-
Prot. dr. O. Popescu , cant. dr. D. Baz, cant. dr. G. Beganu
,cant. dr. A . Fil ip , cant. dr. C. Raischi, cant. dr. D. P. Vasil
iu ,
lector dr. V. Butescu, lector M. Enachescu, lector dr. O.
Firica,lector N. Stramtan, lector M. Toma, lector G. Zaharia.,
lector S. Baz , Asist. L. Bad in
CULEGEREDE
PROBLEME
EOITURA DIDACTICA $ 1 PEDAGOGICA, R. A. . BUCURE$TI
-
Capitolul X
PROBLEME DE TEORIA GRAFURILOR
1. Un graf G are urmatoarea matrice a arcelor :
x = X X' = 0 =>n"5 => X" = 0, deci in graful dat nu exista
drurnuri formate dI=patru sau rnai multe arce. Mai mult, singwuJ
drum format din trei .arce este drumul devarful 0 la varful ' d :
acest drum este format din erce care se determina
urmI\ruJl:provenienta valorii d, (1 ; 3) = 1. AstfeJ, avem :
_din inmultirea X X ' constatam : d,(I ;3)= .1'(1 ; 2) d, (2 ;
4) ; asadar, drumul de trearce cautat provine dintr-un arc de la a
pallA la b, adAugat la inceputul unui drum dedoua arce de la b la d
;
-din tnmultirea X' =.1' . .1' , constatAm dl d, (2 ; 4) provine
de la .2 :3) .3 :4). d=drumul de doua arce este forma t din arcul
(0; c) urmat de arcul (c ; d ).
Pentru determinarea matricii D a drumurilor grafului dar, avem
:01 23 0 1 1
o 0 0
o 0 0 0
2 0 O . I=>D =
o 0
o 0 0
o 0 0 0
0 b c d
0 0 I 1 Ib 0 0 1 IX=c 0 0 0 Id 0 0 0 0
368
Se cer matricele D, ale clrumurilor formate din k arce in graful
G(k EN ),.precum si matricea D a drumurilor grafului dat.
RezolvareAvem
0 0 1 2 0 0 I I
.1" =0 0 0 J 0 0 0 I0 0 0 0
=>D, = 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 J 0 0 0 J
x' = X x' =0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0
~D3 =0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
-
[LOR
keN),
te din1 de I.
InnArind
de treirum de
). deci
Observaui.
I) Decarece coloana vfufului a in rnatricea D este fermata numai
din zerouri, rezultaca a este sursa in G.
2) Deoarece linia varfului d in matricea D este fermata numai
din zerouri, rezulta cavarful d este destinatie in G.
2. Matricea unuigraf G este :
a b c da 0 I I I
b 0 I 0 Ic 0 I 0 Id 0 0 -0 0
Se cer matricele D. ale drumurilor formate din k arce in G(k EN'
),precum ~i matricea D a drumurilor grafului G.
RezolvareSe constata urmatoarele :
. [:I I
HI 0- pentru n numar par, avem : X = 0 0 I0 0 0. [" I
"Jnumar impar, avem : X ~ = ~ 0 I I-pentrun I o I '0 o
0Asadar:
.._~._ ~ .[j I I'J xI 0- pentru 0 I I '
0 0 0
[" I I }. 0 0 I- pentru n numar unpar, avem : D. = o I 00 0
Atunci avem :
[0 2 2 [} D'[j.I I iJ 0 2 I I IX+ K+ H= ~ dee,2 I J I0 0 0 02-l
- Matcmatica aplicata in economic - cd. I
369
-
3. Graful G are urmatoarea matrice a areelor :a b c d e f
370
0 1 0 0 0 10 0 1 0 0 10 0 0 1 I 00 0 I 0 0 00 0 0 I 0 00 I 1 0 1
0
a b ( c d ea 0 1 1 1 I 1 C,
~ 0 1 1 1 J 1 C,0 1 I 1 1 10, = 0 0 0 I 1 1cd 0 0 0 1 1 1 C,e 0
0 0 1 1 1
C, C, C,
Se eer :a) Componentele tare conexe ale grafului .b) Graful
condensat o' = (V' ; A' ) corespunzator,c) Dnunurile harniltoniene
in grafuI G.RezolvareAplicand algoritmul CHEN, se determinA
matricea dnunurilor grafului dat , anume :
o I 1 I I I9 1 1 1 1 1o 0 1 I I 0
D=o 0 1 I 1 0o 0 1 1 1 0o 1 I I I 1
a) Determinarea componentei tare cone:xe corespunzatoare
vdrfului a .~- multimea EXT(a ), 0 viirfurilor 10 care se poate
ajunge din varful a, corespunde
valori lor de" I" de pc linia lui a din matricea D , anume :
EXT(a) = (b, c, d. e, f) ;- multimea INT(a) , 0 vilrfurilor de 10
care se ponte ejunge la varful a, corespunde
valorilor de ,,1" de pe coloana lui a in matricea D, anume :
INT(a) = 0 ;- in final, componenta tare conexa C( a) ,
corcspunzAtoare viirfului a, este
C(a> = (EXT(a)n INT(a U ~l = ~}Determinarea componentei tare
conexe a vdrfului b :
EXT(b) = (b, c, d. e, f ) I I. IAvem : INT (b) = (a ,b,fJ ",",
C(b )= p ;f ;Determinarea componentei tare conexe corespunziitoare
vdrfului c :
EXT(c) = (c, d , e) I Ie IAvem: :;::>C(c) = , d, e.INT(c ) =
(a, b, c, d , e, fJ .
