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Lajes de Forma Especial

Prof. Romel Dias Vanderlei

Universidade Estadual de MaringáCentro de TecnologiaDepartamento de Engenharia Civil

Cap

ítulo

5

Curso: Engenharia Civil Disciplina: Estruturas em Concreto II

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

Bibliografia:

ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. Projeto de estruturas de concreto: NBR 6118:2003. Rio de Janeiro, ABNT, 2004.ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. Cargas para o cálculo de estruturas de edificações. NBR 6120:1980. Rio de Janeiro, ABNT, 1980.ROCHA, A. M. Novo Curso Prático de Concreto Armado. Vol. IV, Ed. Científica, 1975.TRANALLI, P. P.; SOUZA R. A. Lajes Triangulares em Concreto Armado. In: V Encontro Tecnológico da Engenharia Civil e Arquitetura - ENTECA, 2005, Maringá - PR: Universidade Estadual de Maringá, 2005.

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Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

Sumário

5.1- Introdução5.2- Lajes Circulares

5.2.1- Generalidades5.2.2- Carga uniforme total5.2.3- Carga uniforme parcial5.2.4- Exemplo 15.2.5- Exemplo 2

5.3- Lajes Triangulares5.3.1- Generalidades5.3.2- Caso de Triangulo Eqüilátero5.3.3- Caso de Triângulo Retângulo Isósceles5.3.4- Lajes em Triângulo Isósceles

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

5.1- Introdução

Laje CircularLaje Triangular

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Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

5.2- LAJES CIRCULARES

5.2.1- GeneralidadesPara cada ponto, consideram-se, os momentos em planos verticais:

Momento radial Mr (contêm o raio)Momento tangencial Mt (perpendiculares ao raio)

Pela simetria da carga ao centro da laje os momentos são constantes ao longo de um círculo de raio r.

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

5.2- LAJES CIRCULARES

5.2.1- GeneralidadesAs armaduras podem ser:

Radial e circular, ouSegundo duas direções normais.

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Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

5.2- LAJES CIRCULARES

5.2.2- Carga uniforme totala) Lajes simplesmente apoiadas no contorno:

l

a

rl

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

5.2- LAJES CIRCULARES

5.2.2- Carga uniforme totala) Lajes simplesmente apoiadas no contorno:

Os momentos em cada ponto situado a uma distância r do centro serão:

[ ])31()3(16

)()3(16

22

22

νν

ν

⋅+⋅−+⋅⋅=

−⋅+⋅=

raqM

raqM

t

r

onde:ν - coeficiente de Poissona - raio do círculo que contorna a laje.

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Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

5.2- LAJES CIRCULARES

5.2.2- Carga uniforme totalPara ν = 0,20: ( )

22

22

26,020,0

20,0

rqaqM

raqM

t

r

⋅⋅−⋅⋅=

−⋅⋅=

Momento máximo, no centro (r = 0):

2020,0

22 lqaqMM tr

⋅=⋅⋅==

onde l é o diâmetro da laje.

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

5.2- LAJES CIRCULARES

5.2.2- Carga uniforme totalFlecha:

Daqfmáx ⋅+⋅

⋅⋅+=

)1(64)5( 4

νν

onde D é o coeficiente de rigidez da laje, dado pela fórmula:

Para ν = 0,20:

)1(12 2

3

ν−⋅⋅

=dED

3

4

3

4

049,078,0dElq

dEaqfmáx ⋅

⋅⋅=

⋅⋅

⋅=

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Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

5.2- LAJES CIRCULARES

5.2.2- Carga uniforme totalb) Lajes Engastada no Contorno:

a

r fmáx

l

a

r fmáx

l

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

5.2- LAJES CIRCULARES

5.2.2- Carga uniforme totalb) Lajes Engastada no Contorno:

Momentos em um ponto qualquer à distância r do centro:

[ ]

[ ])31()1(16

)3()1(16

22

22

νν

νν

+⋅−+⋅⋅=

+⋅−+⋅⋅=

raqM

raqM

t

r

22 019,0075,0 lqaqMM tr ⋅⋅=⋅⋅==

Momento máximo positivo, no centro (r = 0 e ν = 0,20):

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Pro

f. R

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Dia

s V

ande

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5.2- LAJES CIRCULARES

5.2.2- Carga uniforme totalMomento negativo no contorno (ν = 0,20):

