40
______________________ ~C~A~~ __ ~~~ En su estructura, los tipos más comunes de motores de inducción monofásicos se parecen a los motores de jaula de ardilla polifásicos salvo por el arreglo de los devanados del estator. En la figura 9.1 se representa de manera esquemática un motor de inducción con rotor de jaula de ar- dilla y devanado de estator monofásico. En lugar de ser una bobina concentrada, el devanado del estator está repartido en ranuras que producen una distribución espacial aproximadamente senoidal de la fuerza magnetomotriz. Como se vio en la sección 4.5.1, un devanado monofásico produce ondas de fuerza magnetomotriz rotatorias directas e inversas. Por simetría, está claro que en esencia un motor de este tipo no producirá par de arranque en reposo, sino que produ- cirá un par igual en ambas direcciones. Sin embargo, se demostrará que es arrancado por un medio auxiliar, el resultado será un par neto en la dirección en la cual fue arrancado, y por con- siguiente el motor continuará funcionando. Motores monofásicos y bifásicos E stecapítulo analiza los motores monofásicos. Aun cuando se enfoca en los motores de inducción, también se analizan los motores síncronos, de reluctancia, de histéresis y de inducción de polo sombreado. Observe que en la sección 7.10 se estudia otro motor monofásico común, el motor universal en serie. La mayoría de los motores de inducción de ca- pacidad fraccionaria en kilowatts (caballaje fraccionario) son motores monofásicos. En aplica- ciones residenciales y comerciales se utilizan en una amplia variedad de equipo, que incluye refrigeradores, acondicionadores de aire, bombas térmicas, ventiladores, bombas, lavadoras y secadoras. En este capítulo se describirán estos motores de manera cualitativa, en función de la teoría del campo rotatorio y se iniciará con un riguroso análisis de un motor monofásico que funciona con un solo devanando. Sin embargo, la mayoría de los motores de inducción monofásicos en realidad son bifásicos con devanados asimétricos; los dos devanados por lo general son bastan- te diferentes, con distintos números de vueltas o distribuciones de devanado. Por lo tanto, este capítulo también analiza motores bifásicos e incluye el desarrollo de una teoría cuantitativa para el análisis de motores monofásicos cuando funcionan tanto con devanados principales como con auxiliares. 9.1 MOTORES DE INDUCCiÓN MONOFÁSICOS: EVALUACiÓN CUALITATIVA 451

Capitulo 9 motores monofasicos y bifasicos

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______________________ ~C~A~~ __ ~~~

En su estructura, los tipos más comunes de motores de inducción monofásicos se parecen a losmotores de jaula de ardilla polifásicos salvo por el arreglo de los devanados del estator. En lafigura 9.1 se representa de manera esquemática un motor de inducción con rotor de jaula de ar-dilla y devanado de estator monofásico. En lugar de ser una bobina concentrada, el devanadodel estator está repartido en ranuras que producen una distribución espacial aproximadamentesenoidal de la fuerza magnetomotriz. Como se vio en la sección 4.5.1, un devanado monofásicoproduce ondas de fuerza magnetomotriz rotatorias directas e inversas. Por simetría, está claroque en esencia un motor de este tipo no producirá par de arranque en reposo, sino que produ-cirá un par igual en ambas direcciones. Sin embargo, se demostrará que es arrancado por unmedio auxiliar, el resultado será un par neto en la dirección en la cual fue arrancado, y por con-siguiente el motor continuará funcionando.

Motores monofásicosy bifásicos

Estecapítulo analiza los motores monofásicos. Aun cuando se enfoca en los motores deinducción, también se analizan los motores síncronos, de reluctancia, de histéresis yde inducción de polo sombreado. Observe que en la sección 7.10 se estudia otro motor

monofásico común, el motor universal en serie. La mayoría de los motores de inducción de ca-pacidad fraccionaria en kilowatts (caballaje fraccionario) son motores monofásicos. En aplica-ciones residenciales y comerciales se utilizan en una amplia variedad de equipo, que incluyerefrigeradores, acondicionadores de aire, bombas térmicas, ventiladores, bombas, lavadoras ysecadoras.

En este capítulo se describirán estos motores de manera cualitativa, en función de la teoríadel campo rotatorio y se iniciará con un riguroso análisis de un motor monofásico que funcionacon un solo devanando. Sin embargo, la mayoría de los motores de inducción monofásicos enrealidad son bifásicos con devanados asimétricos; los dos devanados por lo general son bastan-te diferentes, con distintos números de vueltas o distribuciones de devanado. Por lo tanto, estecapítulo también analiza motores bifásicos e incluye el desarrollo de una teoría cuantitativapara el análisis de motores monofásicos cuando funcionan tanto con devanados principalescomo con auxiliares.

9.1 MOTORES DE INDUCCiÓN MONOFÁSICOS:EVALUACiÓN CUALITATIVA

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452

Figura 9.1Vista esquemática deun motor de inducciónmonofásico.

CAPíTULO 9 Motores monofásicos y bifásicos

¡-+

Antes de considerar los métodos de arranque auxiliares, se analizarán las propiedades bá-sicas del motor esquemático de la figura 9.1. Si la corriente del estator es una función cosenoidaldel tiempo, la fuerza magnetomotriz resultante en el entrehierro está dada por la ecuación 4.18

(9.1)

la cual, como se demostró en la sección 4.5.1, se escribe como la suma de ondas de fuerzamagnetomotriz positivas y negativas de igual magnitud. La onda positiva está dada por

(9.2)

y la negativa por

(9.3)

Cada uno de estos componentes de ondas de fuerza magnetomotriz produce una acción demotor de inducción, pero los pares correspondientes son de direcciones opuestas. Con el rotaren reposo, las ondas directas e inversas a través del entrehierro creadas por las fuerzas magne-tomotrices combinadas de las corrientes del estator y del rotar son iguales, los pares compo-nentes también son iguales, y no se produce par de arranque. Si las ondas de flujo directas e in-versas a través del entrehierro tuvieran que permanecer iguales cuando gira el rotar, cada unode los campos componentes produciría características par-velocidad similares a las de un mo-tor polifásico con impedancia de dispersión del estator insignificante, como se ilustra con lascurvas punteadasfy b en la figura 9.2a. La característica par-velocidad resultante, la cual es lasuma algebraica de las dos curvas componentes, muestra que si el motor fuera arrancado pormedios auxiliares, produciría par en la dirección en que fue arrancado.

La suposición de que las ondas de flujo a través del entrehierro permanecen iguales cuan-do el rotar está en movimiento es una simplificación bastante drástica del estado real de las co-sas. En primer lugar, los efectos de la impedancia de dispersión del estator son ignorados. Ensegundo lugar, los efectos de las corrientes del rotar inducidas no son tomados en cuenta demanera apropiada. Estos dos efectos finalmente serán incluidos en la teoría cuantitativa que sedetalla de la sección 9.3. La siguiente explicación cualitativa demuestra que el desempeño de

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Figura 9.2Característica par-velo-cidad de un motor deinducción monofásicoa) con base en las on-das de flujo directa einversa constantes,b) tomando en cuentacambios de las ondasde flujo.

9.1 Motores de inducción monofásicos: evaluación cualitativa 453

(Inverso) ----100

\ -\ _-C"'--- 'b100

Porcentaje de velocidadsíncrona (directa)

O'e">5

a)

(Inverso)

Porcentaje develocidad síncrona

/,,-,f / \~ \/ \/ \I \I I/ ,/ ,

// ,••/' (Directo)

50-100 --------100-50

-,,""'"/

//IIII-bIII

\ /'''''

O'e">5

b)

un motor de inducción monofásico es considerablemente mejor de lo que se pronosticaría conbase en las ondas de flujo directas e inversas iguales.

Cuando un rotor está en movimiento, los componentes de corrientes del rotor inducidaspor el campo directo son más grandes que en reposo, y su factor de potencia es más bajo. Sufuerza magnetomotriz, la que se opone a la corriente del estator, reduce la onda de flujo inver-sa. Al contrario, el efecto magnético de los componentes de corrientes inducidas por el campodirecto es menor que en reposo porque las corrientes del rotor son menores y su factor de po-tencia es más alto. Por consiguiente, conforme se incrementa la velocidad, la onda de flujo di-recta aumenta mientras que la onda de flujo inversa disminuye. La suma de estas ondas de

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454 CAPíTULO 9 Motores monofásicos y bifásicos

flujo debe permanecer constante, puesto que debe inducir la fuerza contraelectromotriz en elestator, la cual se aproxima constante si la caída de voltaje de la impedancia de dispersión enel estator es pequeña.

Por consiguiente, con el rotor en movimiento, el par del campo directo es mayor y el cam-po de retroceso es menor que en la figura 9.2a, la situación real es similar a la que se muestraen la figura 9.2b. En la región de funcionamiento normal con poco porcentaje de deslizamien-to, el campo directo es varias veces mayor que el campo de retroceso, y la onda de flujo no di-fiere mucho del campo giratorio de amplitud constante en el entrehierro de un motor polifásicobalanceado. En la región de funcionamiento normal, por consiguiente, la característica par-ve-locidad de un motor monofásico no es demasiado inferior en comparación con la de un motorpolifásico que tiene el mismo rotor y funciona con la misma densidad de flujo máxima a travésdel entrehierro.

Además de los pares mostrados en la figura 9.2, se producen pulsaciones de par al doblede la frecuencia de estator por las interacciones del flujo rotatorio opuesto y las ondas de fuer-za magnetomotriz que van una después de otra a dos veces la velocidad síncrona. Estas inte-racciones no producen par promedio, pero hacen que el motor sea más ruidoso que un motorpolifásico. Tales pulsaciones del par son inevitables en un motor monofásico debido a las pul-saciones de entrada de potencia instantánea que son inherentes en un motor monofásico. Losefectos del par pulsante se reducen al mínimo con un montaje elástico para el motor. El par alque se hace referencia en las curvas par-velocidad de un motor monofásico es el tiempo prome-dio del par instantáneo.

Los motores dejase dividida tienen dos devanados de estator, un devanado principal (tambiénconocido como devanado de funcionamiento), al cual se hará referencia con el subíndice "prin-

9.2 DESEMPEÑO EN EL ARRANQUEY OPERACiÓN NORMAL DE MOTORESDE INDUCCiÓN MONOFÁSICOSYSíNCRONOS

Los motores de inducción monofásicos se clasifican de acuerdo con sus métodos de arranquey por lo general se designan con nombres descriptivos de estos métodos. La selección del mo-tor apropiado se basa en los requerimientos de par de arranque y funcionamiento de la carga, elciclo de trabajo de la carga y las limitaciones en la corriente de arranque y funcionamiento dela línea de suministro del motor. El costo de los motores monofásicos se incrementa con sucapacidad y con sus características de diseño tales como la relación par de arranque a corrien-te. Por lo general, para reducir al mínimo el costo, un ingeniero seleccionará el motor con la ca-pacidad y desempeño más bajos que puedan satisfacer las especificaciones de la aplicación. Encaso de que se tenga que usar un gran número de motores para un propósito específico, es po-sible diseñar un motor especial que garantice el menor costo. En el negocio de motores de frac-ciones de kilowatt, las pequeñas diferencias en el costo son importantes.

En esta sección se consideran cualitativamente los métodos de arranque y las característi-cas par-velocidad resultantes. En la sección 9.4.2 se desarrolla una teoría cuantitativa para elanálisis de estos motores.

9.2.1 Motores de fase dividida

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Figura 9.3Motor de fase dividida:a) conexiones, b) dia-grama fasorial duranteel arranque, y e) par-velocidad típica.

9.2 Desempeño en el arranque y operación normal de motores de inducción monofásicos 455

400I II I

Devanados ./ ¡--...,1--

principal ; V "A.1--iYalUJd~

" 1 \S6lo devanado -.0...-' -' ~IB l"O 1 <;i-

rrincip~-, -' 'g 1]

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""""'------v

300~Q.

