247

11.

CALCULUL PIESELOR ŞI STRUCTURILOR

DIN

MATERIALE COMPOZITE

11.1. Generalităţi

Materialele compozite sunt amestecuri de două sau mai multe

componente, în anumite proporţii şi condiţii, ale căror proprietăţi se

completează reciproc, rezultând un material cu proprietăţi superioare

celor proprii fiecărei componente considerată separat. Ele se folosesc

cu mult succes în industriile: aerospaţială, a vehiculelor de toate

categoriile, chimică, a bunurilor de consum etc. Într-un sens general

toate materialele sunt, mai mult sau mai puţin, compozite deoarece

toate au impurităţi, defecte, elemente de aliere etc.

Marea varietate de materiale compozite le face dificil de definit

şi clasificat, curent fiind acceptată delimitarea care are în vedere

următoarele caracteristici ale acestora:

- sunt create artificial, prin combinarea voită şi raţională a

diferitelor componente; în acest fel sunt excluse compozitele naturale

(lemnul) sau cele produse fără intenţia de a crea un material

compozit (fontele cenuşii, betonul). Având în vedere importanţa

practică deosebită a betonului, a betonului armat şi a celui

precomprimat, s-au elaborat metodologii, modele, metode de calcul

şi programe dedicate analizei structurilor construite din această

categorie de materiale;

- sunt amestecuri a cel puţin două materiale distincte din punct

de vedere chimic, între care există o suprafaţă de separaţie bine

definită;

- au proprietăţi pe care nici una dintre componente, luată separat,

nu le are.

Principalele avantaje ale materialelor compozite sunt:

248

- posibilitatea „modularizării” proprietăţilor şi obţinerea, astfel, a

unor materiale cu proprietăţi foarte diferite;

- au o valoare foarte bună, comparativ cu materialele „clasice”, a

raportului rezistenţă la rupere / greutate specifică;

- prezintă o bună rezistenţă la uzură (duritate superficială), la

oxidare şi la coroziune;

- au o bună stabilitate în timp a dimensiunilor şi a formei;

- au o bună capacitate de amortizare a şocurilor, vibraţiilor şi

zgomotelor;

- materialele compozite carbon - carbon sau cele ceramice pot fi

folosite la temperaturi mari, de până la 2200 0C.

Principalele dezavantaje ale materialelor compozite sunt:

- sensibilitatea la variaţiile parametrilor tehnologici de fabricaţie,

adică variaţii relativ mici ale condiţiilor de fabricaţie, ca, de exemplu,

temperatura şi presiunea în timpul procesării, proporţiile

componentelor etc, pot duce la variaţii importante ale caracteristicilor

produsului;

- unele compozite, de exemplu, cele stratificate, sunt

higroscopice şi / sau termo-higroscopice, absorbţia apei ducând la

modificarea dimensiunilor şi proprietăţilor;

- majoritatea compozitelor, dar mai ales cele cu fibre lungi, sunt

improprii pentru realizarea unor structuri cu forme spaţiale

complicate, deoarece în zonele de discontinuităţi geometrice se

pierde continuitatea fibrelor;

- compozitele ceramice, pot fi folosite numai pentru structuri de

dimensiuni relativ mici, având forme relativ simple, ca urmare a

limitărilor impuse de tehnologiile de fabricaţie.

Deosebita diversitate (din diferite puncte de vedere) a

componentelor care pot fi utilizate la fabricarea unui material

compozit, precum şi nenumăratele combinaţii posibile ale acestora în

condiţiile în care şi tehnologiile de fabricaţie sunt numeroase, explică

gama foarte largă a materialelor compozite utilizate în prezent, având

proprietăţi care variază între limite apreciabile în ceea ce priveşte

caracteristicile fizice, mecanice, termice precum şi costurile.

Materialul compozit este format, de regulă, dintr-o componentă

de bază – matricea – în care se „încorporează” materialul

complementar, sub formă de fibre sau particule.