19248

32822

22

lqaqM

lqaqM

t

r

⋅−=

⋅−=

⋅−=

⋅−=

Pro

f. R

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Dia

s V

ande

rlei

5.2- LAJES CIRCULARES

5.2.2- Carga uniforme totalFlecha:

2

44

0114,064 dE

lqD

aqfmáx ⋅⋅

⋅=⋅

⋅=

8

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

5.2- LAJES CIRCULARES

5.2.3- Carga uniforme parcialPara:

momentos fletores radial e tangencial eflecha em qualquer ponto de uma laje circular

Podem ser usadas as tabelas de N. V. Nikitin.Coeficientes em função dos valores:

ab

ar e =ρ

onde:r é a distância do ponto considerado ao centro da placa;b o raio da superfície de carga; ea o raio total da placa.

Pro

f. R

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Dia

s V

ande

rlei

5.2- LAJES CIRCULARES

5.2.3- Carga uniforme parcialOs momentos e a flecha em cada ponto são dados pelas fórmulas:

Os coeficientes de Kr, Kt e Kf são encontrados na TABELA 4 em função de a/b e ρ.

2

2

2 2

r r

t t

f

M K p b

M K p b

p a bf KD

= ⋅ ⋅

= ⋅ ⋅

⋅ ⋅= ⋅

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Pro

f. R

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Dia

s V

ande

rlei

5.2- LAJES CIRCULARES

Tabela 4 : Placa circular com uma carga uniformemente distribuída em uma superfície circular

000000000001,0

0,03560,03820,03570,03350,03160,03000,02870,02770,02690,02650,02630,9

0,06750,07760,07830,07300,06840,06460,06140,03890,05720,05610,05580,8

0,09560,11230,12220,13100,11260,10540,09660,09500,09180,08080,08920,7

0,12000,14240,16030,17080,16770,15550,14550,13770,13210,12880,12710,6

0,14060,16780,19250,21290,22500,22020,20330,19020,18080,17520,17330,5

0,15750,18870,21890,24730,27190,28770,28160,25860,24220,23240,22910,4

0,17060,20490,23940,27410,30830,34020,36360,35790,32630,30730,30100,3

0,18000,21650,25410,29320,33440,37770,42220,46200,46240,41740,40240,2

0,18560,22340,26290,30470,35000,40020,45740,52450,60300,63750,57560,1

0,18750,22570,26580,30850,35520,40770,46910,54540,64990,8250-0

Kr

1,00,90,80,70,60,50,40,30,20,10

(Relação do raio da carga sobre o raio da placa)ρCoeficiente

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

5.2- LAJES CIRCULARES

Tabela 4 : Placa circular com uma carga uniformemente distribuída em uma superfície circular

0,12500,14870,17000,18870,20500,21870,23000,23810,24500,24870,25001,0

0,13690,16320,18700,20790,22610,24140,25400,26380,27080,27490,27630,9

0,14700,17630,20330,22730,24810,26580,28020,29140,29940,30420,30580,8

0,15690,18790,21790,24600,27070,29170,30880,32210,33160,33730,33920,7

0,16500,19790,23060,26260,29270,31870,33990,35650,36830,37530,37710,6

0,17190,20640,24140,27670,31180,34520,37330,39520,41080,42020,42330,5

0,17750,21340,25020,28810,32740,36770,40660,43830,46090,47450,47910,4

0,18190,21880,25700,29710,33960,38520,43390,48290,52070,54340,55100,3

0,18500,22260,26190,30340,34850,39770,45340,51760,58740,63610,65240,2

0,18690,22490,26480,30730,35350,40520,46520,53840,63420,76250,82560,1

0,18750,22570,26580,30850,35520,40770,46910,54540,64990,8250-0

Kt

1,00,90,80,70,60,50,40,30,20,10

(Relação do raio da carga sobre o raio da placa)ρCoeficiente

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Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

5.2- LAJES CIRCULARES

Tabela 4 : Placa circular com uma carga uniformemente distribuída em uma superfície circular