Asadar, graful dat are trei cornponente tareconexe pe care Ie
renotAm CI C2 C3 ; vom rescriematricea D astfel meat varfurile
careapartin aceleiasi componente sa fie adiacente ~ avem:
f
b
dc
a
e
-
---- -- ~
b) In afar! de blocurile diagonale ( care nu intereseaza ), in ~
avem valori de ,,1", inblocurile (C, ; C,), (C,; C,) si (C, ; C,):
asedar graful condensat G" are :
- multimea de varfuri V" = (c, ;C, ; c,L- multimea de arce
rezultA conform matricii :
o 1 1o 0 1o 0 0
iltonien din componenta urmatoare , dateC, C, C,
a"" b - f"'... c-e -dr - e-d -cd- c -e
c) sc determine intai drumurile hamiltoniene din cadrul fiecarei
componente ;- in C, : singurul viirf din C, fiind a. problema este
banala ;- in C,: avem drumuril e hamiltoniene (b : I ) si (f ; b)
;- in C,: avem drumurile hamiltoniene (c, e, d ), (e, d , c) si (d
, c , e). in tabelul urmator
>par:- componentele tare conexe, scrise in ordinea in care
exista relarii de succesiune intre
ele, anume (C" C" CJL- lista drumurilor hamiltoniene din cadrul
fiecarei componente ~- legaturile dintre varful terminal at unui
drum hamiltonian dintr~ componenta si varful
cnpal al unui drum harm de arcele grafului G.
unde
~unde
one :
este ; Asadar, in graful dat exist! doll! drumuri hamiltoniene ,
anume :dif =(a , b,f, c, e, d) ; dil =(a, b,f, e, d , c).
4. a) Folosind algoritmul Kaufmann , se cer drumurile
hamihoniene ~,arcuitele hamiltoniene in graful care are ca matrice
a arce lor :
a b c da 0 1 1 1b 0 0 1 1A=
esctiec 0 1 0 1d 1 1 0 0
RezolvareToate elementele matricei drumurilor grafului dat sunt
egale cu; I " , deci graful dat
ese cornplet, iar algcritmul Kaufinann este singurul algoritm
studiat pentru determinarea=J:l1uri.lor hamiltoniene. Matricea
latinA corespunzatoare grafului este :
L =
-ab ac ad
- -be bd
-cd
-cd
da db - -
371
-
dabcabc
adbbda ~eda cdb ebti
dab daodbc
c
- b c d- - c d- b - d- b
- -
ba
-b c d
- - e d- b - da b - -
- 3 4 7- -
5 8- 2 - 96 J I - -
a
dc
abdaacda - - -
bdab- bedb - -
cdae- - cdbe -
dabd- - - daed
dbed
bv=
acbabc abd-
adb acdbda
- - bededa edb
-cbd
dab dac- dbe -
-b e d
- -e d
-b
-d
a b-
-
-ab ae ad
- -be bd
-eb - cd
da db- -
T=
Matricea destinatiilor de arce este :
Pentru d.etenninarea drumurilor hamil toniene vorn aplica doua
iteratii, tardeterminarea circuitelor hamiltoniene, trei iteratii
ale algoritmului . Avern :
b) Considerand ca G devine graf valuat ~i ca valoarea unui drum
este sumavalorilor areelor componente, eu matrieea valoriJor
areelor datii de :
. .
sa se determine drumul hamiltonian minim ; drumul hamiltonian
maximeireuitul hamiltonian minim si eireuitul ham iltonian maxim
.
