CAP 9.1 y 9.2 REV 3.pdf

DINÁMICA DEL

FLUJO COMPRESIBLE

J. SIFUENTES S. 2015

CONTENIDO

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9.0 Introducción 1

9.1 Consideraciones termodinámicas. 2

9.2 Conceptos introductorios al flujo compresible 7

9.2.1 Velocidad del sonido 7 9.2.2 Número de Mach 11 9.2.3 Cono de Mach 9.2.4 Condiciones de estancamiento 17 9.2.5 Condiciones críticas 25 9.2.6 Estados de referencia. 26

9.3 Flujo con área variable 35

9.3.1 Flujo adiabático irreversible 36 9.3.2 Flujo isentrópico unidimensional 43

9.3.2.1. Flujo másico máximo 45 9.3.2.2. Efecto de la variación de área en los flujos subsónicos y supersónicos 50

9.3.3 La función impulso 51 9.3.4 Flujo real en toberas y difusores. 52

9.3.4.1. Tobera 52

9.3.4.2. Difusor. 54

9.4 La onda de choque Normal 60

9.4.1 Línea de Fanno y línea de Rayleigh 61 9.4.2 Relación de propiedades 63 9.4.3 Intensidad de una onda de choque. 68

9.5 Funcionamiento de la tobera 69

9.5.1 Tobera convergente. Tobera subsónica 69 9.5.2 Tobera convergente-divergente

Tobera supersónica. 75

9.6 Flujo Fanno 100

9.6.1 Condiciones y limitaciones 100

9.6.2 Ecuaciones de partida 100

9.6.3 Relación entre propiedades 101

9.6.3.1 Variación del número de Mach con la longitud 101

9.6.3.2 Otras relaciones y estado referencial 103

9.6.4 Gráficos h-s y h-v 106

9.6.5 Cálculo de un Flujo Fanno 107

9.6.6 Solución mediante Tablas. 108

9.7 Flujo Rayleigh 108

9.7.1 Condiciones y limitaciones 108

9.7.2 Ecuaciones de partida 108

9.7.3 Variación de las propiedades 109

9.7.3.1 Razón de presiones

9.7.3.2 Razón de Temperaturas

9.7.3.3 Razón de densidades y velocidades.

9.7.3.4 Relación de entropías.

9.7.3.5 Variación con Mach.

9.7.4 Curva Rayleigh en el plano h-s ó T-s 111

9.7.5 Calculo del calor máximo. 112

9.8 Flujo unidimensional generalizado. PROBLEMAS RESUELTOS 114 PROBLEMAS PROPUESTOS 125 APLICACIONES

Cuando la velocidad de un fluido en movimiento resulta del mismo orden o mayor que la velocidad del sonido aparecen algunos efectos, muy importantes, debido a la compresibilidad del fluido. Las variaciones de densidad se hacen importantes y el flujo se denomina flujo compresible.

En líquidos, para obtener velocidades altas se requiere presiones elevadas

del orden de las 1000 bar. Sin embargo, en gases basta una relación de presiones de 2 a 1 para obtener un flujo compresible a alta velocidad, por esto la dinámica del flujo a alta velocidad es denominada generalmente Dinámica de Gases. Es importante señalar que los números de Reynolds que intervienen son muy grandes.

Gases, vapores y líquidos son todos fluidos y comúnmente se considera que los gases y vapores son compresibles y que los líquidos son incompresibles. Esto no es absolutamente cierto, por ejemplo en los ventiladores se considera que el aire no varía su densidad y por lo tanto se considera incompresible en los cálculos.

Un flujo compresible se define como un flujo en el que la variación de la densidad del fluido, influye en el proceso involucrado de manera apreciable.

Para el caso de una sustancia simple compresible, el valor de la densidad queda completamente determinada al fijar dos propiedades intrínsecas independientes, por ejemplo la presión y temperatura, con lo que:

f ( p, T, ) = 0; ecuación de estado

En principio, los cálculos de flujos compresibles se pueden llevar a cabo con cualquier ecuación de estado; siendo el caso más sencillo de sustancia simple el GAS PERFECTO, definido como aquél cuya ecuación de estado está dada por:

RT

p

Constante particular del gas

pR

T

Flujo compresible

9-2

9.1 CONSIDERACIONES TERMODINAMICAS Fig. 9.1. Relación entre calor trabajo y energía El sistema es arbitrario, puede moverse y deformarse sin restricción alguna, pero cuya masa no puede transferirse a través del contorno.

Q – W =E = (EC + EP + U) 2 - (EC + EP + U) 1 ó dQ - dW = dE Si el movimiento del sistema es pequeño, puede suponerse que la energía almacenada (E) es enteramente debida a la energía interna (U). Además si el trabajo W es trabajo de expansión o contracción, la ley de conservación de la energía para éste sistema es:

Q - m p.d = U2 - U1

ó dQ - p. dv = du [9.01] En muchos problemas los términos “u” y “p” aparece como una suma, la cual es denominada entalpía h: h = u + p v y dh = du + p. dv + v. dp Luego dQ - dh = v dp [9.02]

SEGUNDA LEY DE LA TERMODINAMICA

Para un proceso internamente reversible, el cambio de entropía de una sustancia que entrega o recibe calor, se define por:

dS = T

dQ [9.03]

U Q (+)

W (+)

Mecánica de fluidos 9-3

EL GAS PERFECTO Para muchos problemas en dinámica de gases, la consideración del gas perfecto da resultados bastantes aceptables para los gases reales. Ecuación de estado

p = p / = R T [9.04]

Donde la constante particular del gas, R, está dada por la relación de la constante universal de los gases R y el peso molecular de cada gas M, así: R = R / M; siendo R = 8 314 J / Kmol [49.720 Lbf – ft / (Lbmol - ºR)] Para aire: M = 28,97. R aire = 287,13 m 2 /( s 2 - K) = 1716 ft 2 /( s 2 - ºR) [53,34 Lbf – ft / Lbm - ºR]

Cambio de energía interna y entalpía

Como: u = u ( v, T ); sustancia pura.

du = dTT

udV

V

u

VT

Para el gas perfecto o gas ideal, se demuestra que la energía interna no depende de la densidad, únicamente es función de la temperatura, es decir:

V

uT

= 0; luego :

du = dTCvdTT

u

V

y el cambio de energía interna entre los estados 1 y 2:

u2 –u1 =

2

1

T

T

Cv dT [9.05]

De la definición de entalpía, h = u + p v, resulta que h es únicamente función de

la temperatura para un gas ideal; es decir: ( h / p ) T = 0 Como: h = h(p, T); sustancia pura :

dh =

p

h

T dp +

T

h

p dT

Para gas ideal: dh =

T

h

p dT = Cp dT

y h2 – h1= 2

1

T

T

dT.Cp

[9.06]

Flujo compresible

9-4

Relación de calores específicos

Cuando una sustancia obedece la ley del gas ideal, existe una relación entre Cp, Cv y R.

Cp = .dh d du d

u pV R T Cv RdT dT dT dT

Cp - Cv = R; constante particular de gas. [9.07] La relación de los calores específicos k, juega un rol importante en el proceso isentrópico. K está definido por:

k = Cp / Cv [9.08] Combinando algebraicamente, las ecuaciones [9.07] y [9.08]:

1 1

k R RCp Cv

k k

Para un modelo molecular simple, la teoría cinética de los gases, demuestra que:

k = n

n 2 donde n es el grado de libertad de la molécula

Para un gas monoatómico, k = 5 / 3; diatómicos, k = 7 / 5; triatómicos, k = 4/3. Moléculas extremadamente complejas, como el freón, poseen un valor grande de n, dando lugar a un valor de k cercano a la unidad. Para los gases más comunes k decrece lentamente con la temperatura y vale entre 1,0 y 1,7. Para el aire, cp aumenta un 30 % cuando la temperatura pasa de 0 ºF a 5000 ºF. Calores específicos constantes

La consideración de Cp y Cv constantes, constituye también parte de la definición del gas ideal. Esta consideración no es buena aproximación a los gases reales, como si lo es la ecuación de estado. A veces se menciona “gas semi-ideal”, definido como aquél en el cual se verifica: p v = RT, pero con calores específicos variables con la temperatura. Considerando gas ideal: Cp y Cv constantes:

u2 – u1 = Cv (T2 - T1) h2 - h1 = Cp (T2 - T1)

Para el aire: Cp = 1004,5 m 2 /( s 2 - K) = 6009 ft 2 /( s 2 - º R).


