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MDULO
CLCULO DIFERENCIAL
Jorge Elicer Rondon Duran
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BSICAS, TECNOLOGA E INGENIERA
UNIDAD DE CIENCIAS BSICAS Bogot D. C., 2010
'( ) ( )xD y
f x D yD x
= =
2
COMIT DIRECTIVO Jaime Alberto Leal Afanador Rector Gloria Herrera Vicerrectora Acadmica y de Investigacin Roberto Salazar Ramos Vicerrector de Medios y Mediaciones Pedaggicas Maribel Crdoba Guerrero Secretaria General Leonardo Urrego Director de Planeacin
MDULO
CURSO CLCULO DIFERENCIAL SEGUNDA EDICIN opyright Universidad Nacional Abierta y a Distancia ISBN 2010 Vicerrector de Medios y Mediaciones Pedaggicas
3
TABLA DE CONTENIDO UNIDAD UNO: Anlisis de Sucesiones y Progresiones 5 CAPTULO UNO: LAS SUCESIONES. 6 Generalidades 6 Sucesiones Montonas 9 Sucesiones Acotadas 11 Sucesiones Convergentes 13 Lmite de una Sucesin 18 Sucesiones Divergentes 19 Ejercicios 20 CAPTULO DOS: LAS PROGRESIONES 22 Progresiones Aritmticas 22 Progresiones Geomtricas 25 Ejercicios 29 UNIDAD DOS: Anlisis de Lmites y Continuidad 30 CAPTULO TRES: GENERALIDADES DE LMITES 31 Conceptualizacin Intuitiva de Lmite 31 Conceptualizacin Bsica de Lmite 31 Conceptualizacin Formal de Lmite 32 Propiedades de Lmites 34 Evaluar un Lmite 35 Ejercicios 37 CAPTULO CUATRO: LMITES DE FUNCIONES Y ASNTOTAS 38 Lmites al infinito 38 Lmites Infinitos 42 Formas Indeterminadas 44 Formas NO Indeterminadas 48 Lmite de Funciones Trigonomtricas 48 Lmites Unilaterales 51 Lmite de una Funcin 54 Asntotas 54 Ejercicios 57 CAPTULO CINCO: CONTINUIDAD 59 Continuidad en un Punto 59 Continuidad en un Intervalo 60 Discontinuidad 64 Ejercicios 67 UNIDAD TRES: Anlisis de las Derivadas y sus Aplicaciones 68 CAPTULO SEIS: FUNDAMENTACIN SOBRE LAS DERIVADAS 69 Principio Geomtrico sobre la Derivada 69 Principio Fsico sobre la Derivada 72 Incrementos 74 Definicin Formal de la Derivada 75
4
Derivadas Bsicas 79 Ejercicios 85 CAPTULO SIETE: DERIVADAS DE FUINCIONES ALGEBRAICAS 87 Derivada de Suma y Resta de Funciones 87 Derivada de Producto de Funciones 89 Derivada de Cociente de Funciones 91 Derivada de la Funcin Compuesta 94 Derivada de la Funcin Implcita 98 Ejercicios 101 CAPTULO OCHO: DERIVADA DE FUNCIONES TRASCENDENTALES 102 Derivada De la Funcin Exponencial y Funcin Logartmica 102 Derivada de las Funciones Trigonomtricas 108 Derivada de las Funciones Hiperblicas 112 Ejercicios 116 CAPTULO NUEVE: DERIVADA ORDEN SUPERIOR Y FUNCIONES INVERSAS 117 Derivada de Orden Superior 117 Derivada de Funciones Trigonomtricas Inversas 120 Derivada de Funciones Hiperblicas Inversas 124 Ejercicios 126 CAPTULO DIEZ. TEOREMAS FUNDAMENTALES DEL CLCULO DIFERENCIAL 127 Teorema de Rolle 127 Teorema del Valor Medio 129 Ejercicios 132 CAPTULO ONCE: APLICACIONES DE LAS DERIVADAS 133 Razones de Cambio Relacionadas 133 Formas Indeterminadas 136 Mximos y Mnimos de una Funcin 140 Optimizacin 146 Anlisis de Graficas 152 Derivadas en la Fsica 158 Derivadas en las Ciencias Econmicas 161 Derivadas en la Estadstica 167 Ejercicios 176 Bibliografa 180
5
UNIDAD UNO
ANLISIS DE SUCESIONES Y PROGRESIONES
6
CAPTULO UNO: LAS SUCESIONES: Leccin No 1: Generalidades: En muchos contextos hacemos referencia a las sucesiones, El incremento bacteriano a travs del tiempo, el aumento de la tasa de inters a travs del tiempo, otros. Una sucesin esta referido a secuencia, luego se puede decir que una sucesin es un conjunto de valores que presenta una secuencia con una caracterstica determinada. Analicemos un poco la notacin: Sea n = a, a+1, a+2, a+3, Entonces: Ua es el primer trmino de la sucesin y Un el n-esimo trmino de la sucesin. La notacin para una sucesin esta dada por: { } annUS = Descripcin de una Sucesin: Las sucesiones se pueden describir desde tres puntos de vista:
- A partir del termino general - A partir de los primeros trminos - A partir del primer trmino y la relacin de recurrencia.
1. El Trmino general: Toda sucesin tiene un trmino general, el cual describe dicha sucesin por comprensin; es decir, expresa la caracterstica comn de la sucesin. Ejemplo No 1:
Para la sucesin { } 12 += nn nU Identificar los trminos de la misma. Solucin: Al expresar la sucesin por extensin tenemos:
El primer trmino: { } { }3211 =+==nU El segundo trmino as: { } { }4222 =+==nU As sucesivamente. Entonces: { },...2,...,6,5,4,3 += nU n Vemos que conociendo el trmino general, se pueden obtener cada uno de los trminos de la sucesin.
{ } annUS =
Definicin Formal: Una sucesin nU es una funcin en la cual el dominio (n) son los nmeros naturales y la imagen (un) los nmeros reales.
RNxf :)( Es decir: )(nFn
7
2. Los Primeros Trminos: Conociendo los primeros trminos, se puede hacer un anlisis de la secuencia que presentan stos y as obtener el trmino general. Lo anterior significa que de debe identificar La Regla que permiten desarrollar la secuencia. Ejemplo No 2:
Sea { },...7,5,3,1=nU Identificar el trmino general. Solucin: Descomponemos los trminos para buscar un patrn de secuencia, veamos:
10*210110 =+=+==nU
31*212131 =+=+==nU
52*214152 =+=+==nU
73*216173 =+=+==nU El patrn de secuencia es 1 + 2*n. Donde n = 0, 1, 2, 3,
Entonces el trmino general es de la forma: { } 021 += nn nU Ejemplo No 3:
Sea la sucesin: { },...16,8,4,2 =nv Hallar el trmino general. Solucin: Igual que ene el caso anterior, se busca un patrn de secuencia. Se observa que los signos van intercalados, luego se debe tener expresin de potencia, ya que cuando la base es negativa y el exponente positivo par; la expresin es positiva, pero si la base es negativa y el exponente positivo impar; la expresin es negativa.
( )11 22 ===nv
( )222 224 ====nv ( )33 28 ===nv
i
inv 216===
Luego el patrn de secuencia es ( )n2 Siendo n entero positivo.
8
El trmino general de la sucesin es: { }nnv 2= 3. El primer trmino y la Relacin de Recurrencia: La recurrencia consiste en identificar un trmino de la sucesin, en funcin del trmino anterior, es decir identificar un conociendo un-1. Ejemplo No 4: Una sucesin tiene como primer trmino 30 =u y la relacin de recurrencia es de la forma:
12 += nn uU identificar los primeros trminos y el trmino general. Solucin: Partiendo del primer trmino, se va construyendo uno a uno los dems.
30 =u Para los siguientes trminos utilizamos la recurrencia. 12 += nn uU
5322 01 =+=+= uu 7522 12 =+=+= uu 9722 23 =+=+= uu 11922 34 =+=+= uu As sucesivamente.
Los primeros trminos: { },...11,9,7,5,3=nu Para identificar el trmino general, de la secuencia construida por la recurrencia se puede observar:
330*20 =+=u 531*22 01 =+=+= uu 732*22 12 =+=+= uu 933*22 23 =+=+= uu 1134*22 34 =+=+= uu
Trmino general: 32 += nun Ejemplo No 5: Una sucesin tiene como primer trmino 50 =u y la relacin de recurrencia es de la forma:
)13(1 += pinn UU identificar los primeros trminos y el trmino general. Solucin: Partiendo del primer trmino, se va construyendo uno a uno los dems.
50 =u )13(5)13(01 +=+= pipiUU
[ ] )13(25)13()13(5)13(12 +=++=+= pipipipiUU [ ] )13(35)13()13(25)13(23 +=++=+= pipipipiUU
9
As sucesivamente, entonces para el n-esimo trmino: )13(0 += pinUU n Segn el tamao del dominio, las sucesiones pueden ser infinitas o finitas. Sucesin Infinita: Una sucesin se considera infinita, si el dominio es el conjunto de los nmeros naturales.
RNxf :)( Donde ...6,5,4,3,2,1=N La sucesin: { }3,5,7,9,11,13...nw = Es infinita, ya que no tiene un ltimo trmino, para n = 1, 2, 3, Sucesin Finita: Una sucesin se considera finita, cuando el dominio es un subconjunto de los nmeros naturales, de tal forma que kN , para k un natural.
La sucesin: 1 1 1
1, , , ,...2 3 4n
v
=
Es finita, para n = 1, 2, 3, 4, 5,...
El inters matemtico se centra en las sucesiones infinitas, ya que son stas las que requieren mayor anlisis y describen diversos fenmenos de la naturaleza. Leccin No 2: Las Sucesiones Montonas El concepto de monotona, esta relacionado con el aumento o disminucin de una secuencia. Una sucesin es montona si la secuencia de valores aumenta o disminuye, a medida que n crece. Lo anterior significa que deben existir dos tipos de sucesiones, las crecientes y decrecientes. Es pertinente recordar que Un+1 es el trmino siguiente a Un.
Sucesiones Crecientes: Una sucesin nu es creciente si, y solo si, a partir de un n1: nn uu +1 Dicho de otra forma: 1+ nn uu Para que una sucesin sea creciente:
01 >+ nn uu
Sucesiones Decrecientes: Una sucesin nu es decreciente si, y solo si, a partir de un n1: nn uu +1 Dicho de otra forma: 1+ nn uu Para que una sucesin sea decreciente:
01
10
Para mostrar que una sucesin es creciente, solo se debe demostrar que la diferencia entre un trmino dado y el siguiente es positiva. De igual manera, para mostrar que una sucesin es decreciente, solo se busca demostrar que la diferencia entre el trmino dado y el siguiente es negativa. Ejemplo No 6: Dada la sucesin: { }22 += nun Mostrar que es creciente. Solucin: Aplicamos la relacin: 01 + nn uu Veamos: { } { } { } { } 12232221222)1( 222222 +=++=++++=+++ nnnnnnnnn El trmino (2n + 1) siempre ser positivo, luego queda demostrado que la sucesin es creciente. Ejemplo No 7:
Dada la sucesin
+=
24
nvn mostrar que es decreciente.
