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Derivada de una funcin

Lic. Elsie Hernndez S..

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l Introduccin l La derivada de una funcin l Notaciones para la derivada de una funcin l Continuidad y derivabilidad l Teoremas sobre derivadas l Derivada de una funcin compuesta (Regla de la cadena) l Diferenciales. Interpretacin geomtrica

m Incrementos m Diferenciales

l Derivadas de orden superior l Derivada de la funcin logartmica l Derivada de la funcin exponencial l Derivada de las funciones trigonomtricas l Derivadas de las funciones inversas l Las funciones trigonomtricas inversas y sus derivadas l Funciones paramtricas l Funciones implcitas y su derivada

m Derivada de segundo orden para una funcin dada en forma implcita l Teorema de Rolle(o teorema sobre las races de la derivada l Teorema del valor medio para derivadas (Teorema de Lagrange) l Teorema de Cauchy del valor medio (o extensin del teorema del valor medio para derivadas) l Regla de L'Hpital

m Introduccin m Teorema: Regla de L'Hpital m Teorema m Aplicacin de la Regla de L'Hpital a otras formas indeterminadas m Lmites que presentan la forma m Otras formas indeterminadas

l Software m Graficador para f(x), f '(x) y f ' '(x) y tangentesm Clculo de derivadas

Cidse - Revista virtual Matemtica, Educacin e Internet - ITCR

http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFERENCIAL/curso-elsie/derivadafuncion/html/index.html27/11/2005 12:28:50 a.m.



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Introduccin

El problema de la tangente

"Muchos de los problemas importantes del anlisis matemtico pueden transferirse o hacerse depender de un problema bsico que ha sido de inters para los matemticos desde los griegos (alrededor de 300-200 a. de J.C.). Es ste el problema de trazar una recta tangente a una curva dada en un punto especfico a ella.

Fue resuelto este problema por mtodos especiales en un gran nmero de ejemplos aislados an en la temprana historia de las matemticas. Por ejemplo, es bastante fcil resolver el problema si la curva es un crculo, y todo estudiante ha visto esta solucin en su geometra de secundaria. Sin embargo, no fue si no hasta el tiempo de Isaac Newton (1642-1727) y de Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) que se dio un mtodo general sistemtico para obtener la solucin. En este sentido se acredita a estos dos hombres la invencin del clculo.

Aunque el problema de la tangente pueda parecer de poco inters a los no matemticos, el hecho es que las tcnicas desarrolladas para resolver el problema son la mera columna vertebral de gran parte de la ciencia y la tecnologa actuales. Por ejemplo, la direccin del movimiento de un objeto a lo largo de una curva en cada instante se define en trminos de la direccin de la recta tangente a la trayectoria de movimiento. Las rbitas de los planetas al rededor del sol y las de los satlites artificiales alrededor de la Tierra, se estudian esencialmente comenzando con la informacin sobre la recta tangente a la trayectoria del movimiento. Un tipo diferente de problemas es el de estudiar la descomposicin de una sustancia radioactiva tal como el radio cuando se conoce que la razn de descomposicin en cada instante es proporcional a la cantidad de radio presente. La clave de este problema as como la del problema del movimiento, est en un anlisis de lo que queremos designar con la palabra razn.

Como pronto veremos, este concepto est tan ntimamente relacionado con la pendiente de la recta tangente a una curva, que la formulacin matemtica abstracta de un problema sobre razones es indistinguible de la formulacin del problema de la tangente.

Empezamos con el problema de la tangente no solo por su importancia histrica y prctica, sino tambin porque la intuicin geomtrica del lector contribuir a hacer concreta la que, de otro modo, sera una nocin abstracta"(Britton, 1968, 323).

Definicin

Recibe el nombre de recta secante cualquier recta que pase por dos puntos diferentes de una curva.

En la siguiente figura se ha representado grficamente una recta L secante a una curva:

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Como al conocer la pendiente de una recta y un punto de ella, la recta queda completamente determinada, se tiene que el problema de trazar una recta tangente a una curva dada, por un punto de sta, se reduce a encontrar la pendiente de la recta.

Consideremos la representacin grfica de una curva con ecuacin , donde es una funcin continua.

Se desea trazar la recta tangente en un punto dado de la curva.

Sea PQ la recta secante que pasa por los puntos y de la curva.

La pendiente de esta secante, denotada est dada por:

Como la pendiente de una recta es igual a la tangente del ngulo que forma la recta con la parte positiva del eje X, y como es ese ngulo para la recta secante, entonces:

Supongamos que existe una recta tangente a la curva en . Sea PT dicha recta.

Mantenemos ahora el punto P fijo y hacemos que el punto Q se aproxime a P, a lo largo de la curva. Cuando esto sucede, la inclinacin de la recta secante se aproxima a la inclinacin de de la



recta tangente, lo que puede escribirse como

En igual forma, la pendiente de la secante tiende a la pendiente de la tangente, es decir,

Adems, cuando Q tiende hacia P, la abscisa tiende hacia por lo que puede escribirse como

Luego

Si denotamos por la pendiente de la recta tangente a la curva en , entonces

Definicin

La pendiente de la recta tangente a la curva con ecuacin en el punto

, denotada es igual al , siempre que este lmite

exista.

Ejemplo:

Determinar la ecuacin de la recta tangente a la curva con ecuacin , en el punto

.

La ecuacin de la recta tangente es: . Utilizando la definicin anterior vamos a averiguar

la pendiente en .

Solucin:

As:

Luego , por lo que . Para averiguar b sustituimos el punto como

sigue: de donde .

Por tanto, la ecuacin de la recta tangente es .



La representacin grfica de la curva y de la recta tangente es el siguiente:

Definicin

Se dice que la recta normal a una curva en el punto , es la lnea que pasa por P y es perpendicular a la recta tangente en ese punto. Adems, recuerde que dos lneas no verticales son perpendiculares entre s, si y solo si sus pendientes tienen valores recprocos negativos.

Si es la pendiente de la recta tangente y la de la recta normal, entonces:

Ejemplo: Determinar la ecuacin de la recta normal a la curva con ecuacin , en el punto



Solucin:

Como , averiguamos primero la pendiente de la recta tangente. As:

Como , entonces

La ecuacin de la recta normal es: . Sustituyendo en la ecuacin anterior se obtiene . Por tanto, la ecuacin de la recta normal es . La representacin grfica de la curva y la recta normal es la siguiente:

La ecuacin de la recta tangente es

Ejercicio



Determinar la ecuacin de la recta tangente y la ecuacin de la recta normal a la curva con ecuacin , en el punto

Otros ejemplos

1. Determinar la ecuacin de la recta tangente a la parbola con ecuacin , y que es

paralela a la recta con ecuacin .

Solucin:

Recuerde que si dos rectas son paralelas entonces sus pendientes son iguales.

Note que en este caso no nos indican el punto de tangencia en la curva.

Como la recta tangente es paralela a la recta de ecuacin , entonces .

Calculemos :

Como se tiene que y por tanto .

Si entonces

El punto de tangencia es

La ecuacin de la recta tangente es:

Sustituimos y se obtiene que

Entonces la ecuacin de la recta tangente es

La representacin grfica es la siguiente:



Estudiaremos ahora un segundo problema que involucra un lmite similar al utilizado al determinar pendiente de una recta tangente a una curva.

