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Capitolo 1: Concetti matematici di base 1

Capitolo 1: Concetti matematici di base - CNRCapitolo 1: Concetti matematici di base 1 Insiemi x ∈ A ⇒ x ´e elemento dell’insieme A. B ⊆ A ⇒ B ´e un sottoinsieme di A

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Capitolo 1: Concetti matematici di base

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Insiemi

x ∈ A ⇐⇒ x e elemento dell’insieme A.B ⊆ A ⇐⇒ B e un sottoinsieme di A.B ⊂ A ⇐⇒ B e un sottoinsieme proprio di A.A costituito da n elementi ⇐⇒ |A| = n e la sua cardinalita.∅ e l’insieme vuoto; |∅| = 0.

Definizione 1 L’insieme composto da tutti i sottoinsiemi di uninsieme A si dice insieme delle parti di A, e si indica con P(A) ocon 2A.

Lemma 2 |A| = n =⇒ |P(A)| = 2n.

Definizione 3 Gli insiemi A e B sono uguali (A = B) se ognielemento di A e anche elemento di B, e viceversa.

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Come dimostrare proprieta su insiemi finiti? Si verifica la pro-

prieta per ogni elemento dell’insieme.

Come dimostrare proprieta su insiemi infiniti? Non si puo ver-

ificare la proprieta per ogni elemento dell’insieme, ma si usa il

Principio di induzione matematica.

Data una proposizione P (n) definita per un generico numero

naturale n, essa e vera per tutti i naturali se

• P (0) e vera (base dell’induzione)

• per ogni naturale k, P (k) vera (ipotesi induttiva) implica

P (k + 1) vera (passo induttivo).

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Esempio 4n∑

i=0

i =n(n + 1)

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Dimostrazione

passo base:

0∑i=0

i =0(0 + 1)

2= 0

passo induttivo:

k+1∑i=0

i =k∑

i=0

i + (k + 1) =k(k + 1)

2+ (k + 1) =

(k + 1)(k + 2)

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Una versione piu generale

Data una proposizione P (n) definita per n ≥ n0, essa e vera per

tutti gli n ≥ n0 se

• P (n0) e vera (base dell’induzione)

• per ogni naturale k ≥ n0, P (k) vera (ipotesi induttiva) implica

P (k + 1) vera (passo induttivo).

Esempio 5

n−1∑i=0

2i = 2n − 1 per n ≥ 1

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P (n) vera per ogni n ≥ n0 (versione generale) ⇐⇒Pn0(n) ≡ P (n− n0) vera per ogni naturale.

Principio di induzione completa

Data una proposizione P (n) definita per n ≥ n0, essa e vera per

tutti gli n ≥ n0 se

• P (n0) e vera (base dell’induzione)

• per ogni naturale k ≥ n0, P (i) vera per ogni i, n0 ≤ i ≤ k

(ipotesi induttiva), implica P (k + 1) vera (passo induttivo).

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Esempio 6 Dimostrare che ogni intero n ≥ 2 e divisibile per un

numero primo.

Esempio 7 Data la sequenza di Fibonacci (F0 = 1, F1 = 1,

Fn = Fn−1 + Fn−2), dimostrare che per ogni n ≥ 2 e per ogni k,

1 ≤ k ≤ n si ha Fn = FkFn−k + Fk−1Fn−(k+1).

Teorema 8 Per ogni proprieta P il principio di induzione matem-

atica ed il principio di induzione completa sono equivalenti.

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Relazioni e funzioni

Definizione 9 A × B = 〈x, y〉|x ∈ A ∧ y ∈ B si dice prodotto

cartesiano di A e B (notaz: An = A× . . .×A).

Definizione 10 Una relazione n-aria R su A1, A2, . . . , An e un

sottoinsieme del prodotto cartesiano A1 × . . .×An.

Il generico elemento di R e indicato con 〈a1, . . . , an〉, oppure con

il simbolo R(〈a1, . . . , an〉).n si dice arita della relazione (se n = 2 allora aRb).

Esempio 11 Che relazioni sono le seguenti?

R = 〈x, y〉 ∈ N2|∃z ∈ N(z 6= 0 ∧ x + z = y) ⊆ N2.

R = 〈x, y〉|x2 = y) ⊆ N2.