Solucin: Solo debemos demostrar que nn vv +1 , veamos:
++
=
++
+=
+
+
+
++ )2)(3(4
)2)(3(12484
24
34
02
42)1(
4nnnn
nn
nnnn
El ltimo trmino es negativo, luego queda demostrado que la sucesin es decreciente. Existen sucesiones que se les llama Estrictamente Creciente o Estrictamente Decreciente, las
cuales son de la forma: nn uu >+1 y nn uu
11
Ejemplo No 8:
Determinar si la sucesin dada es montona 013
=
nn n
nu
Solucin: Lo que se debe hacer es mostrar que 011 ++ nnnn uuuu o 011 ++ nnnn uuuu . En el primer caso la sucesin es creciente y en el segundo caso la sucesin es decreciente. Si se cumplen una de las dos situaciones, la sucesin es montona.
13 =
n
nun y 1)1(3
11
+
+=+ n
nun Agrupamos los trminos:
)23)(13()13)(1()23(
231
131331
13 +++
=
+
+
+
+
nn
nnnn
n
n
n
n
n
n
n
n
Desarrollando la ltima expresin racional, se obtiene:
)13)(13(1
)23)(13()13)(1()23(
+=
+
++
nnnn
nnnn
Donde 0)13)(13(
1>
+ nn. Para n = 0, 1, 2, 3, Por consiguiente la sucesin es creciente.
Conclusin: La sucesin 13
=
n
nun es montona.
Leccin No 3: Las Sucesiones Acotadas La acotacin tiene que ver con llegar a un lmite, del cual no se puede pasar. Las sucesiones acotadas presentan esta caracterstica. Una idea general de acotacin pueden ser los nmeros naturales, que tiene un trmino primero, pero no tiene un ltimo trmino, entonces si hablamos del conjunto de los nmeros naturales, stos tienen cotas inferiores, pero no tienen cotas superiores. Ejemplo No 9:
Dada la sucesin:
+=
11
nun identificar un M que sea la mnima cota superior de la sucesin.
Solucin: Si definimos algunos trminos de la sucesin, se puede observar un valor de M.
Sucesiones Acotadas Superiormente: Sea la sucesin nu y sea un valor M fijo, para cualquier elemento de nu ,
si se cumple que: Mun entonces la sucesin es acotada superiormente. El valor M definido, ser una cota superior de dicha sucesin.
12
= ,...51
,41
,31
,21
nu
Es evidente que M = 1/2 es una cota superior de la sucesin, pero hay otras cotas como 1, 2, etc. Para el ejemplo No 9 que se analiz anteriormente, la mnima cota superior ser , segn la definicin. Ejemplo No 10: Sea la sucesin: { } 02 32 += nn nnu identificar un M de tal forma que sea la mnima cota superior de la sucesin. Solucin: Si definimos algunos trminos de la sucesin, se puede observar un valor de M.
{ },...18,7,0,3 =nu Se observa que los trminos van descendiendo. Entonces la mnima cota superior M = 3. Ejemplo No 11:
Sea la sucesin { } 02 2 = nn nv Determinar si es acotada inferiormente. Solucin:
Obtengamos algunos trminos: { },...7,2,1,2 =nv Se puede observar que N = -2, -3, -4 son cotas inferiores de la sucesin dada, por consiguiente
22 = nvn es acotada inferiormente.
Definicin: Para toda cota superior C de nu , sea M una cota superior, si
se cumple que M < C, entonces M es la mnima cota superior de nu .
Sucesiones Acotadas Inferiormente:
Sea la sucesin nv y sea un valor N fijo, para cualquier elemento de nv , si se cumple que: Nvn entonces la sucesin es acotada inferiormente. El valor N definido, ser una cota inferior de dicha sucesin.
Definicin: Para toda cota inferior c de nu , sea N una cota inferior, entonces si se cumple que N c, entonces N es la mxima
cota inferior de nu .
13
Para el ejemplo No 11, se puede observar que la mxima cota inferior ser -2; segn la definicin. Sucesiones Acotadas: Una sucesin es acotada, si admite una cota superior y una cota inferior. Se puede inferir, que cuando una sucesin tiene una cota superior y una cota inferior, la sucesin es acotada. El axioma expuesto, indica que toda sucesin acotada, tiene una mnima cota superior (mnimo) y una mxima cota inferior (mximo). Ejemplo No 12:
Sea la sucesin: 11
23
+
=
nn n
nu Establecer si es acotada o no.
Solucin: Lo que se debe hacer es mostrar que la sucesin tiene cota superior e inferior, veamos:
=
+
= ,...6
13,
510
,47
,34
,21
123
nn un
nu
Con algo de observacin, se puede inferir que a medida que n crece, la sucesin tiende hacia 3. Entonces la sucesin tiene como mxima cota inferior a y como mnima cota superior a 3. Por consiguiente la sucesin es acotada. Ejemplo No 13: Sea la sucesin: { } 12 4 = nn nv Establecer si es acotada. Solucin: Lo que se debe hacer es mostrar que la sucesin tiene cota superior e inferior, veamos: { } { },...21,12,5,0,342 == nn vnv La sucesin tiene cota inferior pero no tiene cota superior, ya que a medida que n crece, la sucesin tiene al infinito. Por consiguiente la sucesin dada NO es acotada. Solo se puede decir que es montona. Por qu?
{ } MuN n
Axioma de Completitud Para un conjunto no vaco de nmeros reales, si tiene una cota inferior, por consiguiente debe tener una mxima cota inferior. De la misma manera, si el conjunto tiene una cota superior, entonces debe tener una mnima cota superior.
14
Analizar esta ltima afirmacin con el grupo colaborativo de trabajo y compartir con el Tutor. Demostracin: Investigar la demostracin en cualquier libro de Matemticas que desarrolle el tema de sucesiones, pero sera interesante que con los argumentos expuestos, los estudiantes en pequeo grupo colaborativo lo puedan hacer. Leccin No 4: Las Sucesiones Convergentes La convergencia esta relacionada con la tendencia que tiene un conjunto de valores, hacia un valor dado. En esta temtica, se va a estudiar hacia donde tiende una sucesin, cuando n crece indefinidamente. Para comprender el concepto de convergencia, analizaremos inicialmente en que consiste la vecindad. VECINDAD: La vecindad esta asociada a la cercana que se desea un punto respecto a sus alrededores.
Lo anterior se puede representar de la siguiente manera: )( aV El valor consistente en el radio de la vecindad, nos indica la longitud que tendr dicha vecindad. Ejemplo No 14:
Cual es el centro y radio de la vecindad definida por: )2(1,0V
Teorema: Toda sucesin montona y acotada, es convergente.
Definicin:
Sea el conjunto de todos los puntos x, tal que: 0 Se dice que existe una vecindad de centro a y radio .
15
Solucin:
Para )2(1,0V , el centro es 2 y el radio es 0.1, entonces: 2 0,1 = 1,9 para el extremo inferior y 2 + 0,1 = 2,1 para el extremo superior. Ilustremos con una grfica. Ejemplo No 15: Se tiene el centro de una vecindad a = 4 y el radio = 0,001. De que longitud ser dicha vecindad. Solucin:
La nomenclatura: )4(001,0V Extremo inferior: a = 4 0,001 = 3,999 Extremo superior: a + = 4 + 0,001 = 4,001 La longitud ser entonces: 4,001 3,999 = 0,002 El radio definido por , puede ser tan pequeo como se desee, as el intervalo ser ms y ms pequeo. - ) SUCESIONES CONVERGENTES: Con el concepto de vecindad y lo analizado en sucesiones crecientes y decrecientes, podemos iniciar el anlisis de las sucesiones convergentes.
Teorema:
Sea nv una sucesin decreciente y se asume que N es una cota inferior de
la sucesin, entonces nv es convergente si se puede mostrar que: Si el lmite existe, entonces la sucesin es convergente.
{ } NvLim nn
Teorema:
Sea nu una sucesin creciente y se asume que M es una cota superior de la
sucesin, entonces nu es convergente si se puede mostrar que: Si el lmite existe, entonces la sucesin es convergente.
{ } MuLim nn
16
La situacin de los teoremas mencionados, es demostrar que el lmite existe, lo cual se puede hacer por teora de lmites, temtica de la prxima unidad. La siguiente definicin nos muestra analticamente cuando una sucesin es convergente. Cuando el valor L no existe, entones se dice que la sucesin diverge. En caso que Un converge a L, entonces se dice que L es el lmite de la sucesin y se escribe:
LULim n
n=
- ) Sucesiones que convergen a cero:
Una sucesin converge a cero, si existe un nmero real 0> , tan pequeo como se quiera, luego es posible hallar un nmero N tal que si n > N, entonces: Para mostrar que el lmite existe, se debe buscar una relacin entre n y , de tal manera que n = f(). Si se logra encontrar dicha relacin, se demuestra que el lmite existe, por consiguiente la sucesin converge a cero. Ejemplo No 16:
Dada la sucesin:
+=
42
2nun Demostrar que la sucesin converge a cero.
Solucin: Sea > 0, tan pequeo como se quiera, luego debe existir un nmero N tal que: Si n > N
entonces, +n Qu opinas? Entonces: 0
42
2 >+n, luego: N, se cumple.
{ } 0= 0; adems, un N entero, tal que para toda n:
Si LUNn n
17
Ejemplo No 17:
Sea la sucesin: 2
2 21
=
nn
nu Dado un numero positivo , hallar un natural N tal que ni n
> N entonces N entonces n Despejando n obtenemos: 102>n
Entonces tomando el mayor entero positivo N que esta contenido en 102 , por ejemplo N =10, ste cumple la condicin. La conclusin sera: Si n > N entonces 210nu y adems, { } 0nu Sea + R , entonces: { } 0nu
18
Los teoremas estudiados son importantes en el momento que se requiera desarrollar sucesiones convergentes. Se les invita a buscar la demostracin en cursos de matemticas, para su fortalecimiento. Leccin No 5: Lmites de una Sucesin: Para determinar el lmite de una sucesin, tomamos como referencia la definicin de convergencia, el cual nos permite definir analticamente ste ltimo concepto.
Si una sucesin { }nu tiene lmite, se dice: { } Lu n Lo anterior se cumple si: Entonces Demostracin:
Para demostrar que el lmite existe, se debe cumplir:{ } Lu n si, y solo si, existe un >0, tan pequeo como se quiera, adems se puede hallar un N tal que; para todo trmino de { }nu se cumple: n > N siempre que { } N. Ejemplo 18:
Demostrar que 2132
+
=
n
nvn
Solucin:
Sea 0> ; si n > N, entonces: { }
19
Propiedades de las sucesiones Convergentes:
1. Sea { }nu L Entonces: { } 0 Lun Luego { }Lun es acotada., por consiguiente: { } Mun n
2. Si { } Lun y { } Lvn , adems { } { } { }nnn vwu . Entonces { } Lwn . Esta propiedad se conoce como el Emparedado. 3. Sean { } { } { }nnn wvu ,, , de tal manera que: { } { } { }nnn vwu Adems:{ } Lu n y { } Pv n y { } Qw n . Entonces: PQL 4. Una sucesin montona y acotada es convergente.