000000000001,0

0,01240,01480,01690,01880,02040,02180,02290,02380,02440,02480,02500,9

0,02450,02920,03350,03730,04060,04330,04560,04740,04860,04940,04960,8

0,03590,04290,04930,05500,06000,06420,06770,07030,07220,07340,07380,7

0,04640,05540,06390,07160,07830,08400,08870,09230,09490,09650,09700,6

0,05570,06660,07690,08640,09410,10230,10830,11300,11630,11830,11900,5

0,06350,07600,08790,09910,10930,11830,12580,13170,13580,13830,13920,4

0,06980,08360,09680,10940,12100,13150,14090,14770,15290,15600,15710,3

0,07440,08910,10330,11690,12960,14130,15160,16020,16670,17060,17190,2

0,07720,09240,10720,12140,13490,14730,15850,16820,17590,18100,18270,1

0,07810,09360,10860,12300,13660,14930,16080,17090,17910,18500,18750

Kf

1,00,90,80,70,60,50,40,30,20,10

(Relação do raio da carga sobre o raio da placa)ρCoeficiente

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

5.2- LAJES CIRCULARES

5.2.4- Exemplo 1Calcular uma laje circular apoiada nas bordas, considerando fck = 20MPa, aço CA-50, sobrecarga de 3,0 kN/m2, h = 12cm e cobrimento de armaduras de 2,5 cm. Detalhar as armaduras e verificar a flecha.

l = 6m

11

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

5.2- LAJES CIRCULARES

5.2.4- Exemplo 1Resolução:

Ações:

Carga Total (p):

2

2

0,12 25 3,0 /

3,0 /cg h KN m

q KN m

γ= × = × =

=

26,0 /P g q KN m= + =

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

5.2- LAJES CIRCULARES

5.2.4- Exemplo 1Momento máximo no centro:

2 2

2

2

6,0 6 10,8 /20 202,0 1, 43 /1, 450 43, 48 /

1,15

r t

c

s

q lM M KN m m

fckfcd KN cm

fykfyd KN cm

γ

γ

⋅ ×= = = = ⋅

= = =

= = =

12

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

5.2- LAJES CIRCULARES

5.2.4- Exemplo 1Altura útil (supondo barras de 10 mm):

Área da armadura:

1,0' 2,5 3,02

' 9

d cm

d h d cm

≅ + =

= − =

2 2

1,4 100 10,81, 25 1 1 1,25 9 1 10,425 0, 425 100 9 1,43

1,88

d

w

MX db d fcd

X cm Domínio II

⎡ ⎤ ⎡ ⎤× ×= ⋅ ⋅ − − = ⋅ ⋅ − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⎣ ⎦⎣ ⎦= →

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

5.2- LAJES CIRCULARES

5.2.4- Exemplo 1Área da armadura:

( ) ( )2

2

1,4 100 10,80,4 43,48 9 0,4 1,88

4,21 / 10 / 160,15 100 15 2,25 /100

d

mín

MAsfyd d X

As cm m mm c cm

As cm c

φ

× ×= =

⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅

= →

= × × = m

φ10mm c/ 18cm

12 = 1,8 cm2 / cm

cmcmmcmA efets 18/ 10 36,4 2., φ→=

13

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

5.2- LAJES CIRCULARES

5.2.4- Exemplo 1Recomenda-se armadura negativa de borda:

Visando evitar possíveis fissurações no engastamentoparcial existente entre as lajes e as vigas de borda.

2

2

1,5 /0,15 100 15 2, 25 / 10 / 30100

borda

borda

As cm m mínimo

As cm m mm c cmφ

= →

= × × = →12 = 1,8 cm2 / cm φ6.3mm c/ 17cm

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

5.2- LAJES CIRCULARES

5.2.4- Exemplo 1Flecha imediata:

3

4

049,0dElpai ⋅

⋅⋅=

Combinação de ações quase permanente:

∑ ∑+= kqjjkgiserd FFF ,2,, ψ

14

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

5.2- LAJES CIRCULARES

5.2.4- Exemplo 1Flecha Diferida:

Deformação lenta: pode ser considerado de modo aproximado, dobrando-se a flecha imediata.

ifitotal

if

aaaa

aa

⋅=+=

=

2Módulo de elasticidade:

231037,287.2137,287.212047604760

(MPa) 560085,085,0

mkNMPafE

fEEE

ckcs

ckcics

×==⋅=⋅=

⋅⋅=⋅==

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

5.2- LAJES CIRCULARES

5.2.4- Exemplo 1Combinação quase permanente:

29,333,032 mkN

jQP qψgp =×+=+=

Flecha imediata:

cmmdE

lpa QP

i 6,1016,009,01037,287.21

69,3049,0049,0 33

4

3

4

==⋅×

⋅×=

⋅

⋅⋅=

Flecha total:

cmaa itotal 2,36,122 =×=⋅=

15

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

5.2- LAJES CIRCULARES

5.2.4- Exemplo 1Flecha devido apenas a carga acidental:

