Cálculo de Estructuras de Acero

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Categora:Clculo de Estructuras de AceroAnuncios Googley

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Contenido[ocultar]y

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1 Aceros Laminados (o Estructurales) o 1.1 Algunos conceptos generales 1.1.1 Esfuerzos de Traccin 1.1.2 Esfuerzos Cortantes 1.1.3 La Ley de Hooke o 1.2 Caractersticas mecnicas de los aceros laminados 1.2.1 Ensayo de traccin 1.2.2 Ensayo de fatiga 1.2.3 Propiedades mecnicas ms relevantes de los Aceros Laminados 2 Artculos Relacionados

o

2. Enl

Ext nos

ceros Lami ados (o Estructurales)Los aceros laminados tambin denominados aceros estructurales, generalmente utili ados para la construcci n de estructuras met licas, son deri ados de aleaciones del hierro y carbono. Se producen a partir del arrabio (o hierro en bruto obtenido por la reducci n del mineral de hierro en hornos altos) al que se le somete a una serie de tratamientos fsico-qumicos que le modifican tanto su composici n qumica, como sus propiedades fsicas, obtenindose as diferentes calidades de aceros. A partir de estos, por laminaci n (ya sea en caliente o en fro), se producen piezas en forma de prisma de secci n transversal uniforme, cuya secci n puede adoptar diferentes perfiles, desde el simple perfil rectangular (chapas y pletinas) hasta secciones elaboradas en formade I, de H, de U, de T , angulares, rales, etc. Las calidades de los aceros laminados (y por tanto, sus propiedades) est n normalizadas en todos los pases, si bien no de la misma manera. En Espaa estas calidades se rigen (ao 2006) por la Norma UNE 360 0.

Al

os conceptos generales

Esfuerzos de Tracci nSometido un cuerpo cualquiera a un esfuerzo (P), llamaremos secci n transversal (A) al esfuerzo, a la secci n de la pieza, normal al vector fuerza P es decir, a la direcci n de ese esfuerzo. El cociente considerada. = se denomina tensin a la que sometemos a la secci n

El esfuerzo provocado por la fuerza P, producir una deformaci n absoluta del cuerpo en cuesti n ( L) en la direcci n de la aplicaci n de la fuerza. Con respecto a su dimensi n inicial L0, el alargamiento unitario vendr definido como:

=

.

La deformaci n en el sentido de la fuerza aplicada, no slo modifica la dimensin en la direccin esta fuerza (en el caso de la Figura , alargamiento), sino que tambin deforma al cuerpo en las direcciones perpendiculares y en el sentido contrario a estas (en el caso de la figura , se tratar de un encogimiento de estas dimensiones). El aumento de longitud en el sentido perpendicular al de la fuerza aplicada ser ( H'). La variacin relativa, respecto de la dimensin inicial H0, ser = .

H

La relacin entre las dos variaciones dimensionales como consecuencia de la aplicacin de la fuerza P, se denomina mdulo de Poisson: = .

Esfuerzos Cortantes

Si sobre un cuerpo la fuerza se aplica de manera tangente, su deformacin se efecta de la manera que se esquematiza en la figura adjunta. Se dice que la fuerza es una fuerza cortante pura. La deformacin producida viene caracterizada por el ngulo , tal y como se esquematiza en la figura. La tensin se simboliza por la letra , y vale: = .

La Ley de HookeComo se ver en el punto siguiente, que los aceros usados para la obtencin depiezas laminadas presentan, ante tensiones de extensin (o compresin) inferiores a un cierto valor P, una proporcionalidad entre las tensiones ( ) y los alargamientos unitarios ( ). La constante de proporcionalidad entre ambos parmetros se denomina md de ulo elasticidad o tambin mdulo de Young, y suele representarse por la letra E. De manera algebraica, esta proporcionalidad se expresar como: = E . Esta expresin se conoce como Ley de Hooke, y slo es aplicable a ciertos materiales (elsticos de Hooke) y dentro de los lmites ya referidos. Esta ley supone que si la tensin desaparece, la forma del objeto retorna exactamente a la original, o bien, si esta tensin se reduce a la mitad, la deformacin (alargamiento o

retraccin) se reduce igualmente exactamente a la mitad. Es decir, en ella no se contempla ningn fenmeno de histresis.

En el caso de fuerzas cortantes sobre cuerpos elsticos de Hooke, la ley se expresa como: = G en la que la constante de proporcionalidad (G) entre deformaciones angulares y tensiones se denomina mdulo de elasticidad transversal o mdulo de tensin cortante. Esta constante o mdulo no es independiente del de Young, sino que est relacionado con l segn la relacin: G = .

