Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable

COORDENADAS POLARES

46 Integrales

2Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable

Habilidades

1. Representar puntos del plano en coordenadas polares.

2. Deducir la relación entre el sistema cartesiano y el sistema polar.

3. Reconocer y graficar ciertas curvas notables en coordenadas polares.

3Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable

0

y

x

(x, y)

Coordenadas Rectangulares

P

x

y

4Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable

Polo Eje Polar

r

θ

P (r, θ)

Coordenadas Polares (r, θ) de un Punto P

0

Emplea distancias y direcciones.

r es la distancia de O a P.

θ es el ángulo entre el eje polar y el segmento OP.

θ es positivo si se mide en dirección contraria a las manecillas del reloj.

θ en radianes.

5Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable

Si r < 0, entonces P(r,θ) se define como el punto que se encuentra a |r| unidades del polo en la dirección opuesta a la que da θ.

0

θ

P(-r,θ)

P(r,θ)

6Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable

En un sistema de coordenadas polares cada punto tiene muchas representaciones

3.0

2

P(2, )

2nπ3π

2nπ

3π

;2

x

y 31;P3

1

En el sistema coordenado cartesiano, todo punto tiene sólo una representación.

Es decir, el punto en coordenadas polares (r; θ), se representa también por

y)2;( nθr

))12(;( nθr

7Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable

Conexión entre el sistema Polar y el sistema cartesiano

De la grafica observe que:

9

y

x

r

P(x ; y)P(r ; )

x

y

senryrx cosEstas ecuaciones permiten hallar las coordenadas cartesianas de un punto cuando se conocen lascoordenadas polares.

Para hallar las coordenadas r y θ cuando se conocen x e y, se usan las ecuaciones

x

yyxr θtan222

Si P es un punto cuyas coordenadas polares son (r ; θ) entonces, las coordenadas rectangulares (x ; y) de P serán:

8Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable

Gráficas de Ecuaciones Polares

Ejemplo: Trace la gráfica de la ecuación r = 3

1 2 3 4 5 60x2 + y2 = 9

La grafica de una ecuación polar r = f(θ), o de manera más generalF(r; θ), consta de los puntos P que tienen al menos una representaciónpolar (r; θ) cuyas coordenadas satisfacen la ecuación.

9Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable

Identificar y hacer la gráfica de la ecuación: = /4

tan tan

xy = 1

x = y

= 0

= /4

= /2

= 3/4

=

= 5/4

= 3/2

= 7/4

y

x

Ejemplo:

10Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable

1. Resuelve: f() = 0.

2. Si existe al menos un valor para el ángulo , la gráfica sí pasa por el polo (0; ) si no, la gráfica no pasa por el polo.

¿La gráfica pasa por el polo?

¿Cuales de las siguientes gráficas cuyas ecuaciones polares se dan, pasan por el polo?

a) r = 2 sen

b) r = 2 + sen

11Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable

Simetría

1. Si una ecuación no cambia al sustituir θ por –θ, la gráfica es simétrica respecto al eje polar

(r ; )

(r ; -)

o

2. Si una ecuación no cambia al sustituir r por –r, la gráfica es simétrica respecto al polo. o(-r ; )

(r ; )

3. Si una ecuación no cambia al sustituir θ por Π – θ, la gráfica es simétrica respecto a la recta vertical q = Π/2 (eje y)

(r ; ) (r ; )

12Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable

Algunas curvas polares comunes

Círculos

CardiodesEn general, la gráfica de cualquier ecuación de la forma

)cos1( ar )1( sen ar

)cos1(2 r

)sen 1(2 r

13Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable

Bibliografía

“Cálculo de una variable”

Sexta ediciónJames Stewart

Ejercicios 10.3 Pág. 647 - 648