23 mkNq =

Flecha imediata:

cmmdElqaq 2,1012,0

09,01037,287.2163049,0049,0 33

4

3

4

==⋅×

⋅×=

⋅⋅

⋅=

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

5.2- LAJES CIRCULARES

5.2.4- Exemplo 1Verificações NBR 6118:2003

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=>===

=<===

cmacmla

cmacmlasejaou

qqite

totalPqpite

2,1 7,1350600

350

2,34,2250600

250:

,lim

,lim

16

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

5.2- LAJES CIRCULARES

5.2.4- Exemplo 1Verificações:

Portanto será necessário aumentar a altura da laje para que se cumpra a flecha a longo prazo!Para h = 13cm

2

2

25,6325,325,313,025

mkN

mkN

qgpg

=+=+=

=×= 215,433,025,3 mkN

QPp =×+=

cmmdE

lpa QP

i 2,1012,009,01037,287.21

615,4049,0049,0 33

4

3

4

==⋅×

⋅×=

⋅

⋅⋅=

)( 4,22,122 lim OKacmaa itotal ==×=⋅=

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

5.2- LAJES CIRCULARES

5.2.4- Exemplo 1Detalhamento:

Armadura positiva - Ø10 c/18 cm Armadura negativa - Ø6.3 c/17 cm

Ø6.3 c/17 - 120

17

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

5.2- LAJES CIRCULARES

5.2.5- Exemplo 2Calcular e dimensionar a laje do exemplo 1, levando em consideração que exista condições de engastamento nas bordas.

Esforço:Máximo momento positivo no centro:

mmkNlpMM tr /10,486,54

625,686,54

22

⋅=⋅

=⋅

==

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

5.2- LAJES CIRCULARES

5.2.5- Exemplo 2Momentos negativos no contorno:

φ 6.3 mm c/ 17cm0,401,80II0,18-1,17

φ 6.3 mm c/ 12cm2,541,80II1,13-7,03

φ 6.3mm c/ 17cm1,441,80II0,644,10

AsadotadoAscálcAsmínDomínioX(cm)

Mk(KN.m/m)

Área da armadura:

mmkNlpM

mmkNlpM

t

r

/17,1192

625,6192

/03,732

625,632

22

22

⋅−=⋅

−=⋅

−=

⋅−=⋅

−=⋅

−=

18

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

5.2- LAJES CIRCULARES

5.2.5- Exemplo 2Combinação quase permanente:

215,433,025,32 mkN

jQP qψgp =×+=+=

Flecha imediata:

cmmdE

lpa QP

i 3,0003,01,01037,287.21

615,40114,00114,0 33

4

3

4

==⋅×

⋅×=

⋅

⋅⋅=

Flecha total:

cmaa itotal 6,03,022 =×=⋅=

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

5.2- LAJES CIRCULARES

5.2.4- Exemplo 1Flecha devido apenas a carga acidental:

23 mkNq =

Flecha imediata:

cmmdElqaq 2,0002,0

1,01037,287.21630114,00114,0 33

4

3

4

==⋅×

⋅×=

⋅⋅

⋅=

19

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

5.2- LAJES CIRCULARES

5.2.4- Exemplo 1Verificações NBR 6118:2003

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=>===

=>===

cmacmla

cmacmla

qqite

totalPqpite

2,0 7,1350600

350

6,04,2250600

250

,lim

,lim

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

5.2- LAJES CIRCULARES

5.2.5- Exemplo 2Detalhamento:

Armadura positiva - Ø6.3 c/17 cm Armadura negativa

Ø6.3 c/12 - 120

6Ø6.3 c/17

20

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

5.3- LAJES TRIANGULARES

5.3.1- GeneralidadesClassificação das lajes triangulares quanto ao formato:

Eqüilátero (três lados iguais),Isósceles (dois lados iguais) eRetângulo isósceles (dois lados iguais unidos a 90°)

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

5.3- LAJES TRIANGULARES

5.3.2- Caso de Triangulo EqüiláteroPara bordas simplesmente apoiada no contorno:

Armaduras em duas direções, de maneira paralela e perpendicular a um dos lados.

My

Mx

x

y

A

B

C

b

0,27.a

0,46.a

L P1 P2

21

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

Na direção yO momento máximo My ocorre a uma distância igual a 0,46.a.