Caractersticas mecnicas de los aceros laminadosLas caractersticas mecnicas de los aceros, quedan definidas frecuentemente por ensayos mecnicos, entre los que se destacan los siguientes:

Ensayo de tracci nSe realiza sobre probetas generalmente cilndricas, que sujetas por sus extremos mediante mordazas, en mquinas especiales de ensayo homologadas, son sometidas a un proceso de traccin pura, hasta rotura. Se miden, de manera continua y simultnea las fuerzas de traccin y los alargamientos producidos. Los detalles del ensayo se encuentran explicitados en las Norma espaolas UNE 7 siguientes (especialmente las UNE 7474-3 y UNE 7474-5). 7y

Representando en un diagrama cartesiano los resultados de un ensay de traccin sobre o una probeta de un acero corrientemente usado en la construccin, se obtiene el diagrama esquematizado en la figura 2. En ordenadas se representan las tensiones ( ) o cociente entre la fuerza aplicada P y la seccin inicial de la probeta; en abscisas, los alargamientos unitarios ( ), o cociente entre el alargamiento total y la longitud inicial.

De la definicin del mdulo de Poisson ( ) se deduce:

= 0, es decir:

=

La primera parte de la curva (segmento AB) es prcticamente una recta, que muestra la proporcionalidad entre deformacin con respecto a la fuerza aplicada. Si en cualquiera de los puntos entre A y B se anula el esfuerzo, el acero recobra sus dimensiones iniciales Por ello, la tensin correspondiente al punto B, P se denomina l it d l i t i l. El final de la lnea oscilante BC, represente el l it d t d l ti id d, y determina el valor F. Desde C hasta R los flu i o l it alargamientos se reparten uniformemente en toda la probeta. Para tensiones superiores a R, el alargamiento se produce de una manera rpida, con una fuerte reduccin de la seccin de la probeta, y rotura cuando se alcanza el valor U, siempre inferior a R . Este ensayo es el que reviste ms importancia a los efectos del uso del acero laminado para la construccin de estructuras metlicas.

Ensayo de fatiga

El t rmino fati a se refiere a la disminucin de resistencia mecnica de los aceros por la accin de esfuerzos cclicos. En las pruebas de fatiga, se somete una probeta a esfuerzos que varan peridicamente de valores positivos a negativos, seg n diferentes

frecuencias. Tras la prueba, se somete a la probeta a un ensayo de resistencia a traccin hasta rotura. Las curvas resultantes de representar la resistencia de cada probeta en funcin del n mero de ciclos sufridos presentan un aspecto similar al de la grfica adjunta. En ella puede observarse como estas curvas tienden asintoticamente a valores de resistencia, denominados t i d fati a, que se mantienen para ciclos de hasta 1 o 200 millones de ciclos. La resistencia de estas probetas es inferior a la obtenida sometiendo al acero a cargas aplicadas durante largo tiempo.

Propiedades mecnicas ms relevantes de los Aceros LaminadosSeg n la Norma UNE EN 10025, las caractersticas mnimas deben ser:

Las caractersticas siguientes son consideradas como las ms comunes a temperatura ambiente, a efectos del clculo de estructuras en acero laminado: Mdulo de elasticidad (o de Young), E = 210.000 N / mm2 Mdulo de Poisson = 0,3 (adimensional)

Mdulo de rigidez, G = 81.000 N / mm2 Coeficiente lineal de dilatacin t rmica, Densidad, = 7,850 Kg / m3 = 1,210 C

5 1

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1 Caso de las Vigas o 1.1 El esfuerzo Cortante en las Vigas o 1.2 Los esfuerzos por Flexin en las Vigas o 1.3 Las Tensiones Combinadas en las Vigas o 1.4 El clculo de vigas apoyadas en dos extremos 1.4.1 Ejemplo ilustrativo 2 Artculos Relacionados

Caso de las VigasSe denomina viga a una barra prismtica, generalmente situada en posicin horizontal que puede estar apoyada en dos o ms puntos, o empot ada -como se ver ms adelanteen uno de sus extremos. Cada punto de apoyo puede tener dos grados de libertad (desplazamiento seg n el eje x y giro alrededor de figura 1) o slo uno (giro alrededor del eje sin posibilidad alguna de desplazamiento). Si un apoya est empotrado, no tiene ning n grado de libertad (ni desplazamientos ni giros).

Llamaremos viga implemente apoyada aquella que presente dos apoyos: uno simple con dos grados de libertad, y otro simple son uno slo (Figura 1a).!

