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grupos
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Capítulo 1
La estructura de grupo abeliano
“Si la gente no piensa que las matemáticas son simples, es solo porque no se dan cuenta de
lo complicada que es la vida”.
John von Neumann
Los grupos abelianos son las estructuras algebraicas fundamentales en la mayor parte del
álgebra abstracta1, y en particular en el álgebra lineal, la teoría de módulos2, álgebras, etc.
Con esta estructura como base se construyen otras estructuras con más de una operación, en
particular los anillos3, los dominios de integridad4, los campos y los espacios vectoriales5,
los módulos, las álgebras asociativas y no asociativas6, álgebras de Lie7, de Grassmann8, de
Banach9, etc.
Notables excepciones de esta situación son la teoría de retículos10, las algebras de Boole11,
de Heyting y en general las estructuras vinculadas con las lógicas no clásicas12.
El álgebra lineal es el estudio de algunas de estas estructuras algebraicas: los espacios
vectoriales y los módulos. En este libro haremos énfasis en los espacios vectoriales. Las dos
estructuras son casos particulares de ensambles (vía propiedad distributiva) de grupos
abelianos: en el primero se ensamblan campos con grupos abelianos y en el segundo anillos
con grupos abelianos. Los campos están formados por dos grupos abelianos ensamblados y
los anillos son producto de ensamblar un grupo abeliano con un semigrupo.
De esta perspectiva, surge la importancia de estudiar los grupos abelianos, en particular sus
procedimientos de construcción; que resultan universales en el sentido de presentarse en otro
tipo de estructuras algebraicas. Entre esos procedimientos tenemos: construcción en
subconjuntos (subestructuras), en el conjunto de partes de una estructura, en el conjunto
cociente formado por una relación de equivalencia definida sobre la estructura, en el producto
cartesiano de dos estructuras, por copia a través de funciones biyectivas e inyectivas
1Campos, Myriam, Garzón, Maximiliano, Pérez, Jesús Hernando y De Villamarín, Gilma (1990). Fundamentos
de Álgebra Abstracta. Bogotá : Universidad Nacional de Colombia. 2Faccini Alberto. (1998). Module Theory. Basel: Springer. 3Castro I. (1986). Temas de teoría de cuerpos, teoría de anillos y números algebraicos. Bogotá: Universidad
Nacional de Colombia. 4 Burton, David. (1970). A First Course in Rings and Ideals. Massachusetts: Addison-Wesley. p.p. 52-70. 5 Beutelspacher Albrecht (2014). Lineare Algebra. 8 Auflage. Wiesbaden: Springer. P.p. 59-139. 6Kostrikin A. I., Shafarevich I.R. (1995). Algebra VI. Berlin: Springer Verlag. 7 Iachello Francesco (2006). Lie Algebras and applications. Berlin: Springer Verlag. 8 Browne John (2001). Grassmann Algebras. Melbourne: Swinbourne University of Technology. 9 Kaniuth Eberhard (2009). A course in conmutative Banach Algebras. New York: Springer. 10 Graetzer George. (1978). General Lattice Theory. Basel: Birkhauser Verlag. 11 Givant Steven, Halmos Paul. (2009). Introduction to boolean Algebras. New York: Springer. 12 Priest Graham. (2001). An Introduction to Non Classical Logic. Cambridge: Cambridge University Press
(isomorfismos y homomorfismos), en el conjunto de las funciones definidas de un conjunto
cualquiera sobre una estructura (un caso de particular importancia en álgebra lineal son los
espacios de matrices), construcciones a partir de otras estructuras, etc.
1.1. Definición de grupo abeliano
Las estructuras algebraicas se caracterizan por sus propiedades; inicialmente se estudian las
más conocidas, las propiedades que cumplen las operaciones básicas (suma y multiplicación)
de los números naturales; esto es las propiedades asociativa, conmutativa y la de tener un
elemento idéntico o neutro.
Lamentablemente las otras dos operaciones que se estudian en la educación básica, la
sustracción y la división, no son operaciones13 en el sentido del álgebra moderna, pues no
están definidas para todo par de números naturales; pero hay una forma de verlas como una
suma y una multiplicación respectivamente, incluyendo en el conjunto los inversos aditivos
y multiplicativos de sus elementos.
Si incluimos solo los inversos aditivos obtenemos el conjunto de los números enteros (ℤ, +)
y si solo incluimos los inversos multiplicativos resulta el conjunto de los números racionales
positivos (ℚ,⋅), pero si incluimos los dos tipos de inversos obtenemos (ℚ, +) y (ℚ − {0},⋅);
y en todos los casos la estructura que resulta es la de grupo abeliano cuya definición más
conocida es:
Definición 1.1. Un grupo abeliano14 es una pareja (G, +) donde G es un conjunto y + es una
operación binaria interna en G de manera que se cumplen las siguientes propiedades o
axiomas:
GA1. Asociativa: (x, y, z G) ((x + (y + z) = (x +y)+ z).
GA2. Existencia de elemento idéntico: (e G) (x G )( x + e = e + x = x)
GA3. Existencia de elementos inversos: (x G)(y G)(x + y = y + x = e), donde e
es un elemento idéntico cuya existencia garantiza GA2.
GA4. Conmutativa: (x, y G) (x + y = y + x).
Es habitual notar la operación con el símbolo +, sin que el símbolo tenga algún significado,
ni relación con la suma de los conjuntos numéricos usuales. Si no hay lugar a confusión en
relación con la operación +, nos referimos al grupo abeliano (G, +) simplemente como G.
Notemos que el elemento e del que se hace referencia en GA2 es el mismo para todos los
elementos de G, pero el elemento y que menciona GA3 es uno para cada elemento x de G,
13Una operación binaria interna en un conjunto A es una función con dominio en el producto cartesiano AA
y codominio en A. 14La definición de grupo abeliano por medio de axiomas fue formulada inicialmente por Krönecker en 1870.
(Van der Waerden, (1985). A history of algebra. Berlin: Springer Verlag. P. 137). En 1878 Cayley introduce
la noción de grupo abstracto y en 1882 Van Dick presenta la primera definición explícita de esta noción.
(Wussing H. (1984). The génesis of the abstract concept of group.New York: Dover).
donde además GA3 depende del axioma GA2, puesto que el elemento e de GA2 es el mismo
que aparece en GA3.