Dicho problema es el de determinar la velocidad de una partcula en un instante de tiempo .

Recibe el nombre de movimiento rectilneo el efectuado por una partcula a lo largo de una lnea recta.

Sea la funcin con ecuacin , que describe la distancia dirigida de la partcula a un punto fijo O, en cualquier tiempo , ( se mide en metros y en segundos).

Cuando , la partcula se encuentra a 1 metro de O y cuando , la partcula est a 10 metros de O, como se representa a continuacin:

La velocidad promedio de la partcula es la razn del cambio en la distancia dirigida desde un punto fijo, al cambio en el tiempo.

En este caso, en el lapso de tres segundos, la velocidad media, denotada , est dada por

metros por segundo.

Note que la velocidad promedio de la partcula no es constante, y que adems sta no proporciona informacin especfica referente al movimiento de la partcula en cualquier instante determinado.

Para el movimiento anterior, la velocidad media desde segundos hasta otro tiempo cualquiera, est dada por:



Si quisiramos determinar la velocidad al final de 3 segundos, es decir la velocidad instantnea cuando no podramos averiguarla con la frmula anterior, pues si se sustituye el denominador se hace cero.

Sin embargo, cuanto ms corto sea el intervalo de a , la velocidad promedio estar ms cerca de lo que intuitivamente se considerara como la velocidad instantnea en

seg.

Surge as la siguiente definicin sobre la velocidad instantnea:

Definicin

Si una partcula se mueve sobre una lnea recta de tal forma que su distancia dirigida s, a un punto fijo de la recta est dada en funcin del tiempo por la ecuacin , entonces la velocidad en cualquier instante es:

siempre que este lmite exista

Utilizando la definicin anterior, se puede averiguar la velocidad en el instante , de la siguiente forma:

Luego, la velocidad cuando es de 6 metros por segundo.

La velocidad instantnea puede ser positiva o negativa, segn la partcula se mueva a lo largo de la recta en direccin positiva o en la negativa; es cero cuando la partcula est en reposo.

La rapidez de la partcula en un instante de tiempo t, se define como , siendo simplemente la magnitud de la velocidad, es decir, su valor absoluto, por lo que ser siempre positiva o nula.

La aceleracin es una medida de la variacin de la velocidad. La aceleracin es cero si una partcula se mueve sobre una recta con velocidad constante.

Si la velocidad de la partcula est dada por la ecuacin , donde t es el tiempo,

entonces la aceleracin en el instante , se define como el lmite de la aceleracin media de la siguiente forma:



Observe la semejanza con la definicin de velocidad instantnea como lmite de la velocidad media.

Ejemplos:

1. La ecuacin describe el movimiento de una partcula sobre una recta. La distancia al origen est en metros y est en segundos. Calcular la velocidad cuando

.

Solucin

Se debe determinar la velocidad instantnea cuando

metros por segundo.

As cuando , la velocidad de la partcula es de 8 metros por segundo.

2. Una partcula P se mueve en lnea recta de acuerdo con la ecuacin , donde s,(en metros), es la distancia al punto de partida en el tiempo ,(en segundos). Determinar la distancia de P al punto de partida cuando la velocidad es nula.

Solucin:

Debemos averiguar primero la velocidad de la partcula en cualquier instante .



metros por segundo.

Ahora averiguaremos el valor de para el que la velocidad se hace cero:

segundos

Por ltimo, calculemos la distancia que ha recorrido la partcula al cabo de segundos.

Ejercicio:

Dos partculas y parten de un mismo punto en una recta y se mueven a lo largo de ella segn

las ecuaciones , y, , donde y estn en metros en metros, y en segundos.

1. En qu tiempos tendrn las dos partculas la misma velocidad?2. Determine las velocidades de las partculas en los tiempos en que estn en la misma posicin

sobre la recta.





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La derivada de una funcin

En la resolucin de los dos problemas anteriores: el de trazar una recta tangente a una curva dada y el de determinar la velocidad instantnea de una cierta partcula, se obtuvo como resultado dos lmites:

Ambos lmites tiene bsicamente la misma forma y son casos especficos de un tipo especial de lmite que se define a continuacin.

Definicin de derivada

Sea una funcin real definida en un intervalo . Sea

La derivada de f en el punto , denotada , es el si este lmite existe.

Note que, la pendiente de la recta tangente a la grfica de la curva con ecuacin

en el punto , es precisamente la derivada de evaluada en .

Tambin, si una partcula se mueve a lo largo de una lnea recta de acuerdo con la ecuacin de movimiento , puede observarse que en la definicin de

velocidad instantnea de la partcula en , es la derivada de respecto a , evaluada en .

Si en la definicin de derivada se sustituye por h, entonces cuando y .

Luego , si este lmite existe. La funcin es derivable en

si existe.

Si existe para cada en un intervalo , , se dice que la funcin es

derivable en ; se escribe

Ejemplos:

Utilizando la definicin de derivada de una funcin, determinar la derivada de cada una de las funciones cuyas ecuaciones son:

1.

Se debe calcular el



La expresin indica que la funcin debe evaluarse en . As

Luego:

Por tanto, si entonces

2.

En este caso

Luego:



Si entonces

3.

En este caso

Luego:

Si entonces

Ejercicio:

Determine, utilizando la definicin de derivada, la derivada de cada una de las funciones cuyas ecuaciones son:

1.

2.

3.





1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28

Notaciones para la derivada de una funcin

Si es una funcin derivable en un intervalo , , el proceso por medio del cual

se obtiene , da origen a una nueva funcin que recibe el nombre de funcin derivada.

El dominio de est formado por todos los nmeros del dominio de para los que

exista .

Por ejemplo, si con entonces est definida nicamente para .

Si con una funcin derivable entonces la derivada de f puede denotarse por:

a. que se lee: derivada de f(x) respecto a x.b. que se lee: derivada de "y" respecto a x.

c. que se lee: "y" prima.





1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28

Continuidad y derivabilidad

En el captulo anterior se estudiaron las condiciones para que una funcin fuera continua en un punto. Tambin se determin la continuidad en un intervalo, que puede asociarse con la representacin grfica de una curva que no tiene "brincos" o "saltos bruscos". Vamos ahora a relacionar la continuidad con la derivabilidad de una funcin en un punto , por medio del siguiente teorema.

Teorema

Si una funcin es derivable en un punto , entonces es continua en . Prueba: Al final del captulo.

El recproco de este teorema no es cierto. Es decir, el hecho de que una funcin sea continua en un punto no implica que sea derivable en l. Antes de estudiar algunos ejemplos, necesitamos conocer las siguientes definiciones sobre derivadas laterales.

Definicin



Si es una funcin continua definida en , entonces:

1. La derivada por la derecha, que se denota , se define por la igualdad:

, siempre que el lmite exista.

La derivada por la izquierda, denotada , se define por la igualdad:

, siempre que el lmite exista.

Como consecuencia de la definicin de derivada, se tiene que existe si y solo si existen las derivadas laterales y ambas son iguales.

As:

existe

Ejemplos:

1. Consideremos la funcin definida por:

Vamos a determinar si es continua en 1 y si existe.

Para lo primero tenemos que:

a. existe pues

b.Como ,y

entonces



Luego es continua en pues

Para lo segundo determinaremos las derivadas laterales.

a.

b.