'""O

'" 200o§'e§o 100e,

Devanadoauxiliar

20 10040 60 80Porcentaje de velocidad síncrona

a) b) e)

cipal", y un devanado auxiliar (también conocido como devanando de arranque) al cual sehará referencia con el subíndice "aux". Como en un motor bifásico, los ejes de estos devanadosestán desplazados 90 grados eléctricos en el espacio, y están conectados como se muestra en lafigura 9.3a. El devanado auxiliar tiene una relación resistencia a reactancia más alta que eldevanado principal, con el resultado de que las dos corrientes estarán desfasadas, como seindica en el diagrama fasorial de la figura 9.3b, el cual es represen~ativo de las condiciones enel momento de arranque. Como la corriente del devanado auxiliar Iaux va delante de la corrien-te del devanado principal 4rincipaJ, el campo del estator alcanza primero un máximo a lo largodel eje del devanado auxiliar y un poco después alcanza un máximo a lo largo del eje deldevanado principal.

Las corrientes de los devanados equivalen a corrientes bifásicas desbalanceadas, y el mo-tor equivale a un motor bifásico des balanceado. El resultado es un campo de estator rotatorioque hace que el motor arranque. Una vez que el motor arranca, se desconecta el devanado au-xiliar, por lo general por medio de un interruptor centrífugo que funciona a cerca de 75% de lavelocidad síncrona. La manera simple de obtener la alta relación de resistencia a reactancia deldevanado auxiliar es devanarlo con alambre de menor diámetro que el devanado principal, unprocedimiento permisible porque este devanado funciona sólo durante el arranque. Su reactanciase puede reducir un poco si se coloca en la parte superior de las ranuras. En la figura 9.3c semuestra una característica par-velocidad típica de un motor de ese tipo.

Los motores de fase dividida tienen un par de arranque moderado con baja corriente dearranque. Algunas aplicaciones típicas incluyen ventiladores, sopladores, bombas centrífugasy equipo de oficina. Las capacidades típicas son de 50 a 500 watts; en este rango se encuentranlos motores de más bajo costo.

9.2.2 Motores tipo capacitor

Es posible utilizar capacitores para mejorar el desempeño de arranque de los motores, el desem-peño de funcionamiento, o ambos, según el tamaño y conexión del capacitor. El motor arran-cado por capacitor también es un motor de fase dividida, pero el desplazamiento en tiempo defase entre las dos corrientes se obtiene por medio de un capacitor en serie con el devanado au-xiliar, como se muestra en la figura 9.4a. De nuevo el devanado auxiliar se desconecta despuésde que el motor ha arrancado, por consiguiente, el devanado auxiliar y el capacitor pueden serdiseñados a un costo mínimo para servicio intermitente.

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456 CAPíTULO 9 Motores monofásicos y bifásicos

400•...eaC. 300ot.: "O.,, 0g

200, e, .,V ~oQ..

100¡

IV 1-11 f r--...

[Devanados' t-- f-- principal I \- f-- y auxiliar1 .-1 "\

I .r 1 .».Sólo devanado- 7 ]I~ \\

"O~C _ Hrrincip1. ...... 'g 1:5J....f' I -),1"- r-

~I§

Figura 9.4Motor de arranque concapacitor: a) conexio-nes, b) diagrama faso-rial durante el arran-que, y c) característicapar-velocidad típica,

10020 40 60 80Devanadoauxiliar

¡prinCipal Porcentaje de velocidad síncrona

a) e)b)

Con el uso de un capacitor de arranque de valor apropiado, se puede hacer que la corrien-te del devanado auxiliar ¡aux adelante a la corriente del devanado princi pal ¡prinCiPal en 90 gradoseléctricos, como en un motor bifásico balanceado (véase la figura 9.4b). En la práctica, elmejor compromiso entre par de arranque, corriente de arranque y costo por lo general se obtie-ne con un ángulo de fase algo menor que 90°. En la figura 9.4c se muestra una característicapar-velocidad típica, donde el alto par de arranque es una característica sobresaliente. Estosmotores se utilizan en compresores, bombas, equipo de refrigeración y aire acondicionado, asícomo en otras cargas difíciles de arrancar. En la figura 9.5 se observa un corte de un motor dearranque por capacitor.

En el motor de arranque por capacitor de imán permanente de fase partida, el capacitory el devanado auxiliar no se interrumpen después del arranque; la construcción se simplificacon la omisión del interruptor, y el factor de potencia, la eficiencia y las pulsaciones del parmejoran. Por ejemplo, se podría diseñar el capacitor y el devanado auxiliar para un funcionamien-to bifásico perfecto (es decir, sin onda de flujo de retroceso) con cualquier carga deseada. Laspérdidas provocadas por el campo de retroceso en este punto de funcionamiento serían elimi-nadas con una mejora de la eficiencia resultante. Las pulsaciones del par al doble de la frecuen-cia del estator también serían eliminadas con el capacitor, el cual sirve como depósito de almace-namiento de energía para suavizar las pulsaciones de entrada de potencia proveniente de lalínea monofásica, lo que produciría un funcionamiento más silencioso. El par de arranque debeser sacrificado porque la selección de la capacitancia necesariamente es un compromiso entrelos mejores valores de arranque y funcionamiento. En la figura 9.6 se muestran la característi-ca par-velocidad resultante y un diagrama esquemático.

Si se utilizan dos capacitores, uno para arranque y otro para funcionamiento, en teoría sepuede obtener un desempeño de arranque y funcionamiento óptimo. En la figura 9.7a se mues-tra una forma de obtener este resultado. El pequeño valor de capacitancia requerido para condi-ciones de funcionamiento óptimas se conecta permanente en serie con el devanado auxiliar, yel valor mucho más grande requerido para el arranque se obtiene con un capacitor conectadoen paralelo con el capacitor de funcionamiento mediante un interruptor que se abre cuando elmotor incrementa su velocidad. Este tipo de motor se conoce como motor de arranque y ope-ración nominal por capacitor.

El capacitor para un motor de arranque por capacitor tiene un valor típico de 300 ¡.lF para unmotor de 500 W. Puesto que debe transportar corriente sólo durante el tiempo de arranque, el ea-pacitor es de tipo electrolítico especial de ea compacto hecho para servicio de arranque de mo-

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Figura 9.5Corte de un motor deinducción con capa-citar de arranque. Elinterruptor de arranqueestá a la derecha delrotar. El motor es deconstrucción a pruebade goteo. (GeneralElectric Company.)

Figura 9.6Motor de arranque porcapacitar de imánpermanente de fasepartida y característicapar-velocidad típica.

Figura 9.7Motor de arranque yoperación nominal porcapacitar y caracterís-tica par-velocidadtípica.

9.2 Desempeño en el arranque y operación normal de motores de inducción monofásicos 457

~ 200O)-oO).CO'E 100~e

./-<,/' \

/"" \~ V \

Devanadoauxiliar

20 10040 60 80Porcentaje de velocidad síncrona

a) b)

300~o-O)

~ 200~~~~+-~~~~-+-r~rl-~oS'"O)~~

100~+----t----t"""f--+--+--

Devanadoauxiliar 60 80 jOO20 40

Porcentaje de velocidad síncrona

a) b)

tores. El capacitar para el mismo motor conectado de manera permanente tiene una capacidadtípica de 40 ¡.iF, Ycomo funciona de forma continua, el capacitar es tipo de papel, hoja metálicao aceite de ca. El costo de los diversos tipos de motores está relacionado con el desempeño. Elmotor de arranque por capacitar es el más barato, le sigue el motor de capacitar dividido perma-nente y, por último, el motor de arranque y funcionamiento por capacitar es el más costoso.

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Zaux= 9.5 + j3.5 Q

devanado principal

devanado auxiliar

458 CAPíTULO 9 Motores monofásicos y bifásicos

~~-------------------------------------Un motor de arranque por capacitor de 2.5 kW, 120 V Y60 Hz tiene las siguientes impedancias para losdevanados principal y auxiliar (al arrancar):

Zprincipal = 4.5 + j3.7 Q

Encuentre el valor de la capacitancia de arranque que colocará las corrientes del devanado principaly auxiliar en cuadratura en el tiempo durante el arranque .

• Solución

Las corrientes iprincipal e i.: se muestran en las figuras 9.4a y b. El ángulo de impedancia del devanadoprincipal es

_1 (3.7) °ti> principal = tan - = 39.64.5

Para producir corrientes en cuadratura de tiempo con el devanado principal, el ángulo de impedancia delcircuito del devanado auxiliar (incluido el capacitor de arranque) debe ser

ti> = 39.6° - 90.0° = -50.4°

La impedancia combinada del devanado auxiliar y el capacitor de arranque es igual a

Z,otaI= Zaux+ jXc = 9.5 + j(3.5 + Xc) Q

donde X¿ = - ~ es la reactancia del capacitor y Q) = 2n60 '" 377 radlseg. Por lo tanto

tan:" (3.5 + Xc) = -50.409.5

3.5 + Xc--- = tan (-50.4°) = -1.219.5

y por consiguiente

X¿ = -1.21 x 9.5 - 3.5 = -15.0 Q

La capacitancia e es entonces

-1 -1e = - = = 177 Jj-FwXc 377 x (-15.0)

~~--------------------------------Considere el motor del ejemplo 9.1. Encuentre el ángulo de fase entre las corrientes de los devanadosprincipal y auxiliar si el capacitor de 177 ¡iF es reemplazado por un capacitor de 200 ¡iF.

Solución

85.2°

Page 9: Capitulo 9    motores monofasicos y bifasicos

9.2 Desempeño en el arranque y operación normal de motores de inducción monofásicos 459

9.2.3 Motores de inducción de polos sombreados

Como se ilustra en la figura 9.8a, el motor de inducción de poLos sombreados tiene polos sa-lientes con una parte de cada polo rodeada por una espira en cortocircuito de cobre llamadabobina de poLos sombreados. Las corrientes inducidas en la bobina de sombreado hacen que elflujo en la parte sombreada del polo se retrase con respecto al flujo de la otra parte. El resultadoes similar a un campo rotatorio que se mueve en la dirección de la parte no sombreada a la par-te sombreada del polo; se inducen corrientes en el rotor de jaula de ardilla y se produce un bajopar de arranque. En la figura 9.8b se muestra una característica par-velocidad típica. Su eficien-cia es baja, pero los motores de polo sombreado son el tipo más barato de motor de kilowattssubfraccionario. Los hay en capacidades de hasta 50 watts.

9.2.4 Motores de reluctancia síncronos o con arranque propio

Figura 9.8Motor de inducción depolos sombreados oblindados y caracte-rística par-velocidadtípica.

Todos los tipos de motor de inducción descritos con anterioridad pueden ser convertidos en unmotor de reLuctancia síncrono de autoarranque. Cualquier cosa que haga que la reluctanciadel entrehierro sea una función de la posición angular del rotor con respecto al eje de la bobinadel estator producirá par de reluctancia cuando el rotor gira a velocidad síncrona. Por ejemplo,suponga que se eliminan algunos dientes de un rotor de jaula de ardilla, y se dejan las barras yanillos intactos, como en un motor de inducción de jaula de ardilla común. La figura 9.9amuestra una laminación de un motor cuando es diseñado para usarse con un estator de cuatropolos. El estator puede ser polifásico o cualquiera de los tipos monofásicos antes descritos.

El motor arrancará como motor de inducción y con cargas livianas alcanzará velocidadcon un pequeño valor de deslizamiento. El par de reluctancia surge de la tendencia del rotor detratar de alinearse en la posición de reluctancia mínima con respecto a la onda de flujo directoen el entrehierro que gira de manera síncrona, de acuerdo con los principios planteados en elcapítulo 3. Con un deslizamiento pequeño, este par alterna o cambia lentamente de dirección;así el rotor es acelerado durante un medio ciclo positivo de la variación del par y se desaceleradurante el subsiguiente medio ciclo negativo. Si el momento de inercia del rotor y su cargamecánica son suficientemente pequeños, el rotor acelerará con una velocidad de deslizamientohasta una velocidad síncrona durante un medio ciclo de aceleración del par de reluctancia.Entonces, el rotor se sincroniza y continúa funcionando a velocidad síncrona. La presencia decualquier onda de flujo a través del estator que gira en retroceso producirá variación del par y

¡- Rotor de jaula de ardilla

+

Porcentaje de velocidad síncrona

•.. 200'"o...,'O., 100.§'e.,~ O& O

Devanadoprincipal

....•.••.....~..,- 40 80 1006020

a) b)

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460

Figura 9.9Rotor punzonado deun motor de reluctan-cia síncrona de cuatropolos y característicapar-velocidad típica.