Algunas de las propiedades enunciadas nos facilitan la manipulación de los elementos de G,
por ejemplo, la propiedad conmutativa nos permite despreocuparnos del orden en que
escribimos los elementos a operar; y la propiedad asociativa nos libera del uso de paréntesis
y da lugar a la definición sin ambigüedad de la suma de tres o más elementos (no
necesariamente diferentes). Por ejemplo, en un grupo abeliano (G, +) definimos x + y + z
como
x + y + z = x + (y + z) = (x + y) + z
o más generalmente
𝑥1 + 𝑥2 + … + 𝑥𝑛 = ∑ 𝑥𝑖𝑛𝑖=1 .
que se conoce como propiedad asociativa generalizada y no depende de la posición de los
paréntesis, donde el símbolo de sumatoria ∑ 𝑥𝑖𝑛𝑖=1 se define recursivamente para todo número
natural n como
i. ∑ 𝑥𝑖 = 𝑥11𝑖=1
ii. ∑ 𝑥𝑖 = ∑ 𝑥𝑖 + 𝑛𝑖=1
𝑛+1𝑖=1 𝑥𝑛+1.
Podemos demostrar que una suma de dos sumandos donde cada sumando es a su vez una
suma puede verse como una suma de más de dos sumandos eliminando los paréntesis.
Teorema 1.1. Sea (𝐺, +) un grupo abeliano entonces para todo par de números naturales n,
m se tiene que ∑ 𝑥𝑖 + ∑ 𝑥𝑛+𝑗 = ∑ 𝑥𝑘𝑚+𝑛𝑘=1
𝑚𝑗=1
𝑛𝑖=1
Prueba
Sea n un número natural fijo pero arbitrario, hagamos inducción sobre m. Por la definición
de sumatoria, la afirmación es cierta para m = 1.
Supongamos que es cierta para m = r y probémosla para m = r + 1. Por la definición de
sumatoria tenemos que
∑ 𝑥𝑖 + ∑ 𝑥𝑛+𝑗 = 𝑟+1𝑗=1
𝑛𝑖=1 ∑ 𝑥𝑖 + (∑ 𝑥𝑛+𝑗 + 𝑥𝑛+𝑟+1
𝑟𝑗=1 )𝑛
𝑖=1
= (∑ 𝑥𝑖 + ∑ 𝑥𝑛+𝑗𝑟𝑗=1
𝑛𝑖=1 ) + 𝑥𝑛+𝑟+1 por la propiedad asociativa
= (∑ 𝑥𝑘𝑛+𝑟𝑘=1 ) + 𝑥𝑛+𝑟+1 por hipótesis de inducción
= (∑ 𝑥𝑘𝑛+𝑟+1𝑘=1 ) por la definición de sumatoria
∎
Observemos que para la prueba del teorema solo usamos la definición de sumatoria y la
propiedad asociativa por el teorema es válido para cualquier estructura que tenga una
operación que cumpla la propiedad asociativa.
Del teorema 1.1 podemos deducir que una suma cualquiera puede verse como una suma de
dos sumandos:
∑ 𝑥𝑘
𝑛
𝑘=1
= ∑ 𝑥𝑘 + ∑ 𝑥𝑘
𝑛
𝑘=𝑚+1
𝑚
𝑘=1
con m n, pues si cambiamos la variable k en el segundo sumando por m + j, la nueva
variable j debe empezar en 1, y como el límite superior para k es n entonces j debe tener como
límite superior n – m, y al aplicar el teorema 1.1 obtenemos la igualdad,
∑ 𝑥𝑘
𝑛
𝑘=1
= ∑ 𝑥𝑖
𝑚
𝑖=1
+ ∑ 𝑥𝑚+𝑗
𝑛−𝑚
𝑗=1
Esto significa que todas las sumas de los mismos elementos xi con i entre 1 y n son las mismas
y en consecuencia pueden omitirse los paréntesis.
Todo esto parece muy esotérico, pero es necesario sofisticar un poco el lenguaje para ganar
en precisión y evitar ambigüedades.
La propiedad asociativa está presente en todos los sistemas numéricos usuales y de hecho por
sí sola tiene gran interés, tanto que se ha desarrollado una teoría para las estructuras
asociativas conocida como la teoría de semigrupos15.
Un semigrupo (A, +) donde exista un elemento idéntico lo llamamos un monoide y un
monoide (A, +) donde cada elemento tenga un elemento inverso lo llamamos un grupo.
Ejemplos
Son grupos abelianos:
a. (ℤ, +) donde ℤ es el conjunto de los números enteros, + es la suma usual y el
elemento idéntico es 0.
b. (ℚ, +) donde ℚ es el conjunto de los números racionales, + es la suma usual y el
elemento idéntico es 0.
c. (ℚ∗,⋅) donde ℚ∗ es el conjunto de los números racionales diferentes de 0, ⋅ es la
multiplicación usual y el elemento idéntico es 1.
15 Un semigrupo es una pareja (A, +) donde A es un conjunto y + es una operación en A que cumpla la propiedad
asociativa. (Clifford A H, Preston G.B, (1977). The Algebraic Theory of Semigroups. Vol I. American
Mathematical Society).
d. (R, +) donde R es el conjunto de los números reales, + es la suma usual y el
elemento idéntico es 0.
e. (R*, ) donde R* es el conjunto de los números reales diferentes de 0, es la
multiplicación usual y el elemento idéntico es 1.
f. (C, +) donde C es el conjunto de los números complejos, + es la suma usual y el
elemento idéntico es 0.
g. (C*, ) donde C* es el conjunto de los números complejos diferentes de 0, es
la multiplicación usual y el elemento idéntico es 1.
h. (Zn, +) donde Zn es el conjunto de las clases de congruencia módulo n con la suma
de congruencias, el elemento idéntico es la clase de 0.
i. (Zp*, ) donde Zp* es el conjunto de las clases de congruencia módulo p (p un
número primo) diferentes de 0 con la multiplicación de congruencias, el elemento
idéntico es la clase de 1.