Si definimos 1+< nn uu y { } Mun n Por consiguiente: { } Lun Leccin No 6: Las Sucesiones Divergentes: Las sucesiones que NO son con convergentes, se le llaman divergentes.
Sea una sucesin { }nu , tal que { } nu , se dice que la sucesin es divergente. Las sucesiones divergentes cumplen alguna de las siguientes condiciones:
{ }
nn
uLim o { }
nn
uLim Propiedades de las sucesiones Divergentes:
1. Si { } nu y { } nv entonces: { } + nn vu y { } nn vu * Cuando dos sucesiones son divergentes, la suma y el producto de stas, tambin son divergentes.
2. Si { } +nu y + Rk entonces: { } +nku 3. Si { } +nu y existe un n0 tal que n > n0, si se cumple que: { } { }nn vu Entonces: { } +nv
20
EJERCICIOS
1. Hallar los primeros 5 trminos de la sucesin: 03
)1(
=
nn
nnU
2. Hallar los primeros 6 trminos de la sucesin: 43
4
=
nn n
U
3. Sea la sucesin cuyos primeros trminos son: { },...19,9,3,1=nU Hallar el trmino general. 4. Sea la sucesin cuyo primer trmino es 10 =U y la relacin de recurrencia es 31 += nUUn Hallar el trmino general de la sucesin. 5. Dada la solucin cuyo primer trmino 20 =V y la relacin de recurrencia esta dada por
13 = nVVn Hallar el trmino general de la sucesin. 6. Demuestre que la sucesin { } 03 22 ++= nn nnU Es creciente.
7. Sea la sucesin 1
1
=
nnUn Demostrar que dicha sucesin es estrictamente decreciente.
8. Dada la sucesin cuyo primer trmino es W0 = 5 y su relacin de recurrencia es Wn+1 = Wn (e + 3). Se puede afirmar que Wn es montona? 9. Para la sucesin { } 0)1(8 = nnnV Verificar si es montona. 10. Sea la sucesin { } 120)45,0(*200 = nnnU A qu tipo de sucesin corresponde?
11. Dada La funcin 03
2
=
nnn
U Determinar si es acotada superiormente y hallar la mnima
cota superior. 12. Para la sucesin del ejercicio No 1, determinar si sta es acotada.
13. Dada la sucesin 21
7
=
nn n
V Identificar la mxima cota inferior si tiene.
14. Para la sucesin 0
2 1032
21
+=n
n nnW Establecer si es acotada en tal caso identificar la
mnima cota superior y la mxima cota inferior.
15. Demostrar que la sucesin 1
=
nn n
kU Converge a cero. Para + Rk
21
16. Dada la sucesin n
n nU
+=1
1 Dado un numero real positivo , hallar un natural N tal que si
n > N entonces
22
CAPTULO DOS: LAS PROGRESIONES Leccin No 7: Las Progresiones Aritmticas Las progresiones aritmticas estn asociadas con secuencia donde los valores van creciendo o decreciendo en la misma proporcin. Se puede considerar a una progresin aritmtica como una Sucesin de nmeros tal que cada uno de ellos; excepto el primero, se obtiene a partir del anterior mas un valor fijo, que es llamado diferencia comn. El primer trmino se referencia como Ua, el segundo como Ua+1 y as sucesivamente. A d se le denomina diferencia comn. Ejemplo No 19: La sucesin: { },...9,7,5,3,1=nU es una progresin aritmtica, justifique la afirmacin: Solucin: Segn la definicin, los trminos van creciendo y hay una diferencia comn que es 2; es decir, d = 2. Termino General: La mayora de progresin aritmtica tiene un trmino general, el cual describe el comportamiento de la misma.
Un = Trmino n-esimo Ua = Primer trmino n = Nmero de trminos de la progresin d = Diferencia comn Analicemos un poco esta situacin: Primer trmino: n = a Entonces: Ua+0 = Ua Segundo trmino: n = a + 1 Entonces: Ua+1 = Ua + d Tercer trmino: n = a + 2 Entonces: Ua+2 = Ua + 2d Cuarto trmino: n = a + 3 Entonces: Ua+3 = Ua + 3d As sucesivamente:
DEFINICIN: Una sucesin { } annU se considera una progresin aritmtica, si y solo si, para todo n, donde n N y adems N a se cumple:
dUU nn +=+1
danUU an *)( +=
23
n-simo trmino: n = a + p Entonces: Ua+p = Ua + p*d = Ua + (n-a)d Porque p = (n a). As se obtiene el trmino general de la progresin aritmtica. Ejemplo No 20: Dada la progresin: { },...9,7,5,3,1=nU Determine el trmino general. Solucin: A partir de la sucesin dada: Ua = 1, d = 2, entonces:
)(21)( andanUU an +=+= Ejemplo No 21: Dada la progresin: { },...9,7,5,3,1=nU Determine el 8 trmino. Solucin: A partir de la sucesin dada, sabiendo que a = 1, primer trmino.
15)18(2)( 18 =+=+= UUdanUU an Suma de los n Primeros Trminos: Vamos a ver en seguida cmo se puede obtener la suma de los n primeros trminos. Para el caso de los nmeros naturales, la frmula fue desarrollada por el prominente matemtico GAUSS, quien despertando su gran sabidura, hizo el siguiente planteamiento. Sumando los n trminos: s = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + + (n -1) + n Sumando al contrario: s = n + (n-1) + (n-2) + + 2 + 1 --------------------------------------------------- Operando: 2 s = (n + 1) + (n + 1) + + (n + 1) + (n + 1) Entonces: 2 s = n veces (n + 1) As: Pero cuando tenemos cualquier sucesin, podemos generalizar de la siguiente forma: Suma de los n primeros trminos de cualquier progresin aritmtica:
Siendo Ua el primer trmino, Un el n-simo trmino hasta donde se desea hacer la sumatoria y n el nmero de trminos.
2)1( +
=
nns
( )2
a nn U Us+
=
24
Ejemplo No 22: Sea Un una sucesin, donde: U1 = -1/4 y d = 1. Hallar la suma de los 4 primeros trminos. Solucin: Conocemos el primer trmino, debemos hallar el n-simo trmino, en este caso el cuarto. Como 4/1134/11*)14(4/1*)1( 414 =+=+=+= UdnUU Calculemos la sumatoria:
52
)4/10(42
)4/114/1(42
)(==
+=
=na UUnS
Tipos de progresiones Aritmticas: - ) Progresiones Aritmticas Crecientes: Una progresin aritmtica es creciente si cada trmino es mayor al anterior.
011 >> ++ nnnn UUUU - ) Progresiones Aritmticas Decrecientes: Una progresin aritmtica es decreciente si cada trmino es menor al anterior.
011
25
a-) Tipo de progresin. b-) La distancia total recorrida a los 12 segundos. Solucin: a-) Se puede observar que como hay una diferencia comn se trata de una progresin y es decreciente ya que nn UU
26
1n
n
Uq
U+
= Siempre que Uu 0
Ejemplo No 26: Sea la sucesin { },...24,12,6,3=nU identificar la razn comn. Solucin:
Si hacemos la divisin: ,...21224
,26
12,2
36
====q
As la razn comn q = 2. Termino General: Para hallar el trmino general de una progresin geomtrica comencemos con el siguiente anlisis:
11
1
13
34
12
23
11
12
**
******
UqUqU
UqUqU
UqUqU
UqUqU
nnn
==
==
==
==
Siendo Ua el primer trmino y Un el n-simo trmino, entonces: Ejemplo No 27: Sea la sucesin { },...108,36,12,4=nU Hallar el n-simo trmino. Solucin: Hallemos primero la razn comn. 12/4 = 3, 36/12 = 3, Entones: q = 3 Como el primer trmino U1 = 4, ahora podemos hallar Un.
1
1 3*34
4*3
==
n
nnnU
Ejemplo No 28: Sea la sucesin { } 1,...24,12,6,3 = nnU hallar el n-simo trmino. Solucin: Del ejemplo 26 se obtuvo la razn comn q = 2. Como el primer trmino es 3, entonces:
1
1 2*23
2*3
==
n
nnnU
aan
n UqU
=
27
- ) Suma de los n Primeros Trminos: Analizaremos en seguida cmo se puede obtener la suma de los n primeros trminos. Definiendo S como la suma de los n primeros trminos:
nnn UUUUUS +++++= 1321 ... Ahora sumemos los mismos trminos pero multiplicados por la razn comn.
nnn UqUqUqUqUqSq **...**** 1321 +++++= Pero debemos tener en cuenta que si multiplicamos el primer trmino por la razn se obtiene el segundo y as sucesivamente, U2 = U1*q, U3 = U2*q, as sucesivamente luego:
nnn UqUUUSq *...* 32 ++++=
En seguida restamos q*Sn Sn Entonces:
nnn
nnn
nnn
UqUSSq
UUUUS
UqUUUSq
**...
*...*
1
121
32
+=
=
++++=
Factorizando y reorganizando se obtiene: Esta ecuacin se puede utilizar cuando se conoce el primero y ltimo trmino de la progresin.
Cuando se desea expresar la sumatoria en trminos de la razn comn, y el primer trmino de la progresin, se hace una transformacin de la siguiente manera: En la ecuacin anterior reemplazamos Un por qn-a*Ua siendo Ua el primer trmino; es decir, a = 1.
1)1**(
1)1*(
1* 11
1111
1
=
=
=
q
qqqU
q
qqU
q
UqUqS
nnn
n
Finalmente: Para q 1 Ejemplo No 29: Sea la sucesin nU donde q = y U1 = 3. Hallar la suma de los 5 primeros trminos. Solucin: Como se conoce el primer trmino y la razn comn, se puede utilizar la ltima ecuacin. ( )
1693
2/132/93
2/1)12/31(3
12/11)2/1(3 5
=
=
=
=nS
Ejemplo No 30: En una progresin geomtrica la suma de los n primeros trminos es 80, la razn es 3 y el primer trmino es 2 cuantos trminos fueron sumados? Solucin: A partir de la ecuacin de sumatoria, despejamos n:
)1(*)1(*1
)1(1111
1+==
= qSUqUqSUqUq
qUS n
nn
nn
n
1* 1
=
q
UqUS nn
( )1
11
=
q
qUS
n
n
28
812
)13(802)1()1(*
1
111 =
+=
+=+=
U
qSUqqSUqU nnn
n
4)3()81(
)81()81()(81 =====Lu
LnnLognLogqLogq qq
nq
n
Recordemos que q = 3. Entonces se sumaron los primeros 4 trminos de la progresin. - ) Producto de los n Primeros Trminos: En seguida estudiaremos cmo se puede obtener el producto de los n primeros trminos. Utilicemos el smbolo de productoria para representar el producto. Comencemos por representar la productoria de los n primeros trminos.
nnn UUUUU **...*** 1321 =pi Ahora hagamos la misma productoria pero al contrario.
