Calcul d’écoulements dans des tuyères par des schémas de ... · 2011 Jérémy Vidal Virginie Daru Paola Cinnella Calcul d’écoulements dans des tuyères par des schémas de

2011

Jérémy Vidal Virginie Daru Paola Cinnella

Calcul d’écoulements dans des tuyères par des schémas de haute

précision Master Recherche FISE

parcours Aérodynamique Aéroacoustique

Arts et Métiers ParisTech Jérémy Vidal

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ANNEE : 2011 N° de PE : PA-F11343

CENTRE DE RATTACHEMENT PE : Arts et Métiers ParisTech Paris

AUTEURS : Jérémy Vidal

TITRE : Calcul d’écoulements dans des tuyères par des schémas de haute précision.

ENCADREMENT DU PE : Virginie Daru, Paola Cinnella

ENTREPRISE PARTENAIRE : /

NOMBRES DE PAGES : 39 NOMBRE DE REFERENCES BIBLIOGRAPHIQUES : 7

RESUME : Ce rapport traite du développement d’un schéma couplé espace-temps pour la simulation numérique d’écoulements instationnaires. Basé sur les travaux de Vinokur, l’amélioration de l’écriture des métriques a été nécessaire avant de pouvoir appliquer le code à des cas concrets de tuyères. Il a été ensuite nécessaire d’implater dans ce code une correction d’entropie. Après avoir mis en place une correction de Harten, il a été décidé au final de mettre en place une correction d’entropie basée sur les travaux de thèse de K.Khalfallah. Les différents tests ont conduits à adopter la deuxième correction. Une étude complète de la tuyère étudiée à ainsi pu être menée

MOTS CLES : Schémas de haute précision / Métriques / Jacobien / Correction d’entropie / Etude de cas.

PARTIE A REMPLIR PAR LE PROFESSEUR RESPONSABLE DU PROJET

ACCESSIBILITE DE CE RAPPORT (entourer la mention choisie) :

Classe 0 = accès libre

Classe 1 = Confidentiel jusqu’au _ _ _ _ _ _ _ _ _

Classe 2 = Hautement confidentiel

Date : Nom du signataire : Signature :


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Remerciements

Je tiens à remercier en premier lieu mes deux responsables du projet Master

Recherche, Mme Virginie Daru et Mme Paola Cinnella, qui m’ont permis de mener à bien ce

projet, grâce à leur suivi durant mon stage, qui m’ont orienté dans mes recherches et les

conseils qu’elles m’ont apportés.

Je remercie également tous les membres du laboratoire DynFluid : professeurs,

thésards et étudiants pour l’accueil et la bonne ambiance.


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Sommaire

Remerciements ....................................................................................................................................... 4

Tables des figures .................................................................................................................................... 6

Introduction ............................................................................................................................................. 7

Transformation de coordonnées ............................................................................................................. 8

Ecriture du schéma OS .......................................................................................................................... 10

Ecriture des métriques et du jacobien .............................................................................................. 10

Ecriture du schéma ............................................................................................................................ 12

Comparaison sur le cas du BUMP...................................................................................................... 13

Les conditions aux limites .............................................................................................................. 13

Résultats ........................................................................................................................................ 15

Commentaires ............................................................................................................................... 17

Le cas de la TUYERE ............................................................................................................................... 18

Les conditions aux limites.................................................................................................................. 18

Résultats ............................................................................................................................................ 20

Correction de Harten ......................................................................................................................... 21

Résultats ............................................................................................................................................ 23

Correction d’entropie (réf. Thèse K. Khalfallah) ................................................................................ 27

Variables et flux d’entropie ........................................................................................................... 27

La correction d’entropie ................................................................................................................ 28

Résultats ............................................................................................................................................ 30

Etude des paramètres de calcul et comparaison avec d’autres schémas ............................................. 32

Influence du maillage ........................................................................................................................ 32

Influence du limiteur ......................................................................................................................... 33

Influence de l’ordre du schéma ......................................................................................................... 34

Comparaison avec le code PHOENIX ................................................................................................. 35

Conclusion ............................................................................................................................................. 37