Llamaremos viga semiempotrada la que tiene un apoyo simple (dos grados de libertad) y otro sin ningn grado de libertad (empotrado, Figura b). Viga con los e tremos empotrados, cuando ambos apoyos no tienen ningn grado d e libertad (Figura c). Viga en voladizo aquella que tiene un extremo empotrado y el otro sin apoyo alguno. Al apoyar sobre uno o varios puntos del plano centralzy de una viga, cargas situadas en ese plano (fuerzas en la direccin z), la viga se flexiona y toma una forma determinada, llamada elstica de la viga. Es importante estimar, en funcin de las caractersticas de la viga, de su forma de apoyo en los extremos y de las cargas que actan sobre ella, la deformacin mxima, llamada flecha, as como los puntos en los que las tensiones son mximas y los valores de estas. Un proyecto se considerar correcto, si esos valores no sobrepasan los fijados por las normas de construccin para estructuras metlicas. Al aplicar las cargas ya mencionadas, se generan en los puntos de apoyo unas reacciones en la misma direccin de las cargas pero en sentido contrario, de tal forma que -una vez alcanzado el equilibrio esttico- deber cumplirse que la suma de las fuerzas sea nula:" #

El esfuerzo Cortante en las igasSi se supone que cualquiera de las vigas representadas en las Figuras se divide en dos trozos por una seccin recta cualquiera situada a la distancia x del apoyo de la izquierda y que se prescinde del fragmento de la derecha de la seccin, para que el tr ozo resultante se mantenga en equilibrio hay que suponer que en esa seccin acta una fuerza V(x) en la misma direccin y sentido contrario a las fuerzas que se ejercen sobre la viga, de forma que: V(x) = R (P + P2 + ...) = R F(x) F(x) es una funcin que depende de la distribucin de las cargas sobre la viga. El equilibrio esttico exige que R + R2 = F(L).. Cuando x = 0, V(x) = R1 y cuando x = L, V(L) = - R2. Esto significa que, en todos los casos, el valor V(x) pasa de un valor positivo a otro negativo. Siendo la funcin V(x) continua, deber presentar en algn punto determinado de la viga un valor nulo: x = a, V(a) = 0. La distribucin de esta fuerza cortante en una seccin cualquiera de la viga perpendicular al plano neutro, se puede considerar, en la mayor parte de los casos prcticos, uniforme en la direccin z, pero no en la y. Esta distribucin depende de la forma de esta seccin. Se exponen tres ejemplos:# # #

a) Seccin rectangular

b) Seccin circular

c) Seccin en I Como puede observarse, en todos los casos el valor mximo de la tensin cortante se sita en el centro de la figura (y = 0). El valor medio de se expresa como la relacin entre este valor y el mximo en cada caso vale: ,

a) Seccin rectangular: El valor mximo vale

siendo

, luego

Puesto que definimos como

, por consiguiente

es decir, la tensi n mxima en cualquier secci n, a lo largo de x, es un 50% mayor que la media.

b) Seccin circular: Anlogamente, se deduce que en este caso, la tensi n mxima en cualquier secci n, a lo largo de x, es un 33% mayor que la media.

. c) Seccin en I:

El valor mnimo vale en este caso: En los perfiles laminados estndar el valor de b es pequeo en relacin con el de b y puede considerarse, a efectos prcticos, que Lla diferencia b b es muy pequea , y por tanto, que la diferencia entre la tensin cortante mxima M en el plano neutro y la m nima o en el plano superficial es tambin pequea y en por lo tanto, ambas prximas al valor medio. En este caso se puede admitir que el esfuerzo cortante presenta una distribucin casi uniforme a lo largo del alma del perfil. El valor de la seccin a considerar viene dado, para cada perfil, en las tablas correspondientes como rea de cortante (Norma EC-3, art. 5.4.6.(2).a).$ $

Los esfuerzos por lexi n en las igasy

Observaciones preliminares

En todo lo que sigue, se supone que: a) Los materiales de las vigas (acero laminado) se comportan como slidos de Hookey son perfectamente homogneos en todas las direcciones (istropos). b) Las cargas sobre una viga se sitan siempre en el plano (y,z) de las figuras c) La lnea media de la viga es una curva plana. d) La lnea media de toda la viga est situada en un mismo plano. En lo que sigue, se tratar siempre del plano (x, y). e) Cuando acta una fuerza sobre la estructura, en la ecuacin fundamental:

las derivadas con respecto al tiempo se suponen nulas; es decir, los movimientos se realizan con una velocidad infinitamente pequea (cambios de estado termodinmicamente reversibles) y no se contempla rgimen transitorio alguno. Las cargas que actan sobre las vigas se hallan en equilibrio esttico, no considerndose las consecuencias de los perodos transitorios. f) El trabajo realizado por las fuerzas que provocan las deformaciones de las vigas se emplea ntegramente en incrementar su energa interna (energa elstica). No se produce intercambio alguno de calor y se conservan todas las propiedades del acero en todo momento.y