La siguiente tabla muestra valores experimentales de k para varios gases

comunes.

GASFÓRMULA

QUÍMICA

MASA

MOLECULAR

R

kJ/kg-K

Cp

kJ/kg-K

Cv

kJ/kg-KK p*/po

PCS

[Kcal/kg]

PCI

[Kcal/kg]

PCS

[KJ/kg]

PCI

[KJ/kg]

Acetylene C2H2 26,038 0,31930 1,6986 1,3793 1,231 0,55842

Air 28,970 0,28713 1,0035 0,7165 1,401 0,52819

Ammonia NH3 17,031 0,48819 2,13 1,6418 1,297 0,54621

Argon Ar 39,948 0,20813 0,5203 0,3122 1,667 0,48715

Butane C4H10 58,124 0,14304 1,7164 1,5734 1,091 0,58660 13046 12029 54621 50363

Carbon dioxide CO2 44,010 0,18892 0,8418 0,6529 1,289 0,54766

Carbon monoxide CO 28,010 0,29683 1,0413 0,7445 1,399 0,52851

Ethane C2H6 30,070 0,27656 1,7662 1,4897 1,186 0,56729 13262 21106 55525 88367

Ethanol C2H5OH 46,069 0,18048 1,427 1,246 1,145 0,57534

Ethylene C2H4 28,054 0,29637 1,5482 1,2518 1,237 0,55742

Helium He 4,003 2,07703 5,1926 3,1156 1,667 0,48714

Hidrogen H2 2,016 4,12418 14,2091 10,0849 1,409 0,52678 35824 30186 149988 126383

Methane CH4 16,040 0,51835 2,2537 1,7354 1,299 0,54597 14050 12635 58825 52900

Methanol CH3OH 32,042 0,25948 1,405 1,1455 1,227 0,55936

Neon Ne 20,183 0,41195 1,0299 0,6179 1,667 0,48712

Nitrogen N2 28,013 0,29680 1,0416 0,7448 1,398 0,52854 0 0

Nitrous oxide N2O 44,013 0,18891 0,8793 0,6904 1,274 0,55054

n-octane C8H18 114,230 0,07279 1,7113 1,6385 1,044 0,59661

Oxygen O2 31,999 0,25983 0,9216 0,6618 1,393 0,52954

Propane C3H8 44,097 0,18855 1,6794 1,4909 1,126 0,57919 13061 12004 54684 50258

Steam H2O 18,015 0,46152 1,8723 1,4108 1,327 0,54087

Sulfur dioxide SO2 64,059 0,12979 0,6236 0,4938 1,263 0,55253

Sulfur trioxide SO3 80,058 0,10386 0,6346 0,5307 1,196 0,56530

GLP (60 P-40 B) 49,708 0,170346 1,694 1,524 1,112 0,58213 13055 12014 54659 50300

GLP (85 P-15 B) 46,201 0,181724 1,685 1,503 1,121 0,58030 13059 12008 54674 50274

GN (95M-5 E) 16,742 0,506261 2,229 1,723 1,2930 0,54699 14011 13059 58660 54674

Fuente:

PROPIEDADES DE VARIOS GASES IDEALES A PRESIÓN DE 101,325 kPa y TEMPERATURA DE 300 K (UNIDADES SI)

1

0

* 2( )

1

k

kp

p k

Cp Cv R CpK

Cv

Flujo compresible

9-6

Cambio de entropía

De [9.03]: dS = T

dQ

De las ecuaciones [9.02], [9.03], se obtiene: dQ = T ds = du + p dv

dQ = T ds = dh - v dp Aplicable a todo caso.

i) Luego: ds = T

du+

T

p dv

con p v = RT → p / T = R / v

ds = Cv T

dT+ R

v

vd

Integrando: S2 – S1 = Cv Ln 1

2

T

T + R Ln

1

2

v

v

Con Cv = R / (K –1); se obtiene:

S2 – S1 =

1k

V11 v

v

T

TLnC

22

1kvC

SS

1

2

1

12

v

v

T

T2e

12

v2

11

v1

21

k

TvC

S

ek

TvC

S

e

teconsk

TvCS

e tan1

v

[ 9.09 ]

Utilizando las ecuaciones de estado p V = RT, puede eliminarse V o T de la ecuación [9.09].

(i) Eliminando V

1

1

212

2/

2/

2

2

k

T

TLn

VCSS

pTR

pTR

se obtienen:

)1(

121

2

1

2 .

kk

p

p

T

TLnVCSS


)1(12

1

2

1

2 .

kkvC

SS

p

p

T

Te

teConsk

pkTCvSe tan)1(/

[ 9.10 ]

(ii) Eliminando T, se obtienen:

k

p

pLn

VC

k

p

pLn

VCSS

1

2

1

2

1

2

1

2 .v

v.12

kk pCvSepCvSe /v // = Constante [ 9.11 ]

Cualquiera de las ecuaciones anteriores puede utilizarse para el cálculo de S.

Proceso isentrópico El proceso isentrópico es el caso límite de un proceso real; y se caracteriza por el hecho de que sus transformaciones de energía son perfectas y libres de pérdidas. Se trata, pues, de un proceso ideal, que sirve como punto de referencia al estudiar y comprobar la calidad y eficiencia de las máquinas, motores e instalaciones reales. En éste caso S1 = S2 = S = Constante, y de las ecuaciones anteriores, se obtiene:

1kvT = Constante

)1(/ kkT p Constante

p v k = p / k = Constante

o para las secciones (1) y (2):

1

1

2

1

1

2

1

2

kk

k

p

p

T

T

En un flujo isentrópico, el cambio de entalpía es importante.

h =

11)(

1

1

21

1

211212

k

k

p

pTCp

T

TTCpTTCphh [ 9.12 ]

Flujo compresible

9-8

EJEMPLO 9.01: Un flujo de Argón (k = 1,67 ; R = 208 J/ kg-K ) circula por un

tubo de modo que pasa de unas condiciones iniciales, 1 = 18,62 kg / m3 p1 =1723 kPa a otras condiciones finales de p2 = 207 kPa y T2 = 129°C. Determinar la temperatura inicial, densidad final, variación de entalpía, variación de energía interna y la variación de entropía. SOLUCION Aplicando la ecuación del gas ideal; = p / R T:

Estado 1: 1

33

TxKkg/J208

Pa10x1723m/kg62,18

T1 = 445 k

Estado 2: 33

m/kg4756,2402x208

10x207

La variación de entalpía: h = Cp (T2 – T1)

Cp =

67,0

20867,1

1k

kR

= 518 J / kg-k

Cv = 1k

R =

67,0208 = 310 J / kg - k

h = 518 x (402 - 445) = - 22 274 J / kg-k

La variación de energía interna: u = Cv (T2 – T1)

u = 310 (402-445) = - 13 330 J / kg-k

La variación de entropía: S = Cp Ln (T2 / T1) - R Ln ( p2 / p1 )

S = 518 Ln (402 / 445) - 208 Ln ( 207 / 1723 ) = 388 J / kg-k 9.2 CONCEPTOS INTRODUCTORIOS AL FLUJO COMPRESIBLE 9.2.1 ONDAS ELASTICAS.- VELOCIDAD DEL SONIDO 12.4 ONDAS