5.3- LAJES TRIANGULARES

5.3.2- Caso de Triangulo EqüiláteroMomentos máximos (para ν = 0,20 ):Na direção x

O momento máximo Mx ocorre para uma distância igual a 0,27.asendo “a” igual a altura do triângulo equilátero.

44apM

2

x⋅

=46

apM2

y⋅

=

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

Momentos fletores:

5.3- LAJES TRIANGULARES

5.3.2- Caso de Triangulo EqüiláteroNo centro de gravidade do triângulo equilátero:

Flecha máxima:

2946541MM

22

yx ,apapν)( ⋅

=⋅

⋅+==

3

44

01200972 dE

ap,D

apf⋅⋅

⋅=⋅

⋅=

)ν(E.dD 2

3

112 −=

22

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

5.3- LAJES TRIANGULARES

5.3.3- Caso de Triângulo Retângulo IsóscelesAs armaduras podem ser dispostas de maneira paralela e perpendicular à hipotenusa.

a

Mx

Xx

y

a

a

y

Xy

My

c

A

b

xx

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

5.3- LAJES TRIANGULARES

5.3.3- Caso de Triângulo Retângulo IsóscelesNa direção x da normal à hipotenusa:

Os momentos são negativos junto ao canto A (vértice do ângulo reto)Se tornam positivos junto à diagonal.

Momento máximo:

53

2apM x⋅

=80

2apX x⋅

=a

Mx

Xx

y

a

a

x

23

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

5.3- LAJES TRIANGULARES

5.3.3- Caso de Triângulo Retângulo IsóscelesNa direção paralela à hipotenusa:

o momento My é positivo,partindo de zero na hipotenusa e crescendo rapidamente até se manter quase constante ao se aproximar do vértice A do ângulo reto.

Momento máximo:

63

2apM y⋅

=

y

Xy

My

cx

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

5.3- LAJES TRIANGULARES

5.3.3- Caso de Triângulo Retângulo IsóscelesFlecha máxima:

3

4

max 010E.dp.a.,f =

Observação:Os momentos na laje em triângulo retângulo isósceles se aproximam da metade do momentofletor que seria obtido para uma laje quadrada de lado a.Assim, o cálculo pode ser feito, de um modo aproximado, tomando uma laje quadrada de lado am = 0,7 x a.

24

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

5.3- LAJES TRIANGULARES

5.3.3- Caso de Triângulo Retângulo IsóscelesArmação negativa no canto do ângulo reto:

Armação na direção da bissetriz deste ânguloEspaçamento igual ao das armaduras positivasComprimento dos ferros maior ou igual a “a/4”.

A

b

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

5.3- LAJES TRIANGULARES

5.3.4- Lajes em Triângulo IsóscelesA Tabela 1 fornece os coeficientes para obtenção:

Momentos máximos Mx na direção normal à base,My na direção paralela à base de lajes em forma de triângulo isósceles apoiada nos três lados.Flecha máxima;Reações totais Rb na base e Rl nos lados do triângulo isósceles.

25

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

5.3- LAJES TRIANGULARES

5.3.4- Lajes em Triângulo Isósceles

Tabela 1 - Coeficientes para obtenção de esforços em lajes triangulares isósceles

B = base e H = altura do triângulo

0,0750,1000,00940,00810,0001592,00

0,0790,1040,00990,00900,0001701,90

0,0840,1080,01050,00990,0001921,80

0,0900,1130,01110,01080,0002251,70

0,0970,1180,01180,01180,0002701,60

0,1050,1230,01260,01280,0003261,50

0,1150,1280,01350,01410,0003931,40

0,1260,1340,01450,01550,0004691,30

0,1390,1400,01540,01720,0005551,20

0,1540,1480,01610,01920,0006521,10

0,1720,1570,01660,02140,0007621,00

0,1930,1610,01690,02270,0008400,95

0,1950,1650,01720,02410,0009320,90

0,2090,1700,01750,02550,0001040,85

0,2250,1760,01780,02700,001160,80

0,2420,1830,01810,02860,001290,75

0,2630,1900,01860,03030,001440,70

0,2860,1980,01910,03220,001600,65

0,3140,2060,01970,03430,001770,60

0,3480,2140,02030,03670,001960,55

0,3890,2220,02090,03960,002160,50

rlrbmymxfB/H

2.p.BmM xx = 2.p.BmM yy =

2.p.BrR bB =2.p.BrR lL =

Dp.Bf.f

4

max =

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

5.3- LAJES TRIANGULARES

5.3.5- Exemplo de Triângulo EquiláteroCalcular e detalhar as armaduras de uma laje com formato de triângulo equilátero apoiada nas três bordas.Dados:C20; CA-50;q = 3,0kN/m2

h = 10cm;cnom = 2cm;

x

y

3,0m

3,0m

3,0m

2,59m

26

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

5.3- LAJES TRIANGULARES

5.3.5- Exemplo de Triângulo EquiláteroResolução:

