Calculo_Diferencial - MAYNARD KON

  • View
    118

  • Download
    5

Embed Size (px)

Transcript

CALCULO DIFERENCIAL

Maynard Kong

CALCULO DIFERENCIALCUARTA EDICIN

PONTlFlClA UNIVERSIDAD CATLICA DEL PER FONDO EDITORIAL 2001

Primera Edicin, Segunda Edicin, Tercera Edicin, Cuarta Edicin,

Diciembre d e 1988 Mayo de 1991 Junio de 1995 Marzo de 2001

Diagrarnacin: Jos C. Cabrera ZigaNora O. Cabrera Ziga

DIFERENCIAL

Q

Copyright 2001 por Fondo Editorial de la Pontificia Universidad Catlica del Per, Av. Universitaria, cuadra 18, San Miguel. Apartado 1761. Lima, Per. Telefax 4600872, telfono 4602870, anexos 220 y 356.

Derechos reservados ISBN 9972-42-194-5

Prohibida la reproduccin total o parcial de este libro por cualquier medio, sin permiso expreso de los editores.

Hecho el Depsito Legal: 150105 2001 - 1036

Impreso en el Per

Printed in Peru

Maynard Kong. Egres de la Facultad de Ciencias Fsicas y Matemticas dc la Universidad Nacional de Ingeniera. Se ha desempeado como profiesor del Departamento de Ciencias de la Utziversidad Catlica en cursos de Matemticas e Irformtica de niveles y especialidades variados. Obtuvo el grado PhD en la Universidad de Chicago (Estados Unidos de Amrica) en 1976. Fue profiesor visitante en la Universidad de Stuttgart (Repblica Federal de Alemania) en 1979, y al mismo tiempo becario de la Fundacin von Humboldt en u n programa de posdoctorado, y posteriormetlte en Venezuela durante cuatro aos.Ha publicado varios trabajos de investigacin y textos de consulta universitaria, entre los que se pueden mencionar: Teora de Conjuntos (coautor), Clculo Dtferencial, Clculo Integral, Basic, Lenguaje de Programacin Pascal, Lenguaje de Programacin C, Lenguaje Ensamblador Macro Assembler e Inteligencia , ArtFcial. Ha participado en numerosos eventos de Matemticas e Informtica, tanto en el pas como en el extranjero.

En este texto se desarrollan los conceptos fundamentales del Clculo Diferencial y sus aplicaciones. La obra ofrece abundante material prctico, mediante ejemplos y problemas resueltos y propuestos, y est dirigida a los estudiantes de Ciencias, Ingeniera y Economa. En la presente edicin, adems de corregir algunos errores y reescribir varias partes del texto original, he agregado un captulo al comienzo para tratar las sucesiones y series de nmeros y otro captulo, al final, para las aplicaciones del axioma del supremo.Los estudiantes e instructores interesados directamente en las aplicaciones del Clculo Diferencial pueden omitir el ltimo captulo que tiene un carcter eminentemente terico y su propsito es mostrar la deduccin d e los teoremas mas importantes sobre los nmeros reales partiendo d e una presentacin axiomtica d e los mismos.

El texto comprende temas sobre sucesiones y series, conceptos d e geometqa analtica del plano (las curvas: circulo, parbola, elipse e hiprbola, y la ecuacin de segundo grado) necesarios en las aplicaciones posteriores, conceptos sobre lmites, continuidad y derivacin, y su uso en el estudio de las funciones.

Captulo O.0.1

Sucesiones y Series

Valor absoluto. Propiedades Algunas frmulas trigonomtricas Frmulas de la geometra analtica del plano. Distancia entre dos puntos. Punto medio. Pendiente de un segmento. Ecuacin de la recta. Angulo entre dos rectas. Distancia de un punto a una recta Funciones de variable real a valores reales Intervalos Vectores en el plano Sucesiones de nmeros reales. Sucesiones acotadas. Sucesiones convergentes y divergentes. Propiedades bsicas. Algunas sucesiones especiales. Problemas resueltos. Criterios de convergencia. Criterios de Cauchy. Sucesiones montonas acotadas. Problemas resueltos. Series de nmeros. Problemas resueltos

0.2

0.3

0.4

0.5

0.60.7

0.8

0.9

Captulo 1.1.1 1.2 1.3 1.4

El Crculo

Definicin Ecuacin del circulo en coordenadas cartesianas Problemas ,Resueltos Problemas Propuestos

Captulo 2.2.1 2.2 2.3 2.4 Notacin

La Parbola

Definicin Ecuaciones de la parbola con eje paralelo a un eje de coordenadas Ecuacin vectorial de la parbola Problemas Resueltos Problemas Propuestos

2.5 2.6

Captulo 3.3.1 3.2 3.3 3.4 3.5

La Elipse

Definicin Notacin y algunas propiedades Ecuacin de la elipse con eje paralelo a un eje de coordenadas cartesianas Problemas Resueltos Problemas Propuestos

Capitulo 4.4.1 4.2 4.3

La Hiprbola

Definicin Notacin y algunas propiedades Ecuacin de la hiprbola con eje transversal paralelo a un eje de coordenadas cartesianas. Asntotas de una hiprbola Hiprbolas conjugadas Problemas Resueltos Problemas Propuestos