ELÁSTICAS Masey

Si se altera la presión en un punto de un fluido, también se altera la densidad -aunque sólo sea en forma leve- y en consecuencia las partículas individuales sufren pequeños cambios de posición. Para mantener un medio continuo, las partículas adyacentes deben cambiar de posición también, y así, la nueva presión se transmite en forma progresiva, pero rápida, a través del resto del fluido. Es indudable que en un fluido completamente incompresible, cualesquier perturbación se propagarían con velocidad infinita, ya que todas las partículas tendrían que cambiar de posición simultáneamente. Aun en un fluido real, los cambios de presión se transmiten con tanta rapidez que con frecuencia se puede considerar despreciable el tiempo necesario para que éstos se


extiendan a través del fluido, en comparación con el tiempo necesario para el cambio original. Así, en los capítulos anteriores de este libro se ha supuesto que los ajustes de presión ocurren en forma simultánea a través del fluido. Pero si se altera en forma súbita la presión en un punto, o el fluido se mueve con velocidad alta en relación con un cuerpo sólido, entonces adquiere gran importancia la velocidad exacta con la cual se transmiten los cambios de presión. Esta velocidad se determina por la relación entre los cambios de presión y los cambios de densidad, es decir, por las propiedades elásticas del fluido. Considérese un instante después de que, en algún punto de un fluido, se ha producido un cambio de presión. Este cambio puede haber sido el resultado del movimiento de un cuerpo sólido, tal como un émbolo, de la ruptura de una membrana delgada a través de la cual haya existido una diferencia de presión, o de una descarga eléctrica como la de un rayo. No todo el fluido ha experimentado ya el cambio de presión y, por tanto, a cierta distancia del lugar en el que se originó el cambio, existe una discontinuidad de presión más o menos abrupta, que conoce como una onda de presión: adelante de ésta se encuentra aún la presión original p; detrás de la misma se encuentra la nueva presión

p + p. Una onda producida por el movimiento de un émbolo plano, dentro de un ducto de sección transversal constante, y en ausencia de fricción, permanecería por completo plana, pero aun si la onda se extiende como una superficie esférica y en forma radial hacia afuera en todas direcciones, se puede considerar plana una parte de la misma lo suficientemente pequeña. La siguiente figura muestra una parte W de la onda, lo bastante pequeña para que se le pueda considerar plana. La onda se propaga entonces hacia la derecha con una velocidad u.

Presión p + p p p + p p

Velocidad V + V V V – u + V V - u

Densidad + +

W u W estacionaria

Fig. 9.02 Propagación de un pulso de presión infinitesimal

La existencia de la diferencia de presión p a través de la onda, indica que sobre la capa de fluido inmediatamente al frente de ésta actúa una fuerza no equilibrada y que dicha capa está siendo acelerada. Al ir avanzando la onda, se aceleran otras capas en forma similar. Pero una vez que se ha establecido el aumento total de presión, ya no ocurre aceleración adicional del fluido. Así, la componente de la velocidad del fluido, perpendicular a la onda, cambia de V (la cual puede ser positiva, negativa o cero) hasta

V + V.

Como la velocidad del fluido en un punto cambia cuando la onda pasa por ese punto, el flujo no es permanente y por ello no se puede analizar por medio de las ecuaciones desarrolladas para el flujo permanente. Sin embargo, desde un sistema de ejes de coordenadas que se moviera con velocidad u, la onda permanecería estacionaria. y las velocidades medidas con respecto a esos ejes, no cambiarían con el tiempo. Así, la figura de la derecha muestra la situación según se vería por un observador que se moviera con los nuevos ejes, es decir, como un flujo permanente.

Flujo compresible

9-10

Ecuación de continuidad: El principio de continuidad requiere que a través

de un área ∆A de la onda

( + ) (V - u + V) ∆A = (V – u ) ∆A

V – u + V + V – u + V = V - u

V + V – u + V = 0

( +) V + (v – u ) = 0

se obtiene: ( u – V ) = ( + ) V [a] Ecuación de momentum: En vista del poco espesor de la onda, se pueden

despreciar los efectos de la fricción. Entonces, para un volumen de control que encierre al área ∆A de la onda, la ecuación del momentum da:

Fuerza hacia la derecha = régimen de aumento de momentum hacia la derecha

( p + p ) ∆A – p ∆A = ( V - u ) ∆A ( V - u ) – ( V - u ) ∆A ( V – u + V )

de donde : p = ( u - V ) V [b]

La eliminación de V de las ecuaciones [a] y [b], da:

2 p

u V

Ahora, para una onda de presión débil, los cambios en la densidad, la presión y la temperatura son

excesivamente pequeños. No sólo es despreciable la fricción resultante de tan pequeño cambio de

velocidad, sino que la extrema pequeñez de las diferencias de temperatura junto con la rapidez de

propagación indica que la transferencia de calor a través de la onda es también en extremo pequeña. En

consecuencia, el paso de la onda es un proceso que se puede considerar, con una aproximación muy cercana,

tanto adiabático, como sin fricción. Para una onda de presión débil: p 0 y 0, la ecuación anterior se vuelve:

(u – V ) 2 = c2 = ( p / ) S [ 9.13 ]

Velocidad de la onda de presión en líquido

Se puede observar de paso que, para un fluido por completo incompresible = 0 cualquiera

que sea el valor de p y, por lo tanto, c será infinita, es decir, los cambios de presión se transmitirán a través del fluido en forma instantánea. Para cualquier fluido, el módulo volumétrico

de elasticidad E, se define por E = p / con lo que:

c = /E [ 9.14 ]

Para el agua E = 22 x 10 8 Pa, = 1 000 kg / m3; c = 1 483 m / s.


Velocidad de la onda de presión en un gas ideal

El miembro izquierdo de la ecuación [13], representa la velocidad de la onda de presión con respecto al fluido adelante de la misma, se propaga un pequeño cambio de presión a una velocidad u – V = c, conocida como la velocidad del sonido; y como el proceso es isentrópico, y se puede escribir:

; c2 = ( p / ) S = dp / d

Para un gas ideal, la relación entre la presión y la densidad en un proceso

isentrópico está dada por: p / k = constante

Ln p – k Ln = 0

dp / p – k d / = 0

↳ dp / d = k p /

En [ 9.13 ] : /pkc

De la ecuación de estado: p / = RT

TRkc [ 9.15 ]

El sonido se propaga por medio de una sucesión de ondas de presión muy pequeñas en las cuales p es

alternativamente positiva y negativa. (El sonido más tenue que el oído humano puede detectar sin ayuda,

corresponde a una fluctuación de presión de cerca de 3 X 10 -5

Pa; el sonido más fuerte que se puede tolerar

sin sufrir dolor físico, corresponde a una fluctuación de cerca de 100 Pa.) La velocidad representada por las

Ecs. 9.13 a 9.15, se conoce como la velocidad del sonido, o velocidad sónica, o velocidad acústica en el

gas. Ya que esta velocidad es una función de la temperatura, en general varía de punto a punto del fluido.

La validez de las suposiciones hechas para derivar las expresiones, se comprueba por la excelente

concordancia encontrada en las determinaciones experimentales de la velocidad del sonido. Para un aire

de humedad moderada con k = 1,4 y R = 287 J/(kg - K):

c = 20,045 T m / s. [ 9.16 ]

Para T = 15ºC T = 288 K c = 340 m / s La velocidad del sonido es apreciablemente menor en las grandes alturas, debido a la baja temperatura ahí

existente. Es importante notar que las expresiones precedentes se refieren sólo a ondas en las cuales el

cambio de presión es muy pequeño en comparación con la propia presión. Posteriormente se estudiarán las

ondas en las cuales ocurren cambios de presión comparativamente grandes. La suposición de la entropía

constante no se justifica para estas ondas más grandes, y éstas se mueven a velocidades mayores que la del

sonido.

EJEMPLO 9.02: A través de un pequeño pulso de compresión dado, la presión se eleva a 0,689 kPa. Determinar la velocidad del aire que sigue a este pulso, si su movimiento se realiza en aire a p = 101,3 kPa y T = 20°C

Flujo compresible

9-12

SOLUCION

Ecuación de continuidad: AdVc )(dAc

/dcdV (1)

Ecuación de impulso: VdcAcpdpAcpA 2

Vdcpd (2)

De la ecuación de estado: = p / RT

33

m/kg2046,1293x287

10x3,101p

La velocidad del sonido: c = 20,045 293 = 343,115 m / s

Reemplazando valores en (2):

0,689 x 10 3 Pa = 1,2046 kg/m3 x 343,12 m / s dV

dV = 1,667 m / s La velocidad que sigue al pulso de presión:

V = c – dV = 343,115 – 1,667 = 341,45 m / s.