Como entonces no existe.

Luego, se ha comprobado que aunque es continua en se tiene que no es derivable en .

La representacin grfica de la funcin es la siguiente:



Note que en la grfica de tiene un "pico", siendo precisamente en donde no es derivable la funcin.

2. Sea la funcin con ecuacin:

Determinemos si existe y si es continua en

Calculemos las derivadas laterales

a.

b.

Luego por lo que no es derivable en



Probemos ahora si f es continua en

a. existe pues ;

b. y

Entonces es continua pero no es derivable en .

La representacin grfica de la funcin es la siguiente:

Note que la grfica tiene una tangente vertical en ..

El hecho de que no sea derivable en cero, est relacionado con el hecho de que una recta vertical no tiene pendiente.

3. Sea la funcin con ecuacin:

Determinemos si esta funcin es continua y derivable en . Se tiene que



existe pues

Como y

Entonces existe y adems , por lo que es una funcin continua en .

Estudiemos ahora las derivadas laterales:

a.

b.

Como entonces no existe.

Nuevamente, aunque una funcin sea continua en un punto esto no garantiza que sea derivable en l.

La representacin grfica de esta funcin es la siguiente:



Note que nuevamente la recta tangente a la curva en es una lnea vertical.

Ejercicio:

Para cada una de las funciones cuyas ecuaciones son:

1.

2.

a.

Determine si es continua en

b.Halle y

c.

Determine si es derivable en



d.Haga la representacin grfica.





1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28

Teoremas sobre derivadas

Aunque dada la ecuacin de una funcin es posible obtener su respectiva funcin derivada utilizando la definicin, para algunas funciones este procedimiento resulta sumamente tedioso. Surge entonces la necesidad de simplificar este proceso, lo cual puede lograrse al estudiar los teoremas sobre derivadas.

Teorema

La derivada de una funcin constante es cero. Prueba: Ejercicio para el estudiante.

Ejemplos:

1. Si entonces

2. Si entonces

3. Si entonces

Teorema

Si entonces es derivable sobre y Prueba: Ejercicio para el estudiante.

Ejemplos:

1.

2.

3.

Teorema

Si con y pertenece al conjunto A en el que est bien definida, entonces es derivable en y

Prueba: Al final del captulo.

Ejemplos:

1. Si entonces



2. Si entonces

3.

4.

5.

6.

7.

8.

Teorema

Si la funcin es derivable sobre un intervalo y es un nmero real,

entonces la funcin para la que es derivable sobre , adems

.

Prueba: Ejercicio para el estudiante utilizando la definicin de derivada de una funcin.

Este teorema afirma que la derivada del producto de una constante por una funcin derivable, es igual al producto de la constante por la derivada de la funcin.

Ejemplos:

1. Si entonces

2. Si entonces

3.

4.

5.

Teorema



Si y son dos funciones derivables sobre un intervalo , entonces la funcin es derivable sobre y adems

, para . Prueba: Al final del captulo.

Se tiene entonces que la derivada de una suma de dos funciones es igual a la suma de las derivadas de cada una de las funciones. Tambin:

donde son funciones derivables sobre un intervalo .

Ejemplos:

1.

2.

3.

Si y son funciones derivables sobre un intervalo entonces la funcin es derivable sobre , y adems para cualquier se tiene que

Ejemplos:

1.

2.

Teorema

Si y son funciones derivables sobre un intervalo entonces la funcin es derivable sobre , y adems para cualquier se tiene que


Puede decirse que la derivada del producto de dos funciones, es igual al producto de la primera funcin por la derivada de la segunda, ms el producto de la segunda funcin por la derivada de la primera.



Ejemplos:

1.

2.

3., con a, b, c, k constantes.

4.

Teorema

Si y son dos funciones derivables y si sobre un intervalo entonces la

funcin es derivable sobre , y adems para cualquier y se tiene que


Puede decirse que la derivada del cociente de dos funciones es igual al denominador multiplicado por la derivada del numerador, menos el numerador multiplicado por la derivada del denominador, todo dividido por el cuadrado del denominador.

Ejemplos:

1.



con

2.

con

3.

con





1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28

Derivada de una funcin compuesta

Regla de la cadena

Si consideramos las ecuaciones entonces puede escribirse "y" como

.

En igual forma, si entonces puede expresarse "y" como

.

En general, si entonces .

Las ecuaciones anteriores dan en forma explcita las siguientes funciones:

La funcin para la cual recibe el nombre de funcin compuesta y se

escribe .

Observe que los elementos del dominio de son los que pertenecen al dominio de la funcin , tales que pertenezca al dominio de .

Ilustraremos lo anterior con el siguiente diagrama:

Otros ejemplos de funciones compuestas son:

1. donde y

2. donde y

Determinaremos ahora la derivada de una funcin compuesta.



Teorema

Si la funcin es derivable sobre un intervalo y si la funcin

es derivable sobre un intervalo tal que

, entonces la funcin compuesta es

derivable sobre y , para . Esta frmula recibe el nombre de regla de la cadena.

Demostracin: Al final del captulo.

Ejemplos:

1.

2. con

3.

Corolario

Si la funcin es derivable sobre un intervalo y si y

estn definidas para con , entonces la funcin

es derivable sobre y adems

, para .

Este teorema es una aplicacin inmediata de la regla de la cadena en la forma con y

Ejemplos: de derivadas de funciones compuestas

1.

En este caso por lo que

2.



3.

4.

5.

Ejercicio:

Determine la derivada de las funciones con ecuaciones:

1.

2.





1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28

Incrementos

Estudiaremos este punto antes de definir el diferencial y dar su interpretacin geomtrica.

Al dar la definicin de la derivada de una funcin como el , se

utiliz para sealar un nmero distinto de cero tal que pertenece al dominio de .

Grficamente se tiene la representacin de y la recta tangente:

Puede decirse que es la diferencia entre las abscisas de dos puntos de la grfica de . Esta diferencia recibe el nombre de incremento de y se denota por .

Para una funcin dada al sustituir por en la expresin se

obtiene de donde .

Si entonces el incremento en "y" correspondiente al incremento de , que

se denota por , est dado por .

As , es el cambio en "y" debido al cambio en .

La razn recibe el nombre de razn promedio de cambio de

o de "y", respecto a , para el intervalo .

La derivada: recibe el nombre de razn

instantnea de cambio o simplemente razn de cambio de "y" o de respecto a .

Ejemplos:



1. Si hallar en trminos de y

i.Determinar para:

a.

b.

Solucin:

a.

Para se tiene que:

Puede decirse que existe un incremento de en las ordenadas debido a un incremento de en las abscisas.

b.Para y se tiene que:

ii.Hallar la razn promedio de cambio de "y" respecto a para el intervalo

y para el intervalo

Solucin:

La razn promedio de cambio de "y" respecto a "x" est dada por:

de donde

En el intervalo se tiene y el intervalo

se obtiene

iii.Hallar la razn de cambio de "y" respecto a "x".



Determinar el valor de esta rezn en 2 y en 4.

Solucin:

La razn de cambio de "y" respecto a "x" est dada por:

En esta razn instantnea es y en toma el valor de

2. Demostrar que la razn de cambio del volumen de una esfera con respecto a su radio, es igual al rea de la superficie de la esfera.

