C alculo Variacionalarquivos.info.ufrn.br/arquivos/2011244010f88d69967533e312d9ccf0… · Summary C alculo Variacional Hector L. Carrion ECT-UFRN Natal, Maio, 2011 Hector L.Carrion

Summary

Calculo Variacional

Hector L. Carrion

ECT-UFRN

Natal, Maio, 2011

Hector L.Carrion aula-ECT/UFRN

Motivacoesdefinicao

Variacao de uma funcional δJextremo de uma funcionalPrincipio de mınima acao

multiplicador de Lagrandegeodesicas de superficies no R3

Referencias

Summary1 Motivacoes2 Funcional

Funcional Linearvariacao ou incremento δycontinuidade de funcional

3 Variacao de uma funcional δJPrimeira definicao da variacao de uma funcionalSegunda definicao da variacao de uma funcional

4 condicao necessaria: Equacao de EulerProblema elementar do C. V.Aplicacoes importantesfuncionais que dependem de n funcoesProblema variacional na forma parametrica

5 Princıpio de Hamiltonequacoes canonicas de movimento

6 Extremo de Funcional condicionado7 geodesicas de superficies no R3

8 ReferenciasHector L.Carrion aula-ECT/UFRN

Motivacoesdefinicao



Referencias








Motivacoesdefinicao



Referencias

Dado dois pontos arbitrarios num plano vertical, e seja umapartıcula que viaja entre estes pontos submetido unicamente a acaoda gravidade. Qual e o percurso que minimiza o tempo da viagem?(braquistocrona).

Dada uma superfıcie S, qual o caminho de comprimento mınimoentre dois pontos da superfıcie? (geodesica)

dada uma curva fechada numa superfıcie, qual e a forma da curvatal que a area interna seja maxima??

considere a ponta de um aviao, e ela viaja horizontalmente dentro deum fluido(ar), qual e a forma da superfıcie da ponta do aviao tal quea resistencia do ar seja mınima?.


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Referencias


definicao

Seja M um espaco de funcoes de uma classe dada, por exemplo, porfuncoes contınuas num intervalo I ⊂ R. Uma funcional e uma regra queassocia a cada funcao y(x) do espaco M a um unico numero real. R e areta real.

J : M → Ry(x) 7→ J[y(x)] ∈ R.

Pode-se dizer que M e campo de definicoes da funcional J[y(x)].Exemplo 1SejaM = {conjunto de funcoes contınuas no intervalo I = [0, 1]} ≡ C 0[0, 1],logo

J[y(x)] =

∫ 1

0

y(x)dx ,

e uma funcional. x ∈ I ⊂ RHector L.Carrion aula-ECT/UFRN

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Referencias


Exemplo 2SejaM = {conjunto de funcoes contınuas no intervalo I = [a, b]} ≡ C 0[a, a],logo

J[y(x)] = y(x0),

e uma funcional. x0 ∈ I x0 numero fixoExemplo 3Seja M = C 0(R), logo

J[y(x)] =

∫ +∞

−∞δ(x − x0)y(x)dx = y(x0), x0 ∈ R.

J[y(x)] e uma funcional, muito importante na mecanica quantica. Estafuncional atua na funcao y(x) como um filtro que ”deixa escapar”apenaso valor y(x0).


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Referencias


Exemplo 4Seja M = C 1[a, b], / y(x) ∈ M. M e o conjunto de funcoes com domıniono intervalo I = [a, b] e ate a primeira derivada contınua. logo

J[y(x)] =

∫ 1

−1ϕ(x , y(x), y ′(x))dx , y ′(x) =

dy(x)

dx

J e uma funcional.I) Seja : ϕ(x , y , y ′) = xy2 + y ′,analise nos seguintes casos: a) y = kx , b) y = x3.

II) Seja : ϕ(x , y , y ′) = x+y ′

sin(x)2+y2 , analise o caso y = cos(x)

III) Seja : ϕ(x , y ′) =∫ a

b

√1 + y ′2. Onde y(x) ∈ M, sendo M o conjunto

de funcoes com a primeira derivada contınua no intervalo I = [a, b]. Estafuncional aparece, por exemplo, quando associamos a equacao de umacurva num plano ao seu comprimento.


