Cap05 06 Eqp006 Edolcv Series

E Q P 0 0 0 0 6 M t o d o s M a t e m t i c o s

P r o f . A n d r R . M u n i z

5 . E D O s l i n e a r e s a c o e f i c i e n t e s v a r i v e i s :

S o l u e s p o r s r i e s

F u n e s e s p e c i a i s

U m a e q u a o d i f e r e n c i a l o r d i n r i a d e o r d e m n d i t a l i n e a r

q u a n d o e l a p o d e s e r e s c r i t a d a s e g u i n t e f o r m a :

C l a s s i f i c a o d e E D O s l i n e a r e s ,

q u a n t o a o s c o e f i c i e n t e s :

E x e m p l o s :

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01

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1

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n

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c o e f i c i e n t e s d a E D O l i n e a r

t e r m o i n d e p e n d e n t e

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2

A

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c o e f i c i e n t e s c o n s t a n t e s c o e f i c i e n t e s v a r i v e i s

R e l e m b r a n d o :

E m e n g e n h a r i a , E D O s a c o e f i c i e n t e s v a r i v e i s a p a r e c e m c o m f r e q u n c i a ; t i p i c a m e n t e l i g a d a s

a P V C s e n v o l v e n d o g e o m e t r i a s c i l n d r i c a s e e s f r i c a s .

0

2

2

2

A

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E Q P 0 0 0 0 6 M t o d o s M a t e m t i c o s P r o f . A n d r R . M u n i z

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222

yaxx yyx

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1

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2

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y

x

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y

x

y

S o l u e s d e s t a s E D O s m u i t a s v e z e s s o e x p r e s s a s e m t e r m o s d e f u n e s e s p e c i a i s ( f u n e s

d e B e s s e l , p o l i n m i o s d e L e g e n d r e , p o l i n m i o s d e H e r m i t e , f u n o h i p e r g e o m t r i c a , e t c . . . )

2

C a p 0 5

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21

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E q u a e s d e E u l e r :


C o n s i d e r e E D O s q u e p o s s a m s e r e s c r i t a s c o m o :

E s t a s p o d e m s e r c o n v e r t i d a s e m E D O s l i n e a r e s a c o e f i c i e n t e s c o n s t a n t e s d e

m e s m a o r d e m p e l a s e g u i n t e m u d a n a d e v a r i v e l :

o u

R e s o l v e - s e p a r a y ( z ) , e a p l i c a - s e a m u d a n a d e v a r i v e l p a r a o b t e r y ( x ) .

E x e m p l o :

A e q u a o r e s u l t a n t e a s e g u i n t e :

3

C a p 0 5


D e m a n e i r a g e r a l , p o d e - s e o b t e r s o l u e s

n a f o r m a d e s r i e s d e p o t n c i a s p a r a

E D O s l i n e a r e s a c o e f i c i e n t e s v a r i v e i s .

M t o d o d a s S r i e s d e P o t n c i a s

M t o d o d e F r o b e n i u s

S r i e s d e P o t n c i a s : s r i e s i n f i n i t a s d o t i p o

. . .)()()(

2

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. . .

2

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x

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: c e n t r o d a s r i e

P a r a o c a s o o n d e o c e n t r o x

0

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E x e m p l o s :

f

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4

C a p 0 5


5

C a p 0 5

E x e m p l o s :

N

n

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x

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E s t a s s r i e s i n f i n i t a s n a t u r a l m e n t e c o n v e r g e m p a r a o c e n t r o

x = x

0

; m a s t a m b m c o n v e r g e m p a r a u m i n t e r v a l o d e v a l o r e s

d e x c e n t r a d o e m x

0

i n t e r v a l o d e c o n v e r g n c i a , t a l q u e

| x

- x

0

| < R o n d e R c h a m a d o d e r a i o d e c o n v e r g n c i a .

E x e m p l o s :

C o n v e r g n c i a d e s r i e s :

n

n

n

a

R

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1

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fo

n

n

n

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a

R

1

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1

s o m a p a r c i a l d e o r d e m n :

r e s t o d a s o m a :

N

n

n

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xaxs

0

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f

1

)(

Nn

n

nN

xaxr

6 H H [ L V W H H p I L Q L W R D V p U L H c o n v e r g e p a r a x = x

0

.