Perspectives du projet ........................................................................................................................... 38

BIBLIOGRAPHIE ...................................................................................................................................... 39


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Tables des figures

Figure 1: Maillage 256x64 BUMP .......................................................................................................... 13

Figure 2: BUMP OSMP11 10 000 itérations .......................................................................................... 15

Figure 3 : BUMP OSMP11 50 000 itérations .......................................................................................... 15

Figure 4 : BUMP OSMP11 100 000 itérations ........................................................................................ 15

Figure 5: Comparaison de la déviation d'entropie à la paroi après modification des métriques ......... 16

Figure 6: Comparaison du nombre de Mach à la paroi après modification des métriques .................. 16

Figure 7: Maillage 200x60 Tuyère ......................................................................................................... 18

Figure 8: Diagramme des contours de pression obtenu après 2000 itérations ................................... 20

Figure 9: Iso-Profil de pression issu du dossier technique « An Improved Low Diffusion E-CUSP

Upwind Scheme » p.29 [5] .................................................................................................................... 23

Figure 10: Profil du Mach dans la tuyère avec correction de Harten epsilon=0,001 ............................ 24

Figure 11 : Choc au col non souhaité (entouré en rouge) ..................................................................... 24

Figure 12: Profil du Mach dans la tuyère avec correction de Harten epsilon=0,01 .............................. 25

Figure 13: Profil du Cp à la paroi issu du dossier technique « An Improved Low Diffusion E-CUSP

Upwind Scheme » p.30 [5] .................................................................................................................... 26

Figure 14 : Profil de pression à la paroi issu de la simulation numérique ............................................. 26

Figure 15: Comparaison du nombre de Mach à la paroi entre les deux corrections d entropie ......... 30

Figure 16: Zoom sur le nombre de Mach au col de la tuyère ............................................................... 30

Figure 17: Comparaison du profil de Mach à la paroi de la tuyère suivant le raffinement de maillage32

Figure 18: Comparaison du profil de Mach à la paroi de la tuyère avec et sans limiteur ..................... 33

Figure 19: Comparaison du profil de Mach à la paroi de la tuyère Ordre 2 / Ordre 11 ........................ 34

Figure 20 : Comparaison du profil de pression à la paroi de la tuyère OSMP11 / Jameson ................ 35

Figure 21: Comparaison du Mach à la paroi avec coefficient de viscosité numérique élevé ............... 36


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Introduction

Les écoulements rencontrés dans les tuyères font généralement intervenir des ondes

de choc de forte intensité dues souvent à la qualité supersonique de l’écoulement. Ces

ondes de choc peuvent donner lieu à des réflexions multiples sur les parois de la tuyère. Aux

travers de ces chocs, les différentes variables caractérisant l’écoulement (pression,

température et vitesse) sont discontinues. Ces discontinuités rendent la simulation

numérique difficile. En effet, cela nécessite des schémas numériques spécifiques dits

robustes, c’est-à-dire ayant la capacité de calculer l’écoulement sans produire d’état non

physique. Cependant, la robustesse d’un schéma implique en général un manque de

précision de celui-ci. Or la précision est primordiale dans le but de représenter correctement

certaines petites structures de l’écoulement qui peut avoir une grande influence à grande

échelle. De plus, un système tel qu’une tuyère est complexe à discrétiser. Il est

généralement impossible de réaliser un maillage uniforme tout en respectant la géométrie

de la tuyère. La solution est donc ici d’utiliser un maillage curviligne.

Dans notre cas, on utilise une approche couplée espace temps dans le but d’obtenir

un ordre de précision très élevé. Le schéma utilisé sera un schéma OS associé à une

condition TVD, fournissant ainsi un ordre très élevé tout en ayant un stencil minimal.

Il a été nécessaire dans un premier temps de revoir l’écriture des métriques et du

jacobien. Basée sur l’article de Vinokur *2+, la réécriture des termes de métriques a donné

des résultats encourageants sur le cas test du BUMP.

