Capitolul 2-Ecuatii Modelediferentiale Regimuri Cp Elmg Th

Capitolul 2: ECUA II, MODELE DIFEREN IALE I REGIMURI ALE

CMPURILOR ELECTROMAGNETIC I TERMIC N STUDIUL MA INILOR ELECTRICE

2.1. Introducere

Cmpul electromagnetic este un concept fundamental al teoriei macroscopice, fenomenologice a electromagnetismului. Forma fizic de existen a materiei denumit cmp electromagnetic este constituit din dou componente, n general interdependente, cmpul electric i cmpul magnetic.

Cmpul termic este o caracteristic a st rii termodinamice a corpurilor, respectiv a fenomenului de transfer al energiei termice.

Cmpul electric este produs de corpuri electrizate sau prin varia ia n timp a cmpului magnetic. Starea sa macroscopic local i instantanee se caracterizeaz prin m rimile vectoriale intensitate a cmpului electric, E(r,t) i induc ie electric , D(r,t), dependente n general de vectorul de pozi ie r i de variabila timp t.

Cmpul magnetic este produs de corpuri parcurse de curent electric, de corpuri magnetizate, de corpuri electrizate n mi care sau prin varia ia n timp a cmpului electric. Starea macroscopic local i instantanee a cmpului magnetic se caracterizeaz prin m rimile vectoriale intensitate a cmpului magnetic, H(r,t) i induc ie magnetic , B(r,t).

St rile macroscopice electrice i magnetice ale corpurilor

se caracterizeaz local i instantaneu prin urm toarele patru m rimi:

densitatea de volum a sarcinii electrice v(r,t), care define te starea de nc rcare cu sarcini electrice; polariza ia P(r,t), care define te starea de polarizare electric a corpurilor;

densitatea curentului electric de conduc ie J(r,t), care descrie starea electrocinetic ;

magnetiza ia M(r,t), care descrie starea de magnetizare a corpurilor.

n raport cu varia ia n timp a fenomenelor electrice, magnetice i termice, se diferen iaz :

regimul de cmp nesta ionar

general variabil, n care m rimile de stare macroscopic au n general o varia ie oarecare n timp. Regimul tranzitoriu este

un exemplu de regim nesta ionar

; regimul de cmp nesta ionar periodic, n care valorile numerice ale m rimilor se repet la un interval regulat de timp, denumit perioad . Un exemplu aparte l reprezint regimul de cmp electromagnetic armonic, n care varia ia n timp este exprimat prin func ii sinus sau cosinus.

ntr-un regim nesta ionar cmpurile electric i magnetic se condi ioneaz reciproc, existen a cmpului electromagnetic fiind caracterizat prin unde electromagnetice.

Cazul particular de regim nesta ionar al cmpului electromagnetic, n care varia ia n timp a m rimilor de stare este suficient de lent pentru a se putea neglija contribu ia varia iei n timp a cmpului electric la producerea cmpului magnetic, este denumit regim de cmp cvazista ionar de tip magnetic.

Cazul particular de regim nesta ionar al cmpului electromagnetic, n care varia ia n timp a m rimilor de stare este suficient de lent pentru a se putea neglija contribu ia varia iei n timp a cmpului magnetic la producerea cmpului electric, este denumit regim de cmp cvazista ionar de tip electric.

regimuri sta ionare ale cmpului electromagnetic, care se caracterizeaz prin m rimi de stare macroscopic invariabile n timp. n cazul cmpului electromagnetic n domenii n care corpurile sunt imobile, aceste regimuri sunt nso ite de transform ri energetice, cum

este de exemplu transformarea energiei electromagnetice n c ldur datorat efectului Joule. Exist dou variante de regimuri sta ionare al cmpului electromagnetic, regimul de cmp electric sta ionar

i regimul de cmp magnetic sta ionar. regimuri statice ale cmpului electromagnetic sunt cazuri particulare ale regimurilor sta ionare n care nu au loc transform ri energetice. Acestea sunt sigurele regimuri ale cmpului electromagnetic n care fenomenele electrice i magnetice sunt independente. Se diferen iaz regimul de cmp electrostatic i regimul de cmp magnetostatic.

2.2. Ecua iile fundamentale ale cmpului electromagnetic

Legile teoriei macroscopice a electromagnetismului reprezint rela ii de dependen ntre m rimile de stare macroscopic , local i instantanee ale cmpului electromagnetic. Legile generale, cu valoare axiomatic , sunt valabile n orice regim i n orice sistem fizic. Pe lng acestea, exist legi de material, care caracterizeaz comportarea corpurilor n prezen a cmpului electromagnetic, valabile n anumite regimuri de desf urare a fenomenelor i pentru tipuri particulare de medii materiale.

2.2.1. Legile cmpului electromagnetic n domenii cu corpuri imobile

2.2.1.1. Legile generale. Forma local a legilor generale ale cmpului electromagnetic n domenii cu corpuri imobile, caracterizate prin continuitate i netezime a propriet ilor fizice, const n trei legi de evolu ie independente denumite :

legea inductiei electromagnetice,

trot

BE (2.1) legea circuitului magnetic,

trot

DJH (2.2)

legea conserv rii sarcinii electrice,

tdiv vJ (2.3)

i dou legi de stare, denumite: legea fluxului electric,

vdivD (2.4)

legea conserv rii fluxului magnetic,

0divB (2.5)

n puncte situate pe suprafe e de discontinuitate, pe curbe singulare, sau n puncte singulare, ecua iile de mai sus se transform n ceea ce se numesc condi ii de trecere, care exprim condi ii de salt pentru m rimile de stare ale cmpului. n cazul unei suprafe e de discontinuitate imobil

S, care separ medii imobile cu propriet i diferite, sau care este caracterizat de pnza de curent electric de conduc ie Js sau de densitatea superficial a sarcinii electrice s , ecua iile de trecere n regimul cvazista ionar magnetic au expresiile:

0][rot sss EnE (2.6) ssss ][rot JHnH

(2.7)

ss

sss bdivt][ndiv JJJ (2.8)

ssss ][ndiv DD (2.9) (2.9)0][ndiv sss BB (2.10)

Sunt precizate n aceste expresii nota ia i defini ia operatorilor rotor i divergen de suprafa , relativ la suprafa a S, unde nS este versorul normalei la suprafa a S n punctul considerat, unde nota ia [ ]s reprezint saltul m rimii de cmp la traversarea suprafe ei de discontinuitate, iar operatorul divbJs semnific divergen a bidimensional a vectorului bidimendional Js definit pe suprafa a S.

n rela iile (2.1) ... (2.10) m rimile de stare macroscopic a cmpului, coordonatele spa iale i variabila timp sunt raportate la un referen ial propriu, n repaus relativ, local i instantaneu fa de punctul considerat al domeniului de cmp.

