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7/29/2019 Cap2_Elasticidad fisica.pdf

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ESTRUCTURA Y COMPORTAMIENTO MECNICO

Cap. 2. ELASTICIDAD

Los comienzos: Robert HookeLa ley de Hooke generalizadaLa elasticidad, mecanismo de deformacin reversible; implicaciones: dos tipos de elasticidadUn inciso sobre viscosidad; distincin viscosdiad-elasticidadElasticidad de los elastmeros (elasticidad entrpica)Elasticidad de los materiales cristalinos o vtreos (energtica o entlpica)Anisotropa elstica de los materiales cristalinos

Modificacin de las constantes elsticas por aleacin (solucin slida)Influencia de la temperatura en la rigidez elstica de los materiales cristalinos o vtreosConstantes elsticas de segundo ordenHeterogeneidad local de los mdulos elsticos de policristales o composites

V. 2007


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Robert Hooke 1635-1703

Hookes main scientific contributions were in writing the first bookon microscopy and in original work on springs and clocks. His linearlaw of the spring is the basis of the simplest constitutive law oflinear elasticity.

Solid materials which behave in a linear elastic manner are oftendescribed as hookean.

[Biography: Lisa Jardine, The curious life of Robert Hooke,

London 2003]


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= ijijijklkl C

LEY de HOOKE

ceiiinsssttuv*

UT TENSIO SIC VIS

F

Generalizando la ley de Hooke:

* Robert Hooke (1635-1703) - por miedo de que Newton se lo apropiara - public su descubrimientoinicialmente en forma de ese anagrama.


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Descripcin ms completa del fenmeno:

La elasticidad es comportamiento mecnico reversible sincreacin de discontinuidades en el material (pura deformacinreversible)

Procesos reversibles, condiciones termodinmicas*:

Procesos cuasiestticos (todos los estados intermedios son de equilibrio)Sin efectos disipativos (sin procesos cuyo sentido signo- no puedeinvertirse)

Un proceso es reversible si, una vez producido, es posible volver al mismo

estado inicial pasando por todos los estados intermedios e invirtiendo

todas las interacciones que se hubieran producido con el entorno, de

forma que, en el ciclo cerrado (ida y vuelta) no quede ningn efecto del

proceso. Los estados inicial y final no dependen del camino recorrido.

* No se olvide que la termodinmica hace referencia a estados y propiedades macroscpicas.


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VVV TSU =La energa libre:

En un cambio reversible isotermo, el trabajo mecnico realizado sobre elsistema se emplea en un cambio de la energa libre.

Para un cambio reversible diferencial isotermo por deformacinelstica (deformacin cuasi-esttica sin efectos disipativos):

VVij

ij

ij TdSdUd =

El trabajo elstico se puede invertiren cambiar la energa interna y en

cambiar la entropa

ELASTICIDAD

DEFORMACIN REVERSIBLE

ijij

ijeV ddwd ==


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ij

ij

=

=

=

=

ij ijijklijij klijijij ij

kl

kl

dCddd

2

ELASTICIDAD LINEAL

=ij

ijijklkl C ...==== jilkjiklklijijkl CCCC

21 mdulos elsticos de rigidez*

Si existe simetra en la muestra, elnmero de mdulos independientesse reduce

ijij

ijeijij ij

V

V ddwdd ==

=

* Por la independencia del camino en la derivada segunda de la energa libre(funcin de estado) y por la simetra de las tensiones o deformaciones, el n de

mdulos se reduce de 81 aparentes a 21


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Una observacin desconcertante de Gough (1805), estudiadaunos 50 aos despus por William Thompson (Lord Kelvin)*:hay dos tipos de comportamiento elstico

* Estudios publicados ms tarde en Elasticity and Heat, 1880

F

L

T1T2 T2

T2 > T1

Cristal o vidrio

Elastmero

L+L

F

F


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Vv TdSdU >>

Vv TdSdU T > TG)

El trabajo elstico se emplea en cambiar la energa interna

El trabajo elstico se emplea en cambiar la entropa


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Crystalline &

latticeglasses

COMPARACINDE VALORESABSOLUTOSDEL MDULODE YOUNG Y DELA DENSIDAD

El mdulo de Youngde los elastmeroses varios rdenesde magnitud inferioral de los materiales

inorgnicoscristalinos o vtreos

Ashby map


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Siguen algunas consideraciones sobre vidrios, transicin

vtrea y TG


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SOLIDIFICACIN CRISTALINA EN EQUILIBRIO a TMvsTRANSICIN VTREA MUY LEJ OS DEL EQUILIBRIO