Efecto de las fuerzas actuantes

Sea cual sea la forma de la seccin transversal de la viga, as como la manera como est apoyada en sus extremos (incluido el caso de la viga en voladizo), y sea cual sea la distribucin de las cargas a lo largo de x (puntuales o distribuidas de manera continua), la viga sufre una flexin que provoca la aparicin de tensiones de extensin y compresin en sus diferentes secciones transversales. La mxima extensin en cualquier seccin recta se produce en uno de sus extremos, tomando la tensin de extensin un valor nulo en la llamada fibra neutra, que se sita en el centro de gravedad de la seccin considerada. Vase la Figura 2.

El valor de esta tensin mxima de extensin en una seccin dada de abcisax, viene dado por la expresin:

en la que: : valor de la tensin (fuerza/seccin) M(x): momento flector actuando en la seccin x (fuerza por longitud) d: distancia entre la fibra ms alejada de la lnea neutra y esta Iy: momento de inercia de la seccin de la viga, respecto al eje y que pasa por su centro de gravedad (longitud a la potencia cuatro) Al mismo tiempo se produce una flexin de la viga, que adquiere una forma determinada tanto por la distribucin y valor de las cargas, como por la forma de la seccin de la viga y la manera como est apoyada en sus extremos. La forma que toma esa viga, se representa por la ecuacin de la lnea neutra: v(x) = (x) que se suele denominar ecuacin de la elstica de la viga. El valor f, en cualquier punto x de la viga, f(x) = |v(x)| se denomina flecha de la viga en ese punto. Su valor mximo a lo largo de x, representa la mxima deformacin sufrida por esta a causa de las cargas que soporta.

En la flecha y tensin mximas intervienen dos tipos de fenmenos: a) de ndole externa: la magnitud de las cargas y su distribucin b) de ndole propia de la viga: sus dimensiones, y como una consecuencia directa de ellas, la altura de la viga (d) y el Momento de Inercia (Iy). Un simple anlisis dimensional del problema nos conduce a las expresiones siguientes:

En las que: M(x): Momento flector actuando en la seccin transversal x P : conjunto de cargas, continuas o discontinuas o combinacin de ambas E: mdulo de elasticidad Iy: momento de inercia de la seccin de la viga con relacin al ejey v(x): la flecha en la seccin x (L,x) y (L,x) son funciones dependientes de la forma en que se distribuyen las cargas sobre la viga de longitud entre apoyos L y de la forma de los apoyos en los extremos. En la bibliografa pueden encontrarse tablas en las que se recogen los diferentes valores de estas funciones( ). Del anlisis de estas expresiones se deducen los valores mximos de yv. Estos debern estar por debajo de los fijados como lmite en el proyecto del que forman parte. Puestos que las cargas a que se ver sometida la viga son un dato d problema (externo el a la decisin del proyectista), el resto de los valores pueden y deben ser elegidos por el proyectista de manera a optimizar el resultado de la estructura en estudio. Los criterios de optimizacin suelen ser frecuentemente de naturalez econmica, que a su vez est a directamente unida al peso de la estructura y al costo de la mano de obra para construirla. El peso de la estructura depende de la seccin del (o de los) perfil(es) y su longitud; esta ltima suele ser un imperativo derivado del propio proyecto. Si el momento flector en una seccin dada es nulo, se deduce inmediatamente que las tensiones de extensin por flexin son nulas. Este el es caso de vigas apoyadas en extremos que pueden tener un giro libre alrededor del eje y. Es el caso, por ejemplo, de los dos extremos de la figura a, o del extremo izquierdo en la b. No ocurre lo mismo en los extremos empotrados, donde los momentos se producen en funcin de las cargas y de la rigidez del material (mdulo de elasticidad E).

