CAP6 - Dinamica Restrições Holonômicas

Cap. 6 Dinâmica do Manipulador 72

CAPÍTULO 6

DINÂMICA DO MANIPULADOR

O modelo matemático (ou modelo dinâmico) do manipulador desempenha um papelpreponderante na simulação do movimento, na análise da estrutura do manipulador e no projeto dosalgoritmos de controle. Ele fornece uma descrição da relação entre as forças generalizadas (forças etorques) aplicadas nas juntas e o movimento do manipulador.

Neste capítulo são introduzidos dois métodos da Mecânica que possibilitam deduzir tal modelomatemático. Inicialmente, será apresentada a chamada formulação de Euler-Lagrange, a qual éconceitualmente simples e sistemática. O segundo método refere-se a uma formulação alternativa,conhecida com formulação de Newton-Euler, que permite obter o modeoo matemático de uma formarecursiva e computacionalmente mais eficiente.

Nesta seção será apresentado, sem dedução (o leitor interessado deve referir-se a obras deMecânica Analítica), um sistema de equações diferenciais, conhecidas como Equações de Euler-Lagrange, o qual descreve o movimento de um sistema mecânico sujeito a restrições holonômicas, istoé, aqueles que apresentam equações de restrição ligando suas coordenadas generalizadas.

Quando o movimento de um sistema mecânico estiver de alguma maneira restrito, surgemtambém as chamadas forças de restrição, isto é, as forças necessárias para que as restrições sejamsatisfeitas. A determinação das forças de restrição (também denominadas forças de vínculo ou forçasinternas) nem sempre é uma tarefa fácil. Sob esse aspecto, a formulação Lagrangiana é uma alternativavantajosa, pois ela não requer a determinação das forças de restrição para a obtenção das equações domovimento.

6.1 INTRODUÇÃO

6.2 FORMULAÇÃO DE EULER-LAGRANGE


6.2.1 Coordenadas generalizadas

Considere-se um sistema de k partículas sujeito a l restrições holonômicas e possuindo umaquantidade de graus de liberdade igual à diferença entre a quantidade de graus de liberdade que osistema teria se não houvessem restrições e l. Nesse caso, é possível expressar as coordenadas das kpartículas em termos de n coordenadas generalizadas q1, q2, ... , qn, isto é,

ri = ri (q1, q2, ... , qn) i = 1, 2, ... , k (6.2.1)

onde q1, q2, ... , qn são todas independentes. Como ilustração, seja um pêndulo simples constando deuma massa punctual m fixada a um fio inextensível de comprimento L, conforme mostra a fig. 6.1.

Fig. 6.1 Coordenada generalizada independente θ de um pêndulo simples

Considere-se um sistema de coordenadas cartesianas com origem no centro de oscilação e sejam x e yas coordenadas cartesianas da massa. Pode-se ver facilmente que existe uma equação de restrição parao sistema, vinculando x e y, obtida pelo fato de que L é constante, que é:

x2 + y2 = L2 (6.2.2)

Se não existisse a restrição acima, a massa teria dois graus de liberdade. Portanto, a quantidade degraus de liberdade é dada pela diferença 2 - 1 = 1, logo é possível expressar a posição da massa emtermos de n = 1 coordenada generalizada independente (no caso, q1 = θ, o ângulo que o fio faz com avertical).

Resumindo, sendo n a quantidade de graus de liberdade (igual à quantidade de coordenadasgeneralizadas independentes), l a quantidade de equações de restrição e p a quantidade de graus deliberdade do sistema se não existissem restrições, pode-se afirmar que:

n = p - l (6.2.3)

A idéia de coordenadas generalizadas pode ser usada mesmo quando existe uma infinidade departículas. Por exemplo, um corpo rígido tal como uma barra possui uma infinidade de partículas, mascomo a distância entre as mesmas não varia durante o movimento, somente seis coordenadas sãosuficientes para especificar completamente a posição da barra: três coordenadas para a posição docentro de massa da barra e três ângulos de Euler para a orientação do corpo.


6.2.2 Equações de Euler-Lagrange

Uma vez que tenha sido escolhido um conjunto de coordenadas generalizadas independentes qj,j = 1, 2, ..., n, onde n é a quantidade de graus de liberdade do sistema mecânico, define-se oLagrangiano do sistema mecânico como

L = K– V (6.2.4)

onde K é a energia cinética e V é a energia potencial do sistema. Então, as Equações de Euler-Lagrange (ou, simplesmente, Equações de Lagrange) são expressas como:

(6.2.5)

onde τi é a força generalizada não conservativa (torque ou força) na direção da coordenadageneralizada independente qi. Recorde-se, aqui, que uma força não conservativa é aquela que não podeser obtida por derivação da energia potencial. Assim, a força elástica de uma mola (que pode ser obtidaderivando-se a energia potencial elástica nela acumulada) e a força peso (que pode ser obtidaderivando-se a energia potencial de posição) são forças conservativas e, portanto, não contribuem paraa formação do membro direito das eqs. (6.2.5).