Solucin:

El volumen de una esfera de radio es

La razn de cambio del volumen con respecto al radio est dado por:

expresin que corresponde precisamente al rea de la superficie

de la esfera.





1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28

Diferenciales

Sea una funcin definida por , derivable sobre un intervalo

Sea diferente de cero tal que pertenece al dominio de y el punto

est en la grfica de como se muestra en la siguiente figura:

Sabemos de la definicin de derivada que:

si el lmite existe

luego:

de donde para cualquier existe tal que siempre que

o sea, siempre que .

Lo anterior significa que puede hacerse tan pequeo como se quiera, tomando suficientemente pequeo.

Luego, es tan buena aproximacin para el incremento como se desee,

tomando suficientemente pequeo.

Definicin



Si es una funcin tal que existe sobre un intervalo y si es cualquier

nmero distinto de cero, la diferencia de con respecto a es igual

multiplicada por . Esta diferencial se denota por de tal forma que

.

Ejemplos:

Si entonces .

Consideremos ahora una funcin compuesta donde siendo

la variable independiente final y "x" la variable intermedia. Luego .

Aplicando la definicin anterior tanto a "y" como a "x" se obtiene: .

Utilizando la regla de la cadena para derivar respecto a se obtiene que .

Luego , frmula que se escribe usualmente

, y que se lee como la diferencial como la diferencial de "y" es igual a la

derivada de "y" con respecto a "x", multiplicada por la diferencial de "x" donde , son diferenciales con respecto a la misma variable.

Definicin

Si una funcin est definida por entonces la diferencial de se denota

, est dada por donde es la variable independiente final, y adems, la

diferencial "y" es siempre: .

En la figura anterior es fcil observar que es una mejor aproximacin de conforme se hace cada vez ms pequea.

Ejemplos:

1. Determinar , , para Solucin:

Consideremos Calculemos primero el incremento:

Para de donde



Ahora calculemos la diferencial

Luego para se tiene que

Por ltimo .

2. Utilizando diferenciales calcular aproximadamente el valor de .

Solucin:

Tomemos .

Nos interesa determinar una aproximacin a para y .

Para ello calculamos el diferencial de "y".

; sustituyendo "x" por 125 y por -3 se obtiene que:

Luego

As aproximamos para , con

Luego .

3. El lado de un cuadrado es igual a . Hallar el incremento aproximado de su rea si el lado aumenta .

Solucin:

Sea donde es el lado del cuadrado, A denota su rea.

Se desea determinar cunto aumenta el rea cuando la longitud del lado pasa de a .

Calculemos la diferencial de rea: As:

, donde y Luego:

y aproximamos para con

de donde , rea del nuevo cuadrado.

El incremento del rea es de .



4. Al calentar una esfera de radio , su volumen aument . Hallar el alargamiento del radio de la esfera. Solucin:

Sea la ecuacin para el volumen de la esfera.

En este caso conocemos la diferencial del volumen de la esfera que est dada por . Debemos averiguar la diferencial o el incremento del radio, es

decir

Como y entonces:

y por tanto .

El radio de la esfera se alarg .

Ejercicio:

Resuelva los problemas siguientes:

1. Hallar el valor aproximado de

2. Sea y , donde y son funciones derivables sobre un dominio comn. Exprese la diferencial del producto en trminos de las diferenciales de

y .

3. Un paraleleppedo rectangular de de altura tiene por base un cuadrado cuyo lado es igual a . Cunto aumentar el volumen del paraleleppedo si el lado de la base se alarga

?

4. De cada cara de un bloque cbico de madera se saca una capa de de espesor. Si el bloque tena originalmente de arista, aproximadamente cunto va a decrecer el volumen a causa del proceso?

Nota: A partir de la notacin diferencial se tiene que por lo que se puede

dividir por obtenindose por tanto que .

El usar el cociente de diferenciales para denotar la derivada de se debe a Leibniz y se utiliza a veces al denotar las derivadas de orden superior.





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Derivadas de orden superior

Si es una funcin diferenciable, es posible considerar su funcin derivada como:

para en el dominio de .

Si para algunos valores existe el se dice que existe la

segunda derivada de la funcin que se denota por o , que equivale a

. O sea, la segunda derivada de la funcin se obtiene derivando la primera derivada de la funcin.

Ejemplos:

1. Si entonces:

y

2. Si entonces:

y derivando nuevamente

Por tanto

Similarmente podemos decir que la derivada de respecto a "x" es la tercera

derivada de respecto a "x" que se denota o .

La derivada de la tercera derivada es la cuarta derivada y as podramos

continuar sucesivamente hasta la ensima derivada de que se denota por o

. Generalmente se habla del orden de la derivada; as la primera derivada es la derivada de primer orden, la segunda es la de segundo orden, la ensima derivada es la derivada de orden n.



Ejemplos:

1. Determinar , donde

Solucin:

Obtenemos primero

Luego:

y se tiene que:

2. Determinar

Solucin:

Se tiene que:

Por ltimo:

3. Si determinar .

En este caso debemos dar una forma general para la derivada de orden n, partiendo de las regularidades que se presentan en las primeras derivadas que calculemos.

As:



.

.

.

4. Obtener .

Solucin:

Ejercicio para el estudiante

Una aplicacin de la segunda derivada

Anteriormente hemos estudiado que si nos indica la distancia de una partcula al

origen en un tiempo , entonces es la velocidad en el tiempo .

Al calcular la derivada de la velocidad respecto al tiempo, es decir, al calcular se

obtiene la aceleracin instantnea en el tiempo . Si denotamos esta aceleracin por

se tiene que , es decir, la aceleracin es la segunda derivada de la distancia respecto al tiempo.

Ejemplo:

Sea , la ecuacin que determina la distancia en el tiempo (en segundos) de una partcula al origen en un movimiento rectilneo. Determinar el tiempo, la distancia, y la velocidad en cada instante en que la aceleracin es nula.

Solucin:

Si entonces la velocidad, est dada por:

Averigemos el tiempo en que la aceleracin se hace cero.



Luego, la distancia recorrida cuando es metros y la velocidad en es

.

Otros ejemplos con la segunda derivada

Si es la ecuacin de una curva, se sabe que determina la pendiente de la

recta tangente a la grfica de en un punto .

Se tiene que es la razn de cambio de la pendiente de la recta tangente respecto a . Ms adelante utilizaremos la segunda derivada de una funcin para determinar los extremos relativos de una funcin y para determinar la concavidad de la grfica de una funcin.

Ejemplos:

1. Determinar la pendiente de la recta tangente en cada punto de la grfica de la curva con ecuacin , en los que la razn de cambio de la pendiente es cero.

Solucin:

Se tiene que da la pendiente de la recta tangente a la curva.

Adems determina la razn de cambio de la pendiente.

Debemos averiguar los valores de en los que esta razn de cambio es cero;

Entonces

Luego, cuando la pendiente es y cuando la

pendiente tambin es cero.

2. Determinar la razn de cambio de la pendiente en para la curva con

ecuacin .

Solucin:

La razn de cambio de la pendiente est dada por la segunda derivada de la funcin, as:

En el punto con coordenadas la razn de cambio de la pendiente es:

Luego




1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28

Derivada de la funcin logartmica

Vamos a estudiar la derivada de la funcin definida por , donde

tal que

Teorema

Si , entonces la funcin

es derivable sobre su dominio


Ejemplos:

1.

