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Canguru Brasil 2013 – Nível S - Soluções Problemas de 3 pontos 01. Qual dos números a seguir é o maior?

(A) 2 013 (B) 0 132 (C) 1320 (D) 3201 (E) 20 13 01. Resposta: alternativa C

Temos imediatamente que 20132601320 ; temos ainda 1311 2220482013 e, por fim,

13131366322322 20102102102201102400201 . Logo o maior número é 1320 .

02. O octógono regular da figura tem lados de medida 10. Qual é o raio da circunferência ins-crita no menor octógono regular formado pelas diagonais? (A) 10 (B) 7,5 (C) 5 (D) 2,5 (E) 2 02. Resposta: alternativa C Num octógono regular, de cada lado partem duas diagonais paralelas e perpendiculares a este lado. No octó-gono interior, formado pelos quatro pares desse tipo de diagonal, a distância entre dois lados opostos é a distância entre essas diagonais paralelas, igual à medida do lado do octógono maior, ou seja, 10. Portanto, o

raio da circunferência inscrita no octógono interior é 10

52 .

03. Um prisma tem um total de 2013 faces. Quantas arestas tem esse prisma? (A) 2011 (B) 2013 (C) 4022 (D) 4024 (E) 6033

03. Resposta: alternativa E Se n é o número de arestas de uma base do prisma, então o número total de arestas do prisma é 3n (n para cada base e n para arestas laterais). O número de faces do prisma é 2 + n (duas bases e n paralelogramos formando as faces laterais). Como 2 2013 2011n n , o número de arestas do prisma é 3n = 6 033.

04. Qual é a raiz cúbica do número 333 ?

(A) 33 (B)33 13 (C)

323 (D)233 (E)

3

3

04. Resposta: alternativa D

3

3 3 3 1 2

1 133 3 3 3 3 33 33 3 3 3 3


05. O ano 2013 tem seu número formado por 4 algarismos consecutivos: 0, 1, 2 e 3. Antes disso houve anos com esta mesma propriedade. Quantos anos se passaram desde a última vez que um ano foi formado por 4 algarismos consecutivos? (A) 467 (B) 527 (C) 581 (D) 693 (E) 990 05. Resposta: alternativa C O ano 2013 é o primeiro do milênio com quatro algarismos consecutivos. O ano anterior com algarismos consecutivos é do milênio anterior, ou seja, começa com 1. Como deve ser o maior, escolhemos então os algarismos 2, 3 e 4 e o maior número formado por eles é 432. Assim o ano com a propriedade é 1432, de

modo que se passaram 2013 1432 581 anos.

06. Seja f a função linear para a qual 2013 2001 100f f . Qual é o valor de 2031 2013f f ?

(A) 75 (B) 100 (C) 120 (D) 150 (E) 180


Temos axxf , logo 3

25100121002001201310020012013 aaaaff .

Portanto, 1503

25182013203120132031 aff .

07. Seja x um número real tal que 2 3x . Quantas das desigualdades a seguir se verificam?

24 9x 4 2 9x 6 3 9x 20 2 3x x (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (E) 4 07. Resposta: alternativa E Podemos concluir a partir da desigualdade inicial que:

(1) 962432222 xx (2) 93633323 xx A partir destas duas, podemos concluir que:

(3) 932432)2(

2

)1( xxxxxxx

Deste modo, as três primeiras desigualdades são verdadeiras. Temos ainda

(4) 32032inicial

22 xxxxxx

E a quarta desigualdade também é verdadeira.


08. Seis super-heróis capturam 20 bandidos, sendo que para cada bandido, é necessário apenas um super-herói para capturá-lo. O primeiro super-herói captura um bandido, o segundo captura dois bandidos e o ter-ceiro captura três. O quarto super-herói captura mais bandidos que qualquer um dos outros cinco. Pelo me-nos quantos bandidos o quarto super-herói deve ter capturado? (A) 7 (B) 6 (C) 5 (D) 4 (E) 3 08. Resposta: alternativa B Se o quarto super-herói captura n bandidos, então o quinto e o sexto super-heróis capturam no máximo

1n bandidos cada. Assim, 62011321 nnnn . 09. Vê-se dentro de um cubo uma pirâmide opaca ABCDS, de base ABCD e cujo vértice S é o ponto médio de uma das arestas do cubo. Olha-se para a pirâmide de cima, de baixo, de trás, de frente, da esquerda e da direita. Qual das formas a seguir não irá aparecer nessas observações?