2.2.1.2. Legi de material. n cazul general al unor medii imobile cu propriet i arbitrare, n teoria macroscopic a electromagnetismului legile de material se exprim local prin urm toarele ecua ii constitutive:

)(D ED

(2.11) )(H sau,)(B BHHB (2.12)

),(J BEJ

(2.13)

Starea electromagnetic a corpurilor n prezen a cmpului electromagnetic este definit cu ajutorul urm torilor parametrii constitutivi:

permitivitatea electric , ; permeabilitatea magnetic , , sau reluctivitatea, = 1/ ; conductivitatea electric , , sau rezistivitatea, = 1/ .

Prin introducerea acestor parametrii/m rimi de material, ecua iile constitutive generale

(2.11) ... (2.13) se expliciteaz

corespunz tor unor cazuri particulare de corpuri. Un corp

este neliniar

din punct de vedere electric, magnetic sau al conduc iei electrice atunci cnd parametrii s i constitutivi sunt func ii neliniare de vectorii cmp E i H (sau B).

Un corp

este anizotrop

din punct de vedere electric, magnetic sau al conduc iei electrice atunci cnd parametrii s i constitutivi sunt tensori simetrici de ordinul doi n spatiul euclidian tridimensional. Matricele p trate asociate acestor tensori se pot reduce la forma diagonal urm toare

:

3

2

1

000000

(2.14)

unde 1, 2, 3 reprezint valorile diferite ale m rimii de material anizotrop dup cele trei

axe principale (de polarizare, de magnetizare sau de conduc ie). Dac cele trei axe principale sunt ortogonale dou cte dou , atunci se spune c corpul este ortotrop.

Un corp este neomogen

atunci cnd parametrii s i constitutivi sunt func ii scalare de punct. Un corp

este nepermanent

i f r histerezis

din punct al propriet ilor atunci cnd parametrii s i constitutivi sunt variabili n timp, dar depind exclusiv de starea instantanee de evaluare. ntr-un corp cu histerezis

parametrii constitutivi depind i de st ri anterioare celei instantanee de evaluare.

Exist mai multe tipuri de corpuri, dup cum urmeaz

:

a) Corpuri neliniare, anizotrope, neomogene, nepermanente i f r histerezis. Ecua iile constitutive pentru un corp neliniar, anizotrop, neomogen, nepermanent i f r histerezis,

care

n plus posed polariza ie permanent , )t,(p rP , magnetiza ie permanent , )t,(p rM (sau induc ie remanent , )t,()t,( p0r rMrB , unde 0 este permeabilitatea vidului), respectiv cmp electric imprimat, )t,(i rE , au formele explicite:

)t,()t,()t,,()t,( p rPrErErD

(2.15) )t,()t,()t,,()t,( r rBrHrHrB , sau (2.16)

)]t,()t,([)t,,()t,( r rBrBrBrH

(2.16 ) )]t,()t,([)t,,()t,( i rErErErJ

(2.17)

Cazuri concrete de nelinearitate i anizotropie n electromagnetism sunt oferite de dispozitivele cu magne i permanen i anizotropi sau cele cu tole din tabl texturat .

b) Corpuri neliniare, izotrope, neomogene, nepermanente i f r histerezis. Pentru corpuri neliniare i izotrope, nelinearit ile degenereaz n curbele de polarizare, (E), de magnetizare, (H) sau (B) i de conduc ie electric , (E) sau (E). Acestea sunt dependen e neliniare, univoce i monotone ale parametrilor constitutivi de modulul vectorilor cmp.

c) Corpuri liniare, izotrope, omogene, permanente i f r histerezis. Parametrii constitutivi sunt constante scalare reale, independente de cmp, de direc ia de m surare, de pozi ie i invariabile n timp. Fiind cel mai simplu caz particular, este i cel la care se face cel mai des apel n aplica iile de modelare numeric a cmpurilor, chiar dac uneori reprezint o aproximare n raport cu realitatea.

d) Corpuri cu histerezis. n cazul corpurilor care prezint fenomenul de histerezis, rela iile constitutive generale (2.11) ... (2.13) corespund ciclurilor dinamice de histerezis, electric, magnetic sau electroconductiv. Lund ca exemplu un corp feromagnetic neliniar, izotrop i cu histerezis, se folose te o ecua ie constitutiv de material avnd expresia:

t)

tB()t,()B()t,( BrBrH (2.18)

n expresia (2.18) func ia neliniar (B) se ob ine din curba fundamental de magnetizare B(H), care este locul geometric al vrfurilor ciclurilor dinamice de magnetizare, Fig. 2.1. Func ia de H

a coeficientului de histerezis t/B

H)tB( , Fig. 2.1, este locul geometric al vrfurilor

ciclurilor care descriu dependen a de m rimea H a vitezei de varia ie a induc iei tB

.

Fig. 2.1

2.2.2. Legile cmpului electromagnetic n domenii ce con in corpuri n mi care

Exist multiple aplica ii n care se pune problema determin rii cmpului electromagnetic ntr-un domeniu n care se afl corpuri n mi care.

Fie R0 un referen ial propriu ata at punctului considerat al corpului mobil, punct care n raport cu referen ialul R ata at domeniului de calcul este caracterizat prin raza vectoare r(x,y,z) la momentul de timp t i are viteza v, mult mai mic dect viteza luminii n vid.

