Cálculo diferencial e integral I tics...Cálculo diferencial e integral I es un libro confeccionado para los estudiantes de primer ingreso a la División de Ciencias Básicas

Canek: Portal de Matematicas

Calculo diferencial e integral I

Ignacio Canals Navarrete

Ernesto Javier Espinosa Herrera

Manuel Meda Vidal

Rafael Perez Flores

Carlos Antonio Ulın Jimenez

Universidad Autonoma Metropolitana - Unidad AzcapotzalcoEditorial Reverte

Barcelona • Bogota • Buenos Aires • Caracas • Mexico2008

Universidad Autonoma Metropolitana

Rector generalDr. Jose Lema LabadieSecretario generalMtro. Luis Javier Melgoza Valdivia

Universidad Autonoma Metropolitana-Azcapotzalco

RectorDr. Adrian de Garay SanchezSecretariaDra. Sylvie Turpin Marion

Director de la Division de Ciencias Basicas e IngenierıaMtro. Jose Angel Rocha MartınezJefe del Departamento de Ciencias BasicasDr. Luis Enrique Norena Franco

c© Dr. Ignacio Canals NavarreteM. en C. Ernesto Javier Espinosa HerreraM. en C. Manuel Meda VidalDr. Rafael Perez Flores yDr. Carlos Antonio Ulın Jimenez

c© Departamento de Ciencias BasicasDivision de Ciencias Basicas e IngenierıaUnidad AzcapotzalcoUniversidad Autonoma MetropolitanaAv. San Pablo 180, col. Reynosa TamaulipasDeleg. Azcapotzalco, C.P. 02200 Mexico D.F.

c© Reverte Ediciones, S.A. de C.V.Rıo Panuco, 141, col. CuahtemocDeleg. Cuahtemoc, C.P. 06500Mexico D.F.

ISBN de la coleccion 978 968 6708 73-8

ISBN del volumen 978 968 6708 74-5

Primera edicion 2008

Impreso en China

Portada: Lucila Montoya Garcıa

Cuidado editorial: Concepcion Asuar

Todo el material de este libro se encuentra en lınea en la direccion:

http:\\canek.azc.uam.mx

Indice

Prologo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XI

Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XIII

Capıtulo 1 Los numeros reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1 Algunos tipos de numeros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Representacion geometrica de los numeros reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3 Propiedades algebraicas de los numeros reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3.1 Propiedades basicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3.2 Consecuencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.3.3 Factorizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.4 Orden de los numeros reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.5 Intervalos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.5.1 Tipos de intervalos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.5.2 Operaciones con intervalos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.6 Valor absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.7 Resolucion de desigualdades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

1.7.1 Desigualdades tipo ax+ b ≥ 0 con a �= 0 & b ∈ R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341.7.2 Desigualdades tipo ax+ b ≥ cx+ d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371.7.3 Desigualdades tipo a1x+ b1 ≥ a2x+ b2 ≥ a3x+ b3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401.7.4 Desigualdades tipo |ax+ b | ≤M con M > 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441.7.5 Desigualdades tipo |ax+ b | ≥M con M > 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

1.7.6 Desigualdades tipoax+ b

cx+ d≥ 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

1.7.7 Desigualdades tipoax+ b

cx+ d≥ k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

1.7.8 Desigualdades tipo ax2 + bx+ c ≥ 0 con a �= 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 531.8 Apendice del capıtulo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

1.8.1 Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 661.8.2 Operaciones con conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 671.8.3 Igualdades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

VII

VIII Calculo diferencial e integral I

1.8.4 Otras desigualdades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

Capıtulo 2 Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 732.1 Conceptos basicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 732.2 Funcion real de una variable real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 752.3 Algebra de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 772.4 Composicion de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 792.5 Grafica de una funcion real de variable real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 822.6 Tipos de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

2.6.1 Funciones monotonas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 912.6.2 Funciones pares e impares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 922.6.3 Funcion lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 952.6.4 Funcion cuadratica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 962.6.5 Funciones polinomiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 982.6.6 Funciones racionales y algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 992.6.7 Funcion definida por partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

2.7 Transformaciones de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1112.8 Modelando con funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

Capıtulo 3 Lımites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1393.1 Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1403.2 Algebra de lımites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1433.3 Lımites laterales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1563.4 Lımites infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1623.5 Lımites en infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1723.6 Apendice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

3.6.1 Criterio ε–δ para lımite de una funcion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1833.6.2 Algo mas sobre lımites infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

Capıtulo 4 Continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1894.1 Continuidad en un punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1894.2 Tipos de discontinuidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2084.3 Continuidad en intervalos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216

Capıtulo 5 La derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2375.1 La recta tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2375.2 La derivada de una funcion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247

5.2.1 La regla de los cuatro pasos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2515.3 Velocidad instantanea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2545.4 La derivada y la continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264

Capıtulo 6 Reglas de derivacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2676.1 Reglas basicas de derivacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2676.2 Regla de la cadena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2766.3 Derivadas laterales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2866.4 Derivadas infinitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2886.5 Derivadas de orden superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2926.6 Derivacion implıcita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294

Indice IX

Capıtulo 7 Razones de cambio relacionadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303

Capıtulo 8 Aplicaciones de la derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3178.1 Derivabilidad y monotonıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3178.2 Maximos y mınimos locales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3278.3 Concavidad y convexidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334

Capıtulo 9 Grafica de una funcion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3439.1 Bosquejo de la grafica de una funcion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3439.2 Interpretacion de graficas y sımbolos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359

Capıtulo 10 Optimizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36910.1 Problemas de optimizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369

Anexo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393Soluciones a los ejercicios del capıtulo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393Soluciones a los ejercicios del capıtulo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 400Soluciones a los ejercicios del capıtulo 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413Soluciones a los ejercicios del capıtulo 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 418Soluciones a los ejercicios del capıtulo 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427Soluciones a los ejercicios del capıtulo 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 428Soluciones a los ejercicios del capıtulo 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 430Soluciones a los ejercicios del capıtulo 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431Soluciones a los ejercicios del capıtulo 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432Soluciones a los ejercicios del capıtulo 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441

Prologo

Todo debe hacerse tan simple como sea posible,pero sin excederse en ello.