/ 1\f-- I I 1\

Devanados \principal y ./ 'r- ..••..f--

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CAPíTULO 9 Motores monofásicos y bifásicos

600

500

400¡;o,

O "."," 300'(?C"8o 200o-

100

a)

oO 20 40 60 80 100

Porcentaje de velocidad síncrona

b)

pérdidas adicionales, pero el funcionamiento síncrono se mantendrá siempre que el par de car-ga no sea excesivo.

En la figura 9.9b se muestra una característica par-velocidad típica de un motor de reluc-tancia síncrono de arranque con fase dividida. Observe los altos valores del par. La razón deesto es que para obtener características de motor síncrono satisfactorias, es necesario construirmotores de reluctancia síncronos en bastidores que serían adecuados para motores de induc-ción de dos o tres veces la capacidad del motor síncrono. Obsérvese también que el efecto prin-cipal del rotar de polo saliente en la característica del motor de inducción se representa cuandoestá en reposo, donde es evidente una considerable "intermitencia"; es decir, el par varía conside-rablemente con la posición del rotor.

9.2.5 Motores de histéresis

El fenómeno de histéresis puede ser utilizado para producir par mecánico. En su forma más sim-ple, el rotar de un motor de histéresis es un cilindro liso de acero magnéticamente duro, sin de-vanados o dientes. Se coloca adentro de un estator acanalado que porta devanados distribuidosque son diseñados para que produzcan una distribución de flujo espacial casi senoidal, puesto quelas ondulaciones de la onda de flujo incrementan en gran medida las pérdidas. En motores mo-nofásicos, los devanados del estator por lo general son del tipo de capacitar dividido permanen-te, como en la figura 9.6. El capacitar se elige para que produzca condiciones bifásicas aproxi-madamente balanceadas en los devanados del motor. El estator produce entonces un campo enel entrehierro principalmente de espacio fundamental que gira a velocidad síncrona.

Las condiciones magnéticas instantáneas en el entrehierro y el rotar se indican en la figura9.10a para un estator de dos polos. El eje SS' de la fuerza magnetomotriz en el estator gira a ve-locidad síncrona. Debido a la histéresis, la magnetización del rotar se retrasa con respecto a laonda inducida de la fuerza magnetomotriz, por lo tanto el eje RR' de la onda de flujo del rotar

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Figura 9.10a) Naturaleza generaldel campo magnéticoen el entrehierro y rotorde un motor de histé-resis; b) característicapar-velocidad ideali-zada.

9.3 Teoría del campo giratorio de motores de inducción monofásicos 461

s

Rotor

o 100Porcentaje de velocidad síncrona

IIR' l

Si

a) b)

se retrasa con respecto al eje de la onda de la fuerza magnetomotriz en el estator, en un ángulode retraso de histéresis 8 (figura 9. lOa). Si el rotar está inmóvil, se produce par de arranqueproporcional al producto de las componentes fundamentales de la fuerza magnetomotriz delestator, del flujo de rotar y del seno del ángulo de par 8. Entonces, el rotor acelera si el par dela carga es menor que el par de-sarrollado del motor.

En tanto el rotar gire a menos de la velocidad síncrona, cada región del rotar se somete aun ciclo de histéresis repetitivo a frecuencia de deslizamiento. Mientras el rotar acelera, el án-gulo de retraso 8 permanece constante si el flujo es constante, como el ángulo 8 depende sim-plemente del lazo de histéresis del material del rotor y es independiente de la velocidad a lacual el lazo es recorrido. El motor desarrolla por consiguiente un par constante justo has-ta la velocidad síncrona, como se muestra en la característica par-velocidad idealizada de lafigura 9 .1Ob. Esta característica es una de las ventajas del motor de histéresis. En contraste conun motor de reluctancia, el cual debe "sincronizar" su carga con una característica par-veloci-dad de motor de inducción, un motor de histéresis sincroniza cualquier carga que pueda acele-rar, no importa cuán grande sea la inercia. Después de alcanzar la sincronía, el motor continúafuncionando a velocidad síncrona y ajusta su ángulo de par para desarrollar el par requeridopor la carga.

Por naturaleza, el motor de histéresis es silencioso y produce rotación uniforme de sucarga. Además, el rotar requiere el mismo número de polos que el campo del estator. El motorse presta para funcionamiento síncrono a diversas velocidades cuando el estator está devanadocon varios conjuntos de enrollarnientos y utiliza conexiones que cambian los polos. El motorde histéresis puede acelerar y sincronizar cargas inerciales elevadas porque su par es uniformedesde el reposo hasta velocidad síncrona.

9.3 TEORíA DEL CAMPO GIRATORIODE MOTORES DE INDUCCiÓN MONOFÁSICOS

Como se vio en la sección 9.1, es posible demostrar que la onda de la fuerza magnetomotriz enel estator de un motor de inducción monofásico es equivalente a dos ondas de fuerza magne-

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462 CAPíTULO 9 Motores monofásicos y bifásicos

tomotriz de amplitud constante que giran a velocidad sincrónica en direcciones opuestas. Cadauna de estas componentes de ondas de fuerza magnetomotriz del estator induce sus propiascorrientes componentes en el rotor, y produce acción de motor de inducción como en un motorpolifásico balanceado. Este concepto de doble campo rotatorio no sólo es útil para una visua-lización cualitativa, sino que también puede ser desarrollado en una teoría cuantitativa aplica-ble a una amplia variedad de tipos de motores de inducción. Aquí no se analizará toda la teoríacuantitativa. I Sin embargo, se considerará el más simple, pero importante caso de un motor deinducción monofásico que funciona sólo con su devanado principal.

Considere las condiciones con el motor estacionario y sólo el devanado principal del estatorexcitado. El motor en tal caso equivale a un transformador con su secundario en cortocircuito.El circuito equivalente se muestra en la figura 9.l1a, donde RI. principal YXI. principal son, respec-tivamente, la resistencia y reactancia de dispersión del devanado principal, Xm• principal es lareactancia magnetizadora y R2. principal YX2• principal son los valores en reposo de la resistencia yreactancia de dispersión del motor, referidas al devanado principal de estator mediante el usode la relación de vueltas apropiada. La pérdida en el núcleo, la cual puede ser omitida aql'Í,será tomada en cuenta más adelante como si fuera pérdida rotatoria. El voltaje aplicado es V yla corriente del devanado principal es ¡principal' El voltaje EprinCipal es la fuerza contraelectro-motriz generada en el devanado principal por la onda de flujo pulsante estacionaria a travésdel entrehierro que es producida por la acción combinada de las corrientes del rotor y delestator.

De acuerdo con el concepto de doble revolución de campo o campo giratorio de la sección9.1, la fuerza magnetomotriz del estator puede ser descompuesta en campos rotatorios directose inversos de media amplitud. En reposo, las amplitudes de las ondas de flujo resultantes di-rectas e inversas a través del entrehierro son iguales a la mitad de la amplitud del campo pul-sante. En la figura 9.l1b la parte del circuito equivalente está dividida en dos partes iguales,que representan los efectos de los campos directo e inverso, respectivamente.

Ahora considere las condiciones después de que el motor alcanza velocidad mediantealgún medio auxiliar y funciona sólo con su devanado principal en la dirección del campo di-recto por deslizamiento unitario s. Las corrientes del rotor inducidas por el campo directo sonde frecuencia de deslizamiento sfe, donde fe es la frecuencia eléctrica aplicada al estator. Igualque en cualquier motor con rotor polifásico simétrico o rotor de jaula de ardilla, estas corrien-tes del rotor producen una onda de fuerza magnetomotriz que viaja hacia delante a velocidadde deslizamiento con respecto al rotor y por consiguiente a velocidad síncrona con respecto alestator. La resultante de las ondas directas del estator y fuerza magnetomotriz del rotor creauna onda resultante directa de flujo a través del entrehierro, la cual genera una fuerza contra-electromotriz EprinCipal,f en el devanado principal de estator. El efecto reflejado del rotor vistodesde el estator es como el de un motor polifásico y puede representarse por una impedancia0.5R2• principal/s + jO.5X2• principal en paralelo con jO.5Xm• principal como en la parte del circuitoequivalente de la figura 9.11c marcada "f ".Los factores de 0.5 provienen de la resolución dela fuerza magneto motriz pulsante del estator en componentes directas e inversas.

Ahora considere las condiciones con respecto al campo inverso. El rotor continúa funcio-nando a frecuencia de deslizamiento s con respecto al campo directo, y su velocidad por uni-dad n en la dirección del campo directo es n = 1 - s. La velocidad relativa del rotor con respectoal campo inverso es 1 + n, o su deslizamiento en relación al campo inverso es 1 + n = 2 - s. El

1 Para un tratamiento más extenso de motores monofásicos. véase. por ejemplo. C.B. Veinon, Fractional-and Sub-fractional-Horsepower Electric Motors, McGraw-Hill. Nueva York. 1970.

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Figura 9.11Circuitos equivalentesde un motor de induc-ción monofásico: a) ro-tar bloqueado; b) rotarbloqueado que mues-tra los efectos de loscampos directo e in-verso; e) condicionesde funcionamiento.

9.3 Teoría del campo giratorio de motores de inducción monofásicos 463

RI, principal XI, principal X2

a)

R 1,principal XI, principal 0.5 X2 R 1,principal XI, principal

+

- -1principal E.principal,f

~1+--------' +V

- -1principal Eprincipal,ft0.5 Z¡

_L -+--_----'

0.5 R2-s-

b

b) e)

campo inverso induce entonces corrientes de rotor cuya frecuencia es (2 - s)fe' Con des-lizamientos pequeños, estas corrientes del rotor son casi dos veces la frecuencia del estator.

Con deslizamiento pequeño, el trazo de un osciloscopio de la corriente del rotor mostrarápor consiguiente una componente de alta frecuencia del campo inverso superpuesta sobre unacomponente de baja frecuencia del campo directo. Vista desde el estator, la onda de fuer-za magnetomotriz del rotor de la corriente del rotor, inducida por el campo inverso, viaja avelocidad síncrona pero en la dirección inversa. El circuito equivalente que representa estasreacciones internas desde el punto de vista del estator es como el de un motor polifásico cuyodeslizamiento es 2 - s, que se muestra en la parte del circuito equivalente (figura 9.11c) marca-da "b", Al igual que en el campo directo, los factores de 0.5 se obtienen de la resolución dela fuerza magnetomotriz del estator pulsante en las componentes directa e inversa. El volta-je Eprincipal, b a través de la combinación en paralelo que representa el campo inverso es la fuer-za contraelectromotriz generada en el devanado principal del estator por el campo inversoresultante.

Con el uso del circuito equivalente de la figura 9.llc, la corriente del estator, la entrada depotencia y el factor de potencia pueden ser calculados con cualquier valor supuesto cuando elvoltaje aplicado y las impedancias del motor se conocen. Para simplificar la notación, sea

_ . _ (R2, PrinCiPal.) .Z¡ = Rf + }Xf = S + }X2, principal en paralelo COn} Xm, principal (9.4)

y

. ( R2, PrinCiPal.) .Zb == Rb + }Xb == 2 _ S + }X2, principal en paralelo COn} Xm, principal (9.5)

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464 CAPíTULO 9 Motores monofásicos y bifásicos

La impedancia que representa las reacciones de los campos directo e inverso desde elpunto de vista del devanado del estator principal monofásico es 0.5Zfy 0.5Zb, respectivamente,en la figura 9.11c.

Un examen del circuito equivalente (figura 9.11c) confirma la conclusión, a la que se llegócon el razonamiento de la sección 9.1 (figura 9 .2b), de que la onda de flujo directa a través delentrehierro se incrementa y la onda inversa disminuye cuando el rotor se pone en movimiento.Cuando el motor funciona con un pequeño deslizamiento, el efecto reflejado de la resistenciadel rotor en el campo directo, 0.5R2, principals es mucho más grande que su valor en reposo, mien-tras que el efecto correspondiente en el campo inverso es, 0.5R2, principalC2 - s), es más pequeño.La impedancia del campo directo es por consiguiente más grande que el valor en reposo, mien-tras que el del campo inverso es más pequeño. La fuerza contraelectromotriz del campo directo

EprinciPal, f es por consiguiente más g~ande que su valor en reposo, mientras que la fuerza con-traelectromotriz del campo inverso Eprincipal, b es más pequeña; es decir, la onda de flujo directaa través del entrehierro se incrementa, mientras que la onda de flujo inversa disminuye.

