivalencia
Si R es una relación de equivalencia en A, denominamos clase
de equivalencia de un elemento x ∈ A, que notaremos R(x),o simplemente x (ó [x]) si no hay peligro de confusión y no es
necesario precisar a R, al conjunto de todos los elementos de Arelacionados con x, esto es,
R(x) = x = [x] := {y ∈ A | xRy} (= {y ∈ A | yRx}) .
Ejemplo 1.3.3. Vamos a calcular las clases de equivalencia de las relaciones del
ejemplo anterior.
1) En Z consideramos la relación de equivalencia S, nSm si n − m es par. Sea
n un número par. Entonces m ∈ Z está relacionado con n si m − n = 2k es par,
luego m = n + 2k es par. Luego todos los elementos de la clase de equivalencia
de n son pares. Recíprocamente, si m es par se tiene que n−m es par. Por tanto,
la clase de equivalencia de n, S(n), es el conjunto de todos los números pares.
Si n es impar, es fácil ver que la clase de equivalencia S(n) es el conjunto de
todos los números impares.
Notar que si n1 y n2 son ambos números pares (impares) entonces S(n1) =S(n2). De aquí se sigue que en este ejemplo sólo tenemos dos clases de equiva-
lencia, por ejemplo S(0) = {enteros pares} y S(1) = {enteros impares}. Nótese
también que S(0) ∩ S(1) = ∅ y que Z = S(0) ∪ S(1). En el teorema siguiente se
probará que estas propiedades se verifican en cualquier relación de equivalencia.
2) Calcularemos las clases de equivalencia de la relación, en P(U), definida por:
∀B,C ∈ P(U), BRAC si A ∩ B = A ∩ C, siendo A un conjunto fijo. Estu-
diaremos, primero, un caso particular que nos servirá para entender mejor el caso
general. Supongamos que el conjunto A que fijamos tiene sólo dos elementos,
A = {x, y}. Veamos que, en este caso, sólo existen 4 clases de equivalencia:
RA(∅),RA(A),RA({x}) y RA({y}). En efecto: sea B un conjunto cualquiera.
Las posibilidades para A ∩ B son
47
• A ∩B = ∅ = A ∩ ∅, de donde BRA∅ y B ∈ RA(∅).• A ∩B = A = A ∩ A, de donde BRAA y B ∈ RA(A).
• A ∩B = {x} = A ∩ {x}, de donde BRA{x} y B ∈ RA({x}).• A ∩B = {y} = A ∩ {y}, de donde BRA{y} y B ∈ RA({y}).Observemos que en este ejemplo también se tiene que las cuatro clases ante-
riores no tienen ningún elemento en común y que la unión de todas ellas es P(U).Pasemos al caso general. Sea A un conjunto cualquiera. Veamos que existen
tantas clases de equivalencia como subconjuntos de A.
2-1) Si A1, A2 ⊂ A son distintos, entonces RA(A1) 6= RA(A2). En efecto:
A1 y A2 no están relacionados ya que A ∩A1 = A1 6= A2 = A ∩ A2.2-2) Todo conjunto B pertenece a la clase de equivalencia de un subconjunto
de A. En efecto: basta tomarA∩B ⊂ A, entonces A∩ (A∩B) = (A∩A)∩B =A ∩ B, luego B ∈ RA(A ∩ B).
Hemos visto en los ejemplos anteriores que las clases de equivalencia distin-
tas no tienen ningún elemento en común, y que la unión de todas la clases es el
conjunto total. Veamos que esta es una propiedad de cualquier relación de equi-
valencia, pero antes daremos una nueva noción.
Particiones de un conjunto
Dado un conjunto A 6= ∅, una partición de A es un subconjun-
to Q ⊂ P(A) (los elementos de Q son subconjuntos de A) que
verifica las siguientes propiedades:
(a) Todos los elementos de Q son no vacíos.
(b) La unión de todos los elementos de Q es A.
(c) Los elementos de Q son disjuntos entre sí.
O expresado simbólicamente,
(a) ∀B ∈ Q se tiene B 6= ∅ (ó equivalentemente: ∅ /∈ Q).
(b)⋃
Q = A (ó escrito de otro modo: ∀x ∈ A, ∃B ∈ Q tal que
x ∈ B)a.