Albert Einstein

Calculo diferencial e integral I es un libro confeccionado para los estudiantes de primer ingreso a la Divisionde Ciencias Basicas e Ingenierıa de la Universidad Autonoma Metropolitana (Azcapotzalco). Se trata de unmaterial pensado especialmente para coadyuvar con el aprendizaje de calculo en los estudiantes procedentesde bachillerato (o del nivel medio superior: preparatorias publicas o privadas, Colegio de Bachilleres, Cecytdel IPN, etc.), que inician la formacion profesional en ingenierıa.Sin perder el rigorismo, pero tampoco exagerandolo, se ha tratado de definir con claridad los conceptos queconforman cada uno de los temas. De la misma manera, se presenta un gran numero de ejemplos y ejerciciosdesarrollados con bastante detalle. En cada uno de los capıtulos del libro, hemos contemplado una didacticaque atienda la formacion previa tan disımbola de los estudiantes.Este material especialmente se ha nutrido con nuestra experiencia de ensenanza de Calculo diferencial alos estudiantes de la UAM. Todos los autores hemos impartido esa materia en muchas ocasiones; tanto enel sistema tradicional como en el sistema de aprendizaje individualizado (SAI), hemos expuesto en formasucinta la teorıa haciendo participar a los alumnos y resolviendo un gran numero de ejercicios similares alos que se proponen en las evaluaciones parciales, globales y de recuperacion publicados por la UAM y quetambien se encuentran disponibles en internet en la direccion http:\\canek.azc.uam.mx.Para nosotros el alumno es el centro fundamental de la ensenanza, por lo que deseamos que con este materialadquiera las bases necesarias para seguir aprendiendo y asimilando los nuevos conceptos durante su formacionen ingenierıa.

XI

Introduccion

Este libro contiene los temas basicos de un primer curso de Calculo diferencial. Durante el proceso deelaboracion de este material, siempre estuvo presente la idea de presentar, tanto la teorıa como los ejercicios,en forma asequible para cualquier estudiante de nuevo ingreso en escuelas de ingenierıa, en particular paralos alumnos de la Division de Ciencias Basicas e Ingenierıa de la UAM-Azcapotzalco. Por esta razon,como elementos didacticos para la comprension de los contenidos, se ha incluido un numero muy grande deapoyos visuales, concretados principalmente en graficas, ejemplos y ejercicios. Hemos puesto atencion enuna didactica que desarrolle los procesos de abstraccion implıcitos en el contenido matematico presentadoen todos los capıtulos que a continuacion describimos.

El primer capıtulo, Los numeros reales, trata sobre el universo donde se desarrolla esta parte de la matematicadenominada calculo diferencial. Se presentan los numeros reales destacando sus subconjuntos: los numerosnaturales, los enteros, los racionales y los irracionales. Se hace enfasis en la ubicacion de estos en una rectahorizontal, en sus propiedades algebraicas y en su orden. Por la gran utilidad que tiene en el estudio delcalculo se muestra el proceso de solucion de diferentes tipos de desigualdades.

El segundo capıtulo, Funciones, centra la atencion en uno de los elementos fundamentales de la matematica:el concepto de funcion y, como caso particular, el de funcion real de variable real. De ellas damos unarepresentacion grafica, definimos operaciones incluyendo la composicion y se explica la manera de transformarfunciones obteniendo nuevas funciones a partir de una conocida. Clasificamos las funciones como sigue:funciones monotonas, pares e impares, lineales, cuadraticas, cubicas, polinomiales, racionales y algebraicas.Analizamos tambien las funciones definidadas por partes. Por ultimo se muestra como se usan las funcionespara representar o modelar situaciones de la vida real.

En el tercer capıtulo, Lımites, presentamos otro concepto fundamental del calculo: el lımite de una funcion.En el encuentra el lector el algebra de lımites, lımites laterales, infinitos y en infinito.

En el cuarto capıtulo, Continuidad, se utiliza el concepto de lımite de una funcion para tipificar las funcionescontinuas. Desglosamos las diferentes formas en las que una funcion puede no ser continua.

En el quinto capıtulo, La derivada, utilizamos nuevamente el concepto de lımite para definir otro conceptofundamental del calculo: la derivada de una funcion. Se hace hincapie en la derivada como razon de cambioinstantanea de una funcion. Posteriormente definimos en particular la recta tangente a una curva y la

XIII

XIV Calculo diferencial e integral I

velocidad instantanea de un movil. Puntualizamos la relacion entre derivabilidad y continuidad de unafuncion.

En el sexto capıtulo, Reglas de derivacion, desarrollamos lo siguiente: puesto que la derivada es un lımite,y que en general es difıcil o por lo menos laborioso calcular lımites, se presentan distintas reglas que nospermiten calcular la derivada mediante la mera aplicacion de formulas. Se resalta en particular la regla quenos permite determinar la derivada de una composicion de funciones (regla de la cadena) y la derivacion deuna funcion definida implıcitamente.

En el septimo capıtulo, Razones de cambio relacionadas, calculamos la derivada o razon de cambio instan-tanea de una funcion a partir de una expresion que vincula la funcion que derivamos con otras funcionespresentes en el contexto de un problema.

En el octavo capıtulo, Aplicaciones de la derivada, se muestra el uso de la derivada para encontrar cuandouna funcion crece o decrece (tipo de monotonıa), para calcular y clasificar sus puntos crıticos (maximos ymınimos) y para describir los intervalos de concavidad de la funcion.

En el noveno capıtulo, Grafica de una funcion, se articula un gran numero de conceptos presentados enlos capıtulos anteriores para determinar el comportamiento de una funcion en su dominio y representar lagrafica de la funcion con mayor precision.