Observe-se que as eqs. (6.2.5) constituem um sistema de n equações diferenciais, uma para cadagrau de liberdade. A seguir, um exemplo elucidativo da aplicação das Equações de Lagrange.

Exemplo Ilustrativo: Manipulador com um só braço

Seja o manipulador da fig. 6.2, consistindo de um braço rígido acoplado a um motor CC atravésde um trem de engrenagens:

Fig.6.2 Manipulador com um só braço

Sejam θl e θm os deslocamentos angulares do braço e do motor, respectivamente. Nesse caso, sendo n arelação de transmissão do trem de engrenagens, tem-se θl = θm/n. A energia cinética do sistema é dadapor


onde Jl e Jm são os momentos de inércia de massa do braço e do motor, respectivamente. A energiapotencial é dada por

onde M é a massa total do braço e l é a distância do centro de massa do braço ao eixo de rotação.

Portanto, o Lagrangiano do sistema vale

Levando L nas Equações de Lagrange, obtem-se

A força generalizada τ consiste do torque do motor (entrada) u e dos torques não conservativos

de amortecimento, e Observe-se que estão sendo desprezados os torques restauradoresdevidos à elasticidade dos eixos, isto é, estão sendo considerandos eixos rígidos. Transferindo tudo parao eixo do motor:

Portanto, a expressão completa para a dinâmica desse sistema é dada por

onde

Em geral, a aplicação das Equações de Lagrange a sistemas robóticos conduz a um sistema deequações diferenciais ordinárias não-lineares de segunda ordem, onde as variáveis dependentes são ascoordenadas generalizadas e a variável independente é o tempo t.

Serão, a seguir, deduzidas expressões convenientes para as energias cinética e potencial de umobjeto rígido, de modo a facilitar o cálculo do Lagrangiano para posterior aplicação nas Equações deLagrange.


6.3.1 Cálculo da Energia Cinética

A energia cinética é constituída por dois termos: a energia cinética de translação, obtidaconcentrando-se a massa total do objeto no seu centro de massa, e a energia cinética de rotação, emtorno do seu centro de massa.

Seja um objeto contínuo de massa específica ρ, função da posição espacial. Logo, a massa doobjeto será dada por

(6.3.1)

onde B denota a região do espaço ocupada pelo objeto. Então, a energia cinética do objeto é dada por

(6.3.2)

onde v é o vetor velocidade da partícula dm localizada nas coordenadas (x, y, z).

Por outro lado, o centro de massa do objeto é localizado pelas coordenadas

(6.3.3)ou, em uma forma vetorial mais compacta:

(6.3.4)onde rc é o vetor posição do centro de massa do objeto.

Suponha-se, agora, que um sistema móvel de coordenadas seja fixado ao objeto, com a origemcoincidindo com o centro de massa do objeto. À medida que o objeto se move no espaço, a velocidadede um ponto arbitrário do mesmo, em relação a um sistema inercial, é dada por

(6.3.5)

onde vc é a velocidade linear do centro de massa, r é o vetor posição do ponto arbitrário e ωω é avelocidade angular do sistema de referência ligado ao objeto, tudo em relação ao sistema inercial.

Entretanto, para o cálculo da energia cinética, é mais conveniente usar a velocidade em termosdo sistema móvel, o que é possível, já que a mudança de sistema de referência não afeta o módulo do

6.3 EXPRESSÕES PARA AS ENERGIAS CINÉTICA E POTENCIAL


vetor velocidade. Assim, pode-se usar a eq. (6.3.5), porém tendo sempre em mente que a mesma estarásendo expressa em relação ao sistema móvel de coordenadas. A eq. (6.3.5) pode ser rescrita como

(6.3.6)

de acordo com a propriedade da matriz antissimétrica S(ωω) estabelecida no Cap.5. Levando a eq.(6.3.6) na eq. (6.3.2):

(6.3.7)

Será agora expandido o produto dentro do sinal de integração, composto de quatro termos. Oprimeiro termo nos dá

(6.3.8)

onde foi levado em conta que o vetor vc não depende da variável de integração m. Essa quantidade éjustamente a energia cinética de translação de uma partícula de massa m localizada no centro demassa do objeto. O segundo termo é dado por

(6.3.9)

porque (6.3.10)

já que o centro de massa está localizado na origem do sistema de coordenadas. Pelo mesmo motivo oterceiro termo, dado por

(6.3.11)

também é nulo. Já o quarto termo demanda algum trabalho. Seja ele definido como

(6.3.12)

Existe uma propriedade das matrizes anti-simétricas, que pode ser facilmente comprovada, pela qual

S(ωω) r = - S(r) ωω (6.3.13)

Aplicando a propriedade de transposição aos dois membros da equação acima:

rT ST(ωω) = - ωωT ST(r) (6.3.14)