No son grupos abelianos:
a. (N, +) donde N es el conjunto de los números naturales y + es la suma usual; es
asociativa, conmutativa, el elemento idéntico es 0, pero no todo elemento tiene
inverso aditivo, en particular 3.
b. (N*, ) donde N* es el conjunto de los números naturales diferentes de 0 y es
la multiplicación usual; es asociativa, conmutativa, el elemento idéntico es 1, pero
no todo elemento tiene inverso multiplicativo, en particular 4.
c. (ℕ∗, ^) donde ℕ∗es el conjunto de los naturales sin el cero y ^ es la operación
potenciación usual; no es asociativa, ni conmutativa, ni tiene elemento idéntico.
d. (Z*, ) donde Z* es el conjunto de los números enteros diferentes de 0 y es la
multiplicación usual; es asociativa, conmutativa, el elemento idéntico es 1, pero
no todo elemento tiene inverso multiplicativo, en particular 5.
e. (Z4*, ) donde Z4* es el conjunto de las clases de congruencia módulo 4 diferentes
de 0 con la multiplicación de congruencias; es asociativo, conmutativo, tiene
como elemento idéntico la clase del 1, pero no todo elemento tiene inverso
multiplicativo, en particular la clase del 2.
Ejercicio
¿Cuáles de las siguientes estructuras son grupos abelianos? Los que no, ¿por qué fallan?
a. El conjunto ℕ de los números naturales con la multiplicación (ℕ, ⋅).
b. El conjunto ℤ de los números enteros con la resta (ℤ, −), o con la multiplicación
(ℤ,⋅).
c. El conjunto ℚ∗ de los números racionales sin el cero con la división (ℚ∗, /).
d. El conjunto ℝ de los números reales con la resta (ℝ, −) o con la multiplicación
(ℝ, ⋅).
e. El conjunto ℂ∗ de los números complejos sin el cero con la división (ℂ∗, /).
f. El conjunto ℤ𝑛 de las clases de congruencia módulo 𝑛 con con la multiplicación
de congruencias (ℤ𝑛,⋅).
g. Para un conjunto cualquiera 𝐴, el conjunto de sus partes 𝓅(𝐴) con la unión
(𝓅(𝐴),∪), con la intersección (𝓅(𝐴),∩), con la diferencia (𝓅(𝐴), −) o con la
diferencia simétrica(𝓅(𝐴), ∆).
h. En geometría plana la operación construcción del punto medio que a cada par de
puntos 𝑃 y 𝑄 de un plano , le asigna el punto medio del segmento 𝑃𝑄̅̅ ̅̅ , y a la
pareja (𝑃, 𝑃) le asigna el mismo punto 𝑃.
i. El conjunto ℝ+ de los reales positivos con la potenciación (ℝ+, ^).
1.2. Independencia de los axiomas
Cuando se enuncia un conjunto de axiomas uno de los requisitos que debe cumplir es que
sean independientes unos de otros, esto significa que no sea posible deducir uno de ellos de
los demás, y para demostrar que una propiedad P es independiente de las demás basta mostrar
un ejemplo (modelo) de una operación donde se cumplan las otras propiedades y no se
cumpla la propiedad P, pues si P se pudiera deducir de las demás y las demás se cumplen
debería cumplirse P. Por ejemplo en la definición de grupo abeliano, GA4 es independiente
de GA1, GA2 y GA3. La operación * en el conjunto 𝐺 = {0, 1, 2, 3, 4, 5}, con elemento
idéntico 𝑒 = 0 dada por la tabla 1.1 cumple16 GA1, GA2 y GA3, pero no GA4, pues
4 ∗ 3 ≠ 3 ∗ 4. * 0 1 2 3 4 5
0 0 1 2 3 4 5
1 1 0 5 4 3 2
2 2 4 0 5 1 3
3 3 5 4 0 2 1
4 4 2 3 1 5 0
5 5 3 1 2 0 4
Tabla 1.1.
16 Como la verificación de una propiedad en un conjunto finito en general requiere numerosos cálculos,
recurrimos a un software diseñado por el Grupo de algebra y programado por Leonardo Ángel que llamamos
Álgebra finita versión 2.0.
De manera similar tenemos que GA1 es independiente de GA2, GA3 y GA4 como se muestra
en la operación definida en {0, 1, 2} dada por la tabla 1.2; ya que no se cumple GA1 debido
a que 2 ∗ (1 ∗ 1) ≠ (2 ∗ 1) ∗ 1, pero podemos verificar que sí se cumplen GA2, GA3 y GA4.
* 0 1 2
0 0 1 2
1 1 2 0
2 2 0 0
Tabla 1.2.
El conjunto de los números naturales con la suma usual (ℕ, +) muestra que GA3 es
independiente de GA1, GA2 y GA4. Una estructura que cumpla estas tres ultimas
propiedades la llamamos un monoide conmutativo.
Por último la operación ⊥ en G = {0, 1} dada por la tabla 1.3, cumple GA1 y GA4 pero no
satisface GA2, por supuesto al no cumplir esta última no tiene sentido pensar en que cumpla
GA3. Una estructura que cumpla GA1 y GA4 la llamamos un semigrupo conmutativo.
⊥ 0 1
0 0 0
1 0 0
Tabla 1.3.
1.3. Teoremas básicos sobre grupos abelianos Veamos algunas propiedades que se cumplen para cualquier grupo abeliano
independientemente del significado de sus elementos.
Teorema 1.2. Sea (G, +) un grupo abeliano. Para todo a, b, c G,
Si a = b entonces a + c = b + c y c + a = c + b
Prueba
Como + es una operación en G, es una función con dominio GG y codominio G, por lo
tanto para todo a, b, c, d G, si (a, c) = (b, d), esto es, a = b y c = d entonces a + c = b + d;
en particular cuando c = d, obtenemos que a + c = b + c. Con un argumento similar también
se cumple que c + a = c + b.
∎
Notemos que en la demostración del teorema no usamos los axiomas de grupo abeliano, solo
la definición de operación; esto implica que el teorema 1.2 es válido en cualquier conjunto
donde este definida una operación, estas estructuras se conocen como grupoide17 o magma18.
Teorema 1.3. Sea (G, +) un grupo abeliano. El elemento idéntico cuya existencia garantiza
GA2 es único.
Prueba
Supongamos que existen dos elementos idénticos 𝑒 y 𝑒′, entonces
𝑒 + 𝑒′ = 𝑒′ porque 𝑒 es elemento idéntico
y
𝑒 + 𝑒′ = 𝑒 porque 𝑒′ es elemento idéntico
y como + es una función entonces 𝑒 = 𝑒′. ∎
Como el elemento idéntico en un grupo abeliano es único, lo llamaremos 0.