249

Materialele matricelor sunt, de regulă:

a. Metalice:

- metale: aluminiu, cupru, niobiu, oţel inoxidabil;

- aliaje de: aluminiu, cupru, magneziu, titan etc.

b. Materiale organice:

- termoplastice: răşini poliesterice, polietilenă densă, polistiren,

polipropilenă, policlorură de vinil, poliamide, polisulfone etc;

- termorigide: poliimide şi răşini epoxidice, fenolice şi

poliesterice nesaturate.

c. Materiale ceramice, care pot include în compoziţia lor

alumină, oxid de zirconiu, carbură de siliciu şi alţi compuşi, precum

şi amestecuri ale acestora.

Materialele complementare pot fi de următoarele tipuri:

a. Fibre, care pot fi:

- după material: ceramice, din bor, carbon, sticlă, cuarţ, carbură

de siliciu, alumină, alumină-silice, aliaje metalice, oţel inoxidabil,

nylon;

- după structură: policristaline, monocristaline sau amorfe;

- după raportul dintre lungimea l şi diametrul d, fibrele pot fi

continue (l/d > 1000) sau discontinue (l/d < 1000), care la rândul lor

pot fi lungi (l/d = 300...1000), scurte (l/d ≈100) sau foarte scurte

(monocristale filiforme);

- fibre care se „generează” în interiorul matricei, prin unul din

următoarele procedee: solidificarea dirijată a eutecticelor, deformarea

plastică sau cristalizarea într-o matrice solidă.

Fibrele continue se încorporează în matrice ca fire simple sau

răsucite, care se pot aranja: unidirecţional, bidirecţional sau sub

formă de ţesătură plană sau spaţială.

b. Particule, care pot fi:

- după material: carbură de siliciu, grafit, alumină, mică,

zirconiu, nitrură de bor, sticlă, oţel, fontă, oxid de titan, etc;

- după dimensiuni: de la 10 nm (nanoparticule), la 1 μm (micro-

cristale) la 500 μm, sau mai mari;

- după formă: sferică, discoidală sau alte configuraţii.

250

Condiţii impuse materialelor compozite. În principiu, se pot

obţine diverse materiale compozite prin orice fel de combinaţii ale

componentelor enumerate mai sus. Practica însă a demonstrat că apar

unele restricţii, impuse de compatibilităţile care trebuie să existe între

matrice şi materialul complementar. Aceste compatibilităţi sunt de

natură fizică (valorile coeficienţilor de dilatare termică liniară şi

temperaturile de topire trebuie să fie apropiate) şi chimică

(inexistenţa reacţiilor chimice între componente, difuzia unui

component în celălalt să fie limitată).

De asemenea, caracteristicile materialelor compozite sunt

determinate într-o mare măsură de fenomenele fizice şi chimice

complexe care au loc între matrice şi materialul complementar, în

zonele de contact dintre acestea, adică la „interfaţa” matrice-material

complementar. Interfaţa poate „acţiona” atât în sens pozitiv cât şi

negativ asupra caracteristicilor compozitului, ceea ce necesită

cunoaşterea şi dirijarea fenomenelor care au loc în zonele de contact

dintre componentele materialului compozit.

Clasificări ale materialelor compozite. Se folosesc numeroase

clasificări, dintre care, pentru scopul urmărit în această lucrare, sunt

utile următoarele:

a. După modul de distribuţie al materialului complementar:

- izotrope, care conţin fibre scurte sau particule uniform

distribuite;

- anizotrope, care au fibre continue (inserţii sau împletituri) sau

fibre scurte, orientate unidirecţional, în plan sau în spaţiu;

- cu distribuţie dirijată a materialului complementar, obţinută

prin solidificare unidirecţională sau prin deformare plastică la rece;

- stratificate, formate din mai multe lamine sau straturi. Fiecare

lamină este relativ subţire, are fibrele situate într-un singur plan şi

sunt orientate după o singură direcţie sau bidirecţional, deci fiecare

lamină este anizotropă. Orientarea fibrelor din straturile succesive

este, de regulă, diferită. Materialul obţinut se numeşte compozit

laminat.