M rimile proprii de stare macroscopic ale cmpului, definite n referen ialul propriu R0 , satisfac n puncte aflate n domenii de continuitate a propriet ilor electromagnetice urm toarele ecua ii:

)(rott

rot 00

0 BvBE (2.19)

)(rott

rot 00

0v

00 vDDvJH (2.20)

)(divt

div 0v0v0 vJ (2.21)

0v

0divD (2.22) 0div 0B (2.23)

n ecua iile (2.19) .... (2.23) coordonatele spa io-temporale, viteza v i operatorii diferen iali se exprim n raport cu referen ialul fix R.

Pentru puncte situate pe o suprafa de discontinuitate S a m rimilor fizice i a cmpului vitezei, reprezentnd suprafa a de separa ie a dou medii mobile, nemiscibile, ecua iile (2.19) ... (2.23) se transform n urm toarele condi ii de trecere:

)(rotrot 0ss0s BvE (2.24) )(rotrot s0ss202ss101s0s0s vDvvJH (2.25)

s

s

0s0

sss202ss1

01s

0s

0s0

s )n

C()(divbt

div nvvvJJ (2.26) 0s

0sdiv D (2.27)

0div 0sB (2.28)

unde s101s v , s2

02s v (( s s s10 20 0 ) reprezint densit ile pnzelor de curent electric de

convec ie corespunz toare celor dou fe e ale suprafe ei de discontinuitate, sn este versorul normalei la suprafa a de discontinuitate, iar s sC divn

este curbura medie a suprafe ei de discontinuitate.

n referen ialul propriu R0 ecua iile constitutive au evident aceea i form ca n cazul mediile imobile. De exemplu, pentru corpuri izotrope i omogene, f r histerezis, f r polariza ie i magnetiza ie permanente i f r cmp electric imprimat, acestea au forma simpl :

00

0000

00

sau

EJBHHB

ED

(2.29)

n referen ialul fix R, pentru acelea i caracteristici ale corpurilor, ecua iile constitutive au forma:

vBvEJDvBHDvHB

BvED

v

00

0000

00

)( sau )(

)( (2.30)

2.2.3. Unicitatea solu iilor ecua iilor cmpului electromagnetic

Ecua iile reprezentnd legile generale ale cmpului electromagnetic n domenii de continuitate i de netezime a propriet ilor fizice

mpreun cu condi iile de trecere pe suprafe ele de discontinuitate electromagnetic determin n mod univoc structura spa ial i evolu ia temporal a cmpului electromagnetic, respectiv starea local i instantanee a vectorilor

BDHE , , , ntr-un domeniu de calcul dat dac sunt cunoscute urm toarele elemente, denumite condi ii de unicitate:

condi iile ini iale

(doar n cazul regimului nesta ionar), respectiv cmpurile ini iale )0,(rE i )0,(rH n orice punct al domeniului de calcul definit prin raza vectoare r

, la momentul de timp t = 0; condi iile la limit , care regrupeaz condi iile pe frontiera domeniului de calcul al cmpului i condi iile la interfa a subdomeniilor cu propriet i

electromagnetice diferite. Condi iile pe frontier implic cunoa terea la nivelul frontierei a componentelor tangen iale )t,r( ),t,( tt HrE ale intensit ii cmpurilor electric i magnetic, sau a componentelor normale )t,( ),t,( nn rBrD ale induc iilor electric i magnetic ;

caracteristicile surselor cmpului, care nseamn func iile de punct i de timp ale m rimilor irpv , , , , EBPJ

n zonele de continuitate i de netezime ale domeniului de calcul i a m rimilor ss , J pe suprafe ele de discontinuitate electromagnetic ;

propriet ile de material, fixate prin ecua iile constitutive specifice;

cmpul vitezei (numai n cazul domeniilor de cmp ce con in i corpuri mobile), respectiv func ia )t,(rv i derivatele par iale ale acesteia n raport cu coordonatele spa iale n domeniul de calcul al cmpului.

2.3. Modele diferen iale ale cmpului electromagnetic exprimate prin poten iale

Evaluarea cmpului electromagnetic prin rezolvarea direct a ecua iilor fundamentale este n general dificil . Rezolvare bazat pe introducerea unor m rimi auxiliare, denumite poten iale electromagnetice, simplific integrarea ecua iilor prin reducerea num rului de necunoscute.

n acest subcapitol se definesc m rimi auxiliare

de tip poten ial i condi iile de unicitate a solu iei cmpului electromagnetic pentru diverse regimuri particulare ale cmpului electromagnetic unele dintre acestea caracteriznd diverse fenomene n func ionarea ma inilor electrice. Pentru simplitate se consider c domeniile de cmp nu con in corpuri cu histerezis, respectiv anizotrope.

2.3.1. Modelul electrostatic

Regimul de cmp electrostatic caracterizeaz componenta electric a cmpului electromagnetic n domenii de calcul n care pot exista numai corpuri imobile, ce nu sunt parcurse de curent electric de conduc ie ( 0J ) i n care m rimile nu variaz n timp, adic

0t

. Un astfel de regim poate caracteriza cmpul electric n sistemele de izola ie ideale, f r

pierderi, ale ma inilor i transformatoarelor electrice. Ecua iile asociate acestui regim sunt:

0rotE (2.31) vdivD (2.32)

Caracterul irota ional al acestui cmp electric permite exprimarea acestuia cu ajutorul m rimii auxiliare denumit poten ialul electric scalar

)(V r , prin rela ia:

grad VE

(2.33)

innd seam de ecua ia constitutiv (2.15), rezult modelul diferen ial al cmpului electrostatic:

v pdiv[ gradV] div P (2.34)

Surse locale ale cmpului electrostatic, interioare domeniului de calcul, pot fi densitatea de volum a sarcinii electrice, v, polariza ia permanent , pP i densitatea superficial a sarcinii s pe eventuale suprafe e de discontinuitate.

