UNIVERSIDAD PEDRO RUIZ GALLO

FACULTAD DE CIENCIAS FISICAS Y MATEMATICAS

ESCUELA PROFESIONAL DE MATEMATICAS

MATEMATICA IV

presentado por:

Lic. Mat. Walter Arriaga Delgado

LAMBAYEQUE PERU

2015

Dedicatoria

Para mis padres, Martha y Elas; pa-

ra mi adorable esposa, Flor Angela

y para los mas grandes tesoros de mi

vida, mis hijas Alessandra Anghely

y Stefany Grace.

Prefacio

Vision general

Una de las situaciones mas dificiles a que se ve enfrentado comunmente un investigador en

matematica es la de tratar de explicar su labor profesional.

La respuesta a esta interrogante a lo largo de la historia de la humanidad han sido de la mas

variable ndole: hay quienes plantean que cultivan esta ciencia por satisfaccion personal, sin

buscar sus aplicaciones inmediatas; otros aseguran que, siendo la busqueda de conocimiento

consustancial a la naturaleza humana y siendo la matematica lenguaje universal, esta debe

cultivarse como contribucion al acervo cultural de la humanidad, para permitir a los diversos

pueblos comprender su propia y particular realidad. Tambien se estima necesario que todos

los pases, especialmente aquellos en desarrollo, cultiven las disciplinas basicas para as poder

lograr independizarse cientfica, tecnologica y economicamente.

Concordando en mayor o menor medida con estos planteamientos, se puede constatar que

pese a ser la matematica la mas comun de las ciencias, en el sentido de que esta presente

y es utilizada por todos en la vida cotidiana, ciertamente no es la ciencia con mayor grado

de popularidad; mucha gente tiene sentimientos de aprension, disgusto e incluso miedo a la

matematica.

Aun considerando estas dificultades, creemos que no ha sido suficientemente difundido el

muy relevante papel que juega nuestra disciplina en la formacion integral de cada ciudadano;

de manera privilegiada, la matematica aporta a esta formacion capacitando a las personas para

tomar decisiones en la vida, para enfrentar situaciones nuevas, para poder crear y expresar

ideas originales; esto se logra por ejemplo a traves de desarrollar la capacidad de abstraccion,

de ensenar a relacionar objetos o situaciones diversas, de desarrollar la intuicion; en fin, la

matematica ayuda a desarrollar una mentalidad crtica y creativa.

Es entonces muy preocupante que sea la mas desconocida de las ciencias para el ciudadano

medio; es lo que nos atrevemos a llamar el analfabetismo matematico, o, mas generalmente,

el analfabetismo cientfico.

El libro que se encuentra en estos momentos en sus manos pretende presentarle una in-

troduccion, a nivel elemental y basico, de una parte de las matematicas sumamente util y

aplicable a casi todas las ramas del saber: Las ecuaciones diferenciales.

Las ecuaciones diferenciales constituyen la cuspide de las matematicas elementales y el

i

ii Matematica IV Walter Arriaga Delgado

inicio de las matematicas aplicadas, pues permite el analisis objetivo de los problemas en cien-

cias Fsica, Qumica, Biologa, Economa e Ingeniera. Numerosos problemas que surgen en las

Ciencias Experimentales pueden resolverse por medio de ecuaciones diferenciales: problemas

relativos a la desintegracion radioactiva, al crecimiento de poblaciones animales o vegetales, a

reacciones qumicas, a la fuerza gravitatoria, a circuitos electricos, etc. se pueden formular en

terminos de ecuaciones diferenciales, de esta manera las ecuaciones diferenciales constituyen

as una parte importante de las matematicas, por consiguiente es una herramienta fundamental

para la investigacion cientfica.

De la experiencia de dictar cursos y ponencias sobre ecuaciones diferenciales es que sur-

gieron apuntes de clase que, despues de sucesivas revisiones y ampliaciones, fueron trans-

formandose hasta optar la forma que ahora presentamos, con la intencion de que sirva como

texto gua que inicie al alumno en esta fascinante rama de las matematicas, cuyo origen se

remonta al siglo XVII con Newton y Leibniz.

Objetivo

El objetivo de este libro es presentar los temas de manera clara y comprensible para los

estudiantes de cualquier nivel, de forma que los motive a preguntar porque y transmitirles el

entusiasmo y gusto por el estudio de las ecuaciones diferenciales ordinarias y a la vez propor-

cionar al lector una herramienta de consulta, dando la informacion basica para la resolucion

de estas, as como reforzar la comprension de los temas y conceptos por medio de una amplia

gama de interesantes aplicaciones en el mundo real. El texto se ha disenado para brindarle una

comprension solida e intuitiva de los conceptos basicos, sin sacrificar la precision matematica.

Aplicaciones

Una de mis metas fue convencer a lo estudiantes de la importancia de las ecuaciones

diferenciales en sus campos de estudio. As, este libro pretende implementar el estudio de

las aplicaciones de las ecuaciones diferenciales ordinarias a la Geometra, Fsica, Qumica,

Biologa, Economa, etc.

Caractersticas

Contenido

El contenido del presente manuscrito se desarrolla de la siguiente manera:

En el Captulo I, se realiza un analisis general de las Ecuaciones Diferenciales, su clasi-

ficacion, orden, grado, tipo, e interpretacion grafica de las soluciones de las ecuaciones

diferenciales.

En el Captulo II, se estudian las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de primer orden

y de primer grado y sus metodos de solucion.

Walter Arriaga Delgado Matematica IV iii

En el Captulo III, se estudia las aplicaciones de las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

de primer orden y de primer grado a las distintas areas del saber.

Caractersticas pedagogicas

En base a nuestra experiencia docente y en consejos de muchos colegas, hemos includo

varios aspectos pedagogicos para ayudar a los estudiantes a aprender y a ampliar su perspectiva

acerca de las Ecuaciones Diferenciales.

Problemas resueltos y propuestos

Un problema en matematica puede definirse como una situacion, a la que se enfrenta un

individuo o un grupo, que requiere solucion, y para lo cual no se vislumbra un camino aparente

y obvio que conduzca a la misma.

La resolucion de problemas debe apreciarse como la razon de ser del contenido matemati-

co, un medio poderoso de desarrollar conocimiento matematico y un logro indispensable de

una buena educacion matematica. El elemento crucial asociado con el desempeno eficaz en

matematica es que los estudiantes desarrollen diversas estrategias que le permitan resolver

problemas donde muestren cierto grado de independencia y creatividad.

La elaboracion de estrategias personales de resolucion de problemas crea en los alumnos

confianza en sus posibilidades de hacer matematica, estimula su autonoma, as como expresa

el grado de comprension de los conocimientos y le facilita mecanismos de transferencia a otras

situaciones.

Concebimos entonces que la resolucion de problemas es el proceso mas importante que

posibilitara a los estudiantes experimentar la utilidad y potencia de la matematica. Implicarlos

en esa labor les permitira indagar, construir, aplicar y conectar lo aprendido. De ah que una

responsabilidad importante de los docentes del area de matematica sea elaborar, seleccionar,

proponer y discutir problemas de diverso tipo y exigencia conjuntamente con los estudiantes

y con otros colegas.

Aprender matematica significa entender y usar la matematica a traves de la resolucion

de problemas, aprender matematica no solo es memorizar formulas tecnicas para resolver

ejercicios propuestos.

Hay que hacer que los alumnos trabajen dinamicamente en actividades que permitan la

construccion del saber matematico por etapas, a partir de fenomenos y de situaciones cotidia-

nas de modo que vayan elaborando conceptos de dificultad creciente, observando claramente

y de inmediato su uso.

Todo usuario de la Matematica recopila, descubre o crea conocimiento en el curso de la

actividad que realiza con un fin. El desarrollo de las actividades debe estar organizado para

que los estudiantes comuniquen ideas oralmente y por escrito. El proceso de construccion del

lenguaje matematico no puede ser una actividad individual. Es un proceso de comunicacion:

alumno-profesor, profesor-alumno y sobre todo alumno-alumno. La capacidad de usar con

iv Matematica IV Walter Arriaga Delgado

facilidad el lenguaje matematico es muy importante para comprender la matematica y por eso

las formas de comunicacion matematica deben ser cada vez mas formales y simbolicas.

El libro contiene problemas resueltos y propuestos para que el estudiante ponga a prueba

su aptitud. En los ejemplos resueltos ensenamos a los estudiantes a pensar sobre los problemas

antes de que empiecen a resolverlos.

Resumenes

Al final de cada captulo, aparece un repaso detallado de los resultados importantes del

mismo, esto permitira una clara comprension del texto.

Uso de Software

La tendencia cada vez mayor a que el docente se convierta en un facilitador del apren-

dizaje mas que un presentador de hechos ha producido una expansion en la esfera de los

paquetes de informatica especializados como los software matematicos preparados para ayu-

dar al docente. Estos paquetes tienen por objeto suplementar el trabajo practico, permitiendo

as ampliar la presentacion de la ciencia a los estudiantes. Estos software han adquirido tal

grado de complejidad en la ensenanza de la Ciencia que han recibido el nombre de Tecnologa

Educativa.

Entre los software matematicos mas importantes podemos citar: Maple, Matlab, Derive,

Mathematica, Cabri Geometry, etc.

El software matematico Maple que se ha utilizado para la preparacion de este libro, se

caracteriza por realizar calculos con smbolos que representan objetos matematicos.

Se trata de un sistema de calculo cientfico (simbolico, numerico y grafico) interactivo, con

una sintaxis proxima a la notacion matematica, disponible para una amplia gama de sistemas

operativos. Algunas de sus capacidades son:

X Operaciones numericas en aritmetica racional exacta o decimal de precision arbitraria.

X Manipulacion algebraica de variables y smbolos.

X Operaciones con polinomios, fracciones algebraicas y funciones matematicas elementales.

X Calculo de lmites, derivadas y primitivas.

X Resolucion de ecuaciones y sistemas.

X Operaciones con vectores y matrices.

X Capacidades graficas en 2 y 3 dimensiones.

X Lenguaje de programacion de alto nivel.