En el decimo capıtulo, Optimizacion, culminamos nuestro estudio con el analisis de una situacion real, lacual modelamos mediante una funcion real de variable real. De esta funcion se determina donde alcanza susvalores extremos (su maximo y su mınimo). Es decir, optimizamos un modelo que representa un procesoreal.

Por ultimo, en el anexo, Soluciones a los ejercicios, proporcionamos al lector las soluciones a todos losejercicios que aparecen en este libro.

capıtulo

1Los numeros reales

OBJETIVOS PARTICULARES

1. Identificar y ubicar en la recta numerica a los numeros reales (naturales, enteros, racionales e irra-cionales).

2. Aplicar la notacion de intervalos y operar con ellos.

3. Aplicar propiedades algebraicas y de orden de los numeros reales.

4. Aplicar propiedades basicas del valor absoluto de un numero real.

5. Resolver desigualdades de los tipos siguientes:

ax+ b ≥ 0; ax+ b ≥ cx+ d; a1x+ b1 ≥ a2x+ b2 ≥ a3x+ b3;

|ax+ b | ≤M & | ax+ b | ≥M con M > 0;ax+ b

cx+ d≥ 0 &

ax+ b

cx+ d≥ k;

ax2 + bx+ c ≥ 0 & a1x2 + b1x+ c1 ≥ a2x

2 + b2x+ c2 con a1 �= a2

(y las correspondientes para >, < y ≤).

1.1 Algunos tipos de numeros

El conjunto de los numeros naturales o enteros positivos N es:

N = {1, 2, 3, . . . , n, n+ 1, . . .} ;

estos son una parte de los numeros enteros Z :

Z = { . . . ,−(n+ 1),−n, . . . ,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, . . . , n, n+ 1, . . .} .

1

2 Calculo diferencial e integral I

A los numeros Z− = { . . . ,−(n+ 1),−n, . . . ,−3,−2,−1 } se les conoce como enteros negativos por lo quevemos que los numeros enteros estan constituidos por los naturales, el cero y los enteros negativos, esto es,en sımbolos:

Z = Z− ∪ { 0 } ∪ N .

Expresion que se lee: el conjunto de los numeros enteros Z es igual al conjunto de los numeros enterosnegativos Z− union con el cero, union con el conjunto de los numeros naturales.

A su vez, los numeros enteros son una parte de los numeros racionales Q :

Q ={p

q

∣∣ p ∈ Z & q ∈ N

}.

Esta ultima expresion se lee: Q es igual al conjunto de los numeros de la formap

qtales que p es un entero

y q un natural. Notese que al ser q natural no puede ser 0.

Observemos que todo numero entero a se puede escribir comoa

1, o bien

2a2, o bien

3a3, . . . , o bien

na

n,

para cualquier numero natural n de donde se sigue claramente que los numeros enteros son una parte de losnumeros racionales. Es decir tenemos que Z ⊂ Q .

Usando la notacion decimal, todo numero racional se puede escribir como una expresion decimal periodica,por ejemplo:

13

= 0.333, · · · = 0.3;12

= 0.5000, · · · = 0.50 = 0.5;

17

= 0.142857142857, · · · = 0.142857.

La representacion decimal de un numero racionalp

qse obtiene dividiendo el numerador p entre el denominador

q. Ejemplificamos con el racional47:

0.571428

7∣∣ 40

50

10

30

20

60

4

Como los diferentes residuos tienen que ser cero o un natural menor que el divisor 7, a lo mas tendremos 7residuos diferentes, entonces si continuamos el proceso de dividir mas de 7 veces, necesariamente nos tieneque aparecer un residuo repetido y a partir de el tambien se produciran exactamente las mismas cifras en elcociente, por lo que la representacion decimal sera efectivamente periodica.

47

= 0.571428.

Otros numeros son los irracionales I , es decir, aquellos cuyas expresiones decimales son no periodicas, comopor ejemplo: √

2 = 1.414213562 . . . ; π = 3.141592653589 . . .; e = 2.718281828 . . .

1.1 Algunos tipos de numeros 3

Los numeros racionales Q y los irracionales I constituyen los numeros reales R . Esto es:

R = Q ∪ I .

Que visualizamos ası:

N

Z

Q

I

R

Ejercicios 1.1.1 Soluciones en la pagina 393

Expresar el numero racional dado mediante una expresion decimal finita (es decir, con periodo 0) o bienperiodica infinita:

1.38.

2.56.

3.−8125

.

4.173.

5.−100

9.

6.2522.

7.110.

8.1

100=

1102

.

9.1

10ncon n ∈ N.

10. De un ejemplo de numero entero no natural.

11. De un ejemplo de numero racional no entero.

12. ¿Como harıa para hallar la representacion decimal de un numero racional de la formap

qcon p entero

y q natural?

13. Transforme la representacion decimal periodica 0.3 en racional de la formap

qcon p entero y q natural.




qcon p entero y q

natural.






qcon p entero y q

natural.


1.2 Representacion geometrica de los numeros reales

A los numeros reales se les suele representar (o ubicar) en un eje, es decir, en una recta en la cual hay unpunto fijo 0 llamado origen, una unidad de longitud convencional y un sentido.Si a partir del origen marcamos la unidad de longitud consecutivamente en el sentido del eje, obtendremosuna sucesion de puntos cuya distancia al origen es, respectivamente, 1, 2, 3, . . .; (estos puntos representan alos numeros naturales).

0 1 2 3

Los simetricos de estos puntos con respecto al origen, es decir, los puntos que se obtienen al marcar repeti-damente la unidad de longitud en el sentido contrario al del eje, representan a los numeros negativos.