EJEMPLO 9.03: Calcular la velocidad del sonido en monóxido de carbono a las condiciones absolutas de p =200 kPa. y T = 300°C Calcule la velocidad del sonido del monóxido de carbono a las condiciones de presión absoluta igual a 200 kPa y 300°C. SOLUCION Para el monóxido de carbono se tiene: k = 1,4; M = 28,01 kg / kmol

y kmolkg

kkmolJ

MR

R

/01,28

/8314 = 297 J / kg-k

Luego, la velocidad del sonido: c = kRT = 488 m / s

Comparando con la velocidad del sonido en aire a 101,3 kPa y 15°C

smxxc /17,3402882874,1

Se observa que es mayor en aproximadamente 1,43 veces.


EJEMPLO 9.04: Demostrar que para un gas perfecto la variación de presión a través de un pequeño pulso de presión está dada por:

dp

pk

dV

c

y que la variación de temperatura absoluta está dada por:

c

dVk

T

Td)1(

SOLUCION Al aplicar la ecuación de continuidad y momentum, al volumen de control de la figura 9.02, se obtienen los siguientes resultados:

dcdV ; continuidad

c

dpdV

, momentum

De la ecuación de momentum : c

dVcdVcdp 2

de la ecuación (15), para un gas ideal : c2 = k p

luego: c

dVpkdp

c

dVk

p

dp ........1..

El movimiento de un pulso de presión, es próximo a un proceso isentrópico :

p/k = constante

Ln p – k Ln = Ln c

0

dk

p

dp .......

dk

p

dp ...2..

de la ecuación de estado: p = RT

Ln p = Ln + Ln R + Ln T

T

dTd

p

dp 0

......

T

dT

p

dpd

3

reemplazando (3) en (2): p

dp

k

k

T

dT 1

introduciendo la ecuación (1), se obtiene: c

dVk

T

Td)1( 4

Flujo compresible

9-14

9.2.2 NÚMERO DE MACH

Es útil expresar la velocidad del fluido en términos de la velocidad sónica. La relación (velocidad del fluido local ) / (velocidad sónica local ) se conoce como el número de Mach. Las velocidades del fluido menores que la velocidad sónica, se conocen como subsónicas (M < l), aquellas mayores que la velocidad sónica se conocen corno supersónicas (M > l). Para un fluido por completo incompresible, c valdría infinito y, por tanto, M siempre valdría cero

V Velocidad del flujolocalM

C Velocidad del sonido local [ 9.17 ]

TRK

VM ; para un gas ideal

El número de Cauchy, se define: E

VaC

2

Al flujo compresible se le clasifica según su número de Mach en:

Flujo subsónico 0,0 0,4 :

0,4 1,0 :

M Incompresible

M Compresible

Flujo Sónico :

Transónico:0,1M

Sónico:0,1M

Flujo Supersónico:

oHipersónic:0,5M

ersónicosup:0,5M0,1

9.2.3 CONO DE MACH. LINEAS DE MACH (1) : Considerando que, en algún punto p de un fluido estacionario se produce

una perturbación pequeña e instantánea, el frente se propagará esféricamente con la velocidad del sonido.

(1) Estacionario V = 0 (2) Flujo subsónico. V < C Fig. 9.03 :


(2) : Si la perturbación se produce en un fluido que se mueve de izquierda a

derecha a una velocidad V < C y observando el frente de una onda desde una posición en reposo, en sucesivos intervalos de tiempo, ya no se tendrá esferas concéntricas; debido a que la propagación se desplaza esféricamente respecto del fluido a una velocidad V aguas abajo. Queda claro que, como V < C, las esferas no se pueden cortar nunca

(3) Flujo sónico V = C (4) Flujo supersónico V > C

Fig. 9.04 (3) Cuando V = C, flujo sónico, los frentes de onda emergen, para formar un

frente plano y el fluido que está delante, de este frente, no recibe ningún efecto del movimiento.

(4) Considerando que el fluido V > C, que es el caso de un flujo supersónico,

el frente de onda de una perturbación se observa a intervalos sucesivos, como se indica en la figura. El centro para trazar las esferas, se mueve aguas abajo más rápido que la velocidad del sonido, la cual se propaga radialmente en relación a la corriente; y se observa que las esferas forman una superficie tangencial cónica que se denomina cono de Mach.

Por consideraciones geométricas:

C .Δt C 1 1

Sen α= = = =V .Δt V V/C M

ángulo de Mach = arc sen ( 1 / M ) [ 9.17 ] EJEMPLO 9.05: Un cierto avión vuela con el mismo número de Mach independiente de su altura de vuelo. Un estudiante razona lo siguiente : Dado que el vuelo lo realiza con número de Mach constante , (independiente de su altitud), resulta que para cubrir una distancia horizontal de 1500 km empleará el mismo tiempo volando a una altitud de 10 km o volando a una altitud de 1 km.

Flujo compresible

9-16

a. ¿Es correcto el razonamiento?. b. Si la respuesta a la pregunta anterior es negativa, ¿Volando a que altitud

el avión empleará un menor tiempo en cubrir la distancia horizontal de 1500 km?.

c. Cuando está a 10 km. de altitud en una atmósfera ISA, se sabe que vuela a una velocidad que es 100 km / h inferior a su velocidad de vuelo a una altitud de 1 km. sobre el nivel del mar. Calcular el número de Mach y la velocidad de vuelo a la altitud de 1 km. y 10 km.

SOLUCIÓN: T2 = T1 - L (z2 – z1 )

░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░

Para emplear el mismo tiempo t en cubrir la distancia d, se requiere que tengan

la misma velocidad V: d = V x t. Es decir V2 = V1 .

En M = V / C, la velocidad del sonido C, es función de la temperatura y como

T2 es menor que T1 C2 < C1.

Para que se verifique la ecuación: M = 1

1

2

2

C

V

C

V , debe ser V2 < V1.

Luego: a) El razonamiento es incorrecto. Se ha confundido Mach como velocidad. b) Como V 2 < V1:

volando a una altura de 1 km, el avión empleará menor tiempo en cubrir la distancia de 1 500 km.

c) Cálculo del número de Mach V1 - V2 = 100 km / h = ........................(1)

M =1

1

2

2

C

V

C

V ..............................................(2)

T2 = - 50 ºC

T 1 = 8,5 ºC


De (2): 2

2

21

21

2

21

2

21

2

1

2

1

C

V

CC

VV

C

CC

V

VV

C

C

V

V

Luego : M = s/m)299336(

s/m6,3/100

= 0,751

b.2) Cálculo de las velocidades de vuelo. V = 0,751 x 336 m/s = 252,34 m/s V = 0,751 x 299 m/s = 224,55 m/s EJEMPLO 9.06: Se dispara una bala con velocidad de 820 m / s en sentido opuesto a una corriente de aire cuya temperatura es 20°C y su velocidad de 150 m / s. Calcular:

a. El número de Mach del flujo de aire. b. El número de Mach de la bala si ésta se hubiese disparado en aire

tranquilo. c. El número de Mach de la bala respecto a la corriente de aire.

SOLUCIÓN

a) El número de Mach del aire: Ma = C

Va =

343

150 = 0,437

C = 20,045 293 = 343 m / s

b) El número de Mach de la bala en aire tranquilo:

Mb = C

Vb =

343

820 = 2,39

c) El número de Mach de la bala respecto a la corriente de aire de velocidad

igual a 150 m / s:

Mb = C

VaVb =

343

150820 = 2,83

EJEMPLO 9.07: Una perturbación acústica continua se emite desde un manantial que se mueve a M = 2,5 en atmósfera isoterma a una altitud de 4 km. sobre la superficie terrestre local.

a. Determinar el tiempo que tarda un observador (ubicado en un observatorio a 200 m sobre la superficie), en oír la perturbación a partir del momento en que ésta se encuentra encima del observador y a que distancia horizontal del observador se encuentra.