(c) Si B,C ∈ Q y B 6= C, entonces B ∩ C = ∅.aNótese que la inclusión
⋃Q ⊂ A siempre se tiene puesto que Q ⊂ P(A).
48
La idea que hay detrás de una partición de un conjunto A (no vacío) es muy
sencilla: se trata de una descomposición de A en subconjuntos no vacíos y disjun-
tos.
Las clases de equivalencia como una partición
Sea A un conjunto y R una relación de equivalencia en A. Enton-
ces el conjunto de las clases de equivalencia de los elementos de
A es una partición de A.
PRUEBA: La propiedad reflexiva implica que cada elemento a ∈ A pertenece
a su clase de equivalencia, por tanto cada clase de equivalencia es no vacía (pro-
piedad (a)) y la unión de todas las clases de equivalencia es A (propiedad (b)).
Para probar (c) supongamos que tenemos dos clases de equivalencia R(x) y R(y)de tal forma que existe z ∈ R(x) ∩ R(y). Tenemos que demostrar entonces que
R(x) = R(y), y lo haremos por doble inclusión. De hecho, sólo probaremos que
R(x) ⊂ R(y), porque la otra inclusión es absolutamente análoga.
Tomamos entonces a ∈ R(x). Como z ∈ R(x), tenemos que aRx y xRz,
por lo que aRz. De la misma forma, como z ∈ R(y), se verifica que zRy. Así
tenemos aRy, luego a ∈ R(y).
Observemos que para demostrar (c) hemos usado tanto la propiedad simétrica
como la transitiva de R. �
Corolario 1.3.4. Sea A un conjunto, R una relación de equivalencia en A, x, y ∈A. Se tiene que las clases de equivalencia de x y de y son iguales, R(x) = R(y),si y sólo si xRy.
49
Conjunto cociente
Dada una relación de equivalencia R definida sobre un conjunto
A, el conjunto cuyos elementos son las clases de equivalencia de
A por R se denomina conjunto cociente de A por R. La notación
usual es
A/R = {R(x) | x ∈ A}.El conjunto cociente va acompañado de la aplicación
π : X → X/R, π(x) = R(x) para todo x ∈ X,
que se denomina aplicación cociente, o también proyección na-
tural, asociada a la relación R.
El conjunto cociente de A por R es por tanto una partición de A. En particular
A/R es un subconjunto de P(A). La proyección natural π : X → X/R es por
construcción una aplicación sobreyectiva.
Ejemplo 1.3.5. Veamos los conjuntos cocientes de los ejemplos anteriores.
a) Sea la relación de equivalencia S, en Z, dada por nSm si n − m es par.
Entonces
Z/S = {S(0), S(1)}En general, si fijamos un entero p y consideramos
xSy ⇐⇒ x− y es múltiplo de p,
se tiene que, para todo x ∈ Z
S(x) = {y ∈ Z | x e y dan el mismo resto al dividirlos entre p},
por lo que
Z/S = {S(0), S(1), ..., S(p− 1)}.b) Consideremos la relación de equivalencia, en P(U), definida por:
∀B,C ∈ P(U), BRC si A ∩B = A ∩ C,
siendo A un conjunto fijo. En este caso
P(U)/R = {R(D) | D ∈ P(A)}.
50
Factorización canónica de una aplicación
La proyección natural π : X → X/R verifica la siguiente “propiedad universal”.
Proposición 1.3.6. (Propiedad universal de la proyección canónica) Sean X, Yconjuntos no vacíos, R una relación de equivalencia en X y f : X → Y una
aplicación. Si se tiene
aRb⇒ f(a) = f(b),
entonces existe una única aplicación F : X/R → Y tal que f = F ◦ π, es decir,
tal que el siguiente diagrama es conmutativo:
Xf
//
π
��
Y.
X/R
F
<<③
③
③
③
Hemos visto que toda relación de equivalencia R en un conjunto X da lugar a
un nuevo conjunto, el conjunto cociente X/R, y a una aplicación, la proyección
natural π : X −→ X/R. Ahora vamos a ver que cualquier aplicación entre dos
conjuntos permite definir una relación de equivalencia especial en el conjunto de
partida.