(A) (B) (C) (D) (E) 09. Resposta: alternativa E A seguir temos as representações das 6 vistas da pirâmide:

Apenas a alternativa (E) não corresponde a uma das vistas obtidas.

10. Quando uma dada substância sólida derrete, seu volume cresce de 1

12. De quanto esse volume decresce

quando a substância se solidifica novamente?

(A) 1

10 (B)

1

11 (C)

1

12 (D)

1

13 (E)

1

14


Se v é o volume da substância sólida, após a fusão seu volume é 1 13

12 12v v v . Ao solidificar, este volume

volta a ser v. O volume 13

12v do líquido sofre uma redução fracionária x, dada por vvxv

12

13

12

13

13

1

13

12111

12

13 xxx .

Problemas de 4 pontos


11. Raul tem várias peças iguais de plástico na forma de pentágonos regulares. Ele cola as peças lado a lado até completar um círculo, como ilustrado na figura. Quantas peças ele usou para formar o círculo?

(A) 8 (B) 9 (C) 10 (D) 12 (E) 15 11. Resposta: alternativa C

Os ângulos internos de um pentágono regular medem O

O5 2 180108

5

. Os prolon-

gamentos dos dois lados de cada pentágono que cruzam o círculo intersectam-se no

centro O desse círculo, conforme figura ao lado. No triângulo isósceles AOB , as medi-

das dos ângulos da base são iguais a O O O180 108 72 . Portanto, o ângulo central

BOA ˆ mede O O O180 2 72 36 . Para cada pentágono temos um ângulo central de 36 ,

logo o número de peças pentagonais que fecham o círculo é O

O

36010

36 .

12. Quantos números inteiros positivos n existem tais que 3

ne 3n são números inteiros de três algarismos?

(A) 12 (B) 33 (C) 34 (D) 100 (E) 300

Resposta: alternativa A

Se 3

n é inteiro, então devemos ter kn 3 , com k inteiro. Assim, k e k9 são inteiros de três algarismos, logo

100k e 1119999 kk , havendo então 12 valores possíveis para k , que correspondem a 12 valores possíveis para n .


13. Um tapete circular é colocado sobre um piso revestido de lajotas quadradas. Todas as lajotas contendo mais de um ponto de contato com o tapete foram pintadas de cinza. Qual das figuras abaixo não pode ser uma representação da situação descrita?

(A) (B) (C) (D) (E)

13. Resposta: alternativa E

Para as alternativas de (A) a (D), temos exemplos de tapetes mostrados acima que produzem tais configura-ções. Já no caso da alternativa (E), se existisse tal tapete, ele teria que cobrir completamente os pontos X e Y da figura abaixo, logo a diagonal XY do quadrado XZYW estaria contida no tapete e o diâmetro do tape-te seria maior que essa diagonal. Porém, um tapete com tal diâmetro cobriria também o ponto Z ou W , assim teríamos uma lajota a mais pintada de cinza, absurdo. Portanto não há tapete capaz de produzir a situ-ação descrita em (E).

14. Considere a seguinte afirmação sobre uma função f definida no conjunto dos números inteiros: “Qualquer que seja o número par x, o número f(x) é par”. Qual é a negação desta sentença?

(A) Qualquer que seja o número par x, o número f x é ímpar.

(B) Qualquer que seja o número ímpar x, o número f x é par.

(C) Qualquer que seja o número ímpar x, o número f x é ímpar.

(D) Existe um número par x tal que o número f x é ímpar.

(E) Existe um número ímpar x tal que o número f x é ímpar.