Levando as eqs. (6.3.13) e (6.3.14) na eq. (6.3.12):


(6.3.15)

Como ωω não depende de m:

(6.3.16)

Tendo em vista que o vetor r pode ser escrito sob forma de matriz anti-simétrica, conforme eq. (5.2.4),tem-se:

(6.3.17)pode-se desenvolver a eq. (6.3.16), obtendo-se:

(6.3.18)Finalmente, é possível rescrever a eq. (6.3.18) como

(6.3.19)onde I é a matriz inércia, definida a partir da eq. (6.3.18) como

(6.3.20)O quarto termo, K4, representa a energia cinética de rotação do objeto. Assim, a energia cinética totaldo objeto rígido é dada por

(6.3.21)Considere-se, agora, um manipulador composto por n membros. Foi visto, no capítulo 5, que as

velocidades linear e angular de qualquer ponto de qualquer membro podem ser expressas simplesmenteem termos do Jacobiano e das derivadas das variáveis das juntas. Como, no caso, as variáveis das juntassão as coordenadas generalizadas, segue-se que, para matrizes Jacobianas apropriadas:

(6.3.22)

dm])()][([2

1 TT

4 ωωωω r-SrS-KB∫=

ωωωω )dm}( )({2

1 TT

4 rSrSKB∫=

rS

=

0xy-

x-0z

yz-0

)(

ωωωω

= ∫

0xy-

x-0z

yz-0

0x-y

x0z-

y-z0

2

1 K T

4 B


onde a matriz RiT(q) leva em conta o fato de que a velocidade angular deve ser expressa no sistema de

referência fixado ao membro i. Supondo que o membro i tenha massa mi e que a sua matriz inércia Ii

tenha sido calculada em relação ao sistema de coordenadas do membro i, então, da eq. (6.3.21), segue-se que a energia cinética total do manipulador é dada por

(6.3.23)

Em outras palavras, a energia cinética total do manipulador tem a forma

(6.3.24)

onde D(q), denominada matriz inércia generalizada, é uma matriz simétrica positivo definida quedepende, em geral, da configuração do manipulador.

6.3.2 Cálculo da Energia Potencial

Quanto à energia potencial, ela também é obtida concentrando-se a massa total do objeto no seu centrode massa. No caso de corpos rígidos, a sua única fonte é a gravidade. Seja g o vetor aceleração dagravidade, expresso no sistema inercial. Então, a energia potencial de uma partícula infinitesimal demassa dm, localizada no ponto r do objeto é dada por gTrdm. Logo, a energia potencial total doobjeto é

(6.3.25)

ou seja, a energia potencial do objeto é obtida concentrando a massa de todo objeto no seu centro demassa.

Serão considerados, nesta seção, dois casos especiais para a aplicação das Equações deLagrange:

(1) a energia cinética é uma função quadrática do vetor velocidade generalizada, na forma

(6.4.1)

onde a “matriz inércia” D(q) é simétrica e positivo-definida para cada q ∈ ℜn.

6.4 EQUAÇÕES DO MOVIMENTO


(2) a energia potencial V = V(q) é independente da velocidade generalizada (os manipuladoresrobóticos satisfazem essa condição).

As equações de Euler-Lagrange serão deduzidas a seguir, para tal sistema. Tendo em vista que

(6.4.2)tem-se

(6.4.3)e

(6.4.4)Também

(6.4.5)

Assim, as Equações de Lagrange podem ser escritas

(6.4.6)Trocando a ordem no somatório e considerando a simetria, pode-se mostrar que

(6.4.7)Portanto,

(6.4.8)Os termos

(6.4.9)

são conhecidos como símbolos de Christoffel de primeira espécie. Note-se que, para um k fixado,tem-se cijk

= cjik, o que reduz à metade o trabalho envolvido no cálculo. Finalmente, definindo

(6.4.10)então as Equações de Lagrange se tornam


(6.4.11)

Na eq. (6.4.11) existem três tipos de termos:

(1) termos envolvendo as segundas derivadas das coordenadas generalizadas;

(2) termos quadráticos das primeiras derivadas de q, onde os coeficientes podem depender de q, osquais podem ser classificados em:

(2.1) termos centrífugos: envolvem produtos do tipo q

.

i

2

(2.2) termos de Coriolis: envolvem um produto do tipo q.

q.

ji

onde i ≠ j

(3) termos envolvendo somente q mas não as suas derivadas, os quais surgem da derivação da energiapotencial.

É comum escrever a eq. (6.4.11) na forma matricial

(6.4.12)onde o k,j-ésimo elemento da matriz C é definido como

(6.4.13)

A seguir, é apresentado o enunciado de um teorema relacionando as matrizes D e C que aparecem naeq. (6.4.12), o qual será muito útil no problema de controle de manipuladores.