Las Tensiones Combinadas en las

igas

En una viga cualquiera, apoyada en sus extremos de la forma que sea (vase la Figura c, como ejemplo), cargada con un conjunto de fuerzas "P Pi Pn" situadas en abcisas x1 xi xn, alcanzado su equilibrio esttico, en la seccin recta de abcisa x se cumple: Momento flector: "M(x) = - M1 + R1.x - P1.(x - x1) - P2.(x - x2) - - Pi.(x - xi)" Fuerza cortante: V (x) = R1 - P1 - P2 - - Pi En otra seccin recta de abcisa (x + x) ser: M(x + x) = - M1 + R1.( x + x) - P1.( x + x - x1) - P2.( x + x- x2) - - Pi.( x + x - xi) La variacin del momento flector entre estas dos secciones rectas valdr: M(x + x) - M(x) = R1. x - P1. x - P2. x- - Pi. x M(x + x) - M(x) = M = x.(R1 - P1 - P2 - - )Pi) = V. x La relacin entre la variacin del momento flector de cada seccin recta de la viga con la fuerza cortante actuando sobre esa seccin, viene dada por:

Para cargas continuas, el paso al lmite de la expresin anterior conducira a:

La consecuencia de todo esto es que cuando el momento flector a lo largo de la viga, pasa por un mximo, en esa seccin la fuerza cortante es nula. En vigas cargadas de manera regular, este mximo se produce cerca del punto medio, donde las tensiones de extensin (o compresin) sern mximas y las cortantes nulas (vase 1.3.2 y 1.3.3). Por las mismas razones, en los puntos de apoyo, la fuerza cortante nunca es nula e igual a la fuerza de reaccin en el mismo (V(0) = R1 y V(L) = R2). Cuando uno de los extremos est empotrado, el momento flector en ese extremo tampoco es nulo y por lo tanto en esa seccin se producen tensiones de flexin (z) (en direccin x, figura 2) a la vez que tensiones cortantes (z) (direccin z). Como ya se ha visto (1.3.3), en la lnea de la seccin recta de la viga en la que (0) = 0 (lnea neutra), (0)es mxima, y recprocamente. Slo en partes de la seccin, intermedias entre un extremo de la seccin y la lnea neutra, pueden darse valores no nulos de las dos tensiones.

Para que el diseo de la viga sea aceptado para un proyecto estable, deber cumplirse, en todas sus secciones rectas, que: .

El clculo de vigas apoyadas en dos extremosTal y como se ha visto, sea cual sea la distribucin de las cargas de las que se ha hablado anteriormente, as como la forma del perfil transversal de la viga (forma en el plano yz) y sus forma de apoyo en los extremos, las tensiones mximas y la flecha pueden expresarse mediante las frmulas generales ya expresadas anteriormente y que se resumen as (ver Figuras 1 y 2):

En las que:y y y y y y y

R1,R2 : Reaccin en los apoyos. MM(x): Momento flector mximo (generalmente de extensin). vM(x): Flecha mxima P: Cargas, continuas o discontinuas o combinacin de ambas. d : Semialtura de la seccin transversal yz de la viga. Av,y: rea de la seccin, resistente al esfuerzo cortante. (L,x): Funcin dependiente de la distribucin de las cargas en relacin con los apoyos. (L,x): Funcin dependiente de la distribucin de las cargas E: Mdulo de elasticidad.

y y

y

Iy: Momento de Inercia de la seccin A de la viga con relacin al eje paralelo a y que pasa por su centro de gravedad.

En la flecha y tensin mximas intervienen dos tipos de parmetros: a) de ndole externa: la magnitud de las cargas y su distribucin, (L,x) y (L,x).

b) propios de la viga: sus dimensiones, y como una consecuencia directa de ellas, la altura de la viga (d) y el Momento de Inercia (Iy) respecto al eje perpendicular a la direccin de las cargas. Los de ndole externa provienen de los datos del problema. Los propios, pueden y deben ser elegidas por el proyectista de manera a optimizar el resultado de la estructura en estudio. Los criterios de optimizacin suelen ser frecuentemente, de naturaleza econmica, que a su vez est directamente unida alpeso de la estructura y al costo de la mano de obra para construirla. El peso de la estructura depende de la seccin del (o de los) perfil(es) y su longitud; esta ltima suele ser un imperativo derivado del propio proyecto. El costo de la mano de obra para construir una estructura viene siendo cada vez ms importante en su costo final. La automatizacin, progresivamente ms sofisticada, de la preparacin de vigas a partir de elementos laminados estndar (perfiles, planchas, etc.) conduce al proyectista a elegir preferentemente perfiles "llenos" frente a las antiguas "vigas en celosa", que si bien, para igual resistencia, suponen la utilizacin de menores cantidades de acero, implican una intervencin mucho mayor de mano de obra especializada, cada vez ms cara. Fijada por las especificaciones del proyecto, la flecha mxima ad misible (vM), se determina el valor mnimo necesario del Momento de Inercia de la seccin de la viga:

A este valor le corresponde otro de d:

Con los resultados de estas dos inecuaciones se entra en las tablas de perfiles comerciales y se elige aquel que, situndose dentro de los mrgenes sealados, presenta la menos seccin A (o el menor coste).