14. Resposta: alternativa D A negação de uma sentença geral do tipo “Qualquer que seja x, x tem a propriedade A” é uma sentença do tipo “Existe x tal que x não tem a propriedade A”. Portanto a negação da sentença: “Qualquer que seja o número par x, o número f(x) é par” é a sentença “Existe um número par x, tal que f(x) não é um número par” ou, o que dá no mesmo neste caso em que f(x) é um número inteiro, “Existe um número par x tal que f(x) é um número impar.”


15. O gráfico da função g dada por 2

g x a x b x , com a < b, está representado em uma das alternati-

vas abaixo. Em qual delas?

(A) (B) (C) (D) (E)

15. Resposta: alternativa A

Temos 2

0 oug x a x b x x a x b sendo a uma raiz de multiplicidade ímpar e b uma raiz de

multiplicidade par. Logo o gráfico da função g corta o eixo Ox em a e tangencia o eixo Ox em b, estando a à

esquerda de b. Como para ax , 00 2 xbxaxfxa , temos que apenas a alternativa (A)

pode representar o gráfico da função g. 16. A medida de um dos lados de um retângulo é 5. Este retângulo pode ser cortado em um quadrado e um retângulo, sendo que um destes quadriláteros tem área 4. Quantos retângulos existem nessas condições? (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (E) 5

16. Resposta: alternativa D Podemos cortar um retângulo em duas peças, sendo uma delas um quadrado de lado x e a outra um retângulo, somente quando o retângulo menor tiver um lado de medida x e o outro lado um y qualquer. O retângulo original terá lados de medidas x e x + y. No caso, um dos lados do retângulo inicial mede 5 e uma das peças tem área 4. Temos as seguintes possibilidades:

- x = 5: neste caso é o retângulo que tem área 4 e 4

5y ;

- x + y = 5: aqui pode ocorrer 2 4 ou 4x xy . Se 2 4x , então x = 2 e y = 3; se xy = 4 então, como x + y = 5,

temos x = 1 e y = 4 ou x = 4 e y = 1. Portanto, há 4 retângulos diferentes nas condições propostas. 17. Vera desenhou o gráfico de uma função :f R R , composto de duas semir-

retas e um segmento de reta. Quantas soluções tem a equação 0f f f x ?

(A) 4 (B) 3 (C) 2 (D) 1 (E) 0 17. Resposta: alternativa A

A partir do gráfico, podemos concluir que a função f é definida por

2 se ,4

02 se ,

0 se ,

xx

xx

xx

xf .

Portanto, 0 ou 40 xxxf . Substituindo x por f(x), temos:

0 ou 4 ou 80 ou 40 xxxxfxfxff .

Logo, 0 ou 4 ou 8 ou 120 ou 4 ou 80 xxxxxfxfxfxfff

ou seja, a equação tem 4 soluções.


18. No triângulo ABC ao lado, os pontos M e N sobre o lado AB são tais que

e .AN AC BM BC Calcule a medida do ângulo ˆACB sabendo que a medida do ângu-

lo ˆMCN é 43O. (A) 86O (B) 89O (C) 90O (D) 92O (E) 94O


Sejam x e y as medidas dos ângulos MCA ˆ e NCB ˆ , respectivamente. Como AN = AC,

temos 43ˆˆ xCNAmNCAm e como BM = BC, temos CMBmMCBm ˆˆ

43y . Assim, no triângulo CMN , temos 180434343 yx

51yx . Portanto, a medida do ângulo ˆACB é 944351 .

19. Quantos pares ;x y de números inteiros positivos satisfazem a equação 2 3 126x y ?

(A) 6 (B) 8 (C) 10 (D) 12 (E) outro número


Como 126 é um cubo perfeito, então 2

34

3

12 66x

yy

também é um cubo perfeito, logo 3ax , a inteiro

positivo. Do mesmo modo, 3

26

2

12 66y

xx

é um quadrado perfeito e 2by , b inteiro positivo. Assim, a

equação se reduz a 3666 2123223 abba , cujas soluções são da forma

kkba

36,, , com k

divisor de 36. Como 22 3236 possui 91212 divisores positivos, então a equação possui 9 solu-

ções ba, , logo possui 9 soluções 23 ,, bayx .