Unicitatea solu iei modelului matematic diferen ial (2.34), respectiv a m rimii de stare (necunoscutei) V(r) este asigurat prin cunoa terea pe lng surse a:

propriet ii de material

; condi iilor la limit , reprezentate de:

(a) condi ii pe frontiera

a domeniului de calcul, care pot fi: de tip Dirichlet, DV( ) f ( )r r . Dac .constfD

se spune c suprafa a este echipoten ial ;

de tip Neuman, NV( ) f (r )n

D n . Aceast condi ie presupune c este

cunoscut valoarea local Dn a fluxului electric ; (b) condi ii de trecere

referitoare la suprafa a de discontinuitate care separ mediile 1 i 2

cu permitivit i electrice diferite, suprafa care n general poate fi nc rcat cu sarcina

electric s , s21

)n

V()n

V( .

Atunci cnd n domeniul de calcul se afl corpuri liniare, izotrope, omogene i f r polariza ie permanent , caracterizate printr-o valoare constant scalar

a permitivit ii electrice, ecua ia (2.34) se reduce la o ecua ie de tip Poisson:

v

1div gradV (2.35)

n cazul problemelor de cmp 2D plan-paralele

n coordonatele (x, y), ecua ia (2.35) are expresia:

v2

2

2

2 1yV

x

V

, (2.36)

iar n coordonatele polare (r, ):

v2

2

21V

r

1)r

Vr(

rr

1

(2.37)

n problemele 2D cu simetrie axial (axisimetrice), n care poten ialul este func ie de coordonatele cilindrice (r,z), ecua ia (2.35) are forma explicit :

v2

2 1)r

Vr(

rr

1z

V

(2.38)

2.3.2. Modelul electrocinetic

Regimul de cmp electrocinetic caracterizeaz componenta electric a cmpului electromagnetic n domenii de calcul ocupate n totalitate de corpuri imobile, parcurse de curent

electric de conduc ie de densitate

J. M rimile nu variaz n timp, respectiv

0t

. Acest regim

este caracteristic c ilor de curent parcurse de curent continuu, n care se dore te cunoa terea repartiz rii spa iale a curentului, a pierderilor Joule sau a for ei electromagnetice.

Ecua iile asociate acestui regim sunt:

0rotE (2.39) 0divJ (2.40)

Cele dou m rimi de cmp, E

i J sunt legate prin ecua ia constitutiv (2.17).

Caracterul irota ional al acestui cmp electric permite exprimarea acestuia cu ajutorul m rimi auxiliare poten ial electric scalar

)(V r , prin rela ia (2.34). innd seam de ecua ia (2.17), rezult modelul diferen ial al cmpului electrocinetic:

idiv[ gradV] div[ ]E

(2.41)

Sursele locale ale cmpului electrocinetic interioare domeniului de calcul sunt cmpurile electrice imprimate de volum iE .

Unicitatea solu iei ecua iei (2.41), respectiv a poten ialului necunoscut V(r) este asigurat prin cunoa terea pe lng surse a:

propriet ii de material ; condi iilor la limit , constnd din:


a domeniului de calcul, care pot fi: de tip Dirichlet, )(f)(V D rr . Dac .constfD , se spune c suprafa este

echipoten ial ; aceasta este o condi ie de timp o surs a cmpului electrocinetic;

de tip Neuman, )(f)n

V( N rnJ . Aceast condi ie presupune c este

cunoscut valoarea local a componentei normale Jn a densit ii curentului electric

de conduc ie, care este o alt condi ie de tip surs a cmpului electrocinetic. (b) condi ii de trecere

referitoare la suprafa de discontinuitate care separ mediile 1 i 2

cu conductivit i electrice diferite, 0)n

V()n

V(21

.

M rimea denumit poten ial electric vector )(rT , rezult din ecua ia (2.40). Densitatea de curent se exprim n func ie de acest poten ial prin rela ia:

TJ rot

(2.42)

Pentru ca vectorul T

s fie complet definit, se consider c divergen a acestuia satisface rela ia

:

0divT , (2.43)

cunoscut sub denumirea de condi ie de etalonare Coulomb. Pe baza rela iilor (2.39), (2.17) i (2.42) se ob ine al doilea

model diferen ial al cmpului electrocinetic, exprimat n poten ial electric scalar:

i1

rot ( rot ) rot[ rot ] rotT T E

(2.44)

Determinarea numeric a cmpului electrocinetic f cnd apel la ecua iile (2.43), (2.44), respectiv la poten ialul electric vector T nseamn calculul unui num r triplu de necunoscute n raport cu utilizarea poten ialului electrocinetic scalar V, datorit celor trei componente scalare care definesc poten ialul electrocinetic vector.

Avnd n vedere rela ia:

rot ( rot ) rot (rot ) rot gradT T T grad(div ) div(grad ) rot gradT T T

i innd cont de condi ia (2.43), se ob ine ecua ia echivalent sistemului (2.43), (2.44):

idiv(grad ) rot grad rotT T E

(2.45)

n probleme 2D, vectorul T

are o singur component nenul , iar integrarea ecua iei (2.45) se reduce la aflarea necunoscutei scalare reprezentat de aceast component . Prin urmare, ca i n

cazul utiliz rii poten ialului electrocinetic scalar, o singur necunoscut scalar este de determinat n problemele 2D. Condi ia de etalonare Coulomb este automat satisf cut n problemele 2D, ecua ia (2.44) fiind suficient pentru determinarea cmpului.

O problem 2D plan-paralel n coordonate carteziene

(x, y, z) este caracterizat prin proprietatea Jz = 0 i prin faptul c m rimile nu variaz n raport cu coordonata z, respectiv

0z

. Singura component nenul a poten ialului vector este n acest caz Tz(x,y). Dac cmpul electric imprimat este nul, ecua ia (2.44) se reduce la:

z zT T[ ] [ ] 0x x y y

(2.46)

2.3.3. Modelul magnetostatic

Regimul de cmp magnetostatic caracterizeaz componenta magnetic a cmpului electromagnetic n domenii de calcul n care exist numai corpuri imobile, care nu sunt parcurse de curent electric de conduc ie, respectiv J = 0, i care prezint o stare de magnetizare permanent . M rimile asociate acestui regim sunt constante n timp, respectiv 0

t. Acest

regim caracterizeaz ma inile electrice n care sursa cmpului magnetic este constituit exclusiv din magne i permanen i, sau domeniile

de calcul n care se impune cmpul magnetic surs

prin condi ii pe frontier .