Flujo compresible

9-18

b. Si el observador se encuentra en el suelo y se mueve en la misma

dirección que la perturbación con velocidad igual a 0,5 la velocidad del sonido: Determinar el tiempo transcurrido entre el instante en que la perturbación está directamente encima y el instante en que el observador oye el sonido.

c. Lo mismo que (b), con el observador moviéndose en dirección contraria al movimiento del manantial. Determine la distancia horizontal a la que se encuentra la perturbación con respecto a la posición original del observador.

Las condiciones del aire atmosférico a nivel del mar: 760 mm Hg, 15,5 °C

El ángulo de Mach: = arc. Sen ( 1 / 2,5 ) = 23,58° La velocidad del sonido = 20,045 15,288 = 340,264 m / s

a) De la figura:

tg = L

hH =

L

3800 L = 8 706 m

sen = L

tC =

8706

340 t t = 10,24 s.

b) El observador se mueve con velocidad: Vo = 0,5 C

tg = tvoVp

H

)( =

tC

H

2

tg 23,58º = tx

m

3402

4000 t = 13,47 segundos.


La distancia horizontal a la que se encuentra la perturbación L = Vp x t = 850,66 x 13,47 = 11,458 km. c) El observador se mueve con velocidad Vo = 0,5 C, en sentido contrario al

movimiento de la perturbación.

tag = tVoVp

H

)( =

tC

H

3 =

tx3403

4000

t = 8,98 s

La distancia horizontal a la que se encuentra la perturbación: L = Vp x t = 850,66 m / s x 8,98 s. = 7 639 m

PROBLEMAS

P1. Suponga que en un ensayo un misil de crucero se mueve horizontalmente a M = 2 en la atmósfera, a una elevación de 305 m por encima de la superficie de la Tierra. ¿Cuánto tiempo tarda un observador sobre el terreno en oír la perturbación, a partir del instante en que el misil se encuentra directamente encima de él? Suponga una atmósfera estándar

P2. Suponga que en el problema anterior un observador en un avión se mueve en

la misma dirección del misil a una velocidad igual a la mitad de la velocidad del sonido y a una elevación de 305 m por encima del misil. ¿Cuánto tiempo pasa entre el instante en que el misil se encuentra directamente por debajo del observador y el instante en que éste oye el sonido? Ignore los cambios de c desde 305 m hasta 610 m de elevación.

Flujo compresible

9-20

9.2.4 CONDICIONES DE ESTANCAMIENTO ISENTRÓPICO Considere el flujo permanente de un fluido cualquiera (gas, vapor de agua,aire) que sale de un depósito grande (reservorio) a través de un tubo de sección recta variable (una tobera) y descarga hacia un ambiente dado.

Si el tubo no es demasiado ancho y el área de su sección recta A varia lentamente a lo largo de su longitud, se puede considerar que todas las magnitudes que caracterizan el flujo serán funciones únicamente de la coordenada a lo largo del eje del tubo; es decir se tendrá un flujo uniforme y unidimensional Se requiere hallar expresiones para evaluar la variación de las propiedades a lo largo del conducto de área variable, así como determinar el flujo másico. AMBIENTE

El fluido se expande y en la sección de área mínima se alcanza M = 1. Esto divide en dos zonas el flujo: subsónico y supersónico. M < 1 M > 1 M = 1

FIG. 9,07 CONDUCTO ADIABÁTICO

p B

B

T B

Ambiente

1 2


Diagrama h - S h,T h,T To To ps ps S S

a. Expansión Isentrópica b. Expansión irreversible

Figura 9.08 Expansión adiabática

En primer término considere que se desarrolla una expansión isentrópica. En la región de la izquierda, en el reservorio, se puede aceptar que la velocidad es pequeña por lo que se puede despreciar su valor.

Por lo general, las condiciones del reservorio se conocen, de manera que las condiciones del flujo en un punto cualquiera del conducto pueden expresarse en función de éstas condiciones de reservorio. Ecuaciones fundamentales:

Las ecuaciones de continuidad, impulso, energía y ecuación de estado deben ser resueltas simultáneamente para obtener las cuatros incógnitas:

presión p, temperatura T, densidad y velocidad del flujo V, en una sección cualquiera del conducto.

Continuidad :

.m = 1 V1 A1 = 2 V2 A2 = Constante

m = ρ V A= constante

G = .

m / A = V caudal en masa por unidad de área, flujo

másico por unidad de área o gasto másico

Impulso: F = ( p1 A1 + 1 V1A1 V1 ) – ( p2 A2 + 2 V2 A2 V2 ) F: Fuerza ejercida por la pared del conducto sobre el fluido. E = - F: Empuje del fluido sobre la pared entre las secciones 1 y 2. F = ( p A + V 2 A )

Flujo compresible

9-22

Energía : 21 2

2 21 / 2 / 2ho h V h V

2Vho h constante

2

La ecuación de energía: E1 + Q = E2 + W eje

Ó 21 2

2 21 1 1/ 2 / 2 ejeh V g z h V g z q w

Si a lo largo del conducto no se suministra calor al fluido (o se extrae calor del mismo), y tampoco se realiza trabajo mecánico, se puede poner q = 0 y w eje = 0. Las variaciones de energía potencial, en un gas, son en extremo pequeñas comparadas con los términos de energía cinética y entalpia. Es por ello que no se considera en la Dinámica de Gases.

21 22 2

1 / 2 / 2 tanho h V h V cons te

Esto debe cumplirse para el flujo estacionario adiabático de cualquier fluido compresible. En los gases no perfectos pueden ser necesarias las tablas de vapor o tablas de gases. 2da Ley de la termodinámica : So = S1 = S2 = constante

Gas perfecto : = ( p,T ) p / T = R = constante

h = h ( p, T ) h = h( T ) = Cp T u = u ( p, T ) u = u( T ) = Cv T

de la ecuación de energía: ho = h + V 2 / 2 un aumento de velocidad debe ser acompañado por una disminución de entalpia y viceversa. Si la entalpia tiende a cero, la velocidad alcanza un valor máximo: V

max = √ ho

Si se trata de un gas ideal, h = Cp T, luego: Cp To = Cp. T + V 2 / 2

T

To = 1 +

pC

V

2

2 = 1 +

2

1k

kRT

V 2

T

To = 1 +

2

1k M 2 [ 9.19 ]

donde To es la denominada temperatura de estancamiento y T es la temperatura estática.


En el caso de un flujo adiabático irreversible, se observa que se alcanza la misma entalpía de estancamiento que el flujo isentrópico, siempre que el flujo alcanza la velocidad cero; resultando que la ecuación (9.19) es aplicable al flujo adiabático irreversible y como al flujo adiabático reversible.

Volviendo la atención sobre la ecuación de energía:

Cp.To = Cp. T + V 2 / 2

To = 1k

kR T + V 2 / 2

2

1

oC

k =

1

2

k

C + 2

2V [ 9.20 ]

Ecuación de velocidades En esta ecuación, si el fluido se expande hasta el cero absoluto de temperatura ( c = 0 ) se obtiene la velocidad máxima de expansión adiabática:

Vmáx = 1

2

k Co [ 9.21 ]

Para aire : Vmáx = 2,24 Co

En cualquier punto de un flujo adiabático, si el flujo se frena isentrópicamente hasta una velocidad cero, se alcanzaría la misma entalpía de estancamiento. Por otra parte, si el flujo real no fuese adiabático se alcanzaría con toda probabilidad un valor diferente de la entalpía de estancamiento en cada punto. Sin embargo, en todos los casos, se puede fijar por este medio una entalpía de estancamiento o en su lugar, cualquier otra propiedad de estancamiento en cada punto de cualquier flujo dado.