372
-
Rezolvare
Problemele de acest gen (drum/circuit hamiltonian optim), fiind
probleme eu caraeterzatematic deosebit, Ie vom rezolva nwnai
enwnerativ.
Determinarea drumului hamiltonian optim:
Jar pentru drumul hami ltonian valoarea drum ului
observetii-
a -c - b 4+ 2 = 6 este drumul "minimabd a-d -b 7 + 11 = 18
-aed
a - b -c 3 + 5 = 8bed -, ebd a -b -d 3 + 8 = l l -
a -c - d 4+ 9 = 13 --
b - d - a 9+ 6 - 15 -b -e - d - 5+ 9 - 14 -c - d -a 9 + 6 =
15
-
c - d - b 9+ 1i- 20 este dnunul maximc - b - d 2+ 8 = 10 -d -a -
b 6 + 3 - 9 "d - a -c 6+ 4 -10 .d -b - c Ii+ 5 = 16 -
in mod asemanator se detennin~ ~i circuitele harniltoniene
optime.
5. Graful valuat G are matricea valorilor arcel or :
a b c d ea
- 3 I - II
b - - 7 10 9
c - - - 5 4,"ma
d- - - - 8
e- - - - -
Valoarea unui drum este defin itii ca fund minimul valorilor
arceloronente.
Se cer :- va lorile drumuri lor maxime cu dest ina tia e. drum
ul maxim de la a la e.
..373
-
Etapele a1goritmului sunt prezentate in tabelul urmator :
Rezolvare
fedcba
3 4 4 . -- - 5 2 - -- - - - 2 5 -
6 - 10 7- - - - -
3 - - - - -
e
ba
c
d
f
a b c d e
a- 3 I - 11
b" - -
7 10 9c
- - -5 4
d - - - - 8e .
--
- -
.11(1 ) II 9 4 8-
.11 (2)max{min{3 ; 9} ; max{min{4 ; 7} ; max {min{5 ; 8} ;min {4
;1}} = 3 minflO ; 8}} = 8 min {5 ;8}}=5 - -
Af(3)max {min {3 ; 8} ;
min{5 ; 7} = 5min{l ;5}}=3 - - -
.11 (4 )max {min {3; 5} ;
min {7 ; 5} = 5min{I ;5}}=3 - - -
.I1(S) min{3 ; 5} = 3- -
- -
.11 (6 )- - - - -
.14 max{3 ; II} = II max{9 ; 8 ; 5} = 9 max{4 ; 5) = 5 8 -
6. Matricea valorilor areelor grafului G este prezentata In
continuare :
in linia .\1 apar valorile drumurilor maxime cu destinatia e in
graficul dat (indiferentde numarul de arce din care este formal
drurnul), astfel :
- drumul maxim de Ia ala e are valoarea II (si este format
dintr-un singur are,deoarece valoarea II apare pe linia .11(1 ;
. :drumul maxim de la b la e are valoarea 9 (~ este format
dintr-un singur are,intrucat valoarea 9 apare pe linia .11 (I) )
;
- drumul maxim de la cia e are valoarea 5 (~i este format din
doua arce, anume (c -d - e), deoarece valoarea 5 apare pe linia
.14(2 ;
- drumul maxim de la d la e are valoarea 8 ~ este formal
dintr-un singur arc ;- in graficul dat nu exist! nici lU1 drum de
Ia e la e.
37.
-
eII948
'fererlt
arc,
arc,
(c -
Valoarea unui drumin graf este definitii ca fiind maximul
valorilor arcelorcomponente.