)(l i m

0

xs

N

N fo

e x a t o 2 . 7 1 8 2 8 1 8 3

N = 1 2 . 0 0 0 0 0 0 0 0

N = 2 2 . 5 0 0 0 0 0 0 0

N = 3 2 . 6 6 6 6 6 6 6 7

N = 4 2 . 7 0 8 3 3 3 3 3

N = 5 2 . 7 1 6 6 6 6 6 7

N = 6 2 . 7 1 8 0 5 5 5 6

N = 7 2 . 7 1 8 2 5 3 9 7

N = 8 2 . 7 1 8 2 7 8 7 7

N = 9 2 . 7 1 8 2 8 1 5 3

N = 1 0 2 . 7 1 8 2 8 1 8 0

N = 1 1 2 . 7 1 8 2 8 1 8 3

N = 1 2 2 . 7 1 8 2 8 1 8 3

E x : e

x

, x = 1

o u

6

C a p 0 5


A l g u m a s o p e r a e s t e i s e n v o l v e n d o s r i e s d e p o t n c i a s :

S o m a , s u b t r a o :

M u l t i p l i c a o :

D i f e r e n c i a o :

' H V O R F D P H Q W R G H t Q G L F H H [ H P S O R

f

f

1

1

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0

1

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n

n

n

n

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n

n

n

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n

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n

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n

n

xxassxxann

2 ns

D a d a s :

7

C a p 0 5

A l g u m a s d e f i n i e s : F u n o A n a l t i c a , P o n t o O r d i n r i o , P o n t o S i n g u l a r


U m a f u n o f ( x ) a n a l t i c a e m u m p o n t o x

0

s e

n e s t e p o n t o s u a s r i e d e Ta y l o r c o n v e r g e p a r a o

v a l o r d e f ( x ) n a v i z i n h a n a d e x

0

.

E x e m p l o s :

n

n

n

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n

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0

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C o n s i d e r a n d o u m a E D O 2 L d o t i p o :

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01

yxayxay

U m p o n t o x

0

d i t o p o n t o o r d i n r i o d a E D O e m q u e s t o s e a

1

( x ) e a

0

( x ) s o

a n a l t i c a s e m x

0

. S e u m a d a s f u n e s n o f o r a n a l t i c a e m x

0

, e s t e p o n t o d i t o

u m p o n t o s i n g u l a r d a E D O .

E x e m p l o :

U m p o n t o s i n g u l a r x

0

d i t o r e g u l a r s e ( x - x

0

) a

1

( x ) e ( x - x

0

)

2

a

0

( x ) s o a n a l t i c a s e m

x

0

. C a s o u m p o n t o s i n g u l a r n o s e e n c a i x e n e s t a e s p e c i f i c a o , e l e d i t o u m

p o n t o s i n g u l a r i r r e g u l a r .

E x e m p l o :

8

C a p 0 5


( a ) M t o d o d a s r i e d e p o t n c i a s

C o n s i d e r e u m a E D O 2 L d o t i p o :

0)(')("

01

yxayxay

S e u m p o n t o x

0

p o n t o o r d i n r i o d e s t a E D O ( s e a

1

( x ) e a

0

( x ) s o a n a l t i c a s e m x

0

) ,

a s o l u o d e s t a e q u a o d i f e r e n c i a l t a m b m u m a f u n o a n a l t i c a e m x = x

0

, e

e m u m i n t e r v a l o c o n t e n d o x

0

, p o d e s e r e s c r i t a s o b a f o r m a :

T e o r e m a :

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2211

0

0

xyCxyCxxaxy

m

m

m

f

S e n d o C

1

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2

c o n s t a n t e s a r b i t r r i a s , e y

1

( x ) e y

2

( x ) d u a s s o l u e s l i n e a r m e n t e

i n d e p e n d e n t e s n a f o r m a d e s r i e s .

O r a i o d e c o n v e r g n c i a d e s t a s s o l u e s e m s r i e n o m n i m o i g u a l a o m e n o r v a l o r

c o r r e s p o n d e n t e s s f u n e s a

1

( x ) e a

0

( x ) .

9

C a p 0 5



O m t o d o c o n s i s t e e s s e n c i a l m e n t e e m d e t e r m i n a r o s c o e f i c i e n t e s a

m

d e s t a s r i e :

)()()()(

2211

0

0

xyCxyCxxaxy

m

m

m

f

1 p a s s o : To m a m - s e a s d e r i v a d a s d e y a p a r t i r d e s u a e x p r e s s o e m s r i e d e

p o t n c i a s d e ( x - x

0

) e i n s e r e - s e y , y e y n a E D O ;

f

1

1

0

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m

m

m

xxamxy

f

2

2

0

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m

m

m

xxammxy

2 p a s s o : A g r u p a m - s e o s t e r m o s d e m e s m a p o t n c i a d e ( x - x

0

) . D e m o d o a

s a t i s f a z e r a e q u a o , o s t e r m o s a g r u p a d o s e m c a d a p o t n c i a d e v e m s e r n u l o s ;

3 p a s s o : R e s o l v e - s e a e q u a o o b t i d a n o p a s s o a n t e r i o r p a r a a

m

e m t e r m o s d e

o u t r o t e r m o g e n r i c o , a

m - 1

e / o u a

m - 2

, o b t e n d o - s e a s s i m a f r m u l a d e r e c o r r n c i a , q u e

p e r m i t i r c a l c u l a r o s c o e f i c i e n t e s d a s o l u o ( t i p i c a m e n t e e m t e r m o s d e a

0

e / o u a

1

) ;

4 p a s s o : C a l c u l a r t e r m o s p a r a m = 0 , 1 , 2 , 3 , . . . a p l i c a n d o a f r m u l a d e

r e c o r r n c i a , t o m a r t e r m o s e m c o m u m ( a

0

e / o u a

1

) , e i d e n t i f i c a r a s s o l u e s ( s e

p o s s v e l ) .

