71
CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Ở TIỂU HỌC PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGƯỢC TỪ CUỐI Có một số bài toán cho biết kết quả sau khi thực hiện liên tiếp một số phép tính đối với số phải tìm. Khi giải các bài toán dạng này, ta thường dùng phương pháp tính ngược từ cuối (đôi khi còn gọi là phương pháp suy ngược từ cuối) Khi giải toán bằng phương pháp tính ngược từ cuối, ta thực hiện liên tiếp các phép tính ngược với các phép tính đã cho trong đề bài. Kết quả tìm được trong bước trước chính là thành phần đã biết của phép tính liền sau đó. Sau khi thực hiện hết dãy các phép tính ngược với các phép tính đã cho trong đề bài, ta nhận được kết quả cần tìm. Những bài toán giải được bằng phương pháp tính ngược từ cuối thường cũng giải được bằng phương pháp đại số hoặc phương pháp ứng dụng đồ thị (xem các số tiếp theo). Ví dụ 1: Tìm một số, biết rằng tăng số đó gấp đôi, sau đó cộng với 16 rồi bớt đi 4 và cuối cùng chia cho 3 ta được kết quả bằng 12. Phân tích: Trong bài này ta đã thực hiện liên tiếp đối với dãy số cần tìm dãy các phép tính dưới đây: x 2, + 16, - 4, : 3 cho kết quả cuối cùng bằng 12. - Ta có thể xác định được số trước khi chia cho 3 được kết quả là 12 (Tìm số bị chia khi biết số chia và thương số). - Dựa vào kết quả tìm được ở bước 1, ta tìm được số trước khi bớt đi 4 (Tìm số bị trừ khi biết số trừ và hiệu số). - Dựa vào kết quả tìm được ở bước 2, ta tìm được số trước khi cộng với 16 (Tìm số hạng chưa biết khi biết số hạng kia và tổng số). - Dựa vào kết quả tìm được ở bước 3, ta tìm được số trước khi nhân với 2, chính là số cần tìm (Tìm thừa số chưa biết khi biết tích và thừa số kia). Từ phân tích trên ta đi đến lời giải như sau: Số trước khi chia cho 3 là: 12 x 3 = 36 Số trước khi bớt đi 4 là: 36 + 4 = 40 Số trước khi cộng với 16 là: 40 - 16 = 24 Số cần tìm là: 24 : 2 = 12 Trả lời: Số cần tìm là 12. Ví dụ 2: Tìm ba số, biết rằng sau khi chuyển 14 đơn vị từ số thứ nhất sang số thứ hai, chuyển 28 đơn vị từ số thứ hai sang số thứ ba rồi chuyển 7 đơn vị từ số thứ ba sang số thứ nhất ta được ba số đều bằng 45. Phân tích: Ta có thể minh họa các thao tác trong đề bài bằng sơ đồ sau:

Cac phuong phap giai toan o tieu hoc.pdf

  • Upload
    trieulh

  • View
    88

  • Download
    13

Embed Size (px)

Citation preview

  • CC PHNG PHP GII TON TIU HC

    PHNG PHP TNH NGC T CUI

    C mt s bi ton cho bit kt qu sau khi thc hin lin tip mt s php tnh i vi s phi tm. Khi gii cc bi ton dng ny, ta thng dng phng php tnh ngc t cui (i khi cn gi l phng php suy ngc t cui) Khi gii ton bng phng php tnh ngc t cui, ta thc hin lin tip cc php tnh ngc vi cc php tnh cho trong bi. Kt qu tm c trong bc trc chnh l thnh phn bit ca php tnh lin sau . Sau khi thc hin ht dy cc php tnh ngc vi cc php tnh cho trong bi, ta nhn c kt qu cn tm. Nhng bi ton gii c bng phng php tnh ngc t cui thng cng gii c bng phng php i s hoc phng php ng dng th (xem cc s tip theo). V d 1: Tm mt s, bit rng tng s gp i, sau cng vi 16 ri bt i 4 v cui cng chia cho 3 ta c kt qu bng 12. Phn tch: Trong bi ny ta thc hin lin tip i vi dy s cn tm dy cc php tnh di y: x 2, + 16, - 4, : 3 cho kt qu cui cng bng 12. - Ta c th xc nh c s trc khi chia cho 3 c kt qu l 12 (Tm s b chia khi bit s chia v thng s). - Da vo kt qu tm c bc 1, ta tm c s trc khi bt i 4 (Tm s b tr khi bit s tr v hiu s). - Da vo kt qu tm c bc 2, ta tm c s trc khi cng vi 16 (Tm s hng cha bit khi bit s hng kia v tng s). - Da vo kt qu tm c bc 3, ta tm c s trc khi nhn vi 2, chnh l s cn tm (Tm tha s cha bit khi bit tch v tha s kia). T phn tch trn ta i n li gii nh sau: S trc khi chia cho 3 l: 12 x 3 = 36 S trc khi bt i 4 l: 36 + 4 = 40 S trc khi cng vi 16 l: 40 - 16 = 24 S cn tm l: 24 : 2 = 12 Tr li: S cn tm l 12. V d 2: Tm ba s, bit rng sau khi chuyn 14 n v t s th nht sang s th hai, chuyn 28 n v t s th hai sang s th ba ri chuyn 7 n v t s th ba sang s th nht ta c ba s u bng 45. Phn tch: Ta c th minh ha cc thao tc trong bi bng s sau:

  • Ta c: S th nht: - 14; + 7 cho kt qu l 45 S th hai: + 14; - 28 cho kt qu l 45 S th ba: + 28; - 7 cho kt qu l 45 T phn tch trn ta i n li gii ca bi ton nh sau: S th nht l: 45 - 7 + 14 = 52. S th hai l: 45 + 28 - 14 = 49. S th ba l: 45 + 7 - 28 = 24. Tr li: Ba s cn tm l: 52; 49 v 24. Li gii bi ton trn c th th hin trong bng sau:

    Tr li: Ba s cn tm l: 52; 49 v 24. Cc bn th gii cc bi ton sau bng phng php tnh ngc t cui: Bi 1: Tm mt s, bit rng gim s i 3 ln, sau cng vi 5, ri nhn vi 2 v cui cng chia cho 8 c kt qu bng 4. Bi 2: Tng s ca ba s bng 96. Nu chuyn t s th hai sang s th nht 3 n v v sang s th ba 17 n v, cui cng chuyn t s th ba sang s th nht 9 n v th s th nht s gp i s th hai v bng 2/5 s th ba. Tm ba s .

    Trn Din Hin (Trng i hc S phm H Ni)

    TH NO L ... GI THIT TM

    Trong cc bi ton Tiu hc, c mt dng ton trong cp n hai i tng (l ngi, vt hay s vic) c nhng c im c biu th bng hai s lng chnh lch nhau, chng hn hai chuyn ng c vn tc khc nhau, hai cng c lao ng c nng sut khc nhau, hai loi v c gi tin khc nhau ... Ta th t ra mt trng hp c th no khng xy ra, khng ph hp vi iu kin bi ton, mt kh nng khng c tht , thm ch mt tnh hung v l. Tt nhin gi thit ny ch l tm thi chng ta lp lun nhm a bi ton v

  • mt tnh hung quen thuc bit cch gii hoc lp lun suy ra c ci phi tm. Chnh v th m phng php gii ton ny phi i hi c dc tng tng phong ph, c suy lun linh hot... Nhng bi ton gii c bng phng php gi thit tm c th gii bng phng php khc. Tuy nhin, trong nhiu trng hp, cch gii bng gi thit tm thng gn gng v mang tnh "c o". V d : Trc ht, ta hy xt mt bi ton c quen thuc sau y:

    Va g va chB li cho trn

    Ba mi su conMt trm chn chn

    Hi my g, my ch?Cch 1: (Cch gii quen thuc) R rng 36 con khng th l g c (v khi c 2 x 36 = 72 chn!), cng khng th l ch c (v khi c 4 x 36 = 144 chn!). By gi ta gi s 36 con u l ch c (y l gi thit tm), th s chn s l: 4 x 36 = 144 (chn). S chn di ra l: 144 - 100 = 44 (chn) S d nh vy l v s chn ca mi con ch hn s chn ca mi con g l: 4 - 2 = 2 (chn). Vy s g l: 44:2 = 22 (con). S ch l: 36 - 22 = 14 (con). Cch 2: Ta th tm mt gi thit tm khc na nh. Gi thit, mi con vt c "mc" thm mt ci u na ! khi , mi con c hai u v tng s u l: 2 x 36 = 72 (u) Lc ny, mi con g co hai u v hai chn , Mi con ch c hai u bn chn. Vy s chn nhiu hn s u l: 100 - 72 = 28 (ci) i vi g th s chn bng s u, cn i vi ch c s chn nhiu hn s u l: 4 - 2 = 2 (ci) Suy ra s ch l: 28:2 = 14 (ch) S g l: 36 - 14 = 22 (g). Cch 2: By gi ta gi thit mt tng hp tht v l nh! Ta gi thit mi con vt u b "cht i" mt na s chn. Nh vy, mi con ch ch cn c hai chn v mi con g ch con mt chn. tng s chn cng ch cn mt na, tc l: 100 : 2 = 50 (chn 0. By gi, ta li gi thit mi con ch phi "co" mt chn ln mi con vt ch c mt chn, khi 36 con vt c 36 chn. Nh vy, s chn ch phi "co" ln l: 50 - 36 = 14 (chn). V mi con ch c mt chn "co" nn suy ra c 14 con ch. Vy s g l: 36 - 14 = 22 9con). Cch 4:

  • Gi : Gi s mi con g "mc thm" 2 chn, khi c 36 con u c 4 chn v tng s chn l: 4 x 36 = 144 (chn)... Mi cc bn tip tc c lp lun, ng thi xt xem iu gi thit tm thi ny da vo cch gii no bit). Cch 5: Gi : Gi s mi con ch "b cht i" 2 chn, khi c 36 con u c 2 chn v tng s chn l: 2 x 36 = 72 (chn)... (Mi bn c tip tc lp lun, sau cng xt xem gi thit tm thi ny da vo cch gii quen thuc no nh.) Sau y l mt s bi vn dng: Bi tp 1: Rp Kim ng mt bui chiu phim bn c 500 v gm hai loi 2000 v 3000. S tin thu c l 1120000. Hi s v bn mi lai l bao nhiu? (Tr li: 380 v v 120 v). bi tp 2:(bi ton c) Qut ngon mi qu chia ba Cam ngon mi qu chia ra lm mi Mi ngi mt ming, trm ngi C mi by qu, chia ri cn u! Hi c my qu cam, my qu qut? (Tr li: 7 qu cam, 10 qu qut!)

    V Dng Thu

    RT GN PHN S

    Rt gn mt phn s cho l tm mt phn s bng n m t s v mu s ny nh hn t s v mu s ca phn s cho. Thng thng, khi rt gn phn s l phi c mt phn s ti gin. Cch rt gn phn s : Cng chia t s v mu s cho mt s t nhin ln hn 1. iu quan trng nht l phi tm c s t nhin thc hin vic rt gn phn s. Vic ny c th thc hin mt ln hoc vi ln mi tm c phn s ti gin. di y l mt s v d minh ho v cch tm "s rt gn c".

    1. Da v du hiu chia ht V d. Rt gn mi phn s :6/8 (cng chia 2); 27/36 (cng chia 9); 15/40 (cng chia 5).

    2. Chia dn tng bc hoc gp cc bc (theo quy tc chia mt s cho mt tch). V d. Rt gn phn s 132 / 204 132 / 204 = 132:2 / 204:2 = 66 / 102; 66:2 / 102:2 = 33/51; 33:3 / 51:3 = 11/17 vt 132 / 204 = 11/17.

  • V 2 x 2 x 3 = 12 nn 132:12 / 204:12 = 11/17. 3. Dng cch th chn theo cc bc. V d. Rt gn phn s 26/65. Bc 1: 26:2 = 13 Bc 2: 65:13 = 5 Bc 3: Cng chia 13. 26:13 / 65:13 = 2/5. 4. Phn s c dng c bit. V d. Rt gn phn s 1133 / 1442. Bc 1: 1133 : 11 = 103 Bc 2: 1442 :14 = 103 Bc 3: Cng chia 103. 1133 / 1442 = 1133:103 / 1442:103 = 11/14. Vn dng nhng hiu bit ca mnh, cc em hy t gii cc bi tp sau: Rt gn phn s: 35 / 91; 37 / 111; 119 / 153; 322 / 345; 1111 / 1313.

    Trung Hiu

    BI TON CHIA GIA TI

    Cc bn va gii bi ton tna lm th no?. y l bi ton tng t ca bi ton dn gian: Mt ngi nng dn nui c 17 con tru. Trc khi qua i, ng di chc li cho ba ngi con: - Con c c 1/2 n tru. - Con th c chia 1/3 n tru. - Con t c chia 1/9 n tru. Ba ngi con loay hoay khng bit lm th no chia gia ti m khng phi x tht cc con tru. Em hy tm cch gip h. C th gii bi ton nh sau: Em em mt con tru (nu khng c tru tht th dng tru bng g chng hn) n nhp thm vo 17 con tru thnh mt n 18 con tru. Sau : - Chia cho ngi con c 1/2 n, tc l: 18 : 2 = 9 (con tru) - Chia cho ngi con th 1/3 n, tc l: 18 : 3 = 6 (con tru) - Chia cho ngi con t 1/9 n, tc l: 18 : 9 = 2 (con tru) Vy ba ngi con c va ng: 9 + 6 + 2 = 17 (con tru) Cn em li mang con tru ca mnh v.

  • Cch gii trn tuy hi l nhng cng d hiu: V 17 khng chia ht cho 2, cho 3 v cho 9; nhng khi c thm 1 con tru na th 18 lin chia ht cho 2, 3 v 9. Nh th m chia c. Song ci c o ca cch gii ny li ch khc c. Nu ta th thy ngay 9 con tru > 17/2 con tru (v18/2>17/2 ) 6 con tru > 17/3 con tru (v 18/3>17/3 ) 2 con tru > 17/9 con tru (v 18/9>17/9 ) Do trong cch chia trn ngi con no cng c hng li. y th m em li khng mt thm mt con tru no (con tru em n li dt v). Sao k vy? Ch b him y l do tng ba phn s biu th cc phn c chia theo di chc cha bng 1 (tc l cha bng c n tru), v: (1/2)+(1/3) +(1/9)=(9+6+2):18=17/18 (n tru) Nh vy, tht ra ngi cha ch di chc chia cho cc con c 17/18 n tru m thi, cn thiu 1/18 na th mi 18/18, tc l c n tru. Th nhng nh em em thm 1 con tru na ti nn chia c cho ba ngi con c n tru (hay n tru, gm 17 con). Do c ba ngi con u c chia nhiu hn phn nu di chc nhng em li khng tn thm mt con tru no! Tht l mt bi ton c o!

    Phm nh Thc(TP H Ch Minh)

    MT DNG TONDNG DU HIU CHIA HT

    Trong thng 9 cc em lp 5 hc v du hiu chia ht cho 2, 3, 5, 9. Cc em c lm quen vi dng ton in ch s thch hp vo du sao (*) tha mn iu kin chia ht cho mt s no . Chng hn : Bi ton1 : (bi 4 trang16 SGK ton 5)Vit ch s thch hp vo du sao (*) c s chia ht cho 9 :a) 4*95 ; b) 89*1; c) 891*; d) *891 cc bi ton ny ta ch cn da vo du hiu chia ht cho 9 tm ch s in vo du *. Khi hc ht du hiu chia ht cho 2, 3, 5, 9, cc em c th gii cc bi ton phi hp cc iu kin chia ht in nhng ch s thch hp :Bi ton 2 : Thay a, b trong s 2003ab bi ch s thch hp s ny ng thi chia ht cho 2, 5 v 9.Phn tch : Tm ch s no trc, mun tm ch s y da vo du hiu no ?b l ch s tn cng nn tm b da vo du hiu chia ht cho 2 v 5. Vy tm a s da vo du hiu chia ht cho 9. Mt s chia ht cho 2 v 5 khi s c tn cng l 0. T ta c cch gii sau.Gii : S 2003ab ng thi chia ht cho 2 v 5 nn b = 0. Thay b = 0 vo s 2003ab ta c 200a0. S ny chia ht cho 9 nn tng cc ch s ca n chia ht cho 9. Vy (2 +0 +0 +3 +0) chia ht cho 9 hay (5 +a) chia ht cho 9. V 5 chia cho 9 d 5 nn a ch c th l 4.Ta bit rng: A chia cho B d r tc l :- A - r chia ht cho B (1)

  • - A + (B - r) chia ht cho B (2)T cc bn c th gii quyt bi ton :Bi ton 3 : Cho A = x459y. Hy thay x, y bi ch s thch hp A chia cho 2 ; 5 v 9 u d 1.Nhn xt : A chia cho 2 ; 5 v 9 u d 1 nn A - 1 ng thi chia ht cho 2 ; 5 v 9. Vy ta c th gii bi ton da vo iu kin (1) A - r chia ht cho B gii.Gii : V A chia cho 2 ; 5 v 9 u d 1 nn A - 1 chia ht cho 2 ; 5 v 9. Vy ch s tn cng ca A - 1 phi bng 0, suy ra y = 1. V A - 1 chia ht cho 9 nn x + 4 + 5 + 9 + 0 chia ht cho 9 hay x + 18 chia ht cho 9. Do 18 chia ht cho 9 nn x chia ht cho 9, nhng x l ch s hng cao nht nn x khc 0. T x ch c th bng 9. Thay x = 9 ; y = 1 vo A ta c s 94591. bi ton trn A chia cho cc s c cng s d. By gi ta xt :Bi ton 4 : Tm s t nhin b nht chia cho 2 d 1, chia cho 3 d 2 ; chia cho 4 d 3 v chia cho 5 d 4.Tuy cc s d khc nhau nhng : 2 - 1 = 1 ; 3 - 2 = 1 ; 4 - 3 = 1 ; 5 - 4 = 1. Nh vy ta c th s dng iu kin (2) A + (B - r) chia ht cho B gii bi ton ny.Gii : Gi s cn tm l A. V A chia cho 2 d 1 v A chia cho 5 d 4 nn A + 1 ng thi chia ht cho 2 v 5. Vy ch s tn cng ca A + 1 l 0. Hin nhin A +1 khng th c 1 ch s. Nu A + 1 c 2 ch s th c dng x0. V x0 chia ht cho 3 nn x ch c th l 3 ; 6 ; 9 ta c s 30 ; 60 ; 90. Trong 3 s ch c 60 l chia ht cho 4.Vy A +1 = 60A = 60 - 1A = 59Do s cn tm l 59.Bi vit ny mi ch cp ti mt phng php vn dng tiu chun chia ht cho cc s. Gii cc bi ton xc nh cc ch s cha bit ca mt s cc bn c th tm thm nhng phng php khc v luyn tp qua cc bi tp sau :Bi 1 : Tm s t nhin nh nht khc 1 sao cho khi chia cho 2 ; 3 ; 4 ; 5 v 7 u d 1.Bi 2 : Cho s a765b ; tm a ; b khi thay vo s cho ta c s c 5 ch s chia cho 2 d 1 ; chia cho 5 d 3 v chia cho 9 d 7.Bi 3 : Hy vit thm 3 ch s vo bn phi s 567 c s l c 6 ch s khc nhau, khi chia s cho 5 v 9 u d 1. Bi 4 : Tm s c 4 ch s chia ht cho 2 ; 3 v 5, bit rng khi i ch cc ch s hng n v vi hng trm hoc hng chc vi hng nghn th s khng thay i.