J’ai ensuite pu tester le code sur le cas d’une tuyère développée par la NASA [5]. Il est

alors apparu un phénomène de discontinuité de détente (phénomène non physique) qui a

nécessité l’implantation d’une correction d’entropie. Deux corrections d’entropie ont alors

été implantées dans le code : la correction de Harten et une correction basée sur les travaux

de K.Khalfallah [4].

Il est apparu que la deuxième condition citée donnait de meilleurs résultats. J’ai

ensuite pu tester différents paramètres du schéma (ordre du schéma, finesse du maillage,

limiteur). Puis dans une dernière partie, j’ai pu comparer notre code avec le code PHOENIX

du laboratoire [7], en utilisant le schéma Jameson.


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Transformation de coordonnées

Cette méthode permet de faire un lien entre un maillage physique curviligne et un

maillage de calcul cartésien unitaire. C’est un moyen facile pour calculer des géométries

complexes. Toutefois, cette méthode nécessite l’obtention de la métrique qui, si l’on ne veut

pas dégrader la solution doit avoir une grande précision.

Les équations d’Euler dans le cas 2D en formulation conservative pour un maillage

cartésien (x,y) s’écrivent :

Avec

Dès que l’on s’intéresse à des géométries curvilignes, une transformation

géométrique est nécessaire pour continuer à appliquer les mêmes schémas aux différences

finies. Soient (ξ,η) les coordonnées du maillage de calcul, le système d’équation (2.1) s’écrit

alors sous la forme :

Dans le cas 2D, on a donc les relations suivantes :

(2.1)

(2.2)

(2.3)

(2.4)


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J étant le jacobien défini par :

Finalement l’équation (2.3) peut s’écrire :

Avec :

Une remarque importante est à faire sur cette partie, l’importance du calcul des

métriques vis-à-vis de l’instabilité numérique due à la transformation de coordonnées.

(2.5)

(2.6)

(2.7)


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Ecriture du schéma OS

Le flux général Fp du schéma OS utilisé dans notre code s’écrit en cartésien, sous la

forme d’une correction du schéma de Roe :

Fpi+1/2 = FRoe

i+1/2 + Ψi+1/2 (3.1)

La correction Ψ est obtenue par récurrence comme indiquée par Cabre [1]. Le

schéma de Roe peut lui se décomposer en cartésien :

FRoei+1/2 = ½ (fi + fi+1) - ½ |λi+1/2| δwi+1/2 (3.2)

Où λ est la vitesse d’onde (valeur propre) et δwi+1/2 = wi+1 - wi.

Ecriture des métriques et du jacobien

Dans notre cas le maillage étant curviligne, l’écriture du flux du schéma de Roe fait

intervenir des métriques. Le flux étant calculé au centre des mailles, les métriques doivent

être elles aussi calculées aux mêmes points. L’écriture des métriques et du Jacobien, repose

sur les travaux de M. Vinokur sur la formulation des volumes finis dans les équations d’Euler

[5].

Ainsi après avoir lu les coordonnées des nœuds des mailles (xc1,yc1), on calcule les

coordonnées aux centres des cellules (xc,yc) :

(xc)ij= ¼ [(xc1)ij+(xc1)i+1j+(xc1)ij+1+(xc1)i+1j+1]

(yc)ij= ¼ [(yc1)ij+(yc1)i+1j+(yc1)ij+1+(yc1)i+1j+1] (3.3)


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A partir de ces coordonnées, on calcule les métriques :

Le code nécessite le calcul du Jacobien à la fois sur les points de maillage et au centre

des cellules. L’un sert dans le critère CFL et l’autre dans le schéma sous forme du CFL local.

Dans toute l’étude, le Jacobien J a été calculé à l’ordre 2. Le second est calculé par

extrapolation du premier au centre des mailles. Ainsi le jacobien J peut être défini comme le

produit des métriques suivantes :

(3.4)

(3.5)


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Ecriture du schéma

Il convient maintenant d’écrire le flux centré dans chaque cellule du maillage. Si l’on

reprend les équations (2.7) et qu’on les discrétise, on obtient :

Où fphy et gphy sont les flux physiques.