S o l u o :

1 0

C a p 0 5



E x e m p l o :

E D O a c o e f i c i e n t e s c o n s t a n t e s , m a s v a m o s u s - l a p a r a i l u s t r a r a a p l i c a o d o m t o d o ;

i n c l u s i v e , j s a b e m o s s u a s o l u o g e r a l ( y ( x ) = c

1

s i n x + c

2

c o s x )

S o l u o :

0" yy

E x e m p l o :

0)1('2")1(

2

ynnx yyx

C h a m a d a d e E q u a o d e L e g e n d r e ; s u r g e e m p r o b l e m a s f s i c o s e n v o l v e n d o g e o m e t r i a

e s f r i c a .

S o l u o :

)11( x

1 1

C a p 0 5

)( f f x


F u n o e s p e c i a l : P o l i n m i o s d e L e g e n d r e P

n

( x )

M

m

mn

n

m

n

x

mnmnm

mn

xP

0

2

) !2() !(!2

) !22(

)1()(

2

n

M

2

1

n

M

o n d e o u , o q u e s e j a i n t e i r o .

E x e m p l o s :

m

m

m

m

m

x

d x

d

m

xP 1

!2

1

)(

2

F r m u l a d e R o d r i g u e s :

V e r p r o p r i e d a d e s , r e l a e s , e t c

e n v o l v e n d o e s t a s f u n e s n o

S p i e g e l / M a t h e m a t i c a l H a n d b o o k

E s t e s p o l i n m i o s s o o r t o g o n a i s n o i n t e r v a l o [ - 1 . . 1 ] ; v e r e m o s

m a i s a d i a n t e n o c u r s o c o m o e x p l o r a r e s t a c a r a c t e r s t i c a .

1 2

C a p 0 5


( b ) M t o d o d e F r o b e n i u s

C o n s i d e r e u m a E D O 2 L d o t i p o :

0)(')("

01

yxayxay

C a s o a

1

( x ) e a

0

( x ) n o s e j a m a n a l t i c a s e m x

0

, o m t o d o a n t e r i o r n o p o d e s e r

a p l i c a d o ( t e n t e ) . O m t o d o d e F r o b e n i u s u m a e x t e n s o d o m t o d o d a s r i e d e

p o t n c i a s q u e p e r m i t e l i d a r c o m e s t a s i t u a o .

T e o r e m a :

0

)(

'

)(

"

2

y

x

xq

y

x

xp

y

C o n s i d e r e q u e u m a E D O d e 2 o r d e m p o s s a s e r e s c r i t a n a s e g u i n t e f o r m a :

S e o p o n t o x = 0 u m p o n t o s i n g u l a r r e g u l a r d e s t a E D O ( s e p ( x ) e q

( x ) s o

a n a l t i c a s e m x = 0 ) , h a v e r p e l o m e n o s u m a s o l u o q u e p o d e s e r e s c r i t a s o b a

f o r m a :

0)(')("

2

yxqyxx pyx

o u e q u i v a l e n t e m e n t e

f

0

1

)(

m

m

m

r

xaxxy

o n d e r u m n m e r o r e a l o u c o m p l e x o , e s c o l h i d o t a l q u e a

0

H a v e r a i n d a u m a s e g u n d a s o l u o l i n e a r m e n t e i n d e p e n d e n t e y

2

( x ) , s i m i l a r a y

1

( x ) ,

q u e d e p e n d e r d a n a t u r e z a d e r .

1 3

C a p 0 5


0)(')("

2

yxqyxx pyx

f

0

1

)(

m

m

m

r

xaxxy

S e n d o a s s i m , d a d a a E D O ,

b u s c a m o s p r i m e i r a m e n t e u m a s o l u o d o t i p o

1 p a s s o : D e t e r m i n a r o v a l o r d e r X V R G D e q u a o i n d i c i a l .

P r o c e d i m e n t o d e o b t e n o : i n s e r i r a s o l u o m o s t r a d a a c i m a n a E D O , e x p a n d i r

p ( x ) e q ( x ) e m s r i e , t o m a r o s t e r m o s c o m u n s e m x

r

e i g u a l - l o s a z e r o .

0)1(

00

2

qrpr

E q u a o i n d i c i a l :

2 p a s s o : D e t e r m i n a r y

1

( x ) a n a l o g a m e n t e a o m t o d o d a s r i e d e p o t n c i a s , o u s e j a ,

d e t e r m i n a r o s c o e f i c i e n t e s a

m

, f a z e n d o r = r

1

( a m a i o r d a s r a z e s ) ;

c u j a r e s o l u o l e v a a d u a s r a z e s r

1

e r

2

.