Walter Arriaga Delgado Matematica IV v

La historia de la matematica

La historia de la matematica esta llena de anecdotas, de problemas interesantes que pue-

den motivar a los jovenes a estudiarla y desarrollar actitude positivas hacia ella. El uso de

topicos de historia de la matematica, de biografas de matematicos, de acertijos y problemas

clasicos permite acercarnos a esta ciencia desde un punto de vista humano. Los estudiantes

comprenden que la matematica es simplemente una actividad creada por seres humanos igua-

les a ellos, quienes desarrollaron ideas creativas y resolvieron situaciones que en su tiempo

eran importantes, pero que en otros momentos sufrieron frustracion y desengano, ya sea al no

poder resolver los problemas que se plantearon, porque la sociedad no estaba preparada para

sus ideas renovadoras, o porque sufrieron la marginacion de las comunidades cientficas de la

epoca, como ocurrio en el caso de las mujeres matematicas.

Es sumamente util explorar con nuestros alumnos los inicios de un concepto, las dificultades

con las que tuvieron que enfrentarse estos investigadores y las ideas que surgieron al enfrentar

una situacion nueva. Todos estos hechos encarnan una verdadera aventura intelectual que

muchas veces se deja de lado en las clases tradicionales donde un tema aparece presentado de

manera acabada e inerte, sin posibilidad de descubrimiento, ni crtica.

Requisitos

El requisito para leer este libro es conocer el calculo diferencial e integral. Ademas, para el

estudio de las ecuaciones diferenciales ordinarias exactas y reducibles a exactas se requiere el

conocimiento del calculo diferencial de varias variables. Para aprovechar al maximo este texto

los alumnos deben contar con medios numericos de resolucion (software matematicos) que no

exigen que el usuario sea experto en computacion, pero de igual modo pueden aprender bien

incluso sin ningun medio de estos.

El autor

vi Matematica IV Walter Arriaga Delgado

ESTRUCTURA LOGICA DE LOS CAPITULOS

Ecuaciones

diferenciales

en general

Ecuaciones

diferenciales de

primer orden y

de primer grado

Aplicaciones de las

ecuaciones diferenciales

de primer orden y

de primer grado

Ecuaciones

diferenciales de

orden superior

Aplicaciones de las

ecuaciones diferenciales

de orden superior

Introduccion

Desde los comienzos de su existencia, el hombre ha estudiado su medio ambiente con la

finalidad de mejorar su situacion. Empezo por observaciones, como hacemos hoy en da, y

siguio por la reunion de informacion y su aplicacion a la vida cotidiana.

La ciencia es hoy da algo mas compleja. Nuestra capacidad de observacion ha aumentado

enormemente gracias al desarrollo de los modernos instrumentos desde los que nos permiten

ver diminutas partculas de materia ampliadas millones de veces hasta los que nos permiten

ver estrellas distantes en los lmites exteriores del universo tal como lo conocemos. Nuestros

procesos de acopio de datos tambien se han vuelto muy complejos. No solo disponemos de

medios muy rapidos para registrar informacion sino que, mediante el uso de calculadoras y

software, podemos recuperar la informacion en una fraccion de segundo. Sin embargo, mu-

chos de nosotros no tenemos todava la posibilidad de usar los ultimos inventos de la ciencia

moderna. Tenemos que trabajar con las cosas existentes en nuestro medio inmediato que van

a influir en nuestras vidas y en las de quienes nos rodean. Hay que tener en cuenta que los

cambios rapidos e incesantes del mundo de hoy hacen que tambien cambien a su compas los

conocimientos necesarios de matematica

Entre todas las disciplinas matematicas, la teora de las ecuaciones diferenciales es la

mas importante. Proporciona la explicacion de todas esas manifestaciones elementales de la

naturaleza que involucran al tiempo.

Esta obra es un intento para lograr que la ensenanza y el aprendizaje de la ciencia sean los

mas eficaces posible. Como no hay una manera perfecta de ensenar la Ciencia, esta publicacion

no pretende ser el non plus ultra de la ensenanza de la Matematica. Los profesores deben buscar

constantemente los mejores metodos para ellos mismos y para sus alumnos, as como leer con

la mayor amplitud y profundidad posibles. Sin embargo, se espera que este trabajo sirva de

documento basico para empezar. Se ha reunido las contribuciones de docentes que se han

especializado en estos temas a fin de presentar un amplio panorama de la ensenanza de esta

Ciencia.

Es importante que el pensamiento creador en todos los niveles de educacion se centre en

crear las situaciones de aprendizaje mas eficaces para los estudiantes. En consecuencia, este

texto esta destinado tanto a estudiantes de ciencias e ingeniera como a docentes en ejercicio

as como tambien a los futuros docentes de varios niveles academicos para que lo utilicen

en las situaciones mas diversas. Su finalidad es mejorar la ensenanza cotidiana de la ciencia

vii

viii Matematica IV Walter Arriaga Delgado

examinando los numerosos temas que influyen sobre el estudiante.

Este es el compromiso que como docente de la Facultad de Ciencias Fsicas y Matematicas

de la Universidad Nacional Pedro Ruiz Gallo he asumido: el contribuir a la formacion integral

de los estudiantes del presente siglo.

Se tiene siempre la esperanza de que una publicacion sea tan buena que haya demanda

de una segunda edicion. Esto permite siempre corregir las inexactitudes y las equivocaciones,

as como anadir material pertinente nuevo u omitido inadvertidamente antes. Se agradecera a

los lectores que comuniquen sus propias contribuciones y sugerencias al autor.

El calculo son las matematicas del cambio y las ecuaciones

diferenciales son el motor del calculo.

J. M. A. DANBY

Indice general

Prefacio I

Introduccion VII

1. HISTORIA DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES 1

1.1. Preliminares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

2. DEFINICIONES BASICAS 15

2.1. Definicion de Ecuacion Diferencial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.2. Clasificacion de las Ecuaciones Diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.2.1. Clasificacion segun el tipo: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.2.2. Clasificacion segun la linealidad o no linealidad: . . . . . . . . . . . . . . 17

2.3. Orden de una Ecuacion Diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.4. Grado de una Ecuacion Diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.5. Solucion de una Ecuacion Diferencial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.6. Teorema de Existencia y Unicidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.7. Grafica de Curvas Integrales (Metodo de las isoclinas) . . . . . . . . . . . . . . 23

3. ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN

Y DE PRIMER GRADO 51

3.1. Ecuaciones diferenciales ordinarias de variable separable . . . . . . . . . . . . . 52

3.2. Ecuaciones diferenciales ordinarias reducibles a variable separable . . . . . . 52

3.3. Ecuaciones diferenciales ordinarias homogeneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.4. Ecuaciones diferenciales ordinarias reducibles a homogeneas . . . . . . . . . . . 55

3.5. Ecuaciones diferenciales ordinarias exactas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3.6. Ecuaciones diferenciales ordinarias reducibles a exactas . . . . . . . . . . . . . . 60

3.7. Ecuaciones diferenciales ordinarias lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

3.8. Ecuaciones diferenciales ordinarias de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

3.9. Ecuaciones diferenciales ordinarias de Riccaty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

ix

x Matematica IV Walter Arriaga Delgado

4. ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN

Y DE GRADO SUPERIOR 111

4.1. Ecuaciones diferenciales ordinarias de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

4.2. Ecuaciones diferenciales ordinarias de Clairouts . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

5. APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINA-

RIAS DE PRIMER ORDEN Y DE PRIMER GRADO 129

5.1. Aplicaciones a la Geometra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

5.1.1. Problemas geometricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

5.1.2. Trayectorias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

5.1.3. Problemas de campo de fuerzas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

5.2. Aplicaciones a la Fsica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

5.2.1. Problemas de cambio de temperatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

5.2.2. Problemas de Dinamica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

5.2.3. Problemas de circuitos electricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

5.3. Aplicaciones a la Qumica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

5.3.1. Problemas de desintegracion de un elemento radiactivo . . . . . . . . . . 168

5.3.2. Problemas de disolucion o mezclas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

5.3.3. Problemas de contaminacion de una galera . . . . . . . . . . . . . . . . 172

5.4. Aplicaciones a la Biologa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

5.4.1. Problemas del crecimiento de un cultivo bacteriano . . . . . . . . . . . . 173

5.4.2. Problemas de conservacion de alimentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

5.5. Aplicaciones a la Economa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

5.5.1. Problemas de oferta y demanda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

5.6. Aplicaciones a la Medicina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

5.6.1. Problemas de epidemias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

6. ECUACIONESDIFERENCIALESORDINARIAS DE ORDEN SUPERIOR

REDUCIBLES A PRIMER ORDEN 199

6.1. Solucion de una ecuacion diferencial ordinaria de orden n . . . . . . . . . . . . 200

6.1.1. Tipos de soluciones de una ecuacion diferencial ordinaria . . . . . . . . 200

6.1.2. Formas en las que pueden aparecer las soluciones de una ecuacion dife-

rencial ordinaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

6.2. Problema de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

6.2.1. Teorema de Existencia y Unicidad de soluciones de un problema de Cauchy201

6.3. Reduccion del orden de una ecuacion diferencial ordinaria . . . . . . . . . . . . 202

7. ECUACIONESDIFERENCIALESORDINARIAS LINEALES DE ORDEN

n 211

7.1. Dependencia e independencia lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

7.2. Wronskiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

Walter Arriaga Delgado Matematica IV xi

7.3. Ecuaciones diferenciales ordinarias lineales homogeneas con coeficientes cons-

tantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

7.4. Ecuaciones diferenciales ordinarias lineales no homogeneas . . . . . . . . . . . . 220

7.4.1. Metodo de los coeficientes indeterminados . . . . . . . . . . . . . . . . . 220

7.4.2. Metodo de los operadores diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223

7.4.3. Metodo de variacion de parametros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226

7.4.4. Metodo de reduccion de orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228

7.5. Ecuaciones diferenciales ordinarias lineales con coeficientes variables reducibles

a coeficientes constantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229

7.5.1. Ecuaciones diferenciales ordinarias de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . 230

7.5.2. Ecuaciones diferenciales ordinarias de Euler (Legendre) . . . . . . . . . 233

xii Matematica IV Walter Arriaga Delgado

1HISTORIA DE LAS

ECUACIONES DIFERENCIALES

1.1. Preliminares.

En adelante, intentaremos hacer un esbozo historico enfocado, no a brindar una cronologa

de los resultados obtenidos, sino a los metodos, problemas, dificultades y obstaculos que han

enfrentado los matematicos en este campo de investigacion, en base a la presencia de los

metodos algebraicos, geometricos y numericos. Es decir, estamos interesados en mostrar la

trascendencia historica de las ecuaciones diferenciales ordinarias vinculadas con su ensenanza.