E emplo ilustrativoiga empotrada en ambos extremos, uniformemente cargada y con una carga puntual en el centro

y y y y

Carga uniforme, Q = 1.000.000 N (incluye 10.000 N de supuesto peso propio de la viga) Carga puntual en el centro, P = 10.000 N Longitud libre, 5.000 mm Valores de referencia del proyecto:

y

y

;

y

y

y

;

y y

; Aplicando las ecuaciones e inecuaciones anteriores:

y

y

Con el fin de facilitar la bsqueda del perfil ms adecuado en las tablas correspondientes (ver Bibliografa), proporcionamos un baco (ejemplo de otros similares que pueden ser trazados por los proyectistas), sobre el cual se debe trazar una recta entre dos puntos:y y

(Ir a Abaco de Perfiles Laminados)o o

y

o

o

Esta lnea corta las curvas correspondientes a los diferentes perfiles que cumplen las condiciones impuestas. En este caso son IPN 500 y HE450A. Entre ellos, el que supone el menor uso de acero es el perfil HE450A, para el que se obtienen los resultados siguientes: Peso propio de la viga : 7.000 N

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1 Los esfuerzos axiales (Pandeo de barras o columnas) o 1.1 Generalidades 1.1.1 Observaciones a la definicin de Carga Crtica o 1.2 Tensin critica o 1.3 Generalizacin del pandeo de barras prismticas 1.3.1 Caso de una barra con los extremos libres 1.3.2 Barra empotrada en ambos extremos 1.3.3 Barra empotrada y articulada en un extremo 1.3.4 Frmula general 1.3.5 Los coeficientes de seguridad o 1.4 Las frmulas empricas o 1.5 Sistemas semiempricos 1.5.1 Mtodo de las inexactitudes supuestas 1.5.2 Mtodo del coeficiente de pandeo 1.5.3 Norma NBE-EA-95 1.5.4 EUROCDIGO 3 o 1.6 Comparacin entre los diferentes mtodos de clculo de barras sometidas a compresin 2 Artculos Relacionados

Los esfuerzos axiales (Pandeo de barras o columnas)GeneralidadesEn el anlisis lineal de estructuras, a un aumento de las cargas exteriores corresponde un aumento proporcional de las deformaciones y de los esfuerzos internos. Sin embargo, se presentan casos en los que la aplicacin de las cargas, aun siendo estas no muy grandes, modifican de tal forma la geometra del sistema, que aquella proporcionalidad deja de ser aplicable, y la estructura se deforma de una manera distinta de lo que correspondera a dichas cargas en el rango lineal, pudiendo incluso provocar su colapso. A los valores de las cargas que provocan el colapso de la estructura, se les denominan cargas crticas de colapso. Cuando las deformaciones no son pequeas, la posicin de las cargas en la estructura deformada, no puede confundirse con la posicin en la estructura sin deformar y por lo tanto, las ecuaciones de equilibrio deben ser planteadas ahora en la posicin deformada, y no en la inicial. Los conceptos de carga crtica y estabilidad del equilibrio pueden ponerse de manifiesto con gran facilidad mediante un caso sencillo, que adems permitir una generalizacin posterior.

Consid rese el sistema mostrado en la figura adjunta. Un anlisis de primer orden, planteando el equilibrio en la posicin indeformada, indica que la barra est sometida a una compresin simple de valor P.

En este caso la flecha d no puede despreciarse al lado de la excentricidad inicial e. El momento flector a lo largo del eje x para cualquier seccin se expresar como: M = P.(d + e y) La ecuacin general de la deformada tambin llamada ecuacin de la elstica se presenta as:

Aplicndola al caso particular en estudio, la integracin analtica de esta ecuacin, resuelta por Lagrange, conduce a una solucin complicada y de eng orroso manejo. Schneider deduce para la mxima deformacin:

que no deja de ser todava de manejo engorroso. Por esta razn, algunos autores prefieren la integracin de la forma simplificada:

aduciendo que, en la prctica, el valor de: es siempre despreciable. Esta hiptesis puede proporcionar resultados de cierto valor cualitativo y orientativo, si bien su validez numrica, por lo ya expresado, es muy discutible. Aceptada esta hiptesis, la integracin de esta ltima expresin, conduce a:

Cuando el valor de en la ecuacin anterior, la deformacin y tiende a infinito, lo que significa que la columna se colapsar, es decir, su deformacin aumentar hasta que se quede doblada sobre si misma. Antes de llegar a ello, la pieza de acero laminado habr alcanzado su punto de fluencia, e iniciar una deformacin plstica, pudiendo llegar a su lmite de rotura. Aceptada esa hiptesis, la carga P que causar este colapso se deducir de

Al valor de la carga

se la denomina

.