20. Uma caixa contém 900 cartões numerados de 100 a 999, um número para cada cartão. Francisco deseja pegar alguns cartões ao acaso e calcular a soma dos algarismos dos números de cada cartão. Pelo menos quantos cartões ele precisa pegar para ter certeza de que três desses cartões apresentarão a mesma soma? (A) 51 (B) 52 (C) 53 (D) 54 (E) 55

20. Resposta: alternativa C A soma dos algarismos dos cartões varia de 1 a 27, sendo que somente o número 100 tem soma 1 e somente o número 999 tem soma 27, com as demais somas podendo ser obtidas por pelo menos dois números distin-

tos. Logo, se retirarmos 5222512 cartões, pode ocorrer de haver exatamente um cartão de soma 1, um cartão de soma 27 e dois cartões para cada soma de 2 a 26, sem obtermos três cartões de mesma soma. Portanto, precisamos retirar pelo menos 53 cartões para obtermos 3 de mesma soma.


Problemas de 5 pontos

21. Quantos pares ;x y de números inteiros tais que x y têm seu produto igual a 5 vezes sua soma?

(A) 4 (B) 5 (C) 6 (D) 7 (E) 8 21. Resposta: alternativa A

Temos 25552525555 yxyxxyyxxy . Há 4 maneiras de escrever 25 como o

produto de dois inteiros: 125 , 55 , 55 e 251 . Como yx , há apenas um valor possível de

5x e 5y para cada um desses produtos, logo há 4 pares de soluções: 4,20 , 0,0 , 10,10 e 30,6 .

22. Seja :f R R uma função com as seguintes propriedades: a) f é periódica de período 5; b) no intervalo

2;3 , f é definida por 2f x x . Qual é o valor de 2013f ?

(A) 0 (B) 1 (C)2 (D) 4 (E) 9


Se a função tem período 5, então 2013 2013 5 2013 10 2013 2015 2f f f f f ; pela

definição, temos 2

2 2 4f . Logo, 2013 4f .

23. O cubo da figura ao lado é cortado por um plano que passa pelos vértices B, D e E, vizinhos do vértice A. Semelhantemente, este cubo é cortado por outros sete planos contendo os três vértices vizinhos de cada um dos demais vértices B, C, D, etc. do cu-bo. Irá restar um sólido menor contendo o centro do cubo. Qual é o aspecto desse sólido?

(A) (B) (C) (D) (E) não irá sobrar nada

23. Resposta: alternativa A O plano que passa pelos pontos B, D e E separa o tetraedro ABDE do resto do cubo contendo o centro do cubo original. Uma das faces do sólido que irá sobrar está conti-da no triângulo BDE. Para cada um dos demais vértices irá ocorrer o mesmo, ou seja, o sólido final irá apresentar 8 faces. Cada um dos 6 vértices deste sólido é o centro de uma face do cubo original. A única figura que corresponde a esta descrição é o octae-dro regular da alternativa (D).


24. Quantos pares de números reais ;x y são soluções da equação 2 2x y x y ?

(A) 1 (B) 5 (C) 8 (D) 9 (E) infinitos


Para 0, yx , temos 2

1

2

1

2

1

4

1

4

1

4

1

4

122

2222

yxyyxxyxyx , que é uma

equação de uma circunferência de centro

2

1,

2

1 e raio

2

2. Como há infinitos pontos yx, dessa circunfe-

rência com 0x e 0y , então há infinitas soluções para 0,

22

yx

yxyx, portanto há infinitas soluções

para yxyx 22 .

25. Seja :f N N (N é o conjunto dos números naturais) a função definida por , se é par

21

, se é ímpar2

nn

f nn

n

.

Para um inteiro positivo k, o símbolo kf n representa o número dado pela expressão f f f n , na

qual o símbolo f aparece k vezes. Qual é o número de soluções da equação 2013 1f n ?