Se define el estado de estancamiento isentrópico (EEI), como aquel estado en que la velocidad del flujo se hace cero, mediante un proceso de deceleración isentrópico hipotético a partir de un punto determinado de un flujo real cualquiera. h,T po h,T po1 poa po To To p a p 1

S S a. Compresión Isentrópica b. Compresión irreversible

Fig. 9.08 Flujo adiabático

1

k R

k

Flujo compresible

9-24

La relación de presiones y de densidades pueden obtenerse a partir de la ecuación de estado y la ecuación del proceso isentrópico.

tan

tan

o

k

p po Tocons te

T p T

kp po o

cons tep

Ahora

1

kpo po To

p p T

o o

kTo

T

1k

kpo To

p T

1

o

kTo

T

Usando la ecuación (9.19):

1

211

2

k

kpo k

Mp

[ 9.22 ]

21

11

2

o

k

kk

M

[ 9.23 ]

Reagrupándolas en una sola ecuación

11

211

2

kk

k oTo k poM

T p

[ 9.24 ]

Esta ecuación es útil también en el caso de un flujo no isentrópico de un gas perfecto, en que las presiones, temperaturas y densidades locales de estancamiento pueden calcularse empleando los números de Mach, presiones, temperaturas y densidades locales reales.

Uso del Tubo de Pitot en un flujo subsónico :

Se ha deducido ecuaciones para expresar la razón po/p, tanto para flujo compresible como incompresible.

po = p + 1 / 2 V 2 Incompresible

121

12

k

kop kM

p

Compresible


Fig.9.09 relación de temperatura Fig. 9.10 relación de presiones Poniendo ambas expresiones en términos del número de Mach, se puede comparar su comportamiento y determinar las condiciones bajo las cuales el flujo compresible puede tratarse como incompresible.

I) 2

12

12

1222 Mk

RT

V

p

V

p

po

( 1 )

II) La ecuación del flujo compresible, se puede expandir utilizando el

teorema del binomio:

(1+x)n = 1 + n x + !2

)1( 2xnn +

!3

)2)(1( 3xnnn +................................

condición: x2 < 1; acorde con 2

1k M2 < 1

identificando: x = 2

1k M2 ; n =

1k

k

luego :

...............

24

2

41

21

422 MkM

Mk

p

po

22

2

1

21 Vppo

Mk

p

po ..................(2)

Flujo compresible

9-26

Comparando las ecuaciones (1) y (2), el factor se puede interpretar como un factor de corrección por compresibilidad.

42 21 ...............

4 24

k MM

Fig. 9.11

EJEMPLO 9.08: Demostrar que la ecuación de continuidad para un gas perfecto puede escribirse como :

02

1

T

dT

A

dA

M

dM

p

dp

SOLUCION Partiendo de:

teconsTAMpKRTm

teconsAKRTMTR

pAVm

tan/

tan

2/1

Logaritmando: Cte. = Ln p + Ln M + Ln A - ½ Ln T = Cte.

0

2

1

T

dT

A

dA

M

dM

p

dp

Condiciones de estancamiento 9-27

9.2.5 CONDICIONES CRÍTICAS ISENTRÓPICAS

Son las correspondientes al estado que se alcanza cuando partiendo de un estado dado de un flujo cualquiera se llega a la velocidad del flujo local igual a la velocidad del sonido local, mediante un proceso isentrópico. Aún en aquellos casos en que no exista un punto para un flujo dado donde V = C, esta condición hipotética resulta útil como una condición de referencia. Las

propiedades se denotan por un asterisco: V*, C*, *, p*, T*. T T O po po po To To V* 2 / 2 Cp

p* V 2 / 2 Cp

p* 1 T

p p

S S

(a) (b) Fig. 9.11 a. Aceleración o deceleración isentrópica

b. Deceleración adiabática irreversible

De la ecuación ( 9.20 ) : 1k

Co = 1

2

k

C +

2

2V

con V = C, se obtiene : Cok

CV1

2**

[ 9.25 ]

Para el aire : C* = 0,913 Co

A partir de la ecuación ( 9.24 ) :

11

22

11

kk

ko

p

poM

k

T

To

se obtiene : 1

1

**2

1

*

kk

ko

p

pok

T

To

[ 9.26 ]

Para el aire : K = 1.4 : T* =To / 1,2; p* = 0,5283 po; * = 0,6339 .

Combinando (9.24) y (9.26) :

2)1(2

1

*Mk

k

T

T

11

* *

kk

kp

p

[ 9.27 ]

Flujo compresible

9-28

Se define el número de mach crítico como:

***

V

V

C

VM [ 9.28 ]

O sea la velocidad local del flujo referida a la velocidad del sonido crítico.

La relación entre M y M* para un flujo adiabático, se obtiene de la definición de

M* y M.

***

* 22

2

2

2

2

22

T

TM

C

C

C

V

C

VM

De (9.27) : 2)1(2

1

*Mk

k

T

T

Luego : 2

22

2

11

2

1

*

Mk

Mk

M

[ 9.29 ]

2

22

*1

11

*1

2

Mk

k

MkM

[ 9.30 ]

El valor de M* es un índice simple de cuando el flujo es subsónico y cuando es supersónico. Cuando

M < 1 M* < 1

M > 1 M* > 1

M = 1 M* = 1

M = 0 M* = 0

M 1k

1k*M

9.2.6 ESTADOS DE REFERENCIA

El número de Mach tiene la desventaja de depender no únicamente de la velocidad del flujo, sino también del estado del fluido, especialmente de la temperatura, además, para ciertas condiciones puede alcanzar valores muy grandes, inconvenientes para representar las variaciones de propiedades en forma tabular. Estas condiciones llevan a buscar como parámetros de referencia otros valores como el estado de estancamiento y el estado crítico.


11

22

11

kk

ko

p

poM

k

T

To

2

1k

*T

T

k 1k 1

kp ρ

p* ρ*

)1(2/)1(2

2

12

11

1

*

kk

k

Mk

MA

A

2

2

2

11)1(2

1

*M

kkM

Mk

I

I

Estas ecuaciones se pueden graficar o se pueden elaborar tablas.

Fig. 9.12 Funciones para un flujo isentrópico

Flujo compresible

9-30

EJEMPLO 9.09: Un flujo adiabático y permanente de aire, circula a través de

una tubería rectilínea de gran longitud de sección transversal igual a 0,05 m 2.

a la entrada ( sección 1 ) el aire se encuentra a una presión absoluta de 200

KPa y 60º C teniendo una velocidad de 146 m / s. En una sección 2 aguas

abajo, el aire se encuentra a una presión absoluta de 95,6 kPa. Y tiene una

velocidad de 280 m / s. Determinar:

a. El flujo másico de aire y la velocidad máxima de expansión adiabática.

b. Las condiciones de estancamiento en las secciones 1 y 2. po, o, To,

c. Las condiciones críticas en las secciones 1 y 2. p*, *, T*

d. Los cambios de entalpía y entropía

1 2

p1 = 200 kPa p2= 95,6 kPa

T1 = 60ºC A= 0,05 m2 V2 =280 m / s.

V1 = 146 m / s

SOLUCION

a). El flujo másico: 111 AVm

3/0927,2

333/287

000200

1

1

1mkg

KKkgJ

Pa

TR

p

luego skgmsmmkgm /277,1505,0/146/0927,2 23

La velocidad máxima de expansión adiabática:

Cok

máxk

Co

k

CVV

1

2

112

222

smC /366333045,20

smCok

Co

k/57,371

11

366

2

146 222

y smsmk

máxV /86,830/57,3711

2


b) Condiciones de estancamiento en las secciones 1y 2 :

T po1 po2

To 1 p1 T* p2 2 S1 S2 S

La ecuación: 1

1

22

11

kk

ko

p

poM

k

T

To

Es aplicable a la sección 1 y sección 2 :

Sección 1 : T1 = 333 K; p1 = 200 kPa; 1 = 2,0927 kg / m3

KCp

VTTo 61,343

5,10042

2146

3332

21

1

14,1

0927,2

1

14,1

200

1212

14,11

333

61,343

okpoM

To1 = 343,61 K

M1 = 0,399

po1 = 223,206 kPa

o1 = 2,2634 kg / m3

Sección 2 :

To2 = To1 = To = 343,61 K

KTCp

VTTo 61,343

5,10042

2280

22

22

22

T2 = 304,59 K

2 = p2 / RT2 = 95 600 / (287 304,59) = 1,0936 kg / m3

Flujo compresible

9-32

14,1

0936,1

2

14,1

600,95

2222

14,11

59,304

61,343

okpoM

To2 = 343,61 K

M2 = 0,80

po2 = 145,775 kPa

o2 = 1,4782 kg / m3

d) Las condiciones críticas correspondientes a la sección 1 y 2 :

La ecuación 2

1

*

*

k

T

oT1

*

*1

*

*

k

ok

k

p

po

Es aplicable en la sección 1 y 2

Sección 1 : 2

14,1

*1

61,343

T

14,1

*1

2634,24,1

14,1

*1

206,223

p

T1* = 286,34 K C1* = 339,193 m / s

p1* = 117,916 kPa

1 = 1,435 kg / m3

Sección 2 : 2

14,1

*2

61,343

T

14,1

*2

4782,14,1

14,1

*2

775,145

p

T2* = 286,34 K C1* = 339,193 m / s

p2* = 77,010 kPa

2 * = 0,4923 kg / m3

d) Cambio de entalpía : ∆h = h2 - h1 = Cp (T2 – T1 )

∆h = 1,0045 kJ / kg-K ( 304,59 – 333 ) = - 28,538 kJ / kg

cambio de entropía : ∆ S = - R Ln ( po2 / po1 )

∆ S = - 287 J / kg-K Ln ( 145,775 / 223,206 ) = 122,27 J / kg.