(O leitor interessado na demonstração do teorema poderá consultar Spong & Vidyasagar, pág. 143).

Seja examinado, agora, um caso especial importante, em que a matriz inércia é diagonal eindependente de q. Nesse caso, segue-se da eq. (6.4.9) que todos os símbolos de Christoffel são nulos,pois cada dij é uma constante. Além disso, a quantidade dkj não é nula se e somente se k = j, de tal modoque as eqs. (6.4.11) desacoplam na forma

(6.4.15)

Teorema: Seja a matriz definida por

(6.4.14)

Então N é antissimétrica, isto é, njk = - nkj.


Em resumo, o desenvolvimento mostrado nesta seção é muito geral e se aplica a qualquer

sistema mecânico em que a energia potencial seja independente de q.

. Na próxima seção será aplicadotal desenvolvimento a configurações robóticas específicas.

6.5.1 Manipulador cartesiano com dois membros

Seja o manipulador cartesiano da fig. 6.3, onde estão ilustradas as massas e as coordenadasgeneralizadas dos membros:

Fig. 6.3 Manipulador cartesiano com dois membros

Como as coordenadas generalizadas das juntas têm dimensões de comprimento, as forçasgeneralizadas associadas, aplicadas nas juntas, têm dimensões de força e são dadas por fi, i = 1, 2. Aenergia cinética tem a forma da eq. (6.41), ao passo que a energia potencial é função apenas de q1 e q2.Portanto, pode-se usar as fórmulas da seção anterior para obter as equações dinâmicas. Por outro lado,como as juntas são prismáticas, o Jacobiano da velocidade angular é nulo e a energia cinética de cadamembro consiste somente do termo translacional.

A velocidade do centro de massa do membro 1 é dada por

(6.5.1)onde

(6.5.2)

Analogamente,

(6.5.3)onde

(6.5.4)

6.5 ALGUMAS CONFIGURAÇÕES COMUNS


Portanto, a energia cinética é dada por

(6.5.5)

Comparando com a eq. (6.4.1), vê-se que a matriz de inércia é dada simplesmente por

(6.5.6)

A energia potencial do membro 1 é dada por m1g q1, enquanto que a do membro 2 é dada por m2g q2,logo a energia potencial total é

(6.5.7)

Pode-se, então, escrever as equações do movimento. Tendo em vista que a matriz de inércia éconstante, os símbolos de Christoffel são nulos. Além disso, os vetores φk são dados por

(6.5.8)

Substituindo na eq. (6.4.11), chega-se a

(6.5.9)

6.5.2 Manipulador planar articulado (cotovelar)

Seja o manipulador da fig. 6.4, onde os ângulos das juntas q1 e q2 servem de coordenadasgeneralizadas:

Fig. 6.4 Manipulador cotovelar


Seja II momento de inércia do membro i em torno de um eixo perpendicular ao plano xy epassando pelo centro de massa do membro i. Tendo em conta que estamos usando as variáveis dasjuntas como coordenadas generalizadas, pode-se usar o conteúdo da seção 6.4. Inicialmente,

(6.5.10)onde

(6.5.11)Analogamente,

(6.5.12)onde

(6.5.13)

Portanto, a parcela translacional da energia cinética é dada por

(6.5.14)

A seguir, serão tratados os termos da velocidade angular. Devido à simplicidade destemanipulador, muitas das dificuldades não aparecem. Em relação ao sistema inercial, tem-se

(6.5.15)

Entretanto, conforme assinalado anteriormente, é necessário exprimir essas velocidades angulares emrelação ao sistemas locais. Felizmente, os eixos z estão todos paralelos nesse caso, de modo que aexpressão acima é também válida em relação aos sistemas locais. Além disso, como ωωi está alinhadocom k, o triplo produto ωωi

TIiωωi reduz-se simplesmente a (I33)i multiplicado pelo quadrado do módulo davelocidade angular. A quantidade (I33)i é, na verdade, o que foi chamado acima de Ii. Portanto, aenergia cinética de rotação do sistema total é

(6.5.16)

Está tudo pronto para a montagem da matriz de inércia D(q). Para tanto, tem-se apenas que adicionaras duas matrizes dadas nas eqs. (6.5.14) e (6.5.16), respectivamente. Assim:

(6.5.17)

Executando a multiplicação acima e usando relações trigonométricas elementares, chega-se a


(6.5.18)

Pode-se, agora, calcular os símbolos de Christoffel usando a definição (6.4.9), obtendo

(6.5.19)

A energia potencial do manipulador é dada pela soma das energias potenciais dos dois membros,logo:

(6.5.20)

Portanto, as funções φk definidas em (6.4.10) tornam-se

(6.5.21)

(6.5.22)

Finalmente, pode-se escrever as equações dinâmicas como em (6.4.11). Substituindo nessa equação asvárias quantidades e omitindo os termos nulos, obtemos

(6.5.23)