La Mecanica es la mas antigua de las ciencias fsicas. Los escritos mas antiguos que se

registran acerca de esta materia, son los de Arqumedes (287 - 212 a.c.) referentes al principio

de la palanca y al principio del empuje. A la formulacion de las leyes de la composicion vectorial

de fuerzas dada por Stevin (1548 - 1620), aguardaba un proceso sustancial y el mismo autor

enuncio la mayora de los principios de la Estatica. El primer estudio de un problema dinamico

se debe a Galileo (1564 - 1642) y se refiere a los experimentos sobre la cada de los cuerpos,

aunque debemos considerar un precursor importante: Copernico (1473 - 1543), quien con su

sistema heliocentrico, sento las bases de una nueva ciencia: La Mecanica Celeste.

Historicamente, la integracion antecedio a la diferenciacion por, practicamente, dos mil

anos. El antiguo metodo griego de exhaucion y las medidas infinitesimales de Arqumedes,

representan ejemplos antiguos de procesos lmites de sumas integrales, pero no fue hasta el

siglo XVII que Fermat, encontro las tangentes y los puntos crticos por metodos equivalentes

a la evaluacion de cocientes incrementales. El descubrio la naturaleza inversa de estos dos

procesos, junto con la consecuente explicacion de la antiderivacion en la determinacion lmite

de sumas. La diferenciacion, tanto inversa como directa, convirtio el algoritmo basico en una

nueva y poderosa parte de la Matematica. La integracion fue tomada como la memoria de

la derivacion y no fue hasta 150 anos mas tarde, que la atencion se dirigio directamente al

concepto de sumacion en el calculo.

El Calculo aparecio impreso, por primera vez, en una memoria de seis paginas de Leibniz

1

2 Matematica IV Walter Arriaga Delgado

(1646 - 1716) en el Acta Eruditorium de 1684, que contena una definicion de la diferencial y

donde dio pequenas reglas para su calculo en sumas, productos, cocientes, potencias y races.

El incluyo tambien pequenas aplicaciones a problemas de tangentes y puntos crticos.

Ante los creadores del Calculus, el problema de la integracion de la Ecuaciones Diferencia-

les, en su inicio, se presentaba como parte de un problema mas general: el problema inverso

del analisis infinitesimal. Naturalmente, al inicio, la atencion se concentraba en las diferentes

ecuaciones de primer orden. Su solucion se buscaba en forma de funciones algebraicas o tras-

cendentes elementales, con ayuda de metodos mas o menos exitosamente elegidos. Para reducir

este problema a la operacion de busqueda de funciones primitivas, los creadores del analisis y

sus discpulos, tendan en cada ecuacion diferencial a separar las variables. Este metodo, con

el que actualmente comienzan los textos sistematicos de la teora de ecuaciones diferenciales,

resulto, al parecer historicamente el primero.

En primer lugar, senalaremos que el termino aequatio differentialis, fue primeramente uti-

lizado por Leibniz (en un sentido bastante restringido) en 1676 para denotar una relacion

entre las diferenciales dx y dy y dos variables x e y, concepcion que se conserva hasta los

tiempos de Euler (en los anos 1768 , 1770). Asimismo, es importante destacar que las ecuacio-

nes diferenciales ordinarias surgen practicamente con la aparicion del Calculus, en la celebre

polemica Newton - Leibniz se tiene un gran momento cuando Newton comunica (por medio de

Oldenburg) a Leibniz el anagrama Data aequetione quotcunque fluentes quantitaes involvente

fluxiones invenire et viceversa. Este fue, como dice Arnold, el descubrimiento fundamental

de Newton que considero necesario mantener en secreto, y el cual en el lenguaje contem-

poraneo significa: Es util resolver ecuaciones diferenciales. Curiosamente Ince afirma que la

fecha de aparicion de estas es el 11 de Noviembre de 1675 cuando Leibniz escribe la ecuacionydy =

y2

2por lo tanto no resolvio una ecuacion diferencial, la cual por si mismo es un

asunto trivial, sino que fue un acto de un gran momento, fraguando una herramienta poderosa,

el signo de integral.

La primera clasificacion de las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de primer orden (en

lenguaje de la epoca ecuaciones fluxionales) la dio Newton. El primer tipo estaba compuesto

de aquellas ecuaciones en las cuales dos fluxiones x, y, y un fluente x o y estan relacionados,

como por ejemplox

y= f(x) o, o bien como escribamos en la actualidad

dy

dx= f(x),

dy

dx=

f(y); el segundo tipo abarco aquellas ecuaciones que involucran dos flexiones y dos fluentesx

y= f(x, y),

dy

dx= f(x, y). Y finamente, el tercer tipo abarco a ecuaciones que involucran mas

de dos flexiones, las cuales en la actualidad conducen a ecuaciones diferenciales en derivadas

parciales.

Por ultimo, es conveniente resaltar algunas de las caractersticas mas importantes con que

abandonamos el momento historico de Newton - Leibniz:

1. En esta epoca los problemas todava eran abordados con la vision geometrico - euclidiana.

Tanto Leibniz como Newton, elaboran sus conceptualizaciones matematicas en terminos

de entes geometricos en los que se representan las propiedades y conceptos. Esto era

Walter Arriaga Delgado Matematica IV 3

una consecuencia de lo restringido que se encontraba el concepto de funcion en el siglo

XVII. La nocion de funcion permaneca aun ligada a la idea de curva geometrica. En

este sentido, obviamente el concepto de tangente era el euclidiano. En Leibniz hay un

elemento diferente aunque ambiguo, de concebir la recta tangente como aquella que une

los dos puntos infinitamente proximos. De todas maneras la nocion que se manejaba de

recta tangente era netamente intuitiva.

2. El calculo tanto de Newton como el de Leibniz trataba de cantidades variables. En

Leibniz una sucesion de valores infinitamente proximos; en Newton cantidades que va-

riaban con el tiempo. El primero concibe el continuo geometrico formado por segmentos

infinitesimales. El segundo tiene una idea intuitiva de movimiento continuo cercana al

concepto de lmite. Newton prefera referirse a lo indefinidamente pequeno en terminos

de ultimas razones.

En la ultima decada del siglo XVII, los hermanos Bernoulli (James y Johan) introducen

terminos como el de integrar una ecuacion diferencial, as como el proceso de separacion

de variables (separatio indeterminatarum) de una ecuacion diferencial.

Alrededor de 1692, Johan Bernoulli I (1667 - 1748) encontro otro metodo, utilizado en

una serie de problemas, la multiplicacion por un factor integrante (sobre todo para resolver

ecuaciones en los cuales el metodo anterior no se poda aplicar, digamos la ecuacion xdy ydx = 0), ya que aunque era posible separar las variables no se poda integrar, ya que en la

epoca no se conoca que

dx

x= lnx), metodo tambien usado por su sobrino Daniel (1700 -

1782) a partir de 1720.

Sin embargo, los metodos eran incompletos y la teora general de las ecuaciones diferen-

ciales, a comienzos del siglo XVII no poda ser propuesta.

Resultados de caracter general comienzan a advertirse a mediados de los anos 20 del

siglo XVII. En 1724, el matematico italiano J. F. Riccati (1676 - 1754) estudio la ecuaciondy

dx+ ay2 = bx, (, a, b constantes) determinado la integrabilidad en funciones elementales

de esta, de aqu que (y a propuesta de DAlembert en 1769) lleve su nombre, denominacion

extendida a todas las ecuaciones del tipo, (P , Q y R funciones continuas). La investigacion

de esta ecuacion fue ocupacion de muchos matematicos: Leibniz, Ch. Goldbach (1690 - 1764),

Johan I, Nicolas I (1687 - 1759) y Daniel Bernoulli entre otros. Daniel establecio que esta se

integra mediante funciones elementales s = 2 o = 4x2k1 k entero.Es a Euler a quien le corresponde la primera sistematizacion de los trabajos, donde en-

contramos lo que se puede llamar la primera teora de las ecuaciones diferenciales ordinarias.

Esta obra contiene una buena parte (y mucho mas) del material que encontraramos en un

libros de texto actual, como el estudio de las ecuaciones diferenciales de primer orden (y su

correspondiente clasificacion en separables, homogeneas, lineales, exactas), las de se-

gundo orden (lineales, y las susceptibles de reducir el orden), y su generalizacion a las de orden

superior. Asimismo, encontramos el metodo de series de potencias para resolver ecuaciones

4 Matematica IV Walter Arriaga Delgado

como y axny = 0. Lo que desde nuestra perspectiva, vale destacar de este trabajo, es suforma de conceptualizar las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias, la expresion dy/dx significa

para Euler un cociente entre diferenciales y no nuestra derivada actual, en una ecuacion de

segundo orden aparecen los diferenciales ddy, dx2 en lugar de la segunda derivada y. Por

otra parte, consideramos que este trabajo marca el fin de la etapa algebraica-algortmica en la

historia de las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias, y comienza la segunda etapa (hasta fines

del siglo XIX), que hemos llamado Fundamentos, en atencion a que en esta, las principales

cuestiones de fundamentacion, recibiran tratamiento y solucion.

DAlembert (en 1766) encontro que la solucion general de una ecuacion lineal no ho-

mogenea, es igual a la suma de una cierta solucion particular y la solucion general de la

correspondiente ecuacion homogenea.

Muchos matematicos (en particular Clairaut y Euler) siguieron elaborando el metodo de

factor integrante. As, en los anos 1768-1769, Euler investigo las clases de ecuaciones diferen-

ciales que tienen factor integrante de un tipo dado e intento extender estas investigaciones a

ecuaciones de orden superior. Finalmente, cerraremos esta etapa, mencionando las contribu-

ciones de Lagrange (1736-1813), las cuales, al igual que Euler, fueron hacia el ultimo cuarto

del siglo XVIII. Lagrange demostro que la solucion general de una ecuacion diferencial lineal

homogenea de orden n con coeficientes constantes, es de la forma y = c1y1 + c2y2 + ...+ c0y0,

donde y1, y2, , yn son un conjunto de soluciones linealmente independientes y c1, c2, , cnson constantes arbitrarias (Principio de Superposicion); asimismo, tambien descubrio en su

forma general el metodo de variacion de parametros (o constantes), hacia 1774.

La citada Ecuacion de Riccati, rompe con la tradicion algebraica: una ecuacion relativa-

mente sencilla que en la mayora de los casos no puede integrarse en cuadraturas. En segundo

lugar, este rompimiento es mas fuerte si puntualizamos que una de las razones por las cuales

es mas facil resolver una ecuacion diferencial lineal que una no lineal (aparte de la propia

naturaleza de esta ultima que puede impedir tal proposito) es la existencia del Principio de

Superposicion ya mencionado. Este principio, es la forma usual de expresar la solucion general

como una funcion de un numero finito de soluciones particulares.