La unicidad del elemento idéntico no depende de los demás axiomas, por tanto en cualquier
grupoide con elemento idéntico, este es único.
Teorema 1.4. Sea (G, +) un grupo abeliano. Para todo elemento x G, el elemento cuya
existencia garantiza el axioma GA3 es único.
Prueba
Para todo elemento a G el axioma GA3 garantiza la existencia de por lo menos un elemento
inverso 𝑦; supongamos que a tiene dos inversos diferentes 𝑦 y 𝑦′ entonces,
𝑦 = 0 + 𝑦 Por ser 0 el elemento idéntico
= (𝑦’ + 𝑎) + 𝑦 Por ser 𝑦’ un inverso aditivo de a
= 𝑦’ + (𝑎 + 𝑦) Por GA1
= 𝑦’ + 0 Por ser 𝑦 un inverso aditivo de a
= 𝑦’ Por ser 0 el elemento idéntico
∎
Como para todo a G, el elemento inverso es único lo llamaremos −𝑎.
17Ilse, D., Lehmann, I. &Schulz, W., (1984). Gruppoide und Funktionalgleichungen. Berlín: VEB
DeutscherVerlag der Wissenschaften. p. 14. 18El término magma fue introducido por Bourbaki N. (1970). Éléments de Mathématique. Algébre. AI 1. París:
Hermann. La palabra grupoide también se usa en teoría de categorías para aquellas donde todos los morfismos
son isomorfismos. (Brown R, Groupoids and Van Kampen’s theorem, Proc. London Math. Soc. (3) 17 (1967)
385-40.
Corolario 1.1. Sea (G, +) un grupo abeliano. Para todo a, b G, si
𝑎 + 𝑏 = 0 entonces 𝑏 = – 𝑎.
Notemos que la unicidad de los elementos inversos, en nuestra presentación, solo requiere
de la propiedad asociativa19; en cualquier monoide si un elemento tiene inverso, este es único.
En particular el teorema 1.4 y el corolario 1.1 valen en un grupo no abeliano, es decir una
estructura que cumple GA1, GA2, GA3 pero no GA4.
Teorema 1.5. Sea (G, +) un grupo abeliano. Para todo a G se tiene que
𝑎 = – (– 𝑎).
Prueba
Por el axioma GA3 y el teorema 1.4 sabemos que
(– 𝑎) + 𝑎 = 0 y por el corolario 1.1,
𝑎 = – (– 𝑎).
∎
Teorema 1.6. Sea (G, +) un grupo abeliano. Para todo a, b G
a = b si y solo si – a = – b.
Teorema 1.7. Sea (G, +) un grupo abeliano. Para todo a, b en G se tiene que
– (a + b) = (– a) + (– b).
Prueba
Por el axioma GA3 y el teorema 1.4 tenemos que
a + (– a) = 0
y
b + (– b) = 0
por el teorema 1.2,
(a + (– a)) + (b + (– b)) = 0 + 0.
De acuerdo con los axiomas GA1, GA2 y GA4,
(a + b) + ((– a)) + (– b)) = 0
Finalmente, por el corolario 1.1,
– (a + b) = (– a) + (– b).
∎
19Por supuesto esto depende de la demostración presentada, si en una demostración alternativa usamos la
propiedad asociativa y la propiedad cancelativa, eventualmente conjeturamos que se requieren las dos.
Teorema 1.8. (Propiedad cancelativa). Sea (G, +) un grupo abeliano. Para todo a, b G
si a + b = a + c entonces b = c.
si b + a = c + a entonces b = c.
Prueba
Supongamos que
a + b = a + c
por el axioma GA3 y el teorema 1.4 existe (– a) G y por el teorema 1.2, sumamos (– a) en
ambos lados de la igualdad y obtenemos
(– a) + (a + b) = (– a) + (a + c)
y por el axioma GA1
((– a) + a) + b = ((– a) + a) + c
ahora, usamos el axioma GA3 para obtener:
0 + b = 0 + c
y por el axioma GA2, concluimos que
b = c.
Por el axioma GA4 y el resultado anterior tenemos que si b + a = c + a entonces b = c.
∎
Corolario 1.2. Sea (G, +) un grupo abeliano. Para todo a, b en G, la ecuación a + x = b tiene
a lo más una solución.
Prueba: Si la ecuación a + x = b no tiene solución, ya acabamos. Si tiene, esta debe ser única.
Para probarlo, supongamos que z y z’ son soluciones, entonces a + z = b = a + z’ y por la
propiedad cancelativa, teorema 1.8, z = z’.
∎
Definición 1.2. Una estructura (D, *) donde para todo a, b en D, cada una de las ecuaciones
a * x = b y y * a = b tienen a lo más una solución se llama20 K-grupoide.
En un grupo abeliano si la ecuación a + x = b tiene solución, por el axioma GA4 la ecuación
y + a = b también tiene una solución y además en los dos casos las soluciones son las mismas.
Y si la ecuación a + x = b no tiene solución, la ecuación y + a = b tampoco tendrá una
solución. Luego podemos afirmar que todo grupo abeliano es un K-grupoide.
Sin embargo en un K-grupoide en general, puede suceder que una de las ecuaciones tenga
solución y la otra no, o que las dos ecuaciones tengan solución pero que estas sean diferentes,
por ejemplo si en N – {0, 1} donde N es el conjunto de los números naturales definimos la
20Ilse, Lehmann y Schulz, (1984) p. 21.
operación como x y = xy, tenemos que (N – {0, 1}, ) es un K-grupoide, donde la ecuación
3 x = 9 tiene como única solución x = 2 pero la ecuación y 3 = 9 no tiene solución. También
se da que cada una de las ecuaciones 2 x = 64 y y 2 = 64 tiene una única solución pero
estas son diferentes, en este caso x = 6 y y = 8.
Al observar la prueba del corolario 1.2 notamos que solo usamos la propiedad cancelativa,
esto nos llevó a estudiar la propiedad cancelativa en los K-grupoides y concluir que todo K-
grupoide es cancelativo.
Teorema 1.9. Sea (D, *) un K-grupoide entonces se cumple la propiedad cancelativa.
Teorema 1.10. Sea (G, +) un grupo abeliano. Para todo a, b en G, la ecuación a + x = b tiene
al menos una solución.
Prueba.