Ainsi le flux de Roe dans un maillage curviligne (ξ, ) en (i+1/2, j) et en (i, j+1/2)

s’écrivent :

FRoei+1/2,j = - ½ |λi+1/2j| δwi+1/2j

GRoei,j+1/2 = - ½ |λij+1/2| δwij+1/2

On en déduit enfin le flux général du schéma.

(3.6)

(3.7)


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Comparaison sur le cas du BUMP

Dans ce cas, l’écoulement est supposé rester subsonique (cela se vérifie dans les

calculs). Le Mach en entrée (Minf) est de 0,5, et la direction de la vitesse en entrée (Vinf) est

horizontale. Le maillage appliqué dans ce cas est un maillage 2D de taille 256 x 64. L’entrée

du domaine se trouve à x=-2 et la sortie à x=2. La bosse du milieu du canal est comprise

entre x=-1 et x=1.

Figure 1: Maillage 256x64 BUMP

Les conditions aux limites

Pour la partie supérieure du canal, une condition de symétrie est utilisée. A la paroi

inférieure, la pression est extrapolée et on utilise une condition miroir pour les vitesses.

Les conditions d’entrée sont directement appliquées aux cellules fantômes à partir de

l’entropie totale et l’enthalpie totale à l’infini :

(3.8)

La pression est extrapolée à partir des deux premières valeurs dans le domaine :

(3.9)


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Le champ est alors défini à partir de ces trois grandeurs :

(3.10)

(3.11)

A la sortie, la pression est fixée telle que pghost = psortie = pinf. L’entropie, l’enthalpie et

les vitesses sont extrapolées, comme précédemment, à partir des deux dernières rangées de

cellules du domaine :

Sghost = 2 x Simax – Simax-1 (3.12)

Hghost = 2 x Himax – Himax-1

ughost = 2 x uimax – uimax-1

vghost = 2 x vimax – vimax-1

Le champ de densité et de vitesse sont définis à partir de ces grandeurs :

(3.13)

(3.14)


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Résultats

Figure 2: BUMP OSMP11 10 000 itérations

Figure 3 : BUMP OSMP11 50 000 itérations

Figure 4 : BUMP OSMP11 100 000 itérations


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Figure 5: Comparaison de la déviation d'entropie à la paroi après modification des métriques

Figure 6: Comparaison du nombre de Mach à la paroi après modification des métriques


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Commentaires

La déviation d’entropie à la paroi a été divisée par 7 environ après avoir modifié les

métriques. Ce premier résultat confirme que l’écriture des métriques n’était pas correcte

auparavant.

On remarque ensuite que le nombre de Mach à la paroi est quasiment le même dans

les deux cas. Cependant on note que celui-ci varie au niveau des entrée et sortie ainsi que de

la bosse centrale. Le nombre de Mach oscille moins au niveau de l’entrée et de la sortie dans

le cas des nouvelles métriques. De plus il conserve les conditions initiales du Mach fixé à 0.5.

Au niveau de la bosse centrale, le nombre de Mach est plus élevé mais la courbe obtenue

possède une meilleure symétrie donc un résultat plus proche de la solution réelle.

Enfin une dernière remarque est à effectuer au niveau du nombre d’itérations. En

effet dans ce cas l’étude est stationnaire, il est donc nécessaire d’avoir un grand nombre

d‘itérations pour obtenir un résultat convergé.


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Le cas de la TUYERE

La tuyère a été dessinée grâce à un mailleur basique à partir des données

géométriques données par une étude déjà menée par M. Mason, L. Putnam et R. Re [5] sur

cette tuyère. Dans ce cas, le Mach en entrée (Minf) est de 0,22 et la direction de la vitesse en

entrée (Vinf) est horizontale. Le maillage appliqué dans ce cas est un maillage 2D de taille 200

x 60.

Figure 7: Maillage 200x60 Tuyère

Les conditions aux limites

Pour la partie inférieure de la tuyère, une condition de symétrie est utilisée. A la

paroi supérieure, la pression est extrapolée et on utilise une condition miroir pour les

vitesses.

Les conditions d’entrée sont directement appliquées aux cellules fantômes à partir de

l’entropie totale et l’enthalpie totale à l’infini :

(4.1)


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La pression est extrapolée à partir des deux premières valeurs dans le domaine :

(4.2)

Le champ est alors défini à partir de ces trois grandeurs :

(4.3)

(4.4)

La sortie de la tuyère étant supersonique, on recopie le champ aux mailles fantômes.