La potencia y par mecánicos pueden calcularse mediante la aplicación de las relaciones depar y potencia desarrolladas para motores polifásicos en el capítulo 6. Los pares producidospor los campos directo e inverso pueden ser tratados de esta manera. Las interacciones del flu-jo opuestamente rotatorio y las ondas de fuerza magnetomotriz provocan pulsaciones de par ados veces la frecuencia del estator pero no producen par promedio.

Como en la figura 6.25, el par electromagnético Tprincipal,j del campo directo en newtonmetros es igual a 11(Os veces la potencia Pentrehierro, f en watts suministrados por el devanado delestator al campo directo, donde (Os es la velocidad angular síncrona en radianes mecánicos porsegundo; así pues

11principal,j = - Pentrehierro,j

Ws(9.6)

Cuando la impedancia magnetizadora se trata como puramente inductiva, Pentrehierro,j es lapotencia absorbida por la impedancia 0.5Zf; es decir,

Pentrehierro,j = ¡2(0.5Rf) (9.7)

donde Rfes la componente resistiva de la impedancia de campo directo definida en la ecuación9.4.

Asimismo, el par interno Tprincipal, b del campo inverso es

1Tprincipal, b = - Pentrehierro, b

Ws(9.8)

donde P entrehierro, b es la potencia suministrada por el devanado del estator al campo inverso, o

(9.9)

donde Rb es la componente resistiva de la impedancia de campo inversa Zb definida en laecuación 9.5.

El par del campo inverso actúa en la dirección opuesta a la del campo directo, por consi-guiente, el par interno neto Tmec es

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9.3 Teoría del campo giratorio de motores de inducción monofásicos 465

1Tmec = Tprincipal,j - Tprincipal, b = - (Pentrehierro,j - Pentrehierro, b)

úJs(9.10)

Como las corrientes del rotor producidas por los dos campos componentes a través delentrehierro son de diferentes frecuencias, la pérdida /2R del rotor es la suma numérica de laspérdidas provocadas por cada campo. En general, como se demuestra mediante la compara-ción de las ecuaciones 6.17 y 6.19, la pérdida /2R del rotor provocada por un campo rotatorioes igual al deslizamiento del campo por la potencia absorbida del estator. Por 10 tanto

Rotor de campo /2 R = S Pentrehierro,j (9.11 )

Rotor de campo inverso /2 R = (2 - s) Pentrehierro, b (9.12)

Total en rotor /2 R = S Pentrehierro,j + (2 - s) Pentrehierro, b (9.13)

Como la potencia es par por velocidad angular y la velocidad angular del rotor es (1- s)ws,al utilizar la ecuación 9.10, la potencia interna Pmec convertida en forma mecánica en watts, es

Pmec = (1 - s)úJsTmec = (l - s) (Pentrehierro,j - Pentrehierro,b) (9.14)

Como en el motor polifásico, el par interno Tmec y la potencia interna Pmec no son los valo-res de salida porque las pérdidas rotatorias no son tomadas en cuenta. Resulta obvio que escorrecto restar las pérdidas por fricción y resistencia con el aire de Tmec o Pmec Yen general sesupone que las pérdidas en el núcleo pueden ser tratadas de la misma manera. Con cambios pe-queños de velocidad que se presentan en funcionamiento normal, las pérdidas rotatorias confrecuencia se suponen constantes.i

~--------------------Un motor con capacitar de arranque de ~ hp, 110 V, 60 Hz y cuatro polos tiene los valores de parámetrode circuito equivalente (en Q) y pérdidas:

RI,principal = 2.02 XI, principal = 2.79 R2, principal = 4.12

X2, principal = 2.12 Xm, principal = 66.8

Pérdida en el núcleo = 24 W Pérdida por fricción y rozamiento con el aire = 13 W

Con un deslizamiento de 0.05, determine la corriente del estator, el factor de potencia, la potencia desalida, la velocidad, el par y la eficiencia cuando este motor funciona como motor monofásico a voltaje yfrecuencia nominales con el devanado de arranque abierto .

• Solución

El primer paso es determinar los valores de las impedancias de campo directo e inverso con el valor dedeslizamiento asignado. Las siguientes relaciones, obtenidas con la ecuación 9.4, simplifican los cálcu-los de la impedancia de campo directo Z¡:

2 Para un tratamiento de la determinación experimental de constantes y pérdidas de motor, véase Veinott, op. cit.,capítulo 18.

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X22 = X2,prindpal + x¿ principal yX22

Q2,principal= -R---2. principal

466 CAPíTULO 9 Motores monofásicos y bifásicos

R¡ = (X;',priOCipal) _X22 S Q2,prindpal+ 1/(SQ2,prindpal)

X2 ""paJX "" I RX¡ = 'pnnc. m,pnnc.pa + ¡

X 22 S Q2,principal

donde

La sustitución de los valores numéricos da, para s = 0.05,

Z¡ = R¡+ j X¡ = 31.9 + j40.3 Q

Se obtienen valores correspondientes para la impedancia de campo inversa Zb sustituyendo 2 - s enlugar de s en esta ecuación. Cuando (2 - S)Q2, principal es mayor que 10, como por lo general es el caso,resulta un error de menos de 1% con el uso de las siguientes formas aproximadas:

s, = R2, principal( Xm. PrinCiPal)22 - S X22

X _ X2, principalXm,principal Rbb- +

X22 (2 - S)Q2,priocipal

La sustitución de valores numéricos da, para s = 0.05,

Z; = Rb + jXb = 1.98 + j2.12 Q

La adición de los elementos en serie en el circuito equivalente de la figura 9.11c da

R 1, principal + jX 1, principal = 2.02 + j2. 79

0.5(R¡+ jX¡) = 15.95 + j20,15

0.5(Rb + jXb) = 0.99 + j1.06

Z de entrada total = 18.96 + j24.00 = 30.6 L51.7°

V 110Corriente del estator I = Z = 30.6 = 3.59 A

Factor de potencia = cos (51.7°) = 0.620

Potencia de entrada = Pent = VI x factor de potencia = 110 x 3.59 x 0.620 = 244 W

La potencia absorbida por el campo directo (ecuación 9.7) es

Pentrehierro./ = 12(0.5R¡) = 3.592 x 15.95 = 206 W

La potencia absorbida por el campo directo (ecuación 9.9) es

Pentrehierro,b = 12(0.5Rb) = 3.592 x 0.99 = 12.8 W

La potencia mecánica interna (ecuación 9.14) es

Pmec = (l - S)(Pentrehierro./ - Pentrehierro,b) = 0.95(206 - 13) = 184 W

Suponiendo que la pérdida en el núcleo puede combinarse con las pérdidas por fricción, la pérdidarotatoria llega a ser 24 + 13 = 37.W y la potencia de salida en el eje es la diferencia. Por lo tanto

Peje = 184 - 37 = 147 W = 0.197 hp

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9.3 Teoría del campo giratorio de motores de inducción monofásicos 467

Según la ecuación 4.40, la velocidad síncrona está dada por

W, = (_2_) co, = (~) 120n = 188.5 rad/segpolos 4

o en función de r/min con la ecuación 4.41

(120 ) (120) .n, = -- fe = - 60 = 1800r/rrnn

polos 4

Velocidad del rotor = (1 - s)(velocidad síncrona)

= 0.95 x 1 800 = 1 710 r/min

y

Wm = 0.95 x 188.5 = 179 rad/seg

El par se calcula con el ecuación 9.14,

Peje 147Teje = -- = - = 0.821 N . m

Wm 179

y la eficiencia es

Peje 147r¡= - = - =0.602=60.2%

Pen, 244

Como una comprobación de la potencia, calcule las pérdidas:

¡2RI. principal = (3.59)2(2.02) = 26.0

¡2R de rotor de campo directo (ecuación 9.11) = 0.05 x 206 = 10.3

¡2R de rotor de campo inverso (ecuación 9.12) = 1.95 x 12.8 = 25.0

Pérdidas rotatorias = 37.098.3W

Con Penl - Peje, las pérdidas totales = 97 W lo cual concuerda con la precisión de los cálculos.

------------------Suponga que el motor del ejemplo 9.2 funciona con un deslizamiento de 0.065 a voltaje y frecuencianominales. Determine a) la corriente del estator y el factor de potencia y b) la potencia de salida.

Solución

a) 4.0 A, factor de potencia = 0.70 retrasob) 190W

El examen del orden de magnitud de los valores numéricos del ejemplo 9.2 sugiere aproxi-maciones que por lo general se pueden hacer. Estas aproximaciones atañen en particular a laimpedancia de campo inverso. Observe que la impedancia O.5(Rb + jXb) es sólo 5% de la im-pedancia total del motor con un deslizamiento próximo al de plena carga. Por consiguiente,

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R 2. principal .Zb ~ 2 + JX2. principal (9.16)

468 CAPíTULO 9 Motores monofásicos y bifásicos

una aproximación tan grande como de 20% de esta impedancia provocaría sólo un error de 1%en la corriente del motor. Aunque, en rigor, la impedancia de campo inverso es una función dedeslizamiento, en general resulta un error muy pequeño al calcular su valor con cualquier des-lizamiento conveniente en la región de funcionamiento normal, por ejemplo, 5%, y luego su-poniendo que Rb y Xb son constantes.

Correspondiente a una aproximación un poco más grande, el efecto de derivación dejXm• principal en la impedancia de campo inverso con frecuencia puede ser ignorado, de ahí que

R 2. principal + .XZb ~ 2 J 2. principal

-S(9.15)

Esta ecuación da valores de la resistencia de campo inverso que son un poco más altos en por-centaje, como se observa por comparación con la expresión exacta dada en el ejemplo 9.2. Laomisión de s en la ecuación 9.15 tendería a dar valores de la resistencia del campo inverso queserían demasiado bajos, por lo cual una aproximación como ésa tendería a contrarrestar elerror en la ecuación 9.15. Por consiguiente, con deslizamientos pequeños

En un motor polifásico (sección 6.5), el par máximo interno y el deslizamiento con el cualocurre puede ser expresado con facilidad en función de los parámetros del motor; el par internomáximo es independiente de la resistencia del rotar. No existen expresiones así de simples paraun motor monofásico. El problema monofásico es mucho más complicado debido a la presen-cia del campo inverso, ya que su efecto es doble: 1) absorbe algo del voltaje aplicado, con loque se reduce el voltaje disponible para el campo directo y disminuye el par directo desarrolla-do; y 2) el campo inverso produce par negativo, lo que reduce el par efectivo desarrollado.Ambos efectos dependen de la resistencia del rotar así como también de la reactancia de disper-sión. Por consiguiente, a diferencia del motor polifásico, el par interno máximo de un motormonofásico es influenciado por la resistencia del rotor; así, la resistencia creciente del rotordisminuye el par máximo e incrementa el deslizamiento al cual ocurre el par máximo.

Debido principalmente a los efectos del campo inverso, un motor de inducción monofásicoes un tanto inferior a un motor polifásico que utiliza el mismo rotor y el mismo núcleo de es-tator. El motor monofásico tiene un par máximo más bajo, el cual ocurre con un deslizamientomás bajo. Con el mismo par, el motor monofásico tiene un deslizamiento más alto y mayorespérdidas, en gran medida debido a la pérdida [2R del rotar del campo inverso. La entrada voltampere al motor monofásico es más grande debido a la potencia y a los volt amperes consumi-dos por el campo inverso. La pérdida ¡2R también es algo más alta en el motor monofásico,porque una fase, y no varias, debe conducir toda la corriente. Debido a las mayores pérdidas, laeficiencia es más baja, y la elevación de la temperatura con el mismo par es más alta. Asimis-mo, se debe utilizar un tamaño de armazón más grande para un motor monofásico que para unmotor polifásico de la misma potencia, capacidad y velocidad. Debido al tamaño de armazónmás grande, el par máximo se compara con el de un motor polifásico de la misma capacidadpero físicamente más pequeño. A pesar del mayor tamaño y de la necesidad de arreglos dearranque auxiliares, los motores monofásicos de uso general en capacidades de fracciones dekilowatts estándar cuestan casi lo mismo que los motores polifásicos de capacidad correspon-diente debido al mucho mayor volumen de producción del primero.