    Chc cc bn thnh cng!

    Phng Hoa

    (Ng 201, Cu giy, H Ni

    QUY NG T S CC PHN S

    Trong cc sch gio khoa khng c bi hc v "quy dng t s cc phn s". Thc ra vic quy ng t s cc phn s c th a v vic quy ng mu s cc

  • phn s "o ngc" (ng ra l cc s nghch o ca phn s cho). Tuy nhin, trong nhiu trng hp th vic lm d gy ra s phin phc, hoc d b nhm ln. Mt s bi ton di y c th gii bng nhiu cch, trong c th dng cch quy ng mu s cc phn s. Tuy nhin y ch ni cach quy ng t s cc phn s. + V d 1. Ba khi lp c 792 hc sinh tham gia ng din th dc. Tm s hc sinh mi khi lp, bit rng 2/3 s hc sinh khi ba bng 1/2 s hc sinh khi bn v bng 40% s hc sinh khi nm. Quy ng t s cc phn s 2/3; 1/2; 40/100 Ta c: 1/2 = 2/4; 40/100 = 2/5 nh vy 2/3 s hc sinh khi ba bng 2/4 s hc sinh khi bn v bng 2/5 s hc sinh khi nm. Nh cc mu s ny m v s minh ho.

    Da trn s ny d dng tm c s hc sinh mi khi (khi ba c 198 HS; khi bn c 264 HS; khi nm c 330 HS). Cn lu rng cc phn s 2/3; 2/4; 2/5 c th gim 2 ln a 1/3 s HS khi ba bng 1/4 s HS khi bn v bng 1/5 s HS khi nm (tr thnh bi ton c bn). + V d 2. Tm hai s, bit rng 3/4 ca s th nht bng 6/11 ca s th hai; s th hai ln hn s th nht l 1935 dn v. Quy ng t s cc phn s 3/4 v 6/11. Ta c 3/4 = 6/8 Nh vy 6/8 ca s th nht bng 6/11 ca s th hai; hay 1/8 ca s th nht bng 1/11 ca s th hai.

    Da trn s ny c th tm c mi s (s th nht l 5160; s th hai l 7095). T nhng v d trn cho thy vic quy ng t s lm vic xc nh t s ca hai s c d dng, thun tin hn.

    PGS.TS Trung Hiu

    S ON THNG VI CC PHN BNG NHAU

    Trong dng ton : "Tm hai s khi bit tng v t s" phng php gii bng s on thng l phng php ph hp nht vi t duy cn mang tnh trc quan ca hc sinh tiu hc. Khi v s , mi s c biu th bng mt s phn bng nhau th hin t s, chng hn :

    Bi ton 1 : Hai s c tng bng 360, bit 1/4 s th nht bng 1/6 s th hai. Tm hai s .

    Phn tch : Bi ton cho bit mt phn t ca s th nht bng mt phn su ca s

  • th hai, trong khi s th nht chia lm 4 phn bng nhau, th s th hai s l 6 phn nh th.Gii : Ta c s sau :

    S th nht l : 360 : (4 + 6) x 4 = 144S th hai l : 360 - 144 = 216p s : S th nht : 144 ; S th hai : 216.Nhn xt : Bi ton 1, phn s 1/4 v 1/6 l hai phn s c t s bng 1. Nu ta thay hai phn s ny bi hai phn s c t s bng nhau, chng hn 3/4 v 3/6 th vn a c v bI ton 1. Vy khi t s ca hai phn s khc nhau th ta cn quy ng t s. Bi ton 2 : Hai s c tng l 230. Bit 3/4 s th nht bng 2/5 s th hai. Tm hai s .Phn tch : Bi ton ny khng v s ngay nh bi ton 1 c v v khng cng t s. Vy a bi ton ny v dng bi ton 1 ta phi chuyn 3/4 v 2/5 v hai phn s cng t s (quy ng t s).Ta c : 3/4 = 6/8; 2/5 = 6/15. Vy 3/4 s th nht bng 2/5 s th hai hay 6/8 s th nht bng 6/15 s th hai. Do 1/8 s th nht bng 1/15 s th hai. n y bi ton hon ton tng t bi ton 1.Gii : 3/4 s th nht bng 2/5 s th hai hay 6/8 s th nht bng 6/15 s th hai. Do 1/8 s th nht bng 1/15 s th hai nn s th nht chia lm 8 phn bng nhau th s th hai gm 15 phn nh th. Ta c s :

    S th nht l : 230 : (8 + 15) x 8 = 80S th hai l : 230 - 80 = 150p s : S th nht : 80 ; S th hai : 150.Ta c th thay i gi thit bi ton c thm cc bc tnh na mi tr v dng bi ton 2. Ta xt bi ton sau :Bi ton 3 : Hai s c tng l 230. Nu bt s th nht i 1/4 ca n v bt s th hai i 3/5 ca n th c hai s mi bng nhau. Tm hai s ban u.Phn tch : T gi thit ta thy 1- 1/4 = 3/4 (s th nht) ng bng 1- 3/5 = 2/5 (s th hai). Do bI ton tr v bI ton 2By gi ta xt tnh hung phc tp hnBi ton 4 : Tng hai s bng 104. Tm hai s bit rng 1/4 s th nht km 1/6 s th hai l 4 n v.Gii: 1/4 s th nht cng thm 4 n v th bng 1/6 s th hai nn s th hai chia lm 6 phn bng nhau th mi phn chnh l 1/4 s th nht cng thm 4 n v. Ta c s :

  • Bi ton 5 : Ba tm vi di 105 m. Nu ct i 1/9 tm vi th nht,3/7 tm vi th hai v 1/3 tm vi th ba th phn cn li ca ba tm vi bng nhau. Hi lc u mi tm vi di bao nhiu mt ?

    Cc em hy t gii bi ton ny nh !

    Nguyn Th Thin(GV trng TH Hp Lnh, Tin Du, Bc Ninh)

    MT DNG TON V PHN S

    Khi hc v phn s cc em c lm quen vi nhiu bi ton c li vn m khi gii phi chuyn chng v dng ton in hnh. Trong bi vit ny ti xin trao i v mt dng ton nh th thng qua mt s v d sau : V d 1 : Tm mt phn s bit rng nu nhn t s ca phn s vi 2, gi nguyn mu s th ta c mt phn s mi hn phn s ban u l 7/36. Phn tch : Ta bit nhn mt phn s vi s t nhin ta ch vic nhn t ca phn s vi s t nhin v gi nguyn mu s. Vy nhn t s ca phn s vi 2, gi nguyn mu s tc l ta gp phn s ln 2 ln. Bi ton c chuyn v bi ton tm hai s bit hiu v t. Bi gii : Nu nhn t s ca phn s vi 2, gi nguyn mu s ta c phn s mi. Vy phn s mi gp 2 ln phn s ban u, ta c s :

    Phn s ban u l :

    V d 2 : Tm mt phn s bit rng nu ta chia mu s ca phn s cho 3, gi nguyn t s th gi tr ca phn s tng ln 14/9. Phn tch : Phn s l mt php chia m t s l s b chia, mu s l s chia. Khi chia mu s cho 3, gi nguyn t s tc l ta gim s chia i 3 ln nn thng gp ln 3 ln hay gi tr ca phn s gp ln 3 ln. Do phn s mi gp 3 ln phn s ban u. Bi ton chuyn v dng tm hai s bit hiu v t. Bi gii : Khi chia mu ca phn s cho 3, gi nguyn t s th ta c phn s mi nn phn s mi gp 3 ln phn s ban u, ta c s :

    Phn s ban u l :

  • V d 3 : An ngh ra mt phn s. An nhn t s ca phn s vi 2, ng thi chia mu s ca phn s cho 3 th An c mt phn s mi. Bit tng ca phn s mi v phn s ban u l 35/9. Tm phn s An ngh. Phn tch : Khi nhn t s ca phn s vi 2, gi nguyn mu s th phn s gp ln 2 ln. Khi chia mu s ca phn s cho 3, gi nguyn t s th phn s gp ln 3 ln. Vy khi nhn t s ca phn s vi 2 ng thi chia mu s ca phn s cho 3 th phn s gp ln 2 x 3 = 6 (ln). Bi ton c chuyn v dng ton in hnh tm 2 s bit tng v t. Bi gii : Khi nhn t s ca phn s An ngh vi 2 ng thi chia mu s ca phn s cho 3 th c phn s mi. Vy phn s mi gp phn s ban u s ln l : 2 x 3 = 6 (ln), ta c s :

    Phn s ban u l :

    T 3 v d trn ta rt ra mt nhn xt nh sau : Mt phn s : - Nu ta tng (hoc gim) t s bao nhiu ln v gi nguyn mu s th phn s tng (hoc gim) by nhiu ln. - Nu ta gim (hoc tng) mu s bao nhiu ln v gi nguyn t s th phn s tng (hoc gim) by nhiu ln. Cc bn hy th sc ca mnh bng mt s bi ton sau y : Bi 1 : Tm mt phn s bit rng nu tng t s ln 6 ln, ng thi tng mu s ln 2 ln th gi tr phn s tng 12/11. Bi 2 : Ton ngh ra mt phn s sau Ton chia t s ca phn s cho 2 v nhn mu s ca phn s vi 4 th Ton thy gi tr ca phn s gim i 15/8. Tm phn s m Ton ngh. Bi 3 : T mt phn s ban u, Hc nhn t s vi 3 c phn s mi th nht, chia mu s cho 2 c phn s mi th hai, chia t s cho 3 ng thi nhn mu s vi 2 c phn s mi th ba. Hc thy tng ba phn s mi l 25/8. bn tm c phn s ban u ca Hc.

    Ng Vn Nghi(Gio vin trng TH Nam o, th trn Nam Giang, Nam Trc, Nam nh)

    BI TON TNH TUI

    Trong nhiu loi ton, ngi ta thng n nhng i lng khng thay i. i vi bi ton tnh tui th i lng chnh l hiu s gia tui ca hai ngi. Da vo i lng ny ta c th gii c nhiu bi ton tnh tui.

  • Bi ton 1 : Hin nay, tui b gp 7 ln tui con. Sau 10 nm na, tui b gp 3 ln tui con. Tnh tui mi ngi hin nay.Phn tch : Bi ton yu cu tnh s tui ca hai b con hin nay nhng ch cho bit :- T s tui ca hai b con hai thi im khc nhau.- Khong cch thi gian gia hai thi im .Nhng ta c th d dng pht hin ra mt iu kin na ca bi ton, l "hiu s tui ca hai b con l khng i". T ta c th gii c bi ton nh sau.Gii : Hin nay, nu tui con l 1 phn th tui b l 7 phn nh th. Ta c s th nht :

    Hiu s tui ca hai b con hin nay l : 7 - 1 = 6 (phn)Hin nay t s gia tui con v hiu s tui ca hai b con l 1 : 6 = 1/6Sau 10 nm na, nu tui con l 1 phn th tui b l 3 phn nh th (mi phn by gi c gi tr khc mi phn trn). Ta c s th hai :

    Sau 10 nm hiu s tui ca hai b con l : 3 - 1 = 2 (phn)Sau 10 nm t s gia tui con v hiu s tui ca hai b con l 1 : 2 = 1/2 V hiu s tui ca hai b con khng bao gi thay i nn ta c th so snh v t s gia tui con hin nay v tui con sau 10 nm na.- Tui con hin nay bng 1/6 hiu s tui ca hai b con.- Tui con sau 10 nm na bng 1/2 hay 3/6 hiu s tui ca hai b con.Vy tui con sau 10 nm na gp 3 ln tui con hin nay. Ta c s tui con hai thi im :

    Tui con hin nay l : 10 : 2 = 5 (tui)Tui b hin nay l : 5 x 7 = 35 (tui)p s : Con : 5 tui ; B : 35 tuiBi ton 2 : Trc y 4 nm tui m gp 6 ln tui con. Sau 4 nm na, t s gia tui con v tui m l 3/8 Tnh tui mi ngi hin nay.Phn tch : Bi ton ny t ra ba thi im khc nhau (Trc y 4 nm, hin nay v sau y 4 nm). Nhng chng ta ch cn khai thc bi ton hai thi im : Trc y 4 nm v sau y 4 nm na. Ta phi tnh c khong cch thi gian gia hai thi im ny. Bi ton ny c th gii tng t nh bi ton 1.Gii : Trc y 4 nm nu tui con l 1 phn th tui m l 6 phn nh th.Hiu s tui ca hai m con l : 6 - 1 = 5 (phn)Vy t s gia tui con v hiu s tui ca hai m con l 1 : 5 = 1/5Sau 4 nm na, nu tui con c chia thnh 3 phn bng nhau th tui m s c 8 phn nh th.Hiu s tui ca hai m con l : 8 - 3 = 5 (phn)Vy sau 4 nm na t s gia tui con v hiu s tui ca hai m con l 3 : 5 = 3/5V hiu s tui ca hai m con l khng thay i nn ta c th so snh tui con trc

  • y 4 nm v tui con sau y 4 nm. Ta c tui con sau 4 nm na gp 3 ln tui con trc y 4 nm v tui con sau 4 nm na hn tui con trc y 4 nm l : 4 + 4 = 8 (tui).Ta c s tui con hai thi im :

    Tui con trc y 4 nm l : 8 : (3 - 1) = 4 (tui)Tui m trc y 4 nm l : 4 x 6 = 24 (tui)Tui con hin nay l : 4 + 4 = 8 (tui)Tui m hin nay l : 24 + 4 = 28 (tui)p s : Con : 8 tui ; M : 28 tuiCh : vn dng tt th thut gii ton ny, cc em cn nm vng kin thc v t s v i lng khng i i vi bi ton tnh tui. Cc em c th gii quyt c nhiu bi ton kh ca dng ton tnh tui bng th thut ny y. Hy th sc mnh vi cc bi ton sau.Bi 1 : Hin nay tui anh gp 3 ln tui em. Sau 14 nm na, t s gia tui anh v tui em l 5/4 Tnh tui mi ngi hin nay.Bi 2 : Trc y 2 nm, t s gia tui An v tui b l 1/4. Sau 10 nm na, t s gia tui b v tui An l 11/5. Tnh tui mi ngi hin nay.Bi 3 : Trc y 4 nm, tui b gp 7 ln tui con v tui ng gp 2 ln tui b. Sau 4 nm na, t s gia tui chu v tui ng l 3/16. Tnh tui mi ngi hin nay.

    BI TON V PHP CHIA C D LP 3

    lp 3 hc sinh c hc v php chia c d, cch thc hin php chia c d, mi quan h gia s d v s chia. Trong qu trnh luyn tp, thc hin v php chia c d hc sinh c lm quen vi php chia c d. Vic gii bi ton ny khng c g khc bit so vi gii bi ton v php chia ht. Do c im ca cch din t v php chia nn cch trnh bi gii c khc nhau. V d 1 : C 31 mt vi, may mi b qun o ht 3 mt vi. Hi c th may c nhiu nht bao nhiu b qun o nh th v cn tha my mt vi ? Bi gii : Thc hin php chia ta c : 31 : 3 = 10 (d1). Vy c th may c nhiu nht l 10 b qun o nh th v cn tha 1 mt vi. p s : 10 b, tha 1 mt vi. Trong bi gii c hai im khc vi vic trnh by bi gii bi ton n l : Kt qu ca php tnh khng ghi tn n v, cu tr li t sau php tnh. V d 2 : Mt lp hc c 33 hc sinh. Phng hc ca lp ch c loi bn 2 ch ngi. Hi cn c t nht bao nhiu bn hc nh th ? Bi gii : Thc hin php chia ta c : 33 : 2 = 16 (d 1). S bn c 2 hc sinh ngi l 16 bn, cn 1 hc sinh cha c ch ngi nn cn c thm 1 bn na. Vy cn s bn t nht l : 16 + 1 = 17 (ci bn)

  • p s: 17 ci bn. Trong bi gii ny ngoi php tnh chia c d, cn c php cng kt qu php chia vi 1 (cn lu hc sinh : s 1 ny khng phi l s d). V d 3 : on khch du lch c 50 ngi, mun thu xe loi 4 ch ngi. Hi cn thu t nht bao nhiu xe ch ht s khch ? Bi gii : Thc hin php chia ta c : 50 : 4 = 12 (d 2). C 12 xe mi xe ch 4 ngi khch, cn 2 ngi khch cha c ch nn cn c thm 1 xe na. Vy s xe cn t nht l : 12 + 1 = 13 (xe). p s : 13 xe t. V d 4 : Cn c t nht bao nhiu thuyn ch ht 78 ngi ca on vn cng qua sng, bit rng mi thuyn ch ngi c nhiu nht l 6 ngi, k c ngi li thuyn ? Bi gii : Mi thuyn ch ch c s khch nhiu nht l : 6 - 1 = 5 (ngi) Thc hin php chia ta c : 78 : 5 = 15 (d 3). C 15 thuyn, mi thuyn ch 5 ngi khch, cn 3 ngi khch cha c ch ngi nn cn c thm 1 thuyn na. Vy s thuyn cn c t nht l : 15 + 1 = 16 (thuyn). p s : 16 thuyn. Trong 4 v d trn cu hi ca bi ton v php chia c d u c thut ng nhiu nht hoc t nht. Tuy nhin cng c bi ton v php chia c d m khng cn c cc thut ng . V d 5 : Nm nhun c 366 ngy. Hi nm gm bao nhiu tun l v my ngy ? Bi gii : Mt tun l c 7 ngy. Thc hin php chia ta c : 366 : 7 = 52 (d 2). Vy nm nhun gm 52 tun l v 2 ngy. p s : 52 tun l v 2 ngy. V d 6 : Hm nay l ch nht. Hi 100 ngy sau s l th my ca tun l ? Bi gii : Mt tun l c 7 ngy. Thc hin php chia ta c : 100 : 7 = 14 (d 2). Sau ng 14 tun li n ngy ch nht v hai ngy sau l ngy th ba. Vy 100 ngy sau l ngy th ba trong tun l. p s : ngy th ba. Xin gii thiu cng bn c tham kho mt bi ton hay trong K thi Olympic ng Nam nm 2003 (Ton Tui th s 40) : Bi ton : Mt xe but c va c th ch 30 hnh khch, mt xe but c nh c th ch 8 hnh khch, mt xe but c ln c th ch 52 hnh khch. Hi cn bao nhiu xe but c ln ch c tt c hnh khch ca 8 xe but c va y hnh khch v 13 xe but c nh y hnh khch ?