Relación asociada a una aplicación
Dada una aplicación f : X → Y , definimos la relación asociada
a f , que notaremos Rf , de la siguiente forma: para a, b ∈ X
aRfb⇔ f(a) = f(b).
Dejamos la demostración de la siguiente proposición como ejercicio.
Proposición 1.3.7. La relación Rf asociada a una aplicación es una relación de
equivalencia.
Nota 1.3.8. Nótese que toda relación de equivalencia R en un conjunto X es de
hecho la relación de equivalencia asociada a una cierta aplicación, a saber, a la
proyección natural π : X −→ X/R, pues sabemos que xRy ⇔ R(x) = R(y)⇔π(x) = π(y), y por tanto R = Rπ.
51
Factorización canónica de una aplicación
Toda aplicación f : X → Y se descompone de manera canónica
como composición f = i ◦ f̄ ◦ π,
Xf
//
π
��
Y
X/Rf
f̄// Im(f)
i
OO
donde π es la proyección canónica, i es la inclusión de Im(f) en
Y y f̄ : X/Rf → Im(f) es la única aplicación que hace conmu-
tativo el diagrama anterior, que viene dada por f̄(Rf (x)) = f(x).Además, la aplicación f̄ es biyectiva y por tanto toda aplicación
entre dos conjuntos se descompone canónicamente como compo-
sición de una aplicación inyectiva, una aplicación biyectiva y una
aplicación sobreyectiva.
El conjunto cociente de un conjunto A por una relación de equivalencia Res una construcción matemática abstracta y en ejemplos concretos nos resulta a
veces conveniente “describirlo” de manera más palpable. Esto se puede hacer
fundamentalmente de dos modos:
a) Encontrando un subconjunto explícito A′ ⊂ A de manera que cada clase
de equivalencia de A por R tenga algún representante en A′, y que dos
elementos distintos de A′ no estén relacionados por R, o dicho de manera
más formal, que la composición de las aplicaciones
A′ iA′−−−−→
inclusiónA
π−−−−−−−−−−→proyección canónica
A/R
sea una aplicación biyectiva.
b) Encontrando un conjunto “conocido” Y y una aplicación sobreyectiva f :A −→ Y tal que R = Rf . En este caso, la factorización canónica de f nos
proporciona una biyección f : A/R∼−→ Y .
En ambos casos encontramos una biyección entre el conjunto cociente A/R, que
es un conjunto abstracto, y un conjunto “conocido”, A′ en el primer caso e Y en el
segundo, que nos sirve para “describir” (o “etiquetar”) a las clases de equivalencia
de A por R.
52
Ejemplo 1.3.9. Sea A = R el conjunto de los números reales y consideremos la
relación de equivalencia en R dada por:
aRbdef.⇔ a2 = b2.
Siguiendo el modo a) que acabamos de explicar, podemos tomar por ejemplo
A′ = {a ∈ R | a ≥ 0} = [0,+∞). También serviría A′ = {a ∈ R | a ≤ 0} =(−∞, 0], o incluso A′ = (−∞,−1] ∪ [0, 1).
Si seguimos el modo b), podemos tomar Y = [0,+∞) y f : R −→ [0,+∞)dada por f(a) = a2 para todo a ∈ R.
1.4 Conjuntos finitos y conjuntos infinitos
Uno de los aspectos que caracterizan a las Matemáticas dentro de las ciencias es
el tratamiento riguroso del concepto de infinito. De hecho, esto se hace a través
de la Teoría de conjuntos y fue precisamente una de las motivaciones principales
de Georg Cantor para desarrollar dicha teoría.
En esta sección vamos a dar una introducción a este tema, evitando entrar
en detalles técnicos que requerirían un conocimiento más profundo de la Teoría
axiomática de conjuntos.
Nuestros prototipos de conjuntos finitos son los de la forma {1, 2, . . . , n}, don-
de n es un número natural mayor o igual que 1. Pero en Matemáticas, uno de los
conjuntos más importantes, el de los números naturales
N = {0, 1, 2, 3, . . .},cae fuera de los primeros. Se trata de hecho del primer contacto que tenemos con
la noción de “infinito”.
Otra de las nociones más usadas en la práctica es la de “cantidad” o “número
de elementos” de un conjunto finito. Por ejemplo, el conjunto {1, 2, . . . , n} tiene
n elementos.