- sandwich, material compozit realizat din două straturi de

material laminat, între care se află un „miez” dintr-o răşină, o

251

ceramică, sau dintr-o folie de material metalic uşor, dispusă sub

formă de fagure.

b. După dimensiunile materialului complementar:

- nanocompozitele, în care materialul complementar este sub

formă de particule, lamele sau fibre (de exemplu, nanotuburi), având

cel puţin una dintre dimensiuni mai mică de 100 nm;

- microcompozite, la care materialul complementar este dispersat

în matrice la scară microscopică, sub formă de fibre, particule,

lamele etc;

- macrocompozite, la care materialul complementar se află la

scară macro în compozitul respectiv.

11.2. Modelarea şi analiza pieselor şi structurilor din

materiale compozite

Pentru modelarea şi analiza corectă şi eficientă a unei structuri

sau piese realizată din materiale compozite trebuie avute în vedere,

cel puţin, următoarele aspecte specifice:

- alegerea metodei de calcul corespunzătoare, în concordanţă cu

tipul materialului compozit, cu geometria structurii şi cu scopul avut

în vedere pentru analiza care se face. Metoda elementelor finite este

cea mai eficientă pentru astfel de analize, programele MEF având

implementate proceduri şi tipuri de elemente finite speciale pentru

materiale compozite;

- considerarea, pentru modelul elaborat, a valorilor constantelor

fizice şi elastice, corespunzătoare materialului compozit respectiv;

- trebuie acordată o atenţie deosebită „joncţiunilor” structurilor

realizate din materiale compozite, deoarece în zonele respective, de

regulă, nu se poate păstra continuitatea straturilor (de exemplu, a

fibrelor laminelor) şi apare un factor suplimentar care trebuie avut în

vedere şi anume adezivul.

În figura 11.1 sunt reprezentate schematic, ca exemplu, şase

variante constructive ale unei joncţiuni flanşă-tub din compozit

stratificat, din care se poate înţelege varietatea soluţiilor posibile. Se

constată că varianta a. este cea mai puţin aptă pentru preluarea

solicitărilor, deoarece este posibilă desprinderea laminei exterioare a

tubului. Dacă zona joncţiunii prezintă un interes deosebit, este

252

necesară modelarea şi analiza acesteia, printr-o procedură de

submodelare, de exemplu;

- modelarea şi analiza structurii în ansamblu, se face cu

procedurile „clasice”, ca pentru situaţiile obişnuite, pentru solicitări

liniar elastice sau neliniare, în regim static sau dinamic, la flambaj

etc.

În concluzie, specificul modelării şi analizei structurilor realizate

din materiale compozite, se reduce, de regulă, la alegerea unei

metode de calcul care poate fi aplicată acestor materiale şi la

definirea valorilor corespunzătoare ale constantelor fizice şi elastice,

celelalte aspecte ale modelării şi analizei rămânând neschimbate.

Modelele de calcul pentru materialele compozite sunt foarte

„elaborate” şi sofisticate şi au implementate toate posibilităţile oferite

de teoria elasticităţii, teoria plasticităţii, mecanica ruperilor,

rezistenţa materialelor etc, în formulările teoretice cele mai generale,

pentru materiale neomogene, cu anizotropie spaţială, cu neliniaritate

fizică etc. Relaţiile de calcul obţinute astfel, se folosesc pentru

determinarea energiei de deformaţie, a deplasărilor, deformaţiilor şi

tensiunilor. De asemenea, relaţiile analitice de calcul stabilite pentru

diverse tipuri de compozite stau la baza unor programe de calcul

specializate.