( m o s t r a r d e s e n v o l v i m e n t o )


0)1(

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o u

1 4

C a p 0 5



f

1

12

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m

m

m

r

xbxxxyxy

f

0

12

2

l n)()(

m

m

m

r

xbxxxykxy

f

0

2

2

)(

m

m

m

r

xbxxy

C a s o 2 : r a z e s i g u a i s r

1

= r

2

= r

C a s o 3 : r

1

- r

2

u m n m e r o i n t e i r o

C a s o 1 : r

1

- r

2

n o u m n m e r o i n t e i r o

3 p a s s o : D e t e r m i n a r y

2

( x ) , c u j a f o r m a f u n c i o n a l d e p e n d e r d a r e l a o e n t r e a s

r a z e s d a e q u a o i n d i c i a l :

P o d e - s e p r o c e d e r a n a l o g a m e n t e a o m t o d o d a s s r i e s d e p o t n c i a s p a r a d e t e r m i n a r

y

2

( x ) , u s a n d o a f o r m a f u n c i o n a l a p r o p r i a d a , o u u t i l i z a r a t c n i c a d e r e d u o d e o r d e m .

O b s : m t o d o d a r e d u o d e o r d e m ( C a p . 4 ) . A p l i c a - s e a E D O L s q u a n d o s e

c o n h e c e u m a s o l u o y

1

( x ) , e d e s e j a - s e o b t e r u m a s o l u o l i n e a r m e n t e i n d e p e n d e n t e

y

2

( x ) :

)()()(

12

xyxuxy

d xxUxu )()(

d xxa

xy

xU )(e x p

)(

1

)(

1

2

1

t a l q u e

1 5

C a p 0 5



E x e m p l o :

C h a m a d a d e E q u a o d e B e s s e l ; s u r g e e m p r o b l e m a s f s i c o s e n v o l v e n d o c o o r d e n a d a s

c i l n d r i c a s . Va m o s r e s o l v - l a p a r a n t 0 .

0)('"

222

ynxx yyx

E x e m p l o : D i f u s o e r e a o e m u m p e l l e t d e c a t a l i s a d o r

0

2

2

2

2

A

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d x

d y

x

d x

yd

x

A SA

CRrC )(

0

0

r

A

d r

d C

O b j e t i v o : d e t e r m i n a r o p e r f i l d e c o n c e n t r a o d o

r e a g e n t e A a o l o n g o d a p a r t c u l a e a t a x a g l o b a l d e

r e a o W

A

( c i n t i c a d e 1 o r d e m )

A B

1 6

C a p 0 5


F u n o e s p e c i a l : F u n e s d e B e s s e l d e p r i m e i r a e s p c i e d e o r d e m n J

n

( x )

0)('"

222

ynxx yyxE q u a o d e B e s s e l :

S o l u o :

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21

xJCxJCxy

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)()()(

21

xYCxJCxy

nn

p a r a t o d o n

p a r a n Q m R L Q W H L U R

O b s : f u n o g a m a

1 7

C a p 0 5


F u n o e s p e c i a l : F u n e s d e B e s s e l d e p r i m e i r a e s p c i e d e o r d e m n J

n

( x )

R e l a e s d e r e c o r r n c i a

( d e r i v a d a s c l c u l o d e t a x a s e m P V C s , e t c . )

1 8

C a p 0 5


F u n o e s p e c i a l : F u n e s d e B e s s e l d e s e g u n d a e s p c i e d e o r d e m n Y

n

( x )

E q u a o d e B e s s e l :

S o l u o :

0)('"

222

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21

xJCxJCxy

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21

xYCxJCxy

nn

p a r a t o d o n


R e l a e s d e r e c o r r n c i a : a s m e s m a s m o s t r a d a s p a r a J

n

( x ) a p l i c a m - s e

a n a l o g a m e n t e

1 9

C a p 0 5


F u n o e s p e c i a l : F u n e s d e B e s s e l m o d i f i c a d a d e p r i m e i r a e s p c i e d e

o r d e m n I

n

( x )

0)('"

222

ynxx yyxE q u a o d e B e s s e l m o d i f i c a d a :

S o l u o :

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21

xICxICxy

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)()()(

21

xKCxICxy

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p a r a t o d o n


2 0

C a p 0 5

F u n o e s p e c i a l : F u n e s d e B e s s e l m o d i f i c a d a d e p r i m e i r a e s p c i e d e

o r d e m n I

n

( x )


R e l a e s d e r e c o r r n c i a

( d e r i v a d a s c l c u l o d e t a x a s e m P V C s , e t c . )

2 1

C a p 0 5


F u n o e s p e c i a l : F u n e s d e B e s s e l m o d i f i c a d a d e s e g u n d a e s p c i e d e

o r d e m n K

n

( x )

0)('"

222

ynxx yyxE q u a o d e B e s s e l m o d i f i c a d a :

S o l u o :