2.

Teorema

Sea , si la funcin es derivable y sobre

un conjunto , entonces la funcin definida por , es

derivable sobre y .


Ejemplos:

1.

2.

3.



En particular si la base de los logaritmos es " " entonces el se denota por , y:

1. , es decir

2. Si es una funcin derivable con entonces:

Ejemplos:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

Ejercicio:

Si calcule, utilizando diferenciales, un valor aproximado a tres decimales

de





1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28

Derivada de la funcin exponencial

La funcin exponencial de base "a", con , tiene como dominio

.

En el teorema siguiente se dar la derivada de la funcin exponencial.

Teorema


Ejemplos:

1.

2.

3.

4.

Observe que si la base de la funcin exponencial es , entonces de donde

Teorema

Si es derivable sobre entonces la

funcin compuesta es derivable sobre y

.

Prueba: Se deja como ejercicio al estudiante.

Igual que el caso anterior, si la base de la funcin exponencial es , entonces de donde .

Ejemplos:

1.

2.



3.

4.

5.

Ejercicios:

IDetermine la derivada de cada una de la funciones siguientes: 1.

2.

3.

4.

5.

II

1.Determine la ecuacin de la recta tangente a la curva con ecuacin

tal que sea paralela a la recta con ecuacin . 2.

Determinar la ecuacin de la recta tangente trazada a la curva con ecuacin en el punto de su interseccin con el eje Y.

3.La dependencia entre la cantidad de sustancia obtenida en cierta reaccin qumica y el tiempo de reaccin se expresa por la ecuacin

. Determinar la velocidad de reaccin.





1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28

Derivada de las funciones trigonomtricas

A continuacin se presentan las derivadas de las funciones trigonomtricas: seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante.

1.


Utilizando esta como gua, junto con el teorema sobre derivada de un cociente de funciones, se pueden realizar las respectivas demostraciones sobre las derivadas de las funciones trigonomtricas.

En general, aplicando la regla de la cadena para funciones compuestas, se cumple que .

Ejemplos:

a.

b.

c.

d.

Ejercicio:

Determine la primera derivada de cada una de las funciones con ecuaciones:

a.

b.

c.

2.

Prueba: Ejercicio para el estudiante.

En general, si aplicando la regla de la cadena se tiene que

Ejemplos:

a.



b.

c.

Ejercicio:

Determine si:

a.

b.

c.

d.

3.


En general, su entonces aplicando la regla de la cadena se obtiene que

.

Ejemplos:

a.

b.

c.

Ejercicio:

Determine si

a.

b.

c.

4.




Si , aplicando la derivada para la composicin de funciones se obtiene que

.

Ejemplos:

a.

b.

c.

Ejercicio:

Determine si

a.

b.

c.

5.

Prueba: Ejercicio para el estudiante

Si , aplicando la regla de la cadena se obtiene que .

Ejemplos:

a.

b.

c.

Ejercicio:

Determine si

a.

b.

c.



6.

Prueba: Ejercicio para el estudiante

Si , aplicando la regla de la cadena se obtiene que .

Ejemplos:

a.

b.

c.

Ejercicio:

Determine si

a.

b.

c.





1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28

Derivadas de las funciones inversas

Previo al estudio de las funciones trigonomtricas inversas, es necesario determinar la derivada de la funcin inversa de una funcin dada. Para ello consideremos el siguiente teorema.

Teorema

Sea una funcin estrictamente creciente y continua en un intervalo la

funcin inversa de .

Si existe y es diferente de cero para , entonces la funcin derivada

tambin existe y no es nula en el correspondiente "y" donde .

Adems se tiene que .

Note que si entonces , y


Ejemplos:

1. Consideremos la funcin definida por:

Esta funcin posee funcin inversa definida por:

Se tiene que

Como

Note que:

2. Sea la ecuacin de una funcin definida en tal que

.



Se tiene que entonces

As:

El teorema anterior ser de gran utilidad cuando determinemos las derivadas de las funciones trigonomtricas inversas.





1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28

Las funciones trigonomtricas inversas y sus derivadas

Conviene recordar que:

a.

Si una funcin es continua y estrictamente creciente (decreciente) en un intervalo, entonces posee funcin inversa la cual tambin es continua y estrictamente creciente (decreciente).

b.Las funciones trigonomtricas son peridicas por lo que la correspondencia entre la variable independiente y la dependiente no es "uno a uno". De aqu se tiene que la inversa de una funcin trigonomtrica no es una funcin, es una relacin. Sin embargo, si se restringe el dominio de una funcin trigonomtrica se establece una relacin biunvoca y la inversa de la funcin trigonomtrica s es una funcin.

Funcin seno inverso

Al considerar la grfica de la funcin seno:

Se observa que en varios intervalos, por ejemplo:

, etc, la funcin seno es continua y estrictamente

creciente, por lo que podra escogerse alguno de ellos para definir la funcin inversa de la

funcin seno. Usualmente se toma el intervalo . Luego, se define la funcin seno

como:

La funcin as definida es continua y estrictamente creciente en el intervalo ,

por lo que existe una nica funcin, definida en el intervalo , llamada funcin seno inverso. Esta funcin, denotada arcsen, se define como sigue:



Se tiene entonces que .

Luego, es el nico nmero para el cual .

Ejemplos:

a.

b.

c.

d.

La representacin grfica de la funcin seno y de la funcin arcoseno es la siguiente:

Derivada de la funcin seno inverso

Como , aplicando el

teorema de la derivada de una funcin inversa se tiene que:

Como , y entonces

pues .



Luego:

En general

Ejemplos:

1.

2.

3.

Ejercicio:

Determine si:

a.

b.

Funcin coseno inverso

Como en la funcin seno, la funcin coseno es continua y estrictamente decreciente en varios intervalos por ejemplo: , etc, por lo cual debe restringirse su dominio de tal forma que posea funcin inversa.

Sea entonces la funcin tal que:

La funcin as definida es continua y estrictamente decreciente en el intervalo , por lo que posee funcin inversa. Esta recibe el nombre de arco coseno, (o funcin coseno inverso), y se denota .

Se define de la siguiente forma:

Se tiene que

Luego, es el nico nmero con para el que

Ejemplos:



a.

b.

c.

d.

La representacin grfica de la funcin seno y la de la funcin arco coseno es la siguiente:

Derivada de la funcin coseno inverso

Como , aplicando el teorema de la derivada de la funcin inversa se tiene que:

Como , y entonces

pues .

Luego:

En general

Ejemplos:

1.

2.

3.



Ejercicio:

Determine si:

a.

b.

Funcin tangente inversa

Igual que en los dos casos anteriores, vamos a restringir el dominio de la funcin tangente

al intervalo , en el que es continua y estrictamente creciente, por lo que posee

funcin inversa.

Luego se define la funcin tangente como:

Se define la funcin tangente inversa, tambin llamada arco tangente, y denotada , como:

Se tiene que ,


Ejemplos:

a.

b.

c.

Adems:

La representacin grfica de la funcin tangente y la de la funcin arcotangente es la siguiente:



Derivada de la funcin arcotangente

Como , aplicando el teorema de la

derivada de la funcin inversa se tiene que:

Como , y entonces por lo que:

En general

Ejemplos:

1.