-3 -2 -1 0 1 2 3

Ademas hay puntos en el eje cuya distancia al origen es el racionalp

qsi p ∈ N ∪ { 0 } o

−pq

si p ∈ Z−

(q ∈ N ). Es decir, si dividimos la unidad de longitud en q partes iguales y tomamos p de ellas en el sentidodel eje, si p es natural y en el sentido opuesto si es entero negativo, encontramos un punto cuya distancia alorigen es

p

qo −p

qdependiendo de si p es natural o entero negativo.

-3

1

3

�

− 1

2

�

1

2

�

5

3

�

-2

1

3

�

− 1

2

�

1

2

�

5

3

�

-1

1

3

�

− 1

2

�

1

2

�

5

3

�

0

1

3

�

− 1

2

�

1

2

�

5

3

�

1

1

3

�

− 1

2

�

1

2

�

5

3

�

2

1

3

�

− 1

2

�

1

2

�

5

3

�

3

1

3

�

− 1

2

�

1

2

�

5

3

�

Ademas de los puntos cuya distancia al origen es un numero racional, tambien se encuentran puntos cuyadistancia al origen es un irracional. Por ejemplo si representamos un triangulo rectangulo isosceles cuyoscatetos midan 1, por el teorema de Pitagoras, la hipotenusa mide

√12 + 12 =

√1 + 1 =

√2; entonces

podemos marcar un punto cuya distancia al origen sea precisamente√

2.

x

y

-2 -1 0 1 2

1

√2

√2

1.3 Propiedades algebraicas de los numeros reales 5

Los numeros reales comunmente se representan con letras minusculas.De esta manera a cada numero real positivo r le hacemos corresponder el punto P cuya distancia al origenes dicho numero r. Al real negativo −r le hacemos corresponder el punto P que es el simetrico de P conrespecto al origen.

−r

P

r

P

0

A todo punto del eje le corresponde un numero real asociado a la distancia del punto al origen y a dosnumeros reales diferentes les corresponden dos puntos distintos.Por esta correspondencia biunıvoca entre los numeros reales y los puntos de un eje, es usual referirse indis-tintamente a un numero real o a un punto.Es costumbre dibujar horizontal al eje y considerar positivo el sentido de izquierda a derecha. Por eso seusan expresiones como “a la derecha” o “a la izquierda”.


1. ¿Cuando se dice que 2 puntos A y A ′ son simetricos con respecto a un tercero O?

2. Dados dos puntos A y O ¿como hallarıa el simetrico de A con respecto a O?

3. Con regla y compas ¿como divide un segmento en 2 partes iguales?

4. Con regla y compas ¿como divide un segmento en 3 partes iguales?

5. ¿Como dividirıa un segmento en q partes iguales (donde q es un numero natural)?

6. ¿Como hallarıa el punto en el eje real que le corresponde al numero racional −53?

7. ¿Como hallarıa el punto en el eje real que le corresponde al numero racionalp

qdonde p ∈ Z y q ∈ N ?

8. ¿Como hallarıa el punto en el eje real que le corresponde al numero irracional√

5?

9. ¿Como hallarıa el punto en el eje real que le corresponde al numero irracional√

3?

1.3 Propiedades algebraicas de los numeros reales

1.3.1 Propiedades basicas

En los numeros reales se definen dos operaciones, adicion y multiplicacion, las cuales tienen ciertas propiedades:


Propiedades Adicion Multiplicacion

Conmutatividad a+ b = b+ a a · b = b · a

Asociatividad (a+ b) + c = a+ (b+ c) (a · b) · c = a · (b · c)

Existencia del elemento neutro a+ 0 = a a · 1 = a

Existencia del elemento inverso a+ (−a) = 0 a · a−1 = 1 si a �= 0

Propiedad distributiva de la multiplicacion con respecto a la adicion

a × (b+ c) = (a× b) + (a× c)

Al producto de dos numeros reales a, b lo denotaremos indistintamente poniendo punto entre ellos: a · b,o ×: a× b o simplemente yuxtaponiendolos: a b.

• Conmutativa.

Ejemplos:

1. 8 + 2 = 2 + 8.

2. a+ 3 = 3 + a.

3. x2 − 1 = −1 + x2.

4. 3 × 6 = 6 × 3.

5. a× 5 = 5 × a.

• Asociativa.

Ejemplos:

1. (5 + 2) + 6 = 5 + (2 + 6).

2. (a+ 7) + g = a+ (7 + g).

3. (y2 + c) + 2 = y2 + (c + 2).

4. (3 × 6) × z = 3 × (6 × z).

5. (5 × x2) × 9 = 5 × (x2 × 9).

6. y × f) × h2 = y × (f × h2).

• Existencia del elemento neutro.

Ejemplos:

1. 5 + 0 = 5.

2. (a+ c) + 0 = a+ c.

3. (ya) + 0 = ya.

4. 8 × 1 = 8.

5. (g + h) × 1 = g + h.

6. (g × h) × 1 = g × h.

• Existencia del elemento inverso.

Ejemplos:

1. 7 + (−7) = 0.

2. c+ (−c) = 0.

3. 3b+ (−3b) = 0.

4. 4 × 4−1 = 1.

5. 15× 15−1 = 1.

6. h× h−1 = 1 si h �= 0.


• Propiedad distributiva de la multiplicacion con respecto a la adicion.

Ejemplos:

1. 7 × (a + h) = (7 × a) + (7 × h) o bien 7(a+ h) = 7a+ 7h.

2. b× (5 + c) = (b × 5) + (b× c) o bien b(5 + c) = 5b+ bc.

3. f × h× (g + b) = [(f × h) × g] + [(f × h) × b] o bien (fh)(g + b) = (fh)g + (fh)b.

• Expresiones tales como:{[(a+ b) + c] + d}+ e+ · · · o bien {[(a · b) · c] · d} · e · ...

se escriben simplemente ası:

a+ b+ c+ d+ e+ · · · o bien a · b · c · d · e · ...

pues son equivalentes y no se prestan a confusion.

Ejemplos:

1. {[(3 + a) + g] + 7b} + 5 − d = 3 + a+ g + 7b+ 5 − d.