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9.4 Motores de inducción bifásicos 469

9.4 MOTORES DE INDUCCiÓN BIFÁSICOS

Como ya se vio, la mayoría de los motores de inducción monofásicos en realidad se constru-yen en la forma de motores bifásicos, con dos devanados de estator en cuadratura espacial. Losdevanados principal y auxiliar por lo general son bastante diferentes, con un número distintode vueltas, diámetro de conductores y distribución de vueltas. Esta diferencia, en combinacióncon el capacitor que por lo general se utiliza en serie con el devanado auxiliar, garantiza que lasfuerzas magnetomotrices producidas por las dos corrientes de devanado resultarán bastantedes balanceadas; en el mejor de los casos, pueden estar balanceadas en un punto de operaciónespecífico. Por lo tanto, se estudiarán varias técnicas analíticas para motores bifásicos, tantopara expandir nuestro conocimiento e idea acerca de su desempeño como también para desarro-llar técnicas para el análisis de los motores monofásicos y bifásicos.

En condiciones de operación balanceadas, es posible analizar un motor bifásico simétricopor medio de las técnicas desarrolladas en el capítulo 6 para motores trifásicos, pero modifica-das sólo un poco para tomar en cuenta el hecho de que existen dos fases en lugar de tres. En estasección, primero se analizará una técnica que puede ser utilizada para analizar un motor bifásicosimétrico que funciona en condiciones de operación desbalanceadas. Luego se derivará un modeloanalítico de un motor bifásico asimétrico que pueda aplicarse al caso general de motoresmonofásicos que funcionan tanto con sus devanados principales como con los auxiliares.

9.4.1 Funcionamiento desbalanceadode máquinas bifásicas simétricas;el concepto de componente simétrica

Cuando funciona con el devanado principal solo, el motor monofásico es el caso extremo deun motor que funciona en condiciones de corriente del estator desbalanceadas. En algunos ca-sos, se producen voltajes o corrientes desbalanceadas en la red de suministro de un motor, porejemplo, cuando se funde un fusible de línea. En otros casos, los voltajes des balanceados sonproducidos por las impedancias de arranque de motores monofásicos, como se describe en lasección 9.2. El propósito de esta sección es desarrollar la teoría del componente simétrico demotores de inducción bifásicos a partir del concepto de doble campo rotatorio y demostrarcómo se aplica esta teoría a una variedad de problemas que implican motores de inducción quetienen dos devanados de estator en cuadratura espacial.

En primer lugar considere lo que sucede cuando se aplican voltajes bifásicos balanceadosa las terminales del estator de una máquina bifásica que tiene un entrehierro uniforme, un rotorpolifásico simétrico o de jaula, y dos devanados de estator idénticos a y f3 en cuadratura espa-cial. Las corrientes del estator son iguales en magnitud y en cuadratura de tiempo. Cuando lacorriente en el devanado a está en su valor máximo instantáneo, la corriente en el devanado f3es cero y la onda de fuerza magneto motriz del estator es centrado en el eje del devanado a. Demanera similar, la onda de fuerza magnetomotriz del estator es centrada en el eje del devanadof3 en el momento en que la corriente del devanado f3 está en su valor máximo instantáneo. Porlo tanto, la onda de fuerza magneto motriz del estator se desplaza 90 grados eléctricos en el es-pacio en un intervalo de tiempo que corresponde a un cambio de fase de 90° del voltaje aplica-do, con la dirección de su recorrido que depende de la secuencia de fase de las corrientes. Unanálisis más completo a la manera de la sección 4.5 demuestra que la onda viajera tiene ampli-tud y velocidad angular constantes. Este hecho es, desde luego, la base de la teoría del funcio-namiento balanceado de las máquinas de inducción.

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470

Figura 9.12Circuitos equivalentesmonofásicos de un mo-tor bifásico en condi-ciones desbalancea-das: a) campo directoy b) campo inverso.

CAPíTULO 9 Motores monofásicos y bifásicos

R2s

a) b)

Es fácil determinar el comportamiento del motor con voltajes aplicados bifásicos balan-ceados de una u otra secuencia de fase. Por lo tanto, si el rotor gira con un deslizamiento s enla dirección del devanado a hacia el devanado f3, la impedancia terminal por fase está dada porel circuito equivalente de)a figura 9.12a cuando el voltaje aplicado Vf3se retrasa 90° con res-pecto al voltaje aplicado Va. En lo que resta de este tratamiento, esta secuencia de fase se llamasecuencia positiva y se designa con el subíndice "f" debido a que las corrientes de secuenciapositiva producen un campo directo. Cuando el motor funciona a la misma velocidad y en lamisma dirección, la impedancia terminal por fase está dada por el circuito equivalente de lafigura 9.12b cuando Vf3adelanta 90° a Va. Esta secuencia de fase se llama secuencia negativay se designa con el subíndice "b", puesto que las corrientes de secuencia negativa producen uncampo inverso.

Ahora suponga que dos fuentes de voltaje bifásicas balanceadas de secuencia de faseopuesta se conectan en serie y se aplican de manera simultánea al motor, como se indica en lafigura 9.13a, donde los voltajes fasoriales Vfy} Vf' aplicados respectivamente a los d~vanad~sa y f3 forman un sistema balanceado de secuencia positiva y voltajes fasoriales Vb y -} Vbforman otro sistema balanceado pero de secuencia negativa.

El voltaje resultante Va aplicado al devanado a es, como un fasor,

(9.17)

y que aplicado al devanado f3 es

(9.18)

La figura 9 .13b muestra un diagrama fasorial generalizado en el cual el sistema de secuen-cia directa o positiva está dado p~r los fa~ores Vfy}Vfy el sistema de inverso o de secuenciaAne-~ativa está dado por los fasores Vb y - } Vb• Los voltajes resultantes, dados por los fasores Va YVf3no son, en general, iguales en magnitud o en cuadratura de tiempo. De este análisis sedesprende que un sistema bifásico desbalanceado de voltajes aplicados Va Y Vf3puedensintetizarse combinando dos conjuntos de voltajes balanceados de secuencia de fase opuesta.

Sin embargo, es mucho más fácil trabajar con los sistemas de componentes simétricos quecon su sistema des balanceado resultante. Por lo tanto, es fácil calcular las corrientes compo-nentes producidas por cada sistema de voltajes aplicados a componentes simétricos, debidoa que el motor de inducción funciona como motor bifásico balanceado por cada sistema com-ponente. Por superposición, la corriente en un devanado es entonces la suma de sus componen-tes. De tal manera, si i,e i, son, respectivamente, las corrientes fasoriales componentes desecuencia negativa en el devanado a, entonces las corrientes fasoriales componentes de se-~uel!cia positiva y negativa en el devanado f3 son,} ify -} ib, respectivamente, y las corrientesIae1f3 son

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Figura 9.13Síntesis de un sistemabifásico desbalancea-do de la suma de dossistemas balanceadosde la secuencia defase opuesta.

9.4 Motores de inducción bifásicos

1l1'-

a)

471

"- "-~~--------~~"-~~

b)

(9.19)

(9.20)

La operación inversa de hallar los componentes simétricos de voltajes o corrientes especi-ficadas debe realizarse a menudo. La solución de las ecuaciones 9.17 y 9.18 para los compo-nentes fasoriales V¡yVb en función de los voltajes fasoriales conocidos Va y Vp da

(9.21)

(9.22)

Estas operaciones se ilustran en el diagrama fasorial de la figura 9.14. Resulta obvio quelas relaciones similares dan los componentes simétricos fasorial~s i,~lb de la corriente en eldevanado a en función de las corrientes fasoriales especificadas 1m e la en las dos fases; por lotanto

(9.23)

(9.24)

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472

Figura 9.14Descomposición devoltajes bifásicos des-balanceados en com-ponentes simétricos.

CAPíTULO 9 Motores monofásicos y bifásicos

~~------------------------

M Los parámetros de circuito equivalente de un motor de inducción de jaula de ardilla bifásico de cuatropolos, 5 hp, 220 V Y 60 Hz en ohms por fase son

R¡ = 0.534 R2 = 0.956 X2 = 2.96X¡ = 2.45 Xm = 70.1

Este motor funciona con una fuente de 60 Hz bifásica desbalanceada, cuyos voltajes de fase son 230y 210 V, respectivamente, el voltaje menor adelanta al más grande en 80°. Con un deslizamiento de 0.05,encuentre a) los componentes de secuencia positiva y el negativo de los voltajes aplicados, b) los compo-nentes de secuencia positiva y negativa de las corrientes de fase del estator, e) los valores efectivos de lascorrientes de fase y el) la potencia mecánica interna .

• SoluciónEste ejemplo seAresolverá con MATLAB.3

a) Sean Va Y VII los voltajes aplicados a las dos fases, respectivamente. Entonces

Va = 230LO° = 230 + jO V

VII = 21OL80° = 36.4 + j207 V

Según las ecuaciones 9.21 y 9.22 los componentes de los voltajes directo e inverso son, respectiva-mente,

V¡ = 218.4 - j18.2 = 219.2L -4.8° V

Vb = 11.6+jI8.2=21.6L57SV

b) Por la facilidad con la que MATLAB maneja números complejos, no es necesario utilizar aproximacio-nes como las obtenidas en el ejemplo 9.2. En su lugar, las impedancias de entrada al campo directoe inverso se calculan con los circuitos equivalentes de las figuras 9.12a y b. Si se divide el voltaje decampo directo entre su impedancia de entrada se obtiene

~1/ = / = 9.3 - j6.3 = 11.2L -34.2° AR¡ + jX¡ + Z/

Asimismo, si se divide el voltaje de campo inverso entre su impedancia de entrada se obtiene

~lb = b = 3.7 - j 1.5 = 4.0L -21.9° A

R¡+jX¡+Zb

3 MATLAB es una marea registrada de The MathWorks, Ine.

Page 23: Capitulo 9    motores monofasicos y bifasicos

9.4 Motores de inducción bifásicos 473

e) Las corrientes de devanado se calculan con las ecuaciones 9.19 y 9.20

i, = i¡+ t, = 13.0 - j7.8 = 15.2L -31.0° A

t, = ji¡ - jl, = 4.8 + j5.6 = 7.4L49.lo A

Observe que las corrientes de devanado están mucho más des balanceadas que los voltajes apli-cados. Aun cuando el motor no está sobrecargado hasta ahora, por lo que se refiere a carga en el eje,las pérdidas se incrementan de manera considerable por el des balance de las corrientes, y el devana-do del estator con la corriente más grande puede obrecalentarse.

el) La potencia suministrada a través del entrehierro por el campo directo es igual a la potencia deentrada al circuito equivalente de campo directo menos la pérdida en el estator correspondiente

donde el factor 2 responde del hecho de que éste es un motor bifásico. Asimismo, la potencia sumi-nistrada al campo inverso es

En este caso, el símbolo Re[] indica la parte real de un número complejo y el superíndice * indica elconjugado complejo.

Por último, de acuerdo con la ecuación 9.14, la potencia mecánica interna desarrollada es iguala (l - s) por la potencia total en el entrehierro o

Si se conocen las pérdidas en el núcleo por fricción, resistencia con el aire y carga parásita, lasalida en el eje se calcula restándolas de la potencia interna. Las pérdidas por fricción dependen sólode la velocidad y son las mismas que se presentarían en el funcionamiento balanceado a la mismavelocidad. Las pérdidas en el núcleo y por carga parásita, sin embargo, son algo más grandes de loque serían en funcionamiento balanceado con los mismos voltajes y corrientes de secuencia positi-va. El incremento se debe principalmente al núcleo de frecuencia (2 - s) y a las pérdidas parásitas enel rotor provocadas por el campo inverso.