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Definizione 12 Una relazione R ⊆ A2 si dice relazione d’ordinese per ogni x, y, z ∈ A valgono le seguenti proprieta:

• 〈x, x〉 ∈ R (riflessivita)

• 〈x, y〉 ∈ R ∧ 〈y, x〉 ∈ R ⇐⇒ x = y (antisimmetria)

• 〈x, y〉 ∈ R ∧ 〈y, z〉 ∈ R ⇐⇒ 〈x, z〉 ∈ R (transitivita)

A si dice insieme parzialmente ordinato.

Definizione 13 Una relazione d’ordine R ⊆ A2 tale che〈a, b〉 ∈ A2 ⇐⇒ aRb ∨ bRa, si dice relazione di ordine totale.

Esempio 14 ”≤” e una relazione d’ordine totale su N?

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Definizione 15 Una relazione R ⊆ A2 si dice relazione d’equivalenza

se per ogni x, y, z ∈ A valgono le seguenti proprieta:

• 〈x, x〉 ∈ R (riflessivita)

• 〈x, y〉 ∈ R ⇐⇒ 〈y, x〉 ∈ R (simmetria)

• 〈x, y〉 ∈ R ∧ 〈y, z〉 ∈ R ⇐⇒ 〈x, z〉 ∈ R (transitivita)

Esempio 16 E = 〈u, v〉, 〈p, q〉|uq = pv) e una relazione d’equivalenza.

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Un insieme A su cui e definita una relazione d’equivalenza R

si partiziona in sottoinsiemi (classi d’equivalenza); ogni classe

contiene solo elementi fra loro equivalenti.

L’insieme delle classi d’equivalenza di A rispetto a R di chiama

insieme quoziente ([a] ∈ A/R).

Il numero di elementi in A/R si dice indice di R (ind(R)).

Esempio 17 Dato un intero k, definiamo la relazione d’equivalenza

congruenza modulo k:

n ≡k m ⇐⇒ esistono q, q′, r, con 0 ≤ r < k, tali che

n = qk + r,

m = q′k + r.

Le classi d’equivalenza sono dette classi resto rispetto alla divi-

sione per k.

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Definizione 18 Dato un insieme finito V ed una relazione binaria

E ⊆ V × V , la coppia 〈V, E〉 si definisce grafo orientato.

Se la relazione E e simmetrica il grafo si dice non orientato.

Operazioni tra relazioni

unione: R1 ∪R2 = 〈x, y〉|〈x, y〉 ∈ R1 ∨ 〈x, y〉 ∈ R2.

complemento: R = 〈x, y〉|〈x, y〉 /∈ R.

chiusura transitiva: R+ = 〈x, y〉|∃yi, . . . , yn ∈ A, n ≥ 2,

y1 = x, yn = y, 〈yi, yi+1〉 ∈ R, i = . . . , n− 1.

chiusura transitiva e riflessiva: R∗ = R+ ∪ 〈x, x〉|x ∈ A.

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Esempio 19 Sia G = 〈V, E〉 un grafo orientato. Sia R la re-

lazione tale che xRy sse x = y oppure posso raggiungere y da x

percorrendo gli archi. R e la chiusura transitiva e riflessiva di E?

Esempio 20 Sia G = 〈V, E〉 un grafo orientato. Cosa rappresen-

tano le classi d’equivalenza del grafo G = 〈V, E∗〉?

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Definizione 21 Si dice che R ⊆ X1 × . . . × Xn e una relazione

funzionale tra una (n − 1)-pla di elementi e l’n-esimo elemento

se ∀〈x1, . . . , xn−1〉 ∈ X1 × . . . × Xn−1 esiste al piu un elemento

xn ∈ Xn tale che 〈x1, . . . , xn〉 ∈ R.

Definizione 22 Si definisce funzione o applicazione la legge che

all’elemento 〈x1, . . . , xn−1〉 ∈ X1 × . . . × Xn−1 associa, se esiste,

l’unico elemento xn ∈ Xn tale che 〈x1, . . . , xn〉 ∈ R.

Notazioni: f(x1, . . . , xn−1) = xn;

f : X1 × . . .×Xn−1 7−→ Xn;

dominio ≡ dom(f) = X1 × . . .×Xn−1

codominio ≡ cod(f) = Xn

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Definizione 23 Si definisce dominio di definizione della funzione

f il sottoinsieme di dom(f), denotato con def(f) =

〈x1, . . . , xn−1〉 ∈ dom(f)|∃xn ∈ cod(f), f(x1, . . . , xn−1) = xn.