Nesse caso, a matriz é dada por

(6.5.24)


6.5.3 Manipulador planar articulado (cotovelar) com acionamento remoto

Será, agora, ilustrada uma situação em que as coordenadas generalizadas independentes não sãoas variáveis das juntas, conforme definidas em capítulos anteriores. Considere-se, novamente, omanipulador cotovelar, mas supondo, agora, que ambas as juntas são acionadas por motores localizadosna base, conforme mostra a fig. 6.5:

Fig 6.5 Manipulador cotovelar com acionamento remoto

A primeira junta é acionada diretamente pelo atuador 1, enquanto a outra é acionada peloatuador 2, através de uma transmissão por correia. Pode-se escolher as coordenadas generalizadas p1 ep2, de acordo com a fig. 6.6. O ângulo p2 é determinado pelo acionador 2, que está na base, não sendoafetado (independente, portanto) pelo ângulo p1.

Fig. 6.6 Coordenadas generalizadas para o manipulador da fig. 6.5

Tendo em vista que p1 e p2 não são os ângulos das juntas, não se pode usar os Jacobianosdeduzidos no cap. 5, devendo-se efetuar a análise diretamente. É fácil verificar que



A formulação de Newton-Euler leva aos mesmos resultados obtidos através da formulação deEuler-Lagrange, embora percorrendo um caminho bastante diferente. Na formulação Lagrangiana,trata-se o robô como um todo e realiza-se a análise usando a função Lagrangiana (diferença entre asenergias cinética e potencial). Na formulação Newtoniana, considera-se cada membro separadamente eescreve-se as equações que descrevem os seus movimentos linear e angular. Evidentemente, como cadamembro está acoplado aos demais, a equação do movimento de um membro contem forças e torques derestrição, que aparecem também nas equações do movimento dos demais membros. Utilizando umprocedimento recursivo, é possível determinar todos esses termos de acoplamento e eventualmentechegar à descrição do manipulador como um todo.

A análise dinâmica de um sistema mecânico consiste em achar relações entre as coordenadasgeneralizadas q e as forças generalizadas ττ, já apresentadas anteriormente. Deve-se fazer a distinçãoentre os dois casos seguintes:

- no primeiro caso, há interesse em obter equações em forma fechada que descrevam aevolução temporal das coordenadas generalizadas;

- no segundo caso, deseja-se saber quais forças generalizadas necessitam ser aplicadas, a fim de realizar uma evolução temporal particular das coordenadas generalizadas.

A distinção reside no fato de que, no segundo caso, quer-se apenas saber qual função temporalττ produz uma trajetória particular, sem preocupação com a relação entre as duas. Pode-se dizer que, no

6.6 FORMULAÇÃO DE NEWTON-EULER


primeiro caso, a formulação Lagrangiana é superior, ao passo que, no segundo caso, a formulaçãoNewtoniana é mais adequada. Já no caso de estudos mais avançados, tais como aqueles que consideramas deformações elásticas dos membros, a formulação Lagrangiana é claramente superior.

A Mecânica Newtoniana repousa sobre as seguintes Leis:

1. Terceira Lei de Newton:

“A toda ação corresponde uma reação igual e de sentido oposto”.

Assim, se o corpo 1 aplica uma força f e um torque ττ sobre o corpo 2, então o corpo 2 aplica uma força-f e um torque -ττ sobre o corpo 1.

2. Segunda Lei de Newton:

“A taxa de variação da quantidade de movimento linear é igual à força total aplicada ao corpo”.

3. Lei de Euler:

“A taxa de variação da quantidade de movimento angular é igual ao torque total aplicado ao corpo”.

Nas aplicações robóticas, a massa m pode ser considerada constante, de modo que a SegundaLei de Newton pode ser escrita como

ma = f (6.6.1)

onde a é a aceleração linear do centro de massa do corpo e f é a resultante das forças externasaplicadas, tudo em relação a um sistema inercial de coordenadas.

Aplicando a Lei de Euler ao movimento angular de um corpo:

(6.6.2a)

onde I0 é o momento de inércia do corpoωω0 é a velocidade angular do corpoττ0 é a soma dos torques aplicados externamente ao corpo

tudo em relação a um sistema inercial x0y0z0, cuja origem coincide com o centro de massa do corpo.

Em muitos casos, é mais conveniente usar a Lei de Euler em relação a um sistema móvel decoordenadas xyz, fixado ao corpo, cuja origem coincide com o centro de massa do corpo:

τ=ω

dt

)d(I(6.6.2b)

onde I é o momento de inércia do corpoωω é a velocidade angular do corpoττ é a soma dos torques aplicados externamente ao corpo


tudo em relação a um sistema móvel xyz, cuja origem coincide com o centro de massa do corpo.