Partiallycrystallized*

*Holding the liquidjustbelowthe melting(crystallization)temperature andrapidlycoolingthereafter


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Velocidaddeenfriamientodiferente

Los vidriosobtenidos a

mayorvelocidad deenfriamientotienenmayor TG ymayorvolumenlibre

TG

El vidrio puede tenerun intervalo dedensidades segn lavelocidad deenfriamiento

dT/dtcreciente


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Viscosidad de varios lquidos que vitrifican fcilmente

The increasing viscosity of the liquidas a function ofundercooling reflects the decreasing mobility of atoms thatoccurs duringsupercooling. This is observed in all supercooled liquids, whether they are metallic or nonmetallic.

Silicate liquids, calledstrong liquids, usually show highequilibriummeltviscosities and Ahrrenius behavior in theslowing mobility in the supercooledmelt. The other limits are fragile liquids with lowmeltviscosities and a moreabruptchange in the kinetics close to theglass transition.The fragility concept is used to classify the different temperature dependencies of the viscosity. To compare theviscosities measured in differentglass-formingsystems, data are plotted in an Ahrrenius plot in which the inversetemperature axis is multiplied by the temperature, Tg, atwhich the viscosity of the respective alloy is 1012 Pa s.

Busch, 2000, J OM

La viscosidad

vara muyfuertemente con latemperatura enlos lquidosformadores devidrios

1012 Pas = Tg

10-5 Pa s

El comportamiento es muydistinto en los lquidos que cristalizan fcilmente


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Al

Bowman, 2004

Viscosidad de varios metales que cristalizan al solidificary de otros materiales que vitrifican fcilmente

TG

El comportamiento viscoso de las fasesslidas cristalinas es propiamente

plasticidad y depende del tamao degrano (viscoplasticidad)

?Comportamiento vtreo como lmite del comportamiento nanocristalino?


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RUBBER ELASTICITY

The chains are crosslinked to provide a

network*

The amorphous phase is above its Tg but isconstrained by the cross links and so cannot besaid to be liquid-like (butchains between cross-links can move viscously)

The crosslinks provide a 'memory'.

When the network is stretched, entropic forcescome into play which favour retraction, returningthe network to its original dymamicunstretched/equilibriumstate.

Mx: masa molecular promedio de las cadenasentre enlaces cruzados

All chains are crosslinked, i.e., no free (liquid) chains as in gels

Mdulo elstico a cortadura para pequeas deformaciones:Snap-shots(Los segmentos

entre uniones

cruzadas duras

estn movindosecontinuamente

como en estado

lquido, pero con

sus extremos fijos) XMRTG =


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Aspecto de la estructura de un polmero con cadenas moleculares configuradas aleatoriamente


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Clculo de la elasticidad entrpica de una cadena


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Ejemplo de clculo de la elasticidadentrpica de una cadena


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Hay varios modelos


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For moderate strains, the equation of state of an isotropic rubber band of length L at temperatureTunder stress is:

atconstantvolume, where kis a constant thatdepends on the composition and geometry of thesample considered and L0 is the length in theabsence of applied stress (Gaussianmodels)

Pellicer et al., 2001


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Curva experimental tensin-alargamiento ( =L/L) del caucho,analizada en los trminos entrpico (b) y entlpico (c).

Anthony, 1948


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ELASTICIDAD ENERGTICA O ENTLPICA

La red de enlaces interatmicos o intermoleculares

se deforma sin rotura de ningn enlace, i.e., no haycambios topolgicos y apenas hay cambios deentropa

Los mdulos elsticos se derivan de la distorsin delos enlaces; la rigidez depende de la fortaleza delos enlaces

En los materiales cristalinos la elasticidad esanistropa


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24Gilman et al., 2006

Mdulo de deformacin volumtrica B y Tabla Peridica

?


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Por cierto, a propsito de esa grfica

Qu sentido tiene hablar de elasticidadde los gases?

Cunto vale el mdulo elstico dedeformacin volumtrica de un gas ideal?


