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sinais serie
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Transformada de Fourier Discreta no Tempo (DTFT)
Transformada de Fourier de um sinal discreto no tempo ():
= ()
=
A DTFT uma funo complexa da varivel real e contnua .
A DTFT uma funo peridica com perodo 2:
(+2) = ()(+2)
=
= ()
=
=
Transformada de Fourier Discreta no Tempo (DTFT)
Por ser uma funo complexa da varivel real , pode ser expressa como:
= +
ou, na forma polar:
= ()
onde
= () = 2+ 2
e
= = atan ( /
)
so os espectros de mdulo e de fase, respectivamente, de .
Transformada de Fourier Discreta no Tempo (DTFT)
Exemplo: A DTFT de
= (0,6)()
= (0,6)
=0
=1
1 0,6
ou seja,
= () =1
1 0,6cos () 2 + (0,6 sen )2
e
= = atan (0,6 sen /(1 0,6 cos ))
Transformada de Fourier Discreta no Tempo (DTFT)
Transformada de Fourier Discreta no Tempo (DTFT)
Relaes de simetria da DTFT:
Para uma sequncia () real:
= ()
=
= ()
=
=
Portanto:
= funo par
=
funo mpar
Transformada de Fourier Discreta no Tempo (DTFT)
Tambm tem-se, para uma sequncia () real:
() = () funo par
= funo mpar
Para uma sequncia () par:
= 0
Para uma sequncia () mpar:
= 0
DTFT Inversa
A sequncia () pode ser obtida a partir de atravs da
IDTFT:
=1
2
Existe uma relao de unicidade entre uma sequncia e sua DTFT:
A expresso da IDTFT exprime () como uma soma contnua de sequncias exponenciais complexas cujas amplitudes e fases so
determinadas por .
()
Convergncia da DTFT
A DTFT existir se a srie
= ()
=
convergir.
Se () for absolutamente somvel, ou seja:
() <
=
ento a srie acima convergir uniformemente para uma funo
contnua de , tal que
< ,
A srie ento denominada absolutamente convergente.
Convergncia da DTFT
Exemplo: a sequncia = (0,6)() absolutamente somvel pois
() =
=
(0,6)=1
1 0,6= 2,5
=0
indicando que a srie (0,6)=0 converge uniformemente
para 1
10,6.
Sequncia absolutamente somvel tem energia finita:
() 2
=
()
=
No entanto, uma sequncia com energia finita no necessariamente
ser absolutamente somvel.
Convergncia da DTFT
Exemplo: a sequncia
=1
( 1)
tem energia mas no absolutamente somvel. A srie que define a
sua DTFT converge no sentido mdio quadrtico para uma funo de
.
Convergncia da DTFT
Definido a soma parcial:
= ()
=
a sequncia de funes , = 1,2,3, convergir
uniformemente para a srie que define a DTFT X se
existir um inteiro tal que:
X < , , >
para um to pequeno quanto se queira. Ou seja:
lim = ()
A DTFT de uma funo absolutamente somvel contnua, pois o limite de
funes contnuas .
Convergncia da DTFT
Convergncia no sentido mdio quadrtico:
= ()
=
a sequncia de funes , = 1,2,3, convergir
no sentido para mdio quadrtico se existir um inteiro tal que:
X 2
< , >
para um to pequeno quanto se queira. Ou seja:
lim X
2
= 0
Convergncia da DTFT
Exemplo: Seja
=()
Esta sequncia no absolutamente somvel, mas tem energia finita
(/). A soma finita:
=
()
=
apresenta oscilaes que no diminuem de amplitude quando se
aumenta . Este comportamento conhecido como fenmeno de Gibbs.
Convergncia da DTFT
Convergncia da DTFT
Representao em Transformada de Fourier de sequncias que no so absolutamente somveis nem tem energia finita:
Exemplo: a srie da DTFT da sequncia senoidal complexa
= 0
no converge nem uniformemente nem quadraticamente.
possvel entretanto definir a DTFT desta sequncia pelo trem de
impulsos de Dirac:
= 2( 0 + 2)
=
Convergncia da DTFT
Uma outra sequncia importante que no absolutamente somvel nem tem energia finita o degrau unitrio u . Esta sequncia pode ser representada no domnio da frequncia por
.
=1
1 + ( + 2)
=
Propriedades da DTFT
Sejam () ()e () H(). Ento as seguintes propriedades so validas:
(i) Linearidade:
+ +
(ii) Deslocamento no tempo:
( 0) 0()
(iii) Deslocamento na frequncia:
0() ((0))
Propriedades da DTFT
(iv) Reverso no tempo:
() ()
(v) Diferenciao na frequncia:
() ()
(vi) Convoluo:
Propriedades da DTFT
(v) Modulao:
1
2 ()
Relao de Parseval:
2
=
=1
2
2
Propriedades da DTFT
DTFTs mais usadas:
1
1 < < 2 + 2
=
1
1 + + 2
=
0 2 0 + 2
=
, ( < 1) 1
1
( + 1) , ( < 1) 1
1 2
=()
, < <
= 1, 0 0, <