Ecua iile asociate regimului magnetostatic sunt:

0rotH (2.47) 0divB (2.48)

Caracterul irota ional al acestui cmp magnetic permite exprimarea acestuia cu ajutorul m rimii auxiliare denumit poten ialul magnetic scalar

)(r , prin rela ia:

gradH

(2.49)

innd seam de ecua ia constitutiv (2.16), rezult modelul diferen ial al cmpului magnetostatic exprimat n poten ial magnetic scalar:

rdiv[ grad ] div B

(2.50)

Sursa local a cmpului magnetostatic interioar domeniului de calcul este induc ia remanent rB .

Unicitatea solu iei ecua iei (2.50), respectiv a poten ialului necunoscut (r), este asigurat prin cunoa terea pe lng surs a:


; condi iilor la limit , constnd din:


a domeniului de calcul, care pot fi: de tip Dirichlet, )(f)( D rr . O valoare .constfD

semnific o suprafa de

frontier n exteriorul c reia se afl un material de permeabilitate infinit . Liniile

cmpului magnetic sunt perpendiculare pe aceast suprafa , respectiv componenta

tangen ial a cmpului magnetic este nul

;

de tip Neuman, )(f)n

( N rnB . Aceast condi ie, care presupune c

valoarea local a fluxului magnetic Bn este cunoscut , este o condi ie de tip surs a

cmpului; (b) condi ii de trecere

referitoare la suprafa a de discontinuitate care separ mediile 1 i 2 cu

permeabilit i magnetice diferite, 21

)n

()n

( .

Atunci cnd n domeniul de calcul se afl corpuri liniare, izotrope, omogene i f r induc ie remanent , caracterizate printr-o valoare constant scalar

a permeabilit ii magnetice, ecua ia (2.50) se reduce la o ecua ie de tip Laplace:

div grad 0

(2.51)

2.3.4. Modelul magnetic sta ionar

Regimul de cmp magnetic sta ionar caracterizeaz componenta magnetic a cmpului electromagnetic n domenii de calcul n care exist

numai corpuri imobile parcurse de curent electric de conduc ie de densitate J i care pot prezenta o stare de magnetizare remanent invariabil n timp. M rimile asociate acestui

regim sunt constante n timp, respectiv 0t

.

Acest regim caracterizeaz ma inile electrice de curent continuu n care sursa cmpului magnetic este constituit din bobine parcurse de curent continuu i/sau din magne i permanen i.

Ecua iile asociate regimului magnetic sta ionar sunt:

JHrot (2.52) 0divB (2.53)

Ecua ia (2.53) permite definirea unei m rimi auxiliare )(rA , denumit poten ial magnetic vector, astfel nct:

AB rot (2.54)

Pentru ca vectorul A

s fie complet definit, se impune condi ia de etalonare Coulomb:

0divA (2.55)

Pe baza rela iilor (2.52), (2.16 ) i (2.54) se ob ine modelul diferen ial al cmpului magnetic sta ionar:

rrot[ rot ] rot[ ]A J B

(2.56)

Avnd n vedere rela iile rot ( rot ) rot (rot ) rot gradA A A grad(div ) div(grad ) rot gradA A A i innd seama de condi ia (2.55) se ob ine ecua ia echivalent sistemului (2.55), (2.56):

rdiv(grad ) rot grad rot[ ]A A J B

(2.57)

Sursele locale ale cmpului magnetic sta ionar interiore domeniului de calcul sunt densitatea curentului electric de conduc ie J i/sau induc ia remanent rB .

Unicitatea solu iei ecua iei (2.57), respectiv a poten ialului necunoscut A(r), este asigurat prin cunoa terea pe lng surse a:


condi iilor la limit , constnd din: (a) condi ii pe frontiera

a domeniului de calcul, care pot fi:

de tip Dirichlet, care presupune cunoa terea valorilor componentei tangen iale ale

poten ialului magnetic vector, )(t rA , respectiv a componentei normale a induc iei

magnetice, Bn ;

de tip Neuman, care presupune cunoa terea derivatei normale a poten ialului

magnetic vector, A/ n(r ) , respectiv a componentei tangen iale a intensit ii

cmpului magnetic, Ht . ntr-o problem 2D

cu vectorul poten ial magnetic A perpendicular pe planul domeniului de calcul, o valoare constant sau nul a modulului A al poten ialului magnetic vector

nseamn c

frontiera respectiv este o linie de cmp, iar condi ia Ht = 0n/A

presupune c liniile de cmp sunt perpendiculare pe frontiera respectiv ;

(b) condi ii de trecere

referitoare la suprafa a de discontinuitate care separ medii cu permeabilit i magnetice diferite, caracterizat eventual de o pnz de curent electric de conduc ie sJ . Aceste condi ii exprim faptul c valoarea local a densit ii pnzei de curent este egal cu saltul componentei intensit ii cmpului magnetic tangent la suprafa a de discontinuitate i normal p turii de curent sJ .

Solu ia cmpului magnetic sta ionar 3D f cnd apel la ecua ia (2.57), presupune determinarea celor trei componente scalare ale poten ialului magnetic vector A.

n problemele 2D

vectorul A

are o singur component nenul din cele trei; integrarea ecua iei (2.57) presupune aflarea acestei necunoscute. Condi ia de etalonare Coulomb este automat satisf cut .

n problemele 2D plan-paralel n coordonate carteziene

(x, y, z), n care densitatea curentului electric de conduc ie are orientare normal pe planul xOy al domeniului de calcul,

[0, 0, J(x, y)]J , iar vectorul induc ie remanent se afl n planul de calcul xOy, adic nu are

component dup Oz, poten ialul magnetic vector este orientat n lungul axei Oz, A[0, 0, A(x,y)]. Toate m rimile cmpului electromagnetic sunt independente de coordonata z, respectiv 0

z, iar vectorul cmp magnetic nu are compenent

n lungul axei Oz , respectiv

Bz = 0. Ca urmare, ecua ia (2.56) se reduce la:

r,y r,xA A[ ] [ ] J [ B ] [ B ]

x x y y x y (2.58)

unde A(x,y) este component nenul a poten ialului magnetic vector, iar Br,x , Br,y sunt componentele induc iei magnetice remanente dup x i z.