  • Trung Hiu(H Ni)

    MT PHNG PHP GII TON

    Trong thc t ta gp nhiu bi ton v cng vic chung. Khi gii cc bi ton dng ny ta c th hiu mt cng vic nh l mt n v v biu th thnh nhiu phn bng nhau sao cho ph hp vi cc iu kin ca bi ton, thun tin cho vic tnh ton v gii bi ton . Ta xt mt vi v d sau : V d 1 : Ba ngi cng lm mt cng vic. Ngi th nht c th hon thnh cng vic trong 3 ngy. Ngi th hai c th hon thnh mt cng vic nhiu gp 3 ln cng vic trong 8 ngy. Ngi th ba c th hon thnh mt cng vic nhiu gp 5 ln cng vic trong12 ngy. Hi c ba ngi cng lm cng vic ban u th s hon thnh trong bao nhiu gi, nu mi ngy lm 9 gi ? Phn tch : Mun tnh xem c ba ngi cng lm cng vic ban u trong bao lu ta phi bit c s phn cng vic c ba ngi lm trong mt ngy. Mun tm c s phn cng vic c ba ngi lm trong mt ngy th phi tm c s phn cng vic mi ngi lm trong mt ngy. S phn cng vic lm trong mt ngy ca mi ngi chnh bng s phn cng vic chung chia cho s ngy. Do s phn cng vic chung phi chia ht cho s ngy. S nh nht chia ht cho 3, 8 v 12 l 24. Vy ta coi mt cng vic chung c giao l 24 phn bng nhau tm s phn cng vic ca mi ngi trong mt ngy. Bi gii : Coi mt cng vic chung c giao l 24 phn bng nhau th s phn cng vic ca ngi th nht lm trong mt ngy l : 24 : 3 = 8 (phn). S phn cng vic ngi th hai lm trong mt ngy l : 24 : 8 3 = 9 (phn). S phn cng vic ngi th ba lm trong mt ngy l : 24 : 12 5 = 10 (phn). S phn cng vic c ba ngi lm trong mt ngy l : 8 + 9 + 10 = 27 (phn). Thi gian cn c ba ngi cng lm xong cng vic ban u l :

    S gi cn c ba ngi hon thnh cng vic ban u l :

    V d 2 : cy xong mt cnh ng, my cy th nht cn 9 gi, my cy th hai cn 15 gi. Ngi ta cho my cy th nht lm vic trong 6 gi ri ngh my cy th hai lm tip cho n khi cy xong din tch cnh ng ny. Hi my cy th hai lm trong bao lu ? Phn tch : bi ny cng vic chung chnh l din tch cnh ng. Theo cch phn tch bi ton 1, din tch cnh ng biu th s phn l s nh nht chia ht cho 9 v 15. Nu coi din tch cnh ng l 45 phn bng nhau th s tm c s phn din tch ca mi my cy trong mt gi. T ta tm c thi gian my cy th hai lm. Bi gii : Coi din tch cnh ng l 45 phn bng nhau th mi gi ngy th nht cy c s phn din tch l : 45 : 9 = 5 (phn). Trong 6 gi my cy th nht cy c s phn din tch l : 5 x 6 = 30 (phn). S phn din tch cn li l : 45 - 30 = 15 (phn).

  • Mi gi my th hai cy c s phn din tch l : 45 : 15 = 3 (phn). Thi gian my th hai cy nt s phn din tch cn li l : 15 : 3 = 5 (gi). V d 3 : Ba vi cng chy vo b nc th sau 1 gi 20 pht s y b. Nu ring vi th nht th sau 6 gi s y b, ring vi th hai chy th sau 4 gi s y b. Hi ring vi th ba chy th sau my gi y b ? Phn tch : 1 gi 20 pht = 80 pht ; 6 gi = 360 pht ; 4 gi = 240 pht. Mun tnh ring vi th ba chy y b trong bao lu th phi bit mi pht vi th ba chy c my phn ca b. tnh c s phn b vi th ba chy trong mt pht ta phi tnh s phn b vi th nht, vi th hai chy trong mt pht. Nh vy s phn ca cng vic chung phi chia ht cho thi gian ca tng vi, tc l chia ht cho 80 ; 360 ; 240. S nh nht chia ht cho 80 ; 240 v 360 l 720. bi ton ny cng vic chung l lng nc y b, nn biu th lng nc y b l 720 phn, ta gii v d ny nh sau : Bi gii : Coi lng nc y b l 720 phn bng nhau th mi pht c ba vi cng chy c s phn b l : 720 : 80 = 9 (phn). Mi pht vi th nht chy mt mnh c s phn ca b l : 720 : 360 = 2 (phn). Mi pht vi th hai chy mt mnh c s phn ca b l : 720 : 240 = 3 (phn). Do mi pht vi th ba chy mt mnh c s phn ca b l : 9 - (2 + 3) = 4 (phn). Thi gian vi th ba chy mt mnh y b l : 720 : 4 = 180 (pht). i 180 pht = 3 gi. Vy sau 3 gi vi th ba chy mt mnh s y b. Ba v d trn cn c cch gii khc, nhng ti mun a ra cch gii ny cc em hc sinh lp 4 cng c th lm quen v gii tt cc bi ton dng ny. By gi bn c hy th sc vi cc bi ton sau nh. Bi 1 : Sn v Hi nhn lm chung mt cng vic. Nu mt mnh Sn lm th sau 3 gi s xong vic, cn nu Hi lm mt mnh th sau 6 gi s xong cng vic . Hi c hai ngi cng lm th sau my gi s xong cng vic . Bi 2 : Hai vi nc cng chy vo b nc th sau 1 gi 12 pht s y b. Nu mt mnh vi th nht chy th sau 2 gi s y b. Hi nu mt mnh vi th hai chy th my gi y b ? Bi 3 : Ba ngi d nh p xong mt con ng. Ngi th nht c th p xong con ng trong 3 tun. Ngi th hai c th p xong mt con ng di gp 3 ln con ng trong 8 tun. Ngi th ba c th p xong mt con ng di gp 5 ln con ng trong 12 tun. Hi c ba ngi cng p con ng d nh ban u th s hon thnh trong bao nhiu gi, nu mi tun lm vic 45 gi ?

    Phan Duy Ngha(Xm 9, c Lm, c Th, H Tnh)

    S D TRONG PHP CHIA

  • LTS: Bi vit ca c gio Minh Hiu khng ch b ch cho cc thy gio, c gio m cn kh l th i vi cc bn hc sinh. Trong thi hc sinh gii bc Tiu hc ca H Ni nm 2002 cng c bi 1 vi ni dung ny (TTT s 22). TTT hoan nghnh v mong nhn c nhiu bi trao i ca bn c trong c nc. Trong qu trnh dy hc php chia, vic ch ra s d trong cc php chia tng nh rt n gin nhng li rt hay nhm ln. C nhiu cch ch ra s d trong php chia v sau y l mt cch rt n gin m li kh qun. Cc bn hy i cng ti v ch ra nhng khim khuyt vn ti a ra c hon chnh nh! 1. Cc dng s d trong cc php chia ca chng trnh Ton lp 4 tr xung. Chia mt s t nhin cho mt s t nhin.

    Dng ny rt n gin, cc bn nhn ra ngay nn ti khng phn tch nhiu! 2. Cc dng s d trong cc php chia ca chng trnh Ton 5.

    - Nu nh ti khng ghi s d bng trn th rt nhiu bn cho rng s d trong cc php chia trn l 9 hoc 0,9 ... (Rt nhiu hc sinh ca ti nhm rng s d u l 9). Sau y l cch xc nh chnh xc s d trong cc php chia trn:

    - n y cc bn hiu ti cha? - C nhng hc sinh kim tra php chia ca mnh nh th ny: VD c) Ly 3 x 27 + 9 = 90 VD h) Ly 3,333 x 27 + 0,009 = 90 Bn ngh sao? Thc cht s d ca hai php chia ny phi l 900 v 0,00009! * Ni tm li: Ti ni th rt di nhng cc bn ch cn nh hai iu sau:

  • 1) Khi s chia, thng ca php chia l s thp phn th s d l s thp phn. 2) S lng ch s phn thp phn ca s d bng tng s lng cc ch s trong phn thp phn ca s chia v thng. Chng hn:

    Rt mong cc bn trao i tip. Xin cm n cc bn!

    Nguyn Th Minh Hiu (GV trng TH Vn Ninh, Gia Bnh, Bc Ninh)

    TON V CC I LNG T L THUN

    Chng trnh ton 4 gii thiu cc bi ton v i lng t l nghch ngay sau khi cc em c lm quen vi cc bi ton v i lng t l thun. Trong bi vit Ton v cc i lng t l thun ca tc gi Vn Thn ng trn TTT s 43 gip cc bn nm c phng php gii cc bi ton c ti 3 i lng m hai i lng bt k u t l thun. cc bn nhn bit nhanh v gii thnh tho cc bi ton v cc i lng t l nghch chng ta cng tm hiu my v d sau : V d 1 : 14 ngi p xong mt on ng trong 6 ngy. Hi 28 ngi p xong on ng trong bao nhiu ngy ? (Nng sut lao ng ca mi ngi nh nhau). Tm tt : 14 ngi p xong on ng : 6 ngy 28 ngi p xong on ng : ? ngy Tng t nh ton v cc i lng t l thun, ton v cc i lng t l nghch cng c 2 cch gii. *Cch 1 : Rt v n v Mt ngi p xong on ng trong s ngy l : 6 x 14 = 84 (ngy) 28 ngi p xong on ng trong s ngy l : 84 : 28 = 3 (ngy) *Cch 2 : Dng t s 28 ngi so vi 14 ngi th gp : 28 : 14 = 2 (ln) 28 ngi p xong on ng trong s ngy l : 6 : 2 = 3 (ngy) V d 1 l mt bi ton c bn v 2 i lng t l nghch. Nm vng c phng php gii ca bi ton c bn chng ta c th gii c bi ton c ti 3 i lng m hai i lng bt k u t l nghch. Cc bn hy theo di v d sau : V d 2 : Nu c 4 ngi mi ngy lm vic 5 gi th p xong on ng trong 12 ngy. Hi nu c 6 ngi mi ngy lm vic 10 gi th p xong on ng y trong bao nhiu ngy (nng sut lao ng ca mi ngi nh nhau).

  • Tm tt : 4 ngi mi ngy lm 5 gi : 12 ngy 6 ngi mi ngy lm 10 gi : ? ngy Vic gii bi ton ny ta cng a v gii lin tip hai bi ton n m hai i lng trong bi t l nghch. *Cch 1 : Gii lin tip hai bi ton sau : Bi ton 1a : Nu 4 ngi mi ngy lm vic 5 gi th p xong on ng trong 12 ngy. Hi : Nu 6 ngi mi ngy lm vic 5 gi th p xong on ng trong my ngy ? (nng sut lao ng ca mi ngi nh nhau). Bi ton trn c nh s gi lm vic trong mi ngy v cng vic phi lm (p xong on ng nh) nn s ngi v s ngy l hai i lng t l nghch. Ta d dng gii c bi ton v tm c p s l 8 ngy. Bi ton 2a : Nu 6 ngi mi ngy lm vic 5 gi th p xong on ng trong 8 ngy. Hi nu 6 ngi mi ngy lm vic 10 gi th s p xong on ng trong my ngy ? (nng sut lao ng ca mi ngi nh nhau). Vn cng vic y, bi ton 2 c nh s ngi (u c 6 ngi) nn s gi lm vic trong mi ngy v s ngy l hai i lng t l nghch. Gii bi ton ny ta tm c p s l 4 ngy. p s ny cng chnh l p s ca v d 2. Ta c th by li gii ca v d 1 nh sau : Mt ngi mi ngy lm vic 5 gi p xong on ng trong s ngy l : 12 x 4 = 48 (ngy) 6 ngi mi ngy lm vic 5 gi p xong on ng trong s ngy l : 48 : 6 = 8 (ngy) 10 gi so vi 5 gi th gp : 10 : 5 = 2 (ln) 6 ngi mi ngy lm vic 10 gi th p xong on ng trong s ngy l : 8 : 2 = 4 (ngy) *Cch 2 : Gii lin tip hai bi ton sau : Bi ton 1b : Nu 4 ngi mi ngy lm vic 5 gi th p xong mt on ng trong 12 ngy. Hi nu 4 ngi y, mi ngy lm vic 10 gi th p xong on ng y trong my ngy ? (sc lao ng ca mi ngi nh nhau). Bi ton c nh cng vic (p xong mt on ng) v s ngi (u c 4 ngi) nn s gi lm vic trong mi ngy v s ngy l hai i lng t l nghch. Gii bi ton trn ta tm c p s l 6 ngy. Bi ton 2b : Nu 4 ngi, mi ngy lm vic 10 gi th p xong on ng trong 6 ngy. Hi nu 6 ngi, mi ngy lm vic 10 gi th p xong on ng y trong my ngy ? (sc lao ng ca mi ngi nh nhau). Vn cng vic y, bi ton ny c nh s gi lm vic trong mi ngy nn s ngi v s ngy l hai i lng t l nghch. Ta d dng gii c bi ton ny v tm ra p s l 4 ngy. p s ny cng chnh l p s ca v d 2. Trnh by li gii nh sau : 10 gi so vi 5 gi th gp : 10 : 5 = 2 (ln) 4 ngi mi ngy lm vic 10 gi th p xong on ng trong s ngy l : 12 : 2 = 6 (ngy) Mt ngi mi ngy lm vic 10 gi th p xong on ng trong s ngy l : 6 x 4 = 24 (ngy) 6 ngi mi ngy lm vic 10 gi th p xong on ng trong s ngy l : 24 : 6 = 4 (ngy).

  • V d 3 : Nu mi ca c 24 cng nhn, mi cng nhn ng 2 my th dt c 720 mt vi. Nu mi ca ch c 12 cng nhn nhng phi dt 1440 mt vi th mi cng nhn phi ng my my ? (nng sut mi my nh nhau). Vic gii v d trn ta c th a v gii lin tip 2 bi ton n bng 2 cch trong c 1 bi ton v hai i lng t l thun, mt bi ton v 2 i lng t l nghch. Cng c th a v gii lin tip 2 bi ton t l thun. Cc bn hy gii tt c cc cch y nhng nh nhn bit ngay c bi no thuc dng no trnh nhm ln ng tic. TTT khuyn khch vic sng tc cc bi ton tng t v s c qu cho cc bn c hay nht gi v sm nht. Hy nhanh ln cc bn nh !

    Kim Chi (T Lim, H Ni)

    TRNG CY TRONG TON

    Trng cy c ngha thc tin quan trng: lc sch khng kh, iu tit kh hu, lm p thnh ph, duy tr sinh thi,... Nh vy, trng cy c g lin quan n ton hc? ng nhin l c. Ton trng cy gy nhiu hng th cho ngi gii bi l n kt hp c hnh hc ln s hc v mt l na l n c nhiu cch gii. Tm ra mt cch gii kh ri v tm thm nhng cch gii khc li cng kh hn. Th nhng iu ny vn lun lun hp dn chng ta. Cc bn cha tin ? Vy th trc ht cc bn hy gii bi ton sau th xem. Bi ton: Bn hy trng 10 cy thnh 5 hng, mi hng gm 4 cy. Bnh thng mun trng 5 hng, mi hng c 4 cy th phi cn 4 x 5 = 20 cy. Nhng y li c 10 cy, nn mi cy phi s dng 2 ln. T ta tm c cch trng nh sau: Ly compa v mt ng trn, trn ng trn ly 5 im bng s hng cn trng. Ni ln lt im vi mt im khc, sao cho nu ta nh s th t cc im theo mt chiu no , th cc s ca hai im ui ni vi nhau hn km nhau bng mt na s cy trng mi hng. Cc on thng l cc hng ct nhau, ti cc im l cc cy cn trng (xem hnh v 1)

    Khi c mt p n (mt hnh v), c cc p n khc ca bi ton chng ta lm nh sau: - Ko di cc on thng v hai pha thnh cc ng thng. - Ln lt dch chuyn mt s ng thng trong n cc v tr mi, chng ct cc ng thng cn li ti mt s im ct trc y.

  • C th: Vi hnh 1, chng ta ko di cc on thng v hai pha thnh cc ng thng.

    Dch chuyn mt ng thng trong s cc ng thng . S ghi trn ng thng ch s ln dch chuyn v ng vi mi ln dch chuyn cho ta mt p n ca bi ton. T , ta c 6 cch trng cy tha mn yu cu ca bi ton.

    Cc bn hy tm thm cc cch trng khc na nh! Qu tht, vi cch hc ton nh th ny i khi cng th v y ch, phi khng cc bn?

  • Cc bn th dng cch lm trn y gii bi ton sau: Bn hy trng 20 cy thnh 8 hng, mi hng gm 5 cy.