(A) 0 (B) 4026 (C) 22012 (D) 22013 (E) infinitas


Escrevendo n na base 2, temos que tanto para n par como para n ímpar, nf consiste de remover o últi-

mo dígito de n (ou deixar um 0 caso haja apenas um dígito). Assim, para que nf 2013 seja igual a 1, deve-

mos ser capazes de remover 2013 dígitos de n e sobrar um 1, logo n é um número de 2014 dígitos na base 2. O primeiro dígito de n é 1 e cada um dos outros 2013 dígitos pode ser 0 ou 1, uma vez que ao aplicar a f ,

eles serão removidos. Assim, há 20132 soluções para 12013 nf .

26. Algumas retas foram traçadas num plano. A reta a intersecta exatamente três outras retas e a reta b inter-secta exatamente quatro outras retas. A reta c intersecta exatamente n outras retas, sendo 3, 4n n .

Quantas retas foram traçadas? (A) 4 (B) 5 (C) 6 (D) 7 (E) mais de 7

26. Resposta: alternativa C

Qualquer reta paralela a a intersecta exatamente 3 outras retas e como b intersecta 4 retas, então b não é paralelo a a . Do mesmo modo, c não é paralelo a a nem a b . Como existem exatamente três retas que intersectam a , só pode haver mais uma reta d que não seja paralela a a , mas que pode ser paralela a b ou c . As retas b e c intersectam um número diferente de retas e como todas as retas paralelas a a intersec-tam tanto b quanto c , então a reta d intersecta ou b ou d . Se d intersecta b , então para que tenhamos 4 retas intersectando b , deve haver apenas uma paralela e à reta a e c intersecta eba e , , o que são 3 retas, um absurdo. Se d intersecta c , então há duas paralelas e e f a a e a reta c intersecta fedba e , , , ,

ou seja, c intersecta 5 retas. Portanto o total de retas traçadas é 6.


27. A soma dos n primeiros números inteiros positivos é um número de três algarismos iguais. Qual é a soma dos algarismos de n? (A) 6 (B) 9 (C) 12 (D) 15 (E) 18 27. Resposta: alternativa B

A soma dos n primeiros números inteiros positivos é igual a 1

2

n n; como este número tem três algarismos

iguais, podemos escrever

1112

1

k

nn, sendo k um algarismo de 1 a 9. Temos que 373111 é um

fator de 1nn e

4510002

1

n

nn, logo temos que ou n ou 1n é igual a 37, sendo o outro é

igual a k6 . Se 37n , então kn 6381 . Portanto, 371n , 6636 n e a soma dos algarismos de n é igual a 9.

28. Na ilha dos esquilos, vivem apenas dois tipos de esquilos, os ticos e os tecos. Os ticos sempre dizem a ver-dade e os tecos sempre mentem. Um visitante da ilha encontrou dois habitantes em seu caminho e perguntou ao mais alto se eles eram ticos. Este respondeu, mas o visitante ficou sem saber o que eles eram realmente. Então o visitante perguntou ao mais baixo se o mais alto era tico. Depois que este último respondeu, o visitan-te descobriu o que eles eram. O que eram? (A) Os dois eram ticos. (B) Os dois eram tecos. (C) O mais alto era tico e o mais baixo era teco. (D) O mais alto era teco e o mais baixo era tico. (E) Impossível saber, por falta de informações.

28. Resposta: alternativa D A tabela ao lado mostra todas as possibilidades de classificação dos dois habitantes. As respostas às duas perguntas encontram-se nas duas linhas seguintes. Como o visitante ficou sem saber o que os dois eram depois da primeira pergunta, concluímos que a resposta a ela foi sim (pois há três possibilidades com resposta sim). Como o visitante pode identificar o que eles eram depois da segunda pergunta, concluímos que a resposta a esta segunda pergunta foi não (que aparece apenas uma vez entre as possibilidades restantes). Isto corresponde à terceira coluna da tabela, ou seja, o mais alto era teco e o mais baixo era tico.

Alto tico tico teco teco

Baixo tico teco tico teco sim não sim sim

sim não não sim


29. Giuliano escreveu um algoritmo que produz a sequência de números em que 1 1e m n m na a a a mn ,

onde m e n são números naturais. Para testar o algoritmo, Giuliano irá usá-lo para calcular o termo 100a , cujo

valor correto ele já sabe. Se o algoritmo estiver correto, que valor irá fornecer?