Se cer :- valorile drumurilor minime cu destinatia in viirful f
;- drumul minim de la a la f '
Rezolvare
Etapele algoritmului SlIDI prezentate in tabelul urmator :
a b c d e Ia - 3 4 4 - -b - - 5 2 - -c - , - - - 2 5d
- -6
- 10 7e - - - - - 3
I - - - - - -.lf ll) - - 5 7 3
-
-
min {max {4;S} ; min {max {S;S} ; min {max{6;S},,\ f (2)
max{2 ; 7}} = S max{2)}=3 max {1O;3}l = 6 - -max {4;7}}=Smin
{max {3;S} ;
min {max {S;3} ; ..If(3) max{4;3} ;
max{2 ; 6}} = S - max{3 ; 6} = 6 - -max {4;6}} = 4 ,
.If(4)min {max {3;S} ;
max {2 ; 6} = 6- - - -
max {4;6}} = S
.If( ' ) max {3;6} = 6 - - - - -
.If(6) - --
- - - -
min{S ;4 ;6} =min{S ; 6} = S min{S)} = min{6 ; 7} = 6 3
.\ f -=4 =3
Asadar :- drumul minim de la a la I are valoarea 4 ~i este
formal din trei arce (an ume
( a ; c), (c ; e), (e; I)) ;- drumul minim de la b la I are
valoarea S si este format din doua arce (anume
(b ; c) , (c ; I )) sau din trei arce ( anume ( b .c), (c; e),
(e ; I )) ;- drumul minim de la c 1a I are valoarea 3 si este
format din doua arce ;- drumul minim de Ia d la f are valoarea 6 ~i
este formal din doua sau trei arce ;- drumul minim de l~ e la I are
valoarea 3 ~ este format dintr-un singur arc ;- nu exista drumuri
de la I la I in graful G.
37 5
-
7. Matrieea valori lor arcelor grafului G este prezentatii mai
jos :
376
edcba
- 1 4 - -- - 2 5 9- - - I 7- - - - 2- - - - -
c
e
d
8. Matrieea valorilor grafulu i G este prezentatii in continuare
:
Valoarea unui drum este definita ca .fiind produsu l valori lor
arcelorcomponente. Se eer :
- valorile drumurilor maxime avand sursa in varful a ;-
drum;'1maxim de la a la e.
Rezolvarein tabelul UI1TIiUor sunt prezentate etapele de
rezolvare :
a b c d e AI (l ) .\ 1 (2 ) .If '" A1 (4 ) AI '" .ila
-2 4 10 - - - - - - -
b- -
3 8-
2 - - - - 3
5 7 4 32 = 6max {4;
c- - -
- -- 6} = 6
maxt g 2 ; max fl O;
d - - - 4 10 5 6 =30 - -20;30} =
- 5 4}=20.
= 30
e- -
-
- -- maxt ? 4 ; max {7 6 ; 4 3 0 =
-
- max {40;
4 \ 0} =40 4 20} = 80 = 120 8
-
pozitiile in care nu exists arce in graful dat. Etapele
eplicarii algoritmului apar in tabelulurmaror :
celor
[
I a b c d e,
I a 0 1 4 00 00b 00 0 2 5 9c 00 00 0 I 7
d 00 00 00 0 2
e 00 00 00 00 0
.\ 1 (l)'"
9 7 2 0
min jco-t- Il ; 9 + 1; min[cc+ 00;0 + 9 ; min{oo + oo ; minjcc
-cco ;.\ 1 (2) 7 +4 ;2 + 00: 2 + 7 ;5 + 2 ;
00+9; 0+ 7 ; 9+00;7 +00;0
O+",} =10 9+0} =7 1+2 ;7 + 0} = 2+0;0+2} ==3 = 2
min{IO+ 0 ; 7 + I ; min {IO+ 00;7 +0; minjlu e-cc ; min{ID + c.e
:.\1 (3) 3 +4 ;2 + 00; 3+ 2 ;2 + 5 ;
7+0:: ; 3+0 ; 7+:x:;3 +c.e;0
O+oo} = 7 2+5 ; 0 + 9)=5 2 + 0 ; 7+0} = 2 + 0;0 +2} ==3 = 2
min {7+ 0 ; 5 +1 ; min {7 +00 ;5 -e O; min t?+ 00 ; min {7+ 8
;.\1 (4) 3+4 ; 2 +00 ; 3+2 ;2+5 ; 5+"' ; 3 + 0 ; 5 +ce :3+00 ;
0
O+oo} = 6 0+5} ~ 5 2+1 ;0+7} = 2+fr,0+2} == 3 = 2
min{6+0 ; 5+10 min{6 +00;5 + 0; min {6+ a: ; min{6+8 ;.\1
-
.-
-m:"~ 0, situa~a eceasta nu are ruci 0 semn.ificatie speeialil,
intrueat intoat~ vaIoriJe arceJor sunt nurnere pozitiveSA
detenninAm acum CODcret arce!e care compUD dnunuJ minim de Ja a
Ia
eceasta, vom urmAn provenienra valoru m~31 :::: 6.Avem:
m~:IJ :; m~"1 == mini.m(7 + 0,5+ I ; 3+4 ; 2 + 00; 0 +00) ==I ~
p (a ; b)~ 5+1 , UDde :