    Phan Duy Ngha(40A2, khoa GDTH i Hc Vinh)

    S DNG CHN TRN, CHN DI TRONG GII TON

    C th ni khi gii cc bi ton tiu hc, s dng chn trn, chn di gip cho vic gii nhiu bi ton tr nn sng sa, mch lc v c mt tc dng khng nh i vi vic rn t duy ton hc cho hc sinh tiu hc. Tuy nhin th thut trn ch l mt bc trong dy cc bc gii mt bi ton v th n t c lu vi hc sinh. gip cc bn hc sinh lm quen vi php suy lun trn, chng ta hy cng nhau gii mt s bi ton sau :Bi 1 : Tm abc , bit:abc + ab + c = 263.Bi gii :Cch 1 : (S dng chn trn)C : abc nh hn hoc bng 262 . Vy a = 1 ; 2.*a = 1 : 1bc + 1b + c = 263100 + b x 10 + c + 10 + b + c = 263110 + b x 11 + c x 2 = 263 (cu to thp phn ca s)b x 11 + c x 2 = 263 - 110 (tm s hng cha bit)b x 11 + c x 2 = 153V 153 l, c x 2 chn nn b x 11 l.Vy b = 1 ; 3 ; 5 ; 7.Kim tra b = 1 ; 3 ; 5 ; 7 loi.*a = 2 : 2bc + 2b + c =263200 + b x 10 + c + 20 + b + c = 263220 + b x 11 + c x 2 = 263 (cu to thp phn ca s)b x 11 + c x 2 = 263 - 220 (tm s hng cha bit)b x 11 + c x 2 = 43V 43 l, c x 2 chn nn b x 11 l.b x 11 < 44. Vy b = 1 ; 3.Nu b = 1 : 11 + c x 2 = 43c x 2 = 43 - 11c x 2 = 22 (loi)Nu b = 3 : 33 + c x 2 = 43c x 2 = 43 - 33c x 2 = 10c = 10 : 2c = 5

  • Vy abc = 235.Th li : 235 + 23 + 5 = 263 (ng).Cch 2 : (S dng chn trn v chn di)C : abc nh hn hoc bng 263 Vy a nh hn hoc bng 2.V 199 + 19 + 9 = 227 < 263Vy suy ra a > 1.Vy a = 2 tr v trng hp 2 cch 1.Bi 2 : Mt hnh ch nht c chiu di 50 m. Gi nguyn chiu di v tng chiu rng thm 10 m, ta c hnh ch nht mi, hnh ch nht mi ny c din tch bng din tch hnh vung c cnh ln hn 53 m. Bit s o cnh hnh vung l s t nhin, hy tm chiu rng ca hnh ch nht cho ?( thi hc sinh gii H Ni, 1984 - 1985)Bi gii : Gi ABCD l hnh ch nht ban u (AB = 50 m) ; ABMN l hnh ch nht mi.

    Din tch hnh ch nht DCMN l : 50 x 10 = 500 (m2)Din tch hnh ch nht ABCD khng vt qu : 50 x 50 = 2500 (m2)Vy din tch hnh ch nht mi khng vt qu : 2500 + 500 = 3000 (m2)Bit s o ca cnh hnh vung l s t nhin ln hn 53 m. Vy cnh hnh vung l 54 m th din tch hnh ch nht mi l : 54 x 54 = 2916 (m2) < 3000 m2Nu cnh hnh vung l 55 m th din tch hnh ch nht mi l : 55 x 55 = 3025 (m2) > 3000 m2.Vy din tch hnh ch nht mi l 2916 m2.Chiu rng hnh ch nht c l :2916 : 50 - 10 = 48,32 (m).p s : 48,32 m.Bi 3 : Mt c quan t chc i trng cy. Mt phn ba s nhn vin mang theo con, nhng ch mang theo 1 con. Nhn vin nam trng 13 cy, nhn vin n trng 10 cy, tr em trng 6 cy.Hi c quan c bao nhiu nhn vin nam ? Bao nhiu nhn vin n ? Bit h trng c tt c 216 cy.( thi hc sinh gii lin tnh Hng Cng)Bi gii :(Dng chn trn, chn d)i.Theo bi, mt nhn vin nam trng nhiu cy hn mt nhn vin n nn bng php th, ta bit c :S nhn vin t hn 18 ngi v nu s nhn vin bng 18 ngi th s cy trng t nht (khi nhn vin ton n) l:. Gi s s nhn vin t nht l 18 th s tr em t nht l : 10 x 18 + 6 x (18 : 3) = 216 (cy) ng bng s cy ca u bi.- S nhn vin phi nhiu hn 14 ngi v nu s nhn vin bng 14 ngi th s cu trng c nhiu nht (khi nhn vin ton nam) l: 13 x 14 + 6 x (14 : 3) =210 (cy) (nh hn 216 cy)

  • Theo bi li c: 1/3 s nhn vin c mang theo con. Vy s nhn vin phi chia ht cho 3, do s nhn vin phi bng 15.S con mang theo l: 15 : 3 = 5 (con)S cy m nhn vin trng l: 216 - 6 x 5 = 186 (cy)Gi s 15 nhn vin ton l nam th s cy trng c l : 13 x 15 = 195 (cy)S nhn vin n l : (195 - 186) : (13 - 10) = 3 (nhn vin)S nhn vin nam l : 15 - 3 = 12 (nhn vin)Th li : 12 x 13 + 3 x 10 + 5 x 6 = 216 (ng).p s : nhn vin n : 3 ; nhn vin nam : 12.Nh vy qua 3 bi ton nhng dng khc nhau, vic s dng chn trn, chn di gip chng ta gii c bi ton v hn ch c s trng hp cn th chn.Sau y l mt s bi ton cc em vn dng.1. a) in ch s vo du (?) trong trng hp sau : ?? + ?? = ?97.b) Tm s nguyn nh nht sao cho tng cc ch s ca n bng 22.2. Gi s A l s c hai ch s, B l tng cc ch s ca A ; C l tng cc ch s ca B. Tm A bit A = B + C + 51.3. Tm a, b, c bit : abc x (a + b + c) = 1000.4. Tm mt s t nhin, bit tng ca s v tng cc ch s ca n bng 1987.

    Nguyn Hng Quang

    (Khoa Tiu hc, Trng CSP H Ni)

    NHIU HN MT CCH GII !

    Sau khi bi vit ca mnh c ng trong chuyn mc Gii ton th no ? ca tp ch TTT1 s 46, ti nhn c nhiu th ca bn c do ta son chuyn ti. Mt bn tm s : Nh c cc bi vit ca c v tc gi Vn Thn nn em bit gii c bng nhiu cch nhng bi ton m lu nay em rt lng tng. Nhiu bn gii v d 3 v nh ti kim tra kt qu. Ngc li, bn T Hng Sn, 9A3, THCS Lm Thao, Ph Th cn khng nh : Khng th gii bi ton bng cch thng qua vic gii lin tip hai bi ton t l thun. Bi vit ny xin trnh by r hn mt s hng a bi ton v vic gii lin tip cc bi ton n. Ta tr li v d 3 (TTT1 s 46) : Nu mi ca c 24 cng nhn, mi cng nhn ng 2 my th dt c 720 mt vi. Nu mi ca ch c 12 cng nhn nhng phi dt 1440 mt vi th mi cng nhn phi ng my my ? Tm tt : 24 cng nhn, mi cng nhn ng 2 my dt c 720 m. 12 cng nhn, mi cng nhn ng ? my dt c 1440 m. a bi ton trn v gii lin tip cc bi ton n bng cch c nh mt i lng trong ba i lng, ta s c 7 hng sau y : 1a) Nu mi ca c 24 cng nhn, mi cng nhn ng 2 my th dt c 720 mt vi. Hi nu mi ca c 12 cng nhn, mi cng nhn ng 2 my th dt c bao nhiu mt vi ? Bi ton t l thun ny, gii ra ta tm c p s l 360 m.

  • 1b) Nu mi ca c 12 cng nhn, mi cng nhn ng 2 my th dt c 360 mt vi. Hi nu ca phi dt 1440 mt vi th mi cng nhn phi ng my my ? Bi ton t l thun ny, gii ra ta tm c p s l 8 my, y cng l p s ca v d 3. 2a) Nu mi ca c 24 cng nhn, mi cng nhn ng 2 my th dt c 720 mt vi. Hi nu mi ca c 12 cng nhn mun dt c s vi th mi cng nhn phi ng my my ? Bi ton t l nghch ny, gii ra ta c p s l 4 my. 2b) Nu mi ca c 12 cng nhn mi cng nhn ng 4 my th dt c 720 mt vi. Hi vn ch c 12 cng nhn trong mt ca nhng phi dt 1440 mt vi th mi cng nhn phi ng my my ? Bi ton t l thun ny, gii ra ta c p s l 8 my, y cng l p s ca v d 3. 3a) Nu mi ca c 24 cng nhn, mi cng nhn ng 2 my th dt c 720 mt vi. Hi mun dt 1440 mt vi th mi cng nhn phi ng my my ? Bi ton t l thun ny, gii ra ta c p s l 4 my. 3b) Nu mi ca c 24 cng nhn, mi cng nhn ng 4 my th dt c 1440 mt vi. Hi nu mi ca c 12 cng nhn, mun dt c s vi th mi ngi phi ng my my ? Bi ton t l nghch ny, gii ra ta c p s l 8 my, y cng l p s ca v d 3. 4a) Nu mi ca c 24 cng nhn, mi cng nhn ng 2 my th dt c 720 mt vi. Hi mun dt 1440 mt vi m mi cng nhn ch ng 2 my th mi ca cn bao nhiu cng nhn ? Bi ton t l thun ny, gii ra ta c p s l 48 cng nhn. 4b) Nu mi ca c 48 cng nhn, mi cng nhn ng 2 my th dt c 1440 mt vi. Hi nu mi ca ch c 12 cng nhn mun dt c s vi th mi cng nhn phi ng my my ? Bi ton t l nghch ny, gii ra ta c p s l 8 my, y cng l p s ca v d 3. 5a) Nu mi ca c 24 cng nhn, mi cng nhn ng 2 my th dt c 720 mt vi. Hi nu mun dt s vi m mi cng nhn ch ng 1 my th cn bao nhiu cng nhn ? Bi ton t l nghch ny, gii ra ta c p s l 48 cng nhn. 5b) Nu mi ca c 48 cng nhn, mi cng nhn ng 1 my th dt c 720 mt vi. Hi mun dt 1440 mt vi m mi cng nhn ch ng 1 my th cn bao nhiu cng nhn ? Bi ton t l thun ny, gii ra ta c p s l 96 cng nhn. 5c) Nu mi ca c 96 cng nhn, mi cng nhn ng 1 my th dt c 1440 mt vi. Hi mi ca ch c 12 cng nhn mun dt c s vi th mi cng nhn phi ng my my ? Bi ton t l nghich ny gii ra ta c p s l 8 my, y cng l p s ca v d 3. 6a) Nu mi ca c 24 cng nhn, mi cng nhn ng 2 my th dt c 720 mt vi. Nu mi ca ch c mt cng nhn, mun dt s vi th mi cng nhn phi ng my my ?

  • Bi ton t l nghch ny, gii ra ta c p s l 48 my. 6b) Nu mi ca c mt cng nhn, mi cng nhn ng 48 my th dt c 720 mt vi. Hi nu mi ca c 12 cng nhn mun dt s vi th mi cng nhn phi ng my my ? Bi ton t l nghch ny, gii ra ta c p s l 4 my. 6c) Nu mi ca c 12 cng nhn, mi cng nhn ng 4 my th dt c 720 mt vi. Hi mun dt 1440 mt vi th mi cng nhn phi ng my my ? Bi ton t l thun ny, gii ra ta c p s l 8 my, y cng l p s ca v d 3. 7a) Nu mi ca c 24 cng nhn, mi cng nhn ng 2 my th dt c 720 mt vi. Nu mi ca ch c mt cng nhn, mun dt s vi th mi cng nhn phi ng my my ? Bi ton t l nghch ny, gii ra ta c p s l 48 my. 7b) Nu mi ca ch c mt cng nhn, mi cng nhn ng 48 my th dt c 720 mt vi. Mun dt 1440 mt vi th cng nhn y phi ng my my ? Bi ton t l thun ny, gii ra ta c p s l 96 my. 7c) Nu mi ca ch c mt cng nhn, mi cng nhn ng 96 my th dt c 1440 mt vi. Hi nu mi ca c 12 cng nhn cng ch dt s vi th mi cng nhn ng my my ? Bi ton t l nghch ny, gii ra ta c p s l 8 my, y cng l p s ca v d 3. Trn y l 7 hng a v d 3 v vic gii lin tip cc bi ton n. cc bi ton trn ta lun gi s nng sut cc my nh nhau. Tt nhin trong mi bi ton n cng c nhiu cch tm ra p s. Vic a v gii cc bi ton n nhm g ri khi gp nhng bi ton c ti 3 i lng. Tuy nhin c bi ton n khng ph hp vi thc t m ch c ngha nh mt gi thit tm (hng 6, 7). Hi vng bi vit ny gip cho T Hng Sn v nhiu bn khc khng cn bn khon v cc cch gii bi ton v d 3 na v cng khng ngi khi gp dng ton c ba i lng.

    KIM CHI(H Ni)

    CC PHN S NM GIA HAI S

    Mt dng ton kh th v l yu cu tm cc phn s nm gia hai s cho trc. Mt lu vi cc bn l : gia hai s cho trc bt k bao gi cng c rt nhiu phn s. Nu khng c yu cu g thm v cc phn s ny th chng ta s khng bao gi vit ht cc phn s nm gia hai s cho trc.Th d 1 : Hy th tm 3 phn s nm gia 3/7 v 5/7.Nhiu bn cho l Lm g c phn s no gia hai phn s ny ?. Ta th nhn c t v mu ca hai phn s vi 2 th c 8/14 v 10/14. n y th cc bn kim ngay c 9/14. Nu nhn tip t v mu ca hai phn s trn vi 2 th c 16/28 v 20/28. Th l cc bn k ra ngay c 3 phn s tha mn bi ton l 17/28, 18/28, 19/28. C tip tc nh vy cc bn c th vit ra bao nhiu phn s na cng c.

  • Th d 2 : Hy vit tt c cc phn s nm gia 1/3 v 16/27 m mu s l 9.Gii : Ta c1/3 = 9/27 . Cc phn s ln hn 9/27 v nh hn 16/27 l : 10/27, 11/27, 12/27, 13/27, 14/27, 15/27. Trong cc t s ch c 12 v 15 chia ht cho 3 nn ch c hai phn s tha mn bi ton l : 12/27 = (12 : 3)/(27 : 3) = 4/9 v 15/27 = (15 : 3)/(27 : 3) = 5/9.Th d 3 : C bao nhiu phn s nm gia 5/6 v 6/7 m t s nh hn 2004 ?Ta c 2004 : 6 = 334 nn vit . 6/7 = (6 x 334)/(7 x 334) = 2004/2338.Mt khc : 5/6 = (5 x 2338/6 )/2338 = (1948 1/3)/2338.Do cc phn s tha mn bi ton c mu l 2338 v t l cc s t nhin t 1949 n 2003. Vy s cc phn s tha mn bi ton l :2003 - 1949 + 1 = 55 (s).Cc bn c th gii cc bi ton trn bng cch khc. Sau y l mt vi bi ton cc bn th gii :Bi 1 : Hy vit 5 phn s nm gia 2 phn s 2002/2003 v 2003/2004.Bi 2 : Vit cc phn s nm gia 1 v 2 m t s l 5.Bi 3 : C bao nhiu phn s nm gia 2003 v 2004 c mu ln hn 50?

    L Hng Gm (Gio vin trng TH Ty Tu, T Lim, H Ni)

    CT GHP HNHTRN GIY K VUNG

    Vic gii bi ton ct, ghp hnh i hi phi quan st, phn tch tng hp cc yu t: nh, gc, cnh ca hnh ban u tm ra mi quan h gia cc mnh hnh s ct ra hoc phi ghp li theo yu cu bi ton. Ngha l phi tng tng v cc php ct th, ghp th so snh gia hnh ban u v hnh phi ghp c. V vy gii bi ton ct, ghp hnh l kh v phc tp, cng v vy m sc hp dn v s li ko ca cc bi tp ny cng ln. Vic v hnh trn giy k vung s gip ta d hnh dung hn phn no c nguyn, phn no phi ct, ghp v phi ct ghp nh th no? Vic gii bi ton ct ghp hnh c th tin hnh theo qui trnh: 1. V hnh cho trn giy k vung sao cho c th m c s vung ca hnh v. Quan st c im cc yu t hnh cho: nh, cnh, gc; v tr; hnh dng v ln. Tng tng ra hnh cn ghp c (c th v th trn giy k vung). 2. Phn tch, i chiu, so snh cc yu t hnh cho v cn tm xc nh cc yu t no c tha mn; xc nh c b phn no cn ct ghp. Thc hin ct ghp th. 3. Ct ghp theo s phn tch bc 2. 4. Kim tra cc yu cu ca bi ton, tm cc cch ghp khc v chn cch tt nht. V d 1: C mt t ba hnh vung ct i 1/4 hnh vung mt gc. Hy chia hnh thnh 4 phn bng nhau. Bc 1: V hnh cho trn giy k vung. Hnh cho to thnh t 3 vung ln, mi li c 4 vung nh. Tt c c 12 vung nh.

  • Bc 2: Hnh ct ra thnh 4 mnh bng nhau, nh vy mi mnh c 3 vung nh. Nu mi vung ln cng b i mt vung nh th mi vung ln cn li 3 vung l mnh cn ct ra. Cc vung nh c ct t vung ln khi ghp li phi l mnh cn li. V vy mnh cn li c dng vung ln ct i vung nh, nn mnh cn li l phn lin thng gm 3 vung 3 vung ln. Bc 3: Ct theo ng ABDEFGH ta c 1 mnh. Ct mnh cn li theo 2 ng: FI v CD ta c 3 mnh cn li. Bc 4: Bn mnh c ct l: MHGFIN; HGEBA; FIKCD; CDAQP u l 1 vung ln b i mt vung nh cn 3 vung c hnh dng nh nhau v bng nhau v ln. V d 2: Chia hnh vung thnh 4 hnh tam gic c din tch bng nhau. Bc 1: V hnh vung trn giy k vung. Hnh vung c chia thnh 16 vung nh.