2. {[(7 · a) · c] · d} · 2 · a · c = 7 · a · c · d · 2 · a · c.

1.3.2 Consecuencias

Sean a, b, c, d, · · · numeros reales:

• a+ b = a+ c ⇒ b = c.

Esta expresion se lee: si a+ b = a+ c, entonces b = c. Es decir, se puede cancelar un mismo terminode los dos miembros de una igualdad.

• a · 0 = 0.

• a · b = a · c & a �= 0 ⇒ b = c.

Notese que no podemos cancelar el 0 como factor, pues entonces tendrıamos aberraciones del tiposiguiente:

0 · 1 = 0 & 0 · 2 = 0 ⇒ 0 · 1 = 0 · 2 ⇒ 1 = 2.

• a · b = 0 ⇒ a = 0 o bien b = 0.

Esta propiedad se usa para resolver ecuaciones: si logramos factorizar un polinomio de grado n,

P (x) = Q(x)R(x)

entonces, resolver la ecuacion P (x) = 0 es lo mismo que resolver las dos ecuaciones Q(x) = 0 y R(x) = 0que no son de grado mayor que n.

Ejemplo:

Se tiene que x2 − 3x− 10 = (x− 5)(x+ 2);

(x− 5)(x+ 2) = 0 ⇒ x− 5 = 0 o bien x+ 2 = 0 ⇒ x = 5 o bien x = −2.


Se definen la sustraccion y la division como:

• a− bdef= a+ (−b).

• a

b

def= a · b−1 con b �= 0.

Algunas igualdades importantes son:

• 1a

= a−1 si a �= 0.

Ejemplos:

1.13

= 3−1.

2.1ab

= (ab)−1 si ab �= 0.

• a− b = 0 ⇔ a = b (esta expresion se lee: a− b = 0 si y solamente si a = b).

Ejemplos:

1. a− 5 = 0 ⇔ a = 5.

2. a+ b− z = 0 ⇔ a+ b = z.

• a

b= 1 ⇔ a = b con b �= 0.

Ejemplos:

1.2c

= 1 ⇔ c = 2.

2.z

6= 1 ⇔ z = 6.

3.ac

h= 1 ⇔ ac = h con h �= 0.

• −0 = 0.

• 1−1 = 1.

• −(−a) = a.

Ejemplos:

1. −(−10) = 10.

2. −[−(h× g)] = h× g.

3. −[−(a+ b)] = a+ b.

• (a−1)−1 = a con a �= 0.

Ejemplos:

1. (3−1)−1 = 3.

2. [(a× b)−1]−1 = a× b.

3. [(8 + a)−1]−1 = 8 + a.


• −(a+ b) = −a − b.

Ejemplos:

1. −(2 + 4) = −2 − 4.

2. −(5 + c) = −5 − c.

• (a× b)−1 = a−1 × b−1.

Ejemplos:

1. (3 × g)−1 = 3−1 × g−1.

2. [(b+ c) × f ]−1 = (b+ c)−1 × f−1.

• a(−b) = (−a)b = −(ab) “mas por menos es menos”, “menos por mas es menos”.

Ejemplos:

1. (−c) × h = −(c × h) = c× (−h).

2. (−3) × g = −(3 × g) = 3 × (−g).3. (−1) × (5 + c) = −[1 × (5 + c)] = 1 × [−(5 + c)] = −(5 + c).

• (a− b)× c = (a× c)− (b× c) propiedad distributiva de la multiplicacion con respecto a la sustraccion.

Ejemplos:

1. (3 − z) × g = (3 × g) − (z × g).

2. [(f × h) − y] × 2 = [(f × h) × 2]− (y × 2).

• (−a)(−b) = a · b “menos por menos es mas”.

Ejemplos:

1. (−5)(−3) = (5)(3) = 15.

2. (−z)(−6) = (z)(6).

• a

b=c

d⇔ a× d = b× c donde b× d �= 0.

Ejemplos:

1.a

2=b

5⇔ 5a = 2b.

2.7c

=h

f⇔ 7f = ch donde cf �= 0.

• a

b± c

d=

(a × d) ± (b× c)b× d

donde b × d �= 0.

Ejemplos:

1.74− 2

3=

(7)(3) − (4)(2)(4)(3)

=21 − 8

12=

1312

.

2.2a

+c

5=

(2 × 5) + (a× c)a× 5

=10 + (a × c)

5 × adonde a �= 0.


• a

b× c

d=a× c

b × ddonde b× d �= 0.

Ejemplos:

1.3z× 4f

=3 × 4z × f

=12

f × zdonde z × f �= 0.

2.8 × a

5× h

b=

8 × a× h

5× bdonde b �= 0.

•a

bc

d

=a× d

b× cdonde b× d× c �= 0.

Ejemplos:

1.

3a5c

7

=(3a)7

5c=

21a5c

donde c �= 0.

2.

2fg

h

=2 × h

f × gdonde f × g × h �= 0.

• a

−b = −ab

=−ab

donde b �= 0 “mas entre menos es menos”, “menos entre mas es menos”.

Ejemplos:

1.c

−9= − c

9=

−c9

.

2.f × z

−d = −f × z

d=

−(f × z)d

donde d �= 0.

• −a−b =

a

bdonde b �= 0 “menos entre menos es mas”.

Ejemplos:

1.−2−7

=27.

2.−z−b =

z

bdonde b �= 0.

3.−(ac)−(bd)

=ac

bddonde bd �= 0.

• a× b

a× c=b

cdonde a × c �= 0, de numerador y denominador se puede cancelar el mismo factor siempre

que este sea diferente de cero.

Ejemplos:

1.4 × g

4 × h=g

hdonde h �= 0.

2.a× g × f

5 × f=a× g

5donde f �= 0.

• Si n es un numero natural, se definen: an =

{a si n = 1;an−1 · a si n > 1;

n es el exponente, a es la base y an es la enesima potencia de a.