Criteriile de cedare sau rupere ale materialelor compozite

reprezintă condiţiile în care apar diferite fenomene care pun în

Figura 11.1

253

pericol integritatea structurii şi siguranţa ei în exploatare ca: ruperi

ale materialului complementar (de exemplu, ale fibrelor), fisurări şi /

sau ruperi ale matricei, desprinderi ale matricei de materialul

complementar etc. Pentru a ilustra complexitatea acestei probleme, se

menţionează faptul că în prezent nu este unanim acceptat un criteriu

de cedare, ci se folosesc numeroase formulări ale acestora, dintre

care cele mai cunoscute şi utilizate sunt:

- criterii limită, care consideră că cedarea (ruperea) se produce

când un parametru al stării de tensiuni sau deformaţii atinge valoarea

corespunzătoare stării limită şi anume criteriul: tensiunilor maxime,

deformaţiei specifice maxime, al lui Stowell-Liu, al lui Prager etc;

- criterii „interactive”, care sunt generalizări ale teoriei von

Mises pentru materiale izotrope şi care consideră că cedarea

(ruperea) se produce când valoarea unei expresii care conţine valorile

tensiunilor, atinge valoarea corespunzătoare stării limită şi anume,

criteriul lui: Tsai-Hill, Marin, Azzi-Tsai, Hoffman, Franklin, Tsai-

Wu, Goldenblat-Kopnov etc.

Unele dintre aceste criterii de cedare sunt incluse în programele

de calcul pentru materiale compozite, ele fiind „ataşate” diverselor

tipuri de compozite.

Valorile constantelor fizice şi elastice ale materialelor

compozite, precum şi ale altor caracteristici ale acestora (de exemplu,

caracteristici mecanice), pot avea variaţii între limite foarte largi,

ceea ce impune ca valorile respective să fie luate din documentaţia

elaborată de fabricantul materialului şi care însoţeşte livrarea:

certificate de calitate, rezultate ale încercărilor de laborator în diverse

condiţii (tip de solicitare, temperatură, umiditate etc).

Metodele de calcul de uz general pot fi folosite, în principiu,

pentru modelarea şi analiza unor structuri din materiale compozite,

dacă se definesc constantele fizice şi elastice corespunzătoare. Se vor

considera, de la caz la caz, materiale liniar - elastice sau neliniare,

izotrope, ortotrope sau anizotrope, conform tipului de model de

calcul „clasic” utilizat. În acest caz se pot avea în vedere trei

categorii de aspecte ale compozitului:

a. Comportarea „globală” a materialului compozit sub sarcină.

Prin aceasta se urmăreşte determinarea caracteristicilor globale

254

echivalente ale compozitului, în vederea înlocuirii acestuia cu un

„material echivalent”, a cărui comportare globală este aceeaşi.

Calculul se face pentru o „mostră” de compozit, adică pe o piesă cu o

formă relativ simplă, supusă unei stări de solicitare simple sau

similară celei din structură. Se pot face şi determinări experimentale

(prin încercări de laborator) rezultatele obţinute comparându-se cu

cele obţinute prin calcul. În acest mod problema modelării şi analizei

structurilor din materiale compozite se „reduce” la problema clasică,

adică a materialelor obişnuite.

Rezultatele obţinute astfel oferă informaţii globale satisfăcătoare

privind structura: deplasări, reacţiuni în rezeme, configuraţia stării de

tensiuni, coeficienţi de flambaj, frecvenţe şi moduri proprii de

vibraţii etc. Nu vor fi obţinute, eventual, suficiente informaţii pentru

unele solicitări locale. O altă deficienţă a folosirii acestei metode

constă în faptul că proprietăţile globale ale compozitului sunt relativ

dificil de determinat experimental, pentru a putea fi introduse în

modelul de calcul al structurii.

b. Dacă este necesar, se poate extinde modelarea şi analiza

structurii din compozite utilizând tehnici de modelare şi / sau

submodelare locală, de exemplu. În acest mod se pot obţine

informaţii privind configuraţiile stărilor de tensiuni şi deformaţii,

„vârfuri” ale acestora şi alte informaţii care pot fi utile pentru

determinarea apariţiei eventualelor cedări ale compozitului: fisuri,

desprinderi, ruperi.

c. Cu metode de calcul de uz general se pot face studii asupra

unor materiale compozite deosebite, ca, de exemplu, pentru materiale

sandwich, care, uneori, au un miez (core) cu o configuraţie

geometrică complexă. Se defineşte o substructură pentru o „celulă” a

compozitului, care se multiplică formând un grup multi - celular cu

care, folosind proceduri de substructurare, se poate modela şi analiza

un ansamblu oarecare. Pentru discretizări suficient de fine, se pot

obţine atât informaţii locale asupra stării de tensiuni la nivelul

microstructurii, cât şi globale, privind deformarea structurii în

ansamblu. O astfel de metodă de modelare este foarte laborioasă şi

costisitoare.