    Bc 2: Mnh c ct ra l cc tam gic c din tch bng nhau, mi tam gic c din tch 4 vung. Khi cnh y v chiu cao tng ng ca mi tam gic c di bng di cnh 4 v 2 vung. Bc 3: Ct hnh vung theo hai ng cho AC v BD to ra bn tam gic OAD; ODC; OCB v OBA bng nhau v cng din tch bng 4 vung nh. Bc 4: Cc tam gic OAD; ODC; OCB; OBA bng nhau: Gp hnh vung theo hai ng cho ta c 4 tam gic trng kht ln nhau, do n bng nhau v bng nhau v din tch. Cch khc: Mi mnh c ct ra l mt tam gic c din tch 4 vung, nn tam gic c cnh v di ng cao tng ng l di cnh 4 v 2 vung. Nu ly AB lm 1 cnh ca 1 tam gic c ct ra th nh cn li ca tam gic thuc ng thng MN, cc v tr ca nh c th l M, F, O. V vy ta cn c cc cch gii sau: Cch 2: Ct theo cc ng BM; CM; MN. Cch 3: Ct theo ng AE; BE; AF.

  • V d 3: Cho hnh ch nht c di cnh l 9 cm v 16 cm. Hy ct hnh ch nht thnh 2 mnh ghp li c 1 hnh vung. Bc 1: V hnh ch nht trn giy k vung. S vung l: 9 x 16 = 144 ( vung). Hnh ghp c t hai mnh ct ra l hnh vung cng din tch l 144 nn mi cnh hnh vung di l cnh 12 vung.

    Bc 2: Hnh vung ghp li t hai mnh c dng nh hnh AEFG. Khi AD ko di DG c di 3 vung v AB b rt ngn bt i BE c di cnh 4 vung. Hnh ch nht DHFG c di cnh tng ng 12 ; v 3 l hnh c ghp vi hnh ch nht AEHD c hnh vung AEFG. Nu ct theo ng XY th hnh ch nht tng ng ghp c hnh ch nht DHFG l hnh ch nht YTCX. Khi B chuyn ti v tr N; E chuyn ti v tr M v M chuyn ti v tr Y. Bc 3: Ct hnh ch nht theo ng XYZMNE; DX = 4; YZ = 4; MN = 4 ta c hai mnh l ADXYZMNE v CXYZMNEB. Bc 4: Ghp mnh CXYZMNEB trng vi FGDXYZMN ta c hnh vung AGFE. Bi tp t gii: Bi 1: Ct mt hnh ch thp thnh 5 mnh ghp li c mt hnh vung. Bi 2: Hy ct 2 hnh vung bt k thnh cc mnh ghp li c mt hnh vung. Bi 3: C th ct cc hnh vung ABEF; ACGH ghp li thnh hnh vung BCMN khng?

  • L Duy NinhHSP H Ni

    DNG S DIN TCH GII TON BA I LNG

    S din tch c dng gii cc bi ton c ni dung cp n ba i lng. Gi tr ca mt trong ba i lng bng tch cc gi tr ca hai i lng kia. Dng s din tch chng ta s gii nhanh cc bi ton v a v bi ton trc quan l bi ton din tch hnh ch nht. Sau y l mt s th d: V d 1: Mt t i t A n B vi vn tc 30km/gi, sau i t B quay v A vi vn tc 40km/gi. Thi gian i t B v A t hn thi gian i t A n B l 40 pht. Tnh di qung ng AB. Phn tch: V qung ng AB (s = v x t) khng i, nn ta c th xem vn tc (v) l chiu di ca mt hnh ch nht v thi gian (t) l chiu rng ca hnh ch nht . V s :

    Gii: Ta c 40 pht = 2/3 gi Nu t i t B v A vi vn tc 30 km/gi th sau khong thi gian d nh i t B v A, t cn cch A mt qung ng l: 30 x 2/3 = 20 (km) S d c khong cch ny l v vn tc xe gim i: 40 - 30 = 10 (km/h) Thi gian t d nh i t B v A l:

  • 20 : 10 = 2 (gi) Qung ng AB di l: 40 x 2 = 80 (km) p s: 80 km Ch l s1 = s2 V d 2: Bn Ton a tin d nh mua mt s quyn v loi 2500 ng/ quyn. Nhng n ca hng ch cn v loi 3000 ng/quyn. Ton c bn khon c nn mua loi v ny khng? V nu mua th s v d nh b ht mt hai quyn. Tnh s tin bn Ton mang i? Phn tch: V s tin bn Ton mang i khng i, nn ta c th xem gi tin ca mi loi v l chiu di ca mt hnh ch nht v s quyn v l chiu rng ca hnh ch nht . V s :

    Gii: Nu bn Ton mua s v loi 2500 ng/quyn bng s v nh mua loi 3000 ng/quyn th s tin cn tha l: 2 x 2500 = 5000 (ng) S d c s tin tha ny l v gi v gim: 3000 - 2500 = 500 (ng/quyn) Vy s v bn Ton nh mua loi 3000 ng/quyn l: 5000 : 500 = 10 (quyn v) S tin bn Ton mang i l: 3000 x 10 = 30000(ng) p s: 30000 ng Cc bn th dng s din tch gii cc bi ton sau: Bi 1: Mt t i t Vinh n H Ni d nh i vi vn tc 30 km/h. Nhng do tri ma nn ch i c 25 km/h, nn n H Ni mun mt 2 gi so vi thi gian d nh. Tnh qung ng Vinh - H Ni? Bi 2: B bn An nm nay 30 tui. Nu ly s tui b bn An cch y 5 nm v s tui ca An by gi cng vi 2 ri nhn hai s vi nhau th cng bng s tui b bn An by gi nhn vi s tui bn An by gi. Tnh tui bn An by gi?

    Phan Duy Ngha(Trng i Hc Vinh)

  • PHT TRIN T DUY SNG TOQUA CC BI TON CT - GHP HNH

    Rn luyn t duy sng to ton hc cho hc sinh tiu hc l vic rt cn thit trong qu trnh dy hc. la tui ny, t duy ca hc sinh l "trc quan" v "c th", cho nn khi dy cc em, gio vin cn nghin cu v c th pht trin t duy sng to cho hc sinh da trn nhng mc yu cu thch hp ca tnh sng to. t c mc ch ny chng ta c th i t cc bi ton n gin n bi ton phc tp. Trong bi vit ny ti xin nu cch t mt s bi ton ct - ghp hnh c trong sch gio khoa, chng ta hng dn cho hc sinh gii c nhng bi ton kh hn. Di y xin trnh by cc dng ton . Bi ton 1 Hy ct mt hnh vung thnh bn hnh tam gic ri xp bn hnh tam gic thnh hai hnh vung (Ton 2 trang 34) Gii. Ta ct hnh vung ln theo hai ng cho ta c bn hnh tam gic v ghp hai hnh tam gic li ta c mt hnh vung nh.

    Bi ton 2. V hai hnh nh hnh bn trn giy k vung ri ct mi hnh thnh hai mnh bng nhau khi ghp c 4 mnh li th c mt hnh vung (Ton 3, trang 105). Gii. Ta ct hai hnh trn theo ng khng lin nt v ghp theo hnh bn cnh ta c mt hnh vung mi (hnh b).

    Bi ton 3. Cho 5 hnh vung bng nhau. Hy ct v ghp chng thnh mt hnh vung. Gii. + Khi dy gii bi ton ny cho hc sinh, chng ta cn lm cho hc sinh thy r bi ton 3 l kt qu ca hai bi ton (1) v (2). + T bi ton (2) ta thy vic ghp c hnh vung ln nh 10 hnh vung nh. + Gi thit cho 5 hnh vung c 10 hnh vung ta dng kt qu bi ton (1) Bc 1. T 5 hnh vung, ta ghp thnh 10 hnh vung nh (kt qu bi ton 1)

  • Bc 2. Ghp 10 hnh vung nh thnh hai hnh ch thp

    Bc 3. Ct ghp hai hnh ch thp nh bi ton (2) Cc bi tp rn luyn thm : 1) Ct mt hnh nh hnh di thnh 5 mnh ghp li c mt hnh vung 2) Mt ngi c mt ming vn hnh ch nht, 1,5m, rng 0,3m. Ngi mun ct ming vn thnh nhiu mnh sao cho ghp cc mnh ny li th c mt hnh vung (Bi ton : Gip bc th mc).

    Trn Vn Hnh(Cao ng S phm Qung Ngi

    S DNG S ON THNG TM LI GII KHC NHAU TRONG DY GII TON

    S dng s on thng trong gii ton tr thnh mt phng php hu hiu trong vic gii mt s dng ton tiu hc. Trong bi "Pht trin t mt bi ton c bn" ca tc gi ng Phng Hoa, TTT s 33 l mt minh chng cho vn ny. Trong bi ny, da vo mt bi ton c bn ca lp 4 ti nu ln nguyn l chung ca cc li gii, t p dng cho vic tm li gii ca mt bi ton khc.Bi ton 1 : Tm 2 s, bit tng ca chng bng 2004 v hiu ca chng bng 202.y l bi ton in hnh lp 4 v trong SGK thng nu ln 2 cch gii sau :Cch 1 :

    S b = (Tng - Hiu) : 2 ; S ln = S b + Hiu hoc S ln = Tng - S b.Cch 2 :

  • S ln = (Tng + Hiu) : 2 ; S b = S ln - Hiu hoc S b = Tng - S ln.Ta thy : C 2 cch gii trn u c chung nguyn l l : Bin i s c 2 on thng bng nhau.Theo nguyn l trn ta, bin i s :

    Thnh s :

    Da vo s trn ta c cch gii 3 :S b l : 2004 : 2 - (202 : 2) = 901S ln l : 2004 : 2 + (202 : 2) = 1103,hoc : 2004 - 901 = 1103p s : S b : 901 ; s ln : 1103.Bi ton 2 : Khi lp 4 c bn lp vi tng s hc sinh l 156 em. Lp 4A nhiu hn lp 4B l 10 em. Lp 4C t hn lp 4A l 4 em. Lp 4B v lp 4D c s hc sinh bng nhau. Hi mi lp c bao nhiu em ?y l loi ton khng kh i vi hc sinh tiu hc, nhng vic tm ra nhng li gii khc nhau th li khng n gin. Nu chng ta p dng nguyn l bin i s on thng thnh cc on thng bng nhau th ta s c 4 cch gii khc nhau. u tin ta tm tt bi ton bng s on thng :

    Cch gii 1 : (Bin thnh 4 on thng bng nhau v bng on thng biu th s hc sinh 4B)S hc sinh 4C nhiu hn s hc sinh 4B l : 10 - 4 = 6 (em)Theo bi ra ta c s :

    S hc sinh 4B v cng l s hc sinh lp 4D l :(156 - 10 - 6) : 4 = 35 (em)S hc sinh 4A l : 35 + 10 = 45 (em)S hc sinh 4C l : 35 + 6 = 41 (em)p s : 4A : 45 em, 4B : 35 em, 4C : 41 em, 4D : 35 em.Cch gii 2 : (Bin thnh 4 on bng nhau v bng on thng biu th s hc sinh 4A).

  • S hc sinh 4A l : (156 + 10 + 4 + 10) : 4 = 45 (em)S hc sinh 4B v cng l s hc sinh 4D l : 45 - 10 = 35 (em)S hc sinh 4C l : 45 - 4 = 41 (em)p s : 4A : 45 em, 4B : 35 em, 4C : 41 em, 4D : 35 em.Cch gii 3 : V (10 + 6) : 4 = 4, t y ta bin thnh 4 on thng bng nhau v bng on thng biu th s hc sinh lp 4B thm 4 hc sinh.

    Li gii xin dnh cho cc bn.Cch gii 4 : Bin i s thnh 4 on thng bng nhau v bng on thng biu th s hc sinh 4C. Cc bn hy v s v gii xem nh !Nu n iu kin s hc sinh 2 lp 4B v 4D bng nhau ta li c cch gii th 5. S :

    Nh vy ta li a bi ton 2 v bi ton tm 2 s bit tng v hiu ca 2 s . Vic gii tip bi ton ny ti mun dnh cho bn c. Cc bn hy p dng gii cc bi ton tng t nh !Chc cc bn gii ton ngy mt "siu" hn !

    Nguyn Hng Quang ( Gio vin trng Cao ng S phm H Ni)

    NG DNG PHNG PHP TNH NGC T CUI GII TON VUI V TON C TIU HC

    Phng php tnh ngc t cui c dng gii nhiu bi ton vui v ton c tiu hc. S dng phng php tnh ngc t cui gip ta trnh by li gii mt cch ngn gn, cht ch v tng minh. Di y ta xt mt s v d minh ha. V d: Mt vin quan mang l vt n dng vua v c vua ban thng cho mt qu cam trong vn thng uyn, nhng phi t vo vn hi. ng vo vn thng uyn phi qua ba cng c lnh canh. Vin quan n cng th nht, ngi lnh canh giao hn: Ta cho ng vo nhng lc ra ng phi biu ta mt na s cam, thm na qu. Qua cng th hai ri th ba lnh canh cng u giao hn nh vy. Hi c mt qu cam mang v th vin quan phi hi bao nhiu cam trong vn? Gii: S cam vin quan cn li sau khi cho lnh gc cng th hai (cng gia) l:

  • S cam vin quan cn li sau khi cho lnh gc cng th ba (cng trong cng) l:

    S cam vin quan phi hi trong vn l:

    Vy c c mt qu cam mang v th vin quan phi hi 15 qu trong vn. p s: 15 qu cam V d 2: C mt ging bo c mi ngy li n tng gp i. Nu ngy u cho vo mt h mt cy bo th 10 ngy sau bo lan ph kn mt h. Vy nu ban u cho vo 16 cy bo th my ngy sau bo ph kn mt h? Gii: Ta c bng sau biu din s cy bo trn mt h:

    Nhn vo bng trn ta thy: Nu ngy u cho vo mt h 16 cy bo th 6 ngy sau bo s lan ph kn mt h. Cc bn th gii bi ton sau bng phng php tnh ngc t cui. Mt ngi qua ng hi ng lo chn vt: n vt ca ng c bao nhiu con?. ng lo tr li: - Mt na s vt ca ti thm mt na con na ang tm mt di sng. - Ba phn t s vt cn li thm mt phn t con na ang kim n di h.

  • - Bn phn nm s vt cn li thm mt phn nm con na ang nm ngh trn b. - Cui cng cn hai i vt qu ti ang nht trong lng kia! Hi n vt ca ng lo c bao nhiu con?

    PHT TRIN T MT BI TON C BN

    Trong chng trnh ton lp 4 cc em c hc v dng ton trung bnh cng, mt dng ton rt in hnh v cng rt l th nu chng ta bit khai thc su hn. Sau y l mt hng khai thc t mt bi ton c bn nht :Bi ton 1 : Lp 4A trng c 21 cy ; lp 4B trng c 22 cy ; lp 4C trng c 29 cy. Lp 4D trng c s cy bng trung bnh cng s cy trng c ca ba lp kia. Hi lp 4D trng c bao nhiu cy ? Gii :Lp 4D trng c s cy l : (21 + 22 + 29) : 3 = 24 (cy)p s : 24 cyBi ton 2 : Lp 4A trng c 21 cy ; lp 4B trng c 22 cy ; lp 4C trng c 29 cy ;lp 4D trng c s cy bng trung bnh cng s cy ca c 4 lp. Hi lp 4D trng c bao nhiu cy ? Phn tch : Bi ton ny cho s cy ca lp 4D khng phi bng trung bnh cng s cy ca ba lp kia nh bi ton 1 m s cy ca lp 4D bng trung bnh cng s cy ca c bn lp.Ta d thy tng s cy ca c 4 lp chia lm 4 phn bng nhau th s cy ca lp 4D l mt phn v tng s cy ca c ba lp kia l 3 phn. Nh th trung bnh cng s cy ca c 4 lp chnh bng trung bnh cng s cy ca 3 lp cn li. Bi ton gii ging nh bi ton 1.Gii : Theo bi ra ta c s sau :

    Nhn vo s ta c :Lp 4D trng c s cy l : (21 + 22 + 29) : 3 = 24 (cy)p s : 24 cyNhn xt : Mt trong cc s cho li bng trung bnh cng ca cc s cn li th s chnh bng trung bnh cng ca tt c cc s cho.Bi ton 3 : Lp 4A trng c 21 cy ; lp 4B trng c 22 cy ; lp 4C trng c 29 cy ; lp 4D trng c s cy hn trung bnh cng s cy ca c 4 lp l 3 cy. Hi lp 4D trng c bao nhiu cy ?Phn tch : Bi ton ny cho s cy ca lp 4D khng nhng bng trung bnh cng s cy ca c 4 lp m cn hn trung bnh cng s cy ca bn lp l 3 cy.Dng phng php s on thng ta c :

    Tng s cy ca 3 lp 4A ; 4B ; 4C v thm 3 cy na s l 3 ln trung bnh cng s cy ca c 4 lp. T ta tm c s cy ca lp 4D.Gii : Theo bi ra ta c s :

  • Nhn vo s ta c trung bnh cng s cy ca c 4 lp l :(21 + 22 + 29 + 3) : 3 = 25 (cy)S cy ca lp 4D trng c l : 25 + 3 = 28 (cy)Nhn xt : Nu c 3 s a ; b ; c v s cha bit x m x ln hn trung bnh cng ca c 4 s a ; b ; c ; x l n n v th trung bnh cng ca c bn s l: (a + b + c + n) : 3 hay (a + b + c + x) : 4 = (a + b + c + n) : 3Vi cch khai thc y cc em hy gii bi ton sau v rt ra nhn xt xem nh :Lp 4A trng c 21 cy ; lp 4B trng c 22 cy ; lp 4C trng c 29 cy. Lp 4D trng c s cy km trung bnh cng s cy ca c 4 lp l 3 cy. Hi lp 4D trng c bao nhiu cy ?

    ng Phng Hoa (S nh 48, t 27, phng Quang Trung, TX Thi Bnh, Thi Bnh)

    GII BI TON BNG I LNG T L

    Cc em hc sinh thn mn ! Trong chng trnh ton 4 cc em lm quen vi hai bi ton v i lng t l thun v i lng t l nghch v c bit th no l i lng t l thun v t l nghch. Vic p dng cc quan h gii mt s bi ton c thng qua cc bi hc. y chng ti mun a thm mt s v d khc c th p dng i lng t l gii. Hi vng cc em s tm thy nhng iu mi l v hp dn trong cch gii cc bi ton .V d 1 : Hng i xe p t nh ln huyn vi vn tc 12 km/gi. Sau tr v vi vn tc 10 km/gi. Tnh qung ng t nh ln huyn bit rng thi gian lc v lu hn lc i l 10 pht.Nhn xt : Ta thy Hng i v v trn cng mt on ng t nh ln huyn. Do thi gian i v v s t l nghch vi vn tc lc i v vn tc lc v. y t s v vn tc gia lc i v lc v l 12/10 = 6/5. Vy t s gia thi gian i v thi gian v l 5/6. M thi gian lc v lu hn lc i l 10 pht hay nhiu hn 10 pht. T ta c s :

    Thi gian lc v ht l :10 : (6 - 5) x 6 = 60 (pht)i : 60 pht = 1 giQung ng t nh ln huyn l :10 x 1 = 10 (km)p s : 10 km.V d 2 : Cho tam gic ABC c din tch 75 cm2. Trn BC ly M sao cho BM = 2/3 BC. Tnh din tch tam gic ABM.Nhn xt : Ta thy tam gic ABM v tam gic ABC c cng chiu cao l AH ; hai y tng ng l BM v BC. Do y v din tch l hai i lng t l thun vi nhau.