)()()(

21

xICxICxy

nn

)()()(

21

xKCxICxy

nn

p a r a t o d o n


R e l a e s d e r e c o r r n c i a :

2 2

C a p 0 5

R e l a e s e n t r e f u n e s d e B e s s e l p a r a n f r a c i o n r i o e f u n e s

t r i g o n o m t r i c a s e h i p e r b l i c a s :


2 3

C a p 0 5

)()()(

2/122/11

xJCxJCxy

x

x

C

x

x

Cxy

)c o s ()s i n (

)(

43

S e n d o a s s i m :

)()()(

2/122/11

xICxICxy

x

x

C

x

x

Cxy

)c o s h ()s i n h (

)(

43

S e n d o a s s i m :

S e m p r e q u e p o s s v e l , i d e n t i f i c a r s e a E D O 2 C V e m q u e s t o c o r r e s p o n d e n t e a

e q u a o d e B e s s e l , B e s s e l m o d i f i c a d a o u a l g u m a o u t r a E D O c u j a s o l u o s e j a d a d a

p o r f u n e s e s p e c i a i s ; n e s t e s c a s o s , a s o l u o g e r a l o b t i d a d e f o r m a i m e d i a t a .

C a s o n o s e j a , p o d e - s e t e n t a r u m a m u d a n a d e v a r i v e l q u e a t r a n s f o r m e e m u m a

d a s e q u a e s c i t a d a s .

E x e m p l o s :


0'"

222

yxx yyx I 0

2

2

r

k

b Ta

d r

d T

d r

Td

r

( d i f u s o e r e a o e m u m p e l l e t

c i l n d r i c o d e c a t a l i s a d o r )

( t r a n s f e r n c i a d e c a l o r e m u m a

b a r r a c i l n d r i c a c o m g e r a o d e

e n e r g i a n o i n t e r i o r )

2 4

C a p 0 5

M u d a n a s d e v a r i v e l q u e l e v a m e q u a e s d e B e s s e l :

U m g r a n d e n m e r o d e E D O s c u j a s s o l u e s p o d e m s e r e x p r e s s a s e m t e r m o s d e

f u n e s d e B e s s e l p o d e m s e r e s c r i t a s n a s e g u i n t e f o r m a g e n r i c a :


> @

01'2"

2222

yxbxpabd xcyb xaxyx

ppqp

> @

qqp

xYCxJCxxxy OOE QQD 21e x p)( 2

1 a

Dp

b

Eq

d

O q

ca

2

41

2

Q

A s o l u o g e r a l p o d e s e r e s c r i t a e n t o c o m o :

S e d < 0 , t r o c a r JQ e YQ p o r IQ e KQ r e s p e c t i v a m e n t e . S e Q z 0 o u n o i n t e i r o , YQ e KQ p o d e m s e r t r o c a d o s p o r J -Q e I -Q r e s p e c t i v a m e n t e .

o n d e :

D e s d e q u e d , p , q H ( 1 - a )

2

t 4 c

2 5

C a p 0 5

M u d a n a s d e v a r i v e l q u e l e v a m e q u a e s d e B e s s e l :

A m u d a n a d e v a r i v e l

e n v o l v i d a c o n s i s t e e m :

ux

p

b

xy

p

a

e x p

2

1

q

x

q

d

t

)()( tuxy o


O u t r a s e q u a e s d i f e r e n c i a i s e f u n e s e s p e c i a i s a s s o c i a d a s :

O b s : e s t e s p o l i n m i o s s o o r t o g o n a i s ; e s t a p r o p r i e d a d e e x p l o r a d a e m d i v e r s a s a p l i c a e s . D i v e r s o s o u t r o s

e x i s t e n t e s ( C h e b y s h e v , J a c o b i , . . . )

E q u a o d i f e r e n c i a l d e H e r m i t e e

p o l i n m i o s d e H e r m i t e

E q u a o d i f e r e n c i a l d e L a g u e r r e e

p o l i n m i o s d e L a g u e r r e

( f r m u l a d e R o d r i g u e s ) ( f r m u l a d e R o d r i g u e s )

2 6

C a p 0 5

E Q P 0 0 0 0 6 M t o d o s M a t e m t i c o s

P r o f . A n d r R . M u n i z

6 . P r o b l e m a s d e A u t o v a l o r e s

( P r o b l e m a s d e S t u r m - L i o u v i l l e )


R e l e m b r a n d o c o n c e i t o s d e l g e b r a l i n e a r : a u t o v a l o r e s e a u t o v e t o r e s

C o n s i d e r e a s e g u i n t e e q u a o :

B u s c a - s e d e t e r m i n a r u m e s c a l a r O e u m v e t o r x q u e s a t i s f a a e s t a e q u a o .

V a l o r e s d e O q u e l e v e m a u m v e t o r x n o n u l o s o c h a m a d o s d e a u t o v a l o r e s ( e i g e n v a l u e s ) d a m a t r i z A ; u m v e t o r x c o r r e s p o n d e n t e a u m d a d o a u t o v a l o r

c h a m a d o d e a u t o v e t o r ( e i g e n v e c t o r ) .