Ejemplos:

1. a1 = a.

2. 21 = 2.

3. a2 = a1 × a = a× a.

4. 62 = 61 × 6 = 6 × 6 = 36.

5. a3 = a2 × a.

6. 93 = 92 × 9 = 729.

• a0 = 1 (con a �= 0).

Ejemplos:

1. 0 = 1.

2. 30 = 1.

3. (a+ b)0 = 1.

4. (3 + a)0 = 1.

5. (c× d)0 = 1.

6. (8 × 2)0 = 1.

• a−n def= (a−1)n = (an)−1 =1an

(con a �= 0).

Ejemplos:

1. b−2 = (b−1)2 = (b2)−1 =1b2

.

2. 7−3 = (7−1)3 = (73)−1 =173

.

• n√a = b ⇒ bn = a (si n es par entonces a ≥ 0).

Ejemplos:

1. 2√a = b ⇒ b2 = a.

2. En la raız cuadrada poner el ındice 2 es opcional:√c = 4 ⇒ 42 = 16 = c.

3. 3√a+ c = d ⇒ d3 = a+ c.

• Si n es impar bn = a ⇒ n√a = b.

Ejemplo:

1. d3 = a + c ⇒ 3√a+ c = d.

• amn

def= n√am si m

n ∈ Q .

Ejemplos:

1. 3√

25 = 253 .

2. 2√π6 = π

62 = π3.

• n√a · b = n

√a · n

√b.

• n

√a

b=

n√a

n√b.


Propiedades de los exponentes. Si r & s son numeros racionales:

• (a× b)r = ar × br . Una potencia de un producto es el producto de las potencias de los factores:

Ejemplos:

1. (3 × a)2 = 32 × a2 = 9 × a2.

2. [(a+ b) × c]2 = (a + b)2 × c2.3. (3 × 2)

25 = 3

25 × 2

25 .

• ar · as = ar+s. Para multiplicar potencias de la misma base se suman los exponentes.

Ejemplos:

1. a2 × a3 = a2+3 = a5.

2. b× b = b1 × b1 = b1+1 = b2.

3. (3 × a)2 × (3 × a) = (3 × a)2 × (3 × a)1 = (3 × a)2+1 = (3 × a)3.

• ar

as= ar−s si a �= 0. Para dividir potencias de la misma base se restan los exponentes.

• (ar)s = ar·s. Para elevar una potencia a otra potencia se multiplican los exponentes.

Ejemplos:

1. (a2)2 = a2×2 = a4.

2. (b3)4 = b3×4 = b12.

3. (71)2 = 71×2 = 72 = 49.

4. [(a+ b)2]3 = (a+ b)2×3 = (a + b)6.

Estas propiedades tambien son ciertas en el caso de exponentes irracionales pero eso lo veremos posterior-mente.


Simplificar las expresiones numericas siguientes

1.32

+43− 2

5.

2.(−3

8

)(4

−15

).

3.(−4

5

)(815

)−1

.

4.(

23

+35

)(32− 5

3

).

5.(

32− 2

3

)(32

+14

)−1

.

6. (16)45 (8)−

25 .

1.3.3 Factorizacion

Otras igualdades importantes se denominan productos notables que tambien se pueden ver como una fac-torizacion. Por factorizar una expresion algebraica se entiende escribirla como un producto.Algunos ejemplos de factorizacion son:

• ax ± bx = (a ± b)x. Sacar factor comun, observen que en realidad es la propiedad distributiva de lamultiplicacion con respecto a la adicion o a la sustraccion.

Ejemplos:

1. ax+ x = ax+ 1 · x = (a + 1)x.

2. xb2 + 6b2 = (x+ 6)b2.

3. 5ac+ 2acx = (5 + 2x)ac.

4. 6x2y + 3y = (2x2 + 1)3y.


• a2 − b2 = (a+ b)(a− b). Diferencia de cuadrados.

Ejemplos:

1. x2 − z2 = (x+ z)(x− z).

2. 4a2 − 9b2 = (2a)2 − (3b)2 = (2a+ 3b)(2a− 3b).

3. c2 − 1 = (c + 1)(c− 1).

4. x2 − 3 = x2 − (√

3)2 = (x+√

3)(x−√3).

• x2 + (a+ b)x+ (ab) = (x + a)(x+ b). Factorizar un trinomio.

Ejemplos:

1. x2 + 9x+ 14 = x2 + (2 + 7)x+ (2)(7) = (x + 2)(x+ 7).

2. x2 − 5x− 6 = x2 + (1 − 6)x+ (1)(−6) = (x+ 1)(x− 6).

3. x2 − 11x+ 24 = x2 + (−3 − 8)x+ (−3)(−8) = (x− 3)(x− 8).

• a2 ± 2ab+ b2 = (a± b)2. Trinomio cuadrado perfecto.

Ejemplos:

1. a2 + 2az + z2 = (a+ z)2.

2. x2 − 6x+ 9 = (x− 3)2.

3. c2d2 + 2cdz + z2 = (cd+ z)2.

4. c4 + 8c2 + 16 = (c2 + 4)2.

• a3 ± 3a2b+ 3ab2 ± b3 = (a± b)3. Cubo perfecto.

Ejemplos:

1. x3 + 3x2z + 3xz2 + z3 = (x+ z)3.

2. a3 − 6a2 + 12a− 8 = (a − 2)3.

• an − bn = (a− b)(an−1 + an−2b+ an−3b2 + · · ·+ a2bn−3 + abn−2 + bn−1).

Ejemplo:

(a− b)3 = (a− b)(a2 + ab+ b2).

• an + bn = (a+ b)(an−1 − an−2b+ an−3b2 − · · ·+ a2bn−3 − abn−2 + bn−1) si n es impar.

Ejemplo:

(a+ b)3 = (a+ b)(a2 − ab+ b2).