En el ano 1743, surgieron los conceptos de integral particular y general, encontradas por

Euler ya en 1739. Ellos fueron publicados en la memoria donde se trata de un unico algoritmo

de resolucion de ecuaciones lineales de orden n con coeficientes constantes.

La teora general de la que tanto se haba hablado, aparece expuesta por vez primera, como

ya dijimos, en el famoso lnstitutiones. . . de Euler, obra que consta de tres tomos que vieron

la luz sucesivamente en los anos 1768, 1769 y 1770 y con un suplemento en 1794, culminando

la serie de libros de Euler dedicados a la exposicion sistematica del analisis contemporaneo.

En este contexto, veamos el protocolo de rigor que imperaba a finales del siglo XVIII:

Cada concepto matematico deba ser explcitamente definido en terminos de otros con-

ceptos cuya naturaleza era suficientemente conocida.

Las pruebas de los teoremas deban ser completamente justificadas en cada una de sus

Walter Arriaga Delgado Matematica IV 5

etapas, o bien por un teorema anteriormente probado, por una definicion, o por un

axioma explcitamente establecido.

Las definiciones y axiomas escogidos deban ser lo suficientemente amplios para que

pudiesen cubrir los resultados ya existentes.

La intuicion (geometrica o fsica) no era un criterio valido para desarrollar una prueba

matematica.

Las dos primeras caracterizaciones han permanecido mas o menos estables desde la epoca

de Euclides. Los dos ultimos, son un pronunciamiento en contra de concepciones matematicas

muy comunes hasta el siglo XVIII. En esta epoca, casi todos los problemas del calculo, surgan

de la necesidad de matematizar algun fenomeno de ndole fsico. Por este hecho, los resultados

matematicos cobraban importancia en la medida en que reflejaran una realidad tangible.

La relacion entre matematicas y naturaleza era muy cercana. Lo que haca el calculo era

traducir al lenguaje de las funciones la explicacion o las relaciones causales de los fenomenos

naturales. Afortunadamente, estas funciones (de caracter regular en el sentido euleriano) tenan

comportamiento adecuado al nivel del saber matematico entonces dominante, es decir, no

problematizaban ni hacan entrar en crisis sus resultados.

La contradiccion entre los algoritmos del calculo diferencial y su correspondencia con las

representaciones existentes entonces con el rigor matematico heredado de los griegos, fue evi-

dente para la mayora de los matematicos del siglo XVIII. Por otra parte, este calculo en-

contraba cada da nuevas aplicaciones en la mecanica y la astronoma, convirtiendose, poco a

poco, en la parte central y mas productiva del conocimiento matematico. El problema de la

fundamentacion del calculo diferencial se hizo cada vez mas actual, convirtiendose en uno de

los problemas del siglo. Esta claro que una teora puede ser logicamente fundamentada solo

cuando llega a determinado nivel de madurez. Una teora que todava se encuentra en el esta-

dio de busqueda de leyes fundamentales de desarrollo y de definicion precisa de sus conceptos

principales no puede ser fundamentada logicamente. Ademas, para poder hablar de una fun-

damentacion filosofica los conceptos fundamentales deben ser suficientemente generales y a la

vez bien determinados. La fundamentacion logica y filosofica del calculo diferencial e integral

era objetivamente imposible sobre la base de los conceptos sobre los cuales aparecieron y por

eso los esfuerzos de Newton, Leibniz, Lagrange y otros, hasta los mismos comienzos del siglo

XIX, terminaron en el fracaso. Senalemos las principales insuficiencias:

1. Incorrecta comprension del concepto de diferencial: En Leibniz, LHospital, Eu-

ler y otros matematicos del siglo XVIII el concepto de diferencial se confunda en el

incremento. Una aproximacion suficientemente correcta del concepto de diferencial fue

dada solo por Lagrange (1765).

2. Insuficiente comprension del concepto de funcion: De hecho hasta fines del siglo

XIX los matematicos partiendo de la intuicion mecanica y geometrica, entendieron por

6 Matematica IV Walter Arriaga Delgado

fundamentacion solo las funciones analticas representadas por una determinada formula

(en algunos casos infinita como es el caso de las consideraciones de Fourier ligadas con

su teora del calor). Solo con la aparicion de las funciones discontinuas en problemas

practicos, los matematicos prestaron atencion a la formacion logica del concepto de

funcion.

3. Ausencia de un concepto claro de lmite: Los seguidores de Newton: Maclaurin,

Taylor, WaIlis y otros, mantuvieron una larga discusion sobre el hecho de que si la

variable alcanza o no el lmite. Este problema no era facil, precisamente, porque no haba

una definicion precisa de lmite y solo se determinaba por razonamientos mecanicos y

geometricos. Esta insuficiencia permanecio hasta Cauchy (1823).

4. El concepto de continuidad funcional era intuitivo: Esto se explica porque los

matematicos del siglo XVIII consideraban todas las funciones continuas y por eso no

tenan la necesidad de precisar este concepto. Solo a principios del siglo XIX se comenzo a

pensar en este problema (otros detalles los puede encontrar en la ultima seccion de esta

conferencia).

5. Concepto difuso de integral definida: Relacionado ante todo con la ausencia de un

teorema de existencia. Se consideraba por ejemplo, que la formula de Newton- Leibniz

tena un significado universal, es decir, que era valida para todas las funciones y en

todas las condiciones. Los esfuerzos en la precision del concepto hechos por Lacroix,

Poisson y Cauchy pusieron en primer plano el concepto de lmite y de continuidad. Pero

el problema de la integral definida solo hallo una respuesta completa hasta fines del siglo

XIX en los trabajos de Lebesgue.

6. Se necesitaba tener una clara comprension de lo que era un sistema numerico:

En particular, la estructura del sistema de los numeros reales, lo que no sucedera sino

con las investigaciones de Dedekind y Cantor, entre otros; otra de las concepciones

basicas relacionadas con este topico, era el concepto mismo de numero (aqu, nuevamente

debemos mencionar a los matematicos del siglo XIX y a Frege en especial, para seguir

con Russel, etc.).

As, el movimiento del analisis matematico en el siglo XVIII hacia su fundamentacion,

puede describirse completamente en el sistema teora-practica, esto es, como interrelacion

dialectica entre estos momentos. La necesidad del calculo de areas y volumenes y del hallazgo

de maximos y mnimos entre otros problemas concretos, conllevo a la creacion del algoritmo

del calculo diferencial e integral. La aplicacion de estos algoritmos a nuevos problemas inevi-

tablemente conllevo a la generalizacion y precision de los algoritmos. En ultima instancia,

el analisis se formalizo como logicamente no-contradictorio, como un sistema relativamente

cerrado y completo.

Existe una etapa intermedia entre esta epoca y los trabajos de Poincare y Liapunov, ca-

racterizada fundamentalmente, por un lado, por los metodos en series para la busqueda de

Walter Arriaga Delgado Matematica IV 7

soluciones, los cuales produjeron las llamadas funciones especiales y por otro, por la investiga-

cion sobre los teoremas de existencia y unicidad de las soluciones de una ecuacion diferencial,

los cuales sirvieron, como afirma Ince para determinar en forma rigurosa, la pregunta de la

existencia de soluciones de aquellas ecuaciones que no fueron integrables por metodos elemen-

tales.

Ilustremos el desarrollo de las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias, tomando como base, el

pendulo matematico libre. El estudio de tal pendulo constituye, hace un buen numero de anos,

un captulo clasico de todo libro de texto de mecanica analtica. Mgr. Lemaitre, lo adelanto

en sus conferencias en la Universidad de Louvain (Belgica). Sus notas de conferencia son

tituladas: Lecciones de Mecanica. El Pendulo, y podemos leer en su introduccion: Una

actitud intermedia que nosotros seguiremos, consiste en retener de la historia de la ciencia, la

preeminencia dada a un problema particular, el movimiento del pendulo, y por tanto presentar

los conceptos fundamentales en el marco de este problema particular... Este problema del

pendulo es uno de aquellos donde la ciencia de la mecanica fue surtida de una de sus mayores

contribuciones a la edificacion de las matematicas modernas, porque el puede ser ampliamente

identificado, con el estudio de las funciones elpticas alrededor de las cuales, fue construida la

teora de funciones de una variable compleja. . ..

Mucho mas reciente, en la Encyclopediae Universalis francesa, en un artculo titulado

Systemes dynamiques differentiables, A. Chenchiner usa de nuevo el pendulo como un tema

central, para iniciar al lector a la teora moderna de sistemas dinamicos: el primer captulo

describe en detalle ejemplos conectados al pendulo e introduce mas y mas comportamientos

asintoticos complejos cuyos analisis van a requerir los conceptos mas abstractos de la ultima

parte, en el captulo nueve de este artculo, encontramos: el pendulo sin friccion; un sistema

Hamiltoniano, el pendulo con friccion lineal: un sistema estructura/mente estable, perturba-

ciones periodicas de un pendulo friccionado y difeomorfismo que preservan el area en el plano.

A pesar de sus precursores, Galileo es el primer cientfico asociado al estudio experimental

y teorico del pendulo. Es conocida la historia verdadera o falsa de su descubrimiento en 1583 o

1584, del isocronismo de las oscilaciones del pendulo, observando una lampara suspendida en

la Catedral de Pisa. El primer documento escrito de Galileo sobre el isocronismo del pendulo

es una carta de 1602 a Guidobaldo del Monte: Ud. debe perdonar mi insistencia en mi deseo

de convencerlo de la verdad de la proposicion que los movimientos en el mismo cuadrante de

un crculo son hechos a igual tiempo. En su famoso Dialogo, el escribio: El mismo pendu-

lo hace sus oscilaciones con la misma frecuencia, o con poca diferencia, casi imperceptible,

cuando estas son hechas por una circunferencia mayor o sobre una muy pequena. Esto es,

por supuesto, un planteamiento erroneo o, en un camino positivo, podemos considerar que es

una manifestacion muy primitiva de lo que es, posiblemente, la primera herramienta basica

en la ciencia no-lineal: la linealizacion. Conocemos que el isocronismo no es una propiedad de

las soluciones de la ecuacion diferencial del pendulo con longitud 1:

u +

(g

l

)senu = 0, (1.1)

8 Matematica IV Walter Arriaga Delgado

pero de su forma linealizada si

u +

(g

l

)u = 0, (1.2)

La expresion precisa T = 2(g/l)1/2 para el perodo de las soluciones de (1.2), sera lo primero

dado por Newton en su Principia, en 1687.