Existe uma diferença essencial entre os movimentos linear e angular: enquanto a massa de umcorpo é constante na maioria das aplicações, o seu momento de inércia pode ser ou não constante. Parailustrar isso, suponha-se que I seja a matriz de inércia do corpo em relação a um sistema local decoordenadas, fixado ao corpo. Então, I permanece constante, não importando que movimento o corpoexecute. Entretanto, a matriz I0, em relação ao sistema da base, é dada por

onde R é a matriz de rotação do sistema local em relação ao sistema da base. Logo, em geral, a matrizI0 não é constante, mas varia com o tempo.

Uma maneira de contornar essa dificuldade consiste em escrever a equação para o movimentoangular em relação a um sistema local fixado ao corpo, o que conduz a

(6.6.4)

onde I é a matriz de inércia (constante) do corpo em relação ao sistema local; ωω é a velocidade angular expressa no sistema local;ττ é o torque total sobre o corpo, também expresso em relação ao sistema local.

Será deduzida, agora, a eq. (6.6.4), mostrando de onde vem o termo ωω x [Iωω], denominadotermo giroscópico.

Seja R a matriz de rotação do sistema local em relação ao sistema da base, a qual varia com otempo. Então, a eq. (6.6.3) fornece a relação entre I e I0. Por outro lado, pós-multiplicando a eq.(5.3.1) por RT:

(6.6.5)

Em outras palavras, a velocidade angular do corpo, expressa em relação ao sistema da base, é dada pelaeq. (6.6.5). Já em relação ao sistema local, ela é dada por

(6.6.6)

Portanto, a quantidade de movimento angular, expressa no sistema da base, vale

(6.6.7)

Derivando em relação ao tempo e levando em conta que I é constante, obtem-se uma expressão para ataxa de variação da quantidade de movimento angular:

(6.6.8)


Agora,

(6.6.9)Portanto, com relação ao sistema inercial,

(6.6.10)

Com relação ao sistema local, a taxa de variação da quantidade de movimento angular é

(6.6.11)

o que mostra o estabelecimento da eq. (6.6.4). Embora seja possível escrever a equação acima emrelação ao sistema inercial, muitos vetores tornam-se constantes em relação ao sistema do corpo, o queleva a simplificações significativas nas equações.

Será, agora, usada a formulação de Newton-Euler para deduzir as equações do movimento deum manipulador de n membros. Para isso, escolhem-se n sistemas de coordenadas, sendo o sistema 0um sistema inercial e o sistema i um sistema local rigidamente fixado ao membro i, para i ≥ 1. A origemdo sistema i coincide com o centro de massa do membro i.

Considerem-se vários vetores, todos expressos no sistema local i. O conjunto seguinte devetores está relacionado às velocidades e acelerações de várias partes do manipulador:

ac,i = aceleração do centro de massa do membro i;ae,i = aceleração da extremidade do membro i (junta i + 1);ωωi = velocidade angular do sistema i com relação ao sistema 0;ααi = aceleração angular do sistema i com relação ao sistema 0.

Já o conjunto abaixo diz respeito a forças e torques:

gi = aceleração da gravidade expressa no sistema i;fi = força exercida pelo membro i – 1 sobre o membro i;ττi = torque exercido pelo membro i – 1 sobre o membro i;Ri

i+1= matriz de rotação do sistema i + 1 em relação ao sistema i.

O último conjunto de vetores, a seguir, define características físicas do manipulador, sendoindependentes da configuração q:

mi = massa do membro i;Ii =matriz de inércia do membro i em relação ao sistema i;ri,ci = vetor com origem na junta i e extremidade no centro de massa do membro i;ri+1,ci = vetor com origem na junta i + 1 e extremidade no centro de massa do membro i;ri,i+1 = vetor com origem na junta i e extremidade na junta i+1.


Considere-se, agora, o diagrama de corpo livre da fig. 6.7, a qual mostra o corpo i com todas asforças e torques que atuam sobre ele:

Fig. 6.7 Forças e torques sobre o corpo i

Analisando a figura acima, vê-se que fi é a força aplicada pelo corpo i-1 sobre o corpo i. Pela 3a

Lei de Newton, o corpo i+1 aplica uma força –fi+1 sobre o corpo i, devendo-se pré-multiplicar essaforça pela matriz de rotação Ri+1

i. obtendo-se - Ri+1i fi+1. Explanação análoga se aplica aos torques ττi e -

Ri+1iττi+1. A força migi é a força gravitacional. Escrevendo a 2a Lei de Newton para o corpo i:

fi - Ri+1

i fi+1 + migi = miac,i (6.6.12)

A seguir, será escrita a Lei de Euler. Para isto, é importante notar que o momento exercido poruma força f em torno de um ponto P pode ser dado por f x r, onde r é o vetor cuja origem é o pontode aplicação da força e cuja extremidade é o ponto P. Além disso, como o peso não exerce momentoem relação ao centro de massa, tem-se a Lei de Euler

ττi - Ri+1

i ττi+1 + fi x ri,ci – (Ri+1ifi+1)x ri+1,ci = Ii ααi + ωωi x (Ii ωωi) (6.6.13)

A essência da formulação de Newton-Euler consiste em encontrar os vetores f1, f2, ... , fn e ττ1,

ττ2, ... , ττn, correspondentes a um dado conjunto de vetores . e ,...

qqq Em outras palavras, consiste emachar as forças e os torques que correspondem a um dado conjunto de coordenadas generalizadas esuas duas primeiras derivadas temporais. Essa informação pode ser usada tanto para obter equações emforma fechada que descrevem a evolução temporal das coordenadas generalizadas, como para saberquais forças generalizadas necessitam ser aplicadas, a fim de realizar uma trajetória particular.