EJEMPLO 9.10: Un flujo de aire, con condiciones de remanso de 800 kPa y 100ºC,

se expande isentrópicamente en un conducto de área variable.

K = 1,4R = 287,3

AG

A1A3

A1A2

Aire

po = 800 kPa

To = 100ºC

A1 = 20 cm 2

p1 = kPa

Mach = M1 = MG = M1 =

M2 = M3 =

A2 = 9 cm 2 A3 = 9 cm 2

m = kg / s

A1 = 20 cm 2

p1 = 47 kPa

11

22

11

kk

ko

p

poM

k

T

To

a. Calcule el número de Mach en la sección A1. M1.

b. Calcule el flujo másico en kg/h.

c. ¿Cuál es el valor del número de Mach en la garganta?, M G. ¿Porqué?.

d. En la sección A2 : el flujo ¿es subsónico?. ¿Porqué?

¿Cuál es la velocidad, V2 en m/s?.

e. En la sección A3 : ¿Cuánto vale el número de Mach, M3.?

¿Cuál es la velocidad, V3 en m/s?.

f. En la sección A = 15 cm 2, determine:

El número de Mach M, la presión p en kPa, la temperatura T en °C, la

velocidad V en m/s y el gasto másico G en kg/s)/ m 2.

En la sección A1: El área de 20 cm 2, puede estar al lado izquierdo o derecho de

la sección mínima del conducto.

T1 = 165,957 K. C = 20,045 X ( T1 ) ½ = 258,2865 m/s

M1 = 2,4975 V1 = 645,0867 m/s

1 = 0,98633 kg /m3 m = 12,72537 kg / s

Como el número de Mach es mayor que 1, la sección A1 estará al lado derecho de AG.

1,4 1

1,41,4 1

21

1 1

8373 1,4 11

2

00

47

OMT

Flujo compresible

9-34

En la sección de la garganta AG: El número de Maxh es uno, MG = 1

TG = 310,833 K. C* = 20,045 X ( TG ) ½ = 353,482 m/s

pG = 422,625 kPa V* = 353,482 m/s

= 4,73532 kg /m3 m = . V* . AG AG = 7,60246 cm 2

En la sección A2: En la ecuación siguiente

se asume el valor de M2 y se evalua el valor de A2, que debe ser de 9 cm 2 cuando el

valor de M2 sea el correcto. Con M2 = 0,6001 Determina:

T2 = 347,94 kelvin C2 = 373,99 m/s

V2 = 224,43 m/s

p2 = 627,15 kPa 2 = 6,2776 kg / m3

De: A2 = 9,0323 cm 2 En la sección A3: Idem

Determino: Cálculo:

T3 = 255,93 kelvin C3 = 320,75 m/s

M3 = 1,5124 V3 = 485,08 m/s

p2 = 214,05 kPa

3= 2,9129 kg / m3

De: A3 = 9,006 cm 2

G G

1,4 11,4 1

1,4373 1,4 1 8001

2

O

G G GT p

1,4 11,4 1

1,422

2 2 2

373 1,4 1 8001

2

OMT p

2 2 2m V A

1,4 11,4 1

1,423

3 3 3

373 1,4 1 8001

2

OMT p

3 3 3m V A


MECANICA DE FLUIDOS II MN 217 A, B

PRÁCTICA DIRIGIDA

Ma 21.04.15

P1. La ecuación siguiente se aplica para el cálculo del flujo másico en una sección

cualquiera de un flujo adiabático irreversible:

(I)

2 1

21

1

k

k km R To K p po

A po k po p

a. Trace un gráfico T-S y ubique po, To, pe y A, de la ecuación anterior.

b. Si se aplica la ecuación anterior al estado crítico, ¿se obtiene la siguiente expresión?:

(II)

1

2( 1)2

* 1

k

km To K

A po R k

En el área crítica A*, se tiene: 1

0

2( )

1

k

kp

p k

P2. Para un flujo adiabático reversible a traves de un coducto convegente – divergente

que descarga un flujo supersónico, el flujo masico máximo que se descarga está dado por:

(III)

1

0 0 1maxmax

0 0

2( )

* 1

k

kT Tm k

Gp A p R k

Esta ecuación (III) ¿es equivalente a la siguiente ecuación?

(IV)

( 1)

2( 1)1

1* 2

k

kmaxm To K k

A po R

P3. Indique la velocidad correspondiente:

a. Una tortuga. Una liebre. b. El record mundial en la carrera de 100 metros libres para damas. c. El record mundial en la carrera de 100 metros libres para varones. d. Un automóvil de carrera. e. El tren macho. El tren de mayor velocidad en el mundo. f. FX 35. El Mirage. Un cohete espacial. g. La luz. h. El pensamiento.

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA DEPARTAMENTO ACADÉMICO DE CIENCIAS DE LA INGENIERÍA

Flujo compresible

9-36

P4. Un tanque nodriza de un volumen de 5500 m 3, que contiene gas propano a

condiciones po [kPa] y To [°C], se utiliza para llenar tres tanques idénticos de 1000 m 3

a condiciones p [kPa] y T [K] . El tiempo de llenado de cada tanque ha de ser como máximo t = 10 minutos.

a. Elabore el procedimiento para el diseño del conducto convergente a utilizar para la descarga a los tres tanques.

b. Elabore el diagrama de flujo para determinar el área de salida cuando se utilice un conducto convegergente

c. Repita (a) y (b) para el caso de un conducto convegente – divergente.

P5. Un Un flujo de gases de combustión de gas natural (91,5 % de Metano y 8,5 % de

Etano) ingresan a un conducto convergente divergente y salen a una gran velocidad antes de ingresar a una turbina a gas.

Llene los cuadros siguientes considerando que se desarrolla un proceso adiabático reversible y cuando se considera un proceso irreversible a lo largo del conducto de área variable.

K = 1,4R = 287,3

AG

A1A3

A1A2

Aire

po = 800 kPa

To = 100ºC

A1 = 20 cm 2

p1 = kPa

Mach = M1 = MG = M1 =

M2 = M3 =

A2 = 9 cm 2 A3 = 9 cm 2

m = kg / s

A1 = 20 cm 2

p1 = 47 kPa

11

22

11

kk

ko

p

poM

k

T

To

FLUJO ISENTRÓPICO

FLUJO ADIABÁTICO IRREVERSIBLE

K =

R =

As

Propano

po To


Parámetro

Res

ervo

rio

A1

Izq

uie

rdo

A2

Gar

gan

ta

A3 A1

Der

ech

o

As

Área, cm 2 A

Presión, kPa p

Temperatura, K T

Densidad, kg/m3

Velocidad del sonido, m/s

C

Número de Mach M

Velocidad del flujo, m/s

V

Gasto másico, (kg / m3) / s

G

FLUJO ADIABÁTICO REVERSIBLE FLUJO ISENTRÓPICO

Parámetro

Re

serv

ori

o

A1

Iz

qu

ierd

o

A2

Gar

gan

ta

A3

A1

De

rech

o

As

Área, cm 2 A

Presión, kPa p

Temperatura, K T

Densidad, kg/m3

Velocidad del sonido, m/s

C

Número de Mach M

Velocidad del flujo, m/s

V

Gasto másico, (kg / m3) / s

G

FLUJO ADIABÁTICO IRREVERSIBLE

Ing. Jorge SIFUENTES SANCHO

DOCENTE

Flujo compresible

9-38

MECANICA DE FLUIDOS II MN 217 A, B

PRÁCTICA DIRIGIDA

Ma 28.04.15

P1. 9.015 : Gas (k= 1,3; R= 518,35 J/kg-K) a condiciones de temperatura T= 720 °C y presión pabs = 2,5 bar ingresa a la tobera de una turbina a gas. La tobera a la salida tiene un área de 0,014 m² y una presión pabs = 1 bar. Si el 96% del salto isentrópico se convierte en energía cinética:

a. Trace un diagrama T vs S. b. Calcular: El flujo másico (kg/h). c. Calcular el número de Mach en la salida de la tobera. d. Calcular el salto de entropía que se produce en la tobera.