He aquí el programa MATLAB:

clc

clear

% Constantes útilesf = 60; %60 Hz systemomega = 2*pi*f;s = 0.05; % slip

% Parámetros

R1 0.534;Xl 2.45;Xm 70.1;R2 0.956;

Page 24: Capitulo 9    motores monofasicos y bifasicos

474 CAPiTULO 9 Motores monofásicos y bifásicos

X2 = 2.96;

% Voltajes de devanado

Valpha = 230;Vbeta = 210 * exp(j*80*pi/180);

% a) Calcular Vf y Vb con las ecuaciones 9.21 y 9.22

Vf 0.5*(Valpha - j*Vbeta);Vb 0.5* (Valpha + j*Vbeta);

magVf = abs(Vf);angleVf = angle(Vf)*180/pi;

magVb = abs(Vb);angleVb = angle(Vb)*180/pi;

fprintf ('\n (a),)fprintf('\n Vf = %.lf + j %.lf = %.lf at angle %.lf degrees V', ...,real(Vf) ,imag(Vf) ,magVf,angleVf);fprintf('\n Vb = %,lf + j %.lf = %.lf at angle %.lf degrees V\n', ...real(Vb) ,imag(Vb) ,magVb,angleVb);

% b) Calcular primero la impedancia de entrada al campo directo delmotor con% el circuito equivalente de la figura 9.12a.

Zforward = R1 + j*X1 + j*Xm* (R2/s+j*X2)/(R2/s+j* (X2+Xm)) ;

% Calcular ahora la corriente del campo directo.

lf = Vf/Zforward;

magIf = abs (If) ;anglelf = angle(lf)*180/pi;

% Calcular a continuación la impedancia de entrada al campo inversodel motor con% Figura 9.12b.

Zback = R1 + j*X1 + j*Xm*(R2/(2-s)+j*X2)/(R2/(2-s)+j*(X2+Xm));

% Calcular ahora la corriente del campo inverso.

lb = Vb/Zback;

maglb ~ abs(lb);anglelb = angle(lb)*180/pi;

fprintf ('\n (b),)fprintf('\n lf = %.lf + j %.lf = %.lf at angle %.lf degrees A', ...real(lf) ,imag(lf) ,maglf,anglelf);

fprintf('\n lb = %.lf + j %.lf = %.lf at angle %.lf degrees A\n', ...real (lb) ,imag(lb) ,maglb,anglelb);

Page 25: Capitulo 9    motores monofasicos y bifasicos

9.4 Motores de inducción bifásicos 475

% (c) Calcular las corrientes de devanado con las ecuaciones 9.19 y9.20

lalpha = lf + lb;

lbeta = j*(lf - lb);

maglalpha = abs(lalpha);anglelalpha = angle(lalpha)*180/pi;maglbeta = abs(lbeta);anglelbeta = angle(lbeta)*180/pi;

fprintf ('\n (c),)fprintf ('\n lalpha = %.lf + j %.lf = %.lf at angle %.lf degrees A' ,...real (lalpha) ,imag(lalpha) ,maglalpha,anglelalpha);

fprintf('\n lbeta = %.lf + j %.lf = %.lf at angle %.lf degrees A\n', ...real (lbeta) ,imag(lbeta) ,maglbeta,anglelbeta);

% d) La potencia suministrada al campo directo es igual a la% potencia de entrada al campo directo menos la pérdida lÁ2R en eldevanado del estator

Pgf = 2* (real (Vf*conj (lf)) - R1*maglfÁ2);

% La potencia suministrada al campo inverso es igual a la% potencia de entrada al campo inverso menos la pérdida lÁ2R en eldevanado del estator

Pgb = 2* (real (Vb*conj (lb)) - R1*maglb\A2);

% La potencia electromagnética es igual a (l-s) por la% potencia neta a través del entrehierro

Pmech = (l-s)*(Pgf - Pgb);

fprintf ('\n (d),)fprintf('\n Power to forward field = %.lf W' ,Pgf)fprintf('\n Power to backward field = %.lf W' ,Pgb)fprintf('\n Pmech = %.lf W\n' ,Pmech)fprintf ('\n') }

~----------------------------------

M Para el motor del ejemplo 9.3, use MATLAB para producir una gráfica de la potencia mecánica inter-na como una función de deslizamiento a medida que el deslizamiento varía de s = 0.04 a s = 0.05 conlos voltajes desbalanceados supuestos en el ejemplo. En los mismos ejes (con líneas punteadas), grafi-que la potencia interna para los voltajes bifásicos balanceados de 220 V con desplazamiento de fasede 90°.

Page 26: Capitulo 9    motores monofasicos y bifasicos

476

Figura 9.15Gráfica MATLAB delproblema práctico 9.3.

CAPíTULO 9 Motores monofásicos y bifásicos

Solución

4~.-----~----.-----.------.-----.-----.-----.3900

3800

3700[~ 3600

C1.

Unea punteada: vcnajes balanceadosUnea continua: voltajes desbaJanceados

32~.~~----~O.~~2--~O.7~~4--~O~.04~6--~O~.~~8~--~O.~05~--~O.~O5~2--~O.O~

Deslizamiento

9.4.2 Caso general: máquinas de inducciónbifásicas asimétricas

Como ya se analizó, un motor de inducción monofásico con devanado principal y auxiliar esun ejemplo de un motor de inducción bifásico asimétrico. En esta sección se desarrollará unmodelo de un motor bifásico como ése, mediante la notación apropiada al motor monofásico.Se supondrá, como comúnmente es el caso, que los devanados están en cuadratura de espaciopero que son asimétricos en cuanto a que pueden tener un número diferente de vueltas, una dis-tribución de devanado distinta, y así sucesivamente.

El acercamiento analítico consiste en representar el rotar con un devanado bifásico equiva-lente, como se muestra en la forma esquemática de la figura 9.16, e iniciar con relaciones decorriente/enlace de flujo para el rotar y estator de la forma

[

A. PrinCiPal]A.aux.lerl -

A.r2

o Lprincipal,r l (eme)Laux,r l (eme)

LrO

Lprincipal,r2 (eme)] [iPrinCiPalLaux,r2 (eme) iaux

O i~

L, i r2[

Lprincipal

LprinCiP~,rl (en/e)Lprincipal,r2 (eme)

Laux

Laux, r l (eme)Laux, r2 (eme)

(9.25)

donde eme es el ángulo de rotar medido en radianes eléctricos.

Lprincipal = Autoinductancia del devanado principalLaux = Autoinductancia del devanado auxiliarL, = Autoinductancia equivalente de los devanados del rotorLprinCipal, d( emo) = Inductancia mutua entre el devanado principal y el devanado equivalente

1 del rotor

Page 27: Capitulo 9    motores monofasicos y bifasicos

Figura 9.16Representación esque-mática de un motor deinducción bifásico conrotar equivalente dedos fases.

9.4 Motores de inducción bifásicos 477

~ aux

Estator

Lprincipal. ri (}me) = Inductancia mutua entre el devanado principal y el devanado equivalente2 del rotor

Laux. rl ((}me) = Inductancia mutua entre el devanado auxiliar y el devanado 1 del rotor

Laux. r2( (}me) = Inductancia mutua entre el devanado auxiliar y el devanado 2 del rotor,

Si se supone una distribución senoidal del flujo a través del entrehierro, la inductanciamutua entre el devanado principal y el rotor será de la forma

y

Lprincipal.ri ((}me) = Lprincipai.rCOS(}me (9.26)

(9.27)

donde LprinCipal. r es la amplitud de la inductancia mutua.Las inductancias mutuas entre el devanado auxiliar serán de la misma forma, excepto que

el devanado auxiliar está desplazado 90 grados eléctricos en el espacio con respecto al devana-do principal. Por consiguiente, se escribe

y

(9.28)

(9.29)

Observe que el devanado auxiliar por lo general tendrá un número diferente de vueltas (ytal vez una distribución de devanado diferente) de la del devanado principal. Por lo tanto, parapropósitos de modelado, con frecuencia conviene escribir

Laux.r = a Lprincipal.r (9.30)

Page 28: Capitulo 9    motores monofasicos y bifasicos

478 CAPíTULO 9 Motores monofásicos y bifásicos

donde

R 1 " d 1 Vueltas efectivas del devanado auxiliara = e acion e vue tas = ----------------Vueltas efectivas del devanado principal (9.31)

Asimismo, si se escribe la autoinductancia de la rama magnetizadora como la suma de unainductancia de dispersión LprinCiPal, I Yuna inductancia magnetizadora Lm

Lprincipal = Lprincipal,l + Lm (9.32)

luego la autoinductancia del devanado auxiliar se escribe en la forma

(9.33)

Las ecuaciones de voltaje de esta máquina se escriben en función de las corrientes de de-vanado y enlaces de flujo como

. dAprincipalVprincipal = IprincipalRprincipal + dt (9.34)

. dAauxVaux = laux Raux + --

dt (9.35)

. dArlVrl = O = IrlRr+--

dt(9.36)

(9.37)

donde Rprincipal' R.ux YR, son las resistencias de los devanados principal, auxiliar y del rotor, res-pectivamente. Observe que los voltajes del devanado del rotor se igualaron a cero porque losdevanados del rotor de un motor de inducción están internamente conectados en cortocircuito.

Cuando se modela un motor de inducción de fase dividida (sección 9.2.1) los devanadosprincipal y auxiliar simplemente se conectan en paralelo, y por lo tanto Uprincipal Yu.ux se haceniguales al voltaje de suministro monofásico cuando se arranca el motor. Después de que se des-conecta el devanado auxiliar, la corriente a través de éste es cero, y el motor se representa me-diante un modelo de orden reducido el cual incluye sólo el devanado principal y los dos deva-nados de rotor equivalentes.

Cuando se modelan los diversos motores de capacitor de la sección 9.2.2, las ecuacionesde circuito toman en cuenta el hecho de que, mientras que el devanado principal está conecta-do directamente al suministro monofásico, un capacitor se encuentra conectado entre el suminis-tro y las terminales del devanado auxiliar. Según el tipo de motor que se esté modelando, el de-vanado auxiliar puede o no desconectarse conforme el motor adquiere velocidad.

Por último, es posible usar las técnicas de la sección 3.5 para demostrar que el par electro-magnético de este motor se escribe como

Page 29: Capitulo 9    motores monofasicos y bifasicos

9.4 Motores de inducción bifásicos 479

T. . dCprincipal.rl (()me) + . . dC principal.r2 (()me)

mec = Iprincipal1rl d()m Iprincipal1r2 d()m

+. . dCaux,rl(()me) +. . dCaux,r2(()me)laux1rl de; laux1r2 d()m

( PO~Os) [ _ Lprincipal,r (iprincipalirl sen ()me + iprincipalir2 cos ()me)

+ Laux,r (iauxirl cos ()me - iauxir2 sen ()me))

(9.39)

donde ()m = (2/polosWme es el ángulo de rotor en radianes.Análogo al desarrollo de los circuitos equivalentes desarrollados en el capítulo 6 para má-

quinas de inducción polifásicas y al principio de este capítulo para máquinas monofásicas, lasecuaciones obtenidas en esta sección pueden desarrollarse aún más si se supone un funciona-miento de estado estable, con velocidad mecánica constante OJme, correspondiente a un desli-zamiento s, y frecuencia de suministro eléctrico constante OJe• Compatible con esta suposiciónlas corrientes del rotor estarán a las frecuencias OJr = OJe - OJme = sOJe (producidas por el campode secuencia positiva del estator) y OJr = OJe + OJme = (2 - s)OJe (producidas por el campo desecuencia negativa del estator).

