26
1. M`rimi, legi ]i no\iuni de baz` 5 CAPITOLUL 1. M~RIMI, LEGI }I NO|IUNI DE BAZ~ 1.1. M`rimile caracteristice fenomenelor electromagnetice 1.1.1. M`rimi locale Pentru caracterizarea cantitativ` a st`rii c@mpului electromagnetic [ntr-un punct, ) , , ( z y x M M = se utilizeaz` patru vectori func\ie de punct ]i de timp respectiv: - ) , ( t M E E - - = - intensitatea c@mpului electric; - ) , ( t M D D - - = - induc\ia c@mpului electric; - ) , ( t M B B - - = - induc\ia c@mpului magnetic; - ) , ( t M H H - - = - intensitatea c@mpului magnetic. Pentru caracterizarea cantitativ` a st`rii corpurilor [n interac\iunea lor [n c@mpul electromagnetic se utilizeaz` urm`toarele m`rimi fizice: - ) , ( t M J J - - = - densitatea curentului electric de conductie; - ) , , , ( t z y x ρ ρ = - densitatea de volum a sarcinii electrice. Deci pentru caracterizarea complet` a c@mpului electromagnetic ]i a st`rii electromagnetice a corpurilor dintr-un domeniu spa\ial sunt necesare 16 func\ii scalare de pozi\ie ]i de timp. 1.1.2. M`rimi globale {n scopul de a u]ura caracterizarea c@mpului electromagnetic se introduc m`rimi globale, care caracterizeaz` comportarea [n medie a a c@mpului electromagnetic pe diverse subdomenii. Aceste m`rimi fizice se definesc prin opera\ii de integrare ]i sunt asociate unor domenii curbilinii, superficiale sau volumice. Suprafa\a [nchis`, notat` uzual Σ , este mul\imea punctelor de pe frontiera unui domeniu spa\ial, notat uzuzal Σ D , m`rginit ]i de volum nenul. Suprafa\a deschis`, notat` uzual Γ S , este o parte conex` a unei suprafa\e [nchise, ]i este m`rginit` de o curb` [nchis` notat` uzual Γ . Prin parcurgerea unei curbe [nchise se ajunge la punctul de plecare. Curbele [nchise se vor nota, [n general, cu litera Γ iar suprafe\ele deschise care se sprijin` pe aceste curbe se noteaz` cu Γ S . O parte conex` a unei curbe [nchise se nume]te curb` deschis` ]i se va nota cu C. O curb` deschis` are ca extremit`\i dou` puncte, pe care aceasta le une]te. De exemplu, suprafa\a lateral` a unei sfere Σ este o suprafa\` [nchis` ce m`rgine]te domeniul sferic Σ D . O calot` sferic` Γ ' S este o suprafe\` deschis` sprijinit` pe curba [nchis` Γ , iar [n acest caz Γ este un cerc. Un arc de cerc sau un segment de dreapt` sunt curbe deschise. Din mul\imea integralelor care se pot calcula, pornind de la m`rimile locale, urm`toarele prezint` interes practic deosebit. a. M`rimi globale ata]ate unor domenii curbilinii - ) (t u – tensiunea electric`; - ) (t u m – tensiunea magnetic`.

CAPITOLUL 1. M~RIMI, LEGI }I NO|IUNI DE BAZ~ …ferrari.lce.pub.ro/studenti/masini/cap01.pdfdomenii curbilinii, superficiale sau volumice. Suprafa\a [nchis`, notat` uzual Σ, este

  • Upload
    others

  • View
    13

  • Download
    0

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: CAPITOLUL 1. M~RIMI, LEGI }I NO|IUNI DE BAZ~ …ferrari.lce.pub.ro/studenti/masini/cap01.pdfdomenii curbilinii, superficiale sau volumice. Suprafa\a [nchis`, notat` uzual Σ, este

1. M`rimi, legi ]i no\iuni de baz` 5

CAPITOLUL 1. M~RIMI, LEGI I NO|IUNI DE BAZ~ 1.1. M`rimile caracteristice fenomenelor electromagnetice

1.1.1. M`rimi locale

Pentru caracterizarea cantitativ` a st`rii c@mpului electromagnetic [ntr-un punct,

),,( zyxMM = se utilizeaz` patru vectori func\ie de punct ]i de timp respectiv:

- ),( tMEE−−

= - intensitatea c@mpului electric;

- ),( tMDD−−

= - induc\ia c@mpului electric;

- ),( tMBB−−

= - induc\ia c@mpului magnetic;

- ),( tMHH−−

= - intensitatea c@mpului magnetic. Pentru caracterizarea cantitativ` a st`rii corpurilor [n interac\iunea lor [n c@mpul electromagnetic se utilizeaz` urm`toarele m`rimi fizice:

- ),( tMJJ−−

= - densitatea curentului electric de conductie; - ),,,( tzyxρρ = - densitatea de volum a sarcinii electrice. Deci pentru caracterizarea complet` a c@mpului electromagnetic ]i a st`rii electromagnetice a corpurilor dintr-un domeniu spa\ial sunt necesare 16 func\ii scalare de pozi\ie ]i de timp.

1.1.2. M`rimi globale n scopul de a u]ura caracterizarea c@mpului electromagnetic se introduc m`rimi globale, care caracterizeaz` comportarea [n medie a a c@mpului electromagnetic pe diverse subdomenii. Aceste m`rimi fizice se definesc prin opera\ii de integrare ]i sunt asociate unor domenii curbilinii, superficiale sau volumice. Suprafa\a [nchis`, notat` uzual Σ , este mul\imea punctelor de pe frontiera unui domeniu spa\ial, notat uzuzal ΣD , m`rginit ]i de volum nenul.

Suprafa\a deschis`, notat` uzual ΓS , este o parte conex` a unei suprafa\e [nchise, ]i este m`rginit` de o curb` [nchis` notat` uzual Γ . Prin parcurgerea unei curbe [nchise se ajunge la punctul de plecare. Curbele [nchise se vor nota, [n general, cu litera Γ iar suprafe\ele deschise care se sprijin` pe aceste curbe se noteaz` cu ΓS . O parte conex` a unei curbe [nchise se nume]te curb` deschis` ]i se va nota cu C. O curb` deschis` are ca extremit`\i dou` puncte, pe care aceasta le une]te. De exemplu, suprafa\a lateral` a unei sfere Σ este o suprafa\` [nchis` ce m`rgine]te domeniul sferic ΣD . O calot` sferic` Γ'S este o suprafe\` deschis` sprijinit` pe curba [nchis` Γ , iar [n acest caz Γ este un cerc. Un arc de cerc sau un segment de dreapt` sunt curbe deschise. Din mul\imea integralelor care se pot calcula, pornind de la m`rimile locale, urm`toarele prezint` interes practic deosebit. a. M`rimi globale ata]ate unor domenii curbilinii - )(tu – tensiunea electric`;

- )(tum – tensiunea magnetic`.

Page 2: CAPITOLUL 1. M~RIMI, LEGI }I NO|IUNI DE BAZ~ …ferrari.lce.pub.ro/studenti/masini/cap01.pdfdomenii curbilinii, superficiale sau volumice. Suprafa\a [nchis`, notat` uzual Σ, este

6 1.1.2. M`rimi globale Tensiunea electric` u este o m`rime scalar`, asociat` unei curbe orientate C ]i definit` ca fiind integrala de linie a intensit`\ii c@mpului electric de-a lungul curbei C :

∫=C

D

sdEu (1.1)

Fig. 1.1

[n care E este intensitatea c@mpului electric iar sd este elementul vectorial de linie, tangent la curba C ]i orientat [n sensul curbei. (fig. 1.1.). |in@nd cont de defini\ia produsului scalar ]i de propriet`\ile integralei, rezult`:

∫ ∫∫ ⋅====C C

tmedt

C

lcEdrEdrEsdEu αcos (1.2.)

unde tmedE reprezint` valoarea medie a componentei tangen\iale a intensit`\ii c@mpului electric

(mediat` pe curba C ) iar Cl reprezint` lungimea curbei C .

Tensiunea magnetic` este o m`rime fizic` scalar` asociat` unei curbe orientate ]i

Fig. 1.2.

definit` ca fiind integrala de linie pe o curb` [nchis` (fig. 1.2). a intensit`\ii c@mpului magnetic

∫=C

D

m sdHu (1.3)

[n care H este intensitatea c@mpului magnetic iar ds este elementul de linie.

Tensiunea magnetic` d` informa\ii asupra componentei tangen\iale H , a intensit`\ii c@mpului magnetic, mediate pe curba C: Ctmedm lHu ⋅= (1.4)

b. M`rimi globale ata]ate unor domenii superficiale - )(tΨ – fluxul electric; - )(tΦ – fluxul magnetic; - )(ti - intensitatea curentului electric de conduc\ie. Fluxul electric ψ este o m`rime scalar`, asociat` unei suprafe\e S (fig. 1.3) ]i definit` ca fiind integrala de suprafa\` a vectorului induc\iei electrice

∫∫=S

D

AdDψ (1.5)

Fig. 1.3

Vectorul elementar de arie Ad este orientat dup` normala la suprafa\` S [n direc\ie asociat` dup` regula burghiului drept sensului de parcurgere (precizat de s`geat` [n fig. 1.3) al conturului Γ pe care se sprijin` suprafa\a deschis` S . Fluxul electric se poate exprima prin:

Snmed

S

n

SS

ADdADdADAdD ==== ∫∫∫ αψ cos (1.6)

[n care nmedD este valoarea medie a componentei normale

nD a induc\iei, mediat` pe suprafa\a S iar SA este aria

suprafe\ei S.