A idéia geral pode ser estabelecida assim: dados qqq e ,...

, suponha-se que, de algum modo, sejapossível determinar todas as velocidades e acelerações de várias partes do manipulador, isto é, todas asquantidades ac,i, ωωi e ααi. Então, pode-se resolver as eqs. (6.6.12) e (6.6.13) recursivamente para achartodas as forças e torques, da seguinte maneira:

(1) fazer fn+1 = 0 e ττn+1 = 0, o que exprime o fato de que não existe o corpo n+1;

(2) resolver a eq. (6.6.12) para obter

fi = Ri+1i fi+1 + miac,i - migi (6.6.14)

Substituindo, sucessivamente, i = n, n-1, ..., 1, pode-se encontrar todas as forças fi.


Semelhantemente, pode-se resolver a eq. (6.6.13) para obter

ττi = Ri+1i ττi+1 - fi x ri,ci + (Ri+1

ifi+1)x ri+1,ci + Ii ααi + ωωi x (Ii ωωi) (6.6.15)

Substituindo, sucessivamente, i = n, n-1, ..., 1, pode-se encontrar todos os torques ττi.

A solução estará completa calculando-se as relações entre qqq e ,...

e ac,i, ωωi e ααi. Isso pode serfeito através de um procedimento recursivo no sentido crescente de i, o qual será ilustrado a seguir,para o caso de juntas rotativas (o caso de juntas prismáticas é ainda mais simples). A fim de distinguiras quantidades expressas no sistema i daquelas expressas no sistema da base, será usado o símbolo (0)como sobrescrito para as últimas.

Considere-se, inicialmente, as velocidade e aceleração angulares. A velocidade angular dosistema i é igual à velocidade angular do sistema i – 1 somada à velocidade angular da junta i:

(6.6.16)

Para obter uma relação entre ωωi e ωωi-1 é preciso apenas expressar a equação acima no sistema i,levando em conta que ωωi e ωωi-1 estão expressos em sistemas diferentes. Isso conduz a

(6.6.17)onde

(6.6.18)

é o eixo de rotação da junta i expresso no sistema i.

Considere-se, agora, a aceleração angular ααi. É importante notar aqui que

(6.6.19)

Em outras palavras, ααi é a derivada da velocidade angular do sistema i, porém expressa no

sistema i, ou seja, não é verdadeira a expressão Uma situação semelhante será encontradacom a velocidade e a aceleração do centro de massa. Da eq. (6.6.16), vê-se que

(6.6.20)Passando para o sistema i:

(6.6.21)

Considere-se, agora, as velocidade e aceleração lineares. Note-se que, em contraste com avelocidade angular, a velocidade linear não aparece nas equações dinâmicas. Contudo, há necessidadede uma expressão para a velocidade linear, para a dedução de uma expressão para a aceleração linear.


Aplicando a eq. (5.3.6), obtem-se a velocidade linear do centro de massa do corpo i:

(6.6.22)

Já a aceleração linear pode ser obtida a partir da eq. (5.3.9):

(6.6.23)

Tendo em conta que

(6.6.24)

pode-se executar a multiplicação e usar a propriedade das matrizes de rotação

(6.6.25)Transformando ac,i-1 para o sistema i:

(6.6.26)

Para achar a aceleração da extremidade do corpo i, pode-se usar a eq. (6.6.26), substituindo ri,ci

por ri,i+1. Assim:

(6.6.27)

Agora, a formulação recursiva está completa. Pode-se, então, estabelecer a Formulação deNewton-Euler da seguinte maneira:

(1) começar com as condições iniciais nulas

(6.6.28)

e resolver as eqs. (6.6.17), (6.6.21), (6.6.27) e (6.6.26) (nessa ordem!) para calcular ωωi, ααi e ac,i, para i crescendo de 1 a n.

(2) começar com as condições terminais

(6.6.29)

e usar as eqs. (6.6.14) e (6.6.15) para calcular fi e ττi para i decrescendo de n a 1.