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Referencias


Exemplos adicionaisO funcional comprimento de arco. Considere a famılia de todas ascurvas suaves entre dois pontos A = (x1, y1),B = (x2, y2) no planoR2 . A integral

J[y(x)] =

∫ x1

x2

√1 + y ′2dx ≡ LAB , y ′(x) =

dy(x)

dx

e a funcional comprimento LAB de arco da curva y(x) que passapelos pontos A e B. Assim podemos associar a cada curva suave umunico numero que e o valor do funcional comprimento de arco.A ordenada do centro de massa X . Associado a uma curva feitade algum material, podemos calcular-lhe o centro de massa. Se acada curva associarmos a ordenada do seu centro de massa, temosaqui um outro exemplo de funcional.

J[y(x)] =

∫ a

b

xρ(x , y)√

1 + y ′2dx

ρ(x , y)√

1 + y ′2dx≡ X ,

ρ e a densidade linear da curva.Hector L.Carrion aula-ECT/UFRN

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Referencias


Funcional linear

Uma funcional linear J definida em M (espaco de definicoes de y(x)) edito linear se satisfaz as seguintes condicoes.

J[ay ] = aJ[y ], a ∈ RJ[y1 + y2] = J[y1] + J[y2].

Exemplo 1Seja M = {conjunto de funcoes contınuas no intervalo I = [c , d ] ⊂R} ≡ C 0[c , d ], logo

J[y ] =

∫ d

c

xydx ,

e uma funcional linear, verifique. x ∈ IExemplo 2Seja M ={conjunto de funcoes com a primeira derivada definida na reta real},logo, prove que

J[y ] = y ′ |x=x0 ,

e uma funcional linear. Hector L.Carrion aula-ECT/UFRN

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denomina-se δy(x) do argumento y(x) da funcional J[y(x)] a diferencaentre as funcoes y(x) e y0(x), pertencentes a classe M de funcoes.Seja M = {y(x), y1(x), .../ x ∈ I = [a, b] ∈ R}. M e o conjunto defuncoes de certa classe definidas em certo domınio I = [a, b]. Sejay(x) ∈ M, y0(x) ∈ M, logo

δy(x) = y(x)− y0(x), δy = y − y0(abreviado)

Definicao As funcoes y(x) e y0(x) no intervalo I = [a, b] sao proximasde ordem zero se |y(x)− y0(x)| < ε, onde ε e pequeno.

Exemplo 1 Seja y(x) = sin(nx)n2 e y0(x) = 0. Verifique que para n inteiro

e grande, as funcoes sao proximas no sentido de proximidade de ordemnulo.Exemplo 2 Seja y(x) = x e y0(x) = x3 no intervalo x ∈ I = [0, 1].Verifique que as funcoes sao proximas no sentido de proximidade deordem nulo.


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Referencias


Definicao As funcoes y(x) e y0(x) no intervalo I = [a, b] sao proximasde primeira ordem se

|y(x)− y0(x)| < ε, |y ′(x)− y ′0(x)| < η. (1)

ε, η sao pequenos.

Exemplo 3 Seja y(x) = sin(nx)n2 e y0(x) = 0. Verifique que para n inteiro

e grande, as funcoes sao proximas no sentido de proximidade de primeiroordem.Exemplo 4 Seja y(x) = sin(n2x)

n2 e y0(x) = 0. Verifique que para n inteiroe grande, as funcoes sao proximas no sentido de proximidade de ordemnulo, porem nao sao proximas em primeira ordem..Definicao Se denomina distancia entre as curvas y(x) e y0(x) nointervalo I = [a, b], o numero nao negativo ρ igual ao maximo do modulo|y(x)− y0(x)| = δy(x). Onde y(x) e y0(x) sao curvas contınuas nointervalo I = [a, b]

ρ = max|y(x)− y0(x)| = δy(x), a ≤ x ≤ b. (2)

Exemplo 1 Seja y(x) = x e y0(x) = x2 no intervalo x ∈ I = [0, 1].Determinar a distancia entre estas curvas.