Si hacemos x = (– a) + b, vemos que es solución de la ecuación a + x = b, pues
a +((– a) + b) =(a +(– a)) + b = 0 + b = b.
∎
Definición 1.3. Una estructura (B, *) donde para todo a, b en B, cada una de las ecuaciones
a * x = b y y * a = b tienen al menos una solución se llama21 D-grupoide.
Ejemplo
Sea (Z, *) donde Z es el conjunto de los números enteros, para todo a, b en Z definimos
a * b = |a – b|
(Z, *) es un D-grupoide, pues para todo a, b en Z, las ecuaciones 𝑎 ∗ 𝑥 = 𝑏 y 𝑦 ∗ 𝑎 = 𝑏
tienen soluciones: x1 = a + b, x2 = a – b, y1 = a + b, y2 = a – b.
Como vimos en el ejemplo, en los D-grupoides en general las ecuaciones 𝑎 + 𝑥 = 𝑏 y 𝑦 +𝑎 = 𝑏 pueden tener mas de una solución, pero en el caso de los grupos abelianos, por el
corolario 1.2 y el teorema 1.10, estas ecuaciones solo tienen una solución, es decir, se cumple
que:
Teorema 1.11. (Propiedad de Hilbert22). Sea (G, +) un grupo abeliano. Para todo 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐺
las ecuaciones 𝑎 + 𝑥 = 𝑏 y 𝑦 + 𝑎 = 𝑏 tienen solución única. En nuestro caso, como la
operación es conmutativa, las dos ecuaciones se reducen a una.
21Ilse, Lehmann y Schulz, (1984). p. 19. 22Esta propiedad fue presentada como parte de una axiomatización para los números reales en el libro: Hilbert,
D. (1953). Fundamentos de la Geometría. Madrid: Publicaciones del Instituto Jorge Juan de Matemáticas.
[Traducción de la séptima edición alemana por Francisco Cebrian]. p.p. 56-58.
Definición 1.4. En un grupo abeliano (G, +) la única solución a la ecuación 𝑎 + 𝑥 = 𝑏 la
llamamos b – a.
Definición 1.5. La propiedad de Hilbert permite definir dos operaciones en G, una que la
llamamos sustracción o resta donde a cada pareja de elementos (a, b) de GG le corresponde
a – b.
Definición 1.6. La otra operación en G que definimos usando la propiedad de Hilbert es la
sustracción o resta recíproca donde a cada pareja de elementos (a, b) de GG le corresponde
b – a, la notamos a – b = b – a.
Definición 1.7. Una estructura (B, *) donde para todo a, b en B, cada una de las ecuaciones
a * x = b y y * a = b tienen una única solución se llama Cuasigrupo23.
Cabe resaltar que en un cuasigrupo en general el hecho de que las ecuaciones mencionadas
tengan una única solución, no implica que dichas soluciones sean las mismas, por ejemplo si
en el conjunto de los números racionales Q definimos la operación ∘ como x ∘ y = 2x + y,
tenemos que (Q, ∘) es un cuasigrupo donde las ecuaciones 6 ∘ x = 14 y y ∘ 6 = 14 tienen como
una única solución a x = 2 y y = 4 respectivamente.
Hasta ahora hemos demostrado que en los grupos abelianos se cumple la propiedad
cancelativa y con ella probamos la propiedad de Hilbert; pero podemos invertir el orden de
la presentación y demostrar primero la propiedad de Hilbert y usarla para probar la propiedad
cancelativa; puesto que si (G, +) satisface esta propiedad, es un K-grupoide y el teorema 1.9
garantiza que se cumple la propiedad cancelativa.
Teorema 1.12. (Asociativa cíclica I). Sea (G, +) un grupo abeliano. Para todo a, b, c G,
𝑎 + (𝑏 + 𝑐) = 𝑐 + (𝑎 + 𝑏)
Prueba.
Por el axioma GA1 tenemos que 𝑎 + (𝑏 + 𝑐) = (𝑎 + 𝑏) + 𝑐 y por el axioma GA4 se cumple
que (𝑎 + 𝑏) + 𝑐 = 𝑐 + (𝑎 + 𝑏), por tanto concluimos que
𝑎 + (𝑏 + 𝑐) = 𝑐 + (𝑎 + 𝑏).
∎
Teorema 1.13. (Asociativa cíclica II). Sea (G, +) un grupo abeliano. Para todo 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝐺,
𝑎 + (𝑏 + 𝑐) = (𝑐 + 𝑎) + 𝑏
Teorema 1.14. (Abel-Grassmann I). Sea (G, +) un grupo abeliano. Para todo 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝐺,
𝑎 + (𝑏 + 𝑐) = 𝑐 + (𝑏 + 𝑎)
23El concepto fue introducido B. A. Hausmann y O. Ore en 1937. (Ilse, Lehmann y Schulz, (1984). p. 22.).
Teorema 1.15. (Abel-Grassmann II). Sea (G, +) un grupo abeliano. Para todo 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝐺,
𝑎 + (𝑏 + 𝑐) = (𝑏 + 𝑎) + 𝑐
Teorema 1.16. (Bisimetría). Sea (G, +) un grupo abeliano. Para todo 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 ∈ 𝐺,
(𝑎 + 𝑏) + (𝑐 + 𝑑) = (𝑎 + 𝑐) + (𝑏 + 𝑑)
Teorema 1.17. (Propiedad del producto reducido). Sea (G, +) un grupo abeliano. Para todo
𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝐺, se cumple que 𝑎 + (𝑏 + 𝑐) = 𝑎 + (𝑐 + 𝑏).
Teorema 1.18. (Permutable a derecha). Sea (G, +) un grupo abeliano. Para todo 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝐺, se cumple que 𝑎 + (𝑏 + 𝑐) = (𝑎 + 𝑐) + 𝑏.
Teorema 1.19. (Permutable a izquierda) Sea (G, +) un grupo abeliano. Para todo 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝐺, se cumple que (𝑎 + 𝑐) + 𝑏 = 𝑏 + (𝑎 + 𝑐).
Teorema 1.20. (Elasticidad) Sea (G, +) un grupo abeliano. Para todo 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐺, se cumple
que 𝑎 + (𝑏 + 𝑎) = (𝑎 + 𝑏) + 𝑎 .