Page 3: CAPITOLUL 1. M~RIMI, LEGI }I NO|IUNI DE BAZ~ …ferrari.lce.pub.ro/studenti/masini/cap01.pdfdomenii curbilinii, superficiale sau volumice. Suprafa\a [nchis`, notat` uzual Σ, este

1. M`rimi, legi ]i no\iuni de baz` 7 Fluxul magnetic Φ este o m`rime scalar`, asociat` unei suprafe\e (fig. 1.4) S ]i definit` ca fiind integrala de suprafa\` a induc\iei magnetice printr-o suprafa\` dat` S

∫∫=ΦS

D

AdB (1.7)

Fig. 1.4

[n care B este induc\ia magnetic` iar elementul de arie Ad se consider` orientat conform conven\iei adoptate la defini\ia fluxului electric. Fluxul magnetic d` informa\ii asupra comport`rii componentei normale nB a induc\iei magnetice

pe suprafa\a S: Snmed AB ⋅=Φ (1.8)

nmedB este valoarea medie, pe suprafa\a S, a componentei

normale nB iar SA este aria suprafe\ei.

Intensitatea curentului electric i este o m`rime scalar` asociat` unei suprafe\e S (fig. 1.5)

]i definit` ca fiind fluxul densit`\ii curentului electric J printr-o suprafa\` dat` S:

∫∫ ⋅=S

D

AdJi (1.9)

Fig. 1.5

unde J este densitatea de curent iar Ad este vectorul elementului de arie, orientat dup` normala pozitiv` a suprafe\ei S, asociat` conform regulii burghiului drept sensului precizat de s`geat` al curbei [nchise Γ . Intensitatea curentului electric se exprim` [n func\ie de valoarea medie, pe suprafa\a S, a componentei normale a densit`\ii de curent

nmedJ :

Snmed AJi ⋅= (1.10)

unde SA este aria suprafe\ei S.

c. M`rimi globale ata]ate unor domenii volumice - )(tq – sarcina electric`. Sarcina electric` q este o m`rime fizic` scalar` asociat` unui domeniu D (fig. 1.6) de volum nenul ]i definit` de:

∫∫∫=D

v

D

dVq ρ (1.11)

Fig. 1.6

[n care vρ este densitatea de sarcin` iar dV este elementul de

volum.Sarcina electric` satisface egalitatea Dmed Vq ⋅= ρ (1.12.)

[n care medρ este valoarea medie pe domeniul D, a densit`\ii de

sarcin` iar DV este volumul domeniului D.

M`rimile globale dau informa\ii asupra comport`rii, [n medie a integrantului, pe domeniul pe care au fost definite. Tensiunile electric` ]i magnetic` sunt definite pe curbe, prin integrarea unei intensit`\i de c@mp electric respectiv magnetic. Fluxurile electric ]i magnetic sunt definite pe suprafa\e, prin integrarea unei induc\ii electrice respectiv magnetice.

Page 4: CAPITOLUL 1. M~RIMI, LEGI }I NO|IUNI DE BAZ~ …ferrari.lce.pub.ro/studenti/masini/cap01.pdfdomenii curbilinii, superficiale sau volumice. Suprafa\a [nchis`, notat` uzual Σ, este

8 1.2. Legile c@mpului electromagnetic Intensitatea curentului electric reprezint` fluxul densit`\ii curentului electric. n cazul mediilor [n mi]care, curbele ]i suprafe\ele pe care au fost definite m`rimile globale se consider` antrenate de corpuri [n mi]carea lor. Faptul c` o m`rime global` este nul`, nu implic` faptul c` integrantul este nul, ci c` valoarea medie este nul` (pe o parte a domeniului, integrantul poate fi pozitiv, iar [n rest negativ, astfel [nc@t [n medie s` rezulte zero). Dac`, [n schimb o m`rime global` este nul` pe orice curb`, respectiv suprafa\` [nchis` sau deschis`, atunci se poate afirma c` ]i integrantul (c@mpul) este nul. Dac` integralele pe orice curb` [nchis` (tensiunile) sunt nule, atunci c@mpul respectiv nu poate avea linii de c@mp [nchise. Dac` [ntr-un domeniu spa\ial, integralele pe orice suprafa\` [nchis` (fluxurile) sunt nule, atunci c@mpul respectiv are linii de c@mp care nu pot nici s` [nceap` ]i nici s` se termine [n domeniul respectiv. 1.2. Legile c@mpului electromagnetic Legile c@mpului electromagnetic sunt rela\iile fundamentale care leag` [ntre ele m`rimile caracteristice ale c@mpului electromagnetic. n continuare se prezint` aceste rela\ii f`r` demonstra\ie, deoarece ele rezult` prin generalizare` unor observa\ii experimentale. 1.2.1 Legea fluxului electric Enun\: Fluxul electric Σψ prin orice suprafa\` [nchis` Σ (figura 1.7) este egal cu

sarcina electric` Σq con\inut` de acea suprafa\`:

ΣΣ = qψ (1.13)

Fig. 1.7

Explicit@nd m`rimile globale rezult`:

dVAdDD

v∫∫∫∫∫Σ

ρ (1.14)

Legea fluxului electric arat` c` sarcina electric` este o surs` de c@mp electric.

1.2.2. Legea fluxului magnetic Enun\: Fluxul magnetic este nul prin orice suprafa\` [nchis` Σ .

0=ΦΣ (1.15)

Fig. 1.8

Explicit@nd m`rimile globale(figura 1.8) rezult`:

0=∫∫Σ

AdB (1.16)

Legea fluxului magnetic pune [n eviden\` o restric\ie impus` induc\iei magnetice.

Page 5: CAPITOLUL 1. M~RIMI, LEGI }I NO|IUNI DE BAZ~ …ferrari.lce.pub.ro/studenti/masini/cap01.pdfdomenii curbilinii, superficiale sau volumice. Suprafa\a [nchis`, notat` uzual Σ, este

1. M`rimi, legi ]i no\iuni de baz` 9 1.2.3. Legea induc\iei electromagnetice

Enun\: Tensiunea electromotoare (produs` prin induc\ie electromagnetic`) [n lungul unei curbe [nchise Γ este egal` cu viteza de sc`dere a fluxului magnetic prin orice suprafa\` sprijinit` pe aceast` curb`.

dt

de SΓ

Φ−=Γ (1.17)

Fig. 1.9

Explicit@nd m`rimile globale (figura 1.9) rezult`:

∫∫∫Γ

=Γ S

dABdt

ddsE (1.18)

Aceast` lege arat` c` fluxul magnetic variabil [n timp este surs` a c@mpului electric.

1.2.4. Legea circuitului magnetic Enun\: n orice moment, tensiunea magnetomotoare Γmmu de-a lungul oric`rei curbe

[nchise Γ este egal` cu suma a doi termeni: primul este solena\ia Γsθ , corespunz`toare

curen\ilor care str`bat o suprafa\` deschis` oarecare ΓS m`rginit` de curba Γ ; al doilea termen

este derivata [n raport cu timpul a fluxului electric ΓΨS prin aceea]i suprafa\` ΓS ]i se

nume]te curent de deplasare.

dt

du S

SmmΓ

ΓΓΨ+=θ (1.19)

Fig. 1.10

Explicit@nd m`rimile globale (figura 1.10) rezult`:

∫∫∫∫∫ΓΓ

+=Γ SS

dADdt

ddAJdsH (1.20)

Legea circuitului magnetic arat` c` at@t curentul electric de conduc\ie c@t ]i varia\ia [n func\ie de timp a c@mpului electric sunt surse ale c@mpului magnetic.

1.2.5. Legea leg`turii dintre D , E ]i P

Enun\: n fiecare moment ]i [n orice punct al unui corp induc\ia electric` este numeric egal` cu suma dintre intensitatea c@mpului electric multiplicat` cu permitivitatea vidului ]i polariza\ia electric`.

PED += 0ε (1.21)

unde tp PPP += , pP fiind polariza\ia electric` permanent` iar tP fiind polariza\ia electric`

temporar`, iar 0ε este o constant` universal` numit` permitivitatea vidului cu valoarea:

⋅⋅=

m

F90 1094

1

πε (1.22)

Page 6: CAPITOLUL 1. M~RIMI, LEGI }I NO|IUNI DE BAZ~ …ferrari.lce.pub.ro/studenti/masini/cap01.pdfdomenii curbilinii, superficiale sau volumice. Suprafa\a [nchis`, notat` uzual Σ, este

10 1.2. Legile c@mpului electromagnetic

Legea leg`turii dintre D , E ]i P arat` c` polariza\ia permanent` este o surs` de c@mp electric.