Pero en lugar de comenzar por darle sentido a la “cantidad de elementos” de
un conjunto, vamos a comenzar por dar sentido a que dos conjuntos tengan “la
misma cantidad de elementos”, sin saber qué es la cantidad de elementos de un
conjunto.
Conjuntos equipotentes
Decimos que dos conjuntos X e Y son equipotentes si existe una
aplicación biyectiva f : X → Y .
53
Es fácil ver que la relación de equipotencia es una relación de equivalencia en
cualquier “conjunto de conjuntos”.
Proposición 1.4.1. Sean dos números enteros m,n ≥ 1 y sea f : {1, . . . , m} →{1, . . . , n} una aplicación. Se tienen las siguientes propiedades:
1. Si f es inyectiva, entonces m ≤ n.
2. Si f es sobreyectiva, entonces m ≥ n.
3. Si f es biyectiva, entonces m = n.
Además, si m = n, las propiedades siguientes son equivalentes:
(a) f es inyectiva.
(b) f es sobreyectiva.
(c) f es biyectiva.
PRUEBA: La prueba se deja como ejercicio. �
Proposición 1.4.2. Sea un número entero m ≥ 1 e Y ⊂ {1, . . . , m} un sub-
conjunto no vacío. Entonces existe un entero n ≥ 1 y una aplicación biyectiva
f : {1, . . . , n} → Y . Además, por la proposición anterior se debe tener n ≤ m.
PRUEBA: La prueba se deja como ejercicio. �
Corolario 1.4.3. Sea un número entero m ≥ 1, Y ⊂ {1, . . . , m} y supongamos
que existe una aplicación sobreyectiva f : Y → {1, . . . , m}. Entonces Y ={1, . . . , m}.
PRUEBA: Es una consecuencia inmediata de las dos proposiciones anteriores.
�
Para tratar matemáticamente a las nociones de “conjunto finito” y de “conjunto
infinito” debemos dar definiciones formales de ellas.
Conjuntos finitos y conjuntos infinitos
Decimos que un conjunto X es finito si o bien es vacío, o si no es
vacío, existe un número natural n ≥ 1 tal que X es equipotente a
{1, 2, . . . , n}.Decimos que un conjunto X es infinito, si X es equipotente a
algún subconjunto propio de X , i.e. a algún Y ⊂ X con ∅ 6=Y 6= X .
54
Ejemplo 1.4.4. (1) Para cada número natural n ≥ 1, el conjunto {1, 2, . . . , n} es
finito (según la definición anterior).
(2) El conjunto de los números naturales N es infinito, pues N es equipotente a
N+:
f : N→ N+, f(x) = x+ 1,
es una aplicación biyectiva, y N+ es un subconjunto propio de N.
(3) Si X es un conjunto finito (resp. infinito) e Y es un conjunto equipotente a X ,
entonces Y es también un conjunto finito (resp. infinito).
La proposición siguiente nos garantiza que las definiciones dadas de de con-
junto finito y de conjunto infinito son excluyentes y cubren todos los casos.
Proposición 1.4.5. Sea X un conjunto. Las propiedades siguientes son equiva-
lentes:
(a) X es un conjunto finito.
(b) X no es un conjunto infinito.
PRUEBA: (a) ⇒ (b): Se prueba sin mucha dificultad a partir del Corolario
1.4.3.
(b)⇒ (a): es equivalente a probar que si X no es finito, entonces X es infinito.
Supongamos que X no es finito, es decir, no es vacío y no es posible establecer
una aplicación biyectiva entre X y ningún conjunto de la forma {1, 2, . . . , m},con m ≥ 1. Como X 6= ∅, podemos encontrar un elemento x1 ∈ X . Sea
f1 : {1} → X la aplicación inyectiva definida por f1(1) = x1. Como X no es
finito, la aplicación f no puede ser sobreyectiva y por tanto podremos encontrar
un x2 ∈ X que no pertenece a la imagen de f1. Consideremos la aplicación
f2 : {1, 2} → X que extiende a f1 y tal que f2(2) = x2. Por la misma razón
anterior f2 no puede ser sobreyectiva.