Liniile induc iei magnetice sunt linii de valoare constant a poten ialului magnetic vector, A(x,y) = const.

ntr-o problem 2D axisimetric , unde Oz este axa de simetrie a sistemului de coordonate cilindric (r, ,z), n care densitatea curentului electric de conduc ie are orientare azimutal ,

[0, J(r, z),0]J , iar vectorul induc ie remanent se

afl n planul de calcul (r,z), adic nu are component azimutal , poten ialul magnetic vector este orientat n lungul coordonatei azimutale, A[0, A(r,z), 0]. M rimile cmpului electromagnetic sunt independente de coordonata , respectiv 0 , iar componenta azimutal a

induc iei magnetice este nul , respectiv B

= 0.

Ca urmare, ecua ia (2.56) se reduce la:

r,r r,zA 1[ ] [ (rA)] J [ B ] [ B ]

z z r r r z r , (2.59)

unde A(r,z) este component azimutal nenul a poten ialului magnetic vector, iar Br,r , Br,y sunt componentele induc iei magnetice remanente dup r i z.

Introducnd variabila auxiliar U = rA, denumit poten ial magnetic modificat, ecua ia (2.59) se rescrie sub forma:

r,r r,z

U U[ ] [ ] J [ B ] [ B ]z r z r r r z r

(2.60)

Poten ialul magnetic modificat este n mod natural nul pe axa r = 0. Liniile induc iei magnetice ntr-o problem 2D axisimetric

sunt linii de valoare constant a poten ialului U.

Compara ia ecua iilor (2.58) i (2.60) eviden iaz urm toarea analogie formal pentru cele dou tipuri de probleme 2D, plan-paralel i axisimetric :

x z y r r,x r,z r,y r,r

x z, y r, A U rA, , ,r r

B rB , B rB , B rB , B rB

(2.61)

Not : Deoarece regimul de cmp magnetostatic reprezint cazul particular al regimului magnetic sta ionar, n care densitatea curentului electric de conduc ie J este nul , exist i un al doilea model diferen ial al cmpului magnetostatic, exprimat n poten ialul magnetic vector A.

2.3.5. Modelul cvazista ionar de tip magnetic

n regimul de cmp cvazista ionar de tip magnetic al cmpului electromagnetic varia ia n timp a m rimilor de stare este suficient de lent pentru a se putea neglija contribu ia varia iei n

timp a cmpului electric la producerea cmpului magnetic. Acest regim caracterizeaz toate ma inile i transformatoarele electrice, respectiv domeniile de calcul, n care exist circuite parcurse de curent electric de conduc ie variabil n timp, de densitate J(t), care reprezint sursa cmpului. Ecua iile cmpului cvazista ionar de tip magnetic n domenii de cmp n care corpurile sunt imobile sunt:

trot

BE (2.62) JHrot (2.63) 0divJ (2.64)

vdivD (2.65) 0divB (2.66)

n ecua iile constitutive asociate se consider c induc ia magnetic remanent i cmpul electric imprimat sunt nule, ipotez valabil pentru majoritatea structurilor de cmp cvazista ionar.

Ecua ia (2.66) permite definirea m rimii auxiliare A , denumit poten ial magnetic vector, astfel ca:

AB rot

(2.67)

Introducnd rela ia (2.67) n (2.62) se ob ine:

0)t

(rot AE (2.68)

de unde rezult c vectorul tAE este irota ional, deci exprimabil prin gradientul unei alte

m rimi auxiliare, poten ialul electric scalar V:

gradVtAE

(2.69) Intensitatea cmpului electric,

gradVtAE

, (2.70)

este astfel suma dintre intensitatea cmpului electric coulombian i intensitatea cmpului electric indus. Densitatea de curent J are dou componente, una corespunz toare cmpului coulombian, - gradV, impus de surse electrice exterioare i cealalt , - A/ t, corespunz toare curen ilor indu i.

Pentru a asigura unicitatea poten ialelor A

i V este necesar s se impun n interiorul domeniului de calcul al cmpului electromagnetic o condi ie de forma:

)t,(fdiv rA

(2.71)

iar pe frontiera domeniului de calcul o condi ie la limit de forma:

)t,(g rnA (2.72)

n cazul general, reprezentarea local a cmpului cvasista ionar de tip magnetic recurge simultan la poten ialul magnetic vector A

i la poten ialul electric scalar V. Ecua iile de solu ionat sunt:

vrot ( rot ) gradVt

div ( gradV) (div ) 0t

AA

A (2.73)

Impunerea necesar a divergen ei poten ialului vector A

(rel. (2.71)) este n general corelat cu problema concret de cmp electromagnetic. Astfel, cazul cel mai complex este acela n care densitatea de sarcin v

este nenul , ambele necunoscute de tip poten ial trebuind s fie determinate. n acest caz rela ia:

VdivA (2.74)

denumit condi ie de etalonare Lorentz, conduce la decuplarea celor dou ecua ii (2.73) n ecua ia poten ialului vector A :

rot ( rot ) grad( div )tAA A

(2.75) i ecua ia poten ialului scalar V:

v

Vdiv ( gradV)t

(2.76)

Acest model diferen ial al cmpului cvazista ionar de tip magnetic

permite luarea n considerare a fenomenelor electromagnetice cele mai generale. Rezolvarea ultimelor dou ecua ii presupune determinarea n fiecare punct a 4 m rimi scalare necunoscute, cele trei componente ale poten ialului magnetic vector A i poten ialul electric scalar V.

O a doua posibilitate n impunerea condi iei de unicitate

de forma (2.71) ine seam c practic n toate dispozitivele electrotehnice cu cmp cvazista ionar densitatea de volum a sarcinii electrice este nul , v

= 0. Considernd condi ia de etalonare Coulomb,

0divA , a doua ecua ie (2.73) devine:

div( gradV) 0

(2.77)

Acest al doilea model diferen ial al cmpului electromagnetic cvazista ionar de tip magnetic

exprimat n poten ialele A, V, presupune sistemul de ecua ii:

rot ( rot ) gradVt

div ( gradV) 0div 0

AA

A (2.78)

Sursele variabile n timp ale cmpului electromagnetic cvazista ionar de tip magnetic pot fi densit i de curent J = - gradV cunoscute n anumite subdomenii ale domeniului de calcul f r curen i indu i, motiv pentru care

se consider domenii neconductoare, curentul total I n anumite subdomenii conductoare n care exist curen i indu i i/sau densit i ale p turii superficiale de curent Js i densit i de sarcin electric superficial s pe suprafe e de discontinuitate.