1.2.6. Legea leg`turii dintre HB, ]i M Enun\: n orice punct induc\ia magnetic` este egal` cu suma vectorial` dintre intensitatea c@mpului magnetic ]i magnetiza\ia multiplicat` cu permeabilitatea vidului.

( )MHB += 0µ (1.23)

unde tp MMM += , pM fiind magnetiza\ia permanent` iar tM fiind magnetiza\ia temporar`,

iar 0µ este o constant` universal` numit` permitivitatea vidului cu valoarea:

[ ]mH /104 70

−⋅= πµ

Legea arat` c` magnetiza\ia permanent` este o surs` de c@mp magnetic. 1.2.7. Legea conserv`rii sarcinii electrice

Enun\: Intensitatea iΣ a curentului electric de conduc\ie care iese dintr-o suprafa\`

[nchis` Σ (adic` str`bate suprafa\a cu sensul de referin\` spre exterior) este [n fiecare moment egal` cu viteza de sc`dere a sarcinii electrice Σq localizat` [n interiorul suprafe\ei

dt

dqi ΣΣ −= (1.24)

1.2.8. Legea transform`rii energiei [n conductori (legea Joule-Lenz) Enun\: Puterea jp cedat` pe unitatea de volum al conductorului de c@mpul

electromagnetic, [n procesul de conduc\ie electric`, este egal` cu produsul scalar dintre

intensitatea c@mpului electric E ]i densitatea curentului electric de conduc\ie:

JEp j ⋅= (1.25)

1.2.9. Legea electrolizei Enun\: Masa m de substan\` depus` [n timpul t la un electrod al b`ii electrolitice este propor\ional` cu sarcina trecut` prin baie ]i cu echivalentul chimic al elementului depus:

qA

Fdti

A

Fm

tt

t νν 00

11 0

0

∫+

== (1.26)

unde:

- νA

este echivalentul chimic, A masa atomic` ]i ν valen\a substan\ei depuse;

- q este sarcina electric` corespunz`toare curentului i care trece prin baia electrolitic` [n timpul t ; - 0F este constanta lui Faraday cu valoarea 0F = 96 490 Coulombi/echivalent gram.

Page 7: CAPITOLUL 1. M~RIMI, LEGI }I NO|IUNI DE BAZ~ …ferrari.lce.pub.ro/studenti/masini/cap01.pdfdomenii curbilinii, superficiale sau volumice. Suprafa\a [nchis`, notat` uzual Σ, este

1. M`rimi, legi ]i no\iuni de baz` 11 1.2.10. Legea polariza\iei electrice temporare

Enun\: Polariza\ia temporar` este propor\ional` cu vectorul c@mp electric E .

EP et χε0= (1.27)

Factorul de propor\ionalitate eχ se nume]te susceptivitate electric` ]i depinde de

natura corpului. 1.2.11. Legea magnetiza\iei temporare Enun\: Magnetiza\ia temporar` este propor\ional` ]i omoparalel` cu intensitatea c@mpului magnetic.

HM mt ⋅= λ (1.28)

Factorul de propor\ionalitate mλ se nume]te susceptivitate magnetic`.

1.2.12. Legea conduc\iei electrice (legea lui Ohm)

Enun\: n regim neelectrostatic, suma vectorial` dintre intensitatea c@mpului electric E

]i intensitatea c@mpului electric imprimat iE din interiorul unui conductor izotrop este propor\ional` [n fiecare punct cu densitatea curentului electric de conduc\ie din acel punct

JEE i ρ=+ (1.29) n consecin\` curentul electric de conduc\ie ]i c@mpul electric imprimat (m`rime echivalent` cu ac\iunea unor for\e neelctrice) sunt surse ale c@mpului electric. 1.3.1. For\e [n c@mp magnetic

For\a lui Laplace. M`sur@nd for\a F∆ ce se exercit` asupra unui element de conductor

l∆ , care face parte dintr-un circuit parcurs de curentul i ]i plasat [ntr-un c@mp magnetic

exterior B se determin` experimental expresia:

BliF ×∆=∆ (1.30) For\a lui Ampère. Se consider` dou` conductoare paralele, filiforme ]i foarte lungi,

Fig. 1.11

parcurse de curen\ii 1i ]i respectiv 2i ca [n figura 1.11. Experimental se constat` c` cele dou` conductoare se atrag [n cazul c@nd curen\ii 1i ]i 2i au acela]i sens ]i se resping c@nd curen\ii circul` [n acela]i sens contrar. Experimental s-a determinat (Ampère 1820-1821) expresia for\ei:

lR

iiuF

12

2101212

2

4πµ−= (1.31)

unde:

- 12F este for\a datorit` c@mpului magnetic al curentului 1i exercitat` asupra conductorului 2; - l este lungimea de conductor pentru care se calculeaz` for\a;

Page 8: CAPITOLUL 1. M~RIMI, LEGI }I NO|IUNI DE BAZ~ …ferrari.lce.pub.ro/studenti/masini/cap01.pdfdomenii curbilinii, superficiale sau volumice. Suprafa\a [nchis`, notat` uzual Σ, este

12 1.3.1. For\e [n c@mp magnetic - 12R este distan\a [ntre conductoare;

- 12u este versorul dirijat de la conductorul 1 spre 2; - 0µ este permeabilitatea absolut` a vidului.

1.4. Consecin\e ale legii fluxului magnetic

Aplic@nd rela\ia (4) Gauss-Ostrogradski din Anexa 1, rela\iei (1.15) care exprim` legea fluxului magnetic, rezult` pentru orice ΣD :

0== ∫∫∫∫∫ΣΣ

dVBdivAdBD

(1.32)

din care rezult`:

0=Bdiv (1.33) Rela\ia (1.3.3) poart` numele de forma local` a legii fluxului magnetic. Consecin\e:

10 Fluxul magnetic are aceea]i valoare pentru toate suprafe\ele deschise ΓS care se sprijin` pe acela]i contur [nchis Γ .

Fig. 1.12

Demonstra\ie: Fie suprafe\ele 1S ]i 2S care [mpreun` formeaz` o suprafa\` [nchis` Σ ca [n figura 1.12. Pe suprafa\a 1S normala asociat` dup` regula burghiului drept sensului de parcurgere a conturului Γ coincide cu normala exterioar` a suprafe\ei [nchise Σ iar pe 2S este antiparalel`. Rezult`:

=+===Φ ∫∫∫∪

∪=Σ

2121

210

SSSS

SS AdBAdBAdB

21

21

SS

SS

AdBAdB Φ−Φ=−= ∫∫ (1.34)

deci

21 SS Φ=Φ (1.35)

20 Din legea fluxului magnetic rezult` c` liniile vectorului induc\ie B nu pot s` [nceap` sau s` se termine [ntr-un punct din c@mp, deoarece fluxul, printr-o suprafa\` [nchis` ce se restr@nge c`tre acel punct ar fi nenul. Liniile de c@mp pot fi [nchise(ca [n cazul conductorului foarte lung), po [ncepe ]i se pot termina la infinit , sau se pot [nf`]ura asimptotic [n jurul unor curbe limit` sau pe anumite suprafe\e(linii practice [nchise). 1.5. Clasificarea substan\elor magnetice

n cazurile [n care magnetiza\ia permanent` este nul` 0=pM ]i deci tMM = ,

legea magnetiza\iei temporare se utilizeaz` [n asocial\ie cu legea leg`turii dintre HB, ]i M , respectiv:

( ) ( ) HHHHB rmm µµλµλµ 000 1 =+=+= (1.36)

sau:

HB µ= (1.37)

Page 9: CAPITOLUL 1. M~RIMI, LEGI }I NO|IUNI DE BAZ~ …ferrari.lce.pub.ro/studenti/masini/cap01.pdfdomenii curbilinii, superficiale sau volumice. Suprafa\a [nchis`, notat` uzual Σ, este

1. M`rimi, legi ]i no\iuni de baz` 13 unde m`rimea:

mr λµµµ +== 1

0

(1.38)

se nume]te permeabilitatea relativ` a materialului. Dup` modul cum se magnetizeaz` materialele se [mpart [n: diamagnetice, paramagnetice ]i feromagnetice. Materialele diamagnetice sunt caracterizate printr-o susceptivitate magnetic` mλ

constant`, negativ` ( mλ < 0) ]i o valoare absolut` foarte mic` ( 1≈rµ ). Exemplu: bismut 610170 −⋅−=mλ , argint 61019 −⋅−=mλ , cupru 61010 −⋅−=mλ .

Materialele paramagnetice sunt caracterizate printr-o susceptivitate magnetic` mλ

pozitiv` ( mλ > 0), [n valoare absolut` foarte mic` ( 1≈rµ ) ]i care scade cu temperatura.

Exemplu: mangan 6103600 −⋅=mλ , platin` 610330 −⋅=mλ , aluminiu 61022 −⋅=mλ , oxigen 61042,1 −⋅=mλ .