121 **...** UUUU nnn =pi En seguida hacemos el producto:
)*(*)*...(*)*(*)*( 1211212
nnnnn UUUUUUUU =pi El producto representa n potencia de (U1*Un)
nnn UU )*( 1
2=pi
Finalmente la productoria es de la forma: La expresin anterior nos indica que el producto de los n primeros trminos es el producto de los extremos elevado a la potencia n, extrayendo la raz segunda. Ejemplo No 31: Sea la progresin geomtrica dada por los trminos Un = {1, 4, 16, 64,}. Hallar el producto de los 5 primeros trminos. Solucin: Primero debemos hallar el trmino general para identificar Un. De la progresin dada observamos que: U1 = 1 y q = 4 Entonces:
El quinto termino: Ahora si podemos hallar la productoria:
nnn UU )*( 1=pi
nn
nnna
ann UUUqU 4*4
14*
41
1*4 1 ====
2564024.1
4*41 5
5 ===U
1048576100995,1)256*1( 125 === Xnpi
29
EJERCICIOS
1. Sea la progresin aritmtica { } 12 += nn nU Hallar: a-) Los primeros 6 trminos de la progresin. b-) La suma de los primeros 10 trminos. 2. Se la progresin aritmtica { },...13,10,7,4,1=nU Hallar: a-) El n-simo trmino b-) La suma de los primeros 20 trminos. 3. Dada una progresin aritmtica cuya diferencia comn es 4; adems, la suma de los 54 primeros trminos es 270. Hallar: a-) El primer trmino b-) El trmino general. 4. Dada la progresin geomtrica { } 0)2( = nnnU Hallar la suma de los 5 primeros trminos. 5. La sucesin: { },...2,2,2,2,2 =nU Hallar el producto de los 3 primeros trminos. 6. La canasta familiar de los empleados asistentes de un pas es de $120.000 a primero de enero, si la tasa de inflacin mensual es del 2,05%. Hallar: a-) Costos de la canasta a los 3 meses del ao. b-) Costo de la canasta a los n meses. c-) Cuanto gasta un empleado de nivel asistencial en un ao. 7. Calcular el dcimo trmino de una progresin geomtrica cuyo primer trmino es igual a 1 y la razn es 2.
30
UNIDAD DOS
ANLISIS DE LMITES Y CONTINUIDAD
31
CAPTULO TRES: GENERALIDADES SOBRE LMITES Leccin No 9: Conceptualizacin Intuitiva de Lmite: Definamos la funcin P(n) como un polgono regular de n lados, la idea es observar que pasara si n se hace muy grande; es decir, cuando n tiende a infinito. En la ilustracin se muestra que cuando n aumenta, el polgono se acerca cada vez ms al crculo. Luego:
P = Polgono C = Circunferencia
La expresin anterior, esta indicando que cuando el nmero de lados se hace muy grande, el polgono se acerca al crculo. Leccin 10: Conceptualizacin Bsica de Lmite: Sea la funcin y = f (x), si se hace que la variable se acerque ms y ms a un valor fijo c, entonces la funcin se acercar a un valor fijo L. Lo anterior se puede escribir simblicamente de la siguiente manera:
(Se lee: limite cuando n tiene a c de la funcin f de x, es igual a L)
Si aplicamos la definicin a un caso especfico, se puede entender mejor el principio. Sea Lo que vamos a hacer es tabular algunos valores de x muy cercanos; por encima y por debajo de 2 y, reemplazando en la funcin, se obtiene el valor del lmite de la funcin. Tomamos valores de la variable por debajo de 2:
x 1.90 1,99 1,999 1,9999 1,99999 1,999999 Limite 3,9 3,99 3,999 3,9999 3,99999 3,999999
Tomamos valores de la variable por encima de 2:
x 2,1 2,01 2,001 2,0001 2,00001 2,000001 Limite 4,1 4,01 4,001 4,0001 4,00001 4,000001
CPLimn
=
( )n cLim f x L
=
4242
2=
x
xLimx
CPLimn
=
32
Los cuadros dejan ver claramente que a medida que la variable x se acerca a 2; por encima o por debajo, el lmite de la funcin L se acerca a 4. Leccin 11: Conceptualizacin Formal de Lmite:
La forma en que va a analizar la definicin formal de lmite, es por el uso de la matemtica axiomtica, la cual desarrolla todo el campo matemtico a partir de axiomas, teoremas, postulados y definiciones. Fue precisamente Augustin-Louis Cauchy, quien dio los trminos, para definir formalmente el concepto de lmite, por lo cual se le llam Definicin de lmite. Augustin-Louis Cauchy naci en Pars el 21 de agosto de 1789 y muri el 23 de mayo de 1857 en Sceaux, Francia.
Fuente:http://divulgamat.ehu.es/weborriak/historia/ AsiLoHicieron/Cauchy/InprimaketaCauchy.asp. Es pertinente recordar el concepto de vecindad tratado en la temtica de convergencia de sucesiones, ya que all se analiz la cercana de una vecindad segn el tamao del radio . Lo anterior indica, es que f(x) difiere de L en un valor , dado que x es suficientemente cercano a , pero no igual. Veamos esta situacin:
+
33
Ejemplo 32:
Demostrar: 7)12(3
=+
xLimx
Solucin: Se debe definir un > 0, tan pequeo como se quiera. Definamos una = 0.01, pero puede ser otro, luego debe existir un , tal que:
01.07)12(
34
Como debemos bajarlo al denominador, entonces aplicamos el recproco o inverso multiplicativo.
31
121
71
M, entonces f(x) K < . Entre ms pequeo sea , ms grande ser M. Ntese que M depende de - ) El segundo caso: De igual manera ocurre cuando la variable tiene a menos infinito. Sea un > 0, luego debe existir un N tal que si x < N, entonces f(x) K < . Entre ms pequeo sea , ms pequeo ser N. En este caso N tambin depende de
KxfLimx
=
)(
DEFINICIN:
Dada La funcin f(x), entonces: KxfLimx
=
)(
DEFINICIN:
Dada La funcin f(x), entonces: KxfLimx
=
)(
39
01
=
nx x
Lim
Para demostrar que el lmite existe, basta encontrar una relacin entre M y , de tal manera que M o N segn el caso, sean dependientes de , si esto ocurre, se concluye que el lmite existe. Ejemplo 38: Demostrar que Solucin: Lo que se tiene que hacer es buscar un M que se relacione con el (epsilon) Veamos:
MxLxf >
40
( )( )
3 2 3 2
33
12 4 5 8 12* 4* 5* 84* 10* 54 10 5
x
x
Lim x x x
Lim x x
+ + + +
= =
+ + Corresponde a una Indeterminacin
El trabajo con este tipo de lmites es eliminar esa indeterminacin, lo cual se hace de la siguiente manera. Inicialmente se observa que la expresin racional sea tal que el grado del numerador y denominador sean iguales o que el grado del denominador sea mayor. Si esto ocurre, entonces lo que se procede a hacer es dividir cada trmino de la expresin por la variable con el mximo exponente, para luego simplificar.
+
++=
+
++
333
3
333
2
3
3
3
23
5104
85412
510485412
xxx
xx
xxx
xx
xx
Limxx
xxxLim
xx
[ ][ ]
[ ][ ]32
32
333
3
333
2
3
3
5104
85412
5104
85412
xxLim
xxxLim
xxx
xxLim
xxx
xx
xxLim
x
x
x
x
+
++=
+
++
Aplicando propiedad de los lmites: [ ]
[ ] )/5()/10()4()/8)/5()/4()12(
5104
8541232
32
32
32
xLimxLimLim
xLimxLimxLimLim
xxLim
xxxLim
xxx
xxxx
x
x
+
(++=
+
++
Evaluando los lmites: 3004
00012)/5()/10()4(
)/8)/5()/4(1232
32
=
+
++=
+
(++
Finalmente: El desarrollo se hizo, utilizando las propiedades de lmites y el lmite demostrado anteriormente.
Ejemplo 40:
Hallar:
++
+ 422
562 xx
xLimx
Solucin: Si evaluamos el lmite hacia la tendencia de la variable, llegamos a una indeterminacin.
( )( ) .4*2*2
5*6422
56
42256
222 IndxxLim
xLim
xx
xLim
x
x
x=
=
++
+=
++
+=
++
+
Para eliminar dicha indeterminacin, procedemos a dividir cada trmino por x2.
0=
nx x
kLim
35104
854123
23
=
+
++ xx
xxxLimx
41
( )( )2222
22
2222
22
2 /4/2/2
/5/6
/4/2/2/5/6
42256
xxxxxLim
xxxLim
xxxxx
xxxLim
xx
xLim
x
x
xx ++
+=
++
+=
++
+
Simplificando y evaluando: ( )
( )( )
( ) 0020
/4/22/5/6
./4/22
/5/6
/4/2/2
/5/62
2
2
2
2222
22
=
+=
++
+=
++
+=
++
+
xxLim
xxLim
xxxxxLim
xxxLim
x
x
x
x
Finalmente: 0422
562 =
++
+ xx
xLimx
Ejemplo 41:
Hallar: [ ]xxLimx
+
12
Solucin: Como tenemos el lmite donde hay races, el camino de solucin es la conjugada, donde multiplicamos y dividimos por el mismo trmino pero con signo contrario.
[ ] ( )( )
++
+++=+
xx
xxxxLimxxLimxx 1
111
2
222
Haciendo las operaciones de producto y simplificando:
++=
++
+ xx
Limxx
xxLim
xx 1
1
1
122
22
Aplicando lmite de cociente y evaluando::
( ) 01111)1(
2==
++=
++
xxLim
Lim
x
x
Para los lmites al infinito, podemos hacer una generalizacin:
Sea:
+++++
+++++
o
mnm
mm
mm
on
nn
nn
n
x bxbxbxbxb
axaxaxaxaLim
12
21
1
12
21
1
......
Las soluciones son:
1. Si n > m entonces el lmite es 2. Si n < m entonces el limite es 0 3. Si n = m entonces el limite es an/bm
42
Leccin 15: Lmites Infinitos: Los lmites infinitos son aquellos donde la variable tiene a un valor fijo, mientras que la funcin tiende a ms o menos infinito. Con lo desarrollado sobre lmites, ya se puede comprender que pasa en el siguiente caso.
34
3
xLimx
Si se hiciera la evaluacin del lmite, se obtendra una expresin de la
forma: 4 / 0 = Indeterminacin. En teora de lmites, cuando se obtiene cero en el denominador, se dice que se presenta una indeterminacin, luego lo que se hace es que la tendencia de la variable sea al valor definido pero por la derecha o la izquierda, esto se desarrollar en lmites unilaterales. Esto significa, dado un valor M > 0, existe un > 0 tal que: Mxf >)( Siempre que
43
Luego: =
24 )4(1
xLimx
Ejemplo 43:
Resolver el siguiente lmite: 21 )1(2
xLimx
Solucin: En este caso el numerador es negativo, el denominador se acerca a cero a medida que la variable se acerca a uno.