(A) 100 (B) 1000 (C) 2012 (D) 4950 (E) 5050


Pela definição da sequência, temos 1 1 1 1 1 11 1 1 1n n n n na a a a n a n a n . Assim, pode-

mos escrever:

2 1

3 2

4 3

100 99

2 1 2

3 1 2 3

4 1 2 3 4

...

100 101100 1 2 3 4 99 100 5 050

2

a a

a a

a a

a a


30. Cinco carros entram numa rotatória ao mesmo tempo, vindos de direções diferentes, conforme mostrado na figura. Cada carro dá menos de uma volta inteira na rotatória; além disso, não há dois carros que saem da rotatória na mesma direção. De quantas maneiras diferentes os cinco carros podem sair da rotatória?

(A) 24 (B) 44 (C) 60 (D) 81 (E) 120

30. Resposta: alternativa B

Perceba que cada carro pode escolher uma saída que não a sua própria (para não dar uma volta inteira na rotatória) e que uma vez escolhidas as saídas, é possível que todos saiam sem que um carro dê mais de uma volta ou que ultrapassasse outro carro (se todos os carros andarem na mesma velocidade, não haverá ultra-passagens e cada carro pode passar pelas outras 4 saídas, podendo escolher então o momento em que sai). Assim, o total de maneiras dos carros saírem da rotatória é igual ao total de maneiras de escolher 5 saídas para os carros de forma que nenhum carro saia na mesma direção em que entrou.

Modo 1: Numerando os carros de 1 a 5 e as saídas também de 1 a 5, se o carro 1 sai pela saída 2, temos as seguintes possibilidades para a saída dos carros:

saídas carros

1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 1 1 3 3 3 4 4 4 5 5 5

3 4 5 1 4 5 1 5 5 1 4 4

4 5 3 5 5 1 5 1 3 3 1 3

5 3 4 4 1 4 3 3 1 4 3 1

Observe que o resultado é análogo caso o carro 1 saia da rotatória pelas saídas 3, 4 ou 5, portanto há 44114 maneiras dos carros saírem da rotatória.

Modo 2: Essa contagem pode ser feita usando o princípio da inclusão e exclusão, já que ela é equivalente a contar a quantidade de permutações dos números 1,2,3,4,5 em que nenhum desses números fique no mesmo

lugar. O total de maneiras é igual a 44152060120120!05

5!1

4

5!2

3

5!3

2

5!4

1

5!5

.

Modo 3: Essa contagem pode ser feita usando o princípio da inclusão e exclusão: se X é um subconjunto de

5,4,3,2,1 , então seja XS a quantidade de maneiras dos carros saírem da rotatória de modo que os carros

que estão em X saiam pela mesma direção em que entraram. Na expressão

}5,4,3,2,1{}5,4,3,2,1{},,,{

},,,{}5,4,3,2,1{},,{},,{

}5,4,3,2,1{},{},{

}5,4,3,2,1{}{}{ SSSSSS

dcbadcba

cbacba

baba

aa

, as maneiras em que ne-

nhum carro sai por onde entrou são contadas uma vez (em S ), enquanto as maneiras em que alguns carros

saem por onde entraram são contadas 0 vezes (por exemplo, as maneiras de sair em que apenas os carros 1, 2

e 3 saem por onde entraram são contadas uma vez em S , removidas três vezes em }5,4,3,2,1{}{

}{a

aS (uma vez

para }1{S , }2{S e }3{S ), adicionadas três vezes em }5,4,3,2,1{},{

},{ba

baS (uma vez para }3,2{}3,1{}2,1{ ,, SSS ) e removida

uma vez em }5,4,3,2,1{},,{

},,{cba

cbaS (em }3,2,1{S ) . Portanto essa expressão conta exatamente o que queremos e o

total de maneiras dos carros saírem da rotatória é de

!0

5

5!1

4

5!2

3

5!3

2

5!4

1

5!5

44152060120120 maneiras.


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