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Los valores de los mdulos de los

slidos guardan relacin conpropiedades relacionadas con lafortaleza de los enlaces, vg.,


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27Ghosh y Olson, AM 2002

Correlacin entre el mdulo de rigidez volumtrica y latemperatura de fusin de metales FCC


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28Gilman et al., 2006


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ANISOTROPA ELSTICA DE LOS MATERIALES CRISTALINOS


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La simetra reduce el nmero de mdulos independientes Cijkl

21

13

2

3

6

9

5


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Calculated Anisotropic Behavior of Young's Modulus E (Left)and Poisson's Ratio (Right) for Single Crystal 3C-SiC

and Silicon in the (100)-Planes.

Wieczorek, TU Berlin. Application of high band gapSiC to high T sensors

LA ANISOTROPA ELSTICA PUEDE SER IMPORTANTE


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34(Crystal reference axis system)

La anisotropa elsticade los materialescristalinos puede sermuy importante: V. g.,

Cu


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Clculos de elasticidad cristalina y de anisotropa

1' =klijklijijkl

ACAC

CONSTANTES ELSTICAS DE UN CRISTAL EN FUNCIN DE LASCONSTANTES REFERIDAS AL TRIEDRO INTRNSECO DE

REFERENCIA DEL CRISTAL

Para un cristal cuya matriz de transformacin de ejes de coordenadas de labase cristalina a los de una base extrnseca sea :ijA


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mnoplpkojnimijkl

mnoplpkojnimijkl

saaaascaaaac

==

a33a32a31x3

a23a22a21x2

a13a12a11x1

x3x2x1Ejes

(vectores

unitarios)

del sistema

de

referencia

extrnseco

Ejes (vectores unitarios) del

sistema intrnseco al cristal

Matriz Aij


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37

5

31,13

64321

12,2123,32332211

Convencin

Como slo hay 6 componentes independientes de tensin o dedeformacin, las constantes elsticas se suelen denotar con dossubndices. La convencin para la contraccin de ndices es:

612

531

423

333

222

111

=

==

=

==

612

531

423

333

222

111

2

22

=

==

=

==


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Coeficientes para la representacin elstica matricial (pseudovectores de tensin y

deformacin, con contraccin de ndices)

jiji c =

kljlikij cc =


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Transformation matrix for the elastic coefficients(pseudovector form of stresses and strains):


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Kelly andGroves, 2000 K = (C11+2C12)/3G(001)[100] = C44


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41

Kelly and Groves, 2000


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De los valores de las dos Tablas anteriores:

Comprense las constantes elsticas del C Diamante y del C Grafito:

C11 y C44 del diamante frente a C11, C33 y C44 del grafito

Obsrvese la extraordinaria anisotropa elstica de este ltimo.

Ej. 1

Ej 2


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Single crystalline NiYoung's moduli

for directions in the {001}, {011} and {111} planes

Reuss and Voigt averages ofthe moduli on the {001}

plane give a randomin-planemodulus of 171177 GPa

Hemker& Last, MSE A, 2001

Ej.2

Max

Min


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ndice de anisotropa elstica para

materiales cristalinos cbicos

Para un cristal cbico, el mdulo de Young en una direccin [hkl], siendo [hkl]un vector unitario:

Por consiguiente, se toma como ndice de anisotropa:

Si A1, es ms rgido en la direccin de los ejes

[ ] ( )[ ] ( )222222

441211111122 hllkkhCCCCCE

hklhkl++==

1211

442

CC

CA

=


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Para un policristal de ODF conocida, f = f(g),

( ) ( ) ( )dggfgCCg

ijklVoigtijkl =

( ) ( ) ( ) ( ) 1Re

= Voigtijklg

ijklussijklCdggfgSS

( ) ( )

1

ReRe

=

ussijklussijkl SC

UB

LB


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Utilizando las tablas de constantes elsticasmostradas anteriormente,

Comprese la anisotropa elstica del Cu y del Nb

Id, del Fe, Al y W


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Effects of solid solution: Al-Li alloys

Li is the lightestmetallic elementand each 1% of Li reduces alloydensity by about 3% and increases modulus by about 6%

Commercial Al-Li alloys: 7-10% Lower density. 10-15% Higher Modulus.

Excellent fatigue and cryogenic toughness properties. Higher stiffness. Superior fatigue crack growth resistance.but

Reduced ductility Lower fracture toughness at RT

Highly anisotropic

2024 alloy + Li

Chemical composition of 2024 aluminumalloy (wt%)Fe Si Cu Mn Mg Zn Ti Cr Al0.50 0.50 4.45 0.71 1.36 0.20 0.15 0.10 balance

Eff f lid l i F Al l


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The decrease in the elasticmoduli with increasing Alcontent is mainly caused by theslightly reduced lattice energy

of the Fe-Al solidsolution andthe larger distance between thecoexisting Al andFe atoms inthe lattice.