=
=
02
)1(2
21 xLimx
Esto significa que para un valor B > 0; tan grande como se desee, debe existir un A > 0 tal que para todo x que pertenece a D: (Vx D). f (x) > B siempre que x > A Veamos esto grficamente:
Ejemplo 44:
Resolver el siguiente lmite: [ ]42 2 +
xLimx
Solucin: Por medio de las propiedades de los lmites: [ ] =+=+=+
4)(2)4()2(42 222
xxxLimxLimxLim
DEFINICIN:
Dada La funcin f(x) con dominio D, entonces: =
)( xfLimx
44
Leccin 16: Formas Indeterminadas: En la teora de lmites, en muchas ocasiones nos encontramos con situaciones como las siguientes: Estos casos se denominan indeterminaciones, ya que no se puede tomar una decisin respecto a la operacin. La explicacin es relativamente sencilla. Para el primer caso, el cero del numerador lleva la operacin a cero, mientras que el denominador lleva la operacin al infinito, luego Las fuerzas son contrarias, por lo cual no se puede tomar una decisin. Igual ocurre con la segunda y tercera opcin. La cuarta opcin, el infinito de la base hace que la operacin sea infinita, mientras que el cero del exponente enva la operacin a uno, luego tambin tienen fuerzas contrarias. La habilidad de resolver lmites se basa en eliminar las indeterminaciones, existen 2 mtodos para hacerlo: Algebraicos y de clculo para eliminar indeterminaciones y as resolver lmites: 1. Mtodos Algebraicos: Entre estos tenemos la Factorizacin y la racionalizacin. - ) La Factorizacin: Se utiliza generalmente cuando se tiene una expresin racional y ha posibilidad de simplificarla para resolver el lmite. Ejemplo 45:
Resolver el lmite: 242
2
x
xLimx
Solucin: Si evaluamos directamente se obtiene:
2 2
2
4 2 4 02 2 2 0x
xLim
x
= =
Indeterminacin
Luego, la idea es eliminar la indeterminacin, lo que se puede hacer factorizando el numerador, veamos: El numerador es una diferencia de cuadrados, verdad entonces, se procede de la siguiente manera:
( )( ) ( )22
2224
22
2
2+=
+=
xLim
x
xxLim
x
xLim
xxx
Con este procedimiento, efectivamente se elimin la indeterminacin, ahora si es posible calcular el lmite.
( ) 4)22(22
=+=+
xLimx
Por consiguiente: 4242
2=
x
xLimx
?00
=
00 0*01000
45
Ejemplo 46:
Resolver el lmite: 273
3
2
3
x
xxLimx
Solucin: Si evaluamos directamente se obtiene:
2
33
3 9 9 027 27 27 0x
x xLim
x
= =
Indeterminacin
Para eliminar la indeterminacin, factorizamos, el numerador como factor comn y el denominador como diferencia de cubos.
93)93)(3()3(
273
23233
2
3 ++=
++
=
xx
xLim
xxx
xxLim
x
xxLim
xxx
Ahora se puede evaluar: 91
273
9323==
++ xx
xLimx
Finalmente:91
273
3
2
3=
x
xxLimx
- ) La Racionalizacin: Se utiliza generalmente cuando se tiene una expresin en diferencia donde hay presencia de radicales. Ejemplo 47:
Resolver el lmite: ( )xxLimx
22
Solucin: Si evaluamos directamente se obtiene: ( ) ==
222 xxLim
x
Para eliminar un radical, se racionaliza la expresin, lo cual se hace multiplicando y dividiendo la expresin por el conjugado de dicha expresin.
( ) ( )( )xx
xxLim
xx
xxxxLimxxLim
xxx +
=
+
+=
2
2
2
222
2
22
2
222
Simplificando: 022
2
2
2
222
22
=
=
+
=
+
=
+
xxLim
xx
xxLim
xx
Finalmente: ( ) 022 =
xxLimx
Ejemplo 48:
Resolver:
+
x
xLimx
330
46
Solucin:
Si evaluamos directamente se obtiene: 00
0303
0=
+
xLim
Se nos presenta una forma indeterminada, entonces aplicamos la conjugada. ( )( )( )
++
+++=
+
33333333
00 xx
xxLim
x
xLim
xx
Operando: ( )( ) ( )( ) ( )
++=
++=
++
+ 33
13333
33000 x
Limxx
xLim
xx
xLim
xxx
Evaluando el lmite: ( ) 6332 133 10 ==
++ xLimx
2. Mtodos de Clculo: Corresponden al uso de los lmites al infinito y a la regla de Lhopital. El primero se analizar a continuacin, el segundo se dejar cuando se estudie las aplicaciones de las derivadas. - ) Lmites al Infinito: En ocasiones se tienen expresiones enteras o racionales de lmites al infinito que conllevan a indeterminaciones. Para los casos donde el grado del polinomio del numerador es menor o igual al grado del polinomio del denominador, se divide todos los trminos de la expresin por la variable con el mayor exponente, para aplicarles el lmite al infinito, as se elimina la indeterminacin. Ejemplo 49:
Resolver: xx
xxLimx
+ 3
3
674
Solucin:
Si evaluamos directamente se obtiene:
=
+
+ xx
xxLimx 3
3
674
Evidentemente es una indeterminacin. Entonces dividimos cada trmino de la expresin por x3. Luego:
32
64
0604
16
74
6
74
2
2
33
3
33
3
==
+
+=
+
+=
+
+
x
xLim
xx
xx
xx
xx
Limxx
Aqu aplicamos la teora del lmite al infinito ms conocido, recordemos:
02 = x
KLimx
Siendo K una constante.
47
Ejemplo 50:
Resolver: ( )10543 23 +
xxxLimx
Solucin: Si evaluamos directamente se obtiene: ( ) =+=+
10*5*4*310543 23 xxxLim
x
La solucin para eliminar esta indeterminacin es multiplicar y dividir por la variable con el mayor exponente.
( ) ( )[ ]333233323 1054310543 xxxxxxxxLimxxxLim xx +=+ ( )[ ] ( ) ==+=+
*3000310543 32
3
xxxxLim
x
Por consiguiente: ( ) =+
10543 23 xxxLimx
En los casos donde el grado del numerador sea mayor que el grado del denominador, primero se hace la divisin, para luego aplicar el procedimiento anterior. Ejemplo 51:
Desarrollar: 3
122
3
+ x
xxLimx
Solucin: Evaluando directamente se obtiene una indeterminacin.
=
+ 3
122
3
x
xxLimx
Luego para eliminar la indeterminacin, primero se hace la divisin de la expresin racional:
++=
+ 3
13
1222
3
x
xxLim
x
xxLim
xx
Por propiedad de los lmites:
++=
++=
++
22
2
22
22 3
1)(
31
)(31
xxx
xxx
LimxLimx
xLimxLim
x
xxLim
xxxxx
48
Resolviendo: =+=+=
++=
++
0
10
0100
3
1)(
22
2
22
xxx
xxx
LimxLimxx
Por consiguiente: =
+ 3
122
3
x
xxLimx
Leccin 17: Formas No Indeterminadas: Dentro del lgebra de lmites, se presentan situaciones que se consideran no indeterminadas. A continuacin se exponen dichos casos, que puede ser de ayuda en diversas situaciones.
En cada una de ellas, no se presenta ambigedad, ya que se puede tomar una decisin, que es precisamente lo que se debe hacer al resolver un lmite. Leccin 18: Lmites de Funciones Trigonomtricas: Los lmites tambin se pueden aplicar a las funciones trigonomtricas. Para un valor real a definido en el dominio de la funcin trigonomtrica, se cumple:
[ ] )()( asenxsenLimax
=
; [ ] )cos()cos( axLimax
=
; [ ] )sec()sec( axLimax
=
Ejemplo 52: Resolver los siguientes lmites: a-) [ ])cos(
2
xLimx pi
b-) [ ])tan(2
xLimx pi
Solucin: Por las definiciones anteriores: a-) [ ] 0)2cos()cos(
2
==
pipi
xLimx
b-) [ ] pipi
==
)2tan()tan(
2
xLimx
En trigonometra son importantes, dos lmites que analizaremos a continuacin.
=* 00
=
=
=
000 =
1)(
0=
x
xsenLimx
49
1. Este lmite se puede demostrar por dos caminos, uno es el teorema del emparedado y otro por la regla de Lhopital. Demostracin: Utilicemos el teorema del emparedado. Para esto tomamos como referencia la circunferencia unidad. (R = 1)
A1 (OAD)= rea del sector circular interno A (OAC)= rea del tringulo A2 (OBC)= rea del sector circular externo
Iniciemos con el rea del sector circular pequeo. Como X = R (radio), Por definicin de funcin coseno: X = R*cos (), pero R = 1, entones X = cos (), ya que estamos trabajando con la circunferencia unidad, luego:
)(cos21
21
21
)( 2221 xXROADA === Ahora, se halla el rea del tringulo: Segn la grfica, Y = sen (). y X = cos()
)cos()(21
*21
)( senYXOACA == Finalmente, hallamos el rea del sector circular grande: Como R = 1, que corresponde al radio de
la circunferencia unidad. 21
21
)( 22 == ROBCA
Se plantea la desigualdad de las reas:
21
)cos()(21
)(cos21 2 sen
Multiplicamos por 2
cos( ) , se obtiene: )cos(1)(
)cos(
sen Aplicamos el lmite a la desigualdad:
21 AAA
1)(
0=
x
xsenLimx
50
)cos(1)(
)cos(000
LimsenLimLim
Evaluando los lmites se obtiene:
1)(
1)0cos(
1)()0cos(
00
senLim
senLim
Como
Por el teorema del emparedado:
Conclusin: 1)(
0=
x
xsenLimx
Ejemplo 53:
Hallar: x
xsenLim
x 4)4(
04
Solucin: Expresamos h = 4x, luego:
1)(
4)4(
004=
h
hsenLim
x
xsenLim
hx Por la definicin del lmite de sen(x) cuando la variable tiende a
cero. 2. Demostracin: Para demostrar este lmite, aplicamos racionalizacin a travs de la conjugada.
( ) ( )( ) ))cos(1(
)())cos(1()(cos1
)cos(1)cos(1
*)cos(1 2
0
2
00 xx
xsenLim
xx
xLim
x
x
x
xLim
xxx +=
+
=
+
+
Separamos los lmites: )cos(1
)(*
)(00 x
xsenLim
x
xsenLim
xx +
Evaluando los lmites: 020
*1)0cos(1
)0(*1 ==
+
sen
As queda demostrado el lmite propuesto. Estos dos lmites tiene gran importante en el mundo de las Matemticas, por favor tenerlos muy en cuenta.
)()()( 21 ALimALimALim 1)()( 21 == ALimALim
( ) 1L im A =
0)cos(1
0=
x
xLimx
51
Ejemplo 54:
Hallar: x
xsenLimx 8
)6(0
Solucin: Evaluando directamente nos aparece una indeterminacin.
( )0
0(6 ) 08 0 0x
sensen xLim
x= = Indeterminacin
Debemos eliminar la indeterminacin. Veamos. Lo primero es aplicar lmite de un cociente y dividir los dos trminos por x:
( )( )
( )( )
000
000 0
(6 ) (6 )(6 )(6 )
8 88 8
xxx
xxx x
Lim sen x sen xLimLim sen x xsen x xLimLim x xx Lim x Lim x
x
= = =
El numerador lo multiplicamos y dividimos por 6 y el denominador lo dejamos igual.
[ ]xxLimx
xsenLim
x
x
86
)6(6
0
0
Cuando 060 xx Entonces: 43
81*6
)8(6
)6(6
0
06==
x
x
Lim
xxsenLim
Leccin 19: Lmites Unilaterales: Los lmites unilaterales surgen de la necesidad de determinar lmites de funciones cuando la variable tiene restricciones.