P2. [12.3] En una planta generadora de energía de ciclo cerrado con turbina de gas, el helio ingresa en la turbina adiabática con una presión p1 = 8 bar y temperatura T1 = 1100 K y sale con una presión p2 = 1 bar y temperatura T2 = 620 K a través de un área de 20 cm 2.

a. Trace un diagrama T vs S.

b. calcule a eficiencia (t ) de la turbina adiabática y

c. El trabajo entregado por la turbina por kilogramo de helio que fluye a

través de ella.

P3. [9.77] Un gas perfecto (no aire) se expande isentropicamente a través de una tobera supersónica con un área de salida que es cinco veces el área de garganta. El número de Mach a la salida es 3,8.

a. ¿Cuál es la relación de calores específicos del gas?.

b. ¿De qué gas puede tratarse.

c. Si po = 300 kPa, ¿Cuál será la presión de salida del gas?.

P4. [9.77] En la figura se muestra la turbina de gas de un turbojet, que está diseñada para que opere a 10 000 m de altura, con una velocidad de v1 = 800 km/h. Un flujo de aire de 40 kg/s entra al difusor con una velocidad v1 y se descarga al compresor con una velocidad que puede despreciarse. En el compresor el aire se comprime adiabáticamente con una relación de presiones

de 4:1. El rendimiento isoentropico del compresor es comp = 0,9.

En la cámara de combustión la temperatura del gas se incrementa hasta T4 =

1100 K, para sufrir luego una expansión adiabática en la turbina. El rendimiento

isoentrópico de la turbina también es s;t = 0; 9. Finalmente los gases pasan por

la tobera para expandirse hasta la presión atmosférica. El rendimiento

isoentrópico de la tobera es s;tob = 0; 93.



Representación esquemática de una turbina de gas:

Bajo las siguientes suposiciones:

- La tobera y el difusor son adiabáticos. - El proceso que se desarrolla en el difusor ocurre de manera reversible. - Son válidas las suposiciones de aire estandar frio. - El proceso de adición de calor en la cámara de combustioón ocurre a

presion constante. - Las condiciones atmosféricas de operacioón son 26,5 kPa y 220 K.

Se solicita: 1. Indicar todos los cambios de estado en un diagrama T-s. 2. Calcular la presion y la temperatura del aire a la descarga del compresor. 3. Determinar la presion y la temperatura de los gases de combustion a la descarga de

la turbina. 4. Determinar la generacion de entropa en el compresor, la turbina y la tobera. 5. Determinar los cambios en la exergía del fuido de trabajo en la cámara, en la turbina

y en la tobera. 6. Determinar la exergía destruida en el compresor, la turbina y la tobera. 7. Calcular la fuerza de empuje y la potencia de propulsión del turborreactor.

Diagramas T-s ciclo.

Ing. Jorge SIFUENTES SANCHO

DOCENTE


Flujo compresible

9-40

P1. a. Diagrama T vs S

ℎ𝑜 = ℎ + 𝑉2

2 𝑇𝑜 = 𝑇 +

𝑉2

2 𝐶𝑝

T k = 1,3

po1 po2 R = 518,35 J/kg-K

To

720 K =

T2

T2s

p2s

S

Expansión adiabática

1 T1

2s

p2 = 1 bar bar

p1 = 2,5 bar

2

t = 0,96


P2. a. Diagrama T vs S

ℎ𝑜 = ℎ + 𝑉2

2 𝑇𝑜 = 𝑇 +

𝑉2

2 𝐶𝑝

T k = 1,67

po1 po2 R = 2077,3 J/kg-K

To

1100 K = =

620 k = T2

T2s

p2s

S

Expansión adiabática

1 T1

2s

p2 = 1 bar bar

p1 = 8 bar

2

t

Flujo compresible

9-42


Revisar

NOTA :

12121

12

2

22

2

221 uuzg

Vpzg

pwq

Veje

Con : h = p / + u 12

21

22

22 zg

Vzg

Vh

teconszgV

h tan2

2

Esta es la forma general de la ecuación para el flujo permanente adiabático en el cual el fluido (gas, líquido o vapor) ni realiza trabajo sobre sus alrededores, ni lo recibe de éstos.

Si el fluido es un gas perfecto : h = Cp T; p / T = constante

teconszgV

TpC tan2

2

teconszgV

Tk

Rktan

21

2

teconszgVp

k

ktan

21

2

Se notará que las suposiciones implícitas en estas ecuaciones, no incluyen la de la ausencia de fricción. Esto se debe a que las ecuaciones incluyen las energías tanto interna como mecánica. La fricción, simplemente implica la conversión de energía de una clase en una cantidad equivalente de energía de otra clase, la que para condiciones adiabáticas permanece en el fluido, con lo que la energía total no cambia.

Para los gases el término gz se considera por lo general despreciable si

se le compara con los demás términos de la ecuación; y también por lo general, los cambios de z son pequeños. (Por supuesto, cuando la densidad es variable,

no se puede usar el concepto de la presión piezométrica p + gz.)

Las ecuaciones se puede reducir entonces a :

teconsVp

k

ktan

21

2

Flujo compresible

9-44

h + 2

1 V 2 = constante

Está claro que en el flujo adiabático permanente, un aumento de velocidad

debe ser acompañado por una disminución de entalpía, y una disminución de velocidad debe ser acompañada por un aumento de entalpía.

Para una línea de corriente dada, la entalpía específica es máxima cuando

la velocidad vale cero (en el punto de estancamiento), y este valor máximo se denomina la entalpía de estancamiento ho . La temperatura de estancamiento To correspondiente para un gas perfecto es ho/cp y, por tanto, se puede escribir la ecuación de la energía :

ho = h + 2

1 V 2 = constante

teconspC

VTTo tan

2

2

Si se hace un intento de medir la temperatura de un gas que fluye, colocando un termómetro o un dispositivo similar en la corriente, la temperatura registrada será mayor que T. la ecuación de la energía muestra que la temperatura de estancamiento excede a T por V2 / 2cp. Para el aire cp = 1005

J/(kg K) y, por lo tanto, el exceso vale 2

22

2010 m

KSV

Así, la temperatura de estancamiento para una corriente de aire, por

ejemplo, 200 m / s, excede de la temperatura “estática” ordinaria en cerca de 20 K, y el cono de la parte anterior de un cohete que viaje a través del aire a, por ejemplo, 2 km / s, ¡debe resistir una elevación de temperatura que se aproxima a 2000 K !. No obstante, aunque en el bulbo del termómetro se alcanzaría la temperatura de estancamiento, en el punto de estancamiento, esa temperatura se elevaría menos en otros puntos sobre el mismo y, por tanto, la temperatura promedio registrada por un termómetro ordinario sería algo menor que la temperatura de estancamiento.

La temperatura estática no se puede medir en forma directa por medio de un instrumento estacionario. (solo se podría medir por medio de un termómetro u otro instrumento que se moviera a la misma velocidad del gas).

Documents

CAP 9.1 y 9.2 REV 3.pdf