  • y t s v hai y l : BM/BC = 2/3. Vy t s v din tch ca hai tam gicABM v ABC l 2/3. V din tch tam gic ABC bng 75 cm2, nn din tch tam gic ABM l :75 : 3 x 2 = 50 (cm2).p s : 50 cm2.V d 3 : C gio xp ch ngi cho hc sinh lp 4A. Nu xp mi bn 4 bn th thiu mt bn. Nu xp mi bn 5 bn th tha mt bn. Hi lp c bao nhiu bn, bao nhiu hc sinh ?Nhn xt : S hc sinh khng i nn s bn v s hc sinh xp mi bn l hai i lng t l nghch vi nhau.S bn cn c xp 4 bn 1 bn nhiu hn s bn cn c xp 5 bn 1 bn l : 1 + 1 = 2 (bn) y t s gia s bn xp mt bn 4 bn v mt bn 5 bn l . Do t s gia s bn khi xp mt bn 4 bn v mt bn 5 bn l .Vy ta c s :

    S bn cn xp 4 bn mt bn l : 2 : (5 - 4) x 5 = 10 (bn)S bn lp 4A l : 10 - 1 = 9 (bn)S hc sinh lp 4A l : 4 x 9 + 4 = 40 (hc sinh)p s : 9 bn ; 40 hc sinh.Cc em thy khng ? mi ch l 3 v d, ngoi ra cn nhiu v d khc na, hi vng cc em s p dng i lng t l gii mt cch tt hn. Sau y l mt s bi ton cc em lm th :1. Mt hnh ch nht c chiu di gp 4 ln chiu rng. Hi nu tng chiu di thm mt on bng chiu rng th chiu rng s thay i nh th no din tch hnh khng thay i.2. i tuyn hc sinh gii c s bn nam gp 3 ln s bn n. Thy gio nhm tnh rng nu thay 3 bn nam bng 3 bn n th s bn nam ch nhiu hn s bn n l 6 bn. Hi i tuyn c bao nhiu bn nam, bao nhiu bn n.3. Ba t trng c tt c 120 cy. Bit rng s cy ca t 1 v t 2 trng c nhiu hn s cy trng c ca t 2 v t 3 l 10 cy. S cy ca t 2 v t 3 trng c t hn s cy ca t 3 v t 1 trng c l 5 cy. Tnh s cy mi t trng c.

    Nguyn Ngc Cng (Phng GD - T Hng H, Thi Bnh)

    C NHIU CCH TM RA LI GII CA BI TON

  • Gii cc bi ton c li vn lun l iu th v i vi hc sinh tiu hc. Vic tm ra cc cch gii khc nhau cho mt bi ton cng lm cho li gii thm sinh ng v phong ph hn, hc sinh thm say m hc Ton hn. K thi hc sinh gii tiu hc mn Ton nm hc 2003 - 2004 ca thnh ph H Ni c mt bi ton khin nhiu gio vin cn bn khon v cc li gii khc nhau ca hc sinh. Ti xin trnh by li cc cch gii khc nhau ca bi ton thuc dng ton tnh ngc c trong thi. Bi ton : Bn Yn c mt b hoa hng em tng cc bn cng lp. Ln u Yn tng mt na s bng hng v thm 1 bng. Ln th hai Yn tng mt na s bng hng cn li v thm 2 bng. Ln th ba Yn tng mt na s bng hng cn li v thm 3 bng. Cui cng Yn cn li 1 bng hng dnh cho mnh. Hi Yn tng bao nhiu bng hng ? *Cch 1 : Ta c s v s cc bng hng :

    S bng hng cn li sau khi Yn tng ln th hai l : (1 + 3) x 2 = 8 (bng) S bng hng cn li sau khi Yn tng ln th nht l : ( 8 + 2) x 2 = 20 (bng) S bng hng lc u Yn c l : (20 + 1) x 2 = 42 (bng) S bng hng Yn tng cc bn l : 42 - 1 = 41 (bng) p s : 41 bng hng. *Cch 2 : Gi s bng hng lc u Yn c l a. S bng hng cn li sau khi Yn cho bn ln th nht l : a : 2 - 1 (bng hng) S bng hng cn li sau Yn cho bn ln th hai l : (a : 2 - 1) : 2 - 2 (bng hng) S bng hng cn li sau khi Yn cho bn ln th ba l : ((a : 2 - 1) : 2 - 2) : 2 - 3 (bng hng) Theo bi ta c : ((a : 2 - 1) : 2 - 2) : 2 - 3 = 1 (bng hng) ((a : 2 - 1) : 2 - 2) : 2 = 1 + 3 (bng hng) ((a : 2 - 1) : 2 - 2) : 2 = 4 (bng hng) (a : 2 - 1) : 2 - 2 = 4 x 2 (bng hng) (a : 2 - 1) : 2 - 2 = 8 (bng hng) (a : 2 - 1) : 2 = 8 + 2 (bng hng) (a : 2 - 1) : 2 = 10 (bng hng) a : 2 - 1 = 10 x 2 (bng hng) a : 2 - 1 = 20 (bng hng)

  • a : 2 = 20 + 1 (bng hng) a : 2 = 21 (bng hng) a = 21 x 2 (bng hng) a = 42 (bng hng) S bng hng m Yn tng cc bn l : 42 - 1 = 41 (bng hng) p s : 41 bng hng. *Cch 3 : Biu th : A l s bng hng lc u Yn c. B l s bng hng cn li sau khi cho ln th nht. C l s bng hng cn li sau khi cho ln th hai. Ta c lu sau :

    S bng hng cn li sau khi Yn cho ln th 2 l : (1 + 3) x 2 = 8 (bng hng) S bng hng cn li sau khi Yn cho ln th nht l : (8 + 2) x 2 = 20 (bng hng) S bng hng lc u Yn c l : (20 + 1) x 2 = 42 (bng hng) S bng hng Yn tng cc bn l : 42 - 1 = 41 (bng hng) p s : 41 bng hng. Nhn xt : Cch gii 1 l cch gii thng thng m hc sinh tiu hc la chn gii. Mc ch ca vic v s nhm gip hc sinh d dng nhn thy cc mi lin h trong bi ton. Tuy nhin, i vi cc em hc sinh kh gii th vic v s l khng cn thit khi cc em thnh tho. i vi cch gii 2, nhiu ngi cho rng, khi gii bng cch ny l khng va sc i vi hc sinh tiu hc. iu khng ng, v thc ra hc sinh ch cn vn dng cc kin thc c bn hc trong chng trnh tiu hc l tm thnh phn cha bit ca php tnh v cn c vo d kin cho a ra li gii. V d bc 1, hc sinh thc hin tm s b tr khi bit s tr v hiu, bc 2 hc sinh thc hin tm s b chia khi bit thng v s chia v.v... cch gii 3, chng ta thy khi cho i mt na s bng hng Yn c th cn li mt na s bng hng. Sau li cho thm 1 bng hng na, ngha l s bng hng cn li sau khi cho ln th nht l mt na s bng hng lc u bt i 1 bng. Tng t nh vy s bng hng cn li sau khi cho ln th hai chnh l mt na s bng hng sau khi cho ln th nht ri bt i 2 bng. 1 bng hng dnh cho Yn chnh l 1 na s bng hng cn li sau khi cho ln th hai bt i 3 bng. Ti y, mun tm C ta ly (1 + 3) x 2. Tng t, ta tm c s bng hng lc u Yn c (A). Thc t khi gii theo cch 3 ny, hc sinh thc hin mt lot cc php tnh ngc t cui ln. Cc trn A, B, C ln lt biu th s bng hng lc u, s

  • bng hng cn li sau khi cho ln th nht, s bng hng cn li sau khi cho ln th hai. Khi hiu r iu ny, khng nht thit hc sinh phi t k hiu cho cc trn ca lu m vn c th ch ra li gii ca bi ton. Trn y l phng php gii ca dng ton tnh ngc t cui ln; hi vng, c th gip cc bn hc sinh tiu hc thnh tho trong khi gii cc bi ton tng t. Mong nhn c kin trao i ca cc bn.

    Th.S Phng Nh Thu(Chuyn vin B Gio dc v o to)

    DNH CHO CC BN LP 5HAI BI TON C BN

    Khi c hc v phn s, cc bn c tip xc vi nhiu bi ton c li vn rt th v. Cc bi ton ny s c gii quyt d dng nu nh cc bn nm vng v vn dng tt hai bi ton c bn.Bi ton c bn th nht :Tm mt s khi bit t s ca s ny vi s cho trc. gii quyt bi ton ny cc bn ch cn nh: " Nu s a bng m/n s b th a = m/n x b". Xin minh hc bi cc v d:V d 1: Hy cho bit 2/7 ca 75 l bao nhiu?Gii : Ta c s :

    2/5 ca 75 l : 75 : 5 x 2 = 30 hay 75 x 2/5 = 30.V d 2 : Tm 3/4 ca 5/6Gii : Ta c s :

    3/4 ca 5/6 l : 5/6 : 4 x 3 = 5/8 hay 5/6 x 3/4 = 5/8.Bi ton c bn th hai :Tm mt s khi bit t s ca s bit vi s ny.Bi ton ny ngc vi bi ton trn. Cc bn ch cn nh : "Nu cho s a v t s gia a v b l m/n th b = a : m/n".V d 1 : Bit 2/3 ca mt s l 20. Hy tm s .Gii : Ta c s :

    S cn tm l :20 : 2 x 3 = 30 hay 20 : 2/3 = 30.V d 2 : Bit 8/9 ca mt s l 2/3. Tm s .Gii : Ta c s :

  • S cn tm l :2/3 : 8 x 9 = 3/4 hay 2/3 : 8/9 = 3/4.T hai bi ton c bn cc bn c th gii mt lp cc bi ton c li vn v phn s.Bi ton 1 : C tt c 720 kg go gm 3 loi : 1/6 s go l go thm, 3/8 s go l go np, cn li l go t. Tnh s kg go mi loi.Gii : 1/6 s go l go thm, nn khi lng go thm l :720 x 1/6 = 120 (kg)3/8 s go l go np, nn khi lng go np l : 720 x 3/8 = 270 (kg) Khi lng go t l : 720 - (120 + 270) = 330 (kg). p s : 120 kg, 270 kg, 330 kgBi ton 2 : Mt ngi bn cam,bui sng bn c 3/5 s cam mang i, bui chiu bn thm c 52 qu v s cam cn li ng bng 1/8 s cam bn. Tnh s qu cam m ngi mang i bn. Gii : S cam cn li bng 1/8 s cam bn, hay ng bng 1/9 s cam m ngi mang i bn. S cam bui chiu ngi bn chnh l 1 - (3/5 + 1/9) = 13/45 s cam mang i. S cam bui chiu ngi bn l 52 qu nn s cam ngi mang i ch l : 52 : 13/45 = 180 (qu). Bi ton 3 : Ba ngi chia nhau mt s tin. Ngi th nht (NT1) ly 1/4 s tin ri bt li 50000 ng, ngi th hai (NT2) ly 3/5 s tin cn li ri bt li 40000 ng. Ngi th ba ly 240000 ng th va ht. S tin c em chia l bao nhiu ? Gii : Ta c s sau :

    2/5 s tin cn li sau khi ngi th nht ly l :240000 - 40000 = 200000 (ng)S tin cn li sau khi ngi th nht ly l : 200000 : 2/5 = 500000 (ng).3/4 tng s tin l : 500000 - 50000 = 450000 (ng)Tng s tin l :450000 : 3/4 = 600000(ng)p s : 600000 ngBy gi xin mi bn c gii mt s bi tp sau :Bi 1 : Ba ngi mua chung nhau mt tm vi. Ngi th nht mua 1/3 tm vi v thm 5 m. Ngi th hai mua 2/5 tm vi cn li v thm 2 m. Ngi th 3 mua 7 m th va ht. Hi tm vi di bao nhiu mt ?Bi 2 : C ba thng ng nc. Ngi ta 1/3 lng nc ca thng th nht sang thng th hai, sau li 1/4 lng nc thng th hai sang thng th ba v cui cng 1/10 lng nc thng th ba sang thng th nht th mi thng u c ng 9 lt nc. Tnh xem mi thng lc u ng bao nhiu lt nc ?

    Phng Hoa (Cu Giy, H Ni)

  • GII TON BNG NHIU CCH

    Trn Ton Tui Th s 3. Tin s V Dng Thy c bi Th no l ... gi thit tm. Vi mt bi ton quen thuc, tc gi a ra rt nhiu cch gii hay, c o. Ti rt tm c vi bi vit . Khng phi ch hc sinh m cc bc ph huynh v gio vin cng hc hi c rt nhiu. Vi mi bi ton, tm ra c li gii l mt nim vui. S vui sng v th v hn nu ta tm ra c nhiu li gii cho mt bi ton. Hy c nhiu suy ngh v cch tip cn khc nhau vi mi ton, chng ta s tm c nhiu li gii hay hn.Ti xin c bt chc TS. V Dng Thy vi mt s bi ton quen thuc. Hi vng phn no gip cc em yu v ham hc ton hn.Bi ton :Chng ta cng bt u bng bi ton quen thuc :"Mt ngi i t A n B vi vn tc 15 km/h. Sau 1 gi 30 pht, ngi th hai cng ri A i v B vi vn tc 20 km/h v n B trc ngi th nht 30 pht. Tnh qung ng AB".c qua, bi ton c v rm r kh hiu : i sau, n trc.c li mt ln na ta thy : i sau 1 gi 30 pht ; ... n trc 30 pht. nh vy l i t hn 2 gi. Vy ta s a bi ton trn v bi ton n gin hn :Gi s ngi th hai i sau ngi th nht 2 gi th hai ngi s n B cng mt lc.Vi suy ngh : Thi gian ui kp nhau ca hai ng t chuyn ng cng chiu bng khong cch lc hai ng t bt u cng chuyn ng chia cho hiu hai vn tc, ta c 6 cch lm sau.Cch 1: Trong 2 gi ngi th nht i c : 15 x 2 = 30 (km)Mi gi ngi th hai i nhanh hn ngi th nht l : 20 - 15 = 5 (km)Thi gian ngi th hai ui kp ngi th nht l : 30 : 5 = 6 (gi)Qung ng AB di : 20 x 6 = 120 (km)Ngi th nht i chm hn ngi th hai nn i nhiu thi gian hn. Vy nu ngi th nht cng i thi gian nh ngi th hai hoc ngi th hai cng i thi gian nh ngi th nht th sao ? ... Ta c mt s cch lm sau.Cch 2 : Gi s ngi th hai i vi thi gian nh ngi th nht th ngi th hai i qung ng nhiu hn ngi th nht l : 20 x 2 = 40 (km) Vn tc ngi th hai hn ngi th nht l : 20 - 15 = 5 (km/gi)Thi gian ngi th nht i l : 40 : 5 = 8 (gi)Qung ng AB di : 15 x 8 = 120 (km)Cch 3 : Gi s ngi th nht i vi thi gian nh ngi th hai th ngi th nht i qung ng t hn ngi th hai l : 15 x 2 = 30 (km)Mt gi ngi th nht i t hn ngi th hai 5 km nn thi gian ngi th hai i l 30 : 5 = 6 (gi) v ta tnh c qung ng AB l 20 x 6 = 120 (km)Theo suy ngh : cng mt qung ng th vn tc t l nghch vi thi gian ta c cch gii sau.Cch 4 : Gi vn tc ngi th nht l v1 (km/h) ; ngi th hai l v2 (km/h) ; thi gian ngi th nht i qung ng AB l t1 (gi) ; ngi th hai l t2 (gi) Ta c : v1/v2 = 15/20 = 3/4 suy ra t1/t2 = 4/3Bit t s t1/t2 = 4/3 v t1 - t2 = 2Ta tnh c t1 = 8 (gi) ; t2 = 6 (gi)Do qung ng AB di : 15 x 8 = 120 (km)

  • Thi gian ngi th hai i t hn ngi th nht l 2 gi. Ta th tnh xem trong 1 km ngi th hai i t hn ngi th nht bao lu ? T s tm c qung ng AB. Ta c cch lm th 5.Cch 5 : C 1 km ngi th nht i ht 1/15 gi ; 1km ngi th hai i ht 1/20 giTrong 1 km ngi th hai i t hn ngi th nht l : 1/15 - 1/20 = 1/60 (gi)Vy qung ng AB di : 2 : 1/15 = 120 (km)Ta c th gi thit (gi) thi gian i ca ngi th nht, ngi th hai c cch no lm khc Cch 6 : Gi thi gian i ca ngi th nht l x (gi) th thi gian i ca ngi th hai l x - 2 (gi)Ta c : 20 x (x - 2) = 15 x x20 x x - 40 = 15 x x20 x x - 15 x x = 4015 x x = 40 x = 8Vy qung ng AB di: 15 x 8 = 180 (km)Cch 7 : Tng t nh cch 6 ta gi thi gian i ca ngi th hai l y (gi) th thi gian i ca ngi th nht l y+2 (gi). Ta c 20 x y =15 x (y + 2) Ta tm c y = 6 v qung ng AB di 20 x 6 = 120 (km). Hy p dng mt cch sng to c c bn tm ra nhiu cch gii cho mt bi ton. Lun c gng tm ti gii hn.Bi tp p dng. Mt chic t i t tnh A n tnh B ht 4 gi. Nu trong mi gi chic t ny i thm c 14 km th thi gian i t A n B ch mt 3 gi. Hy tnh khong cch gia hai tnh A v B.(p s : 168 km)

    Nguyn Vit Chin (Xm 3, Gia Khnh, Gia Lc, Hi Dng)

    PHP PHN CHNG ...TH V!

