Cap¢´¤±tulo 0. Breve introducci¢´on a la mec¢´anica cl¢´ ¢â‚¬¢ Debido a que la Tierra no es una esfera,

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  • LClas: Mecánica Clásica Introducción

    Caṕıtulo 0.

    Breve introducción a la mecánica clásica

    Puede parecer extraño comenzar un curso de introducción a la Mecánica Cuántica con una lección

    sobre Mecánica Clásica, pero las razones para hacerlo son poderosas. En primer lugar está la

    nada despreciable realidad de que la formulación clásica sigue siendo válida, aunque ahora sabemos

    que su ámbito de validez tiene ĺımites. El tratamiento de cuerpos y materiales a muchas escalas

    requiere la reunión de las técnicas cuánticas con las derivadas de la mecánica y el electromagnetismo

    clásico. Empero, la segunda motivación es aun más poderosa. Los f́ısicos que desarrollaron el

    formalismo cuántico lo hicieron fuertemente influidos por las herramientas y conceptos que se hab́ıan

    demostrado más flexibles y poderosos en el tratamiento clásico. Una buena comprensión de la

    F́ısica Clásica facilita entender la estructura y el significado de los conceptos cuánticos. Hemos de

    lamentar profundamente que en la educación de las nuevas generaciones de qúımicos españoles se

    haya renunciado a impartir estos conocimientos, como se ha renunciado a tantas otras herramientas

    básicas de las que nuestros alumnos se demuestran, d́ıa tras d́ıa, huérfanos.

    c© V. Luaña 2003-2009 (21)

  • LClas: Mecánica Clásica Introducción

    Isaac Newton (1643–1727)

    Joseph Louis Lagrange

    (1736–1813) William Rowan Hamilton

    (1805–1865)

    c© V. Luaña 2003-2009 (22)

  • LClas: Mecánica Clásica Introducción

    Galileo Galilei

    (1564–1642) Leonhard Euler

    (1707–1783)

    Carl Gustav Jacob

    Jacobi (1804–1851) Amelie Emmy Noether

    (1882–1935)

    c© V. Luaña 2003-2009 (23)

  • LClas: Mecánica Clásica Ley de gravitación universal

    Ley de gravitación universal (1687) Dos part́ıculas de masa m1 y m2 situadas en la posición ~r1 y ~r2, respectivamente, se atraen mútuamente con una fuerza que es proporcional al

    producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa:

    ~f12 = G m1m2

    r212 ~u12, ~u12 =

    ~r2 − ~r1 |~r2 − ~r1|

    , (1)

    donde ~u12 es el vector unitario en la dirección que une ambas part́ıculas.

    • Constante de gravitación universal: G = 6,674 28 · 10−11 Nm2kg−2.

    • Si M es la masa de la Tierra (5,973 6 · 1024 kg), R el radio promedio de la superficie terrestre (6,371 01 · 106 m), entonces g = GM/R = 9,806 65ms−2, y un objeto de masa m situado en la superficie terrestre se ve atraido hacia el centro del planeta con una fuerza: ~f = m~g.

    • Debido a que la Tierra no es una esfera, g muestra una variación significativa con la latitud φ (−π/2 radianes en el Polo Sur y +π/2 en el Polo Norte). También disminuye al aumentar la altura, h (m) medida sobre el nivel medio de la superficie marina. Ambos efectos se recogen

    en ecuaciones como

    g(φ, h) = 9,780 327 ` 1 + 5,302 4 · 10−3 sin2 φ− 5,8 · 10−6 sin2 2φ

    ´ − 3,086 · 10−6h (2)

    donde g viene dada en m/s2. Con un grado mayor de detalle, la medición local de g sirve

    para determinar las variaciones regionales de masa en la corteza terrestre. Se han llegado a

    desarrollar satélites especializados en estas mediciones.

    c© V. Luaña 2003-2009 (24)

  • LClas: Mecánica Clásica Formulación Newtoniana

    Las leyes de Newton (1687)

    Primera ley (inercia): Si ninguna fuerza neta actúa sobre una part́ıcula es posible

    seleccionar un conjunto de sistemas de referencia, llamados inerciales, tales que

    observada la part́ıcula desde los mismos su movimiento se produce sin cambio de

    velocidad. Esta ley se suele enunciar en forma simplificada como Un cuerpo se mueve

    con velocidad constante hasta que una fuerza externa actúa sobre el mismo.

    Segunda ley (ecuación de movimiento): Observado desde un sistema de referencia

    inercial, el ritmo del cambio que sufre el momento lineal de una part́ıcula equivale a

    la fuerza neta que actúa sobre la misma: ~f = d~p/dt = ~̇p. El momento lineal es el

    producto de la masa por la velocidad de la part́ıcula: ~p = m~v.

    Tercera ley (acción y reacción): Siempre que una part́ıcula A ejerce una fuerza sobre otra

    part́ıcula B, B ejerce simultáneamente una fuerza sobre A que es igual en magnitud y

    dirección pero de sentido opuesto: ~fAB = −~fBA.

    c© V. Luaña 2003-2009 (25)

  • LClas: Mecánica Clásica Formulación Newtoniana

    Ejemplo: Tiro parabólico

    Posición inicial: ~r0 = ~0.

    Velocidad inicial: ~v0 = ~uxv0 cos α + ~uyv0 sin α.

    Fuerza gravitatoria: ~f = −~uymg.