Definizione 24 Si definisce immagine della funzione f il sottoin-

sieme di Xn, denotato con imm(f) =

xn ∈ Xn|∃〈x1, . . . , xn−1〉 ∈ dom(f), f(x1, . . . , xn−1) = xn.

Definizione 25 Dato un generico elemento xn ∈ cod(f), si dice

controimmagine di xn l’insieme f−1(xn) =

〈x1, . . . , xn−1〉|〈x1, . . . , xn−1〉 ∈ def(f) ∧ f(x1, . . . , xn−1) = xn.

Definizione 26 Se def(f) = dom(f) la funzione si dice totale.

Se def(f)⊆dom(f) la funzione si dice parziale.

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Definizione 27 Se imm(f) = cod(f) la funzione si dice suriet-

tiva.

Definizione 28 Se una funzione fa corrispondere ad elementi

diversi del dominio di definizione elementi diversi del codominio,

essa si dice iniettiva.

Definizione 29 Se una funzione e suriettiva, iniettiva e totale,

allora la funzione si dice biettiva.

Teorema 30 (Pigeonhole principle) Dati due insiemi finiti A e B

tali che 0 < |B| < |A|, non esiste alcuna funzione iniettiva totale

f : A 7−→ B.

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Cardinalita di insiemi infiniti e numerabilita

Definizione 31 Due insiemi si dicono equinumerosi se esiste unabiiezione fra essi (e una relazione di equivalenza).

Definizione 32 Dato un insieme finito A, si ha

|A| =

0 se A = ∅,

n se A e equinumeroso a 0,1,. . . ,n-1.

Definizione 33 Un insieme si dice numerabile se e equinumerosoa N (|A| = ℵ0). Un insieme si dice contabile se e finito o numer-abile.

Teorema 34 Se un insieme A e equinumeroso ad un insieme B,con B ⊆ C, e C e contabile, allora anche A e contabile.

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Esempio 35 L’insieme Z e numerabile (cioe |Z| = ℵ0); infatti i

suoi elementi possono essere messi in corrispondenza biunivoca

con N, con la biiezione f : Z 7−→ N tale che

f(i) =

−2i se i ≤ 0,

2i− 1 se i > 0.

Nota che N ⊂ Z, ma i due insiemi sono equinumerosi. Puo

capitare per insiemi finiti?

Esempio 36 L’insieme N2 e numerabile; la corrispondenza biu-

nivoca e data dalla funzione coppia di Cantor

p(i, j) =(i + j)(i + j + 1)

2+ i.

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Insiemi non numerabili

Abbiamo introdotto insiemi numerabili. Esistono insiemi non

numerabili?

Per costruirli usiamo la tecnica di diagonalizzazione (di Cantor):

data una lista di oggetti, si crea un oggetto che non appartiene

alla lista mediante un procedimento che lo costruisce garantendo

che esso sia diverso da tutti gli oggetti nella lista.

Teorema 37 L’insieme R dei reali non e numerabile.

Teorema 38 L’insieme delle parti di N, P(N), non e numerabile.

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Caratteristiche dei linguaggi

Definizione 39 Un insieme finito non vuoto Σ di simboli (detticaratteri) prende il nome di alfabeto.

Definizione 40 Una sequenza finita di elementi di un alfabetoprende il nome di parola o stringa. La parola vuota si denotacon ε. Con Σ∗ si denota l’insieme di tutte le parole ottenute daΣ, compresa la parola vuota.

Definizione 41 La concatenazione di due parole x e y si ottienegiustapponendo x e y (e si denota con xy o x y).Si ha che x ε = ε x = x e, in generale, x y 6= y x.xh denota la concatenazione di x con se stessa h volte.

Definizione 42 La lunghezza di una parola (|x|) e il numero dicaratteri che la costituiscono. |ε| = 0.

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Definizione 43 Dato un alfabeto Σ, si definisce linguaggio un

qualsiasi sottoinsieme di Σ∗. Il linguaggio che non contiene al-

cuna stringa si chiama linguaggio vuoto (Λ).