Le champ de densité et de vitesse sont définis comme suit :

(4.5)


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Résultats

Figure 8: Diagramme des contours de pression obtenu après 2000 itérations

Ce premier résultat est issu d’un calcul bogué. En effet au bout d’environ 2000

itérations, le code stoppe le calcul et donne ce résultat. La première remarque à faire est

l’apparition d’un d’une discontinuité de détente (non physique) au niveau du col de la

tuyère. Ce phénomène n’est pas normal. Il faut donc envisager de mettre une correction

d’entropie dans le code utilisé.


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Correction de Harten

Suite au résultat obtenu précédemment, il a été décidé de mettre en place une

correction d’entropie afin de supprimer cette discontinuité de détente au niveau du col de la

tuyère. J’ai donc mis en place dan le code la condition de Harten.

Soit les matrices A et B telles que :

(4.6)

Avec

(4.7)

(4.8)

Pour pouvoir appliquer la condition de Harten, il est nécessaire de calculer les valeurs

propres de la combinaison des matrices A et B. Comme l’indique JF.Cabre *1+ et M. Vinokur

[2+, ces valeurs propres sont simples à calculer. En effet, l’association des matrices de type

Anx + Bny donne pour valeurs propres :

(4.9)

Avec

et le vecteur du module k.


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On calcule alors le rayon spectral comme étant le module de la troisième valeur

propre. Ainsi :

La condition de Harten intervient dans le critère CFL. Cette condition de stabilité

impose que la distance parcourue pendant le temps Δt par une perturbation se propageant à

la vitesse u+a soit en principe à la distance entre deux points du maillage. En coordonnées

curvilignes, le critère s’écrit alors :

(4.10)

Avec λ dépendant des métriques.

Ce critère permet de déterminer le pas de temps Δt permettant d’assurer un CFL

donné. La condition de Harten s’applique sur le CFL. Le CFL s’écrit alors :

(4.11)

Où є est un paramètre variable qui permet d’avoir une correction d’entropie plus ou

moins importante. En règle générale elle est de l’ordre de 0,001.


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Résultats

Figure 9: Iso-Profil de pression issu du dossier technique « An Improved Low Diffusion E-CUSP Upwind Scheme » p.29 [5]

Cette figure provient de l’étude menée par M. Mason, L. Putnam et R. Re [5]. On peut

y voir le choc qui s’est développé dans la tuyère, cependant on note bien la présence de

cette discontinuité de détente au niveau du col due à la non correction d’entropie.


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Figure 10: Profil du Mach dans la tuyère avec correction de Harten epsilon=0,001

Figure 11 : Choc au col non souhaité (entouré en rouge)


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La première remarque importante à faire est que le résultat est convergé et que

le calcul ne se stoppe pas. La condition de Harten corrige donc bien ce défaut de

discontinuité de détente et permet au calcul de se développer et de converger.

On peut aussi noter dans un deuxième temps l’importance du coefficient epsilon.

En effet, dans la première simulation numérique (figure 8), le paramètre epsilon était de

0.001. On remarque que le choc se développe bien dans la tuyère et que le résultat

converge, cependant on note au niveau du col la présence de cette discontinuité de détente

qui n’est pas physiquement possible (figure 9). Il est donc nécessaire d’augmenter ce

paramètre epsilon afin de faire disparaitre ce phénomène.

Figure 12: Profil du Mach dans la tuyère avec correction de Harten epsilon=0,01

Dans ce cas on peut voir que le phénomène non physique a totalement disparu.

Le coefficient epsilon est donc adapté et permet d’avoir la solution physiquement possible.

On peut donc maintenant à partir de ce résultat comparé les valeurs obtenues

avec celles de l’étude menée par M. Mason, L. Putnam et R. Re [5].

La documentation NASA fournissait une courbe représentant le Cp au niveau de

la paroi. Nous allons donc pouvoir comparer ce résultat avec celui issu de notre simulation.