Ações:

Momentos máximos nas direções x e y:

2

2

5,535,25,210,025

mkN

mkN

qgpg

=+=+=

=×=

44apM

2

x⋅

=46

apM2

y⋅

=

Sendo a = 2,59m altura do triângulo equilátero

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

5.3- LAJES TRIANGULARES

5.3.5- Exemplo de Triângulo EquiláteroResolução:

Momentos máximos nas direções x e y:

mmkN /.83,044

59,25,544

apM22

x =⋅

=⋅

=

mmkN /.80,046

59,25,546

apM22

y =⋅

=⋅

=

Altura útil (supondo barras de 6,3 mm):

cmch

cmch

yxnom

xnom

05,7263,063,00,210

2d

68,7263,00,210

2d

y

x

=−−−=−−−=

=−−=−−=

φφ

φ

27

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

5.3- LAJES TRIANGULARES

5.3.5- Exemplo de Triângulo EquiláteroÁrea da armadura:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

⋅⋅⋅−−⋅⋅=

cdw

d

fdbMd 2425,0

1125,1X

( )XdfM

yd

d

⋅−⋅=

4,0As

1,5

1,5

As,min (cm2/m)

φ6.3 c/20cm0,3620,16My = 0,80

φ6.3 c/20cm0,3520,15Mx = 0,83

BarrasAs (cm2/m)DomínioX (cm)Mk (kN.m/m)

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

5.3- LAJES TRIANGULARES

5.3.5- Exemplo de Triângulo EquiláteroArmadura de borda:

Visando evitar possíveis fissurações no engastamentoparcial existente entre as lajes e as vigas de borda.

2

2

1,5 /0,15 100 15 2, 25 / 10 / 30100

borda

borda

As cm m mínimo

As cm m mm c cmφ

= →

= × × = →10 = 1,5 cm2 / cm φ6.3mm c/ 20cm

L = a/4 = 259/4=64,75cm - 65cm

28

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

5.3- LAJES TRIANGULARES

5.3.5- Exemplo de Triângulo EquiláteroFlecha imediata:

3

4

01200dEap,ai ⋅

⋅⋅=

Combinação de ações quase permanente:

24,333,05,22 mkN

jQP qψgp =×+=+=

Módulo de elasticidade:

231037,287.2137,287.212047604760

(MPa) 560085,085,0

mkNMPafE

fEEE

ckcs

ckcics

×==⋅=⋅=

⋅⋅=⋅==

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

5.3- LAJES TRIANGULARES

5.3.5- Exemplo de Triângulo EquiláteroFlecha imediata:

cmma

dElp

a

i

QPi

025,000025,00705,01037,287.21

59,24,30120,0

0120,0

33

4

3

4

==⋅×

⋅×=

⋅

⋅⋅=

Flecha total:

cmaa itotal 05,0025,022 =×=⋅=

29

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

5.3- LAJES TRIANGULARES

23 mkNq =

Flecha imediata:

5.3.5- Exemplo de Triângulo EquiláteroFlecha devido apenas a carga acidental:

cmmaq 022,000022,00705,01037,287.21

59,230120,0 33

4

==⋅×

⋅×=

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

5.3- LAJES TRIANGULARES

5.3.5- Exemplo de Triângulo EquiláteroVerificações NBR 6118:2003

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=>===

=>===

cmacmla

cmacmla

qqite

totalPqpite

022,0 74,0350259

350

05,004,1250259

250

,lim

,lim

30

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

5.3- LAJES TRIANGULARES

5.3.5- Exemplo de Triângulo EquiláteroDetalhamento:

Armadura positiva Ø6.3mm c/ 20cm

Ø6.3mm c/20cm

Armadura negativa Ø6.3mm c/ 20cm

Ø6.3mm c/20cm - 659

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

5.3- LAJES TRIANGULARES

5.3.6- Exemplo de Triângulo Retângulo IsóscelesCalcular e detalhar as armaduras de uma laje com formato de triângulo retângulo isósceles, apoiada nas três bordas.Dados:

C20; CA-50;q = 5,0kN/m2

h = 10cm;cnom = 2,5cm;

5,0m

7,07m

5,0m

31

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

5.3- LAJES TRIANGULARES

5.3.6- Exemplo de Triângulo Retângulo IsóscelesResolução:

Ações:

2

2

5,755,2

5,210,025

mkN

mkN

qgp

g

=+=+=

=×=

Momentos máximos na direção x normal à hipotenusa:

mmkN ⋅−=

⋅−=

⋅−= 34,2

8057,5

80apX

22

x

mmkN ⋅=

⋅=

⋅= 53,3

5357,5

53apM

22

x

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

5.3- LAJES TRIANGULARES

5.3.6- Exemplo de Triângulo Retângulo IsóscelesResolução:

Momento máximo na direção y, paralela à hipotenusa:

mmkN /.97,263

0,57,563apM

22

y =⋅

=⋅

=

Altura útil (supondo barras de 8 mm):

cmch xnom 10,72

8,05,2102

d =−−=−−≅φ

32

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

5.3- LAJES TRIANGULARES

5.3.6- Exemplo de Triângulo Retângulo IsóscelesÁrea da armadura:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

⋅⋅⋅−−⋅⋅=

cdw

d

fdbMd 2425,0

1125,1X ( )XdfM

yd

d

⋅−⋅=

4,0As

φ6.3 c/16cm1,501,6720,74Mx = 3,53

1,50

1,50

As,min (cm2/m)

φ6.3 c/20cm1,3920,62My = 2,97

φ6.3 c/20cm1,0920,48Xx = -2,34

BarrasAs (cm2/m)DomínioX (cm)Mk (kN.m/m)

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

5.3- LAJES TRIANGULARES

5.3.6- Exemplo de Triângulo Retângulo IsóscelesArmadura de borda:

Visando evitar possíveis fissurações no engastamentoparcial existente entre as lajes e as vigas de borda.

2

2

1,5 /0,15 100 15 2, 25 / 10 / 30100

borda

borda

As cm m mínimo

As cm m mm c cmφ

= →

= × × = →10 = 1,5 cm2 / cm φ6.3mm c/ 20cm

L = a/4 = 353/4=88,25cm - 88cm

Na direção x normal à hipotenusa.

33

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

5.3- LAJES TRIANGULARES

5.3.6- Exemplo de Triângulo Retângulo IsóscelesFlecha imediata:

3

4010

dEap,ai

⋅⋅

⋅=

Combinação de ações quase permanente:

20,453,05,22 mkN

jQP qψgp =×+=+=

Módulo de elasticidade:

231037,287.2137,287.212047604760

(MPa) 560085,085,0

mkNMPafE

fEEE

ckcs

ckcics

×==⋅=⋅=

⋅⋅=⋅==

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

5.3- LAJES TRIANGULARES

5.3.6- Exemplo de Triângulo Retângulo IsóscelesFlecha imediata:

cmma

dE

lpa

i

QPi

33,00033,0071,01037,287.21

0,50,401,0

01,0

33

4

3

4

==⋅×

⋅×=

⋅

⋅⋅=

Flecha total:

cmaa itotal 66,033,022 =×=⋅=

34

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

5.3- LAJES TRIANGULARES

25 mkNq =

Flecha imediata:

5.3.6- Exemplo de Triângulo Retângulo IsóscelesFlecha devido apenas a carga acidental:

cmmaq 41,00041,0071,01037,287.21

0,50,501,0 33

4==

⋅×⋅

×=

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

5.3- LAJES TRIANGULARES

5.3.6- Exemplo de Triângulo Retângulo IsóscelesVerificações NBR 6118:2003

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=>===

=>===

cmacmla

cmacmla

qqite

totalPqpite

41,0 43,1350500

350

66,00,2250500

250

,lim

,lim

35

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

5.3- LAJES TRIANGULARES

5.3.6- Exemplo de Triângulo Retângulo IsóscelesDetalhamento:

Armadura positiva Ø6.3mm

Ø6.3mm c/20cm

Armadura negativa Ø6.3mm

Ø6.3mm c/20cm -1259

Ø6.3mm c/16cm

Ø6.3mm c/20cm

88cm