Teorema 1.21. Sea (G, +) un grupo abeliano. Para todo 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 ∈ 𝐺, se cumple que
(𝑎 + 𝑏) − (𝑐 + 𝑑) = (𝑎 − 𝑐) + (𝑏 − 𝑑).
En las demostraciones de las propiedades asociativa cíclica I, asociativa cíclica II, Abel-
Grassmann I, Abel-Grassmann II, bisimetría, producto reducido, permutable a derecha y
permutable a izquierda solo se requiere de las propiedades asociativa y conmutativa, por tanto
todo semigrupo conmutativo cumple dichas propiedades.
Ejercicios
1. Demostrar los teoremas 1.6, 1.9, 1.13, 1.14, 1.15, 1.16, 1.17, 1.18, 1.19, 1.20 y 1.21.
2. Demostrar que en un grupoide donde se cumpla la propiedad de Abel-Grassmann I
también se cumple la bisimetría.
3. Muestre un ejemplo donde se cumpla la bisimetría y no se cumpla la propiedad de
Abel-Grassmann I.
4. Demostrar que en todo semigrupo se cumple la propiedad elástica.
1.4. Otras caracterizaciones de los grupos abelianos
La caracterización de los grupos abelianos dada por los axiomas GA1, GA2, GA3 y GA4 es
la más conocida pero no es la única, una manera diferente de presentarlos es debilitando las
condiciones de GA2 y GA3, exigiendo solo que haya elemento idéntico a izquierda (o a
derecha) y que haya solo elementos inversos a izquierda (o a derecha). Otras menos usuales
consisten en cambiar algunos axiomas por otros que permitan una definición equivalente,
aquí presentamos algunas posibilidades.
1.4.1. Debilitando los axiomas iniciales
Como mencionamos podemos mantener los axiomas GA1 y GA4, y debilitar los axiomas
GA2 y GA3 de la siguiente manera:
GA2’ Existencia de elemento idéntico a Izquierda: (0 G) (x G )(0 + x = x)
GA3’. Existencia de elementos inversos a Izquierda: (x G)(y G)( y + x = 0),
donde 0 es un elemento cuya existencia garantiza GA2’.
GA2’’ Existencia de elemento idéntico a Derecha: (0 G) (x G )(x+0 = x)
GA3’’. Existencia de elementos inversos a Derecha: (x G)(y G)(x+y = 0),
donde 0 es un elemento cuya existencia garantiza GA2’.
Es claro que GA2 implica GA2’ y GA2’’ y que GA3 implica GA3’y GA3’’. Ahora por GA4
se tendría que GA2’ ó GA2’’ implican GA2, y GA3’ ó GA3’’ implican GA3. Sin embargo,
es interesante ver que GA2’ y GA3’ implican GA2 y GA3 usando la propiedad asociativa y
no la conmutativa, pero antes de probarlo, observemos que en la prueba del teorema 1.3 solo
usamos el hecho de que 𝑒′ es idéntico a derecha y de que 𝑒 es idéntico a izquierda para
demostrar la unidad del neutro, por lo que se tiene el siguiente resultado:
Corolario 1.3. Sea (𝐺,∗) es un grupoide con elemento idéntico a derecha 𝑒 y elemento
idéntico a izquierda 𝑒′entonces 𝑒 = 𝑒′.
Teorema 1.22. Si (G, *) es un semigrupo con un elemento idéntico a izquierda y elementos
inversos a izquierda para cada elemento de G, entonces (G, *) es un grupo24.
Prueba.
Por GA2’ existe 𝑒 ∈ 𝐺 idéntico a izquierda. Sea a en G, luego por GA3’ existe p en G tal que
p * a = e y existe d en G tal que d * p = e. Luego tenemos que
(d * p) * a = e * a = a
Y de aquí obtenemos que d * e = d * (p * a) = (d * p) * a = a. Por otro lado
a=(d * p) * a = d * (p * a) = d * e = d * (e * e) = (d * e) * e = a * e
Por tanto a * e = a y como esto se cumple para todo a en G, tenemos que e es elemento
idéntico a derecha, esto es e es elemento idéntico y por el corolario 1.3 concluimos que es
único.
Ahora bien, también se cumple que
𝑎 = 𝑒 ∗ 𝑎 = (𝑑 ∗ 𝑝) ∗ 𝑎 = 𝑑 ∗ (𝑝 ∗ 𝑎) = 𝑑 ∗ 𝑒 = 𝑑
24 Zassenhaus Hans. (1999). The Theory of Groups. New York: Dover. pag.1.
Por tanto 𝑎 ∗ 𝑝 = 𝑒, luego p es inverso a izquierda y a derecha de a; en consecuencia para
todo 𝑎 ∈ 𝐺 el inverso a izquierda también es inverso a derecha, entonces (𝐺,∗) es un grupo
∎
Como 𝐺𝐴2′, GA3’ y 𝐺𝐴1 implican 𝐺𝐴2 𝑦 𝐺𝐴3 y además teníamos que 𝐺𝐴3 y 𝐺𝐴2 implican
𝐺𝐴2′ y 𝐺𝐴3′, podemos concluir que un grupo abeliano es una pareja (G, +) donde G es un
conjunto y + es una operación que cumple las siguientes propiedades:
GA1. Asociativa: (x, y, z G) ((x + (y + z) = (x +y)+ z).
GA2’ Existencia de elemento idéntico a Izquierda: (0 G) (x G )(0 + x = x)
GA3’. Existencia de elementos inversos a Izquierda: (x G)(y G)( y + x = 0),
donde 0 es un elemento cuya existencia garantiza GA2’.
GA4. Conmutativa: (x, y G) (x + y = y + x).
Por argumentos similares podemos caracterizar los grupos abelianos como:
GA1. Asociativa: (x, y, z G) ((x + (y + z) = (x +y)+ z).
GA2’’ Existencia de elemento idéntico a Derecha: (0 G) (x G )(x + 0 = x)
GA3’’. Existencia de elementos inversos a Derecha: (x G)(y G)(x + y = 0),
donde 0 es un elemento cuya existencia garantiza GA2’’.
GA4. Conmutativa: (x, y G) (x + y = y + x).
1.4.2. Sustituyendo algunos axiomas
Otra estrategia en busca de nuevas caracterizaciones de grupos abelianos es intercambiar o
sustituir algunos de los axiomas que están en la definición 1.1 por otras propiedades, de
manera que estas nuevas propiedades al mezclarse con las que quedan fijas impliquen los
axiomas de grupo abeliano que estamos reemplazando.