El momento flector mximo producido por esta carga, se presentar en el empotramiento, y valdr, segn se ha visto:

Observaciones a la definici n de Carga CrticaLa integracin de la ecuacin simplificada no representa, como ya se ha indicado, la solucin exacta, ya que si la carga se acerca al valor crtico PC, las deformaciones son importantes (se "acercan a infinito") y el trmino no puede ser despreciado. Sin embargo, el resultado exacto de esa integracin muestra que la conclusin obtenida en el caso particular anterior, es vlida en su aspecto cualitativo y en efecto, cuando la carga toma un cierto valor aunque inferior al anteriormente denominado crtico la deformacin tiende a infinito, y la columna se colapsa. Una manera de expresar este resultado es:

; siendo J < 1 El valor del coeficiente corrector J puede estimarse, por ejemplo gracias a una integracin numrica, obtenindose valores situados entre 0,80 y 0,90. Por estas razones, el clculo de columnas a partir del razonamiento deEuler, no resulta fiable, dando lugar a resultados de carga crtica ms altos de lo que la realidad experimental muestra.

Tensi n criticaSe define como Tensin Crtica (algunos autores hablan de Fatiga Critica) al cociente bruto entre la carga critica PC y el rea transversal de la barra, columna o elemento. En este caso particular:

Si se define como

, a la relacin:

, puede escribirse:

Se suele denominar a la relacin con lo que la expresin de la .

, quedar finalmente as:

Generalizaci n del pandeo de barras prismticasCaso de una barra con los extremos libresSe trata de estudiar la estabilidad de una barra prismtica perfectamente recta, sin ninguna carga transversal. Est articulada en sus dos extremos y uno de ellos puede desplazarse axialmente, lo que permite la compresin de la columna. Si la barra es perfectamente recta y la carga que la deforma est exactamente en su eje, la barra soportar la carga P/A hasta llegar al lmite de fluencia a la compresin. Cualquier ligera imperfeccin, tanto en la barra como en la aplicacin de la carga, provocarn un pandeo en alguna direccin (vase la figura adjunta), con un solo seno (caso a), o dos (b), cuatro (c), etc. Sin embargo, si la carga es inferior a la crtica, esta deformacin no implicar ningn colapso de la barra. Por el contrario, si es carga ta alcanza el valor crtico PC, la deformacin seguir indefinidamente, alcanzar el punto de fluencia y la barra se deformar plsticamente (colapso). En funcin del nmero de nodos que se generen, la carga crtica toma diferentes valores.

En la frmula ya vista, la longitud L representa la longitud de una barra que se deforma de tal manera que slo presenta medio seno. En el caso (a), en

razn de la simetra de la deformacin, la longitud a emplear en la frmula anterior sera :

Anlogamente:

, etc. Es decir que: ....

En otras palabras, si sobre una barra se aplica una fuerza P que vaya aumentando progresivamente, el primer colapso se obtendr con una deformacin del tipo (a), puesto que deformaciones con ms senos exigen mayores esf uerzos, a los que no se llegar puesto que el colapso se alcanzar antes.

Barra empotrada en ambos extremos

En razn de la homogeneidad del material y de la simetra del conjunto, la deformacin se producir de tal manera que la deformada puede dividirs en cuatro partes iguales, e cuya figura ser igual a la de la columna anteriormente estudiada, presentando tres puntos en los que :: .

La carga crtica, en este caso, coincide con la de una columna biarticulada de longitudL / 2. Por lo tanto el pandeo de la columna biempotrada se produce por colapso en la zona central de longitud L / 2, que se comporte como biarticulada:

Barra empotrada y articulada en un extremo

Este caso es similar al de una columna biarticulada de longitud L / 2. Por lo tanto el pandeo de esta columna se produce por colapso de una zona de longitud aproximadamente de (0.7.L), que se comporta como biarticulada:

Frmula generalA la vista de estos resultados, puede presentarse como frmula generalizada de la Tensin Crtica la expresin

El nmero depende de la forma que adopte la deformada, en funcin de los tipos de fijacin de sus extremos. J es el factor corrector debido a la integracin simplificada de la ecuacin diferencial de la elstica. Al producto L P = .L se le suele denominar Longitud equivalente de pandeo.