Será, agora, aplicada a formulação recursiva de Newton-Euler ao manipulador cotovelar da fig.6.4. Começa-se com a recursão avante (sentido crescente de i) para expressar as várias velocidades eacelerações em termos de q1, q2 e suas derivadas. Neste caso simples é fácil verificar que

(6.7.1)

de tal modo que não há necessidade de usar as eqs. (6.6.17) e (6.6.21). Além disso, os vetores que sãoindependentes da configuração são expressos como

(6.7.2)

(6.7.3)

6.7.1 Recursão Avante: Corpo 1

Usando a eq. (6.6.26) com i = 1 e notando que al,0 = 0:

(6.7.4)

Observe-se como é simples esse cálculo, quando realizado com relação ao sistema 1, em comparaçãoao cálculo que seria feito com relação ao sistema 0! Finalmente, tem-se

(6.7.5)

onde g é a aceleração da gravidade. Observe-se que as terceiras componentes das acelerações são,obviamente, nulas. Analogamente, são também nulas a terceira componente de todas as forças e as duasprimeiras componentes de todos os torques. Para completar a recursão avante do corpo 1, deve-secalcular a aceleração da extremidade do corpo 1, a qual é obtida a partir da eq. (6.7.4), substituindo lc,1

por l1. Assim:

(6.7.6)

6.7 APLICAÇÃO AO MANIPULADOR COTOVELAR


6.7.2 Recursão Avante: Corpo 2

Novamente, usa-se a eq. (6.6.26), substituindo ωω2 conforme eq. (6.7.1), o que dá

(6.7.7)

Na eq. (6.7.7), a única quantidade que depende da configuração é o primeiro termo do membro direito,o qual pode ser calculado como

(6.7.8)Substituindo na eq. (6.7.7):

(6.7.9)O vetor gravidade é dado por:

(6.7.10)

Como existem apenas dois corpos, não há necessidade de calcular al,2 e as recursões avantes estãoconcluídas.

6.7.3 Recursão retroativa: membro 2

Será feita, agora, a recursão retroativa para calcular as forças e os torques nas juntas. Nesteexemplo, os torques nas juntas são as quantidades aplicadas externamente e o objetivo é deduzir asequações dinâmicas envolvendo tais torques. Aplica-se, inicialmente, a eq. (6.6.14) com i = 2, notandoque f3 = 0, o que resulta em

(6.7.11)

(6.7.12)

Pode-se agora substituir, na equação acima, ωω2 e αα2 da eq. (6.7.1) e ac,2 da eq. (6.7.9). Observe-se,também, que o termo giroscópico é nulo, pois ωω2 e I2ωω2 estão alinhados com k. Também o produtovetorial f2 x lc2i está alinhado com k e o seu módulo é a componente de f2. O resultado final é


(6.7.13)

Como ττ2 = τ2k, vê-se que a equação acima é a segunda equação da eq. (6.5.23).

6.7.4 Recursão retroativa: membro 1

Para completar a dedução, aplica-se as eqs. (6.6.14) e (6.6.15), para i = 1. As equações dasforças e dos torques são, respectivamente,

(6.7.14)e

(6.7.15)

São possíveis algumas simplificações. Inicialmente, pode-se fazer R12ττ2 = ττ2, pois a matriz de rotação

não afeta a terceira componente de um vetor. Em segundo lugar, o termo giroscópico é ainda nulo.Finalmente, substituindo f1 da eq. (6.7.14) na eq. (6.7.15), obtem-se, após alguma álgebra:

(6.7.16)

Os produtos vetoriais são obtidos diretamente, o único cálculo difícil sendo o de R12f2. O resultado final

é

(6.7.17)

Se, agora, for substituído ττ1 da eq. (6.7.13) e rearranjados os termos, obtem-se a primeira equação daeq. (6.5.23).


6.1 Verificar a expressão 6.3.19.

6.2 Dado o cilindro oco da figura 6.8, mostrar que

Fig. 6.8 Cilindro oco

6.3 Muitos robôs incorporam acionamentos harmônicos (“harmonic drives”) para obter grandesreduções de velocidades. Tais mecanismos introduzem elasticidade torcional nas juntas, conformemodelado na fig. 6.9. Usando as Equações de Lagrange, deduzir as equações do movimento para estesistema, considerando que existe uma força generalizada de entrada, ττm, atuando sobre o eixo do motor.

Fig. 6.9 Acionamento com redutor “Harmonic drive”

6.4 Considere um manipulador cartesiano de 3 membros.

(a) Calcular o tensor de inércia Ji para cada membro, i = 1, 2, 3. Assumir que os membros são vigas retangulares uniformes, iguais, de comprimento 1, largura ¼ , altura ¼ e massa 1;

(b) Calcular a matriz de inércia 3 x 3 D(q);

(c) Mostrar que os símbolos de Christoffel cijk são todos nulos para este manipulador; o que significa isso para as equações dinâmicas do movimento?

(d) Deduzir as equações do movimento na forma matricial

PROBLEMAS

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CAP6 - Dinamica Restrições Holonômicas