255

Metoda elementelor finite este foarte eficientă în modelarea şi

analiza structurilor din materiale compozite, în special pentru cele

stratificate (multi – layer) şi se utilizează aproape exclusiv în prezent.

Elementele finite de tip multi – strat sunt cele mai răspândite şi

utilizate, implementate în majoritatea programelor cu elemente finite.

Aceste elemente sunt, de regulă, de tip solid cu opt noduri (brick) şi

de placă (shell) cu 3, 4, 6, 8 sau 9 noduri şi au fost concepute astfel

încât să poată fi definite şi utilizate similar cu elementele

corespunzătore, obişnuite, pentru a facilita munca utilizatorului şi

pentru a putea fi cuplate, fără dificultăţi, cu celelalte tipuri de

elemente finite, adică cu cele de tip clasic.

Elementele finite de tip compozit au unele particularităţi pentru

fiecare program, dar unele aspecte generale, care facilitează munca

utilizatorului, se regăsesc în majoritatea acestora şi anume:

a. Se foloseşte o secvenţă cu informaţii generale, pentru fiecare

grup de elemente finite de tip compozit: numărul grupului, tipul

elementelor, numărul straturilor, alegerea criteriului de cedare, unele

constante de material (densitatea, coeficientul de dilatare termică

liniară, conductivitatea termică etc), opţiuni de scriere a rezultatelor

etc.

b. Proprietăţile materialului (modulele de elasticitate

longitudinale şi transversale, coeficientul contracţiei transversale,

limite de curgere la întindere, compresiune, forfecare etc) se definesc

în cadrul mai multor seturi, care se numerotează succesiv, pentru

fiecare precizându-se valorile, pentru materialul anizotrop, pe trei

direcţii perpendiculare.

c. Sistemul de

coordonate. Se

folosesc trei sisteme

diferite de

coordonate, ca în

figura 11.2: global -

al structurii (X, Y,

Z), local - al

elementului finit (x*,

y*, z*) şi local - al materialului (α, β, γ), pe care utilizatorul le poate

utiliza după dorinţă.

Figura 11.2

256

d. Definirea straturilor materialului. Se atribuie fiecărui strat un

indice, de regulă un număr, numerotarea făcându-se pentru toate

straturile, sau numai pentru jumătate dintre ele, cu opţiunea

„simetric” sau „antisimetric”, ca în figura 11.3.

e. Succesiv, pentru

fiecare strat, se definesc:

grosimea (care poate fi

variabilă), unghiul (ω) al

direcţiei de referinţă, în

raport cu care se definesc

caracteristicile (elastice şi

fizice) ale materialului,

numărul setului de

proprietăţi de material ataşat stratului.

f. Definirea topologiei elementelor şi generarea lor se face prin

procedurile obişnuite, implementate în programele cu elemente

finite.

11.3. Exemple

Bare executate din mai multe materiale. Cele mai utilizate bare

din materiale compozite sunt cele din beton armat. Pentru solicitarea

la încovoiere, calculul se face după cum urmează, pentru o secţiune

a barei formată din n arii ale

materialelor care compun bara.

Se presupune că secţiunea barei

este simetrică în raport cu axa z,

ca în figura 11.4.a. Sistemul de

coordonate xyzG are originea în

centrul de greutate, G, al întregii

secţiuni. Un moment încovoietor

My produce tensiunile normale

(x,y,z) = E(y,z)[z –z0(x)] / [(x)],

în care:

ii

siii

02

siiiiiyii

iiy

AE

zAE)x(z,

zAEAEIE

AE)x(M

)x(

1

Figura 11.3

a b

Figura 11.4

257

-E(y,z) este modulul de elasticitate al materialului cu aria Ai;

-Ei, Ai, Iyi, zsi sunt modulul de elasticitate, aria, momentul de

inerţie axial faţă de axa y şi ordonata z a centrului de greutate pentru

aria parţială Ai.