Fe

Frommeyeret al., 2000

Effects of solid solution: Fe-Al steels


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Effects of solid solution: Ti alloys, Toyota gum metal

Kuramoto et al., Toyota, 2005


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Constantes elsticas de la ytria (Y2O3, cbico)

Palko, Univ. Michigan, J AP, 2001

Ejemplo de dependencia trmica

de los mdulos elsticos de los slidos

Ejemplo de dependencia trmica de los mdulos elsticos de


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Koster, ZM, 1948

Ejemplo de dependencia trmica de los mdulos elsticos delos slidos. Mdulo de Young istropo de varios metales

Dependencia trmica de los mdulos elsticos de los slidos


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The variation of modulus is non-linear and the slope begins to fall rapidly at highertemperatures, approaching the solidus.

The modulus of a material is a function of the elastic behaviour of the constituent phases,and the distinctchanges in slope which have been observed atspecific temperatures insome materials can be linked clearly to changes in microstructure.

Lord and Orkney, NPL, 2000

TM0 K

F b lk d l T


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53Ghosh y Olson, AM 2002

Fe bulk modulus vs. T

Curie temperature

Constantes elsticas de segundo orden, vg.:


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54Antonangeli et al., EPSL, 2004

g g

Dependencia del mdulo elstico C11 del HCP Fe con la presin

Medidas de lavelocidad delsonido a RT enuna DAC

E li i t l lif i


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En un policristal mono- o polifsico o

en un composite:

Las propiedades elsticas son heterogneas a

escala local.El comportamiento macroscpico promedia el delos granos o fases constituyentes del agregado

policristalino o polifsico

Los mdulos macroscpicos se pueden calcularmediante promedios (v. g., como el promedio delos valores de Voigt y Reuss, ya mencionados)

La heterogeneidad espacial elstica se puede visualizar

FOR INSTANCE:


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FOR INSTANCE:

For crystalline materials OIM provides the capability to calculate, mapand plot the distribution of elastic stiffness modulus for a givenstress condition and single crystal elastic stiffness tensor.

The maps shown here are froma stainless steel (left) and a titaniumalloy (right).

FromEDAX


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Variation in elastic stiffnessdue to differences in crystal

orientation. The points in redare stiffer than points inblue.

The material is titanium(Ti-6Al-4V) cored fromthe faceof a cast golf club driver.FromTSL

Pero hoy tambin se puede medir directamente la rigidez local

ELASTIC MODULUS MAPPING BY NANOINDENTATION


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Two-dimensional map of the elastic modulus of a carbon fiber-epoxycomposite material. Brighter regions of the image correspond to highermodulus. (b) Cross-section line scan through the center of the image (marked byarrows in (a)) shows the storage modulus in the epoxy and the modulus gradientatthe center of the fiber.

When the probe radius R, applied load P, andmeasured contactstiffness K are known, thereduced elastic modulus E* can be directlycalculated, pixel by pixel, fromthe contactstiffness image data obtained during scanning

Wahl et al., NRL

Si l ODF d li i t l l


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Si se conoce la ODF de un policristal o la

proporcin de fases de un composite sepuede calcular un valor medio del agregado

(no es un problema sencillo, porque tambin influye la forma y la distribucin de los granos o

fases)

Dos aproximaciones sencillas para los mdulos de rigidez :

Un lmite superior: isodeformacin del agregado

Un lmite inferior: isotensin

Los valores de E, G, de los manuales suelencorresponder - salvo indicacin contraria a los deun agregado istropo


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Ej. 2.1. Calclese el mdulo elstico de deformacin volumtrica de- cristales cbicos- cristales hexagonales

Ej. 2.2. Puede haber contracciones anistropas al someter algncristal a compresin hidrosttica?

Ej. 2.3. Calclese el mdulo de Young de monocristales de- Fe, Al y W para las direcciones contenidas en el plano(001)- Ti en el plano (0001)

Ej. 2.4. Cules son los lmites del mdulo de Poisson, ?[Materials whichhave a negative Poisson ratio are known as auxetic materials.

These are unusual and not numerous but are attracting attention frommaterials

scientists and engineers. E.g., see Baughman, Nature 2003, vol 426, p667]

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