Definizione 44 Data una parola x, chiamiamo inversa di x la

stringa x tale che:

x =

x se x = ε o x = a,

ay se x=ya.

L’insieme delle stringhe palindrome e x|x = x.

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Operazioni su linguaggi

intersezione: L1 ∩ L2 = x ∈ Σ∗|x ∈ L1 ∧ x ∈ L2

unione: L1 ∪ L2 = x ∈ Σ∗|x ∈ L1 ∨ x ∈ L2

complemento: L1 = x ∈ Σ∗|x /∈ L1

concatenazione o prodotto:L1 L2 = x ∈ Σ∗|∃y1 ∈ L1 ∧ ∃y2 ∈ L2, x = y1 y2

potenza: L0 = ε; Lh = L Lh−1

chiusura: L+ =⋃∞

h=1 Lh

chiusura riflessiva: L∗ =⋃∞

h=0 Lh

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Espressioni regolari: consentono di rappresentare linguaggi me-

diante una interpretazione dei simboli che le compongono.

Definizione 45 Dato un alfabeto Σ e l’insieme dei simboli +,∗ , (, ), ·, ∅si definisce espressione regolare sull’alfabeto Σ una stringa

r ∈ (Σ ∪ +,∗ , (, ), ·, ∅)+ tale che valga una delle seguenti con-

dizioni:

1. r = ∅;

2. r ∈ Σ;

3. r = (s + t), oppure r = (s · t), oppure r = s∗, con s e t

espressioni regolari sull’ alfabeto Σ.

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espr. regolari linguaggi

∅ Λ

a a

(s + t) L(s) ∪ L(t)

(s · t) L(s) L(t)

s∗ (L(s))∗

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Esempio 46 Scrivere l’espressione regolare che rappresenta il

linguaggio x|x ∈ a, b+, x termina con a.

Esempio 47 Scrivere l’espressione regolare che, sull’alfabeto a, b,definisce l’insieme delle stringhe il cui terzultimo carattere e una

b .

Esempio 48 Determinare il linguaggio definito dall’espressione

regolare a∗((aa)∗b + (bb)∗a)b∗.

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Cardinalita dei linguaggi

Definizione 49 Sia Σ = a1, . . . , an un alfabeto. Si definisce

ordinamento lessicografico delle stringhe in Σ∗ l’ordinamento <

ottenuto stabilendo un ordinamento fra i caratteri di Σ (a1 <

. . . < an) e tale che x < y sse una delle due condizioni seguenti e

verificata:

1. |x| < |y|;2. |x| = |y| ed esiste z ∈ Σ∗ tale che x = zaiu e y = zajv, con

u, v ∈ Σ∗ e i < j.

ordinamento lessicografico =⇒ |Σ∗| = ℵ0;

l’insieme di tutti i linguaggi su Σ e equinumeroso a P(Σ), che

ha cardinalita 2ℵ0, quindi non e numerabile.

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Problema: riconoscere se una stringa appartiene ad un linguag-gio (compilatore).

Se ΣP e l’alfabeto del Pascal =⇒ un programma e una stringadi Σ∗

P accettata dal compilatore.

Qual’e la cardinalita dell’insieme dei programmi? ℵ0, perchepossiamo enumerarli lessicograficamente.

Dato un linguaggio L ⊆ Σ∗, esiste un programma Pascal che,data in input una stringa x ∈ Σ∗, ne decida l’appartenenza a L?

I programmi Pascal sono contabili, mentre i linguaggi hanno car-dinalita del continuo. Esistono piu linguaggi da riconoscere cheprogrammi che riconoscono.Quindi esistono linguaggi per i quali non esiste alcun programmaPascal di riconoscimento.

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Notazione asintotica

Siano f, g due funzioni N 7−→ N

O(f(n)) = g|(∃c > 0)(∃n0 > 0)(∀n ≥ n0)(g(n) ≤ cf(n))

Ω(f(n)) = g|(∃c > 0)(∃n0 > 0)(∀n ≥ n0)(g(n) ≥ cf(n))

Θ(f(n)) = g|(∃c1 > 0)(∃c2 ≥ c1)(∃n0 > 0)(∀n ≥ n0)(c1f(n) ≤g(n) ≤ c2f(n))

g(n) = o(f(n)) indica che limn→∞g(n)f(n) = 0

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