Toate sumele se calculează pentru ansamblul i = 1, 2, ... n.

Axa neutră nu mai trece prin centrul de greutate, ca la barele

omogene, ci are o excentricitate z0 şi are curbura 1 / (x).

În figura 11.4.b s-au reprezentat variaţiile tensiunilor normale, ,

pe secţiune, cu salturi în dreptul graniţelor materialelor componente.

Ecuaţia diferenţială a axei barei drepte deformate, care are

secţiunea ca cea din figura 11.4, este

.

zAEAEIE

AE)x(M)x("w

2

siiiiiyii

iiy

Compozit stratificat, simetric faţă de planul median

Lamina ortotropă. Se consideră o lamină cu fibre

unidirecţionale, cu o solicitare de tip stare plană de tensiuni, raportată

la două sisteme de coordonate:

- un sistem local - ataşat laminei, cu axa Ox în lungul fibrelor şi

axa oy în planul laminei, perpendiculară pe direcţia fibrelor;

- un sistem global – ataşat compozitului, cu axele OX şi OY în

planul median al stratificatului, care este plan de simetrie.

Pentru un material cu anizotropie generală, cu o stare triaxială de

tensiuni, relaţiile dintre tensiuni şi deformaţii specifice conţin 21

de constante elastice independente, pentru un material ortotrop

solicitat triaxial sunt necesare 9

constante, iar pentru un

material ortotrop solicitat cu o

stare plană de tensiuni, numărul

constantelor este 4.

Pentru lamina cu fibrele în

direcţia globală OX, ca în

figura 11.5, relaţiile dintre

tensiuni şi deformaţii specifice

(legea lui Hooke) au forma

Figura 11.5

258

xy

XYXY

y

Xxy

y

YY

y

Yyx

x

XX

G;

EE;

EE

, (11.1)

unde Ex şi Ey sunt modulele de elasticitate longitudinale după

direcţiile x şi y; Gxy – modulul de elasticitate transversal în planul

xOy; xy şi yx - coeficienţii de contracţie transversală.

Relaţiile (11.1) au forma matriceală

XY

Y

X

xy

yxxy

yyxx

XY

Y

X

G100

0E1E

0EE1

, (11.2)

sau

{} = [S]{}, (11.3)

în care [S] se numeşte matrice de flexibilitate a laminei sau matricea

complianţelor, care poate fi scrisă şi sub forma

666261

262221

161211

SSS

SSS

SSS

S , (11.4)

ale cărei elemente se determină prin identificare cu matricea din

ecuaţia (11.2). Observaţie. Elementele de pe ultima coloană şi de pe ultima linie ale matricei

[S] din relaţia (11.4), s-au notat cu indicele 6, pentru a pune în evidenţă faptul că

relaţiile utilizate sunt particularizări ale celor pentru starea spaţială de tensiuni, caz

în care matricea [S] are dimensiunile 6x6. Această convenţie se va păstra şi în cele

ce urmează.

Ecuaţiile (11.2) rescrise ca expresii ale tensiunilor în funcţie de

deformaţiile specifice sunt

XYxyXY

YyxX

yxxy

x

XYyxX

yxxy

x

X

G

;)(1

E;)(

1

E

, (11.5)

care pot scrise în forma matriceală

XY

Y

X

xy

yxxy

y

yxxy

yxy

yxxy

xyx

yxxy

x

XY

Y

X

G00

01

E

1

E

01

E

1

E

, (11.6)

259

sau

{} = [C]{}, (11.7)

unde [C] este matricea de rigiditate a laminei, care poate fi scrisă şi

sub forma

666261

262221

161211

CCC

CCC

CCC

C , (11.8)

ale cărei elemente se determină prin identificare cu matricea din

ecuaţia (11.6).