Unicitatea solu iei sistemului (2.78), respectiv a poten ialelor necunoscute A(r) i V(r), este asigurat prin cunoa terea pe lng surse a:

propriet ilor de material , , ; condi iilor ini iale (n general nule), prin care se precizeaz valorile la momentul de timp t = 0 ale intensit i cmpurilor electric i magnetic sau ale poten ialelor;


a domeniului de calcul, exprimate prin distribu ia spa io-

temporal a componentelor tangen iale ale intensit ii cmpurilor electric i magnetic i


referitoare la suprafe ele de discontinuitate (rel. (2.6)...(2.10),

respectiv (2.24)...(2.28)). Evaluarea cmpului electromagnetic cvazista ionar 3D de tip magnetic f cnd apel la ecua iile

(2.78) presupune determinarea a patru necunoscute - cele trei componente scalare ale poten ialului magnetic vector A i a poten ialului electric scalar V.

n probleme 2D

vectorul A

are o orientare cunoscut , respectiv poate fi reprezentat de o singur m rime scalar .

n problemele 2D plan-paralele n coordonate carteziene

densitatea curentului electric de conduc ie are orientare normal pe planul xOy al domeniului de calcul, [0, 0, J(x, y, t)]J . M rimile cmpului sunt independente de coordonata z, iar poten ialul magnetic vector are orientarea axei Oz, [0, 0, A(x, y, t)]A . Condi ia de etalonare Coulomb este automat satisf cut .

Densitatea de curent fiind orientat n lungul axei Oz, cmpul electric are i el aceea i orientare [0, 0, E(x, y, t)]E . Conform rela iei (2.70)

rezult astfel :

0yV

x

V

(2.79)

Prin urmare poten ialul electric V depinde doar de coordonata z. Rela ia:

tA

z

V)t,y,x(E

(2.80)

care rezult din (2.70) arat c derivata z

V

nu depinde de coordonata z, ceea ce se poate scrie

sub forma:

)t(Kz

)t,z(V

(2.81)

Prin urmare, poten ialul electric scalar variaz liniar n raport cu coordonata z. Se verific u or c n aceste condi ii a doua ecua ie (2.78) este implicit verificat . Sistemul (2.78) degenereaz n ecua ia scalar :

A A A[ ] [ ] K(t)x x y y t

(2.82)

n subdomeniile conductoare f r injec ie exterioar de curent, ecua ia (2.82) se reduce la:

A A A[ ] [ ]x x y y t

(2.83)

n subdomeniile parcurse de curent dar f r curen i indu i, cum este cazul bobinelor de tip filiform, modelul de material presupune valoare nul a conductivit ii electrice. Dac )t(J1

este densitatea de curent orientat n lungul axei Oz, ecua ia poten ialului vector n astfel de domenii are forma:

1A A[ ] [ ] J (t)

x x y y (2.84)

n cazul subdomeniilor n care este cunoscut curentul total i(t) ce str bate subdomeniul, acest curent este integrala pe sec iunea transversal a subdomeniului a termenului drept al rela iei (2.82). Aceast integral reprezint o leg tur ntre cunoscuta i(t) i necunoscuta K(t) din rela ia (2.82).

Liniile induc iei magnetice sunt linii de aceea i valoare a poten ialului magnetic vector, A(x,y,t) = const.

n problemele 2D axisimetrice, axa de simetrie fiind axa Oz a sistemului de coordonate cilindric (r, ,z), densitatea curentului electric de conduc ie are orientare azimutal ,

[0, J(r, z, t), 0]J . M rimile cmpului sunt independente de coordonata ayimutal , iar poten ialul magnetic vector are orientare azimutal , [0, A(r, z, t),0]A . Cmpul electric are i el orientare azimutal , [0, E(r, z, t),0]E , ceea ce, folosind rela ia (2.70), nseamn c :

0r

Vz

V

(2.85)

Poten ialul electric depinde doar de coordonata

. Rela ia:

tAV

r

1)t,z,r(E

, (2.86)

care rezult din (2.70), arat c derivata V nu depinde de coordonata z, ceea ce se poate scrie sub forma:

)t(G)t,(V

(2.87)

Prin urmare, poten ialul electric scalar variaz liniar n direc ie azimutal . Se verific u or c n aceste condi ii a doua ecua ie (2.78) este implicit verificat . Sistemul (2.78) degenereaz n urm toarea ecua ie scalar a poten ialului magnetic modificat )t,z,r(rA)t,z,r(U :

U U U[ ] [ ] G(t)z r z r r r r t r

(2.88)

Liniile induc iei magnetice sunt linii de aceea i valoare a poten ialului magnetic vector modificat, U(r,z,t) = const.

2.3.6. Modelul cvasista ionar armonic de tip electric

n regimul de cmp cvazista ionar de tip electric al cmpului electromagnetic, cu varia ie armonic n timp a m rimilor de stare, contribu ia varia iei n timp a cmpului magnetic la producerea cmpului electric este neglijabil . Acest regim caracterizeaz cmpul electric n scheme de izola ie ale ma inilor i transformatoarelor, respectiv n domenii de calcul ce con in dielectrici reali, cu pierderi i n care densitatea de volum a sarcinii electrice este nul ( v = 0). Dac corpurile pot fi considerate ca fiind dielectrici ideali, f r pierderi, atunci structur spa ial a cmpului electric nu difer de aceea din regimul de cmp electrostatic.