Materialele feromagnetice sunt caracterizate printr-o susceptivitate magnetic`, respectiv, printr-o permeabilitate relativ` foarte mare 62 10...10 ( mr λµ +=1 ) ]i dependent` de

intensitatea c@mpului magnetic. La aceste materiale exist` o temperatur` critic` - numit` temperatur` Curie – la dep`]irea c`reia corpurile []i pierd propriet`\ile magnetice. Sub temperatura Curie, corpurile feromagnetice sunt [mp`r\ite [n domenii de structur` Weiss, cu dimensiuni de ordinul a 310− mm. Fiecare domeniu este uniform ]i total magnetizat, toate momentele magnetice ale moleculelor ]i ale particulelor elementare sunt omoparalele. n absen\a unui c@mp magnetic exterior direc\iile de magnetizare ale domeniilor sunt orientate haotic ]i dau o magnetiza\ie macroscopic` nul`, ca [n figura 1.13.a.

Fig. 1.13

n prezen\a unui c@mp magnetic exterior domeniile se rotesc sau []i schimb` volumul d@nd o magnetiza\ie macroscopic` rezultant`, care cre]te o dat`

cu intensitatea c@mpului magnetic H ,

p@n` la alinierea omoparalel` cu H a

momentelor magnetice ale tuturor domeniilor ca [n figura 1.13.b. Se ob\ine astfel magnetiza\ia

de satura\ie sM . Cre]terea [n continuare a intensit`\ii c@mpului magnetic nu mai m`re]te magnetiza\ia. Dependen\a induc\iei magnetice de intensitatea c@mpului magnetic (cu orientare constant`) este ilustrat` [n figura 1.14.a pentru un material feromagnetic. Presupun@nd ini\ial corpul demagnetizat, la aplicarea unui c@mp magnetic a c`rui intensitate H cre]te de la zero, induc\ia B va cre]te dup` curba 0-1, numit` curb` de prim` magnetizare. La varia\ia ciclic` a intensit`\ii c@mpului magnetic [ntre mH ]i - mH se parcurge ciclul de

histerezis 1-2-3-4-5-6-1, pe care se disting urm`toarele puncte importante: - v@rfurile ciclului: 1 ( mH , mB ) ]i 4(- mH ,- mB );

- punctele de remanen\`: 2 ( mH =0, rB ) ]i 5 ( H =0, - rB );

- punctele coercitive: 3 (- cH , B =0) ]i 6 ( cH , B =0).

Page 10: CAPITOLUL 1. M~RIMI, LEGI }I NO|IUNI DE BAZ~ …ferrari.lce.pub.ro/studenti/masini/cap01.pdfdomenii curbilinii, superficiale sau volumice. Suprafa\a [nchis`, notat` uzual Σ, este

14 1.5. Clasificarea substan\elor magnetice

Fig. 1.14

M`rimile acestor puncte se numesc astfel:

- mB ]i mH sunt induc\ia ]i intensitatea maxim` a c@mpului magnetic corespunz`toare

ciclului; - rB - induc\ia remanent`;

- cH - intensitatea c@mpului magnetic coercitiv.

Ciclul de histerezis se parcurge [ntotdeauna [n sensul indicat [n figur` prin s`ge\i. Suprafa\a ciclului de histerezis corespunde totdeauna unei energii, care se transform` [n c`ldur`, prin frec`ri interne, la fiecare parcurgere a ciclului. La magnetizarea [n c@mp alternativ a materialelor feromagnetice se produc deci pierderi de putere prin histerezis, care sunt propor\ionale cu num`rul de magnetiz`ri [n unitatea de timp, adic` cu frecven\a curentului alternativ. n tehnic` se utilizeaz` de obicei curba loc geometric a v@rfurilor ciclurilor de histerezis numit` curb` de magnetizare, figura 1.14.b. Pe aceast` curb` se remarc` existen\a unei por\iuni finale de pant` egal` cu 0µ [n care magnetiza\ia nu mai cre]te cu intensitatea

c@mpului magnetic (satura\ia materialului). Exist` patru metale feromagnetice (fierul, nichelul, cobaltul ]i gadoliniu) ]i numeroase aliaje feromagnetice, dintre care unele sunt formate din substan\e neferomagnetice (exemplu: bismanolul cu 78% Bi ]i 22% Mn). Dup` forma ciclului de histerezis, materialele feromagnetice se clasific` [n materiale magnetice moi ]i materiale magnetice dure. Materialele magnetice moi au un ciclu de histerezis [ngust ]i o intensitate a c@mpului coercitiv mic` cH p@n` la zeci de A/m ]i 1>>rµ ( )1010( 53

K∈rµ ).

Aceste materiale se magnetizeaz` ]i se demagnetizeaz` relativ u]or ]i se folosesc pentru realizarea circuitelor magnetice ale ma]inilor ]i ale aparatelor electrice. Exemplu: o\elul electrotehnic cu 7000,8,0,/40,%42 max ===÷ rc TBrmAHSi µ ;

permalloy cu 50000,6,0,/5,%5,21,%5,78 max === rc TBrmAHFeNi µ .

Page 11: CAPITOLUL 1. M~RIMI, LEGI }I NO|IUNI DE BAZ~ …ferrari.lce.pub.ro/studenti/masini/cap01.pdfdomenii curbilinii, superficiale sau volumice. Suprafa\a [nchis`, notat` uzual Σ, este

1. M`rimi, legi ]i no\iuni de baz` 15 Materialele magnetice dure au un ciclu de histerezis larg, respectiv o intensitate a c@mpului coercitiv mare mAH c /102> ]i 401÷=rµ . Aceste materiale se magnetizeaz` ]i se

demagnetizeaz` relativ greu ]i se folosesc pentru realizarea magne\ilor permanen\i. Exemplu: - o\elul carbon c`lit ( C%16,0 ÷ cu mAH c /5000= ]i TBr 7,0= )

- o\eluri Alni ]i Alnico (Cu, Fe, Al, Ni, Co cu mAH c /5500034−= ]i

TBr 25,153,0 −= ) Materialele ferimagnetice sau feritele constituie o ultim` categorie de materiale cu propriet`\i magnetice. Feritele au o structur` asem`n`toare cu a corpurilor feromagnetice, [ns` o parte din domeniile cu magnetizare spontan` mai slab` se orienteaz` [n sens opus intensit`\ii c@mpului magnetic. Feritele sunt materiale semiconductoare, caracterizate prin rezistivitate mare

mΩ÷ 64 1010 . Ele sunt compu]i ai unor metale divalente (Ni, Mn, Zn, Cu, Co, Ba) cu oxidul de fier. Feritele pot avea at@t propriet`\i de materiale magnetice moi (Feroxcube, Maniperm ].a.), c@t ]i de materiale magnetice dure (Feroxdur, Magnadur, Baferite). Feritele se utilizeaz` [n informatic` (memorii, antene magnetice) c@t ]i [n domeniul ma]inilor ]i aparatelor electrice de mic` putere (Exemplu: transformatoare, micromotoare, microgeneratoare, relee etc.). 1.6. Forma integral` dezvoltat` a legii circuitului magnetic Legea circuitului magnetic se scrie explicit rel (1.20), fig. 1.10. Deoarece circula\ia

vectorului H [n lungul unei curbe [nchise Γ ( ∫Γ

sdH ) este diferit` de zero, rezult` c` ([n

cazul general), vectorul c@mp H nu este derivabil dintr-un poten\ial scalar, iar tensiunea

magnetic` ∫=B

A

m sdHu , [ntre dou` puncte depinde de drum, adic` de curba de integrare de la A

la B. n cazul mediilor [n mi]care, calculul derivatei fluxului electric [n raport cu timpul trebuie f`cut consider@nd suprafa\a ΓS antrenat` de corpuri [n mi]carea lor. Determin@nd derivata de flux conform rela\iei (8) din Anexa 1 rezult`:

( )∫∫ ∫∫Γ Γ

+⋅+

∂∂=

S S

AdvxDrotDdivvt

DAdD

dt

d (1.39)

Aplic@nd acest rezultat [n cazul legii circuitului magnetic rezult` forma integral` dezvoltat` a legii:

( ) ( )∫∫∫∫∫∫∫∫∫ΓΓΓΓ

+⋅+∂∂+=

Γ SS

v

SS

AdvxDrotAdVAdt

DAdJsdH ρ (140)

Rela\ia (5.6.4) se mai poate scrie:

ΓΓΓ+++= ΓΓ SSS RvDsmm iiiu θ (1.41)

unde: -

ΓSDi este curentul de deplasare propriu-zis

- ΓSvi este curentul de convec\ie

- ΓSRi este curentul Röntgen (teoretic)

Page 12: CAPITOLUL 1. M~RIMI, LEGI }I NO|IUNI DE BAZ~ …ferrari.lce.pub.ro/studenti/masini/cap01.pdfdomenii curbilinii, superficiale sau volumice. Suprafa\a [nchis`, notat` uzual Σ, este

16 1.7. Forma integral` dezvoltat` a legii induc\iei electromagnetice

n cazul corpurilor imobile 0=v ]i legea circuitului magnetic are forma:

∫∫∫Γ

Γ ∂∂+=

Γ S

S Adt

DsdH θ (1.42)

Se nume]te regim cvasista\ionar regimul variabil [n care se poate neglija curentul de deplasare [n legea circuitului magnetic, peste tot, cu excep\ia dielectricului condensatoarelor. n acest regim legea trece [n teorema lui Ampère:

Γ

=∫Γ

SsdH θ (1.43)

1.6.1. Aplica\ii 1.6.1.1. Fie un conductor rectiliniu, filiform, infinit parcurs de curentul i, ca [n figura 1.15.

Fig 1.15

S` se determine intensitatea c@mpului magnetic [n vid la distan\a r. Aplic@nd legea circuitului magnetic pe o curb` Γ circular` care coincide cu o linie de c@mp de raz` r rezult`:

isdH =∫Γ

(1.44)

dar sdH , deci irHdsH =⋅=∫Γ

π2 , respectiv:

r

iH

π2= (1.45)

1.6.1.2. S` se determine intensitatea c@mpului magnetic [ntr-un tor (inel) bobinat cu o [nf`]urare de N spire prin care trece curentul continuu i, ca [n figura 1.16.