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Referencias


Exemplo 2 Seja y(x) = x e y0(x) = ln(x) no intervalo x ∈ I = [e−1, e].Determinar a distancia entre estas curvas.Definicao Se denomina distancia de primeira ordem entre as curvas y(x)e y0(x) no intervalo I = [a, b], x ∈ I , o numero nao negativo ρ igual aomaior dos maximos dos modulos|y(x)− y0(x)| = δy(x), |y ′(x)− y ′0(x)| = δ1y(x).Onde y(x) e y0(x) sao curvas contınuas no intervalo I = [a, b]

ρ = max{δy(x), δ1y(x)} (3)

Exemplo 1 Seja y(x) = x2 e y0(x) = x3 no intervalo x ∈ I = [0, 1].Determinar a distancia de primeiao ordem entre estas curvas.Exemplo 2 Seja y(x) = ln(x) e y0(x) = x no intervalo x ∈ I = [e−1, e].Determinar a distancia de primeira ordem entre estas curvas.


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Referencias


Definicao. Dada uma funcional J[y(x)] definida na classe de funcoes Mchama-se contınua em y = y0(x) no sentido de proximidade de ordemzero se para todo numero ε > 0 existe um η > 0 tal que a desigualdade

|J[y(x)]− J[y0(x)]| < ε, (4)

se cumpre para todas as funcoes admissıveis y(x) com a condicao|y(x)− y0(x)| < η.

Exemplo 1 Demonstrar que a funcional J[y(x)] =∫ 1

0y+x2 dx e continua

na funcao y0(x) = 0.Exemplo 2 Analise a continuidade da funcional J[y(x)] = y(x0), ondey(x) ∈ C 0[a, b], e x0 ∈ [a, b]; no sentido de proximidade de ordem nulo.Segunda definicao Uma funcional J[y ] e continua na curva y0(x) seexiste o limite limα→0J[y0 + αδy ] e

limα→0J[y0(x) + αδy(x)] = J[y0(x)] (5)


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Referencias


Definicao. Dado uma funcional J[y(x)] definida na classe de funcoes Mchama-se contınua em y = y0(x) no sentido de proximidade de primeiroordem se para todo numero ε > 0 existe um numero η > 0 tal que adesigualdade

|J[y(x)]− J[y0(x)]| < ε, (6)

se cumpre para todas as funcoes admissıveis y(x) com a condicao|y(x)− y0(x)| < η, |y ′(x)− y ′0(x)| < η

Exemplo 1 Demonstrar que a funcional J[y(x)] =∫ 1

0(y + 2y ′)dx

considerada no espaco C 1[0, 1] e contınua na funcao y0(x) = x nosentido de proximidade de primeiro ordem.


Motivacoesdefinicao



Referencias

Primeira definicao da variacao de uma funcionalSegunda definicao da variacao de uma funcional








Motivacoesdefinicao



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Definicao Seja J[y(x)] uma funcional definida no conjunto M de funcoesde y(x), a quantidade

∆J = ∆J[y(x)] = J[y(x)]− J[y(x)] (7)

e o incremento da funcional J correspondente ao incremento δy de y(x).sendo y(x) = y(x) + δy , e y(x) ∈ M, y(x) ∈ M.

Exemplo 1 Determinar o incremento da funcional J[y(x)] =∫ 1

0yy ′dx

definida no espaco C 1[0, 1].a) Se y(x) = x , y(x) = x2.b) Se y(x) = ex , y(x) = x .

Exemplo 2 Determinar o incremento da funcional J[y(x)] =∫ 1

0yx dx

definida no espaco C 0[a, b], para uma funcao y(x) contınua arbitraria.