Después de una considerable manipulación algebraica, la cual incluye el uso de las ecua-ciones 9.36 y 9.37 para eliminar las corrientes del rotor, las relaciones del enlace de flujo en losdevanados principal y auxiliar/corriente de la ecuación 9.25 se escriben como ecuaciones fa-soriales

:] [ . 2 ~+ ~-] ~ ~+ ~- ~Aprincipal = Lprincipal - } Lprincipal,r(K + K ) 1principal + Lprincipal,rLaux,r(K - K )J aux

(9.39)y

donde

k+ = s_w_e _

2(Rr + jsweLr)(9.41)

y

~+ (2 - s)weK =---------------2(Rr + j (2 - s)weLr) (9.42)

Asimismo, las ecuaciones de voltaje, ecuaciones 9.34 y 9.35 se vuelven

~ ~ .Vprincipal = 1principal Rprincipal + j WeA principal (9.43)

(9.44)

Page 30: Capitulo 9    motores monofasicos y bifasicos

480 CAPíTULO 9 Motores monofásicos y bifásicos

Las corrientes del rotor constan de componentes de secuencia positiva y negativa. Las am-plitudes complejas de las componentes de secuencia positiva (a la frecuencia swe) están dadaspor

(9.45)

y

(9.46)

mientras que las amplitudes complejas de las componentes de secuencia negativa (a la fre-cuencia (2 - s)we) están dadas por

A_ - j (2 - S )We[Lprincipal,rl principal - j Laux,J aux]Irl == ------------~--~~~~--------~---

2(Rr + j (2 - s)weLr)(9.47)

y

(9.48)

Por último, de nuevo después de una cuidadosa manipulación algebraica, se puede de-mostrar que el par electromagnético promediado con respecto al tiempo está dado por

(POlOS) [( 2 A A* 2 A A*) A + A - *

<Tmec> == -2- Re Lprincipal,rIprincipalIprincipal + Laux,JauxIaux (K - K )

. A* A A A* A + A _ *]+ J Lprincipal,rLaux,r(/ principa¡!aux - 1principal 1aux)(K + K ) (9.49)

donde el símbolo Re[ ] de nuevo indica la parte real de un número complejo y el superíndice *indica el conjugado complejo. Observe que la ecuación 9.49 se obtuvo con base en la suposi-ción de que las diversas corrientes están expresadas en cantidades rrns.

~~-----------------------------------------------------------Considere el caso de un motor bifásico simétrico como el analizado en la sección 904.1. En este caso, lasecuaciones 9.25 a 9.37 con autoinductancias e inductancias mutuas y resistencias iguales para dos deva-nados. Con el uso de la notación de la sección 904.1, donde "a' y "/J' reemplazan a "principal" y "aux",las relaciones enlace de flujo/corriente de las ecuaciones 9.39 y 9040 se transforman en

,{a = [La - j L~./k+ + k-))i a + L~./k+ - k-)i fi

,{fi = -L~./k+ - k-)Ia + [La - jL~./k+ + k-))ifi

y las ecuaciones de voltaje (ecuaciones 9043 y 9044) se transforman en

Page 31: Capitulo 9    motores monofasicos y bifasicos

9.4 Motores de inducción bifásicos 481

Demuestre que cuando funciona con un conjunto de voltajes de secuencia positiva tal como Vil =-jV IX' el circuito equivalente monofásico es el circuito equivalente de campo directo (secuencia positiva)de la figura 9.12a .

• Solución

La sustitución de, lo~ voltaje s de secuencia positiva en las ecuaciones anteriores y la solución para laimpedancia Za =Val la dan

Esta ecuación se vuelve a escribir como

Con R¿ ~ R¡. (Xa - Xa. .) ~ XI' Xa.' ~ Xm• (X, - X¿ ,) ~ X2 y R, ~ R2• se observa que esta ecuación sírepresenta un circuito equivalente de la forma mostrada en la figura 9.12a.

~~----------------------------------Análogo al cálculo del ejemplo 9.4. demuestre que cuando funciona con un conjunto de voltajes desecuencia negativa tal como Vil = jV IX' el circuito equivalente monofásico es el circuito equivalente (se-cuencia negativa) de campo inverso de la figura 9.12b.

Solución

En condiciones de secuencia negativa. la impedancia Z; es igual a

Como en el ejemplo 9.4 es posible demostrar que esta expresión corresponde a un circuito equivalente dela forma que aparece en la figura 9. 12b.

~~-------------------------------------M Un motor monofásico de dos polos tiene los siguientes parámetros

Lprincipal = 80.6 mH Rprincipal = 0.58 Q

i.: = 196 mH «: = 3.37 n

Page 32: Capitulo 9    motores monofasicos y bifasicos

482

Figura 9.17Conexiones del motorde inducción con ca-pacitar dividido per-manente del ejemplo9.5.

CAPíTULO 9 Motores monofásicos y bifásicos

L, = 4.7 J1H R, = 37.6jill

Lprincipal., = 0.588 mH Laux., = 0.909 mH

Funciona con una fuente monofásica, de 230 V, 60 Hz como un motor de capacitor dividido permanentecon un capacitor de 35 p.F conectado en serie con el devanado auxiliar. Para lograr el desplazamiento defase requerido de la corriente del devanado auxiliar, los devanados deben conectarse con las polaridadesmostradas en la figura 9.17. El motor tiene una pérdida rotacional de 40 W y una pérdida en el núcleo de105W.

Considere que el motor funciona a 3 500 r/min.

a) Encuentre las corrientes de devanado principal, devanado auxiliar, fuente y la magnitud del voltajedel capacitor.

b) Calcule el par electromagnético promediado con respecto al tiempo y la potencia de salida en el eje.c) Calcule la potencia de entrada al motor y su eficiencia eléctrica. Observe que, como la pérdida en el

núcleo no está tomada en cuenta de manera explícita en el modelo derivado en esta sección, simple-mente puede considerarla como una componente adicional de la potencia de entrada.

ti) Grafique el par electromagnético del motor promediado con respecto al tiempo como una funciónde velocidad desde el reposo hasta la velocidad síncrona .

• Solución

MATLAB, con su facilidad para manejar números complejos, es ideal para la solución de este problema.a) El ,!evanado grincipal de este motor está directamente conectado a la fuente monofásica. Por lo tan-

to, Vprinc;pa1= V,. Sin embargo, el devanado auxiliar está conectado a la fuente monofásica medianteun capacitor y su polaridad está invertida. De tal manera, se debe escribir

donde el voltaje del capacitor está dado por

En este caso, la impedancia del capacitor X¿ es igual a

l IXc=---=- =-75.8Q

(w.C) (120n x 35 x 10-6)

i,--+-

+Devanadoprincipal

lprindpal ¡--+-t.: Devanado

auxiliar

Page 33: Capitulo 9    motores monofasicos y bifasicos

9.4 Motores de inducción bifásicos 483

Con Vs = Vo = 230 V Ysustituyendo esta expresión en las ecuaciones 9.43 y 9.44, así como conlas ecuaciones 9.39 y 9.40 se obtiene entonces la siguiente ecuación matricial para las corrientes delos devanados principal y auxiliar.

[CRprinCiPal.+ j~.AI)

- }W. A2

donde

A • 2 A+ A_

Al = Lprincipal - } Lprincipal.,CK + K )A A + A_

A2 = Lprincipal.,LauxAK - K )

y

Los parámetros K+ y K- se calculan con las ecuaciones 9.41 y 9.42 una vez que se calcula eldeslizamiento con la ecuación 6.1

ns - n = 3 600 - 3 500 = 0.2783600

s=

Esta ecuación matricial se resuelve con facilidad con MATLAB y el resultado es

¡Principal = 15.9L -37.6° A

i: = 5.20L -150.7° A

e

i,= 18.5L -22.7° A

La magnitud del voltaje del capacitor es

IVel = liauxXel = 374 V

b) Con MATLAB el par electromagnético promediado con respecto al tiempo calculado con la ecua-ción 9.49 es

<Tmcc> = 9.74 N . m

Entonces, la potencia en el eje se calcula restando las pérdidas rotatorias P rot de la potencia a travésdel entrehierro

= (_2_) (l - s)w.C <T mec» - Protpolos

= 3532 W

e) La entrada de potencia al devanado principal se calcula como

Page 34: Capitulo 9    motores monofasicos y bifasicos

484 CAPíTULO 9 Motores monofásicos y bifásicos

y la que entra al devanado auxiliar, incluido el capacitor (el cual no disipa potencia)

Pejer¡ = -- = 0.874 = 87.4%

Penl

r.: = Re[ - Vol:ux] = 1043 W

La potencia de entrada total, incluida la pérdida de potencia en el núcleo Pnúc1eo es

Penl = Pprincip.1 + p.ux + Pnúc1eo = 4 041 W

Por último, la eficiencia se determina como

el) La gráfica de <Tmec> frente a la velocidad generada por MATLAB se encuentra en la figura 9.18.

He aquí el programa MATLAB.

clc

clear

% Parámetros de fuenteVO = 230;omegae = 120*pi;

% Parámetros de motorpoles 2;Lmain = .0806;Rmain = 0.58;Laux = 0.196;Raux = 3.37;Lr = 4.7e-6;Rr = 37.6e-6;Lmainr = 5.88e-4;Lauxr = 9.0ge-4;C = 35e-6;Xc = -l/(omegae*C);Prot = 40;Pcore = 105;

% Ejecutar el programa dos veces. If ca1cswitch = 1, then% calcular a una velocidad de 3500 r/min únicamente. La segunda vez% el programa producirá la gráfica de la parte d) .

for calcswitch = 1:2if calcswitch 1

mmax = 1;

Page 35: Capitulo 9    motores monofasicos y bifasicos

Figura 9.18Par electromagnéticopromediado con res-pecto al tiempo frentea velocidad del motorde inducción monofá-sico del ejemplo 9.5.

9.4 Motores de inducción bifásicos

20

18

16

14

E 12

~~

10

'V8

6

O~----~----~----~----~----~----~----~~~O 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000

Velocidad Ir/min]

elsenunax = 101;

endfor m = l:nunaxif calcswitch

speed(m)else

speed(m) 3599*(m-1)/100;end% Calcular el deslizamientons = (2/poles)*3600;s = (ns-speed(m))/ns;

1

3500;

485

% parte (a)% Calcular las diversas constantes complejasKplus = s*omegae/(2*(Rr + j*s*omegae*Lr));Kminus = (2-s)*omegae/(2*(Rr + j*(2-s)*omegae*Lr));Al Lmain - j*LmainrA2*(Kplus+Kminus);A2 Lmainr*Lauxr*(Kplus-Kminus);A3 Laux - j*LauxrA2*(Kplus+Kminus);

% Disponer la matrizM(l,l) Rmain + j*omegae*A1;M(1,2) j*omegae*A2;M(2,1) -j*omegae*A2;M(2,2) Raux + j*Xc+ j*omegae*A3;

% Este es el vector de voltaje

Page 36: Capitulo 9    motores monofasicos y bifasicos

486 CAPíTULO 9 Motores monofásicos y bifásicos

v = [VO ; -yO);

% Halle ahora la matriz de corriente

1 = M\V;1main = 1 (1) ;1aux = 1 (2) ;1s = 1main-1aux;

% parteTmeehlTmeehlTmeeh2Tmeeh2Tmeeh(m)Pshaft =

(b)

eonj(Kplus-Kminus);Tmeehl*(Lmainr'2*1main*eonj (1main)+Lauxr'2*1aux*eonj (1aux);j*Lmainr*Lauxr*eonj(Kplus+Kminus) ;Tmeeh2*(eonj (1main)*1aux-1main*eonj (1aux));= (poles/2) *real (Tmeehl+Tmeeh2) ;(2/poles)*(1-s)*omegae*Tmeeh(m)-Prot;

mag1main = abs(1main);angle1main = angle(1main)*180/pi;mag1aux = abs(1aux);angle1aux = angle(1aux)*180/pi;mag1s = abs (1s);angle1s = angle(1s)*180/pi;

%Capaeitor voltageVeap = 1aux*Xe;magVeap = abs(Veap);

% parte (e)Pmain = real (VO*eonj (1main));Paux = real (-VO*eonj (1aux));Pin Pmain+Paux+Peore;eta = Pshaft/Pin;

if ealeswiteh == 1fprintf ('part (a):')fprintf('\n 1main = %g A at angle %g degrees' ,mag1main, angle1main)fprintf('\n 1aux = %g A at angle %g degrees' ,mag1aux,angle1aux)fprintf('\n 1s = %g A at angle %g degrees' ,mag1s,angle1s)fprintf('\n Veap = %g V\n' ,magVeap)fprintf ('\npart (b):')fprintf('\n Tmeeh = %g N-m' ,Tmeeh)fprintf('\n Pshaft = %g W\n' ,Pshaft)fprintf('\npart (e) :')fprintf('\n Pmain = %g W' ,Pmain)fprintf('\n Paux = %g W' ,Paux)fprintf('\n Pin %g W' ,Pin)fprintf('\n eta = %g pereent\n\n' ,100*eta)

elseplot(speed,Tmeeh)

Page 37: Capitulo 9    motores monofasicos y bifasicos

9.5 Resumen 487

xlabel('speed [r/min]')ylabel (t <Tmech> [N-m]')

end

end %end of for m loopend %end of for calcswitch loop}

~------------------------------------------------------------------a) Calcule la eficiencia del motor de inducción monofásico del ejemplo 9.5 que funciona a una velocidadde 3 475 r/min. b) Busque dentro del rango de valores el capacitor de 25 pF a 45 pF para encontrar elvalor que dará la máxima eficiencia a esta velocidad y la eficiencia correspondiente.