Fig 1.16

Din motive de simetrie, liniile de c@mp sunt circulare ]i aplic@nd legea circuitului magnetic pe conturul Γ al unei linii de c@mp interioare de lungime medie l se ob\ine:

iNsdH =∫Γ

(1.46)

deoarece orice suprafa\` sprijinit` pe curba Γ este [npuns` de N ori de conductorul [nf`\ur`rii de curent.

Dar sdH ]i din considerente de simetrie H este constant

ca valoare [n orice punct al conturului, deci iNlH =⋅ , respectiv:

l

iNH = (1.47)

1.7. Forma integral` dezvoltat` a legii induc\iei electromagnetice n cazul mediilor [n mi]care, calculul derivatei fluxului electric [n raport cu timpul trebuie f`cut consider@nd suprafa\a ΓS antrenat` de corpuri [n mi]carea lor. Determin@nd derivata de flux conform rela\iei (4) din Anexa 1 rezult`:

( )∫∫ ∫∫Γ Γ

+⋅+

∂∂=

S S

AdvxBrotBdivvt

BAdB

dt

d (1.48)

Page 13: CAPITOLUL 1. M~RIMI, LEGI }I NO|IUNI DE BAZ~ …ferrari.lce.pub.ro/studenti/masini/cap01.pdfdomenii curbilinii, superficiale sau volumice. Suprafa\a [nchis`, notat` uzual Σ, este

1. M`rimi, legi ]i no\iuni de baz` 17

Consider@nd forma local` a legii fluxului magnetic 0=Bdiv ]i aplic@nd teorema lui Stokes:

∫∫∫ΓΓ

=S

dAFrotndsF (1.49)

Rezult` forma integral` dezvoltat` a legii induc\iei electromagnetice:

( )∫∫∫∫ΓΓ Γ

+∂∂= sdBxvdA

t

BsdE

S

(1.50)

Rela\ia (1.50) se mai poate scrie: misctrans eee +=Γ (1.51)

unde: - transe se nume]te tensiune electromotoare indus` prin transformare sau prin pulsa\ie;

- misce se nume]te tensiune electromotoare indus` prin mi]care sau prin rota\ie (la ma]inile

electrice). Tensiunea electromotoarede de mi]care se induce numai dac` conductorul taie liniile de c@mp [n mi]carea lui. 1.7.1. Aplica\ii 1.7.1.1. Principiul generatorului de current alternativ. Calculul tensiunii electromotoare.

Fig. 1.17

Se consider` o bobin` dreptunghiular` (un cadru) cu N spire, ocup@nd acela]i contur Γ care se rote]te [n jurul unei axe de simetrie cu n rot/s

[ntr-un c@mp omogen B perpendicular pe ax`, ca [n figura 1.17, ]i se cere expresia t.e.m. induse [n bobin`. Rezolvare: Se aplic` legea induc\iei:

dt

dN

dt

de fΦ

−=Φ−= (1.52)

unde:

∫Γ

Φ===Φ αα coscos maxBAAdBf

[n care : - A=2al este aria sec\iunii bobinei; - 00 2 απαωα +=+= tnt este

unghiul dintre B ]i normala la planul spirei, egal la un anumit moment cu unghiul format de

planul spirei cu normala la liniile de induc\ie B . Deci t.e.m. indus` este:

)sin(2)sin(cos

0max0maxmax αωπαωωα +Φ=+Φ=Φ= tnNtNdt

dNe (1.53)

Sub aceast` form` valoarea t.e.m. nu depinde de forma sec\iunii bobinei. n practic` se opereaz` cu valoarea efectiv` efE a tensiunii.

Page 14: CAPITOLUL 1. M~RIMI, LEGI }I NO|IUNI DE BAZ~ …ferrari.lce.pub.ro/studenti/masini/cap01.pdfdomenii curbilinii, superficiale sau volumice. Suprafa\a [nchis`, notat` uzual Σ, este

18 1.7.1.2. Principiul transformatorului

)sin(2)sin()( 00max αωαω +=+= tEtEte ef (1.54)

rezult`:

maxmax

2

2

2Φ== Nn

EEef

π (1.55)

sau: max44,4 Φ= NnEef [ ]V . (1.56)

1.7.1.2. Principiul transformatorului. Tensiunea electromotoare indus` [n [nf`]ur`rile acestuia. Fie un transformator format din dou` [nf`]ur`ri a]ezate pe un miez de fier astfel [nc@t fluxul fascicular al curentului care trece prin una dintre [nf`]ur`ri s` str`bat` c@t mai complet cealalt` [nf`]urare, ca [n figura 5.18. Aplic@nd unei [nf`]ur`ri ([nf`]urarea primar` cu 1N spire) o tensiune alternativ`, se constat` c` ea este str`b`tut` de un curent alternativ. n miezul transformatorului apare un flux magnetic alternativ. Acesta induce [n [nf`]urarea secundar` cu 2N spire o tensiune electromotoare care determin` apari\ia unui curent [n circuitul de sarcin` conectat la aceast` [nf`]urare. Fie fΦ fluxul fascicular rezultant care str`bate spirele ambelor [nf`]ur`ri:

)cos( 0max αω +Φ=Φ tff (1.57)

Fig. 1.18

[n care fπω 2= este pulsa\ia iar f este frecven\a tensiunii alternative aplicate. Acest flux induce [n [nf`]urarea primar` tensiunea electromotoare primar`:

)sin( 0max111 αωω +Φ=Φ−= tNdt

dNe f

t (1.58)

iar [n [nf`]urarea secundar` tensiunea electromotoare secundar`;

)sin( 0max222 αωω +Φ=Φ−= tNdt

dNe f

t (1.59)

Raportul [ntre tensiunea electromotoare primar` ]i tensiunea electromotoare secundar` se nume]te raport de transformare ]i :

kN

N

e

e==

2

1

2

1 (1.60)

Valorile efective ale tensiunii electromotoare

maxmax1

12

2

2fef fN

EE Φ== π

, maxmax2

22

2

2fef fN

EE Φ== π

(1.61)

Rezult` c` ]i raportul acestor valori efective este egal cu raportul de transformare

kN

N

E

E

ef

ef ==2

1

2

1 . (1.62)

1.8. Circuite magnetice 1.8.1. Defini\ii n corpurile feromagnetice (]i ferimagnetice), la o valoare dat` a intensit`\ii c@mpului

Page 15: CAPITOLUL 1. M~RIMI, LEGI }I NO|IUNI DE BAZ~ …ferrari.lce.pub.ro/studenti/masini/cap01.pdfdomenii curbilinii, superficiale sau volumice. Suprafa\a [nchis`, notat` uzual Σ, este

1. M`rimi, legi ]i no\iuni de baz` 19 magnetic se ob\in valori mai mari ale induc\iei magnetice dec@t [n corpurile dia sau paramagnetice.

Fig 1.19 -1- coloan`; -2- jug; -3- [ntrefier; -4- arm`tur`; -5- bobin`;

Din acest motiv miezurile ma]inilor ]i aparatelor electrice se realizeaz` din materiale feromagnetice ]i ferimagnetice pentru realizarea unor induc\ii magnetice mari, necesare func\ion`rii economice a acestora. Circuitele magnetice sunt miezuri [mpreun` cu eventualele [ntrefieruri, care au proprietatea de a conduce cea mai mare parte a fluxului magnetic. ntrefierurile sunt [ntreruperi scurte ale miezului, umplute cu aer sau materiale neferomagnetice. n figura 1.19 se prezint` dou` circuite magnetice pentru transformatorul electric monofazat ]i pentru releul electromagnetic. Coloanele sunt por\iunile circuitului magnetic pe care se a]eaz` bobinele. Restul circuitului magnetic se [nchide prin juguri ]i [ntrefieruri. Arm`turile sunt por\iunile mobile ale circuitului magnetic. 1.8.2. Reluctan\a. Permean\a. Fie o por\iune neramificat` de circuit magnetic, care constituie un tub de flux magnetic, suficient de sub\ire pentru a se considera fluxul repartizat uniform pe sec\iunea lui ca [n figura 1.20.