2.

3.

Ejercicio:

Determine si:

a.

b.



c.

Funcin cotangente inversa

Para definir la funcin inversa de la funcin cotangente, vamos a restringir el dominio de sta al intervalo , en el que es continua y estrictamente decreciente, por lo que posee funcin inversa.

Se define funcin cotangente como:

La funcin cotangente inversa, llamada tambin arco cotangente y denotada , se define como:

Por la definicin de la funcin arco cotangente se tiene que .


Ejemplos:

a.

b.

c.

Adems:

La representacin grfica de la funcin cotangente y la de la funcin arcocotangente es la siguiente:



Derivada de la funcin cotangente inversa

Como , aplicando el teorema de la derivada de la funcin inversa se tiene que:

Como , y entonces por lo que:

En general

Ejemplos:

1.

2.

3.

Ejercicio:

Determine si:

a.

b.

Funcin secante inversa



Vamos a elegir como dominio de la funcin secante el intervalo de donde

, ya que en la funcin secante es biunvoca y la derivada de

la funcin inversa puede expresarse por medio de una sola frmula.

La representacin grfica de la funcin secante en el intervalo sealado es el siguiente:

Como puede observarse, la funcin secante es continua en , siendo estrictamente

decreciente en y estrictamente creciente en .

Existe por tanto la funcin secante inversa, llamada tambin arco secante y se denota definida por:

Por la definicin de funcin arcosecante se tiene que:

Luego, es el nico nmero con

tal que

Ejemplos:

a.



b.

c.

La representacin grfica de la funcin arcosecante es la siguiente:

Note que:

Derivada de la funcin secante inversa

Como

,

utilizando el teorema de la derivada de la funcin inversa se obtiene que:

Como , y cuando , entonces

pues

Luego

En general, si entonces

Ejemplos:

1.

http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIF...ENCIAL/curso-elsie/derivadafuncion/html/node16.html (10 de 14)27/11/2005 12:30:19 a.m.


2.

Ejercicio:

Determine si:

a.

b.

Nota:

La funcin secante inversa tambin suele definirse por la siguiente igualdad:

. En este caso

Se deja como ejercicio para el estudiante que compruebe esta igualdad.

Funcin cosecante inversa

Tomaremos como dominio de la funcin cosecante el intervalo

, en el que la funcin cosecante es biunvoca.

La representacin grfica de la funcin cosecante en el intervalo sealado es la siguiente:

Como puede observarse, la funcin cosecante es continua en , siendo estrictamente



creciente en y estrictamente decreciente en .

Existe por tanto la funcin cosecante inversa, llamada tambin arco cosecante y que se denota definida por:

Por la definicin de funcin arco cosecante se tiene que:

Luego, es el nico nmero con

tal que

Ejemplos:

a.

b.

c.

d.

La representacin grfica de la funcin arco cosecante es la siguiente:

Note que:



Derivada de la funcin cosecante inversa

Como

,

utilizando el teorema de la derivada de la funcin inversa se obtiene que:

Como , y para , entonces

pues

Luego

En general, si entonces

Ejemplos:

1.

2.

Ejercicio:

Determine si:

a.

b.

Nota: La funcin cosecante inversa tambin suele definirse por la siguiente igualdad:

.

Adems , igualdad que debe comprobar el

estudiante como ejercicio.

Verifiquemos que .



Luego , y se verifica la igualdad.





1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28

Funciones paramtricas

En algunos casos la ecuacin de una funcin o de una relacin no est dada en la forma o , como en las igualdades , sino que

est determinada por un par de ecuaciones en trminos de una misma variable.

Por ejemplo, consideremos las ecuaciones .

Se tiene que a cada valor de le corresponde un punto del plano, el conjunto de los cuales determina una relacin

La siguiente tabla de valores:

nos permite hacer la representacin grfica de la relacin de la siguiente manera:

En general, las ecuaciones funciones continuas en un

intervalo reciben el nombre de ecuaciones paramtricas o representacin paramtrica de una curva en el plano . La grfica de las ecuaciones paramtricas est dada por el conjunto de puntos del plano , que se obtiene cuando , que recibe el nombre de parmetro, toma todos sus valores posibles en el dominio .

La relacin que determinan las ecuaciones paramtricas, en general no es una funcin, como sucede en el ejemplo anterior. Sin embargo, en algunos casos, la relacin dada s es una funcin.

Por ejemplo, sean .



Obtenemos la siguiente tabla de valores:

La representacin grfica es la siguiente:

En este caso, al sustituir se obtiene que que es la

ecuacin de la parbola con el eje como el eje de simetra por lo que s es una funcin. Note que la ecuacin obtenida involucra nicamente las variables "x" e "y". Se dice entonces que el parmetro ha sido eliminado.

En algunos casos, en la eliminacin del parmetro se utiliza una o ms identidades trigonomtricas como se muestra a continuacin.

Sea la relacin con representacin paramtrica .

Se tiene que

Vamos a expresar la relacin utilizando nicamente las variables "x" e "y" como sigue:

de donde es la ecuacin de una circunferencia con centro en y radio 2.

Luego no representa una funcin y su representacin grfica es la siguiente:



puede expresarse entonces como:

Sea ahora R la relacin con representacin paramtrica con .

En este caso

Para expresar R en trminos de "x" e "y", se despeja en alguna de las ecuaciones y se sustituye en la otra como se muestra a continuacin:

Si entonces

Luego la ecuacin para tiene como representacin grfica la

siguiente:

Por ltimo verifiquemos que es una ecuacin de la relacin

determinada por las ecuaciones paramtricas , con .



Como entonces , y como entonces

Luego , de donde , que es la

ecuacin de una elipse con centro en

Su representacin grfica es la siguiente:

Derivada de la funcin dada paramtricamente

El siguiente teorema nos proporciona las condiciones necesarias para obtener la derivada de una funcin dada en forma paramtrica.

Teorema

Sean funciones derivables en un intervalo . Supongamos que tiene

una inversa derivable en ese intervalo. Entonces en cada punto donde , las

ecuaciones implican que existe una funcin derivable tal que

, y adems


Ejemplos:

1. Determine Solucin:

Por el teorema anterior se tiene que

Luego:

por lo que

2. Determinar los puntos de la curva con ecuaciones en los



que que es cero la pendiente de la recta tangente a la curva.

Solucin:

Recuerde que la pendiente de la recta tangente est dada por .

Como entonces

La pendiente de la recta tangente es cero cuando , en este caso cuando

; pero esta igualdad no se cumple para ningn valor real de . Luego, no existe ningn punto de la curva dada donde la pendiente de la recta tangente sea cero.

3. Determinar la ecuacin de la recta tangente a la curva con ecuaciones cuando

Solucin:

La ecuacin de la recta tangente est dada por , donde .

Se tiene que

Cuando , por lo que

Cuando se obtiene , y al sustituir en se obtiene: .

Luego, la ecuacin de la recta tangente es:

Derivadas de orden superior para una funcin dada en forma paramtrica

Si estn dadas en forma paramtrica entonces puede expresarse como sigue:

Ejemplo:

Si entonces y

En general, para obtener la ensima derivada, cuando las ecuaciones estn dadas en forma paramtrica, se aplica la siguiente igualdad:




1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28

Funciones implcitas y su derivada

Al considerar la funcin con ecuacin , es posible determinar

con los teoremas enunciados anteriormente, ya que es una funcin dada implcitamente en trminos de la variable independiente .