Note que algunas aplicaciones del pendulo fueron ya presentidas por Galileo, en particular

a la medicion de un Pulsilogium para chequear el pulso de un paciente, a la navegacion en

la determinacion de la longitud y a la horologa con la regulacion de los relojes mecanicos. Si

Guidobaldo del Monte expreso en 1602 un buen grado de escepticismo al llamado Isocronismo

de Galileo, fue un astronomo belga, Wendelin, quien primero mostro experimentalmente que el

periodo de las oscilaciones crece con las amplitudes de las oscilaciones y dio tablas justas en su

Luminacarni Eclipses Lunares de 1644. Este hecho fue entonces deducido matematicamente

por Huggens en su famoso Horologium de 1673, y el mismo Huyggens tambien observo los

fenomenos no-lineales de Sincronizacion en dos pendulos fijados sobre una misma cuerda

delgada. Doscientos quince anos despues, Van der Pool y Appleton descubrieron un fenomeno

analogo en circuitos electricos y la teora iniciada por Galileo.

La relacion matematica entre el perodo T y la amplitud A es expresada por Euler en 1736

en su Mechanica por la serie:

T = 2

(l

g

)1/2[1 +

k=1

(1 3 (2k 1)2 4 (2k)

)sen

(A

2

)],

y Poisson en su Traite de Mecanique de 1811, analizo la ecuacion del perodo, usando un

metodo de desarrollo en series de potencia de un parametro pequeno. La relacion anterior

fue formulada por Legendre en 1825 (Traite des fonctions elliptiques) y por Jacobi en 1829

(Fundamenta nova theoriae functionem ellipticarum) para integrales y funciones elpticas.

La teora cuantitativa del pendulo libre fue completada por la expresion de las soluciones de la

ecuacion (1.1) en terminos de funciones elpticas. Debemos a Poincare en 1881 el estudio cuali-

tativo de las soluciones de ecuaciones diferenciales nolineales, particularmente, en el caso de la

ecuacion (1.1), la descripcion topologica de las orbitas (u(t), u(t)) de las soluciones de (1.1), en

el plano de fases (u, u). El retrato correspondiente, con el equilibrio estable (2k, 0), centros,

el equilibrio inestable ((2k + 1), 0), puntos de sillas, las soluciones periodicas no constantes

(orbitas cerradas) sobre las que Poincare apunto: Lo que hace que estas soluciones periodicas

sean tan apreciadas es que son, por as decirlo, la unica brecha por donde podemos intentar

penetrar en un lugar considerado hasta aqu inabordable, las soluciones rotatorias y las sepa-

ratrices conectadas con el equilibrio inestable (orbitas heteroclnicas u orbitas homoclnicas, si

identificamos, modulo 2 , el equilibrio inestable, i.e., si trabajamos sobre la variedad natural

cilndrica de fases). Como tantas veces, la historia tomo el camino opuesto con respecto a la

metodologa de Poincare en el ataque de las ecuaciones diferenciales no-lineales: el estudio

cuantitativo del pendulo libre haba precedido al cualitativo.

Por otra parte, en el estudio de ciertos sistemas fsicos, resulta interesante, y casi siem-

pre necesario, conocer propiedades (de las soluciones de la ecuacion o sistema que modela

Walter Arriaga Delgado Matematica IV 9

tal sistema) tales como acotamiento, estabilidad, periodicidad, etc., sin tener que recurrir a

la ardua y laboriosa tarea, que en muchos casos es impracticable, de encontrar expresiones

analticas para las soluciones. De este modo, surgio el problema de investigar las propiedades

de las soluciones de una ecuacion diferencial a partir de su propia expresion, dando lugar a

la Teora Cualitativa de las Ecuaciones Diferenciales, teora que surge en la segunda mitad del

siglo XIX y que fue abordada inicialmente por Jules Henri Poincare (1854-1912) y Alexander

Mijailovich Liapunov (1857-1918) aunque por motivos diferentes, el primero, debido al estudio

de figuras de equilibrio y de la estabilidad del movimiento y el otro, debido a sus investiga-

ciones en Mecanica Celeste y que marca el inicio de la tercera etapa en el desarrollo de las

Ecuaciones Diferenciales Ordinarias, la etapa Cualitativa, que transcurre hasta nuestros das,

aunque en los ultimos anos, se han ido modificando estos estudios.

As, 1892 es un annus mirabalis en la formalizacion de metodos generales para la teora de

las ecuaciones diferenciales no lineales y la mecanica no lineal. Liapunov y Poincare, convirtie-

ron la no linealidad en su objeto de estudio y aportaron metodos y conceptos fundamentales en

el estudio de las ecuaciones diferenciales lineales y no lineales. Mas aun, cuando sus resultados

son combinados con las nuevas tecnicas matematicas desarrolladas durante esta centuria. Mas

estricto, algunos aspectos de estos trabajos han mostrado su conexion con la Teora del Caos,

el nuevo paradigma de las Matematicas y la Fsica, por ejemplo, los resultados de Poincare so-

bre movimientos cercanos a orbitas homoclnicas y heteroclnicas y el concepto de Liapunov

de numeros caractersticos, hoy llamados exponentes de Liapunov. Despues de una centuria

de totalitarismo, se ha descubierto que las Matematicas pueden ser en ocasiones el estudio de

estructuras y que la Fsica puede ser la Fsica Cuantica. Y el comun denominador de esta li-

beralizacion es la nolinealidad. En los ultimos 15 o 20 anos, se modifico fuertemente el aspecto

de la Teora Cualitativa de las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias. Uno de los progresos mas

importantes, consistio en el descubrimiento de regiones lmites de nuevo tipo, que recibieron

el nombre de atractores. Resulto que, paralelamente a los regmenes limites estacionarios y

periodicos, son tambien posibles regmenes lmites de una naturaleza completamente distinta,

en las cuales cada trayectoria por separada es inestable, mientras que el mismo fenomeno de

la salida al regimen lmite en cuestion es estructuralmente estable. El descubrimiento y el

estudio detallado de tales regmenes (atractores) para los sistemas de ecuaciones diferenciales

ordinarias, requirio de la participacion de los recursos de la geometra diferencial y la topo-

loga, del analisis funcional y la teora de las probabilidades. En la actualidad tiene lugar una

penetracion intensiva de estos conceptos matematicos en las aplicaciones. As, por ejemplo,

los fenomenos que tienen lugar durante el paso de una corriente laminar a una turbulenta, con

el aumento de los numeros de Reynolds, se describen mediante un atractor.

Durante la utilizacion de cualquier modelo matematico surge el problema de la validez de la

aplicacion de los resultados matematicos a la realidad objetiva. Si el resultado es fuertemente

sensible a una pequena modificacion del modelo, entonces, variaciones tan pequenas como se

quiera del mismo, conduciran a un modelo con propiedades distintas. No se pueden extender

tales resultados al proceso real investigado, debido a que en la construccion del modelo se

10 Matematica IV Walter Arriaga Delgado

realiza siempre una cierta idealizacion y los parametros se determinan solamente de manera

aproximada.

Esto llevo a Andronov y Pontriaguin (en 1937) al concepto de sistemas gruesos o de

estabilidad estructural. Este concepto resulto muy fructfero, en el caso de los espacios de fases

de dimensiones pequenas (1 o 2) y en este caso, los problemas de la estabilidad estructural,

fueron detalladamente estudiados. De esta manera, la teora de las ecuaciones diferenciales en

el presente, constituye una rama de la matematica, excepcionalmente rica por su contenido,

que se desarrolla rapidamente, en estrecha relacion con otros dominios de la matematica y sus

aplicaciones.

Sin embargo, en el desarrollo de la Matematica figuran varios desenganos sucesivos, cuyo

desenlace puede citarse en la perdida de la certidumbre como reza el ttulo del libro de Kline.

Parafraseandolo, las Matematicas han pasado desde mediados del siglo XIX por estos trances

(entre otros):

1. La perdida de arraigadas evidencias y certezas fsico-matematicas, sobre todo a partir

del desarrollo de las geometras no-euclidianas. Con ello se fue diluyendo la fe del pensa-

miento moderno de los siglos XVII-XVII en una suerte de armona preestablecida entre

la geometra euclidiana y bien la configuracion real del espacio fsico, o bien la confir-

macion mental de nuestra percepcion del espacio, tan es as, que la asimilacion de los

conjuntos fractales aun hoy en da, no es ni siquiera satisfactoria.

2. La quiebra de las aspiraciones a cimentar la solidez logico y/o teorico del edificio deduc-

tivo de la matematica clasica. Se penso, por ejemplo, que las investigaciones en el campo

de la existencia y la unicidad de las soluciones, para ecuaciones diferenciales definidas

sobre espacios infinito-dimensionales, podan seguir el mismo esquema que en el caso de

espacios de dimension finita. Uno de los primeros resultados en tal sentido es debido a

F. E. Browder (en 1964) y W. J. Knight demostro que estaba incorrecto.

La teora de las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias permite estudiar los mas diversos

procesos de evolucion que pueden determinarse, tener dimension finita y ser diferenciables.

Estas tres propiedades forman la base de la mecanica de los sistemas discretos. Un proceso

se llama determinado, si su estado pasado y futuro puede obtenerse a partir de su estado

presente. El conjunto de todos los estados del proceso, se llama Espacio de Fases. El proceso

se denomina de dimension finita si su espacio de fases lo es, es decir, si el numero de parametros

necesarios para describir completamente su estado, es finito. El proceso se llama diferenciable,

si su estado de fases tiene estructura de variedad diferencial.

A proposito de lo anterior, la expresion exacta de la idea de la determinacion, son los teo-

remas de existencia y unicidad. Para una ecuacion escalar de primer orden y = f(x, y), esta

preocupacion comienza con Euler en su Institutiones... con su metodo de las quebradas, el

cual se usa en la actualidad como un metodo numerico, lo continua Cauchy (1789-1857), de-

mostrando semejante teorema por primera vez en sus conferencias dictadas en 1820-1830 bajo

el ttulo Exposition dune Methode a laide de laquelle on peut integrer par approximation un

Walter Arriaga Delgado Matematica IV 11

grand nombre dEquations differentielles au premier ordre y lo presentamos a continuacion,

por su indudable valor historico y metodologico.