Fig 1.20

Tensiunea magnetic` [ntre dou` puncte 1 ]i 2 de-a lungul curbei C pe axa tubului este:

∫∫∫ ===2

1

2

1

2

1)()(

dsB

dsHsdHU

CC

m µ (1.63)

deoarece dsHB |||| (curba C este o linie de c@mp)

iar HB µ= . Rezult`:

∫∫ Φ=Φ

=2

1

2

1)()( LL

A

dsds

AU f

fm µµ

(1.64)

[n care fΦ este fluxul magnetic fascicular constant prin toate sec\iunile tubului de flux.

Se nume]te reluctan\` magnetic` sau rezisten\` magnetic` a por\iunii de circuit magnetic, m`rimea pozitiv` definit` de raportul dintre tensiunea magnetic` ]i fluxul fascicular:

f

mm

UR

Φ= (1.65)

Page 16: CAPITOLUL 1. M~RIMI, LEGI }I NO|IUNI DE BAZ~ …ferrari.lce.pub.ro/studenti/masini/cap01.pdfdomenii curbilinii, superficiale sau volumice. Suprafa\a [nchis`, notat` uzual Σ, este

20 1.8.3. Teoremele lui Kirchhoff pentru circuitele magnetice Din rela\ia (1.64) rezult` c` reluctan\a magnetic` a unui tub sub\ire de flux magnetic are expresia:

∫=2

1 A

dsRm µ

(1.66)

n cazul particular al por\iunilor de circuit omogen, de lungime l, de sec\iune A constant` ]i permeabilitate µ constant` reluctant` este

A

lRm µ

= (1.67)

n S.I. unitatea de m`sur` pentru reluctan\a magnetic` este amperspira pe weber [ ]WbspA ⋅ . Inversul reluctan\ei se nume]te permean\`.

l

A

UR m

f

m

µ=Φ

==Λ 1 (1.68)

Din rela\ia de defini\ie (1.65) rezult` rela\ia: fmm RU Φ= (1.69)

numit` ]i legea lui Ohm pentru circuite magnetice. Rezolvarea unui circuit magnetic de configura\ie dat` const` fie [n determinarea prin calcul a fluxurilor magnetice utile ]i de dispersie la o distribu\ie a solena\iilor date, fie [n determinarea solena\iilor la flux magnetic util dat. Rezolvarea se poate efectua fie direct plec@nd de la legile c@mpului magnetic, fie utiliz@nd o analogie [ntre circuitele magnetice ]i cele electrice. 1.8.3. Teoremele lui Kirchhoff pentru circuitele magnetice Teorema I a lui Kirchhoff. Suma algebric` a fluxurilor magnetice care trec prin laturile unui circuit magnetic ce concur` [ntr-un nod al acestui circuit, considerate negative c@nd sunt [ndreptate spre nod ]i pozitive [n caz contrar este nul`. ∑

=ΦNK

fk 0 (1.70)

Teorema I a lui Kirchhoff rezult` din legea fluxului magnetic( ∫∫ ==Φε

ε 0AdB ).

Teorema a II-a a lui Kirchhoff. n regim sta\ionar ]i cvasista\ionar, suma algebric` a solena\iilor care [nl`n\uie laturile f`r` dispersie magnetic` ale oric`rui ochi de circuit magnetic este egal` cu suma algebric` a produselor reluctan\elor magnetice ale laturilor prin fluxurile magnetice fasciculare care trec prin ele (adic` cu suma c`derilor de tensiune magnetic`) ∑ ∑

∈ ∈

Φ=BK BK

fkmkk Rθ (1.71)

Teorema a II-a a lui Kirchhoff rezult` din legea circuitului magnetic ( ∑= kmmkU θ ).

Rezult` echivalen\e [ntre circuite electrice ]i circuite magnetice: fmm IURR φθ →→→ ,, (1.72)

1.8.4. Teoremele reluctan\elor echivalente Circuitul magnetic cu n laturi [n serie. Fie dat un circuit magnetic cu n laturi [n serie ca [n figura 1.21.

Page 17: CAPITOLUL 1. M~RIMI, LEGI }I NO|IUNI DE BAZ~ …ferrari.lce.pub.ro/studenti/masini/cap01.pdfdomenii curbilinii, superficiale sau volumice. Suprafa\a [nchis`, notat` uzual Σ, este

1. M`rimi, legi ]i no\iuni de baz` 21

Fig. 1.21

Se cere s` se determine reluctan\a magnetic` echivalent` [ntre punctele A ]i B. Reluctan\a magnetic` echivalent` este dat` de rela\ia:

f

mme

UR

Φ= (1.73)

Din aplicarea teoremei a II-a a lui Kirchhoff , rezult` (fluxul fiind acela]i):

∑∑∑===

Φ=Φ==n

kmkf

n

kfmk

n

kmkm RRUU

111

(1.74)

respectiv:

∑=

=n

Kmkme RR

1

(1.75)

Enun\: Reluctan\a echivalent` a mai multor laturi conectate [n serie (adic` st`b`tute de acela]i flux) este egal` cu suma reluctan\elor laturilor. Circuitul magnetic cu n laturi [n paralel. Fie dat un circuit magnetic cu n laturi [n paralel ca [n figura 1.22. Se cere s` se determine reluctan\a magnetic` echivalent` [ntre punctele A ]i B. Din aplicarea teoremei I a lui Kirchhoff rezult`:

∑ ∑∑= ==

==Φ=Φn

K

n

K mkm

mk

mn

Kfkf R

UR

U

1 11

1 (1.76)

Fig. 1.22

Dar [n rela\ia (1.76) fluxul fascicular este:

me

mf R

U=Φ

]i rezult`:

∑=

=n

K mkme RR 1

11 (1.77)

Enun\: Inversul reluctan\ei echivalente a mai multor laturi conectate [n paralel (c`rora li se aplic` aceea]i tensiune magnetic`) este egal` cu suma inverselor reluctan\elor acestor laturi.

Utiliz@nd permean\ele rela\ia (1.77) se mai poate scrie:

∑=

Λ=Λn

Kke

1

. (1.78)

1.9. Inductivit`\i

Calculul fluxului care trece printr-un circuit, produs de curentul ce trece prin acel

circuit sau produs de curentul din alt circuit, duce la introducerea unei noi m`rimi numit` inductivitate sau inductan\`. Defini\ie: Inductivitatea este definit` ca fiind raportul dintre fluxul magnetic care str`bate o suprafa\` limitat` de conturul unui circuit ]i curentul care [l produce.

Page 18: CAPITOLUL 1. M~RIMI, LEGI }I NO|IUNI DE BAZ~ …ferrari.lce.pub.ro/studenti/masini/cap01.pdfdomenii curbilinii, superficiale sau volumice. Suprafa\a [nchis`, notat` uzual Σ, este

22 1.9. Inductivit`\i

Fig. 1.23

i

LD Φ= (1.79)

Se consider` dou` circuite cu N1 ]i N2 spire de contur 1Γ ]i 2Γ ]i se presupune c` numai primul circuit este str`b`tut de curentul i1 ca [n figura 1.23. Se noteaz` cu 11fΦ fluxul fascicular produs de

circuitul 1 ]i cu 21fΦ fluxul fascicular produs de

circuitul 2.

Conven\ii 10 Se convine ca nota\ia acestor fluxuri s` fie afectat` de doi indici: primul indic` circuitul prin a c`rui suprafa\` trece fluxul, iar al doilea curentul care produce fluxul respectiv. 20 Se mai convine c` sensul de referin\` al fiec`ruia din aceste fluxuri s` fie asociat dup` regula burghiului drept sensului de referin\` de pe circuitul [nl`n\uit de acel flux. Se noteaz` cu 21fdΦ fluxul de dispersie al circuitului 1 fa\` de circuitul 2, adic` fluxul

fascicular produs de circuitul 1 ce nu trece prin circuitul 2. Rezult` evident: 212111 fdff Φ+Φ=Φ (1.80)

Defini\ie: Inductivitatea proprie L11 a circuitului 1 este raportul pozitiv dintre fluxul total 11Φ prin circuitul 1, produs de curentul acelui circuit ([n sensul asociat dup` regula burghiului drept sensului curentului) ]i curentul i1 care [l produce

01

111

1

1111 >

Φ=

Φ=

i

N

iL f

(1.81)

Defini\ie: Inductivitatea mutual` 21L , [ntre circuitele 1 ]i 2 este raportul dintre fluxul

total 21Φ produs de circuitul 1, care trece prin circuitul 2, ]i curentul i1 care [l produce:

01

212

1

2121 <

>Φ=Φ=

i

N

iL f (1.82)

Inductivitatea mutual` (]i uneori modulul ei) se mai noteaz` cu simbolul M. n mod analog se definesc:

- inductivitatea proprie a circuitului 2:

2

222

2

2222 i

Ni

L fΦ=

Φ= (1.83)

- inductivitatea mutual` [ntre circuitul 2 ]i 1:

2

121

2

1212 i

Ni

LfΦ

= (1.84)

Se poate demonstra c` inductivit`\ile mutuale satisfac rela\iile de reciprocitate 2112 LL = (1.85)

n S.I. unitatea de m`sur` pentru inductivitate este henry [ ]H .