Veamos el siguiente caso: 33
xLim
x
Este lmite se puede resolver solo si los x se acercan a 3 por valores mayores que ste, como: 3.01, 3.001, Cuando x se acerca a 3 por valores menores que ste como: 2.99, 2.999, 2.9999, El lmite no existe. (Analice Porque)
Utilizando la nomenclatura de lmites unilaterales, se dice: 033
=+
xLimx
Lo anterior indica que el lmite cuando x tiende a 3 por la derecha, la funcin dada tiende a 0.
existeNoxLimx
=
33
Esto indica que el lmite cuando x tiende a 3 por la izquierda de la funcin dada, no existe.
DEFINICIN: Dada La funcin f(x) definida en el intervalo (a, b), si x tiende a c por la
derecha, f(x) tiende a L. Entonces: ( )x cL im f x L
+=
52
Para que el lmite exista, sea una > 0, debe existir un > 0, tal que: 0 0, debe existir un > 0, tal que: 0
53
Ejemplo 56:
Resolver:
>+
=+ 1
11)(
1 xsix
xsixxfLim
x
Solucin: La funcin que se presenta es la funcin definida por partes, la grfica nos deja ver sus lmites unilaterales.
Por consiguiente: 2)(1
=+
xfLimx
Ejemplo 57: Para la funcin del ejemplo 56, muestre que el lmite cuando x tiende a 1 por la izquierda es -1. Solucin: Observando la grfica se puede obtener la respuesta, adems; por la definicin de la funcin se puede inferir que efectivamente el lmite es -1.
54
Leccin 20: Lmite de una Funcin: El teorema muestra que el lmite de una funcin existe, solo si sus limites unilaterales existes y son iguales. Leccin 21: Asntotas: Las Asintotas son rectas que limitan las curvas en su recorrido, hasta el punto que no las deja pasar. Las asntotas permiten observar el recorrido de las curvas en el plano. Existen rectas que se aproximan arbitrariamente a curvas de funciones, pero nunca se tocan, se dice que la curva se acerca asintticamente a la recta. - ) ASINTOTAS HORIZONTALES: La recta y = L, es una asntota horizontal, si se cumple una de las siguientes condiciones: Ejemplo 58:
Para la funcin dada, determinar sus asntotas horizontales, si las tiene: xxxf += 1)( 2 Solucin: Resolviendo el lmite, se sabe si tiene o no asntotas horizontales. ( )( )( ) xx xxLimxx xxxxLimxxLim xxx ++ +=++ +++=+ 111 11)1( 2
22
2
222
011
1
12
=
=
+=
++ xxLimx
Como el lmite existe y es cero, entonces: y = 0 es Asntota horizontal de la funcin dada.
TEOREMA: Sea la funcin f(x) definida en un intervalo I, el cual contiene al valor a, entonces:
LxfLimax
=
)( Existe, si y solo si, LxfLimxfLimaxax
==+
)()(
LxfLimx
=
)( LxfLimx
=
)(
55
- ) ASINTOTAS VERTICALES: La recta x = a, es una asntota vertical, si se cumple una de las siguientes condiciones: Ejemplo 59:
Para la funcin dada, determinar sus asntotas verticales, si las tiene: 21
)(
=
xxf
Solucin: Primero se busca en donde la funcin no esta definida, se hace que x tienda a 2, que es el punto donde la funcin no esta definida.
2
1 12 0x
Limx+
= = +
y 2
1 12 0x
Limx
= =
Se presenta el primer caso, luego x = 2+, la funcin va al infinito positivo, cuando x = 2-, la funcin va al infinito negativo, entonces hay una asntota vertical de la funcin dada en x = 2, adems de la horizontal que hay en y = 0.
=
)(xfLimax
=
)(xfLimax
56
Ejemplo 60:
Para la funcin dada, determinar sus asntotas verticales, si las tiene: 652
)( 2
+=
xx
xxf
Solucin: Primero se busca en donde la funcin no esta definida, lo que se puede identificar linealizando el denominador:
( )( )162
652
)( 2 ++
=
+=
xx
x
xx
xxf
Se hace que x tienda a 6 y a -1, que es el punto donde la funcin no esta definida.
a) ==
+ 0
865
226 xx
xLimx
b) ==
+ 0
165
221 xx
xLimx
Para los dos casos se presenta la primera condicin, luego x = -1 y x = 6 son asntotas verticales de la funcin dada.
57
EJERCICIOS
1. Resolver los siguientes lmites.
a-)
+
+ 952
1243
3
xx
xxLimx
b-)
+
+ 623
310624
23
xx
xxLimx
c-)
+
+ 682
38542
23
xx
xxxLimx
d-)
+++++
++++++ 5 24 6
5 233 4
7423
132
xxxx
xxxxxLimx
e-) [ ]23* ++
xxxLimx
2. Resolver: ( )
+
h
xhxLimh
33
0
3. Resolver:
+++ 1
4234
1 x
xxxxLimx
4. Resolver:
+
x
xaxaLimx 0
5. Resolver:
+ )6(
)4()8(0 xsen
xsenxsenLimx
6. Resolver: x
x xLim
53
1
+
7. Resolver los siguientes lmites:
a-)
20
)cos(1x
xLimx
b-)
)2(
)2cos(120 xsen
xLimx
58
c-)
+ )cos(1)(tan 2
x
xLimx pi
8. a-) xLim
ox +
b-) xLimox
9. a-) Hallar los lmites unilaterales de la funcin
+
=
1214
)(2
2
xsix
xsixxh
a-) Hallar los lmites unilaterales. b-) Establecer si )(
1xhLim
x existe.
11. Sea la funcin:
>
=
59
CAPTULO CINCO: CONTINUIDAD
El concepto de continuidad esta relacionado con la no interrupcin de una curva de una funcin en un punto o en un intervalo. La continuidad es muy importante, debido a que en Matemticas las funciones continuas son trabajadas de una manera muy particular. Leccin 22: Continuidad en un Punto: Sea la funcin y = f(x), adems, se a el valor de x. Se dice que f(x) es continua en x = a, si se cumplen las siguientes condiciones: 1. 2.
3. Para que una funcin sea continua en un punto, se deben cumplir las tres condiciones simultneamente. Existen casos donde se puede cumplir la primera y/o segunda condicin, pero no la tercera. Ejemplo 61:
Determinar la continuidad de la funcin dada en x = 4 y x = 0. 162
)( 2
=
x
xxf
Solucin: Aplicamos las tres condiciones para x = 4:
==
= 0
2161624
)(4
xfLimx
y ==
+=
06
16424
)4( 2f
La primera y segunda condicin no se cumplen, luego la tercera tampoco se cumplir, como conclusin se puede decir que la funcin dada, NO es continua en x = 4. b) Para x = 0:
81
162
16020
)(0
=
=
+=
xfLim
x
81
162
16020
)0( =
=
+==xf
81)0()(
0===
xfxfLim
x
ExistexfLimax
:)(
Existeaf :)(
)()( afxfLimax
=
60
Como la funcin en el punto x = 0, cumple las tres condiciones:
0( ) (0)
xLim f x f Existe
= = Se concluye que dicha funcin es continua en x = 0.
Ejemplo 62:
Determinar la continuidad de la funcin dada en x = 1 y x = 2. 14
)(
+=
x
xxf
Solucin: a-) Aplicamos las tres condiciones para x = 1:
==
+ 0
514
1 x
xLimx
y ===05
)1(xf
Por consiguiente, la funcin NO es continua en x = 1.
b-) 616
14
2==
+ x
xLimx
y 616
)2( ===xf
Como se puede observar la funcin f(x) es continua en x = 2. Leccin 23: Continuidad en un Intervalo Para determinar la continuidad en un intervalo I, ste debe definirse abierto, es decir solo se incluyen los puntos internos de dicho intervalo.
61
Punto Interior: La funcin f(x) es continua en los puntos interiores del intervalo (a, b) si:
Para c (a, b): )()( cfxfLimcx
=
Puntos extremos: La funcin f(x) es continua en los puntos extremos del intervalo (a, b) si:
)()( afxfLimax
=+
y )()( bfxfLimbx
=
Es de resaltar que los lmites deben existir para que la funcin sea continua en el intervalo definido. Ejemplo 63:
Sea la funcin 24)( xxf = Determinar en qu intervalo la funcin es continua. Solucin: Como el radicando no puede ser negativo, entonces 04 2 x resolviendo la desigualdad se obtiene: -2 x 2. En forma de intervalo: [-2, 2] La funcin en estudio es continua en el intervalo [-2, 2]. Existen algunos teoremas que fortalecen el concepto de continuidad en un intervalo, los cuales sern mencionados a continuacin. Teorema de la Funcin Polinomial: Todos las funciones polinomiales son continuas en los Reales.
Definicin: Sea la funcin y = f(x) definida en el intervalo abierto I = (a, b). Se dice que f(x) es continua en el intervalo dado, si dicha funcin es continua en todos los puntos interiores de dicho intervalo y en los puntos extremos.
62
Teorema de la Funcin Racional: Todos las funciones racional, es continua en su dominio de definicin. Teorema de la Funcin Valor Absoluto: La funcin valor absoluto, es continua en los Reales. Teorema de la Funcin Raz: La funcin raz de ndice par, es continua para x > 0, siendo x el radicando. Para la funcin de ndice impar, el dominio son todos los reales. Teorema de Suma de Funciones: Si f(x) y g(x), son continuas en x = a, entonces, f(x) + g(x), tambin ser continua en x = a. Lo mismo ocurre con la resta de funciones. Teorema de Producto de Funciones: Si f(x) y g(x), son continuas en x = a, entonces, f(x)* g(x), tambin ser continua en x = a. Lo mismo ocurre con el cociente de funciones, solo que en este caso, g(x) debe ser diferente de cero. Ejemplo 64:
Identificar en que intervalo es continua la siguiente funcin. 25
4)( 2
=
xxf
Solucin: Primero debemos identificar el dominio de la funcin, para luego establecer por el teorema de funcin racional, el dominio de la misma. La funcin tiene restriccin en x = 5 y x = -5. Luego el dominio de la funcin son los Reales diferentes de 5 y -5. La funcin es continua en los intervalos: (-, -5) U (-5, 5) U (5, )
Ejemplo 65: Identificar en que intervalo es continua la siguiente funcin. 205)( = xxf
63
Solucin: Primero debemos identificar el dominio de la funcin, lo cual se determina conociendo en donde la funcin se restringe. Por ser una raz de ndice par, el radicando no puede ser negativo, luego:
42050205 xxx Entonces, el dominio sern todos los reales mayores o iguales de 4. As dicha funcin ser continua en el intervalo [4, ). Los puntos de dicho intervalo cumplen las tres condiciones de continuidad en un punto.
Ejemplo 66:
Identificar en que intervalo es continua la siguiente funcin. 532)( 234 += xxxxf Solucin: Sabemos que el dominio de una funcin polinomial son todos los reales, luego la funcin dada ser continua en el intervalo (-, ). A esta funcin se le dice continua en todas partes. Entiendes porqu? Ejemplo 67:
Identificar en que intervalo es continua la siguiente funcin. 1
1)(
=
xxf
Solucin: Sabemos que la funcin se restringe en x = 1, as el dominio ser (-, 1) U (1, ). Luego en estos intervalos la funcin es continua.