O b t e n o d e a u t o v a l o r e s :

xxA O

0 xIA O 0d e t IA OU m a m a t r i z d e d i m e n s e s n n p o s s u i p e l o m e n o s u m a u t o v a l o r e n o m x i m o n

a u t o v a l o r e s d i s t i n t o s .

m a t r i z c a r a c t e r s t i c a

e q u a o c a r a c t e r s t i c a

2

C a p 0 6


R e l e m b r a n d o c o n c e i t o s d e l g e b r a l i n e a r : a u t o v a l o r e s e a u t o v e t o r e s

C a s o h a j a m k a u t o v a l o r e s d i s t i n t o s O1

, O2

, . . . , Ok

, o s a u t o v e t o r e s c o r r e s p o n d e n t e s

{ y

1

, y

2

, . . . , y

k

} f o r m a m u m c o n j u n t o l i n e a r m e n t e i n d e p e n d e n t e

( o u s e j a , c

1

y

1

+ c

2

y

2

+ . . . + c

k

y

k

= 0 , s e n d o c

k

c o n s t a n t e s , s s a t i s f e i t a s e c = 0 )

S e u m a m a t r i z A d e d i m e n s e s n n t e m n a u t o v a l o r e s d i s t i n t o s , a m e s m a p o s s u i

u m a b a s e d e a u t o v e t o r e s e m R

n

( o u C

n

) ; o u s e j a , p o s s v e l e x p r e s s a r q u a l q u e r

v e t o r n o e s p a o R

n

e m t e r m o s d e u m a c o m b i n a o l i n e a r d o s v e t o r e s d e s t a b a s e :

n

i

iinn

xcxcxcxcz

1

2211

. . .

( p a r a m a i o r e s d e t a l h e s , v e r Va r m a & M o r b i d e l l i C a p . 1 e K r e y s z i g C a p . 8 ( 9 t h

e d i t i o n ) , o u q u a l q u e r t e x t o d e l g e b r a l i n e a r )

3

C a p 0 6


R e l e m b r a n d o c o n c e i t o s d e l g e b r a l i n e a r : o r t o g o n a l i d a d e , n o r m a

C o n s i d e r e d o i s v e t o r e s e . S e u p r o d u t o i n t e r n o d e f i n i d o p o r :

S e o p r o d u t o i n t e r n o e n t r e e s t e s d o i s v e t o r e s f o r n u l o , , o s v e t o r e s e

s o d i t o s o r t o g o n a i s . C o n j u n t o s d e v e t o r e s , , . . . , t a l q u e p a r a ,

s o c h a m a d o s d e c o n j u n t o s o r t o g o n a i s .

A n o r m a d e u m v e t o r d e f i n i d a p o r

V e t o r e s c o m n o r m a 1 s o d i t o s u n i t r i o s .

V e t o r e s p o d e m s e r n o r m a l i z a d o s ( m e s m a d i r e o , m a s c o m n o r m a = 1 ) a o

s e r e m m u l t i p l i c a d o s p e l a c o n s t a n t e c = 1 / | | v | | .

C o n j u n t o s d e v e t o r e s o r t o g o n a i s e u n i t r i o s s o c h a m a d o s d e c o n j u n t o s

o r t o n o r m a i s .

0

21

vv

111

vvv

T Tc o s2121 vvvv > @

nn

n

n

vvvv

v

v

vvvv

,2,11,21,1

,2

1,2

,11,121

. . .. . .

1

v

2

v

1

v

2

v

1

v

2

v

1

v

2

v

n

v

0

ji

vv

ji z

4

C a p 0 6


C o n s i d e r e o s e g u i n t e p r o b l e m a d e v a l o r d e c o n t o r n o :

P o s s v e i s s o l u e s :

0 O0!O 0O 2QO

2QO 21)( CxCxy xx eCeCxy QQ 21

)(

P o r e m , s o m e n t e u m a d e s t a s n o - t r i v i a l p a r a o p r o b l e m a e m q u e s t o :

V o l t a n d o a o n o s s o a s s u n t o e q u a e s d i f e r e n c i a i s .

xCxCxy QQ c o ss i n)(21

0

2

2

y

d x

yd O

0)1(

0)0(

y

y

sin

(x)

5

C a p 0 6


0)(')(

0)(')(

21

21

byby

ayay EE DD

P r o b l e m a s d e v a l o r d e c o n t o r n o d e s t e t i p o , c u j a e q u a o d i f e r e n c i a l p o s s a

s e e s c r i t a n a f o r m a g e n r i c a :

s u j e i t a s a c o n d i e s d e c o n t o r n o

h o m o g n e a s e m x = a e x = b :

S o c h a m a d o s d e p r o b l e m a s d e a u t o v a l o r e s ( e i g e n v a l u e p r o b l e m s ) o u

p r o b l e m a s d e S t u r m - L i o u v i l l e .