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Figure 13: Profil du Cp à la paroi issu du dossier technique « An Improved Low Diffusion E-CUSP Upwind Scheme » p.30 [5]

Figure 14 : Profil de pression à la paroi issu de la simulation numérique


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Même si les grandeurs comparées ne sont pas les mêmes, on peut remarquer la

présence d’une détente non physique de forte intensité toujours présent au niveau du col (la

variation de pression y est très importante). Ce phénomène est surement du à la géométrie

de la tuyère. En effet la rupture de pente au niveau du col est très importante. De ce fait la

simulation numérique est très difficile dans cette zone.

Deuxième remarque, les chocs présents dans la tuyère sont dans les 2 cas situés

sur la même abscisse. Le résultat obtenu par notre code concorde donc bien avec celui

obtenu dans l’étude *5].

Correction d’entropie (réf. Thèse K. Khalfallah)

Variables et flux d’entropie

Soit le système d’équation d’Euler en coordonnées curvilignes :

(4.12)

Avec :

(4.13)

et :


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La loi d’état est celle des gaz parfaits p = ( -1) ρe avec E= e + 1/2 (u²+v²). Le vecteur

des variables entropiques associées à ce système est :

(4.14)

Où S est l’entropie physique, S = ln (p/ρ ).

Le flux d’entropie s’écrit respectivement pour chaque direction d’espace :

En maillage curviligne l’écriture de ces flux fait alors intervenir les termes de

métriques. Ainsi :

(4.15)

(4.16)

La correction d’entropie

La correction d’entropie s’écrit de la même manière dans les 2 directions. Soit notre

schéma numérique :

(4.17)

Fp étant le flux numérique principal de notre schéma. Le schéma corrigé s’écrit alors :

(4.18)


29 / 39

Où Qc est le flux de la correction d’entropie. Qc s’écrit sous la forme générale

suivante :

(4.19)

α étant un scalaire construit de la façon suivante :

si (q – q*)i+1/2,j ≥ 0 ou pe ≤ є

alors

α = 0

sinon

α = 2 max (qef,0) / pe

fin si

є est une très petite valeur (10-12), et :

(4.20)

Il reste à expliciter la quantité (q – q*)i+1/2,j. Elle est telle que :

(4.21)

Les formules ci-dessus sont explicitées dans une seule direction. Elles sont identiques

dans l’autre direction à l’indice près (permutation de i et j).


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Résultats

Figure 15: Comparaison du nombre de Mach à la paroi entre les deux corrections d entropie

Figure 16: Zoom sur le nombre de Mach au col de la tuyère


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Les résultats obtenus grâce aux deux corrections d’entropie sont quasiment les

mêmes. Cependant, un résultat remarquable reste à noter. En effet si l’on regarde le profil

du nombre de Mach à la paroi supérieure de la tuyère, on s’aperçoit que la discontinuité de

détente à complètement disparue, même à la paroi. En effet, il n y a plus la rupture de pente

présente dans le cas de la correction de Harten. De plus, contrairement au résultat obtenu

par la correction de Harten, le régime devient sonique au niveau du col de la tuyère (dans le

cas de la correction de Harten, le régime était déjà supersonique au niveau du col). Enfin, on

s’aperçoit que les « pics » ont quasiment la même intensité ce qui est plus normal que la

solution obtenue par la condition de Harten.


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Etude des paramètres de calcul et comparaison

avec d’autres schémas

Influence du maillage

Figure 17: Comparaison du profil de Mach à la paroi de la tuyère suivant le raffinement de maillage

Cette figure montre bien la dégénérescence de la solution lorsque le maillage devient

de plus en plus grossier notamment pour la capture des chocs. En effet les phénomènes de

chocs sont difficilement représentés lorsque le maillage est trop grossier.


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Influence du limiteur

Figure 18: Comparaison du profil de Mach à la paroi de la tuyère avec et sans limiteur

La figure ci-dessus montre bien l’importance du limiteur notamment ici aux

discontinuités. En effet, vu que l’on travaille avec des schémas d’ordre élevé, des oscillations

sont présentes notamment ici aux niveaux des discontinuités. Ces oscillations jouent un rôle

important au niveau de l’erreur de la solution. Ce résultat justifie bien l’emploi des limiteurs

TVD ou MP.