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Referencias


Definicao Se o incremento da funcional J[y(x)]

∆J = ∆J[y(x)] = J[y(x)]− J[y(x)] (8)

pode se representar na forma

∆J = L[y(x), δy ] + β(y(x), δy)||δy || (9)

onde L[y(x), δy ] e uma funcional linear em relacao a δy . E, alem disso,se β(y(x), δy)→ 0, quando ||δy || → 0, entao

∆J = δJ ≡ L[y(x), δy ] (10)

e a variacao da funcional L. Se diz entao que L[y(x)] e diferenciavel nafuncao y(x).


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Exemplo 3 Demonstre que a funcional J[y(x)] =∫ b

ayx dx e diferenciavel

em todo ”ponto”y(x) do espaco C 0[a, b].Propriedade importante: Toda funcional linear J[y(x)] continua ediferenciavel.Exemplo 4 Dada a funcional J[y(x)] =

∫ b

ay2 dx

a) Demonstre que e diferenciavel em todo ”ponto”y(x) do espacoC 0[a, b].b) Demonstre que a variacao de J[y(x)] e

δJ ≡ 2

∫ b

a

y δy dx (11)

Exemplo 5 Dada a funcional J[y(x)] =∫ b

ay2 dx considere y = 2x e

δy = αx2; comparar ∆J e δJ, para α = 1;α = −0, 1; 0, 01.


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Referencias


Derivada direcional de uma funcional.

δδyJ =∂J[y(x) + α δy ]

∂α. (12)

A variacao da funcional J[y(x)] no ponto y(x) e o valor da derivadadirecional de J[y(x) + α δy ] avaliada no valor α = 0.

δJ =∂J[y(x) + α δy ]

∂α|α=0 = limα→0

J[y(x) + α δy ]− J[y(x)]

α. (13)

Importante Se o limite definido na equacao (13) existe ou em formaequivalente se a derivada direcional definida em (13) existe , entaodizemos que a funcional J[y(x)] e diferenciavel no ”ponto”y(x).Exemplo 6 Determine a variacao da funcional J[y(x)] do exemplo 4utilizando a segunda definicao de variacao de uma funcional.


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Referencias


Exemplo 6 Determine a variacao da funcional J[y(x)] de acordo asegunda definicao de variacao de uma funcional nos seguintes casos.

a) J[y(x)] =∫ b

a(x + xy) dx

b) J[y(x)] =∫ b

a(y2 − y ′2) dx

c) J[y(x)] =∫ b

ay ′sin(y) dx .

Exemplo 7 Determine a variacao da funcional J[y(x)] de acordo asegunda definicao de variacao de uma funcional nos seguintes casos.

a) J[y(x)] =∫ b

aF (x , y) dx . J[y(x)] esta definida no espaco

M = C 0[a, b], F (x , y) e e uma funcao contınua nos seus argumentos comderivadas parciais contınuas ate da segunda ordem no recintoa� x � b,−∞ < y <∞.b) J[y(x)] =

∫ b

aF (x , y , y ′) dx . J[y(x)] esta definida no espaco

M = C 1[a, b], F (x , y , y ′) e e uma funcao continua em relacao a todosseus argumentos e com derivadas parciais contınuas ate de segundaordem no recinto a� x � b,−∞ < y <∞,−∞ < y ′ <∞.


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Referencias


respostas para o exemplo 7 anterior:a)

δJ =

∫ b

a

∂F (x , y)

∂yδy dx . (14)

b)

δJ =

∫ b

a

(∂F (x , y , y ′)

∂yδy +

∂F (x , y , y ′)

∂y ′δy ′)dx . (15)

Exemplo 8 Utilize os resultados anteriores do exemplo 7 para determinara variacao da funcional, nos seguintes casos

a) J[y(x)] =∫ 1

0(y + xy2) dx

b) J[y(x)] =∫ e

1(yy ′ + xy ′2) dx

c) J[y(x)] =∫ π0

y ′2sin(x) dx .Exemplo 9. Do exemplo 8 c, determinar ∆J e δJ quandoy = x sin(x), δy = k cos(x) e para os casos k = −1; 0, 3; k = 0, 03.