Teorema del residuo. Si P (x) es un polinomio de grado n & r es una raız (es decir, P (r) = 0) entoncesP (x) = (x − r)Q(x) donde Q(x) es el cociente de dividir P (x) entre (x − r), y es un polinomio de gradon− 1.

Ejemplo 1.3.1 P (x) = x3 − 6x2 + 11x− 6; si x = 1 : P (1) = 13 − (6 · 12)+ (11 · 1)− 6 = 1− 6 +11− 6 = 0,luego P (x) es divisible entre x− 1.


� En efecto

x2 − 5x+ 6

x− 1∣∣ x3 − 6x2 + 11x− 6

−x3 + x2

0 − 5x2 + 11x

5x2 − 5x

0 + 6x− 6

−6x+ 6

0

Por lo que x3 − 6x2 + 11x− 6 = (x− 1)(x2 − 5x+ 6).Y el grado de x2 − 5x+ 6 (que es 2) es una unidad menor que el de x3 − 6x2 + 11x− 6 (que es 3).

�


1. ¿Cuales son las soluciones de x2 = a2?

2. Calcule (x+ 1)(x+ 2)(x+ 3).

3. ¿Cuales son las soluciones de x3 + 6x2 + 11x+ 6 = 0?

4. ¿Puede dar una solucion o raız de x3 − 8 = 0?

5. ¿Puede dar una solucion o raız de x3 − a3 = 0?

6. ¿Puede dar una raız de x3 + 8 = 0?

7. ¿Puede dar una raız de x5 − 32 = 0?

8. ¿Puede dar una raız de x5 + 32 = 0?

9. ¿Puede dar una raız de x4 − 81 = 0?

1.4 Orden de los numeros reales

Un numero a que pertenezca a los reales (a ∈ R ) es positivo si esta a la derecha del cero; esto se denota ası:

a > 0 o bien 0 < a.

0

�

a

�

Un numero a que pertenezca a los reales (a ∈ R ) es negativo si esta a la izquierda del cero; esto se denotaası:

a < 0 o bien 0 > a.

1.4 Orden de los numeros reales 15

a�

0

�

El sımbolo > se lee “mayor que”. El sımbolo < se lee “menor que”.

a > b o bien b < a quiere decir que a esta a la derecha de b o bien que b esta a laizquierda de a; tambien significa que a− b > 0.

a ≥ b quiere decir que a > b o bien que a = b.El sımbolo ≥ se lee “mayor o igual que”.

a ≤ b quiere decir que a < b o bien que a = b.El sımbolo ≤ se lee “menor o igual que”.

• Si dos numeros reales son positivos se cumple que su suma y su producto tambien son numeros positivos:

a > 0 & b > 0 ⇒ a+ b > 0 y tambien a · b > 0.

• Ley de tricotomıa. Se cumple una de tres:

a ∈ R ⇒ a > 0 o bien a = 0 o bien a < 0.

• a > 0 ⇔ −a < 0.

0−a a��

Ejemplo:

a = 5 > 0 & − a = −5 < 0.

• a < 0 ⇔ −a > 0.

0a −a

��

Ejemplo:

a = −3 < 0 & − a = 3 > 0.

Es decir, dos puntos simetricos representan numeros reales con distinto signo.

Cualquier expresion que contenga uno de los cuatro sımbolos >, <, ≥ o bien ≤ se llama desigualdad.

Una desigualdad consta de dos miembros, lo que esta escrito antes del sımbolo >, <, ≥ o bien ≤ se llamaprimer miembro y lo que esta escrito despues de cualquiera de esos sımbolos se llama segundo miembro.


Ejemplo 1.4.1 Algunas desigualdades:

1. −5 ≤ 6.

2. 3 ≥ 3.

3.34x+ 1 > 7.

4. x2 < x+ 2.

5.3x− 17 + x

> 8.

Dos desigualdades en las que aparece en ambas el sımbolo > o bien en ambas el sımbolo < se dice que sondel mismo sentido.

Ejemplo 1.4.2 Desigualdades del mismo sentido: a > b & d > c.

Ejemplo 1.4.3 Desigualdades del mismo sentido: c < d & f < a.

Si en una desigualdad aparece el signo > y en otra el signo < se dice que son de sentidos contrarios.

Ejemplo 1.4.4 Desigualdades de sentidos contrarios: a > 7 & b < c.

Algunas propiedades de orden son las siguientes:

• Ley de tricotomıa, una de tres:

a & b ∈ R ⇒ a > b o bien a = b o bien a < b.

• A los dos miembros de una desigualdad se les puede sumar una misma cantidad y se obtiene otradesigualdad del mismo sentido que la dada:

a > b & c ∈ R ⇒ a + c > b+ c.

Ejemplo:

Sabemos que 7 > 2, entonces sumando 1 a cada miembro de la desigualdad se obtiene otradesigualdad del mismo sentido que la original: 7 + 1 > 2 + 1. En efecto, 8 > 3.

• Si multiplicamos los dos miembros de una desigualdad por un numero positivo, se preserva el sentidode la desigualdad:

a > b & c > 0 ⇒ a · c > b · c.Ejemplo:

De 5 > 3 se tiene 5 · 2 > 3 · 2. En efecto, 10 > 6.

• Si multiplicamos los dos miembros de una desigualdad por un numero negativo, cambia el sentido dela desigualdad:

a > b & c < 0 ⇒ a · c < b · c.Ejemplo:

De 6 < 8 se tiene (6)(−1) > (8)(−1). En efecto, −6 > −8.

• Sumando miembro a miembro dos desigualdades del mismo sentido, se obtiene otra desigualdad delmismo sentido:

a > b & c > d ⇒ a+ c > b+ d.


Ejemplos:

1. 5 > 4 & 10 > 9 ⇒ 5 + 10 > 4 + 9.

En efecto, 15 > 13.

2. 5 > 4 & − 5 > −10 ⇒ 5 − 5 > 4 − 10.

En efecto, 0 > −6.