1.4.2.1 Sustituyendo GA1 y GA4.
En la definición 1.1 de grupo abeliano podemos sustituir las propiedades asociativa y
conmutativa por alguna de las siguientes propiedades: asociativa cíclica I, asociativa cíclica
II, Abel-Grassmann I, Abel-Grassmann II, bisimetría, producto reducido, permutable a
derecha o permutable a izquierda; ya que cada una de estas combinada con GA2 implican
GA4 y GA1, veamos dos ejemplos.
Teorema 1.23. Sea (A, *) un grupoide con elemento idéntico 𝑒, donde ∗ cumple la propiedad
asociativa cíclica I, entonces * cumple las propiedades asociativa y conmutativa.
Prueba
Por hipótesis (A, *) cumple la propiedad asociativa cíclica I, esto es, para todo 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝐴 se
tiene que:
𝑎 ∗ (𝑏 ∗ 𝑐) = 𝑐 ∗ (𝑎 ∗ 𝑏)
En particular, si a = e entonces 𝑒 ∗ (𝑏 ∗ 𝑐) = 𝑐 ∗ (𝑒 ∗ 𝑏) y por tanto 𝑏 ∗ 𝑐 = 𝑐 ∗ 𝑏, lo que
significa que la operación * es conmutativa.
Ahora, como se cumple que 𝑎 ∗ (𝑏 ∗ 𝑐) = 𝑐 ∗ (𝑎 ∗ 𝑏) y * es conmutativa entonces:
𝑎 ∗ (𝑏 ∗ 𝑐) = (𝑎 ∗ 𝑏) ∗ 𝑐,
lo que significa que la operación * es asociativa.
∎
Por el teorema 1.22 tenemos que la asociativa cíclica I que llamaremos 𝐺𝐴1′ y 𝐺𝐴2 implican
GA1 y GA4; y por la prueba del teorema 1.12 sabemos que GA1 y GA4 implican 𝐺𝐴1′, luego se tiene que un grupo abeliano es una pareja (G,*) donde G es un conjunto y * es una
operación que cumple las siguientes propiedades:
GA1’: Asociativa cíclica I: (∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝐺) (𝑥 ∗ (𝑦 ∗ 𝑧) = 𝑧 ∗ (𝑥 ∗ 𝑦))
GA2: Existencia de elemento idéntico: (∃𝑒 ∈ 𝐺) (∀𝑥 ∈ 𝐺: 𝑥 ∗ 𝑒 = 𝑒 ∗ 𝑥 = 𝑥)
GA3: Existencia de elementos inversos: (∀𝑥 ∈ 𝐺)(∃𝑦 ∈ 𝐺)(𝑥 ∗ 𝑦 = 𝑦 ∗ 𝑥 = 𝑒) donde 𝑒
es un elemento idéntico cuya existencia garantiza GA2.
Teorema 1.24. Sea (A,*) un grupoide con elemento idéntico e donde la operación * cumple
la propiedad bisimétrica, entonces * es asociativa y conmutativa25.
Prueba
Por hipótesis (A, *) cumple la propiedad bisimétrica, esto es, para todo 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 ∈ 𝐴 se tiene
que:
(𝑎 ∗ 𝑏) ∗ (𝑐 ∗ 𝑑) = (𝑎 ∗ 𝑐) ∗ (𝑏 ∗ 𝑑)
Ahora si hacemos 𝑎 = 𝑒 = 𝑑 entonces (𝑒 ∗ 𝑏) ∗ (𝑐 ∗ 𝑒) = (𝑒 ∗ 𝑐) ∗ (𝑏 ∗ 𝑒) y como e es
elemento idéntico, 𝑏 ∗ 𝑐 = 𝑐 ∗ 𝑏, lo que significa que la operación * es conmutativa.
Por otro lado, si 𝑏 = 𝑒 entonces (𝑎 ∗ 𝑒) ∗ (𝑐 ∗ 𝑑) = (𝑎 ∗ 𝑐) ∗ (𝑒 ∗ 𝑑) y por tanto
𝑎 ∗ (𝑐 ∗ 𝑑) = (𝑎 ∗ 𝑐) ∗ 𝑑, lo que significa que la operación * es asociativa.
∎ Por los teoremas 1.16 y 1.24 se tiene que un grupo abeliano es una pareja (G, *) donde G es
un conjunto y * es una operación que cumple las siguientes propiedades:
GA1’’ Bisimétrica: (x, y, z, u G) ((x * y)*(z * w) = (x * z)*(y * w)
GA2. Existencia de elemento idéntico: (e G)(x G : x * e = e * x = x)
GA3. Existencia de elementos inversos: (x G)(y G)(x * y = y * x = e), donde 𝑒
es un elemento idéntico cuya existencia garantiza GA2.
25Debemos tener cuidado con las afirmaciones hechas, la propiedad bisimétrica se deduce de las propiedades
asociativa y conmutativa pero la afirmación recíproca no es cierta, por ejemplo la operación construcción del
punto medio en el plano es bisimétrica pero no asociativa, y la sustracción en los números enteros es bisimétrica
pero no conmutativa, ni asociativa.
Los otros casos podemos resumirlos en el siguiente teorema:
Teorema 1.25. Un grupoide (A,*) que satisfaga los axiomas GA2, GA3 y alguna de las
propiedades: asociativa cíclica II, Abel-Grassmann I, Abel-Grassmann II, producto reducido,
permutable a derecha o permutable a izquierda, es un grupo abeliano.
Ejercicios
1. Demuestre la independencia entre las propiedades GA2, GA3 y GA1’.
2. Demuestre la independencia entre las propiedades GA2, GA3 y GA1’’.
3. Demuestre el teorema 1.25
1.4.2.2. Sustituyendo GA2 y GA3.
Se puede sustituir GA2 y GA3 en la definición 1.1 por la propiedad de Hilbert y obtener otra
caracterización de grupo abeliano, debido al teorema 1.11 y al siguiente teorema.
Teorema 1.26. Si (G, +) es un cuasigrupo conmutativo y asociativo es un grupo abeliano26
en el sentido de la definición 1.1.