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Referencias

Problema elementar do C. V.Aplicacoes importantesfuncionais que dependem de n funcoesProblema variacional na forma parametrica








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Referencias


Dizemos que a funcional J[y(x)] alcanca seu maximo na curvay = y0(x), se os valores que toma a funcional J[y(x)] em qualquer curvaproxima a y = y0(x) nao sao maiores que J[y0(x)]. Ou seja, se

∆J = J[y(x)]− J[y0(x)] ≤ 0. (16)

Se ∆J ≤ 0 e se ∆J = 0 unicamente para y = y0(x) entao dizemos queJ[y(x)] alcanca maximo estrito na curva y = y0(x).De forma similar, dizemos que a funcional J[y(x)] alcanca seu mınimo nacurva y = y0(x), se os valores que toma a funcional J[y(x)] em qualquercurva proxima a y = y0(x) nao sao maiores que J[y0(x)]. Ou seja, se

∆J = J[y(x)]− J[y0(x)] ≥ 0. (17)

Se ∆J ≥ 0 e se ∆J = 0 unicamente para y = y0(x) entao dizemos queJ[y(x)] alcanca mınimo estrito na curva y = y0(x).


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Referencias


Exemplo 1 Dada a funcional J[y(x)] = −∫ 1

0(y − x)2 dx , demonstrar que

J[y(x)] alcanca o maximo estrito na curva y(x) = x .

Exemplo 2 Dada a funcional J[y(x)] =∫ 1

0(x2 + y2) dx , demonstrar que

J[y(x)] alcanca o mınimo estrito na curva y(x) = 0.Teorema: Condicao necessaria de extremo de uma funcionalSeja que y(x) pertence a uma certa classe de funcoes de M. Se afuncional J[y(x)] alcanca seu valor extremo na curva y0(x) entao

δJ[y0(x)] = 0. (18)

As funcoes y0(x) para as quais δJ[y0(x)] = 0 se denominam funcoesestacionarias.Exemplo 3 Seja a funcional J[y(x)] =

∫ b

ay y ′2 dx , sendo M =

{y(x) / y : [a, b]→ R; y ∈ C 2[a, b], y(a) = c , y(b) = d ; a, b, c , d ,∈ R}.Determine a funcao y0(x) que extremiza a funcional J[y(x)].


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equacao de Euler

Seja a funcional

J[y(x)] =

∫ b

a

L(y , y ′, x) dx , (19)

sendo M = {y(x) / y : [a, b]→ R; y ∈ C 2[a, b], }. Suponhamos que afuncao L(y , y ′, x) tenha derivadas parciais contınuas ate de segundaordem, inclusive em relacao a todos seus argumentos.O problema elementar do calculo variacional e : Entre todas as funcoesy(x) que tem derivada contınua e que satisfaz a condicao de fronteira fixa

y(a) = c , y(b) = d ; a, b, c , d ,∈ R (20)

Determine a funcao y(x) que extremiza a funcional J[y(x)] da equacao(19).


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Lema Fundamental do Calculo VariacionalSeja f : C [a, b]→ R, η : C [a, b]→ R, se∫ b

a

f (x) η(x) dx = 0, ∀ η(x), tal que η(a) = η(b) = 0

⇒f (x) = 0, ∀ x ∈ [a.b]. (21)

Teorema A condicao necessaria para que a funcional (19) sujeita ascondicoes (20) alcance seu valor extremo na funcao y(x) e que estafuncao verifique a equacao de Euler/Lagrange

Ly −d

dxLy ′ = 0, (22)

onde Ly = dLdy , Ly ′ = dL

dy ′ . As funcoes y(x) que resolvem a equacao (22)anterior se denominam curvas extremais ou curvas de Lagrange.Euler 1744Lagrande 1755 (19 anos).


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Exemplo 1 Em que curvas pode alcancar seu extremo a funcional

J[y(x)] =

∫ 2

1

(y ‘2 − 2xy) dx , y(1) = 0, y(2) = −1.