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Influence de l’ordre du schéma

Figure 19: Comparaison du profil de Mach à la paroi de la tuyère Ordre 2 / Ordre 11

La figure ci-dessus montre l’influence de l’ordre du schéma sur le résultat obtenu. Dans

ce cas on compare le schéma OSMP d’ordre 2 avec celui d’ordre 11. On remarque que la

différence de résultat se fait sur la partie où interviennent les chocs. L’ordre 2 donne des

résultats plus oscillants notamment au niveau des « pics » des chocs. On voit donc

l’importance d’avoir un schéma d’ordre élevé pour la capture des chocs la plus précise

possible. Cependant, le schéma d’ordre 2 donne des résultats tout à fait satisfaisants.


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Comparaison avec le code PHOENIX

Il a été décidé en dernier lieu de comparer les résultats obtenu par notre code avec le

code PHOENIX et en utilisant le schéma de JAMESON.

Figure 20 : Comparaison du profil de pression à la paroi de la tuyère OSMP11 / Jameson

On s’aperçoit ici que notre schéma capte ici bien mieux les chocs que le schéma

Jameson qui donne un résultat oscillant juste avant le choc. On décide alors dans un

deuxième temps d’augmenter le coefficient de viscosité numérique dans le code PHOENIX,

afin de réduire ces oscillations. Ce cas est représenté figure 19. On voit que les oscillations

avant choc ont diminué. Cependant on peut noter une perte de précision de la solution

numérique obtenue. En effet même si l’allure générale du Mach se rapproche de la solution

obtenue grâce à notre code, les deux courbes ne se superposent plus mais au contraire ont

tendance à s’éloigner au fur et a mesure que l’on augmente ce coefficient de viscosité.


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Figure 21: Comparaison du Mach à la paroi avec coefficient de viscosité numérique élevé


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Conclusion

Suite à la première étude menée l’année dernière, des améliorations ont été

apportés cette année sur ce code. Tout d’abord l’écriture des métriques et du jacobien a été

revue et corrigée ce qui à permis d’avoir des résultats plus cohérents comme l’on a pu le

constaté sur le cas tes du BUMP.

Il a été ensuite nécessaire d’implanter dans le code une correction d’entropie. Après

avoir mis en place la correction de Harten dans notre code et avoir obtenu des résultats

satisfaisants, il a été décidé que la correction d’entropie s’appuyant sur la thèse de

K.Khalfallah était plus judicieuse. Ainsi, les résultats sur le cas de notre tuyère furent de

meilleure qualité.

J’ai enfin testé notre schéma en modifiant divers paramètres (ordre, maillage,

limiteur), puis en le comparant à d’autres codes, pour prouver son efficacité. Il en est

ressorti des résultats positifs et encourageants pour la suite du développement de ce code.


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Perspectives du projet

Dans un premier temps il faudra tester le code dur des cas instationnaires. En effet, le code n’a

été testé que sur des cas stationnaires jusqu’ici. Il faudra donc regarder son comportement sur le cas

de notre tuyère en mettant un Mach variable en entrée par exemple.

On pourra alors dans un deuxième temps étendre l’étude à des cas de tuyères plus complexes pour

valider ce code.


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BIBLIOGRAPHIE

[1] Jean-François CABRE, "Calcul d'écoulements instationnaires dans des tuyères par des schémas de

haute précision," Paris, Projet de Master 2010.

[2] Marcel VINOKUR "An analys of finite-difference and finite-volume formulations of conservation

laws," Review article, Journal of computanional physics 81, 1-52 1989, p.20.

[3] Sébastien COCHON, "Etude et validation des schémas RBC développés dans ELSA" Paris, Projet de

Master recherche, 2009.

[4] Kamel KHALFALLAH, "Conditions de monotonie et d'entropie et applications à une méthode

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Calcul d’écoulements dans des tuyères par des schémas de ... · 2011 Jérémy Vidal Virginie Daru Paola Cinnella Calcul d’écoulements dans des tuyères par des schémas de