Sin embargo, existen funciones que no estn definidas en forma explcita, ejemplos de las cuales son las siguientes:

Estas ecuaciones no pueden ser resueltas explcitamente para "y" en trminos de "x". Se dice que la funcin est definida implcitamente por las ecuaciones:

respectivamente.

Note que ambas expresiones son de la forma general .

Interesa ahora determinar la derivada de una funcin dada en forma implcita.

Consideremos cada una de las ecuaciones anteriores:

a.

Observe que involucra un producto de funciones y que para derivar

se debe utilizar la regla de la cadena.

Se tiene entonces derivando:

Despejando se tiene que:

Sustituyendo "y" por se obtiene:



b. derivando

de donde

y sustituyendo se tiene:

El proceso realizado en estos dos ejemplos recibe el nombre de derivacin implcita, y puede ser utilizado nicamente bajo el supuesto de que la ecuacin dada especifica una funcin. En caso de que no sea as, aunque se realicen las operaciones, el resultado carece de sentido.

Por ejemplo, la ecuacin no puede ser satisfecha por ningn valor real de "x" y "y". Al realizar el procedimiento anterior se obtiene que de

donde , frmula que parece tener significado para "x" y "y" siempre que

, aunque de hecho no puede existir derivada ya que la ecuacin dada no especifica ninguna funcin .

La derivacin implcita determina una frmula para , que es vlida para toda

funcin derivable tal que est definida implcitamente por una ecuacin dada.

Ejemplos:

1. Suponiendo que existe una funcin derivable tal que est definida

implcitamente por la ecuacin , calcular

Solucin:

Derivando implcitamente se obtiene:

Note que hemos trabajado como si .

2. En cada caso determinar una ecuacin para la recta tangente y una ecuacin para



la recta normal a la grfica de la ecuacin dada en el punto . Graficar la curva, la recta tangente y la recta normal.

a.

b.

Solucin:

a.

Primero obtenemos que nos da la pendiente de la recta tangente:

de donde

Evaluando se tiene que

Luego . Sustituyendo se obtiene que por lo que la

ecuacin de la recta tangente es

La pendiente de la recta normal es de donde la ecuacin de esta

recta es: ; sustituyendo nuevamente en se obtiene que

La ecuacin de la recta normal es:

La ecuacin puede escribirse como

que representa la ecuacin de una circunferencia

con centro en y radio .

La representacin grfica de la curva y las rectas es la siguiente:

b.Dada la ecuacin obtenemos . como entonces



Evaluando en se tiene que

Luego, la pendiente de la recta tangente es y la ecuacin es

. Sustituyendo en esta ecuacin se obtiene que por

lo que finalmente la ecuacin de la recta tangente es .

La pendiente de la recta normal es y la respectiva ecuacin es:

. Sustituyendo se obtiene que por lo

que la ecuacin de la recta normal es .

La representacin grfica de la curva, las recta tangente y de la recta normal es la siguiente:

Ejercicios para el estudiante:

1. Probar que las rectas tangentes en el origen a las curvas con ecuaciones son perpendiculares entre s.

2. En cada caso: a.

Determinar en trminos de "x" y "y" utilizando la derivacin implcita.

b.Despejar "y" en trminos de "x" y demostrar que cada solucin y su derivada satisfacen la ecuacin obtenida en a.

i

ii , a cte



iii

3. Determinar la ecuacin de la recta normal a la curva con ecuacin

en el punto





1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28

Derivada de segundo orden para una funcin dada en forma implcita

Especificaremos en los ejemplos siguientes el procedimiento que se sigue para determinar .

Ejemplo A:

Sea la ecuacin , obtenemos primero en la forma siguiente:

de donde

ahora

se sustituye , y se obtiene:

Simplificando:

pero de la ecuacin original por lo

que: , y

Ejemplo B:

Determinar

Primero calculamos

Luego:



sustituyendo se tiene:

pues en la ecuacin original.

Ejercicio:

Determine y exprese el resultado en la forma ms simplificada posible.

a.

b. a cte.

c. a cte, b cte.





1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28

Teorema de Rolle (o teorema sobre las races de la derivada)

Sea una funcin que cumple las condiciones siguientes:

1. es continua sobre un intervalo cerrado

2. es derivable sobre un intervalo abierto 3.

Entonces existe por lo menos un nmero real tal que .

O sea para cierto . Demostracin: Al final del captulo.

Interpretacin geomtrica

Este teorema puede interpretarse geomtricamente de la manera siguiente:

Si una curva continua interseca al eje en y tiene una recta tangente en cada uno de los puntos del intervalo , entonces existe por lo menos un punto de la curva en el que la recta tangente es paralela al eje .

Grficamente se tiene:

El teorema tambin es vlido para una funcin derivable, que, aunque en los extremos del intervalo no

interseque al eje , s tome valores iguales para "a" y "b", es decir, .



Es necesario que la funcin posea derivada en todos los puntos del intervalo, ya que aunque la funcin sea continua en el intervalo, si no es derivable en algn punto, puede suceder que no exista ningn valor "c" para el que sea igual a cero.

Por ejemplo, la funcin con ecuacin es continua en el intervalo y adems se

cumple que , pero la derivada de no est definida para , y

se tiene que no se hace cero en el intervalo dado.

La representacin grfica de esta funcin en el intervalo es la siguiente:

Ejemplos:

Para cada una de las funciones cuyas ecuaciones se dan a continuacin, verificar que se cumplen las condiciones del teorema de Rolle en el intervalo indicado, y determinar un valor adecuado "c" que satisfaga la conclusin de este teorema:

1.

2.

3. Ejercicio para el estudiante

4. Ejercicio para el estudiante

Solucin:



1. Por ser una funcin polinomial es derivable y por lo tanto continua para todo . se cumplen

entonces las dos primeras condiciones en el intervalo

Adems por lo que la curva interseca al eje y se cumple la tercera condicin.

Luego, debe existir por lo menos un nmero tal que

Como si y solo si entonces puede tomarse

Luego en el punto la recta tangente es paralela al eje

2. De nuevo, es una funcin polinomial y por tanto es derivable, y continua para toda . En

particular, en el intervalo se cumplen las dos primeras condiciones.

Adems verificndose la tercera condicin.

Luego, el teorema es vlido en el intervalo y existe tal que . Como

entonces si y solo si . Note que ambos

valores pertenecen al intervalo .

Luego, en los puntos , la recta tangente tiene

pendiente cero y por tanto dicha recta es paralela al eje .





1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28

Teorema del valor medio para derivadas (Teorema de Lagrange)

Sea una funcin que cumple las propiedades siguientes:

1. Es continua sobre un intervalo cerrado

2. Es derivable sobre un intervalo abierto

Entonces existe por lo menos un nmero tal que y


Este teorema se utiliza para demostrar varios teoremas tanto del clculo diferencial como del clculo integral.

En su demostracin se utilizar el teorema de Rolle.