Continuando con este proceso definimos una familia de aplicaciones
fn : {1, . . . , n} → X, n ∈ N,
todas ellas inyectivas, que cada una prolonga a la anterior, es decir fn|{1,...,n−1} =fn−1. Con esta familia construimos una aplicación f : N → X de la siguiente
forma:
f(n) = fn(n) para cada n ∈ N.
Se prueba sin dificultad que f es inyectiva, y como N es infinito, concluimos
aplicando la Proposición 1.4.6, 3)1. �
1En esta prueba hemos utilizado un axioma de la Teoría axiomática de conjuntos denominado
el “axioma de elección numerable”. Al tratarse de una introducción a la Teoría de conjuntos, no
entraremos en más detalles.
55
En la siguiente proposición damos las principales propiedades que se deducen
de las definiciones dadas de conjunto finito y de conjunto infinito. Con ellas com-
probamos que dichas definiciones modelizan correctamente las ideas intuitivas
previas que teníamos de estas nociones.
Proposición 1.4.6. Se tienen las siguientes propiedades:
1) Si X es un conjunto finito y f : X → Y es una aplicación sobreyectiva,
entonces Y también es un conjunto finito.
2) Si Y es un conjunto finito y f : X → Y es una aplicación inyectiva, enton-
ces X también es un conjunto finito.
3) Si X es un conjunto infinito y f : X → Y es una aplicación inyectiva,
entonces Y también es un conjunto infinito.
4) Si Y es un conjunto infinito y f : X → Y es una aplicación sobreyectiva,
entonces X también es un conjunto infinito.
5) El producto cartesiano de dos conjuntos finitos es un conjunto finito.
6) X es un conjunto finito si y sólo si P(X) es un conjunto finito.
7) X es un conjunto infinito si y sólo si P(X) es un conjunto infinito.
PRUEBA: Nos limitaremos a dar algunas indicaciones.
1): Podemos restringirnos al caso en que X = {1, . . . , m} con m ≥ 1. Definimos
g : Y → X = {1, . . . , m} de la siguiente forma: para cada y ∈ Y
g(y) := min f−1({y}) ∈ X.
Se prueba sin dificultad que f ◦ g = 1Y , por lo que g es inyectiva e Y será
equipotente a Im(g) ⊂ X = {1, . . . , m}. Concluimos aplicando la Proposición
1.4.2.
2): Es una consecuencia casi inmediata de la Proposición 1.4.2.
3): Basta probar que si X ⊂ Y con X conjunto infinito, entonces Y también es
infinito.
Como X es infinito, existe un subconjunto propio X ′ ( X y una aplicación
biyectiva f : X ′ → X . Es claro que Y ′ := X ′∪(Y \X) es un subconjunto propio
de Y , y que la aplicación g : Y ′ → Y definida por
g(y) =
{f(y) si y ∈ X ′
y si y ∈ Y \X
56
es biyectiva. Por tanto Y es equipotente a un subconjunto propio y concluimos
que Y es infinito.
4): Por reducción al absurdo. Si X fuera finito, deduciríamos que Y también es
finito por 1), lo que contradice que Y sea infinito de acuerdo con la Proposición
1.4.5.
5): Es fácil a partir de la Proposición 1.2.12.
6) y 7): Una idea fundamental es que siempre hay una aplicación inyectiva de Xen P(X):
x ∈ X 7−→ {x} ∈ P(X).
Por tanto, si X es infinito, P(X) también es infinito (aplicar 3)), y si P(X) es
finito, X también es finito (aplicar 2)).
Para probar X finito ⇒ P(X) finito, basta considerar el caso en que X ={1, . . . , m}, con m ≥ 1. En este caso se procede por inducción probando prime-
ramente que los conjuntos
P({1, . . . , n+ 1}) y P({1, . . . , n})× {0, 1}
son equipotentes.
Por último, si P(X) fuera infinito, X no podría ser finito y entonces ha de ser
infinito por la Proposición 1.4.5. �
Cardinal de un conjunto finito
Si X es un conjunto finito, o bien es vacío, en cuyo caso decimos
que su cardinal es 0, o si no es vacío, existe un entero n ≥ 1tal que X es equipotente a {1, . . . , n}. De acuerdo con la Propo-
sición 1.4.1, este entero n es único y lo llamaremos cardinal de
X .