    Trong mn ton tiu hc, vic tm ra li gii ca nhng bi ton kh lun l iu th v i vi hc sinh. Tuy nhin, nu chng ta bit c mt phng php p dng cho mt lot cc bi ton c dng tng t cng l iu l th v b ch. Sau y chng ti xin gii thiu phng php phn chng bn c cng tham kho. V d 1: ( thi hc sinh gii H Ni 2002) An c 13 hp bi m tng s bi trong ba hp bt k l mt s l. Hi tng s bi trong c 13 hp c l mt s l khng? V sao? Li gii: Gi s trong 13 hp bi cho tn ti t nht mt hp c s bi l chn. Kt hp hp bi chn vi 2 hp l bt k ta c tng s bi ca 3 hp l s chn (v: l + l + chn = chn) iu ny tri vi bi l tng s bi 3 hp bt k l mt s l. Vy iu gi s ca chng ta l sai. Nh vy tt c 13 hp bi u l s l trong mi hp. Suy ra tng s bi trong 13 hp l mt s l.

  • Phn tch: Qua li gii bi ton trn, ta thy xut pht t bi cho 3 hp bi bt k c tng s bi l l, nh vy ch c hai kh nng xy ra: Trng hp 1: l + l + l = l Trng hp 2: l + chn + chn = l Trng hp 1 ta suy ra s bi trong mi hp l s l nn tng s bi ca 13 hp l s l. Trng hp 2 ta ly mt hp chn kt hp vi hai hp bi l c kt qu l s chn suy ra tri vi bi l tng s bi ca 3 hp bt k l s l. T nhn xt thy rng nu ta ch ra c mt hp bt k c s bi chn th khng tha mn bi (li gii trn). Nh vy phng php phn chng l php suy lun da trn nhn xt: Nu nh t mt iu A no m bng suy din ta rt ra c mt iu v l, th iu A l sai hay iu tri ngc vi A l ng. V d 2: ( thi hc sinh gii qun Ph Nhun, TP. H Ch Minh 1992) Hy chng t rng trong 11 s t nhin bt k phi c t nht hai s m hiu ca chng chia ht cho 10. Li gii: Gi s trong 11 s t nhin cho khng c hai s no c hiu chia ht cho 10. em 11 s ln lt chia cho 10 ta c 11 s d nm trong khong t 0 n 9. Do iu gi s trn nn 11 s d ny phi i mt khc nhau, v nu c hai s d no bng nhau th hiu ca hai s b chia s chia ht cho 10 (iu ny tri vi iu gi s ban u). Vy trong khong t 0 n 9 phi c 11 s t nhin khc nhau. iu ny v l v t 0 n 9 ch c tt c 10 s t nhin. T chng t iu gi s ban u l sai. Vy trong 11 s t nhin bt k phi c t nht hai s m hiu ca chng chia ht cho 10. Qua hai v d trn chng ta thy php phn chng khng phi l cng c qu kh tm ra li gii ca bi ton. Bng cch tng t xin mi cc bn a ra li gii bi ton sau: Ba bn Tng, Trang, Linh thi u bng bn ginh c ba gii nht, nh, ba. Bn Tng ni: Ti c gii nh cn bn Trang c gii nht. Bn Trang ni: Ti c gii nh cn bn Linh c gii nht. Bn Linh ni: Bn Tng c gii nht cn bn Trang c gii ba. Bit rng mi cu ni ca mi bn u c mt phn ng v mt phn sai. Hi bn no c gii no?

    TH.S Phng Nh Thy(Trng Bi dng Cn b Gio dc H Ni, 67B Ca Bc, H Ni)

    TM HIU THM BA BI TON C BN V T S PHN TRM

    Bi ton 1 : Tm t s phn trm ca hai s.V d : Lp 5A c 25 hc sinh. trong c 13 hc sinh n. Hi s hc sinh n chim bao nhiu phn trm s hc sinh lp 5A ?T s phn trm ca s hc sinh n v s hc sinh lp 5A l :

    13 : 25 = 0,52 = 52%.Ngoi cch trn c th lp t s ca s hc sinh n v s hc sinh lp 5A :

  • Bi ton 2 : Tm a% ca mt s A cho trc.V d : Li sut tit kim l 0,5% mt thng. Mt ngi gi tit kim 1000000 ng. Tnh s tin li sau mt thng.Tin li sau mt thng l :

    1000000 x 0,5 : 100 = 5000 (ng).Ngoi cch trn c th lp t s ca s tin li v s tin gi :

    Bi ton 3 : Tm s A bit a% ca s .V d : Nm va qua mt nh my ch to c 1800 xe p. Tnh ra nh my t 120% k hoch. Hi theo k hoch, nh my d nh sn xut bao nhiu xe p ?S xe p nh my d nh sn xut l :

    1800 : 120 x 100 = 1500 (xe p).Ngoi cch trn c th lp t s ca s xe lm v s xe d nh lm :

    Hoc :

    T cch trnh by trn, c th thy : Bi ton 2 v bi ton 3 u l bi ton ngc vi bi ton 1Bi ton 2 : Bit t s ca hai s v s th hai. Tm s th nht.Bi ton 3 : Bit t s ca hai s v s th nht. Tm s th hai.Khi gii cc bi ton v t s phn trm c th a v cc dng ca ba bi ton c bn trn.V d 1 : Gi go thng ba tng 10% so vi thng hai, gi go thng t gim 10% so vi thng ba. Hi gi go thng t tng hay gim bao nhiu phn trm so vi thng hai ?Cc bc gii :Bc 1. Gi go thng ba so vi thng hai : 100% + 10% = 110%Bc 2. Gi go thng 4 so vi thng ba : 100% - 10% = 90%Bc 3. Gi go thng 4 so vi thng hai : 110% x 90% = 99%Bc 4. Gi go thng 4 gim so vi thng hai : 100% - 99% = 1%Theo cch gii ny, bc 3 vn dng bi ton c bn 2 (tm 90% ca 110%)Ngoi cch gii trn c th trnh by cch gii sau :

    Bc 1. T s ca gi go thng 2 v thng 3: hay: gi thng 2 =

    gi thng 3.

    Bc 2. T s ca gi go thng 4 v thng 3: hay: gi go thng 4

    = gi go thng 3.

    Bc 3. T s gi go thng 4 v thng 2 : hay gi go thng 4 bng 99% gi go thng 2.Bc 4. Gi go thng 4 gim so vi thng 2 : 100% - 99% = 1%

  • V d 2 : Lng nc trong ht ti l 15%, trong ht kh l 5%. Hi 200 kg ht ti sau khi phi kh cho bao nhiu kg ht kh ? Cc bc gii : Bc 1. Tm lng ht trong 200 kg ht ti ?

    200 x (100% - 15%) = 170 (kg)Bc 2. Tm lng ht kh thu c ?

    170 : (100% - 5%) = (kg) (*)Li bnh : bc 1 vn dng bi ton c bn 2 (tm 85 % ca 200 kg) ; bc 2 vn dng bi ton c bn 3 (tm mt s bit 95 % ca n l 170 kg).Bn c c th tham kho mt hng gii sau y :

    Lng ht kh (tm s b chia) =

    Vy lng ht kh thu c l : Vi bi ton v t s phn trm, c th vn dng trc tip ba bi ton c bn hoc c th dng phng php lp t s gii cc bi ton .(*) Tc gi xin co li gii sai bi ny trong TTT s 29.LTS : Trn din n ca website : toantuoitho.nxbgd.com.vn, bn Trng Th Nhn , 168/1/8 Hng Mai, qun Hai B Trng, H Ni (conhandongtam) cng ch ra li gii sai v d 2 (TTT s 29) v a ra li gii ng. Cm n bn.

    VN DNG KT QU MT BI TON

    Trong qu trnh dy hc chng ti thy rng cc em thng c thi quen gii xong mt bi ton xem nh l mnh hon thnh cng vic c giao v dng li , t c em hc sinh no bit ch ng, khai thc, tm ti, suy ngh, vn dng n gii mt s bi ton khc. Sau y chng ta th lm quen vi bi ton sau v vn dng n gii mt s bi ton khc. Bi ton: Cho hnh thang ABCD. Hai ng cho AC v BD ct nhau ti im O. Hy chng t rng:SABD = SABC; SCDB = SCDA; SAOD = SBOC ( y ta k hiu: S l din tch; SABD: c l din tch tam gic ABD ...) Gii: (hnh 1)

  • Ta c: a) SABD = SABC (v cng chung y AB v c ng cao bng ng cao ca hnh thang) b) SCDB = SCDA (v cng chung y CD v c ng cao bng ng cao ca hnh thang) c) V SABD = SABC nn ta c: SAOD + SAOB = SBOC + SAOB Suy ra: SAOD = SBOC (cng bt 2 v i SAOB) By gi chng ta vn dng ba cp tam gic c din tch bng nhau ni trn gii bi ton sau: V d 1: Cho tam gic ABC. Gi M l mt im bt k trn cnh BC sao cho MB < MC. Qua M hy k mt ng thng chia din tch tam gic ABC thnh hai phn c din tch bng nhau. Gii: V MB < MC, khi ta c SAMB < SAMC nn ng thng cn k phi ct cnh AC ca tam gic ABC. Cch 1: Gi O l im chnh gia ca BC. Ni AM, AO. Qua O k ng thng song song vi AM ct AC ti N. Ta c ng thng qua M, N l ng thng cn k. (hnh 2)

    Tht vy: T gic ANOM l hnh thang nn SAIN = SMIO. Mt khc: SAOC = 1/2. SABC = SAIN + SCOIN = SMIO + SCOIN = SCMN Cch 2: Qua nh B k ng thng song song vi AM ct AC ko di ti D. Gi N l im chnh gia ca on thng CD. ng thng qua M, N l ng thng cn k. (hnh 3)

    Tht vy: Ta c t gic AMBD l hnh thang nn SABM = SADM suy ra SABC = SDMC = SAMC + SAMD v v M l im chnh gia ca CD nn SDMN = SCMN = 1/2. SABC

  • Cc bn c th gii c cc bi ton sau y khng? Bi ton 1: Cho t gic ABCD. Hy tm im M trn cnh ca t gic ABCD sao cho khi ni AM th on thng AM chia t gic ABCD thnh hai phn c din tch bng nhau. Bi ton 2: Cho tam gic ABC. Gi M l im bt k trn BC, qua M hy k 1 ng thng chia tam gic ABC thnh hai phn c din tch phn ny gp 4 ln phn kia. Bi ton 3: Cho t gic ABCD. Gi M l im bt k trn AB. Tm im N trn cnh ca t gic khi ni M vi N th on MN chia t gic ABCD thnh hai phn c din tch bng nhau.

    L Trng Chu (Gio vin Trng THCS Bnh Lc, Can Lc, H Tnh)

    VN DNG TNH CHT CHIA HT GII TON

    Khi gii cc bi tp ton lin quan n chia ht, chng ta thng s dng du hiu chia ht cho 2 ; 3 ; 5 v 9. Tuy nhin trong thc t c nhiu bi phi vn dng mt s tnh cht chia ht khc gii. Chng ta cng tm hiu mt s v d sau : V d 1 : Cho M l mt s c ba ch s v N l s c ba ch s vit theo th t ngc li ca M. Bit M ln hn N. Hy chng t rng hiu ca M v N chia ht cho 3. Phn tch : Hiu hai s chia ht cho mt s no khi s b tr v s tr cng chia ht cho s hoc s b tr v s tr c cng s d khi chia cho s . Da vo tnh cht ny ta chng t hiu chia ht cho mt s no bng cch chng t s b tr v s tr c cng s d khi chia cho s . Gii : t (a > c > 0 ; a, b, c l ch s), khi

    . Gi s chia cho 3 d r (0 r < 3) th a + b + c chia cho 3 cng d r. Do a + b + c = c + b + a nn chia cho 3 cng c s d r. Vy hiu M - N chia ht cho 3. V d 2 : Nu em s 31513 v 34369 chia cho s c ba ch s th c hai php chia u c s d bng nhau. Hy tm s d ca hai php chia . ( thi Tiu hc Thi Lan) Phn tch : Nu hai s chia cho s no c cng s d th hiu ca chng s chia ht cho s . V s 31513 v 34369 chia cho s c ba ch s c s d bng nhau nn hiu ca chng chia ht cho s c ba ch s . T ta tm c s chia suy ra s d Gii : Gi s chia ca hai s cho l (a > 0 ; a, b, c < 10). V hai s cho chia cho s u c s d bng nhau nn (34369 - 31513) chia ht cho hay 2856 chia ht cho . Do 2856 = 4 x 714 nn = 714. Thc hin php tnh ta c : 31513 : 714 = 44 (d 97) ; 34369 : 714 = 48 (d 97). Vy s d ca hai php chia l 97.

  • V d 3 : Tm thng v s d ca php chia sau : (1 x 2 x 3 x 4 x 5 x x 15 + 200) : 182. Phn tch : Nu trong mt tng c mt s hng chia cho mt s no d r cn cc s hng khc chia ht cho s th s d ca tng chnh l r. Thng ca tng chnh l tng cc thng ca tng s hng. Nu cc s chia cho s u c d th s d ca tng chnh l tng s d ca tng s hng, nu tng cc s d nh hn s chia. Vy ta xt xem mi s hng ca tng chia cho s chia c s d l bao nhiu. T ta tnh c thng v s d ca php chia . Gii : V 182 = 2 x 7 x 13 nn s hng th nht ca tng (1 x 2 x 3 x 4 x 5 x ..... x 15) chia ht cho 182. V 200 : 182 = 1 (d 18) nn s hng th hai ca tng chia cho 182 c 1 v d 18. Vy s d trong php chia chnh l 18 v thng trong php chia chnh l kt qu ca php tnh : 1 x 3 x 4 x 5 x 6 x 8 x 9 x 10 x 11 x 12 x 14 x 15 + 1. (Bn c t tm ra p s) V d 4 : Mt ngi hi anh chng chn cu : Anh c bao nhiu con cu ?. Anh chn cu tr li : S cu ca ti nhiu hn 4000 con nhng khng qu 5000 con. Nu chia s cu cho 9 th d 3, chia cho 6 cng d 3 cn chia cho 25 th d 19. Hi anh c bao nhiu con cu ? Phn tch : V s cu ca anh chia cho 9 d 3 cn chia cho 25 d 19 m 3 + 6 = 9 v 19 + 6 = 25 nn nu thm 6 con cu vo s cu ca anh th s cu lc ny s chia ht cho 9 v 25. Ta li c 9 x 25 = 225 nn s cu chia ht cho 225. T ta tm cc s ln hn 4000 + 6 v khng vt qu 5000 + 6 chia ht cho 225 ri th thm iu kin chia cho 6 d 3 tm c s cu ca anh chn cu. Gii : V s cu ca anh chn cu chia cho 9 d 3 v chia cho 25 d 19 nn nu thm 6 con cu vo s cu ca anh chn cu th s cu lc ny chia ht cho 9 v 25. Do s cu chia ht cho 225 (v 9 x 25 = 225). S cu sau khi thm 6 con phi ln hn : 4000 + 6 = 4006 v khng vt qu 5000 + 6 = 5006. Do vy s cu sau khi thm c th l 4950 con, 4725 con, 4500 con. V s cu sau khi thm 6 con chia cho 6 vn d 3 nn ch c 4725 l tha mn u bi. Vy s cu hin c ca anh l : 4725 - 6 = 4719 (con). Trn y l 4 v d tiu biu m khi gii phi vn dng mt s tnh cht chia ht. Nhng tnh cht ny khng c trong chng trnh c bn ca tiu hc. Tuy nhin ta d dng tm thy n qua cc bi ton. Hc ton chng ta cn phi tm ti, sng to v vn dng kin thc c hc mt cch linh hot mi thy c v p ca ton hc phi khng cc bn ? Hi vng bi vit ny l mt kinh nghim nh gip cc bn hc tt hn.