Page 19: CAPITOLUL 1. M~RIMI, LEGI }I NO|IUNI DE BAZ~ …ferrari.lce.pub.ro/studenti/masini/cap01.pdfdomenii curbilinii, superficiale sau volumice. Suprafa\a [nchis`, notat` uzual Σ, este

1. M`rimi, legi ]i no\iuni de baz` 23 1.10. Energia ]i for\ele c@mpului magnetic 1.10.1. Energia Exercitarea de ac\iuni ponderomotoare asupra conductoarelor situate [n c@mp magnetic presupune energie [n c@mpul magnetic localizat` [n domeniul c@mpului. Energia c@mpului magnetic este localizat` [n tot domeniul de c@mp cu o densitate de volum mw dat` de expresia:

∫=B

m BdHw0

(1.86)

n medii liniare HB µ= ]i:

22

2

1

2

1

2

1BHBHwm µ

µ === (1.87)

Energia magnetic` se poate calcula ]i ca integrala de volum a densit`\ii de volum mw

extins` la volumul εV ocupat de c@mp:

∫=εV

mm dvwW (1.88)

Dac` se consider` cazul general al unei reparti\ii neomogene a c@mpului magnetic, energia c@mpului magnetic localizat` [n volumul εV este dat de rela\ia:

∫∫∫=εV

m dvHB

W2

(1.89)

Observa\ie: Energia magnetic` proprie a unei bobine [n func\ie de inductivitatea L de fluxul Φ ]i de curentul i este:

L

iLiWm 222

22 Φ==Φ= (1.90)

unde iL=Φ . Se consider` un solenoid drept foarte lung [nf`]urat uniform, [ntr-un mediu omogen de permeabilitate .ct=µ Aria sec\iunii solenoidului A este presupus` suficient de mic` pentru a considera c@mpul magnetic omogen [n interior. Curentul care trece prin [nf`]urarea cu H spire

este i, iar lungimea l. Intensitatea c@mpului magnetic este l

iNH = , iar fluxul total

BANN f =Φ=Φ .

nlocuind i ]i Φ [n rela\ia (1.90) ]i \in@nd cont c` produsul VlA = este volumul ocupat de c@mp al solenoidului, rezult`:

VHB

lAHB

Wm 22== , (1.91)

]i

2

HB

V

Ww m

m == . (1.92)

Page 20: CAPITOLUL 1. M~RIMI, LEGI }I NO|IUNI DE BAZ~ …ferrari.lce.pub.ro/studenti/masini/cap01.pdfdomenii curbilinii, superficiale sau volumice. Suprafa\a [nchis`, notat` uzual Σ, este

24 1.10.2. Teoremele for\elor generalizate [n c@mpul magnetic

1.10.2. Teoremele for\elor generalizate [n c@mpul magnetic

Prima teorem` a for\elor generalizate [n c@mpul magnetic Fie energia magnetic` exprimat` [n func\ie de fluxuri ]i de coordonata generalizat`:

),( xfWm Φ= (1.93)

Enun\: For\a generalizat` F corespunz`toare coordonatei generalizate x, este egal` cu derivata par\ial` a energiei magnetice Wm [n raport cu coordonata generalizat` luat` cu semn schimbat, la fluxuri magnetice constante prin circuite

.ct

m

x

WF

∂∂

−= (1.94)

A doua teorem` a for\elor generalizate [n c@mpul magnetic Fie energia magnetic` exprimat` [n func\ie de curen\i ]i de coordonata generalizat`:

),( xifWm = (1.95)

Enun\: For\a generalizat` F corespunz`toare coordonatei generalizate x, este egal` cu derivata par\ial` a energiei magnetice Wm [n raport cu coordonata generalizat`, la curen\i constan\i prin circuite.

.cti

m

x

WF

=

∂∂

= (1.96)

Ambele rela\ii permit calculul aceleia]i for\e F a c`rei valoare nu depinde de modul cum este calculat`. 1.11. Câmpul magnetic din întrefierul maşinilor electrice

Câmpul magnetic alternativ este produs în maşinile electrice de curenţii care parcurg înfăşurările. Se consideră o maşină electrică formată din două armături cilindrice concenrtice, realizate din ţole feromganetice izolate între ele. Una din armături, de exemplu cea exterioară este echipată cu o înfăşurare parcursă de curentul alternativ sinusoidal

tIti ωsin2)( = (1.97) Elementele unei înfăşurări sunt: - m - numărul de faze; - p - numărul de perechi de poli; - q - numărul de crestături pe pol şi fază; - Z - numărul (total) de crestături dat de rela\ia: pmqZ 2= ; (1.98) - y - pasul înfăşurării; - D - diametrul armăturii; - τ - pasul polar dat de rela\ia:

p

D

2

πτ = ; (1.99)

Fie cazul unei înfăşurări cu următoarele caracteristici: m=1 (înfăşurare monofazată), p=1, q=1, y = τ (înfăşurare cu pas diametral), rezultă:

22 == pmqZ crestături. În întrefierul maşinii, câmpul magnetic are o polaritate într-o parte a planului bobinei şi

polaritate de nume contrar în partea opusă.

Page 21: CAPITOLUL 1. M~RIMI, LEGI }I NO|IUNI DE BAZ~ …ferrari.lce.pub.ro/studenti/masini/cap01.pdfdomenii curbilinii, superficiale sau volumice. Suprafa\a [nchis`, notat` uzual Σ, este

1. M`rimi, legi ]i no\iuni de baz` 25

Fig. 1.24

De exemplu în figura 1.24, unde s-a prezentat spectrul câmpului magnetic la un moment dat, câmpul magnetic este orientat în semiplanul drept dinspre armătura care poartă înfăşurarea spre întrefier, formându-se astfel un pol nord, iar în semiplanul din stânga este orientat dinspre întrefier spre armătura exterioară care poartă înfăşurarea formându-se astfel un pol sud. Câmpul magnetic produs în întrefier este bipolar. Permeabilitatea magnetică a tolelor armăturilor fiind foarte mare ( ∞→Feµ ) în

raport cu permeabilitatea aerului, se neglijeză

tensiunea magnetică de câmp din armătură. Respectiv pentru ∞→Feµ :

0)()()(

→=== ∫∫∫Fe Fe

Fe

FeFe

m dsB

HdsdsHuFe µ

(1.100)

Fig. 1.25

În fig. 1.25 s-a reprezentat parţial

spectrul inducţiei magnetice B (figura 1.2.a) în întrefier şi armături şi spectrul intensităţii

'H a câmpului magnetic (figura 1.2.b). Din legea fluxului magnetic rezultă:

nmn BB =δ (1.101)

iar câmpul magnetic satisface relaţia:

nmm

n HH0µ

µδ = (1.102)

Aplicând legea circuitului magnetic pe un contur închis Γ (fig. 1.25.a şi fig. 1.25.b) care străbate întefierul de două ori şi înconjoară o latură de bobină rezultă:

Γ

=∫Γ

sdsH θ (1.103)

unde Γsθ este solenaţia dat` de rela\ia:

iws =Γ

θ . (1.104)

Page 22: CAPITOLUL 1. M~RIMI, LEGI }I NO|IUNI DE BAZ~ …ferrari.lce.pub.ro/studenti/masini/cap01.pdfdomenii curbilinii, superficiale sau volumice. Suprafa\a [nchis`, notat` uzual Σ, este

26 1.11. Câmpul magnetic din întrefierul maşinilor electrice Conform ipotezei de mai sus, tensiunea magnetică în miez este neglijabilă şi integrala din partea stângă se reduce numai la suma tensiunilor magnetice din întrefier:

sdsHdsHdsH 2

0

11

0

21

∫∫∫ +=Γ

δδ

(1.105)

în care 1δ şi 2δ sunt marginile întrefierului de-a lungul curbei Γ considerate. Relaţia (1.105) se poate scrie:

iwuu mm =+21 δδ

(1.106)

unde :

11

0

1

1dsHum ∫=

δ

δ şi 22

2

02

dsHum ∫=δ

δ (1.107)

În ipoteza că se neglijează curbura armăturilor şi se consideră câmpul magnetic H constant de-a lungul liniei de câmp din întrefier , relaţiile (1.107) sunt de forma:

δHudm = (1.108)

La maşinile electrice cu întrefier constant , δ = ct. ]i relaţia (1.106) devine: iH =δδ 2 , (1.109)

sau:

δδ 2

iH = . (1.110)

Cum δδ µ HB 0= rezultă inducţia în întrefier:

δ

µδ 2

0iB = . (1.111)

Întrefierul fiind constant curba tensiunii magnetice )(xum reprezintă la o altă scară curba

intensităţii câmpului magnetic )(αH după cum rezultă din relaţia (1.108).

Fig. 1.26.

