CAMPO ELETTRICO E POTENZIALE DEFINIZIONE DI POTENZIALE

CAMPO ELETTRICO E POTENZIALE

DEFINIZIONE DI POTENZIALE


DEFINIZIONE

Lavoro= Forza X Spostamento

Unità di misura:

Newton X metro = Joule


Se forza e spostamento non sono paralleli e

concordi in verso allora la formula

diventa:

SPOSTAMETO S

FORZA F

α

cos SFL


Se forza e spostamento

sono perpendicolari:

cosα=0E quindi:

L=0SPOSTAMETO S

FORZA F

α


Se forza e spostamento sono opposti:

cosα=-1E quindi:

L=-F·S

SPOSTAMETO SFORZA F

α


Quando una carica elettrica q viene posta in un campo

elettrico E essa subisce una forza data dalla formula:

F=qE


Quindi, quando la carica si sposta la

forza elettrica compie lavoro

q

EF


Il lavoro fatto dalla forza elettrica

quando la carica di prova unitaria

viene portata dal punto A al punto B, cambiato di segno,

si dice DIFFERENZA DI

POTENZIALE TRA A E B

Q=1 coulomb

E

A

B


In formule:

Se la carica non è unitaria si divide il lavoro fatto per la carica stessa

La differenza di potenziale è quindi il rapporto tra lavoro e la carica

unitaria) carica(LV

q

LV


Unità di misura:

Joule/Coulomb=VOLT

Una differenza di potenziale di un volt corrisponde a un lavoro di un joule

compiuto da una carica di un coulomb


Il voltaggio indicato su una batteria è la differenza di potenziale tra il polo

positivo e quello negativo


Il nome volt è naturalmente in

onore di Alessandro Volta, uno dei più grandi scienziati

italiani


Il simbolo Δ rappresenta una differenza tra valore finale e valore

iniziale di una grandezza

Dove Va e Vb sono il potenziale in A e B rispettivamente

AB VVV


Cambiando di segno

Possiamo anche scrivere la definizione di differenza di potenziale così:

)( BA VVV

q

L BA VV


Quando la carica di prova (che è sempre

positiva) va dalla piastra positiva a quella negativa il

lavoro fatto è positivo

A B

+ -

+q


Infatti la carica positiva è respinta

dalla piastra positiva e quindi forza e

spostamento sono concordi

A B

+ -

+q

FORZA

SPOSTAMENTO


Quindi, in base alla formula:

Il potenziale della piastra positiva è

maggiore di quello della piastra negativa

A B

+ -

+q

FORZA

SPOSTAMENTO


Fin qui è stata definita la differenza di potenziale; ma che cos’è il

potenziale?Ovvero; cosa rappresenta Va da solo?


Il potenziale in un punto A è definito

come la differenza di potenziale tra quel

punto e un altro punto B posto per

convenzione a potenziale zero

A

B con VB=0


Come si fa a sapere che un punto si trova

a potenziale zero?

SI TRATTA DI UNA CONVENZIONE

A

B con VB=0


Nella fisica teorica si adotta come

convenzione che il potenziale sia zero

all’infinito

A

B con VB=0

0V


Quindi, il potenziale in un punto è la differenza di

potenziale tra quel punto e l’infinito

A

∞


Nella tecnica, invece, si assume che la Terra abbia potenziale zero

A

TERRA V=0


Se ci spostiamo da un punto a un altro il

potenziale può variare oppure restare costante; l’insieme di tutti i punti che si trovano ad uno

stesso valore di potenziale forma una superficie chiamata

SUPERFICIE EQUIPOTENZIALE

V=costante


La superficie della Terra, per esempio, forma una superficie equipotenziale

(con V=0 secondo la

convenzione tecnica)


Lo spazio in cui si trova un campo elettrico può essere diviso in

superfici equipotenziali.Ogni punto dello spazio appartiene a

una e una sola superficie equipotenziale


CONSERVATIVITA’ DEL CAMPO ELETTRICO


E’ da notare che la definizione non indica il percorso da seguire, ma solo il punto di partenza e quello di arrivo

del percorso

Perché?


Consideriamo ad esempio un

condensatore piano ed un corpo di prova

di carica 1C che viene portato dalla piastra positiva a quella negativa

secondo il percorso A ->B

A B

+ -


Il campo elettrico, e quindi

la forza, è parallelo al

percorso, quindi siamo nel caso più semplice

L=FxS

A B

+ -

E


Poniamo per esempio

E=15000 V/mAB=2cm

La forza è:

F=qE = 1x15000 =15000 N

A B

+ -

CAMPO ELETTRICO E POTENZIALEIl lavoro:

L=FxS=15000x0,02=

=300 J

Ma siccome la carica è unitaria questa è

anche la differenza di potenziale, 300 volt

A B

+ -

CAMPO ELETTRICO E POTENZIALECalcoliamo il lavoro

seguendo il percorso alternativo ACB con l’angolo in A di 60°

Per i teoremi sui triangoli

AC=0,02/cos60°==0,04m

A B

+ -

60°

C

CAMPO ELETTRICO E POTENZIALEIl lavoro nel tratto AC

è:L=FxSxcosα=

=15000x0,04x1/2=300 J

Nel tratto CB forza e spostamento sono

perpendicolari quindiL=0

A B

+ -

60°

C

FORZA

CAMPO ELETTRICO E POTENZIALEIl lavoro totale è quindi quello del

primo trattoL=300 J

Esattamente lo stesso risultato ottenuto

prima

A B

+ -

60°

C


Questo esempio mette in luce un fatto del tutto generale:

IL LAVORO FATTO DALLA FORZA ELETTRICA E’

INDIPENDENTE DAL PERCORSOEsso dipende solo:

• dal campo elettrico• dal punto iniziale e da quello

finale


I campi di forza in cui il lavoro è indipendente dal percorso sono

dettiCONSERVATIVI

Campo elettrico e campo gravitazionale sono campi

conservativi


Questo è il motivo per cui nella definizione di differenza di

potenziale non si accenna al percorso da seguire: perché non

ha nessuna importanza


Che cosa viene conservato in un campo di forze conservativo?

L’ENERGIA


Se il lavoro dipendesse dal

percorso, sarebbe

possibile far percorrere a una carica il percorso di

maggior lavoro…

A

B100 Joule


…e farlo tornare lungo il

percorso di minor lavoro;

in questo modo si potrebbe

creare energia dal nulla

A

B

Guadagno: 50 Joule

50 Joule


In un campo conservativo, però, questo non è possibile perché tutti i percorsi richiedono lo stesso lavoro


RELAZIONE TRA CAMPO ELETTRICO

E POTENZIALE


In base alla definizione di differenza di potenziale

per calcolare tale differenza è necessario conoscere il campo

elettrico. Ma è possibile anche il viceversa

q

L BA VV


Ricordiamo infatti le formule del

campo elettrico, del lavoro e del

potenziale:

q

L BA VV

SFL

EqF


Sostituendo la prima nella

seconda e la seconda nella

terza, e semplificando q:

q

qES BA VV

SEVV BA


Questa formula può essere

invertita in modo da calcolare il

campo elettricoS

VVE BA


Ovvero, il campo elettrico è uguale al rapporto tra la

differenza di potenziale tra due punti e la distanza S tra i

punti stessi

S

VVE BA

AS B

E


E’ da notare che la linea S deve essere presa nella stessa direzione del

campo, altrimenti non possiamo

usare la formula L=F·S

S

VVE BA

AS B

E


Sembra quindi che questa formula

non possa determinare del tutto il campo

elettrico, visto che già dobbiamo conoscerne la

direzione…

S

VVE BA

AS B

E

Se la linea è obliqua rispetto al campobisogna usare S·cosα al posto di S

α


…ma non è così: La direzione del campo elettrico è

quella in cui il potenziale diminuisce più rapidamente, ovvero quella in cui, a parità di distanza, si ha la

massima differenza di potenziale


In altre parole, le linee di forza del campo elettrico sono le linee di

massima differenza di potenziale


Infatti, se campo e spostamento sono obliqui è necessario usare S·cosα al posto di S e la formula

diventa

cos SEVV BA


Poiché il campo è fissato, a parità di spostamento la massima differenza di potenziale si ottiene quando il valore

di cosα è massimo

Ma, come è noto, il coseno è massimo (=1) quando l’angolo è 0, cioè

appunto nella direzione del campo

cos SEVV BA


Un’altra conseguenza di ciò è che, se S è obliquo al campo elettrico, il

potenziale diminuisce in modo meno brusco e, quando il coseno raggiunge

il suo valore minimo, anche tale diminuzione è minima

cos SEVV BA


Ma il valore minimo è zero, e questo lo sia ha quando α=90°, ovvero

quando la linea S è perpendicolare al campo

090cos SEVV BA


D’altra parte, se la differenza di potenziale è zero vuol dire che i punti

A e B si trovano su una superficie equipotenziale


In altre parole; il campo elettrico e

le superfici equipotenziali

sono perpendicolari tra

di loro

E

V=costante

S


Un’altra cosa che può lasciare

perplessi è questa: la formula

determina il valore del campo

elettrico, ma in quale punto della

linea AB?

S

VVE BA

AS B

E


Se il campo è uniforme la domanda è

irrilevante: se non lo è, quello

calcolato è un valore medio

S

VVE BA

AS B

E


Possiamo trovare il valore esatto del campo nel punto

A?Sì, basta far avvicinare

indefinitamente il punto B al punto A

S

VVE BA

AS B

E


Questo lo si ottiene facendo il limite per S tendente a zero

S

VVLimE BA

S

0


Possiamo anche scriverlo in questo modo:

Perché? Perché in questo modo si evidenzia che la frazione è un rapporto

incrementale di una funzione (il potenziale)….

S

VVLimE AB

S

0


Quindi il campo elettrico risulta essere, a meno del segno, la derivata del

potenziale rispetto allo spostamento preso in direzione della massima diminuzione del potenziale

stesso

dS

dVE


Usando una notazione vettoriale, se indichiamo con il vettore

spostamento nella direzione della massima diminuzione del potenziale

Sd

dVE

S

Questa è una scrittura poco convenzionale; quella tradizionale è:

Che comunque vuol dire la stessa cosa

gradVE

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