Teorema 1.1.1. (Teorema de Cauchy.) Si el segundo miembro de la ecuacion diferencial

y = f(x, y) (1.3)

es analtica en ambas variables, x e y, en una vecindad del punto (x0, y0), entonces la ecuacion

(1.3) posee una unica solucion y(x) que satisface la condicion inicial

y(x0) = y0, (1.4)

y esta solucion es analtica en una vecindad de x0.

Es facil entender que el requerimiento de que f sea analtica es artificial, por otra parte,

esta restriccion falla en muchos problemas de aplicaciones, as, como teora general, es muy

exigente.

El problema del rigor en el Calculus, se pudo establecer en el siglo XIX, basicamente por

las tres circunstancias siguientes:

exista un algebra de desigualdades bien desarrollada,

el rigor se empezaba a considerar importante, y

los conceptos relacionados con la convergencia (lmites, series, derivadas, integrales de-

finidas, etc.) eran describibles en el lenguaje de las desigualdades.

Si tomamos en cuenta la demostracion del Teorema de Cauchy (construccion de las Que-

bradas de Euler y demostracion de su convergencia usando una serie numerica mayorante) ve-

remos que necesitaba de los requerimientos antes senalados. Este metodo de Cauchy-Lipschitz

tiene sobre el de Picard-Lindeloff (aproximaciones sucesivas), la ventaja que permite construir

la solucion en todo intervalo finito donde esta es continua. En general, los teoremas que son

utilizados en los cursos de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias no son constructivos, es decir,

no brindan formulas o algoritmos para determinar las soluciones. Pese a ello, su tratamiento

se ha mantenido pues permite una formulacion matematica razonable, aun en el ambiente al-

gebraico en que esta inmerso. As, la ecuacion y = y2 + t2, y(0) = 1, no se puede resolver en

cuadraturas sin embargo, admite una unica solucion y las quebradas convergen uniformemente

hacia dicha solucion.

Por otra parte, la necesidad de escribir libros de textos para las nuevas instituciones sur-

gidas de la Revolucion Francesa y el Imperio Napoleonico (Cauchy en Pars, Weierstrass en

Berln) obligo a repensar y estructurar el Calculo. El establecimiento de la Ecole Polytech-

nique en 1795, creo una forma de explicar la Matematica, que se convertira en el modelo

de la educacion universitaria. Aparte de la obra de Lacroix ya citada, no existen textos de

referencia, por lo que Cauchy comenzara la escritura sistematica de sus notas de clase. Sin

12 Matematica IV Walter Arriaga Delgado

embargo, el objetivo ultimo no sera el entrenamiento de sus principiantes sino la investigacion

cientfica, de ah que su obra escrita resalte el pensamiento conceptual y la eliminacion del

pensamiento algortmico presente hasta el momento.

Sin embargo, hay un detalle sobre el que queremos volver y es el del famoso teorema de

existencia de Peano. A fines del siglo pasado, G. Peano (1858-1932) publica dos artculos, en

los cuales formula dos teoremas de existencia diferentes, considerando que x y f pertenecen

al despacio euclidiano Rd y t es real. Sea K un numero positivo, J = [0, 1], f continua enJxRd y 1 f(t, x) K para (t, x) Jx Rd.

Teorema 1.1.2. (1886) Sea d = 1. El problema inicial

x(t) f(t, x(t)) para t J, x(0) = 0, (1.5)

posee soluciones Xmn, Xmax tal que para toda solucion

Xmn(t) x(t) Xmax(t)

para t J.

Teorema 1.1.3. (1890) Sea d 1. El problema inicial (1.5) posee al menos una solucion.

Observemos que en el caso d = 1, el Teorema (1.1.3) es una consecuencia trivial del

Teorema (1.1.2). Esto significa que toda prueba del Teorema (1.1.2) es tambien una prueba

del Teorema (1.1.3), por otra parte, las demostraciones del Teorema (1.1.3) son mas simples

que las del Teorema (1.1.2).

Todos los autores que mencionan el nombre de Peano, llaman en todo momento al Teorema

(1.1.3) el Teorema de Peano, cuando hemos visto que en realidad, no es un unico teorema.

Una prueba elemental del Teorema de Peano es aquella en la cual se evita la equicontinuidad

y en lugar del Lema de Arzela-Ascoli se utilizan propiedades especiales de R (o Rd) sin entrar

a valorar la nocion de constructividad enfatizada por numerosos autores. Muchas pruebas

elementales del teorema (1.1.2) existen, sin embargo las del Teorema (1.1.3) son escasas, una

demostracion de este tipo es de interes didactico al menos, puesto que el caso d = 1 del

Teorema (1.1.3), es tratado separadamente en muchos textos, por otra parte la existencia de

Xmn, Xmax puede justificarse como el nfimo, supremo del conjunto de todas las soluciones

de (1.5) probando que este es no vaco (exactamente el planteamiento del Teorema (1.1.3)).

Este bosquejo historico nos permite hacer las siguientes observaciones respecto al programa

actual:

1. El concepto de Ecuacion Diferencial nace (a fines del siglo XVII) coma una ecuacion que

relaciona diferenciales, este concepto se mantiene estable hasta que Cauchy (hacia 1821)

agrega la derivada. Como veremos en el analisis de los libros de texto, esta ultima defi-

nicion es la que se conserva en la actualidad desapareciendo las diferenciales, aunque

cuando se exponen los metodos de resolucion de las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

Walter Arriaga Delgado Matematica IV 13

de primer orden se usa la primera concepcion sin explicitarla (es decir, la derivada ya

no es la derivada, sino un cociente entre diferenciales), renaciendo el manejo algebraico

del que tanto hemos hablado, pues hace de este metodo de solucion, una herramienta

apetecible desde el punto de vista didactico, sin olvidar el Principio de Superposicion

ya mencionado.

2. La forma de introducir las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de primer orden en la

obra de Euler y Cauchy, es tomando la expresion diferencial pdx+qdy, como la diferencial

de una cierta funcion u = u(x, y), y de aqu a du = 0 y finalmente a la solucion general

u(x, y) = c. En el caso en que no se pueda encontrar la funcion u(x, y), construyen un

factor de integracion que convierte en exacta la ecuacion diferencial. Despues pasan a

estudiar los otros tipos de ecuaciones diferenciales de primer orden (v.g., las lineales,

de Bernoulli, las homogeneas, etc.), teniendo siempre en mente que necesitan construir

un factor de integracion. Esta situacion, en general, no se conserva en el curriculum

actual. Los principales hechos que propiciaron esto son la aparicion y demostracion del

Teorema Fundamental del Algebra (la primera demostracion cierta, la ofrecio Gauss a

los 22 anos en su tesis doctoral) que, en su formulacion actual, afirma que todo polinomio

de grado n en C, tiene exactamente n ceros complejos (iguales o distintos) por lo que

C es un dominio numerico que proporciona solucion a cualquier ecuacion algebraica, y

el desarrollo de la Teora de Funciones de Variable Compleja, que permitieron presentar

una teora de solubilidad completa para las ecuaciones lineales de orden n, brindando

de esta forma, una formidable herramienta docente para modelar multiples fenomenos

practicos.

3. Los acercamientos que existen para la busqueda de las soluciones de las Ecuaciones Dife-

renciales Ordinarias, se han dado fundamentalmente en tres escenarios: el algebraico, el

numerico, el geometrico, cada uno con procedimientos distintos y representaciones dife-

rentes para la solucion, a saber: una formula o una serie infinita, un conjunto (obtenidos

por un proceso iterativo) y una familia de curvas. De estos tres, el algebraico siempre

se ha trasladado a los libros de texto, mientras que el numerico es mas escaso y aparece

comunmente en textos de Analisis Numericos, en el caso del geometrico, a pesar de con-

tar con mas de 100 anos de antiguedad, esta practicamente confinado al tratamiento de

las isoclinas y el campo de pendientes, sin embargo la solucion de sistemas lineales con

coeficientes constantes en el plano, es decir, sistemas del tipo x = ax+ by, y = cx+ dy

(ad 6= bc), en el cual el tratamiento de sus races caractersticas es puramente algebraico,se olvida que en esa naturaleza algebraica esta toda la informacion necesaria para deter-

minar la configuracion geometrica de los puntos de reposo, pues existe solo un numero

limitado de casos posibles.

4. Una cuestion crucial de la concepcion actual del curso de ecuaciones diferenciales es su

caracter algortmico-algebraico, la cual esta determinada, por la relacion tan cercana que

14 Matematica IV Walter Arriaga Delgado

existe entre el desarrollo del algebra (como busqueda de las races de un polinomio en

terminos de radicales) y de las ecuaciones diferenciales lineales (en cuanto a su integracion

por cuadraturas). Incluso, aun en la concepcion moderna de operadores lineales, esta

herencia esta presente.

5. Respecto del programa de estudio actual, existe una clara permanencia del escenario

algebraico sobre los otros dos escenarios, el cual se debe, ademas de la contundencia de

la componente historica y a lo senalado antes, a otros factores, de los cuales senalaremos

los siguientes:

a) Los procedimientos algortmico-algebraicos son mas sencillos de desarrollar en los

estudiantes como los demuestran los estudios de Artigue entre otros. Muy vinculado

con las tendencias cognitivas y conductistas de la Educacion Matematica que, poco

a poco, y en mayor medida gracias al rechazo de las Matematicas Modernas,

ha ido desapareciendo y dando lugar al Problem Solving, con una concepcion

didactica y epistemica, totalmente diferente.

b) Instrumentar los escenarios geometrico y numerico en el aula, requiere necesaria-

mente de la microcomputadora, ya que de otra forma es difcil visualizar, v.g., los

campos de pendientes y las curvas isoclinas, por un lado, y las soluciones aproxi-

madas por el otro.

c) Con la incorporacion de la trasformada de Laplace, hacia la segunda mitad de

este siglo, los procedimientos algebraicos vuelven a cobrar un nuevo impulso en la

ensenanza.

2DEFINICIONES BASICAS

Objetivos:

z Proporcionar al estudiante los conocimientos, aptitudes y habilidades necesarias que le

permitan tener un criterio analtico y practico de las ecuaciones diferenciales ordinarias.

z Reconocer el tipo de ecuacion diferencial ordinaria o parcial.

z Conocer el grado, orden y linealidad de las ecuaciones diferenciales ordinarias.

z Interpretar geometricamente las soluciones de las ecuaciones diferenciales ordinarias me

diante el metodo de las isoclinas.