El cardinal de un conjunto finito X se denotará por ♯(X), o tam-
bién |X| si no hay peligro de confusión con otras notaciones al
uso.
Nota 1.4.7. Una de las primeras sorpresas que trajo el estudio matemático de los
conjuntos infinitos es que “no todos los infinitos son iguales”, o dicho de modo
más preciso, no todos los conjuntos infinitos son equipotentes. De hecho, Can-
tor probó mediante su conocido “método diagonal” que los conjuntos N, de los
números naturales, y R, de los números reales, no son equipotentes. Más gene-
ralmente, ningún conjunto X es equipotente al conjunto de sus partes P(X), lo
57
que nos proporciona “infinitos tipos de infinito”. Todo esto lleva a la Teoría de
cardinales (y de ordinales), que no abordaremos en estas notas.
Para terminar este tema, veamos una prueba de que ningún conjunto X es
equipotente al conjunto de sus partes P(X), así como una ilustración del método
diagonal de Cantor.
Proposición 1.4.8. Si X es un conjunto cualquiera, no existe ninguna aplicación
sobreyectiva ϕ : X −→ P(X).
PRUEBA: Sea ϕ : X −→ P(X) una aplicación arbitraria. Veamos que
ϕ nunca puede ser sobreyectiva. La idea fundamental consiste en considerar el
siguiente subconjunto de X:
A := {x ∈ X | x /∈ ϕ(x)} ⊂ X.
Como A ⊂ X se tiene que A ∈ P(X). Veamos que A no pertenece a la
imagen de ϕ.
Procederemos por reducción al absurdo. Si A ∈ Im(ϕ), entonces existirá un
x0 ∈ X tal que ϕ(x0) = ANos preguntamos ahora si x0 ∈ A. Lo que está claro es que o bien x0 ∈ A o
bien x0 /∈ A.
Si x0 ∈ A, de acuerdo con la definición de A tendríamos que x0 /∈ ϕ(x0), y como
ϕ(x0) = A, concluimos x0 /∈ A, lo cual es un absurdo.
Si x0 /∈ A, como A = ϕ(x0) tendríamos que x0 /∈ ϕ(x0), y de acuerdo con la
definición de A concluimos que x0 ∈ A, lo cual es un absurdo.
En ambos casos llegamos a un absurdo, por lo que nuestra suposición es falsa
y por tanto A /∈ Im(ϕ) y por tanto ϕ no es sobreyectiva �
Proposición 1.4.9. No existe ninguna aplicación sobreyectiva ϕ : N←− NN.
PRUEBA: Sea ϕ : N ←− NN una aplicación. Veamos que ϕ nunca podrá ser
sobreyectiva. La idea fundamental es considerar cualquier f ∈ NN (i.e. cualquier
aplicación f : N→ N) que verifique lo siguiente:
f(n) 6= ϕ(n)(n) ∀n ∈ N.
Por ejemplo, podemos tomar f : N→ N definida por f(n) = ϕ(n)(n) + 1.
Vemos fácilmente que f no pertenece a la imagen de ϕ, puesto que si existiera
n0 ∈ N tal que f = ϕ(n0) se tendría que
f(n) = ϕ(n0)(n) ∀n ∈ N,
y en particular f(n0) = ϕ(n0)(n0), lo cual contradice la propiedad con la que
hemos elegido f . Así pues ϕ no es sobreyectiva. �
58
Nota 1.4.10. Nótese que las pruebas de las dos proposiciones anteriores son muy
similares y ambas responden al “método diagonal” de Cantor. Para apreciar mejor
la similitud de ambas pruebas, podemos tener en cuenta que de hecho la segun-
da proposición es un corolario de la primera, pues sabemos que hay una biyec-
ción natural entre P(N) y {0, 1}N, y por otra parte es fácil encontrar una apli-
cación sobreyectiva NN → {0, 1}N (para ello basta tomar la composición con
cualquier aplicación sobreyectiva N→ {0, 1}), de manera que si existiera alguna
aplicación sobreyectiva N → NN, componiéndola con la aplicación sobreyectiva
NN → {0, 1}N, obtendríamos una aplicación sobreyectiva N → {0, 1}N, lo que
contradeciría la primera proposición.
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