4.4 4.5

4.6

Captulo 5.5.1 5.2

La Ecuacin General de Segundo Grado

Definicin de seccin cnica Teorema de clasificacin de secciones cnicas Traslacin de Ejes Problemas Propuestos Rotacin de ejes Problemas Resueltos Definicin de la ecuacin general de segundo grado Proposicin: Eliminacin del trmino cuadrtico, ngulo de rotacin Teorema: Clasificacin de la ecuacin de segundo grado segn el discriminante Nota Problemas Resueltos Problemas Propuestos

5.35.4

5.55.6

5.75.8

5.9 5.10 5.1 15.12

Captulo 6.6.16.2

Lmites de Funciones

Definicin de lmite Propiedades sobre lmites de funciones. Limite de una funcin constante. Lmites de la suma, diferencia, producto y cociente de dos funciones. Lmites de funcones polinmicas, racionales, potencias y raices. Traslacin de la variable independiente. Teorema del Sandwich. Limites trigonomtricos. Cambio de escala en la variable independiente. Lmite de la composicin de dos funciones o de cambio de variable Problemas Resueltos Lmites unilaterales Problemas Resueltos Limites que contienen infinito Problemas Resueltos Lmites infinitos Teorema: Lmites infinitos de funciones

6.3 6.4 6.5 6.6 6.7 6.8 6.9

f (4 g(x)

6.10 6.1 1 6.12 6.13 6.14 6.15

Teorema: Limites infinitos de funciones Limites de la forma lim f ( x ) ~ ' = ~c 'x+a

xn

1

Problemas Resueltos Asntotas de una curva Problemas Resueltos Problemas Propuestos

Captulo 7.

Continuidad

Definicin: Continuidad en un punto Observaciones Definicin: Continuidad en un intervalo abierto Ejemplos Propiedades de preservacin de la continuidad Teorema: Composicin de funciones continuas Clasificacin de las discontinuidades Definicin: Continuidad en un intervalo cerrado Propiedades fundamentales de las funciones continuas Problemas Resueltos

Captulo 8.

Derivacin y Funciones Elementales

Derivada de una funcin Regla para calcular la derivada en un punto Interpretacin geomtrica de la derivada. Recta tangente a una curva Problemas Resueltos Continuidad y Derivacin Derivadas por la derecha y por la izquierda Propiedades de la derivacin Derivauas de algunas funciones bsicas Nota

8.10 8.1 1 8.12 8.13

Problemas Resueltos Problemas Propuestos Regla de derivacin en cadena Problemas Resueltos

Captulo 9.9.1'

Aplicaciones de la Derivada

Derivadas de orden superior Derivadas de una funcin implcita Derivadas de funciones representadas en forma paramtrica Aplicaciones geomtricas. Definicin: rectas tangente y normal; segmentos y ngulo entre dos curvas Razn de cambio. Velocidad y aceleracin Problemas Resueltos Problemas Propuestos Difsrenciales: Definicin. Observaciones. Aproximacin de la diferencial. Propiedades de las diferenciales. Diferenciales de rdenes superiores Problemas Resueltos Valores mximos y mnimos de una funcin. Valor mximo absoluto, valor mnimo absoluto, valor minimo relativo, extremo relativo. Teorema del extremo estacionario. Punto critico. Clculo de mximos y mnimos absolutos Problemas Resueltos 313

9.2 9.3 9.4 9.5 9.6 9.7 9.8

9.9 9.10

9.1 1

Captulo 10.10.1 10.2 10.3 10.4 10.5

El Teorema del Valor Medio y sus Aplicaciones

Teorema de Rolle Teorema del valor medio. Teorema de Taylor Teorema del valor medio generalizado Teorema de la funcin constante. Teorema de la diferencia constante Problemas Propuestos Regla de L'Hospital. Evaluacin de formas indeterminadas

10.6

Problemas Resueltos Problemas Propuestos Funciones crecientes y decrecientes Criterio de la primera derivada para extremos relativos Criterio de la segunda derivada para extremos relativos Clculo de extremos absolutos en intervalos arbitrarios Concavidad y puntos de inflexin Problemas Resueltos Problemas Propuestos Problemas Resueltos Problemas Propuestos

Captulo 11.1 1.11 1.2

Funciones Inversas

Definicin de funcin Inversa Teorema: Funciones inversas de funciones crecientes Teorema: Funcin Inversa de funciones decrecientes Derivada de la funcin lnversa ProblemasFUNCIONES TRIGONOMETRICAS

11.3 1 1.4

11.5

La funcin arco seno La funcin arco coseno La funcin arco tangente La funcin arco cotangente La funcin arco secante La funcin arco cosecante Tabla de derivadas de las funciones trigonomtricas inversas Problemas Resueltos

FUNCIONES LOGARITM1CASY EXPONENCIAC11.14 11.1511.16

La funcin logaritmo natural. Propiedades. Derivaa logarmicaProbiemas Resueltos

La funcin exponencial. Propiedades. La funcin exponencial general. El nmero e. Otras pqiedaes. Derivada de la exponencial con exponente arbitrarioProMemas Resueltos

11.17

Captulo 12.12.1

El Axioma del Supremo y sus Aplicaciones

Introduccin Axiomas de los nmeros reales. Adicin, muitiplicacibn, orden y axioma del supremo. Nmeros naturales, enteros y racionales. Propiedades de los nmeros naturales. Propiedades bsicas de los nmeros reales. Aplicaciones del Axioma del Supremo. Infimo. Parte entera de un numero real. Propiedad arquirnediana. Problemas resueltos. Convergencia de sucesiones numricas. Criterio de las sucesiones montonas acotadas. Subsucesiones c