64
Leccin 24: Discontinuidad:
Las funciones que no son continuas en un punto o en un intervalo, se les dice discontinua en el punto o en el intervalo. La discontinuidad es de varios tipos, al saber. 1. DISCONTINUIDAD REMOVIBLE: Hay casos en donde se presenta discontinuidad, pero por el tipo de funcin, se puede eliminar la discontinuidad, redefiniendo la funcin. Ejemplo 68: Identificar el punto de discontinuidad y buscar la forma de eliminar dicha discontinuidad si es
posible y resolver el lmite, para la funcin: 22
)(2
=
x
xxxf
Solucin: La funcin presenta un punto de discontinuidad en x = 2, pero utilizando tcnicas algebraicas, redefinimos la funcin y podemos resolver el lmite; es decir, eliminar la indeterminacin.
( )( ) ( )12
122
222
2
2+=
+=
xLim
x
xxLim
x
xxLim
xxx
De esta manera, se puede resolver el lmite, ( ) 31212
=+=+
xLimx
Ejemplo 69: Identificar el punto de discontinuidad y buscar la forma de eliminar dicha discontinuidad si es posible y resolver el lmite para la funcin:
( )h
xhxxg
33
)(+
=
Solucin: La funcin presenta un punto de discontinuidad en h = 0, pero utilizando tcnicas algebraicas, redefinimos la funcin y podemos resolver el lmite; es decir, eliminar la indeterminacin.
( )h
xxhhxxLim
h
xhxLim
hh
3223
0
33
0
33 ++=
+
Simplificando:
h
xhxhLim
h
xhhxLim
h
xxhhxxLim
hhh
)33(3333 2
0
22
0
3223
0
+=
+=
++
65
22
0
2
03)33(
)33(xxhxLim
h
xhxhLim
hh=+=
+
Se observa que el proceso matemtico, permiti resolver el lmite. 2. DISCONTINUIDAD INFINITA: Hay casos en donde la discontinuidad presentada, NO se puede eliminar, ya que la funcin no es puede redefinir. Ejemplo 70: Determinar el punto o puntos de discontinuidad y resolver el lmite si existe.
=
=
01
01
)( 20
xsi
xsixxfLim
x
Solucin:
La funcin no se puede redefinir, luego hay una discontinuidad infinita en x = 0. Ejemplo 71: Identificar el punto de discontinuidad y buscar la forma de eliminar dicha discontinuidad si es posible, para resolver el lmite de la funcin:
44
)(+
+=
x
xxh
Solucin: La funcin tiene un punto de discontinuidad en x = -2, la cual NO se puede evitar. Entonces:
66
=
+
+ 4
42 x
xLimx
3. DISCONTINUIDAD POR SALTOS: Por el tipo de funcin, se presentan casos donde la discontinuidad es por saltos, caso tpico la funcin parte entera.
Esta funcin tambin se puede definir as: ( ) 1g x x = < + Para entero. En esta funcin se presenta discontinuidad cada valor entero, por lo cual se le conoce como una funcin discontinua por saltos. Este tipo de funcin tampoco se puede redefinir.
67
EJERCICIOS
1. Sea la funcin 1
2)( 2 +
=
xxf Determinar si dicha funcin es continua en x = 0.
2. Para la funcin 103
4)( 2
+=
xx
xxf Determinar si dicha funcin es continua en x = -2.
3. Definida la funcin.
>
=
0 Solucin: Aplicando la definicin tenemos:
+
=
+
= x
xxxLim
x
xfxxfLimxf
xx 00
)()()('
Aplicamos la conjugada para eliminar la indeterminacin y simplificando. ( )( )( ) ( )( )
+++
=
+++++
= xxxx
xxxLim
xxxx
xxxxxxLimxf
xx 00)('
( )( ) ( )( ) ( )
++=
++
=
+++
= xxx
Limxxxx
xLim
xxxx
xxxLimxf
xxx
1)('
000
Evaluando el lmite: ( ) xxxxxxLimxf x 2 111)(' 0 =+=
++=
Leccin 29: Derivadas Bsicas: - ) LA DERIVADA DE UNA CONSTANTE El fundamento de la derivacin es la ocurrencia de un cambio, cuando se tiene una constante no sucede un cambio, luego la derivada en este caso es cero. Demostracin: Por definicin, aplicamos el principio del lmite del incremento relativo de la funcin y as se busca la derivada de la funcin propuesta.
0)(' =kf
TEOREMA: Sea f(x) = k, siendo k una constante, se dice que la derivada esta definida de la siguiente manera:
0)(' =xf
80
x
xfxxfLimxf
x +
=
)()()('
0
Entonces: 00)()(
)('000
=
=
=
+
= x
Limx
kkLim
x
xfxxfLimxf
xxx
Ejemplo No 82: Sea la funcin f(x) = 4. Hallar f(x). Solucin:
Por la definicin: 0044)()(
)('000
=
=
=
+
= x
Limx
Limx
xfxxfLimxf
xxx
Es obvio a que la derivada es cero, ya que la funcin es una constante. - ) LA DERIVADA DE UNA VARIABLE La derivada de la variable, tambin se le conoce como la derivada de la funcin identidad, ya que la funcin identidad es donde la variable es la misma funcin. Demostracin: Siguiendo con la definicin:
1)()()(
)('000
=
=
+
=
+
= x
xLim
x
xxxLim
x
xfxxfLimxf
xxx
As queda demostrada la derivada de la funcin identidad. Ejemplo No 83: Sea la funcin f(v) = v, siendo v la variable, Hallar f(v). Solucin: Utilizando la definicin:
1)()(
)('000
=
=
+
=
+
= v
vLim
v
vvvLim
v
vfvvfLimvf
vvv
Por consiguiente: f(v) = 1
1)(' =xf
TEOREMA: Sea f(x) = x, siendo x una variable, la derivada de f(x) esta
definida por: 1)(' ==dx
dyxf
81
- ) DERIVADA DE LA POTENCIA Cuando se tiene una funcin de la forma f(x) = xn, para derivar se hace referencia al desarrollo de la expansin binomial, por medio de lo cual se puede resolver un producto notable cuando el exponente es un entero positivo. Demostracin:
Siguiendo la definicin: x
xfxxfLimxf
x +
=
)()()('
0 luego
( )x
xxxLimxf
nn
x +
= 0
)('
Desarrollando el producto notable por el binomio de Newton, tenemos:
( ) ( )x
xxxnxxxnn
xnxxLimxf
nnnnnn
x
+++++=
1221
0
...)(2
)1(
)('
Simplificando:
( ) ( )x
xxnxxxnn
xnxLimxf
nnnn
x
++++=
1221
0
...)(2
)1(
)('
Se factoriza x, se obtiene:
( ) ( )x
xxnxxxnn
nxxLimxf
nnnn
x
++++=
121
0
...)(2
)1(
)('
Simplificando:
( ) ( ) )...)(2
)1(()(' 121
0
++++= nnnn
xxxnxxx
nnnxLimxf
Desde el segundo trmino en adelante, aparece el x, luego aplicando lmite, se obtiene:
( ) ( )( ) ( )( )100
2
0
1
0...)(
2)1(
)('
+++
+= nx
n
x
n
x
n
xxLimxnxLimxx
nnLimnxLimxf
Evaluando el lmite: 11 00...00)(' =+++++= nn nxnxxf
1)())(( = nnx xnfxfD
TEOREMA: Sea f(x) = xn funcin diferenciable, con n un entero positivo, entonces:
1)(' == nnxdx
dyxf
82
Por consiguiente: 1)(' = nnxxf As queda demostrado el teorema.
Ejemplo No 84: Sea la funcin: f(x) = x3, Hallar f(x) Solucin:
( ) ( )x
xxxLim
x
xxxLimxf
x
nn
x +
=
+
=
33
00)('
Desarrollando el producto notable:
+++
= x
xxxxxxxLimxf
x
33223
0
)()(33)('
Simplificando y operando
[ ]
++
=
++
= x
xxxxxLim
x
xxxxxLimxf
xx
22
0
322
0
)()(33)()(33)('
[ ] [ ]220
22
0)()(33
)()(33)(' xxxxLim
x
xxxxxLimxf
xx++=
++
=
Evaluando el lmite: [ ] 222
03)()(33)(' xxxxxLimxf
x=++=
Si se desarrolla utilizando el teorema: 213 33)(' xx
dx
dyxf ===
Ejemplo No 85: Sea la funcin: f(x) = 5x2, Hallar f(x) Solucin:
( ) ( )
++
=
+
= x
xxxxxLim
x
xxxLimxf
xx
222
0
22
0
5)(2555)('
Operando y simplificando:
( )
++
=
++
= x
xxxxxLim
x
xxxxxLimxf
xx
222
0
222
0
5)(51055)(25)('
[ ] xxxLimx
xxxLimxf
xx10510
)(510)('
0
2
0=+=
+
=
83
Utilizando el teorema: xxdx
dyxf 102*5)(' 12 ===
Entonces, la derivada de la funcin f(x) = 5x2 es '( ) 10dy
f x xdx
= =
- ) DERIVADA CONSTANTE POR FUNCIN Cuando una funcin esta multiplicada por una constante, la derivada esta definida segn el siguiente teorema: Demostracin: Expresemos el producto de la funcin por la variable as: F(x) = k*f(x) Luego:
+
=
+
=
+
= x
xfxxfkLim
x
xkfxxkfLim
x
xFxxFLimxF
xxx
))()(()()()()()('
000
Por la propiedad de los lmites:
+
=
+
=
+
= x
xfxxfLimk
x
xfxxfkLim
x
xfxxfkLimxF
xxx
)()()()())()(()('
000
Finalmente: dx
xdfk
x
xfxxfLimkxF
x
)()()()('
0=
+
=
Ejemplo No 86: Sea f(x) = 7x, Hallar la derivada de f(x) Solucin:
[ ]x
xxxLim
x
xxxLim
x
xfxxfLimxf
xxx +
=
+
=
+
=
77)(7)()()('
000
[ ] [ ]71*777
7)('
000==
=
+
=
+
= x
xLim
x
xxxLim
x
xxxLimxf
xxx
Por consiguiente: f(x) = 7 Utilizando el teorema: 777)(' 011 === xxxf
[ ] )()( xfkDxkfD xx =
TEOREMA: Sea f(x) una funcin diferenciable y sea k una constante diferente de cero, luego
dx
xdfkxkf
dx
d )()( =
84
Ejemplo No 87: Sea f(x) = 12x4, Hallar la derivada de f(x) Solucin:
( ) ( )
++++
=
+
= x
xxxxxxxxxLim
x
xxxLimxf
xx
4432234
0
44
0
12)()(4)(64121212)('
Aplicando propiedades de lmites y simplificando:
( )
++++
= x
xxxxxxxxxLimxf
x
4432234
0
)()(4)(6412)('
( )x
xxxxxxxLimxf
x +++
=
43223
0
)()(4)(6412)('
Factorizando x y simplificando obtenemos: ( )
x
xxxxxxxLimxf
x +++
=
3223
0
)()(4)(6412)('
[ ]32230
)()(4)(6412)(' xxxxxxLimxfx
+++=
Evaluando el lmite se obtiene: 00048)(' 3 +++= xxf Finalmente:
348)(' xxf = Utilizando el teorema:
314 484*12)(' xxdx
dyxf ===
Generalizando:
Cuando se tiene una funcin de la forma: nkxxf =)(
Para k y n valores diferentes de cero. La derivada es de la forma:
Ejemplo No 88: Sea f(x) = 15x8 + 10, Hallar la derivada de f(x) Solucin:
Aplicando la generalizacin: 718 120015*8)(' xxdx
dyxf =+==
1*)(' == nkxndx
dyxf
85
NOTA: Recordemos que la derivada de una constante es cero.