Matricea de rigiditate este inversa matricei de flexibilitate

[C] = [S]-1

. (11.9)

Pentru o lamină cu fibrele orientate după o direcţie care face

unghiul cu direcţia globală OX, ca în figura 11.6, tensiunile şi

deformaţiile specifice definite în

sistemul de coordonate al

stratificatului, trebuie exprimate în

funcţie de tensiunile şi deformaţiile

specifice în sistemul de coordonate al

laminei, faţă de care se definesc

caracteristicile elastice. În acest scop se

utilizează relaţiile de transformare a

tensiunilor (5.37), scrise pentru planul xOy şi relaţiile de

transformare a deformaţiilor specifice, analoage acestora.

Pentru calculul matricei de rigiditate a laminei în raport cu

sistemul de coordonate global XOY se procedează astfel:

1. Se determină deformaţiile specifice după direcţiile locale, în

funcţie de deformaţiile specifice în direcţiile globale

XY

Y

X

22

22

22

xy

y

x

scsc2sc2

sccs

scsc

, (11.10)

în care s-au notat c = cos şi s = sin .

2. Se calculează tensiunile după direcţiile locale, în funcţie de

deformaţiile specifice în direcţiile locale, cu relaţiile (11.6) în care se

înlocuiesc indicii cu litere mari cu indici cu litere mici

Figura 11.6

260

XY

Y

X

66

2221

1211

xy

y

x

C00

0CC

0CC

. (11.11)

3. Se determină tensiunile după direcţiile globale, în funcţie de

tensiunile în direcţiile locale, cu relaţiile cu relaţiile (5.37) scrise

pentru planul xOy în care se înlocuieşte = - (rotire în sens

negativ)

xy

y

x

22

22

22

XY

Y

X

scscsc

sc2cs

sc2sc

. (11.12)

4. Tensiunile după direcţiile globale, în funcţie de deformaţiile

specifice globale se obţin înlocuind (11.10) în (11.11) şi (11.11) în

(11.12), prin care se obţine

XY

Y

X

666261

262221

161211

XY

Y

X

CCC

CCC

CCC

, (11.13)

în care apare matricea de rigiditate a laminei în raport cu sistemul

global de coordonate, ale cărei elemente au expresiile (v. şi relaţiile

(11.6), (11.7), (11.8))

;sinCcossin)C2C(2cosCC 4

22

22

6612

4

1111

;sinCcossin)C2C(2sinCC 4

22

22

6612

4

1122

;)cos(sinCcossin)C4CC(C 44

12

22

66221112

;)cos(sinCcossin)C2C2CC(C 44

66

22

6612221166

;)cossin)C2CC(cossin)C2CC(C 3

662212

3

66121116

.)cossin)C2CC(cossin)C2CC(C 3

662212

3

66121126

Stratificat simetric. Un stratificat simetric se comportă ca o placă

anizotropă omogenă. Pentru solicitări în planul stratificatului,

valorile modulelor de elasticitate efective sunt egale cu mediile

aritmetice ale valorilor modulelor de elasticitate ale laminelor

261

constituente. Eforturile de membrană sunt decuplate de cele de

încovoiere.

Laminele fiind lipite între

ele, când sunt solicitate au

aceleaşi deplasări şi

deformaţii specifice, dar

având rigidităţi diferite,

tensiunile sunt diferite, ca în

figura 11.7.

Pentru determinarea stării

de tensiuni într-un stratificat simetric, de grosime h, solicitat în

planul său, se definesc tensiuni medii, prin relaţii de tipul

2h

2h

XYXY

2h

2h

YY

2h

2h

XX .dZh

1;dZ

h

1;dZ

h

1 (11.14)

Tensiunile se pot determina şi prin relaţiile matriceale

XY

Y

X2h

2h

XY

Y

X

666261

262221

1612112h

2h

XY

Y

X

XY

Y

X

]A[dZ

CCC

CCC

CCC

h

1dZ

h

1 ,(11.15)

unde [A] este matricea de rigiditate a stratificatului.