El teorema del valor medio puede interpretarse geomtricamente como sigue:

Consideremos la representacin grfica de una curva continua :

La recta secante que une los puntos tiene como pendiente

. Segn el teorema del valor medio, debe existir algn punto sobre la

curva, localizado entre P y Q, en el que la recta tangente sea paralela a la recta secante que pasa por P y Q; es decir, existe algn nmero tal que

Ejemplos:

Para cada funcin cuya ecuacin se da, verificar que se cumplen las condiciones del teorema del valor medio en el intervalo dado, y determinar un valor adecuado "c" que satisfaga la conclusin de este teorema:



1.

2.

3.

4.

Solucin:

1. Por ser una funcin polinomial, es derivable para toda por lo que debe

existir por lo menos un nmero tal que:

Adems por lo que

Como entonces por lo que

Luego en y en la recta tangente es

paralela a la recta secante que pasa por los puntos y .

2. Como es continua en el intervalo y derivable en el intervalo

cumplir ambas condiciones en el intervalo

Luego debe existir por lo menos un nmero tal que

Como ,

entonces por lo que

Resolviendo la ecuacin se obtiene que o

Aunque ambos valores de pertenecen al intervalo ,se tiene que

nicamente cuando



Luego en la recta tangente es paralela a la recta secante que pasa por

los puntos .

Grficamente se tiene:

El anlisis de las otras funciones queda como ejercicio para el estudiante.





1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28

Teorema de Cauchy del valor medio (o extensin del teorema del valor medio para derivadas)

Sean dos funciones continuas sobre un intervalo cerrado y derivables

sobre el intervalo abierto .

Si para , entonces existe un nmero tal que

.



Considere la representacin grfica de una curva , que tiene ecuaciones

paramtricas donde .

Utilizando la derivacin paramtrica se obtiene que la pendiente de la recta tangente a la curva en un determinado valor est dada por

Adems, la pendiente de la recta secante que pasa por los puntos est dada por:

Por el teorema de Cauchy del valor intermedio, existe por lo menos un valor en

tal que:



En este caso, hay dos valores de que satisfacen la conclusin del teorema y son .

Ejemplos:

En cada caso, determinar los valores tales que satisfacen el teorema de Cauchy del valor medio.

1.

2.

Solucin:

1. Las funciones y son continuas y derivables en el intervalo por ser funciones polinomiales.

Adems: por lo que , y es

diferente de cero para . Como se cumplen todas las condiciones existe

en tal que:

Como entonces sustituyendo en

la expresin anterior: de donde y se obtiene que

2. Las funciones y son continuas y derivables en el intervalo pues ambas

son el cociente de dos polinomios donde es

diferente de cero para en .

Adems: por lo que , es

diferente de cero para . Como se cumplen todas las condiciones del

teorema de Cauchy del valor medio, existe en tal que:

Como entonces

sustituyendo en la igualdad anterior se tiene: y por lo que



Como no pertenece al intervalo , el valor que satisface la

conclusin del teorema es , que s pertenece al intervalo dado.

El teorema de Cauchy del valor ser utilizado en la demostracin de algunos teoremas que se refieren a la regla de L'Hpital y que sern estudiados en el prximo apartado.





1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28

Introduccin

La regla de L'Hopital es un mtodo que se le atribuye al matemtico francs Guillaume Francois de L'Hopital (1661-1707). Este escribi el primer libro de clculo conteniendo su mtodo, junto con J. Bernoulli. Fue publicado en 1696.

Este mtodo nos permite calcular ciertos lmites que con los procedimientos estudiados

anteriormente no era posible resolver. As, al evaluar lmites de la forma en

algunos casos se poda aplicar el teorema para el lmite de un cociente:

siempre que

An cuando y , a veces es posible determinar

. Por ejemplo el que es de la forma puede escribirse como

Sin embargo, existen lmites como en los que tanto el numerador como el

denominador tienden a cero cuando tiende a 2, para los que no hemos dado ningn procedimiento que permita determinar su valor.

El siguiente teorema llamado Regla de L'Hopital proporciona el instrumento adecuado para la evaluacin de tal tipo de lmites.


http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFERENCIAL/curso-elsie/derivadafuncion/html/node25.html27/11/2005 12:30:47 a.m.



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28

Teorema: Regla de L'Hpital

Sean funciones que satisfacen las condiciones del teorema de Cauchy en cierto

intervalo y tales que .

Entonces, si existe , tambin existir y adems

Tambin, si entonces

Demostracin Al final del captulo.

Ejemplos: Calculemos el utilizando el teorema anterior.

Observe que , por lo que se tiene la forma

Luego:

Nota: Si y las derivadas satisfacen las condiciones

que se especificaron para las funciones y , segn la hiptesis de el teorema de la Regla de L'Hpital, entonces puede aplicarse de nuevo la Regla de L'Hpital, obtenindose que:

Puede operarse as sucesivamente siempre que se presente la forma .

Ejemplos:

Calculemos los lmites siguientes:

1.



Note que ; se presenta la forma y puede aplicarse

el teorema.

Luego:

, aqu se presenta de nuevo la forma por lo que

es posible aplicar otra vez el teorema.

Entonces:

2. forma:

forma:

3. forma:

Ejercicio para el estudiante:

Calcule los lmites siguientes utilizando la Regla de L'Hpital.



Antes de aplicarla asegrese de tener la forma indeterminada .

1.

2.

3.

4.





1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28

Teorema

Sean funciones derivables, (y por tanto continuas), en un intervalo , donde es una constante positiva. Sea .

Si y si entonces

Adems, si entonces


Este teorema nos permite aplicar la regla de L'Hpital a lmites en que se presenta la

forma , cuando la variable independiente tiende hacia . Tambin puede aplicarse

cuando al tender a menos infinito se tiene que .

Ejemplos:

Calculemos los siguientes lmites utilizando el teorema anterior.

1.

Cuando se tiene que por lo que .

Se presenta la forma y podemos aplicar el teorema anterior.

Luego:

forma



2. forma

3. forma





1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28

Aplicacin de la Regla de L'Hpital a otras formas indeterminadas

La Regla de L'Hpital tambin se aplica en los casos en que un cociente presenta algunas de las formas siguientes:

Daremos a continuacin, sin demostracin, los teoremas que permiten evaluar tal tipo de lmites.

Teorema

Sean funciones continuas y derivables para todos los valores en un intervalo

abierto , excepto cuando .

Si para se tiene que:

i

ii

iii

iv existe el

entonces tambin existe y adems

Ejemplo:

Calcular

Observe que:

a.

b.

Luego, se presenta la forma por lo que puede aplicarse el teorema anterior como

sigue:



(Recuerde que )

forma

Teorema

Sean funciones derivables para toda , donde es una constante positiva.

Adems, para se cumple que s:

i

(o )

ii

(o )

iii

Entonces el tambin existe y

El teorema tambin es vlido cuando se sustituye

Adems, si entonces

Ejemplos:



Calcular los lmites siguientes:

1.forma: pues cuando

2.

Este lmite puede escribirse tambin como:

que presenta la forma

luego:





1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28

Lmites que presentan la forma

Si entonces el puede designarse por la forma que no coincide con ninguna de las expresiones en las que es posible aplicar la Regla de L'Hpital.

Sin embargo, es posible hacer transformaciones algebraicas de manera que se obtengan

las formas , como sigue:

1. y se tiene cuando

2. y se tiene cuando

En estos dos casos s es posible aplicar los teoremas de la Regla de L'Hpital.

Ej

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