Ecua iile cmpului cvazista ionar armonic de tip electric n domenii de cmp n care corpurile sunt imobile sunt:

rot 0E (2.89)

DJH jrot (2.90)

Ecua iile constitutive de material pentru medii liniare i izotrope fiind:

, ( ' j ")J E D E

(2.91)

poten ialul electric complex V, definit pe baza ecua iei (2.89), astfel nct:

grad VE

, (2.92)

satisface modelul diferen ial al cmpului electromagnetic cvasista ionar armonic de tip electric:

0Vgrad]'j)"[(div

(2.93)

Se observ c ecua ia (2.93) se aseam n cu ecua ia (2.34) a poten ialului electrostatic pentru medii far sarcin electric i f r polariza ie electric permanent , respectiv cu

ecua ia (2.41) a poten ialului electrocinetic pentru medii f r cmp electric imprimat.

Unicitatea solu iei ecua iei (2.93), respectiv a poten ialului necunoscut V(r), este asigurat prin cunoa terea:

propriet ilor de material

, , . Propriet ile

dielectrice de material

,

sunt definite dac se cunoa te permitivitatea electric , care este identic cu ', tangenta

unghiului de pierderi dielectrice tg

i pulsa ia , deoarece '

"

tg ;


a domeniului de calcul, care pot fi: de tip Dirichlet, )r(f)r(V D ;

de tip Neuman, care nseamn c valoare local cunoscut a fluxului electric;


referitoare la suprafa a de discontinuitate care separ mediile 1 i 2 cu propriet i electrice diferite, care au forma:

21 n

V]'j)"[(n

V]'j)"[( (2.94)

2.4. Modelul diferen ial al conduc iei termice

2.4.1. Caracteristici ale transferului c ldurii

Fenomenul conduc ie termic define te transmisia c ldurii n interiorul corpurilor caracterizate prin cmp de temperatur neuniform. La nivelul suprafe ei corpurilor transmisia c ldurii are loc prin fenomenele de convec ie termic i

de radia ie termic .

Se diferen iaz regimul de cmp termic sta ionar, n care m rimea scalar de stare care este temperatura (r) este func ie doar de vectorul de pozi ie r, i regimul de cmp termic nesta ionar

(evolutiv, sau tranzitoriu), n care temperatura (r,t) este func ie i de variabila timp t.

M rimea vectorial ps care caracterizeaz local transmisia c ldurii prin conduc ie termic

se nume te flux termic specific. Aceast m rime este propor ional cu gradientul temperaturii:

ps = - grad (2.95)

factorul de propor ionalitate fiind denumit conductivitate termic . Valoarea local a modulului fluxului termic specific prin convec ie termic

la interfa a dintre un corp solid i un fluid (lichid sau gaz), de regul n mi care fa de corp, se exprim printr-o rela ie de propor ionalitate cu diferen a dintre temperatura f a fluidului i temperatura local a corpului, ps = (

- f) (2.96)

Factorul de propor ionalitate

este denumit coeficient de transfer termic prin convec ie. Valoarea local a modulului fluxului termic specific prin radia ie termic

la nivelul suprafe ei unui corp c tre mediul vid nconjur tor,

ps = CnT4 , (2.97)

este propor ional cu puterea a patra a temperaturii exprimat n Kelvin, factorul de propor ionalitate

< 1 fiind denumit factor de radia ie. Cn este constanta corpului negru, care este un radiant, respectiv un absorbantul ideal al radia ie0 termice.

2.4.2. Modelul diferen ial al transmisiei c ldurii prin conduc ie termic

Bilan ul energiei termice ntr-un element de volum al unui corp ntr-un interval de timp elementar dt, exprimat prin egalitatea:

Fluxul termic C ldura generat Fluxul termic Modificarea absorbit n + de surse interne = cedat n + energiei interne , timpul dt n timpul dt timpul dt n timpul dt

conduce la ecua ia general a transferului termic prin conduc ie, satisf cut de cmpul de temperatur nesta ionar (r,t):

)grad(divpdtd

ddh

, (2.98)

unde p este densitatea de volum a puterii surselor de c ldur , iar h entalpia specific . Expresia derivatei entalpiei specifice n raport cu temperatura:

)dpl(dd

cddh

kkk

, (2.99)

este suma dintre capacitatea caloric specific - produsul dintre densitatea

i c ldura specific c i energia latent a transform rilor de faz (de exemplu solid - lichid, feromagnetic -

paramagnetic, etc.). Termenul corespunz tor energiei latente este nul atunci cnd n cursul procesului termic studiat nu au loc transform ri de faz .

n practica se obi nuie te caracterizarea derivatei dh/d

a entalpiei specifice printr-o proprietate de material dependent de temperatur , care include i energia corespunz toare transform rilor de faz , de forma dh/d = c( ).

Modelul diferen ial al transmisiei c ldurii prin conduc ie termic

este astfel exprimat de ecua ia:

)grad(divpdtd

c

(2.100)

Unicitatea solu iei ecua iei (2.100), respectiv a m rimii de stare necunoscut (r,t), presupune cunoa terea:

surselor de c ldur p(r,t) n domeniul de calcul; propriet ilor de material

c(r, ) i

(r, ); cmpului ini ial al temperaturii, (r,0); condi iilor la limit .

Sunt posibile urm toarele tipuri de condi ii la limit pe diverse suprafe ele S1, S2, S3, apartinnd frontierei domeniului de calcul :

tip Dirichlet, S1 S1(r , t) (t), pentru t 0 , (2.101)

unde S1 este temperatura local cunoscut a suprafe ei S1, de tip Neuman neomogen,

S2p (t) , pentru t 0n

, (2.102)

unde pS2 este valoarea local cunoscut a fluxului termic specific la nivelul suprafe ei S2. Atunci cnd acest flux termic local este nul, condi ia este de tip Neuman omogen.

de tip mixt, 4 4

S3 f S3 n f( ) C (T T ), pentru t 0n

, (2.103)

unde S3 este coeficientul de transfer termic local prin convec ie, iar S3 factorul de radia ie local al suprafe ei S3 c tre mediul fluid ambiant avnd temperatura absolut Tf .

This document was created with Win2PDF available at http://www.daneprairie.com.The unregistered version of Win2PDF is for evaluation or non-commercial use only.

Documents

Capitolul 2-Ecuatii Modelediferentiale Regimuri Cp Elmg Th