O s v a l o r e s d e O q u e r e t o r n a m u m a s o l u o y ( x ) n o - t r i v i a l s o c h a m a d o s d e v a l o r e s c a r a c t e r s t i c o s o u a u t o v a l o r e s . P a r a c a d a u m d e s s e s v a l o r e s , e s t

a s s o c i a d a u m a s o l u o y ( x ) , c h a m a d a d e f u n o c a r a c t e r s t i c a o u a u t o f u n o .

o n d e w ( x ) > 0 , p ( x ) > 0 e p ( x ) , p ( x ) ,

q ( x ) e w ( x ) s o c o n t n u a s e m u m

i n t e r v a l o [ a , b ]

E m p r o b l e m a s d e S t u r m - L i o u v i l l e , o p e r a d o r e s d i f e r e n c i a i s L [ ] e a s c o n d i e s d e c o n t o r n o s o d i t a s a u t o -

a d j u n t a s ( s e l f - a d j o i n t ) , g a r a n t i n d o a s s i m a s p r o p r i e d a d e s d e s c r i t a s n o p r x i m o s l i d e ; v e r i m p o r t n c i a e

d i s c u s s o d e t a l h a d a e m V a r m a & M o r b i d e l l i , s e e s 3 . 1 0 e 3 . 1 6 e / o u D e e n , s e e s 4 . 3 e 4 . 6 .

0)()()()(

xyxwxq

d x

d y

xp

d x

d O> @ )()()()(

)(

1

)( xyxyxq

d x

d

xp

d x

d

xw

xyL O

o u

o n d e Di

e Ei

s o

c o n s t a n t e s r e a i s

6

C a p 0 6

t a l q u e q u a n d o

s e n d o q u e a s f u n e s c a r a c t e r s t i c a s t a m b m p o d e m s e r o r d e n a d a s e m u m a

s e q u n c i a , . . .


. . .. . .0

321

d

n

OOOO)() , . . . ,() ,() ,(

321

xyxyxyxy

n

O s p r o b l e m a s d e S t u r m - L i o u v i l l e t e m a s s e g u i n t e s p r o p r i e d a d e s :

O s v a l o r e s c a r a c t e r s t i c o s d e u m p r o b l e m a d e S t u r m - L i o u v i l l e s o t o d o s r e a i s

e p o s i t i v o s , s e n d o q u e p a r a c a d a u m h u m a n i c a f u n o c a r a c t e r s t i c a

l i n e a r m e n t e i n d e p e n d e n t e d a s o u t r a s a u t o f u n e s .

p a r a n z m

O s v a l o r e s c a r a c t e r s t i c o s d e u m p r o b l e m a d e S t u r m - L i o u v i l l e p o d e m s e r

o r d e n a d o s e m u m a s e q u n c i a c r e s c e n t e i n f i n i t a , o u s e j a

A s f u n e s c a r a c t e r s t i c a s f o r m a m u m c o n j u n t o o r t o g o n a l d e f u n e s e m

r e l a o a u m a f u n o p e s o w ( x ) :

fo

n

Ofon

0)()()(,

b

a

nmnm

d xxyxyxwyy

7

C a p 0 6


F u n e s o r t o g o n a i s :

F u n e s { y

1

( x ) , y

2

( x ) , . . . , y

n

( x ) } d e f i n i d a s e m u m i n t e r v a l o a d x d b s o d i t a s

o r t o g o n a i s e m r e l a o a u m a f u n o p e s o w ( x ) , n e s t e m e s m o i n t e r v a l o , s e :

o n d e c h a m a d o d e n o r m a d e y

n

( x ) .

F u n e s o r t o n o r m a i s e m u m i n t e r v a l o a d x d b s o f u n e s o r t o g o n a i s n e s t e

m e s m o i n t e r v a l o , e q u e t e n h a m n o r m a .

( m a i s s o b r e f u n e s o r t o g o n a i s n a p r x i m a a u l a )

1

n

y

E x :

xnxy

n

Ss i n)(

n

y

e m 0 d x d 1

c o m w ( x ) = 1

xnxy

n

Sc o s2)( e m 0 d x d 1 c o m w ( x ) = 1

0)()()(,

b

a

nmnm

d xxyxyxwyy 0)()()()(,

2

!

xyd xxyxyxwyy

n

b

a

nnnn

8

C a p 0 6


E x e m p l o s : D e t e r m i n a r o s a u t o v a l o r e s e a u t o f u n e s d o s s e g u i n t e s p r o b l e m a s

( a )

( b )

( c )

OII 2

2

d x

d

0)(

0)0('

LII

0)1(

0)0()0(' I II B i

OII

d r

d

r

d r

d

r

1

0)(

0)0('

RII

OII 2

2

d x

d

( B i u m a c o n s t a n t e )

9

C a p 0 6


( c )

( b )

( a )

1 0

C a p 0 6


A p l i c a e s d e p r o b l e m a s d e S t u r m - L i o u v i l l e :

P r o b l e m a s d e a u t o v a l o r e s s u r g e m e m p r o b l e m a s f s i c o s e m d i v e r s a s r e a s d e

i n t e r e s s e ; a l g u n s e x e m p l o s s e r o d a d o s a s e g u i r .