În figurile 1.26 a şi b s-au reprezentat desfăşurat armăturile şi curba tensiunii magnetice din întrefier, neglijându-se influenţa curburii şi considerând deschiderea crestărurii infinit mică. Tensiunea magnetică se consideră pozitivă sub polul nord al bobinei. Curba tensiunii magnetice prezintă salturi egale cu solenaţia

iw=θ a laturii de bobină în

Page 23: CAPITOLUL 1. M~RIMI, LEGI }I NO|IUNI DE BAZ~ …ferrari.lce.pub.ro/studenti/masini/cap01.pdfdomenii curbilinii, superficiale sau volumice. Suprafa\a [nchis`, notat` uzual Σ, este

1. M`rimi, legi ]i no\iuni de baz` 27 dreptul crestăturii şi este constantă în intervalul dintre două crestături. Axa Ox a fost construită astfel încât :

0)( =∫Γ

αα dum (1.112)

Rela\ia rezultă la maşina cu întrefier constant din condiţia ca fluxul magnetic care iese dintr-o armătură să fie egal cu fluxul magnetic care intră în aceeaşi armătură. Aceasta se obţine prin aplicarea legii fluxului magnetic pentru o suprafaţă închisă Σ care trece prin întrefier şi cuprinde armătura interioară. Neglijând efectul de capăt şi considerând numai câmpul care se închide radial pe unitatea de lungime axială a armăturilor rezultă:

0=∫∫Σ

dAB (1.113)

respectiv

0=∫Γ

αdB . (1.114)

Deci în întrefier câmpul magnetic are o variaţie spaţială periodică dreptunghiulară cu schimbarea semnului în axa crestăturilor. Înălţimea dreptunghiului variază în timp în funcţie de curentul de alimentare i(t) de pulsaţie ω . Funcţia B(α ) ( )(αmu ) este o funcţie periodică par` definit` astfel [n raport cu sistemul de axe

din fig. 1.3: )()( αα −= BB

BB =)(α pentru ]2

,2

[ττα +∈ Y (1.115)

BB −=)(α pentru ]2,2

[]2

,0[ τττα +∪∈ Y

Funcţia cu variaţie dreptunghiulară se poate descompune în serie Fourier sub formă de sumă de sinusoide:

τπα

τπαα k

Bk

AAB kk

k

sincos)( (1

0 +∑+=∞

=

) (1.116)

Funcţia B(x) fiind pară, adică simetrică în raport cu punctul situat la mijlocul perioadei:

+=2

)(T

tyty (1.117)

atunci funcţia conţine numai armonice în cosinus ]i 0=nB , pentru n=1,2,…

Constanta

αατπνα

δ

ν dBT

A cos)(2

0∫= (1.118)

Fundamentala are expresia: αα cos),(

11 mBtB =

unde tBB mm ωsin1

= ]i rezult`:

αωα cossin),(1 tBtB m= (1.119)

a) Fie cazul unei înfăşurări cu următoarele caracteristici: m=1, 1≠p , q=1, δ=y .

Page 24: CAPITOLUL 1. M~RIMI, LEGI }I NO|IUNI DE BAZ~ …ferrari.lce.pub.ro/studenti/masini/cap01.pdfdomenii curbilinii, superficiale sau volumice. Suprafa\a [nchis`, notat` uzual Σ, este

28 1.11. Câmpul magnetic din întrefierul maşinilor electrice De exemplu dac` p=2, rezultă Z =2 pmq = 4 crestături. În acest caz se observă că perioada

spaţială de repetiţie este p

π2 şi deci în relaţia (1.119) în loc de αcos va fi αpcos . Rezultă

expresia câmpului magnetic produs de fundamentală: αωα ptBtB m cossin),(1 = (1.120)

b) Fie cazul unei înfăşurări cu următoarele caracteristici: δ==≠= yqpm ,1,1,3 . Pentru ca desenul să fie mai simplu [nf`]urarea va fi reprezentat` ca [n figura 1.27 pentru p =1.

Deoarece înfăşurarea este trifazată între planurile înfăşurărilor este un unghi de 3

2π.

Fig. 1.27

Se alimentează înfăşurarea cu un sistem de tensiuni trifazat sinusoidal echilibrat de succesiune directă.

Înfăşurarea va fi parcursă de un sistem de curenţi trifazaţi sinusoidali iA,

iB şi iC ce dau naştere unui sistem trifazat de câmpuri ale c`ror componente sunt:

αωα cossin),(1 tBtB mA =

)3

2cos()

3

2sin(),(1

παπωα −−= pBtB mB (1.121)

)3

2cos()

3

2sin(),(1

παπωα ++= pBtB mC

Explicit@nd produsul de sinusus ]i cosinus din rel. (1.121) conform relaţiei:

])sin()[sin(2

1cossin xnmxnmnxnx ++−=

Page 25: CAPITOLUL 1. M~RIMI, LEGI }I NO|IUNI DE BAZ~ …ferrari.lce.pub.ro/studenti/masini/cap01.pdfdomenii curbilinii, superficiale sau volumice. Suprafa\a [nchis`, notat` uzual Σ, este

1. M`rimi, legi ]i no\iuni de baz` 27 rezultă:

)sin(2

1)sin(

2

1),(1 αωαωα ptBptBtB mmA ++−=

)3

22sin(

2

1)sin(

2

1),(1

παωαωα −++−= ptBptBtB mmB (1.122)

)3

22sin(

2

1)sin(

2

1),(1

παωαωα +++−= ptBptBtB mmC

Câmpul produs de fundamentală în întrefier este: CBA BBBtB 11111 )( ++=αδ , (1.123)

Ţinând cont de relaţia 1.123 ]i de faptul c` suma ultimilor trei termeni din membrul drept este nul`:

)sin(2

1 αω ptBm + + )3

22sin(

2

1 παω −+ ptBm + )3

22sin(

2

1 παω ++ ptBm =

= )sin([2

1 αω ptBm + )sin(2

1 αω ptBm +− + )cos(2

3 αω ptBm + )sin(2

1 αω ptBm +− -

)]cos(2

3 αω ptBm +− =0

Rezultă:

)sin(2

3)( 11 αωαδ ptBtB m −= . (1.124)

Câmpul magnetic în întrefier are o variaţie spaţială şi este o undă învârtitoare. Punctul de coordonată 1α în care la momentul t1 câmpul are valoarea )( 111

tB αδ se deplasează la periferia

armăturii şi are la momentul t coordonata α definită de relaţia: .11 ctptpt =−=− αωαω (1.125) Prin diferenţiere relaţia (1.125) devine: 0=− αω pddt (1.126) respectiv

pdt

d ωα = (1.127)

Notând viteza unghiulară a câmpului magnetic învârtitor a fundamentalei

dt

dα=Ω1 (1.128)

rezultă

p

ω=Ω1 (1.129)

În cazul armonicii de ordinul k relaţia (1.129) devine:

ωkpk

1=Ω (1.130)

Page 26: CAPITOLUL 1. M~RIMI, LEGI }I NO|IUNI DE BAZ~ …ferrari.lce.pub.ro/studenti/masini/cap01.pdfdomenii curbilinii, superficiale sau volumice. Suprafa\a [nchis`, notat` uzual Σ, este

30 1.12. Regimul cvasista\ionar al circuitelor electrice

1.12. Regimul cvasista\ionar al circuitelor electrice Studiul circuitelor electrice de curent variabil [n timp reprezint` un capitol principal de aplica\ii ale electrodinamicii datorit` faptului c` au o mare importan\` practic`. Aceste circuite se pot studia cu metode mai simple, suficient de exacte pentru aplica\ii, dac` sunt indeplinite urm`toarele condi\ii: - conductoarele care alc`tuiesc circuitul sunt filiforme, adic` sec\iunea lor transversal` are dimensiuni liniare suficient de mici pentru ca intensitatea curentului s` poat` fi repartizat` uniform pe aceast` sec\iune; - regimul de varia\ie [n timp al m`rimilor de stare ale c@mpului electromagnetic are un caracter cvasista\ionar, adic` varia\ia [n timp a m`rimilor este suficient de lent` pentru ca peste tot, cu excep\ia dielectricului condensatoarelor s` se poat` neglija curentul electric de deplasare [n raport cu curentul de conduc\ie. Condi\iile enun\ate sunt suficient de generale fiind [ndeplinite [n majoritatea circuitelor electrice [nt@lnite [n aplica\iile de curen\i tari. Pentru studiul circuitelor electrice de curent variabil [n regim cvasista\ionar se folosesc legile electromagnetismului prezentate [n capitolele anterioare, anumite forme particulare sau anumite consecin\e ale acestora, exprimate [n forma integral` cu ajutorul m`rimilor de stare ale circuitelor (tensiunea electric`, tensiunea electromotoare, fluxul electric, intensitetea curentului electric de conduc\ie, tensiunea magnetic`, tensiunea magnetomotoare ]i fluxul magnetic). n acord cu conven\ia uzual`, notarea valorilor instantanee, func\iuni de timp, ale m`rimilor de circuit (curent, tensiune, tensiune electromotoare, putere) se face cu litere mici: i, u, e, p.