Solución

a) 86.4%b) 41.8 pF, 86.6%

9.5 RESUMEN

Uno de los temas de este capítulo es la continuación de la teoría de la máquina de inducción delcapítulo 6 y su aplicación al motor de inducción monofásico. Esta teoría se amplía mediante unrazonamiento paso a paso a partir de la teoría del campo rotatorio simple del motor de induc-ción polifásico simétrico. El concepto básico es la descomposición de la onda magneto motriza través del estator en dos ondas de amplitud constante que giran alrededor del entrehierro avelocidad síncrona en direcciones opuestas. Si el deslizamiento del campo directo es s, enton-ces el de campo inverso es (2 - s). Cada uno de estos campos componentes produce acción demotor de inducción, justo como en un motor polifásico. Desde el punto de vista del estator, losefectos reflejados del rotor pueden ser visualizados y expresados de manera cualitativa en fun-ción de los circuitos equivalentes simples. La facilidad con la cual las reacciones internas sontomadas en cuenta de esta manera es la razón esencial de la utilidad de la teoría del doble cam-po rotatorio.

En un devanado simple, las ondas magnetomotrices componentes directa e inversa soniguales, y su amplitud es la mitad del valor máximo del pico de la fuerza magnetomotriz pulsanteestacionaria que es producida por el devanado. La descomposición de la fuerza magneto motrizdel estator en sus componentes directa e inversa conduce entonces al concepto físico del motormonofásico, el cual se describe en la sección 9.1 y por último, también lleva a la teoría cuantita-tiva desarrollada en la sección 9.3 y a los circuitos equivalentes de la figura 9.11.

En la mayoría de los casos, los motores de inducción monofásicos en realidad son motoresbifásicos con devanados asimétricos que funcionan con una fuente monofásica. Por lo tanto,para completar nuestro conocimiento acerca de los motores de inducción monofásicos, es nece-sario examinar el desempeño de los motores bifásicos. Así, el siguiente paso es la aplicación dela imagen del doble campo rotatorio a un motor bifásico simétrico con voltajes aplicados des-balanceados, como en la sección 9.4.1. Esta investigación lleva al concepto de componentessimétricos, mediante el cual un sistema bifásico desbalanceado de corrientes o voltajes puede

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488 CAPíTULO 9 Motores monofásicos y bifásicos

ser descompuesto en la suma de dos sistemas de componentes bifásicos balanceados de secuen-cia de fase opuesta. La resolución de las corrientes en sistemas de componentes simétricosequivale a descomponer la onda de fuerza magnetomotriz del estator en sus componentesdirectas e inversas, por consiguiente, las reacciones internas del rotor de cada sistema de compo-nentes simétricos son las mismas que ya se investigaron. Un proceso de razonamiento muy pa-recido, no considerado aquí, conduce al bien conocido método de componentes simétricos tri-fásicos para abordar problemas que implican el funcionamiento des balanceado de máquinasrotatorias trifásicas. La facilidad con que la máquina rotatoria puede ser analizada en funciónde la teoría del campo rotatorio es la razón principal de la utilidad del método de componentessimétricos.

Por último, el capítulo termina en la sección 9.4.2 con el desarrollo de una teoría analíticapara el caso general de un motor de inducción bifásico con devanados asimétricos. Esta teoríapermite analizar el funcionamiento de motores monofásicos que funcionan tanto con sus deva-nados principales como auxiliares.

Zprincipal = 4.82 + j7.25 Q devanado principal

Zaux = 7.95 + j9.21 Q devanado auxiliar

9.6 PROBLEMAS

9.1 Un motor de arranque con capacitor de 1 kW, 120 Vy 60 Hz tiene los siguientes parámetrospara los devanados principal y auxiliar (durante el arranque):

a) Encuentre la magnitud y los ángulos de fase de las corrientes en los dos devanadoscuando se aplica voltaje nominal al motor en condiciones de arranque.

b) Encuentre el valor de la capacitancia de arranque que colocará a las corrientes de losdevanados principal y auxiliar en cuadratura de tiempo durante el arranque.

e) Repita la parte a) cuando la capacitancia de la parte b) se inserta en serie con el de-vanado auxiliar.

9.2 Repita el problema 9.1 si el motor funciona con una fuente de 120 V Y50 Hz.9.3 Dada la frecuencia eléctrica aplicada y las impedancias correspondientes ZprinCipal Y Zaux

de los devanados principal y auxiliar durante el arranque, escriba un programa MATLABpara calcular el valor de la capacitancia, la cual, cuando se conecta en serie con el deva-nado de arranque, producirá una corriente en el devanado de arranque que adelantará en90° a la del devanado principal.

9.4 Repita el ejemplo 9.2 con deslizamiento de 0.045.9.5 Un motor de inducción monofásico de 500 W, cuatro polos, 115 V Y60 Hz tiene los si-

guientes parámetros (resistencias y reactancias en Q/fase):

RI. principal = 1.68 R2. principal = 2.96

XI. principal = 1.87 Xm• principal = 60.6 X2• principal = 1.72

Pérdida en el núcleo = 38 W Fricción y huelgo = 11.8 W

Encuentre la velocidad, la corriente del estator, el par, la salida de potencia y la eficienciacuando el motor funciona a voltaje nominal y un deslizamiento de 4.2%.

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9.6 Problemas 489

9.6 Escriba un programa MATLAB para producir gráficas de la velocidad y eficiencia delmotor monofásico del problema 9.5 como una función de la potencia de salida dentro delrango Os P,al ::; 500 W.

9.7 En reposo, las corrientes rms o eficaces en los devanados principal y auxiliar de unmotor de inducción de arranque con capacitar y cuatro polos son lprincipal = 20.7 A e laux =11.1 A, respectivamente. La corriente del devanado auxiliar adelanta a la del devanadoprincipal por 53°. Las vueltas efectivas por polo (es decir, el número de vueltas corregi-do para los efectos de distribución del devanado) son NprinCipal = 42 YNaux = 68. Los deva-nados están en cuadratura de espacio.

a) Determine las amplitudes pico de las ondas de fuerza magnetomotriz del estator di-recta e inversa.

b) Suponga que es posible ajustar la magnitud y fase de la corriente del devanado au-xiliar. ¿Qué magnitud y fase produciría una onda de fuerza magnetomotriz puramen-te directa?

9.8 Deduzca una expresión en función de Q2.principal para la velocidad no cero de un motor deinducción monofásico en el cual el par interno es cero. (Véase el ejemplo 9.2.)

9.9 Los parámetros de circuito equivalente de un motor de inducción de jaula de ardillabifásico, de cuatro polos, 8 kW, 230 V Y60 Hz en ohms por fase son

R, = 0.253 Xm = 32.7 R2 = 0.446 X2 = 1.30

Este motor funciona con una fuente bifásica desbalanceada de 60 Hz, cuyos voltajesde fase son 223 y 190 V, respectivamente, con el voltaje menor adelante del mayor por73°. Con un deslizamiento de 0.045, encuentre

a) las corrientes de fase en cada uno de los devanados yb) la potencia mecánica interna.

9.10 Considere el motor bifásico del ejemplo 9.3.

a) Encuentre el par de arranque para las condiciones especificadas en el ejemplo.b) Compare el resultado de la parte a) con el par de arranque que el motor produciría si

se le aplicaran voltajes bifásicos balanceados de 220 V.e) Demuestre que si los voltajes de estatorVa yV/3 de un motor de inducción bifásico

están en cuadratura de tiempo, pero son de magnitud desigual, el par de arranque esel mismo que el que se desarrolla cuando se aplican voltajes bifásicos balanceadosde magnitud ~VaV/3.

9.11 El motor de inducción del problema 9.9 es abastecido por una fuente bifásica desbalan-ceada mediante un alimentador de cuatro hilos cuya impedancia es Z = 0.32 + j1.5Q/fase. Los voltajes de fuente pueden ser expresados como

Va = 235¿0° Va =212¿78°

Con un deslizamiento de 5%, demuestre que los voltajes entre las terminales delmotor de inducción corresponden más a un conjunto bifásico balanceado que a los de lafuente.

9.12 Los parámetros de circuito equivalente en ohms por fase referidos al estator de un motorde inducción de jaula de ardilla, bifásico, de 1.0 kW, 220 V, cuatro polos y 60 Hz son lossiguientes. La pérdida rotatoria sin carga es 65 W.

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490 CAPíTULO 9 Motores monofásicos y bifásicos

R, = 0.78 R2 = 4.2 XI = X2 = 5.3 x; = 93

a) El voltaje aplicado a la fase a es 220LO° V y el aplicado a la fase f3es 220L65° V.Encuentre el par neto a través del entrehierro con un deslizamiento s = 0.035.

b) ¿Cuál es el par de arranque con los voltajes aplicados de la parte a)?e) Los voltajes aplicados se reajustan de modo que Va= 220L65° VyVJ3= 220L90° V.

La carga plena ocurre cuando s = 0.048. ¿Con qué deslizamiento ocurre el par inter-no máximo? ¿Cuál es el valor del par máximo?

d) Mientras que el motor funciona como en la parte e), la fase f3está en circuito abierto.¿Cuál es la salida de potencia de la máquina con un deslizamiento s = 0.04?

e) ¿Qué voltaje aparece a través de las terminales de la fase f3en las condiciones de laparte d)?

9.13 Un motor de inducción monofásico de dos polos, con capacitor de funcionamiento, 120V, 60 Hz tiene los siguientes parámetros:

Lprincipa' = 47.2 mHLaux = 102 mH

RprinCipal = 0.38 Q

Raux = l.78 Q

t;= 2.35 ,uH s,= 17.2 ¡ill.

Lprincipal, r = 0.342 mH Laux, r = 0.530 mH

Es posible suponer que el motor tiene 48 W de pérdidas en el núcleo y 23 W de pérdidasrotatorias. Los devanados del motor están conectados con la polaridad mostrada en lafigura 9.17 con un capacitor de 40 J.1F.

a) Calcule el par de arranque del motor.

Con el motor en funcionamiento a una velocidad de 3 490 r/min, calcule,

a) las corrientes en los devanados principal y auxiliar.b) la corriente de línea total y el factor de potencia del motor,e) la potencia de salida yd) la potencia de entrada eléctrica y la eficiencia.

Observe que este problema es más fácil de resolver con MATLAB.9.14 Considere el motor monofásico del problema 9.13. Escriba un programa MATLAB con

el fin de buscar dentro del rango de valores de capacitor de 25 J.1F a 75 J.1F para encontrarel valor que incrementará al máximo la eficiencia del motor a una velocidad de 3 490r/min. ¿Cuál es la eficiencia máxima correspondiente?

9.15 Para elevar el par de arranque, el motor de inducción monofásico del problema 9.13tiene que ser convertido en un motor de funcionamiento y arranque con capacitor. Escri-ba un programa MATLAB para calcular el valor máximo de capacitancia de arranquerequerida para elevar el par de arranque a 0.5 N . m.

9.16 Considere el motor de inducción monofásico del ejemplo 9.5 que funciona en el rangode 3 350 a 3 580 r/min.

a) Use MATLAB para graficar la potencia de salida dentro del rango de velocidad dado.b) Grafique la eficiencia del motor dentro de este rango de velocidad.e) En la misma gráfica que la de la parte b), grafique la eficiencia del motor si el capa-

citor de funcionamiento se incrementa a 45 J.lF.