Primul element al matricei de rigiditate are expresia

2h

0

11

2h

2h

1111 dZCh

2dZC

h

1A . (11.16.a)

Deoarece pentru o lamină coeficienţii ijC sunt constanţi, integrala

(11.16.a) poate fi calculată printr-o sumă

i

ii

11

ii

i

1111h

h2C

h

2hC

h

2A . (11.16.b)

Matricea de rigiditate a unui stratificat simetric se poate calcula

adunând termenii corespunzători ai matricei de rigiditate pentru

fiecare lamină, înmulţiţi cu procentul volumic vi = 2hi/h, adică

i

i

i ]C[v]A[ . (11.17)

După ce s-a determinat matricea [A], ea poate fi inversată,

obţinând astfel matricea de flexibilitate a stratificatului [S] = [A]-1

.

Figura 11.7

262

Valorile modulelor de elasticitate pentru stratificat se pot calcula

cu relaţiile

11

12

YX

22

21

XY66XY

11

2

122211

Y

22

2

122211

X

A

A;

A

A;AG

;A

AAAE;

A

AAAE

. (11.18)

Pentru un calcul aproximativ, elementul A11 al matricei de

rigiditate se poate scrie

i

i

4

ix11 cosvEA , (11.19)

unde vi este procentul volumic al laminei cu fibrele înclinate cu

unghiul θi în stratificat.

Modulul de elasticitate longitudinal al stratificatului poate fi

aproximat cu relaţia

i

i

4

xiiX cosEvE , (11.20)

în care Exi este modulul de elasticitate al vi al laminei cu fibrele

înclinate cu unghiul θi în stratificat şi vi este procentul volumic al

laminei respective.

Dacă un stratificat simetric este solicitat la încovoiere,

deformaţiile specifice au o distribuţie lineară, iar tensiunile au o

variaţie nelineară cu salturi, datorită rigidităţilor diferite ale laminelor

componente, ca în figura 11.8.

Procedând similar ca

pentru solicitarea axială, se

determină termenii matricei de

rigiditate a stratificatului

pentru solicitarea de

încovoiere, care au forma

tot

i

i

i

1111I

ICD , (11.21)

în care Ii şi Itot sunt momentele de inerţie axiale ale laminei i,

respectiv ale stratificatului. Prin inversarea matricei [D] se obţine

Figura 11.8

263

matricea de flexibilitate a stratificatului şi apoi constantele elastice

echivalente ale stratificatului.

Concluzii

În prezent materialele compozite au largi utilizări în inginerie şi

interesul pentru folosirea lor este în expansiune. Din succinta

prezentare a acestei categorii de materiale rezultă că şi pentru

probleme relativ simple dificultăţile de calcul sunt considerabile,

acestea depăşind cadrul unui curs de rezistenţa materialelor.

Cadrul general al problematicii a fost prezentat mai sus,

dezvoltări de nivel superior urmează să fie abordate la cursuri de

specialitate sau prin cercetări independente.

Bibliografie

1. Gibson, R.F., Principles of Composite Material Mechanics,

McGraw-Hill Inc., New York, 1994.

2. Hinton, E., Owen, D.R.J., Finite Element Software for Plates

and Shells, Pineridge Press, Swansea, 1984.

3. Radeş, M., Rezistenţa meterialelor, vol I, Editura Printech,

Bucureşti, 2004.

4. Ştefănescu, F., Neagu, G., Mihai, Al., Materialele viitorului se

fabrică azi. Materiale compozite, Editura Didactică şi Pedagogică

R.A., Bucureşti, 1996.

5. Sorohan, Şt., Constantinescu, I. N., Practica modelării şi

analizei cu elemente finite, Bucureşti, Editura Politehnica Press,

2003.

6. Constantinescu, I.N., Picu, C., Hadăr, A., Gheorghiu, H.,

Rezistenţa materialelor pentru ingineria mecanică, Editura BREN,

Bucureşti, 2006.