Prueba
Como (G, +) es un cuasigrupo, para todo 𝑎 ∈ 𝐺 la ecuación 𝑎 + 𝑥 = 𝑎 tiene solución única
que llamaremos 𝑒𝑎, es decir, 𝑎 + 𝑒𝑎 = 𝑎; además por la propiedad conmutativa 𝑎 + 𝑒𝑎 =𝑒𝑎 + 𝑎 = 𝑎 para todo 𝑎 ∈ 𝐺. Ahora sea 𝑏 ∈ 𝐺, entonces sustituyendo y por la propiedad
asociativa, tenemos que:
𝑎 + 𝑏 = (𝑎 + 𝑒𝑎) + 𝑏 = 𝑎 + (𝑒𝑎 + 𝑏)
Por el teorema 1.9, (G, +) es cancelativo y en consecuencia 𝑏 = 𝑒𝑎 + 𝑏. Luego, 𝑒𝑎 + 𝑏 =𝑏 = 𝑒𝑏 + 𝑏, y nuevamente por la propiedad cancelativa, concluimos que 𝑒𝑎 = 𝑒𝑏. Como esta
argumentación es válida para todo 𝑏 ∈ 𝐺, se cumple que 𝑒𝑎 es el elemento idéntico de G, que
llamaremos e.
Falta probar que cada elemento de G tiene un elemento inverso, pero esto se tiene ya que
para todo 𝑎 ∈ 𝐺 la ecuación 𝑥 + 𝑎 = 𝑒, donde 𝑒 es el elemento idéntico de G, tiene solución;
además por la propiedad conmutativa a + x = e = x + a. Por tanto (G, +) es un grupo abeliano.
∎
De acuerdo con lo anterior, tenemos que un grupo abeliano es una pareja (G, *) donde G es
un conjunto y * es una operación que cumple las siguientes propiedades:
26 Hilbert en 1900 incluyó la existencia de elemento idéntico en los axiomas que definen la suma de los números
reales, pero luego afirma que dicha existencia se deduce de los demás p. 247. Tarski en 1938 lo define como
un cuasigrupo asociativo y conmutativo (Tarski, Alfred. (1938). ‘Ein Beitrag zur Axiomatik der Abelschen
Gruppen’, Fundamenta Mathematicae 30, 253–256).
GA1 Asociativa: (x, y, z G) ((x * (y * z) = (x * y)* z).
GA2’’’. Para todo x, y G, la ecuación 𝑎 + 𝑥 = 𝑏 tiene solución única.
GA4. Conmutativa: (x, y G) (x * y = y * x).
En este ocasión también se tiene la independencia entre las propiedades G1, G4 y G2’’’. Por
ejemplo la operación que indica la tabla 1.4 muestra que G4 es independiente de G1 y G2’’’.
º 0 1 2 3 4 5
0 0 1 2 3 4 5
1 1 0 5 4 3 2
2 2 4 0 5 1 3
3 3 5 4 0 2 1
4 4 2 3 1 5 0
5 5 3 1 2 0 4 Tabla 1.4.
Y la operación que muestra la tabla 1.5 no cumple G1 pero satisface G4 y G2’’’.
º 0 1 2
0 1 0 2
1 0 2 1
2 2 1 0 Tabla 1.5.
Por último, (N, +) cumple G1 y G4 pero no satisface G2’’’.
La primera condición del teorema 1.26 puede debilitarse dando lugar al teorema 1.27.
Teorema 1.27. Si (G, +) es un D-grupoide asociativo, entonces es un grupo.
Prueba
Para todo a G existen 𝑒𝑎 y �̂�𝑎 en G tales que
a * 𝑒𝑎 = a y �̂�𝑎 * a = a (1)
Sea b G, existen x y y en G tales que
a * x = b y y * a = b (2)
Luego,
�̂�𝑎 * b = �̂�𝑎 * (a * x) Por (2)
= (�̂�𝑎 * a) * x Por la propiedad asociativa
= a * x Por (1)
= b Por (2)
También tenemos que
𝑏 * 𝑒𝑎 = (y * a) * 𝑒𝑎 Por (2)
= y * (a * 𝑒𝑎) Por la propiedad asociativa
= y * a Por (1)
= b Por (2)
Como este razonamiento es válido para todo b G, 𝑒𝑎 es idéntico a derecha y �̂�𝑎 es idéntico
a izquierda, luego por el corolario 1.3, �̂�𝑎 = 𝑒𝑎 y este es el elemento idéntico de G que
llamaremos e.
Además, para cada elemento b G la ecuación 𝑦 ∗ 𝑏 = e tiene solución, lo que implica que
para todo 𝑏 ∈ 𝐺 existe un elemento inverso a izquierda y por el teorema 1.22, (G, +) es un
grupo.
∎
Por el teorema 1.27 y el teorema 1.10 tenemos que un grupo abeliano es una pareja (G, *)
donde G es un conjunto y * es una operación que cumple las siguientes propiedades:
GA1 Asociativa: (x, y, z G) ((x * (y * z) = (x * y)* z).
GA2’’’’ Para todo x, y G, cada una de las ecuaciones 𝑎 ∗ 𝑥 = 𝑏 y 𝑦 ∗ 𝑎 = 𝑏 tiene al menos
una solución.
GA4. Conmutativa: (x, y G) (x * y = y * x).
1.4.2.3. Sustituyendo los cuatro axiomas.
Finalmente, al revisar los resultados anteriores surge, de manera natural, la idea de sustituir
todos los axiomas dados en la definición 1.1 para encontrar otras caracterizaciones de los
grupos abelianos, obteniendo los teoremas que se enuncian a continuación.
Teorema 1.28. Un cuasigrupo (G, +) asociativo cíclico I es un grupo abeliano.
Teorema 1.29. Un cuasigrupo (G, +) asociativo cíclico II es un grupo abeliano.
Teorema 1.30. Un cuasigrupo (G, +) que cumple la propiedad de Abel-Grassmann II es un
grupo abeliano.
Teorema 1.31. Un cuasigrupo (G, +) que cumple la propiedad del producto reducido es un
grupo abeliano.
Sin embargo al estudiar las propiedades bisimétrica, Abel-Grassman I y permutable a
derecha, encontramos que un cuasigrupo con alguna de esas propiedades no es un grupo
abeliano, ejemplo de esto lo constituye la resta en los números enteros, que cumple estas
propiedades pero no es grupo abeliano.
Ejercicio Demostrar los teoremas 1.28, 1.29, 1.30 y 1.31.