La Esbeltez equivalente de pandeo viene dada por la expresin

Los coeficientes de seguridadEl tratamiento terico del problema (resuelto de una manera aproximada, como se ha visto), as como las incertidumbre sobre el cumplimiento de las hiptesis iniciales en la prctica industrial, especialmente en lo referente a la homogeneidad y respeto a las cuestiones dimensionales, han aconsejado la aplicacin de sistemas de clculo, quesi bien se apoyan cualitativamente en la teora ya expuesta, intentan dar satisfaccin a los resultados prcticos y experimentales observados para garantizar construcciones slidas y estables. La primera aproximacin se obtiene simplemente aplicando un c oeficiente de seguridad de 0,5 a los valores obtenidos por la teora, en particular en lo referente a la Carga crtica. El sistema es excesivamente simple y poco fiable en caso de barras formando parte de sistemas complejos.

Las frmulas empricasDiferentes ingenieros y asociaciones han propuesto distintas frmulas, de origen exclusivamente emprico, para el clculo de barras y columnas sometidas a esfuerzos de compresin. Entre las ms clsicas, merecen ser mencionadas las primeras deRankine, para columnas cortas, y de Tetmajer, ambas en desuso.

Recurdese que:

, y que

,

por lo que resulta: Como ejemplos ilustrativos se mencionan los siguientes: Frmula de Tredgold Es una de las ms antiguas. Se la conoce desde 1886. Fue adoptada por Gordon para representar los resultados experimentales de Hodgkinson, si bien posteriormente fue modificada por Rankine. La tensin media compresora U admitida, segn este autor, deber ser:

siendo a y b dos constantes, funcin del material utilizado. El Instituto Americano para la Construccin en Acero en 1928 la expres as:

Frmula de Ostenfeld Data de 1898. La Fatiga Crtica para el acero de construccin, segn este autor, se expresa as:

Esta parbola es tangente a la curva de Euler en = 122,5 y da lugar a . Los coeficientes de seguridad a adoptar, segn Ostenfeld, se sitan entre .

Frmula de la Asociacin Americana de Ingenieros de Ferrocarriles%

En este caso, las frmulas se refieren a la Fatiga admitida

.

Frmula del Column Research Council (CRC) Aplicable solamente para barras y columnas de acero. En todo lo que sigue, representa el valor lmite o "Crtico" de la tensin media P/A.CR

Se define a: pandeo elstico e inelstico. Segn el valor de

que, segn esta organizacin, fija el lmite entre el

de la columna de acero se aplicar:

Frmula del Structural Stability Research Council (SSRC) Este organismo propuso en 1976, como consecuencia de sus resultados experimentales, un conjunto de frmulas distintas, segn material, tipo de perfil y proceso de fabricacin. De entre todas ellas, la ms utilizada para construcciones de acero es la denominada n 2.

Definiendo a

, se aplican las siguientes reglas:

Frmula del American Institute of Steel Contruction (AISC) En 1986 este organismo modifica la frmula n 2 anterior para columnas de edificios, de la manera siguiente:

Sistemas semiempricosMtodo de las inexactitudes supuestas

Una columna empotrada en un extremo, sometida a un esfuerzo axial (pandeo) sufre una deformacin, provocada por un momento flector cuyo valor mximo. segn se ya se vio en el ejemplo inicial, vala:

Puesto que, en general,

, en este caso sera:

Puede ocurrir que antes de que la carga P provoque una deformacin de colapso, la fatiga mxima en el empotramiento alcance su valor de fluencia, y el colapso de la pieza no se produzca por la deformacin crtica, sino por haberse alcanzado antes, en la fibra ms cargada, el valor de fluencia F. En este caso, la carga crtica vendr definida por la expresin:

en la que figura la excentricidad de origen e, a la que podemos reducir a su valor adimensional, poniendo:

Esta excentricidad de origen deba ser considerada como una inexactitud propia de la fabricacin del perfil y/o de la aplicacin de la carga:

A partir de esta frmula resulta inmediato calcular, con la ayuda del baco adjunto, el valor lmite de PF en funcin de la excentricidad relativa inicial de la columna o barra sometidas a compresin. Si la barra est articulada en sus extremos, no debe olvidarse que el valor L que figura en la frmula debe ser la mitad de la distancia entre los dos extremos articulados. Calculado el valor lmite PF, se le aplicar un coeficiente de seguridad (generalmente 0,5) para obtener la carga de uso admisible PU. La definicin de las inexactitudes originales para cada perfil de barra o columna se realizar mediante la experimentacin.

Mtodo del coeficiente de pandeoEste mtodo es de aplicacin muy sencilla, y ha sido adoptado por varias normas, entre ellas la MV103 (Dutheil). Consiste sencillamente en multiplicar la tensin nominal de trabajo de la columna por un coeficiente denominado coeficiente de pandeo , superior a la unidad, de tal forma que el producto resultante sea inferior al lmite elstico, o la tensin de diseo del material en su caso. Por lo tanto, en el lmite antes de producirse el pandeo se debe cumplir: .CR