2.1. Definicion de Ecuacion Diferencial.

Una ecuacion diferencial es aquella ecuacion que contiene derivadas o diferenciales de

una funcion incognita; dichas incognitas son funciones y al resolver una ecuacion diferencial

buscamos una o un conjunto de funciones.

Observacion 2.1.1. Excluiremos de las ecuaciones diferenciales aquellas ecuaciones que sean

identidades, ejemplo:

d

dx(xy) = x

dy

dx+ y o

d

dx(tan x) = sec2 x

Ejemplo 2.1.1. Veamos los siguientes ejemplos de ecuaciones diferenciales:

1.dy

dx= 5x2 + 3x 1

2. y + 2y 5y + 3y = 0

3.dy

dx=x y cos xy + senx

4. Ld2i

dt2+R

di

dt+

1

ci =

dE

dt

15

16 Matematica IV Walter Arriaga Delgado

5. md2y

dt2= mg k dy

dx

6.2w

x2+2w

y2+2w

z2= 0 donde w = f(x, y, z)

7.dx

dt= kx, es la ecuacion de la desintegracion radioactiva, donde k es la constante de

desintegracion; x es la cantidad de sustancia no desintegrada en el momento de tiempo

t; la velocidad de desintegraciondx

dtes proporcional a la cantidad de sustancia que se

desintegra.

2.2. Clasificacion de las Ecuaciones Diferenciales

Las ecuaciones diferenciales se clasifican de acuerdo con su tipo y linealidad.

2.2.1. Clasificacion segun el tipo:

a. Ecuaciones Diferenciales Ordinarias. Son aquellas ecuaciones diferenciales donde la

funcion incognita depende de una sola variable independiente, en la cual solo aparecen

derivadas ordinarias.

Ejemplo 2.2.1.

(1 x2)d2y

dx2 2xdy

dx+ p(p+ 1)y = 0 (Ec. Dif. de Legendre)

x2d2y

dx2+ x

dy

dx+ (x2 p2)y = 0 (Ecuacion diferencial de Bessel)

A las ecuaciones diferenciales ordinarias se les representa simbolicamente como:

F (x, y, y, y, , y(n)) = 0

donde F indica la relacion que existe entre las variables x, y, ademas de sus derivadas

y, y, , y(n).

b. Ecuaciones Diferenciales Parciales. Son aquellas ecuaciones diferenciales donde la

funcion incognita depende de varias variables independientes y las derivadas son deriva-

das parciales.

Ejemplo 2.2.2.

a)2u

x2+2u

y2+2u

z2= 0, donde u = f(x, y, z) (Ec. Dif. de Laplace)

b) a2(2u

x2+2u

y2+2u

z2

)=u

t, (Ecuacion diferencial del Calor)

Walter Arriaga Delgado Matematica IV 17

c) a2(2u

x2+2u

y2+2u

z2

)=2u

t2, (Ecuacion diferencial de la Onda)

d)2u

x2+2u

y2= f(x, y), (Ecuacion diferencial de Poisson)

2.2.2. Clasificacion segun la linealidad o no linealidad:

Una ecuacion diferencial de la forma y(n) = f(x, y, y, , y(n1)) es lineal cuando f esuna funcion lineal de y, y, , y(n1).

Esto significa que una ecuacion es lineal si se puede escribir en la forma

an(x)dny

dxn+ an1(x)

dn1ydxn1

+ + a1(x)dydx

+ a0(x)y = g(x)

Cuyas caractersticas son:

i. La variable dependiente y y todas sus derivadas son de primer grado; esto es, la potencia

de todo termino donde aparece y es 1.

ii. Cada coeficiente solo depende de x, que es la variable independiente.

Las funciones de y como seny o las funciones de las derivadas de y, como eyno puede

aparecer en la ecuacion lineal. Cuando una ecuacion diferencial no es lineal, se dice que es no

lineal.

Las ecuaciones

(x+ 5)dx+ 2xdy = 0

y + 5y y = 0t2d3u

dt3+du

dt 7u = e2t

son ejemplos de ecuaciones diferenciales ordinarias lineales.

Por otro lado, son ejemplos de ecuaciones diferenciales ordinarias no lineales:

el coeficiente

depende de yFuncion no lineal de y Potencia distinta de 1

(2 + y)y + 3y = ex d3y

dx3+ seny = 0

d4y

dx4+ y2 = 0

Cuadro 2.1: Ejemplos de ecuaciones diferenciales ordinarias no lineales

18 Matematica IV Walter Arriaga Delgado

2.3. Orden de una Ecuacion Diferencial

El orden de una ecuacion diferencial esta determinado por el orden de la derivada de mayor

orden.

Ejemplo 2.3.1.

a) y + y = ex, es una ecuacion diferencial ordinaria de segundo orden.

b)

(d4y

dt4

)2+ 2

(d2y

dt2

)5+

(dy

dt

)= 0, es una ecuacion diferencial ordinaria de 4to orden.

c) yiv xy = x2, es una ecuacion diferencial ordinaria de 9no orden.

d)

w+2

a2+4

l4+3

t3+2

e2+

r= 0, es una ecuacion diferencial parcial de 4to orden.

2.4. Grado de una Ecuacion Diferencial

El grado de una ecuacion diferencial esta determinado por el exponente entero positivo

que afecta a la derivada de mayor orden.

Si en una ecuacion diferencial, la derivada de mayor orden tiene exponente fraccionario,

se debe proceder a racionalizarla de tal manera que se obtenga exponentes enteros positivos y

el exponente de la derivada de mayor orden sera el grado de la ecuacion diferencial. No todas

las ecuaciones diferenciales poseen grado.

Ejemplo 2.4.1.

a)dy

dx+ P (x)y = Q(x), es una EDO de 1er orden y de 1er grado.

b)

(d3y

dx3

)2+

(d2y

dx2

)4= y2 + y 3x, es una EDO de 3er orden y de 2do grado.

c) (y)2/3 = 1 + y, se puede racionalizar, pues elevando al cubo se tiene:

(y)2 = (1 + y)3, luego la ecuacion es una EDO de 2do orden y de 2do grado.

d) y =x+ y, es una EDO de 3er orden y de 1er grado.

e) y + (y)2 = ln y, es una EDO de 2do orden, cuyo grado no esta definido.

Ejercicios Resueltos

1. y = 2x+ x2 + 5y, es una EDO de primer orden y de primer grado.

2. y + 2y 3y = ex, es una EDO de segundo orden y de primer grado.

Walter Arriaga Delgado Matematica IV 19

3.2u

t2= a2

2u

x2, es una EDP de 2do orden y de 1er grado. (Ecuacion de la Onda)

4.u

t= a2

2u

x2, es una EDP de 2do orden y de 1er grado. (Ecuacion del Calor)

5.2u

x2+2u

y2, es una EDP de 2do orden y de 1er grado. (Ecuacion de Laplace)

6.

(d2y

dt2

)3+

(d3y

dt3

)2= t2 3t+ 5y, es una EDO de tercer orden y de segundo grado.

7.

(d3y

dt3

)2 4

(dy

dt

)4+ ty = 8, es una EDO de tercer orden y de segundo grado.

8. y + 3x2y = seny + 2x, es ordinaria de segundo orden dos y de grado no definido.

9.2u

x2= 3 3

u

y, es una EDP de segundo orden y de primer grado.

10.d2y

dx2= 4

y +

(dy

dx

)2, es una EDO de segundo orden y de primer grado.

Algunas Aplicaciones

a. Cien gramos de azucar de cana que estan en agua se convierten en dextrosa a una

velocidad que es proporcional a la cantidad que aun no se ha convertido. Hallese la

ecuacion diferencial que exprese la velocidad de conversion despues de t minutos.

Solucion:

Sea q el numero de gramos convertidos en t minutos.

El numero de gramos aun no convertidos sera 100 q.Luego por dato del problema, la velocidad de conversion estara expresada pordq

dt= k(100 q), donde k es la constante de proporcionalidad.

b. Expresar mediante ecuaciones diferenciales el siguiente principio qumico:

Para cierta sustancia, la velocidad de cambio de presion de vapor (P ) respecto a la

temperatura (T ) es proporcional a la presion de vapor e inversamente proporcional al

cuadrado de la temperatura.

Solucion.

La velocidad de cambio de presion de vapor (P ) respecto a la temperatura (T ) esta ex-

presada pordP

dT, luego por dato del problema se tiene:

dP

dT=kP

T 2.

20 Matematica IV Walter Arriaga Delgado

c. Segun la Ley de enfriamiento de Newton, la velocidad a la que se enfra una sustancia

al aire libre es proporcional a la diferencia entre la temperatura de la sustancia y la del

aire. Obtener la ecuacion diferencial respectiva.

Solucion.

Sea Ts =temperatura de la sustancia en el instante t.

Ta =temperatura del aire.

Luego la velocidad a la que se enfra una sustancia esdTsdt

.

Por condicion del problema se tiene:

dTsdt

= k(Ts Ta), k > 0

donde k es la constante de proporcionalidad.

El signo negativo se debe a la que la temperatura de la sustancia disminuye al transcurrir

el tiempo.

2.5. Solucion de una Ecuacion Diferencial.

Cuando una funcion , definida en algun intervalo I, se sustituye en una ecuacion diferen-

cial y transforma esa ecuacion en una identidad, se dice que es una solucion de la ecuacion en el

intervalo, en otras palabras el problema en las ecuaciones diferenciales consiste esencialmente

en encontrar la primitiva que dio origen a la ecuacion diferencial, esto quiere decir:

Si y = F (x) es una funcion y f es la antiderivada de F, es decirdy

dx= F (x) = f(x), de

dondedy

dx= f(x) (2.1)

es una ecuacion diferencial ordinaria, luego, la solucion (2.1) consiste en encontrar una funcion

y = G(x) tal que se verifique (2.1).

Como F es la antiderivada de f, entonces G(x) = F (x) +C, donde C es una constante es

decir:

d(G(x)) = d(F (x) + C) = F (x)dx = f(x)dx

luego y = G(x) = F (x) + C se llama solucion general de la ecuacion diferencial (2.1).

Ejemplo 2.5.1. La funcion y = senx+cosx es solucion de la ecuacion diferencial y+ y = 0,

puesto que si derivamos la funcion tenemos

y = cos x senxy = senx cos x

Walter Arriaga Delgado Matematica IV 21

luego sumando y + y = senx cos x+ senx+ cos x = 0.La grafica de una solucion de la ecuacion diferencial se denomina curva integral de la

ecuacion.