    Phan Duy Ngha (Xm 9, c Lm, c Th, H Tnh)

    TNH DI QUNG NG TRONG BI TON CHUYN NG U

    Chng ta bit rng, trong bi ton chuyn ng u, khi qung ng khng i, vn tc v thi gian l hai i lng t l nghch. Vy chng ta vn dng iu kin ny vo vic tnh di qung ng trong cc bi ton chuyn ng u nh th no ? Hy cng tm hiu qua cc bi ton sau :

  • Bi ton 1 : Mt t i t A n B vi vn tc 30 km/gi. Sau i t B v A vi vn tc 45 km/gi. Tnh qung ng AB bit thi gian i t B v A t hn thi gian i t A n B l 40 pht. Phn tch : t i t A n B sau li t B v A nn qung ng i v qung ng v bng nhau. Qung ng nh nhau nn vn tc v thi gian l hai i lng t l nghch vi nhau. Bi ton cho bit vn tc khi i v vn tc khi v. Da vo ta c th xy dng mi quan h gia thi gian i v thi gian v ri t tm ra p s ca bi ton. Gii : T s gia vn tc i v vn tc v trn qung ng AB l : 30 : 45 = 2/3. V qung ng nh nhau nn vn tc v thi gian l hai i lng t l nghch vi nhau. Do t s thi gian i v thi gian v l 3/2. Ta c s :

    Thi gian i t A n B l : 40 x 3 = 120 (pht) i 120 pht = 2 gi Qung ng AB di l : 30 x 2 = 60 (km) Bi ton 2 : Mt t d nh i t C n D trong 3 gi. Do thi tit xu nn vn tc ca t gim 14 km/gi v v vy n D mun 1 gi so vi thi gian d nh. Tnh qung ng CD. Phn tch : Bi ton ny khc vi bi ton trc ch bi trc cho bit vn tc i v v, ta i tm t s thi gian i v v. Bi ny cho bit thi gian d nh v thi gian thc i, ta tm t s vn tc d nh v vn tc thc i. a bi ton v dng ton tm hai s bit hiu v t gii. Gii : Thi gian t thc i qung ng CD l : 3 + 1 = 4 (gi) T s gia thi gian d nh v thi gian thc i l 3 : 4 = 3/4. V qung ng CD khng i nn vn tc v thi gian l hai i lng t l nghch vi nhau. Do t s vn tc d nh (vd nh) v vn tc thc i (vthc i) l 4/3. Nu vd nh v vthc i tnh theo n v km/gi th ta c s sau :

    Vn tc d nh i qung ng CD l : 14 x 4 = 56 (km/gi) Qung ng CD di l : 56 x 3 = 168 (km). Bi ton 3 : Mt ca n xui dng t A n B ht 5 gi v ngc dng t B v A ht 6 gi. Tnh khong cch AB bit vn tc dng nc l 3 km/gi. Phn tch : y l bi ton chuyn ng trn dng nc. Ngoi gi thit m bi ton cho, chng ta cn bit thm kin thc v chuyn ng trn dng nc nh sau :

  • Vn tc xui dng = Vn tc thc + Vn tc dng nc. Vn tc ngc dng = Vn tc thc - Vn tc dng nc. T ta c : Vn tc xui dng - Vn tc ngc dng = 2 x Vn tc dng nc. Bi ton ny cho bit vn tc dng nc nn ta tnh c hiu vn tc xui dng v ngc dng. Bit thi gian xui dng v thi gian ngc dng ta da vo tm t s vn tc v a v dng ton tm 2 s bit hiu v t. Gii : Hiu vn tc xui dng v vn tc ngc dng chnh l 2 ln vn tc dng nc nn hiu l : 3 x 2 = 6 (km/gi) T s thi gian xui dng v thi gian ngc dng l 5 : 6 = 5/6. V qung ng khng i nn vn tc v thi gian l hai i lng t l nghch. Do t s vn tc xui dng v ngc dng l 6/5. Ta c s :

    Vn tc xui dng l : 6 x 6 = 36 (km/gi) Qung ng AB l : 36 x 5 = 180 (km). Ba bi ton trn cn c nhng cch gii khc, nhng ti ch trnh by mt cch c trng cho mi quan h gia vn tc v thi gian khi qung ng khng i. Bn c hy tm cch gii khc v gii tip cc bi ton sau y th sc mnh nh. Bi 1 : Mt ngi i xe my t A n B. Nu i vi vn tc 25 km/gi th n B chm 2 gi, nu i vi vn tc 30 km/gi th n B chm mt 1 gi. Tnh qung ng AB. Bi 2 : Mt ngi i t Thanh Ha ra H Ni vi vn tc 50 km/gi. Sau ngi i t H Ni v Thanh Ha vi vn tc 30 km/gi. Tng thi gian c i ln v (khng k thi gian ngh) l 512 pht. Tnh qung ng H Ni - Thanh Ha. Bi 3 : Mt ca n xui dng ht 2 gi 30 pht v ngc dng ht 3 gi 30 pht. Tnh chiu di on sng bit vn tc dng nc l 3 km/gi.

    PHNG PHP ... DIN TCH ?

    K hiu : Din tch ca hnh (P) l dt (P).Cnh y ca tam gic (Q) l c.y (Q).Chiu cao ca tam gic (Q) l c.cao (Q).Khi gp cc bi ton kh v din tch (dt) cc hnh, c bit l cc bi ton lin quan n dt tam gic, chng ta thng lng tng khng bit xoay s th no, nn bt u t u. gii tt loi ton ny cc em cn nm vng v vn dng linh hot cc kin thc sau :1. Nu hnh (P) khng th tnh c trc tip din tch th tnh dt (P) ta c th lm

  • theo cc cch sau :- Chia hnh (P) thnh cc hnh d tnh dt hn, tnh dt cc hnh ri cng li.- B sung vo hnh (P) mt s hnh (d tnh c dt) c hnh (Q) d tnh dt hn, ri ly dt (Q) tr i dt ca cc hnh b sung.2. Nu hai tam gic (P) v (Q) c :- Chung c.y hoc hai c.y bng nhau v c.cao (P) = k x c.cao (Q) th dt (P) = k x dt (Q).- Chung c.y hoc hai c.y bng nhau v dt (P) = k x dt (Q) th c.cao (P) = k x c.cao (Q).- Chung c.cao hoc hai c.cao bng nhau v c.y (P) = k x c.y (Q) th dt (P) = k x dt (Q).- Chung c.cao hoc hai c.cao bng nhau v dt (P) = k x dt (Q) th c.y (P) = k x c.y (Q).Sau y l mt s v d :V d 1 : Cho hnh ch nht ABCD, gi M v N ln lt l im chnh gia ca AB v CD. Ni DM, BN ct AC ti I v K. Chng t rng AI = IK = KC.

    Gii : ( bi ny ta cn vn dng mi quan h gia din tch, c.y v c.cao ca tam gic)Ta c : dt (ABC) = 2 x dt (AMD) (v AB = 2 x AM v AD = BC) ; dt (DCM) = dt (ABC) (v AB = DC v c.cao cng bng BC)Suy ra dt (DCM) = 2 x dt (AMD). Gi CH v AE ln lt l chiu cao ca tam gic DCM v DAM xung y DM, khi CH = 2 x AE. Nhng CH v AE ln lt l chiu cao ca tam gic ICM v IAM c chung cnh y IM. Vy dt (ICM) = 2 x dt (IAM). M tam gic IAM v ICM chung chiu cao t M, do IC = 2 x AI, suy ra AC = 3 x AI hay AI = 1/3 AC.Lm tng t vi cc cp tam gic ABN v CBN ; KCN v KAN ta c KC = 1/3 AC. Vy AI = KC = 1/3 AC, suy ra IK = 1/3 AC.Do AI = IK = KC.Ch : y chng t cc on thng bng nhau ta phi chng t cc tam gic c chung chiu cao v din tch bng nhau.V d 2 : Cho tam gic ABC, gi cc im M, N ln lt nm trn cc cnh AB, AC sao cho : AB = 3 x AM, AC = 3 x AN. Gi I l im chnh gia ca cnh BC.a) Chng t rng t gic BMNC l hnh thang v BC = 3 x MN.b) Chng t rng cc on thng BN, CM, AI cng ct nhau ti mt im.

    Gii :a) V AB = 3 x AM, AC = 3 x AN, nn MB = 2/3 x AB, NC = 2/3 x AC.

  • T suy ra : dt (MBC) = 2/3 x dt (ABC) (chung chiu cao t C)dt (NCB) = 2/3 x dt (ABC) (chung chiu cao t B)Vy dt (MBC) = dt (NCB) m tam gic MBC v tam gic NCB c chung y BC, nn chiu cao t M bng chiu cao t N xung y BC hay MN song song vi BC. Do BMNC l hnh thang.T MB = 2/3 x AB, nn dt (MBN) = 2/3 x dt (ABN) (chung chiu cao t N) hay dt (ABN) = 2/3 x dt (MBN).Hn na t AC = 3 x AN, nn NC = 2 x AN, do dt (NBC) = 2 x dt (ABN) (chung chiu cao t B) ; suy ra dt (NBC) = 3/2 x 2 x dt (MBN) = 3 x dt (MBN).M tam gic NBC v tam gic MBN c chiu cao bng nhau (cng l chiu cao ca hnh thang BMNC). V vy y BC = 3 x MN.b) Gi BN ct CM ti O. Ta s chng t AI cng ct BN ti O. Mun vy, ni AO ko di ct BC ti K, ta s chng t K l im chnh gia ca BC (hay K trng vi I).Theo phn a) ta c dt (NBC) = 2 x dt (ABN). M tam gic NBC v tam gic ABN c chung y BN, nn chiu cao t C gp 2 ln chiu cao t A xung y BN. Nhng l chiu cao tng ng ca hai tam gic BCO v BAO c chung y BO, v vy dt (BCO) = 2 x dt (BAO)Tng t ta cng c dt (BCO) = 2 x dt (CAO).Do dt (BAO) = dt (CAO). Hai tam gic BAO v CAO c chung y AO, nn chiu cao t B bng chiu cao t C xung y AO. cng l chiu cao tng ng ca hai tam gic BOK v COK c chung y OK, v vy dt (BOK) = dt (COK). M hai tam gic BOK v tam gic COK li chung chiu cao t O, nn hai y BK = CK hay K l im chnh gia ca cnh BC. Vy im K trng vi im I hay BN, CM, AI cng ct nhau ti im O.Bi tp thc hnh : Cho tam gic ABC, gi M l im chnh gia ca cnh BC v N nm trn cnh AC sao cho NC = 2 x NA. Ko di MN ct cnh BA ko di ti P.a) Chng t rng AB = AP.b) Gi Q l im chnh gia ca PC. Chng t rng ba im B, N, Q cng nm trn mt ng thng.c) Hy so snh : PN v NM ; BN v NQ.

    GII TON TO LP S

    Trong chng trnh bi dng hc sinh gii tiu hc, dng ton To lp s c cp ngay t lp 1. Cng ln lp trn th cu trc ca dng ton ny yu cu phc tp hn. Vy vic dy v hc ton To lp s nh th no cho c hiu qu cao. Chng ta hy cng trao i qua cc bi ton sau :Bi ton 1 : Cho cc ch s 1, 3, 5.a) Lp cc s c 3 ch s t nhng ch s trn.b) Lp cc s c 3 ch s khc nhau t nhng ch s trn.Phn tch :a) Cc s lp c tha mn cc iu kin :- C 3 ch s.- T cc ch s cho.- Mi ch s c th lp li trong mi s.Nh vy ta c s hnh cy nh sau :

  • b) Cc s lp c tha mn cc yu cu sau :- C 3 ch s.- T cc ch s cho.- Mi ch s ch xut hin mt ln mi s (khc a).Ta c s sau :

    Gii : Nhn vo s hnh cy (1) ta thy :a) Cc s c 3 ch s tha mn yu cu u bi l : 111, 113, 115, 131, 133, 135, 151, 153, 155, 311, 313, 315, 331, 333, 335, 351, 353, 355, 511, 513, 515, 531, 533, 535, 551, 553, 555.b) Nhn vo s hnh cy (2) ta c ngay cc s tha mn u bi l :135, 1


Tieu Su DHP - Caodaism HO PHAP/Tieu Su DHP.pdf · Bao nhiêu tinh đẩu là con cái nhà. Nguyệt lại hỏi đến người quân tử: Buổi vân lôi ai giữ kinh luân?

Tieu Su DHP - Caodaism HO PHAP/Tieu Su DHP.pdf · Bao nhiêu tinh đẩu là con cái nhà. Nguyệt lại hỏi đến người quân tử: Buổi vân lôi ai giữ kinh luân?

Documents
Hiep dinh xuat nhap khau go viet nam-eu go hop phap vao eu theo tieu chuan hop ly nao

Hiep dinh xuat nhap khau go viet nam-eu go hop phap vao eu theo tieu chuan hop ly nao

Environment
Quy Phap Ngu Phap Tieng Viet

Quy Phap Ngu Phap Tieng Viet

Documents
Giai Phap Phat Trien Thi Truong Tieu Thu Vai Thanh Ha Giai Doan 2011-2015

Giai Phap Phat Trien Thi Truong Tieu Thu Vai Thanh Ha Giai Doan 2011-2015

Documents
Tieu LuanVSATTP

Tieu LuanVSATTP

Documents
Tieu luan phuong phap toan ly(cao hoc)

Tieu luan phuong phap toan ly(cao hoc)

Education
Tieu duong

Tieu duong

Internet
Tieu Su DHP - daotam.info HO PHAP/Tieu Su DHP.pdf · người ta bổn phận đối với mình, với gia đình, với xã hội, với nhân loại. II - Về phương diện

Tieu Su DHP - daotam.info HO PHAP/Tieu Su DHP.pdf · người ta bổn phận đối với mình, với gia đình, với xã hội, với nhân loại. II - Về phương diện

Documents
Ngu Phap Tieng Han Quoc- Tieu Chuan

Ngu Phap Tieng Han Quoc- Tieu Chuan

Documents
Dac tri tao bon, dac tri roi loan tieu hoa o tre, tri bieng an, giai phap cho be thieu canxi

Dac tri tao bon, dac tri roi loan tieu hoa o tre, tri bieng an, giai phap cho be thieu canxi

Health & Medicine
Giao Trinh Di Truyen Hoc.pdf

Giao Trinh Di Truyen Hoc.pdf

Documents
DE CUONG DONG VAT HOC.pdf

DE CUONG DONG VAT HOC.pdf

Documents
phuong phap khoa hoc.pdf

phuong phap khoa hoc.pdf

Documents
Giai phap-kinhte-thuc-day-tieu-thu

Giai phap-kinhte-thuc-day-tieu-thu

Documents
Phap Luan Dai Phap 2013

Phap Luan Dai Phap 2013

Documents
l~p H~nh S5: 9J H6 - psdh.uel.edu.vn · Phap luat Viet Nam : v~ baa ve moi truong trong hoat dong thao do' tau bien da: qua sir dung, Phap luat baa v¢ nguoi tieu dun g trong. Iinh

l~p H~nh S5: 9J H6 - psdh.uel.edu.vn · Phap luat Viet Nam : v~ baa ve moi truong trong hoat dong thao do' tau bien da: qua sir dung, Phap luat baa v¢ nguoi tieu dun g trong. Iinh

Documents
Nhiet dong hoa hoc.pdf

Nhiet dong hoa hoc.pdf

Documents
Cac bai giang ve so hoc.pdf

Cac bai giang ve so hoc.pdf

Documents
Chu tieu va thu phap

Chu tieu va thu phap

Documents
Huong dan dinh duong van dong - f2.hcm.edu.vnf2.hcm.edu.vn/.../hcmedu/ththuankieu/Attachments/huong...dong-tieu-hoc.pdf · LỜI NÓI ĐẦU Ch ăm sóc và b ảo v ệ s ức kh

Huong dan dinh duong van dong - f2.hcm.edu.vnf2.hcm.edu.vn/.../hcmedu/ththuankieu/Attachments/huong...dong-tieu-hoc.pdf · LỜI NÓI ĐẦU Ch ăm sóc và b ảo v ệ s ức kh

Documents
OU ~. DANKIA B... · 2019-03-29 · ~tt Chi tieu Phjrong phap DO'nvitinh Gi6i han K~t qua Tieu chuan K~t ki€m nghi~m kiem ughi~m t5i oa dauh gia lu~n T6ng s6ch~t r~n APHA -2540

OU ~. DANKIA B... · 2019-03-29 · ~tt Chi tieu Phjrong phap DO'nvitinh Gi6i han K~t qua Tieu chuan K~t ki€m nghi~m kiem ughi~m t5i oa dauh gia lu~n T6ng s6ch~t r~n APHA -2540

Documents
Tieu luan.doc

Tieu luan.doc

Technology
mot so dinh li, tinh chat hinh hoc.pdf

mot so dinh li, tinh chat hinh hoc.pdf

Documents
CONG HOA XA HOI CHU NGHTA VIET NAM EXIM3ANK VJFDoc … · I. Nhirng muc tieu va giai phap chu yeu trong nam 2017 1.Muc tieu:-Dat uu tien xd ly np ton dpng, dac biet la np da ban VAMC,

CONG HOA XA HOI CHU NGHTA VIET NAM EXIM3ANK VJFDoc … · I. Nhirng muc tieu va giai phap chu yeu trong nam 2017 1.Muc tieu:-Dat uu tien xd ly np ton dpng, dac biet la np da ban VAMC,

Documents
Tailieu.vncty.com tieu luan nhung van de ly luan co ban ve phuong phap chi so

Tailieu.vncty.com tieu luan nhung van de ly luan co ban ve phuong phap chi so

Documents
Tài liệu về phương pháp thực hiện - ntu.edu.vnntu.edu.vn/Portals/73/Huong dan thuc hien bao cao va tieu luan khoa hoc.pdf · 2 Lời nói đầu Việc thực hiện một

Tài liệu về phương pháp thực hiện - ntu.edu.vnntu.edu.vn/Portals/73/Huong dan thuc hien bao cao va tieu luan khoa hoc.pdf · 2 Lời nói đầu Việc thực hiện một

Documents
caodangvinhphuc.edu.vncaodangvinhphuc.edu.vn/uploads/xem-diem-thi-hp/2016_06/k19-tieu-hoc.pdf · Hoa Hoa Hoa Huyén Huyén Huyèn Hu&ng Lan Liên Linh L inh Linh L inh Linh Loan Luong

caodangvinhphuc.edu.vncaodangvinhphuc.edu.vn/uploads/xem-diem-thi-hp/2016_06/k19-tieu-hoc.pdf · Hoa Hoa Hoa Huyén Huyén Huyèn Hu&ng Lan Liên Linh L inh Linh L inh Linh Loan Luong

Documents
Y NGHIA HOANG PHAP VA HO PHAP

Y NGHIA HOANG PHAP VA HO PHAP

Documents
BQ TU PHAP CONG HOA XA HQI CHU NGHIA VIET NAM Doc lap - … · thucmg nam 2018 doi vdi Trg giup vien phap ly. 11. Cac trudng hgp mien, giam chi tieu va bien dong khac 1. Giam doc

BQ TU PHAP CONG HOA XA HQI CHU NGHIA VIET NAM Doc lap - … · thucmg nam 2018 doi vdi Trg giup vien phap ly. 11. Cac trudng hgp mien, giam chi tieu va bien dong khac 1. Giam doc

Documents
A THONG KE Y TE - tailieudientu.lrc.tnu.edu.vntailieudientu.lrc.tnu.edu.vn/Upload/Collection/brief/brief_41805... · Phudng phap tieu chuftn hoa ... Phu luc. Phan loai thong ke quoc

A THONG KE Y TE - tailieudientu.lrc.tnu.edu.vntailieudientu.lrc.tnu.edu.vn/Upload/Collection/brief/brief_41805... · Phudng phap tieu chuftn hoa ... Phu luc. Phan loai thong ke quoc

Documents