EJERCICIOS 1. Hallar la pendiente de la recta tangente a la curva xxxf 43)( 2 += en el punto P(2, 20)
2. Cual ser la pendiente de la recta tangente en el punto P(1, -1) para la curva 21
)(x
xg =
3. Para la curva xxf =)( Hallar la ecuacin de la recta tangente que para por el punto P(4, 2)
4. Hallar la ecuacin de la recta tangente para el punto )1,2
(pi
P de la curva: )()( xsenxf =
5. Un objeto viaja a lo largo de una recta de modo que su posicin en t tiempo esta dada por la ecuacin de posicin: 32)( 2 += ttx Donde t esta en segundos y x en metros. a-) Cual ser la velocidad a los 3 segundos de comenzar el movimiento. b-) En que tiempo la velocidad ser de 24 m/seg. 6. El movimiento de un objeto esta gobernado por la ecuacin de distancia dad por: 23)( += ttx a-) Encontrar la ecuacin de velocidad para cualquier instante. b-) Cual ser la velocidad inicial del objeto.
7. Un cultivo de bacterias crece de modo que la masa esta dada por 221 2 += tm Donde m se da en
gramos y t en tiempo. a-) Cual es la tasa de crecimiento inicial. b-) Cual es la tasa de crecimiento a los 3 segundos. En los siguientes ejercicios hallar la derivada de la funcin propuesta, utilizando el principio de lmite del incremento o dicho de otra forma utilizando la definicin.
8. x
xf1
)( =
9. 3)( xxf = 10. )()( xsenxf = En los siguientes ejercicios demuestre que la funcin f(x) dada a continuacin NO es derivable en el punto x0 indicado. 11. 4)( = xxf En x0 = 4
86
12.
>
=
2325
)(xsix
xsixf Para x0 = 2
Aplicando los teoremas demostrados, hallar la derivada de las siguientes funciones. 13. 56)( 7 += xxf
14. 1042
)( 3 += xxg
15. 3 57
4)(
xxh =
16. 24
3156
)(t
tts
=
87
CAPTULO SIETE: DERIVADA DE FUNCIONES ALGEBRICAS Leccin 30: Derivada de suma y resta de funciones: - ) DERIVADA DE LA SUMA DE FUNCIONES Como se tiene una suma de varias funciones y se desea obtener la derivada de dicha suma, se procede por la definicin formal de derivada. Dicho de manera ms explicita, la derivada de una suma de funciones, es igual a la suma de las derivadas de las funciones. Demostracin:
Siguiendo con la definicin:
+
= x
xpxxpLimxf
x
)()()('
0
+++++++
= x
xhxgxfxxhxxgxxfLimxf
x
)]()()([)]()()([)('
0
Reorganizando la expresin anterior:
+++++
= x
xhxxhxgxxgxfxxfLimxf
x
)()()()()()()('
0
Por propiedad de los lmites:
+
+
+
+
+
= x
xhxxhLim
x
xgxxgLim
x
xfxxfLimxf
xxx
)()()()()()()('
000
Luego: dx
dh
dx
dg
dx
dfxhxgxfxf ++=++= )(')(')(')('
-) DERIVADA DE LA RESTA DE FUNCIONES Para la resta de funciones, se trabaja con el mismo principio utilizado en la suma.
)()()( gDfDgfD xxx +=+
)()()( gDfDgfD xxx =
TEOREMA: Sea f(x), g(x), h(x) funciones diferenciables respecto a x. Dada la suma: p(x) = f(x) + g(x) + h(x), entonces la derivada de la suma esta definida por:
dx
dh
dx
dg
dx
dfhgf
dx
dxp ++=++= )()('
88
Dicho de manera ms explicita, la derivada de una resta de funciones, es igual a la diferencia de la derivada de las funciones. Demostracin:
Siguiendo con la definicin:
+
= x
xRxxRLimxR
x
)()()('
0
++
= x
xgxfxxgxxfLimxR
x
)]()([)]()([)('
0
Por la propiedad de los lmites: dx
dg
dx
dfxgxfxR == )(')(')('
Ejemplo No 89: Dada la funcin: f(x) = 3x2 + 5x. Hallar la derivada de f(x) Solucin:
Utilizando la definicin de derivada:
+
= x
xfxxfLimxf
x
)()()('
0
Aplicndola a la funcin dada:
++++
= x
xxxxxxLimxf
x
]53[)](5)(3[)('
22
0
Desarrollando:
+++++
= x
xxxxxxxxLimxf
x
]53[)](5))(2(3[)('
222
0
+++++
= x
xxxxxxxxLimxf
x
]53[]55)(363[)('
222
0
TEOREMA: Sea f(x), g(x) funciones diferenciables respecto a x. Dada la resta: R(x) = f(x) - g(x), entonces la derivada esta definida por:
dx
dg
dx
dfgf
dx
dxR == )()('
89
++++
= x
xxxxxxxxLimxf
x
5355)(363)('
222
0
Simplificando y factorizando:
++
=
++
= x
xxxLim
x
xxxxLimxf
xx
)5)(36(5)(36)('
0
2
0
Aplicando propiedad de lmites:
5)(36)5)(36()('0000
++=++=xxxx
LimxLimxLimxxLimxf
Evaluando los lmites: 5065)(36)('000
++=++=
xLimxLimxLimxfxxx
Finalmente: 56)(' += xxf Ejemplo 90: Dada la funcin: f(x) = 4x3 - 10x2. Hallar la derivada de f(x) Solucin: Utilizando la regla de resta de funciones:
)10()4()104()(' 2323 xdx
dx
dx
dxx
dx
dxf ==
Por el teorema de la funcin potencia:
121323 2*103*4)10()4()(' == xxxdx
dx
dx
dxf
Operando, se obtiene: xxxf 2012)(' 2 = NOTA: Se observa que para obtener la derivada de una funcin, se puede utilizar la definicin de derivada; es decir, por medio del lmite del incremento relativo. Pero si se utiliza los teoremas correspondientes, el proceso es ms rpido. Leccin 31: Derivada de Producto de Funciones Para obtener la derivada de un producto, el procedimiento y resultado es muy particular, comparado con el de la suma y resta.
gfDgDfgfD xxx *)()(*)*( +=
90
Demostracin: Para demostrar la derivada de un producto de dos funciones, se parte de la definicin de derivada:
Sea p(x) = f(x)*g(x), entonces:
++
== x
xgxfxxgxxfLim
dx
dpxp
x
)(*)()(*)()('
0
A la anterior expresin le sumamos y restamos )(*)( xgxxf +
+++++
= x
xgxxfxgxxfxgxfxxgxxfLim
dx
dpx
)(*)()(*)()(*)()(*)(0
Reorganizamos la expresin:
+++++
= x
xgxfxgxxfxgxxfxxgxxfLim
dx
dpx
)(*)()(*)()(*)()(*)(0
El numerador lo agrupamos en dos expresiones:
+++++
= x
xgxfxgxxfxgxxfxxgxxfLim
dx
dpx
)](*)()(*)([)](*)()(*)([0
Ahora, factorizamos f(x+x) en el primer sumando y g(x) en el segundo sumando:
++++
= x
xfxxfxgxgxxgxxfLim
dx
dpx
)]()()[()]()()[(0
Aplicamos la propiedad de la suma de lmites:
+
+
++
= x
xfxxfxgLim
x
xgxxgxxfLim
dx
dpxx
)]()()[()]()()[(00
En cada sumando tenemos el lmite de un producto, luego por la propiedad de este tipo de lmite, los reorganizamos:
( ) ( )
+
+
++=
x
xfxxfLimxgLim
x
xgxxgLimxxfLim
dx
dpxxxx
)]()([)(
)]()([)(
0000
Evaluando los lmites: )(')()(')( xfxgxgxfdxdp
+=
As queda demostrada la derivada de la suma de dos funciones.
TEOREMA: Sea f(x) y g(x) funciones diferenciales en x, dado: p(x) = f(x)*g(x), entonces:
)(**)()(*)(')('*)()(' xgdx
df
dx
dgxfxgxfxgxfxp +=+=
91
Ejemplo 91: Se la funcin: p(x) = (3x6-5x)*(25x-4). Hallar la derivada de la funcin p(x). Solucin: Se puede observar que es un producto de dos funciones, luego aplicamos la regla para producto.
)'53)(425()'425)(53()(' 66 xxxxxxxp += )518)(425()25)(53()(' 56 += xxxxxp
201257245012575)(' 566 ++= xxxxxxp Simplificando: 2025072525)(' 56 += xxxxp Ejemplo 92: Se la funcin: ( )( ))(104)( 35 xsenxxxq += Hallar la derivada de q(x). Solucin: Se puede observar que es un producto de dos funciones, luego se aplica regla para producto. En el ejercicio No 3 de la seccin definicin formal de derivada. All se demuestra que si f(x) = sen(x) entonces f(x) = cos(x).
)()3020()cos()104()(' 2435 xsenxxxxxxq +++= Se puede hacer la distribucin de cos(x) en el primer sumando y sen(x) en el segundo sumando.
)(30)(20()cos(10)cos(4)(' 2435 xsenxxsenxxxxxxq +++= Leccin 32: Derivada de Cociente de Funciones Para obtener la derivada de un cociente, el procedimiento tiene los mismos lineamientos que el caso del producto.
)()(*)(*
)/( 2 xggDfgDg
gfD xxx
=
TEOREMA:
Sea f(x) y g(x) funciones diferenciales en x, y g(x) 0, dado: )()(
)(xg
xfxc = Entonces:
)()('*)()('*)(
)(' 2 xgxgxfxfxg
xc
=
92
Demostracin 1: Para demostrar la derivada de un cociente de funciones, se parte de la definicin de derivada:
++
= x
xg
xf
xxg
xxf
Limxcx
)()(
)()(
)('0
Operando el numerador:
+
++
= x
xgxxg
xxgxfxgxxf
Limxcx
)(*)()(*)()(*)(
)('0
+++
= )(*)(
1*
)(*)()(*)()('
0 xgxxgx
xxgxfxgxxfLimxc
x
Sumamos y restamos la expresin: )(*)( xgxf
++++
= )(*)(
1*
)(*)()(*)()(*)()(*)()('
0 xgxxgx
xxgxfxgxfxgxfxgxxfLimxc
x
Factorizamos g(x) en el primer sumando y f(x) en el segundo sumando:
++++
= )(*)(
1*
)]()()[()]()()[()('
0 xgxxgx
xxgxgxfxfxxfxgLimxc
x
Separamos sumandos:
)(*)(1
*)]()()[()]()()[(
)('0 xgxxgx
xxgxgxf