• Transitividad: a > b & b > c ⇒ a > c.

c

� �

b

�

a

Ejemplo:

1. 6 > 4 & 4 > 2 ⇒ 6 > 2.

• El cuadrado de cualquier numero distinto de cero es positivo:

a �= 0 ⇒ a2 > 0.

Ejemplos:

1. El 1 es positivo: 1 = 12 > 0.

2. a = 4 ⇒ (4)2 > 0. En efecto, 16 > 0.

3. a = −5 ⇒ (−5)2 > 0. En efecto, 25 > 0.

• a2 + 1 > 0 para a ∈ R .

• Cualquier potencia de un numero positivo es un numero positivo:

b > 0 ⇒ bn > 0.

Ejemplos:

1. 32 > 0. En efecto, 9 > 0.

2. 6−2 =162

> 0. En efecto,136

> 0.

• Cualquier potencia par de un numero negativo es un numero positivo:

a < 0 ⇒ an > 0 si n es par.

Ejemplo:

(−4)2 > 0. En efecto, 16 > 0.

• Cualquier potencia impar de un numero negativo es un numero negativo:

a < 0 ⇒ an < 0 si n es impar.

Ejemplo:

(−4)3 < 0. En efecto, − 64 < 0.


• 0 < a < b ⇒ 0 < an < bn.

Ejemplo:

0 < 3 < 5 ⇒ 0 < 32 < 52. En efecto, 0 < 9 < 25.

• a < b < 0 ⇒{an > bn > 0 si n es par;an < bn < 0 si n es impar.

Ejemplos:

1. −4 < −2 < 0 ⇒ (−4)2 > (−2)2 > 0. En efecto, 16 > 4 > 0.

2. −4 < −2 < 0 ⇒ (−4)3 < (−2)3 < 0. En efecto, − 64 < −8 < 0.

• 0 < a < b ⇒ 0 < n√a <

n√b para n ∈ N .

Ejemplo:

0 < 4 < 8 ⇒ 0 <√

4 <√

8. En efecto, 0 < 2 < 2.8284.

• a < b < 0 ⇒ n√a <

n√b < 0 si n ∈ N es impar.

Ejemplo:

−64 < −8 < 0 ⇒ 3√−64 < 3

√−8 < 0. En efecto, − 4 < −2 < 0.

• (−a)2n = a2n y (−a)2n+1 = −a2n+1 con n ∈ N .

Ejemplos:

1. Como 6 es par (6 = 2 · 3), entonces (−2)6 = 26 = 64.

2. Como 3 es impar (3 = 2 · 1 + 1), entonces (−3)3 = −33 .En efecto, − 27 = −27.

• Si el producto de dos numeros es positivo y uno de ellos es positivo el otro tambien lo es:

a · b > 0 & a > 0 ⇒ b > 0.

Ejemplo:

(3)(8) > 0 & 3 > 0 ⇒ 8 > 0.

• El recıproco de un positivo es positivo: a > 0 ⇒ a−1 > 0.

El recıproco de un negativo es negativo: a < 0 ⇒ a−1 < 0.

Ejemplos:

1. 7 > 0 ⇒ 7−1 > 0. En efecto,17> 0.

2. −5 < 0 ⇒ (−5)−1 < 0. En efecto,1−5

= −15< 0.

• El cociente de dos numeros positivos es positivo: a > 0 & b > 0 ⇒ a

b> 0.


Ejemplo:

2 > 0 & 9 > 0 ⇒ 29> 0.

• m

n≤ p

q⇔ mq ≤ np.


Determinar la relacion de orden que hay entre los racionales siguientes:

1.115

y209

.

2.23

y813

.

3.441189

y73.

4. −103

y − 3310

.

5. −126315

y − 25.

6. −2546

y − 611

.

7. Si a, b son dos numeros reales tales que a2 + b2 = 0, ¿que se puede inferir acerca de los numeros a, b?

8. Si a, b son numeros reales tales que a ≥ b & a ≤ b, ¿que se puede inferir acerca de a, b?


1. Como 8 > 5, poner el signo que procede (sustituir el ?) en la desigualdad:

8 + c ? 5 + c, donde c ∈ R .


8c ? 5c, donde c > 0.


8c ? 5c, con c < 0.


8 + 8 ? 5 + 5.


514 ? 014(= 0).


513 ? 0.


−5 ? 0.


8. Como −5 < 0, poner el signo que procede (sustituir el ?) en la desigualdad:

(−5)14 ? 0.

9. Como −5 < 0, poner el signo que procede (sustituir el ?) en la desigualdad:

(−5)13 ? 0.

10. Como −8 < −5 < 0, poner el signo que procede (sustituir el ?) en la desigualdad:

(−8)2 ? (−5)2.

11. Como −8 < −5 < 0, poner el signo que procede (sustituir el ?) en la desigualdad:

(−8)3 ? (−5)3.

12. ¿Como es el producto de dos numeros positivos?

13. ¿Como es el producto de un numero positivo por un negativo?

14. ¿Como es el producto de dos numeros negativos?

1.5 Intervalos

1.5.1 Tipos de intervalos

Supongamos que tenemos dos numeros reales a & b, tales que a < b.Se definen cuatro tipos de intervalos:

1. Abierto

• (a, b) ={x ∈ R

∣∣ a < x < b}

={x ∈ R

∣∣ x > a & x < b}.

a b

��

��

x

En esta representacion del intervalo (a, b) las circunferencias expresan que “x” no toma ni el valor de“a” ni el valor de “b”.

2. Cerrado

• [a, b] ={x ∈ R

∣∣ a ≤ x ≤ b}

={x ∈ R

∣∣ x ≥ a & x ≤ b}.

a b

��

��

x

El cırculo en a indica que “x” puede tomar el valor de “a”. Lo mismo ocurre para “b”.

3. Semiabierto o semicerrado

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Cálculo diferencial e integral I tics...Cálculo diferencial e integral I es un libro confeccionado para los estudiantes de primer ingreso a la División de Ciencias Básicas