Se llama solucion particular de la ecuacion diferencial () a la que se obtiene de la

solucion general asignando cualquier valor determinado a la constante arbitraria C.

A una solucion que no puede obtenerse a partir de la solucion general, es decir no proviene

de asignar valores a las constantes arbitrarias de una solucion general, se le denomina solucion

singular de la Ecuacion Diferencial Ordinaria.

Ejemplo 2.5.2. Verificar que la funcion y = cx c2 es una solucion general de la ecuaciony = xy y2. Ademas verificar que la funcion y = x2/4 es tambien solucion.Solucion:

Si y = cx c2 entonces y = c reemplazando en la ecuacion diferencial se tiene:cx c2 = cx c2, donde se verifica la identidad; por lo tanto:y = cx c2 es una solucion general.

Ahora, para y =x2

4, derivando se tiene y =

x

2y reemplazando en la ecuacion diferencial

y = xy y2 tenemos: x2

4= x(

x

2) (x

2)2 =

x2

4con lo cual se verifica la identidad.

Como la solucion y =x2

4no se puede obtener de la solucion general y = cx c2 para

ningun valor de la constante C, entonces decimos que y =x2

4es una solucion singular.

2.6. Teorema de Existencia y Unicidad

Sea dada la ecuacion diferencial y = f(x, y), donde la funcion f(x, y) esta definida en una

region D del punto XOY que contiene al punto (x0, y0). Si la funcion f(x, y) satisface las

siguientes condiciones:

a) f(x, y) es una funcion continua en la region D.

b) f(x, y) admite la derivada parcialf

ycontinua con respecto a x e y en la region D.

Entonces existe una, y solo una, solucion y = (x) de la ecuacion dada que satisface a la

condicion

y

x=x0

= y0.

La condicion y

x=x0

= y0 se llama condicion inicial.

El problema de la busqueda de la solucion de la ecuacion y = f(x, y) que satisface a la

condicion inicial y

x=x0

= y0; lleva el nombre de Cauchy.

22 Matematica IV Walter Arriaga Delgado

Y

X0 x0

y0M0(x0, y0)

Figura 2.1: Teorema de Existencia y Unicidad (a)

Problema con valor inicial: ecuacion diferencial + condiciones iniciales.

Geometricamente, esto significa que se busca la curva integral que pasa por el punto dado

M0(x0, y0) del plano XOY.

Ejemplo 2.6.1. Aplicar el teorema de existencia y unicidad a la ecuacion y = 3y2/3, con

y(0) = 0.

Solucion:

La ecuacion es de la forma y = f(x, y), donde f(x, y) = 3y2/3. Ademas f(x, y) = 3y2/3,

esta definida en todo el plano XY, por lo tanto la region D es todo el plano XY y contiene a

la condicion inicial (0, 0). As:

Condicion de Existencia: La funcion es continua para todo x y para todo y, y por lo

tanto es continua en todo el plano XY. Esto nos asegura que existe por lo menos una solucion.

Condicion de Unicidad: Derivando parcialmente la funcion f con respecto a y se tiene:

f(x, y)

y=(3y2/3)

y= 2y1/3

entoncesf(x, y)

y=

2

y1/3.

Se ve quef(x, y)

yno es continua para y = 0, y por lo tanto no es continua en el plano

XY. Esto indica que la ecuacion diferencial puede tener mas de una solucion en el plano XY,

como por ejemplo y(x) = x3 e y(x) = 0, son tambien soluciones que satisfacen la condicion

inicial y(0) = 0.

Walter Arriaga Delgado Matematica IV 23

Ejemplo 2.6.2. Establecer la region del plano XY donde se puede garantizar la existencia y

unicidad de la solucion de la solucion de la ecuacion diferencial y =1 x2 y2.

Condicion de Existencia: La funcion f(x, y) debe ser continua.

Luego f(x, y) =1 x2 y2 sera continua si 1 x2 y2 0 entonces x2 + y2 1.

Condicion de Unicidad: La derivada parcialf(x, y)

ydebe ser continua.

Comof(x, y)

y= y

1 x2 y2, entonces la derivada

f

ysera continua si 1x2y2 > 0

entonces x2 + y2 < 1. Analogamente sucede conf

xPor lo tanto, la region esta dada por: {(x, y) R/ x2 + y2 < 1}.

Y

X11

1

1

Figura 2.2: Teorema de Existencia y Unicidad (a)

2.7. Grafica de Curvas Integrales (Metodo de las isoclinas)

El problema de la construccion de las curvas integrales se resuelve introduciendo las iso-

clinas. Se llama isoclina al lugar geometrico1 de puntos en los que las tangentes a las curvas

integrales consideradas tienen una misma direccion o cuyas pendientes son constantes. La

familia de las isoclinas de la ecuacion diferencial

y = f(x, y) (2.2)

se determina por la ecuacion f(x, y) = k, donde k es un parametro. Dandole al parametro

k valores proximos dibujamos una red bastante compacta de isoclinas, por donde se pueden

1Un lugar geometrico es un conjunto de puntos que satisfacen una propiedad y solo estos puntos satisfacen

dicha propiedad.

24 Matematica IV Walter Arriaga Delgado

trazar aproximadamente las curvas integrales de la ecuacion diferencial.

Construccion de las curvas integrales:

Para construir las curvas integrales de una ecuacion diferencial seguiremos los siguientes pasos:

a. Cuando k = 0, la isoclina nula f(x, y) = 0, (y = 0 ), nos proporciona las lneas en las

que pueden estar situados los puntos de maximo y mnimo de las curvas integrales.

Cuando k = 1, la isoclina nula f(x, y) = 1, (y = 1), nos indica que las tangentes a las

curvas integrales forman angulos de 45 con respecto al eje X.

Cuando k = 1, los angulos formados con respecto al eje X son de 135.

b. Despues del primer paso, hay que aplicar el criterio de la primera derivada para encontrar

las regiones de crecimiento y decrecimiento de las curvas solucion.

c. Luego pasamos a aplicar el criterio de la segunda derivada para hallar el lugar geometrico

de los puntos de inflexion2, si estos existen; as como para determinar las zonas de

concavidad hacia arriba y hacia abajo.

Ademas se comprueba si la curva dada donde y = 0 (la segunda derivada se anula), es una

curva integral, para lo cual se reemplaza en la ecuacion diferencial y = f(x, y).

Al trazar las curvas integrales, para mayor exactitud, hallan tambien el lugar geometrico

de los puntos de inflexion. Para esto se halla y de la ecuacion (2.2):

y =f

x+f

yy =

f

x+ f(x, y)

f

y

y se iguala a cero. La lnea determinada por la ecuacion

f

x+ f(x, y)

f

y= 0

es, precisamente, el lugar geometrico de los puntos de inflexion, si estos existen.

Ejemplo 2.7.1. Usando el metodo de las isoclinas, trazar aproximadamente las curvas inte-

grales de la ecuacion diferencial y = 2x y.Solucion.

Para obtener las ecuaciones de las isoclinas, hacemos y = k (k =constante).

Se tiene: 2x y = k, o bien, y = 2x k.Las isoclinas son rectas paralelas.

Para k = 0 se obtiene la isoclina y = 2x. Esta recta divide el plano XOY en dos partes, en

cada una de las cuales la derivada y tiene un mismo signo (Vea la figura 2.3)2Un punto de inflexion es un punto donde los valores de x de una funcion continua pasa de un tipo de

concavidad a otro. La curva atraviesa la tangente. Matematicamente la segunda derivada de la funcion f en

el punto de inflexion es cero, o no existe.

En el calculo de varias variables a estos puntos de inflexion se les conoce como puntos de ensilladura.

Walter Arriaga Delgado Matematica IV 25

Figura 2.3: Curvas integrales de la ecuacion diferencial y = 2x y

La Curvas integrales cortandose con la recta y = 2x, pasan de la region de decrecimiento

de la funcion y a la region de crecimiento de la misma y viceversa. Por lo tanto, en esta recta

se encuentran los puntos extremos de las curvas integrales, los puntos de mnimo.

Consideremos otras dos isoclinas:

k = 1, y = 2x+ 1

k = 1, y = 2x 1

Las tangentes, trazadas a las curvas integrales en los puntos de interseccion con las isoclinas

k = 1 y k = 1 forman con el eje 0X angulos de 135 y 45, respectivamente. Hallemos ahora la

segunda derivada:

y = 2 y = 2 2x+ y.

La recta y = 2x 2, en la que y = 0, es la isoclina que se obtiene para k = 2, y a lavez es una curva integral, de lo que puede uno convencerse sustituyendo en la ecuacion. Como

el segundo miembro de la ecuacion considerada f(x, y) = 2x y, satisface a las condicionesdel teorema de existencia y unicidad en todo el plano X0Y, las demas curvas integrales no se

cortan con esta isoclina.

La isoclina y = 2x, en la que se encuentran los puntos mnimos de las curvas integrales,

esta situada sobre la isoclina y = 2x2, por lo cual, las curvas integrales que pasan por debajode la isoclina y = 2x 2 no tienen puntos extremales.

La recta y = 2x 2 divide el plano XOY en dos partes, en una de las cuales (la queesta situada sobre la recta) y > 0, y por lo tanto, las curvas integrales tienen dirigidas hacia

arriba sus concavidades, y en la otra, y < 0, y por consiguiente, las curvas integrales tienen

26 Matematica IV Walter Arriaga Delgado

sus concavidades dirigidas hacia abajo. Como las curvas integrales no se cortan con la recta

y = 2x 2, esta no es el lugar geometrico de los puntos de inflexion. Las curvas integrales dela ecuacion dada no tienen puntos de inflexion.

Ejemplo 2.7.2. Trazar aproximadamente, las curvas integrales de la ecuacion diferencial

y = sen(x+ y), empleando el metodo de isoclinas.

Solucion:

Haciendo y = k, donde k = const. se obtiene la ecuacion de las isoclinas sen(x + y) = k,

siendo 1 k 1. Para k = 0, se tiene sen(x+ y) = 0, de donde:

y = x+ n (n = 0,1,2, ) (2.3)

Las tangentes a las curvas integrales en sus puntos de interseccion con estas isoclinas son

horizontales. Determinemos si las curvas integrales tienen extremos relativos en las isoclinas

y = x+ n, y cuales son maximos o mnimos. Para esto, hallamos la segunda derivada:

y = (1 + y) cos(x+ y) =