    Rozamiento: Nulo

    La integración de las ecuaciones de movimiento es muy simple, dado que la fuerza que actúa sobre

    la part́ıcula es constante.

    Ecuaciones de movimiento: ~̈r = ~f/m ⇒ ẍ = 0; ÿ = −g.

    Primera integración: ~̇r = ~̇r0 + t ~f/m ⇒ ẋ = v0 cos α; ẏ = v0 sen α− gt.

    Segunda integración: ~r = ~r0 + t~̇r0 + 1 2 t2 ~f/m ⇒ x = v0t cos α; y = v0t sen α− 12gt

    2.

    Tiempo de vuelo: y(tv) = 0 ⇒ tv = 2v0g sen α.

    Alcance del proyectil: ∆x = x(tv) = v0tv cos α = 2v20 g

    sen α cos α.

    El alcance del proyectil es máximo para α = 45 ◦: ∆x = v20/g.

    El problema se complica sustancialmente en presencia de fuerzas de rozamiento, ~f = −k~v (condiciones de flujo laminar del aire), o si existe viento que afecte al movimiento del proyectil. Sin

    embargo, podemos incluir estas y otras fuerzas fácilmente si integramos numéricamente.

    c© V. Luaña 2003-2009 (26)

  • LClas: Mecánica Clásica Formulación Newtoniana

    Ejemplo: Tiro baĺıstico

    Integraremos las ecuaciones de movimiento usando la rutina lsode de octave. Para ello debemos

    convertir las ecuaciones de Newton en un sistema de ecuaciones diferenciales lineales acopladas.

    Supongamos que las fuerzas que actúan son la gravedad y una fuerza de rozamiento lineal.

    Ecuaciones de Newton: ~̈r = ~f/m = −g~uy − km~v.

    Sistema lineal acoplado: ~̇r = ~v; ~̇v = −g~uy − km~v.

    Variables del problema: ~ξ = (x, y, ẋ, ẏ), con ~ξ0 = (0, 0, v0 cos α, v0 sen α).

    Ecuaciones de movimiento: ~̇ξ = (ξ3, ξ4,− km ξ3,−g − k m

    ξ4).

    1 function xidot = mov(xi ,t) 2 global k g m 3 xidot (1) = xi(3); 4 xidot (2) = xi(4); 5 xidot (3) = -(k/m)*xi(3); 6 xidot (4) = -g-(k/m)*xi(4); 7 endfunction

    1 global k=0.1 g=9.80665 m=1 2 v0 = 150; alfa = pi/4; 3 xi0 = [0, 0, v0*cos(alfa), v0*sin(alfa )]; 4 tvuelo = 2*v0*sin(alfa)/g; 5 t = linspace(0, tvuelo , 501); 6 xi = lsode(’mov’, xi0 , t); 7 plot (xi(:,1), xi(: ,2));

    La fuerza de rozamiento produce una trayectoria claramente asimétrica, que no llega a la altura ni

    el alcance del tiro parabólico.

    c© V. Luaña 2003-2009 (27)

  • LClas: Mecánica Clásica Formulación Newtoniana

    -100

    0

    100

    200

    300

    400

    500

    600

    0 500 1000 1500 2000 2500

    y (m

    )

    x (m)

    k=0.00 k=0.02 k=0.04 k=0.06 k=0.08 k=0.10

    c© V. Luaña 2003-2009 (28)

  • LClas: Mecánica Clásica Formulación Newtoniana

    Momento angular y momento de las fuerzas:

    Momento angular: ~L = ~r × ~p.

    Momento de las fuerzas: ~N = ~r × ~F . Llamado también torsión o torque.

    Derivando ~L obtenemos: ~̇L =��� �~v ×m~v + ~r × ~̇p = ~r × ~F y

    ~̇L = ~N. (3)

    Leyes de Conservación

    Del momento lineal: En ausencia de fuerzas externas (~F = ~0) el momento lineal total del

    sistema, ~p, es constante.

    Del momento angular: Si el momento total de las fuerzas es nulo ( ~N = ~0) el momento

    angular total del sistema, ~L, es constante.

    De la enerǵıa: En sistemas conservativos las fuerzas provienen de un único potencial, que

    es además independiente de las velocidades de las part́ıculas: V (~r1, · · ·~rN ). En tales sistemas las fuerzas son ~Fi = −~∇iV y la enerǵıa total, H = T + V , suma de las enerǵıas cinética (T ) y potencial (V ) permanece constante.

    c© V. Luaña 2003-2009 (29)

  • LClas: Mecánica Clásica Limitaciones de la Mecánica Clásica

    Limitaciones de la Mecánica Clásica

    La Mecánica Clásica es un caso ĺımite tanto de la Relatividad Especial como de la F́ısica Cuántica:

    • El momento lineal relativista de una part́ıcula es ~p = m0~v/ p

    1− (v/c)2 y sólo cuando v � c se obtiene la aproximación clásica ~p = m0~v, donde m0 es la masa en reposo de la part́ıcula.

    • Según la f́ısica cuántica, una part́ıcula tiene una naturaleza dual, de onda y corpúsculo simultáneamente, y sólo cuando la longitud de onda de de Broglie, λ = h/p, es mucho menor

    que las dimensiones caracteŕısticas del problema, las propiedades ondulatorias son despreciables

    y la respuesta clásica es correcta.

    Dentro de sus limitaciones, la Mecánica Clásica sigue siendo tan vigente como en el momento de su

    formulación inicial en el siglo XVII.

    Diferentes formulaciones de

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