P a r t i c u l a r m e n t e , p r o b l e m a s d e s t e t i p o s o d o n o s s o i n t e r e s s e ( e n g e n h e i r o s

q u m i c o s ) p e l o f a t o d e s u r g i r e m n a t u r a l m e n t e n a s o l u o d e p r o b l e m a s d e v a l o r d e

c o n t o r n o a s s o c i a d o s a e q u a e s d i f e r e n c i a i s p a r c i a i s ( E D P s ) , a t r a v s d a a p l i c a o

d o s m t o d o s d a T r a n s f o r m a d a F i n i t a d e F o u r i e r e S e p a r a o d e V a r i v e i s . E m

a m b o s m t o d o s , b u s c a - s e u m a s o l u o p a r a a E D P e x p r e s s a p o r u m a e x p a n s o

e m s r i e s o r t o g o n a i s ( a s s u n t o d a p r x i m a a u l a ) , u s a n d o a u t o f u n e s d e P S L

a s s o c i a d o s c o m o b a s e o r t o g o n a l .

E x : N a s o l u o d a s e g u i n t e E D P ( r e l a t i v a

c o n d u o d e c a l o r t r a n s i e n t e e m u m a

p l a c a p l a n a ) :

d e v e r s e r r e s o l v i d o o s e g u i n t e

p r o b l e m a d e a u t o v a l o r e s a s s o c i a d o :

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C a p 0 6


A p l i c a e s : V i b r a e s m e c n i c a s

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A u t o f u n e s : m o d o s n o r m a i s d e

v i b r a o d a c o r d a

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r e l a c i o n a d o s s f r e q u n c i a s :

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A u t o v a l o r e s :

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E q u a o d a o n d a ( u n i d i m e n s i o n a l ) :

n = 1

n = 2

n = 3

n = 4

n = 5

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C a p 0 6


n = 1

n = 2

n = 3

n = 4

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A p l i c a e s : V i b r a e s m e c n i c a s

1 3

C a p 0 6


A p l i c a e s : F u n e s d e o n d a m e c n i c a q u n t i c a

E q u a o d e S c h r d i n g e r :

E x e m p l o : C o n s i d e r e u m a p a r t c u l a d e m a s s a m c o n f i n a d a e m u m a c a i x a ( p a r a

s i m p l i f i c a r , u n i d i m e n s i o n a l ) , o u a n a l o g a m e n t e , e m u m p o o d e p o t e n c i a l i n f i n i t o .

F a m o s o p r o b l e m a d a p a r t c u l a e m u m a c a i x a ( p a r t i c l e i n a b o x ) ,

o u p a r t c u l a e m u m p o o i n f i n i t o ( p a r t i c l e i n a n i n f i n i t e w e l l ) .

\\ EH ( i n d e p e n d e n t e d o t e m p o ) )(

2

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H : o p e r a d o r H a m i l t o n i a n o

( r e l a c i o n a d o a e n e r g i a t o t a l d o s i s t e m a )

A r e s o l u o d e s t e p r o b l e m a r e c a i e m u m p r o b l e m a d e a u t o v a l o r e s , o n d e o s

a u t o v a l o r e s E

n

c o r r e s p o n d e m s e n e r g i a s p e r m i t i d a s p a r a o s i s t e m a , a s s o c i a d a s a

d i s t i n t a s a u t o f u n e s \n

( r ) . ( s o l u e s e s t a c i o n r i a s d a E q . d e S c h r d i n g e r ) .

I X Q o m R G H R Q G D I X Q o m R T X H

c o n t m t o d a i n f o r m a o s o b r e o

s i s t e m a

)( r\

L

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L\\

E x : p r o b a b i l i d a d e d e e n c o n t r a r u m a p a r t c u l a e m

c e r t a r e g i o d V p r o p o r c i o n a l a |\( r ) | 2 d V

f

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c o n t r a r i oc a s o

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c i n t i c a p o t e n c i a l

1 4

C a p 0 6

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A p l i c a e s : F u n e s d e o n d a m e c n i c a q u n t i c a

A u t o v a l o r e s : A u t o f u n e s :

L

f Vf V

0 V

n = 1 , 2 , 3 , . . . c h a m a d o u m n m e r o

q u n t i c o ( u m n m e r o q u e d e f i n e o

e s t a d o d o s i s t e m a )

n = 1

n = 2

n = 3

n = 4

n = 5

n = 1

n = 2

n = 3

n = 4

n = 5

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S o l u o :


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2

x\

1 5

C a p 0 6

Documents

Cap05 06 Eqp006 Edolcv Series