Exemplo 2 Em que curvas pode alcancar seu extremo a funcional

J[y(x)] =

∫ 3

1

(3x − y)y dx ,

com a condicao y(1) = 1, y(3) = 9/2.Exemplo 3 Encontre a curva extremal da funcional

J[y(x)] =

∫ 2π

0

(y ′2 − y2)y dx , tal que y(0) = 1, y(2π) = 1.


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Exercıcio 1.- Seja o plano R2 com metrica Euclidiana e os pontosA = (a, c) ∈ R2,B = (b, d) ∈ R2. Determine a equacao da curva planasuave que tenha o menor comprimento entre os pontos A e B.Exercıcio 2 :.- Problema do braquistrocronaConsidere dois pontos A e B fixos num plano vertical, e considere a acaode um campo gravitacional constante e vertical. Seja uma partıcula demassa m deslisando a partir do repouso sob acao da gravidade, ao longode uma curva arbitraria γ entre os pontos A e B. Qual deve ser aequacao da curva γ se queremos que o tempo do percurso entre A e Bseja mınimo?. Desprezar o atrito e outras forcas dissipativas sobre apartıcula de massa m.


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aplicacoes

Exercıcio 3.- Seja uma curva y = y(x) que passa pelos pontosA = (x0, y0) e B = (x1, y1). Considere uma superfıcie S gerada pelarotacao desta curva ao redor do eixo x . Encontre a forma da curva y(x)de tal forma que a superfıcie de revolucao S seja mınima.Exercıcio 4.- Considere a funcional J[y ] =

∫F (y , y ′) dx , sendo que a

funcao F nao depende explicitamente da variavel x . Considere oproblema de encontrar a curva y(x) que extremiza a funcional J[y ] comextremos fixos no intervalo a ≤ x ≤ b. Demonstre que a equacao deEuler Lagrange (22) toma a forma

F − y ′Fy ′ = k , y ′ =dF

dx, k = constante. (23)

Exercıcio 5 Considere um objeto tridimensional se movendohorizontalmente ao longo do eixo x . A superfıcie frontal do objeto estadefinida como uma superfıcie de revolucao (ao redor do eixo x).Determine a forma deste corpo solido que, ao se mover num fluido de gasencontre resistencia mınima.Hector L.Carrion aula-ECT/UFRN

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Figura: superfıcie mınima de revolucao


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[Segue...] Considere gas ideal e que as colisoes do gas na superfıciefrontal sao elasticas.Seja a funcao vetorial

~r : R → Rn

x 7→ (y1(x), y2(x), ..., yn(x)) = ~r(x) (24)

Seja M o conjunto de funcoes vetoriais ~r com ate a primeira derivadacontınua, logo M = {~r /C 1[x0, x1] ⊂ R}.Definimos a funcional

J[~r ] = J[y1, y2, ..., yn] =

∫ x1

x0

L(x , y1, ..yn, y′1, y′2, ..., y

′n) dx ,

sendo L : Rn+1 → R uma funcao de ”2n + 1” variaveis independentes,ela e continua em relacao a seus argumentos e tem derivadas parciaiscontınuas ate de segunda ordem em certo domınio D. Considere oproblema variacional de encontrar a curva ~r(x) que extremize a funcionalJ[~r ] com a condicao de fronteira fixa ~r(x0) = ~r0,~r(x1) = ~r1.


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A condicao necessaria para tal situacao e que δJ[~r(x)] = 0. As curvas~r(x) se denominam curvas extremais (podem ter mais de uma solucao) edevem satisfazer a seguinte equacao de Euler-Lagrange

Lyk −d

dxLy ′

k= 0, k = 1, 2, ..., n. (25)

Temos uma equacao diferencial para cada uma das n componentes dafuncao vetorial ~r(x).Exemplo 1 Encontrar a extremal da funcional

J[y , z ] =∫ 2

1(y ′2 + z2 + z ′2) dx tal que y = y(x), z = z(x), e sujeita a

condicoes de fronteira fixa y(1) = 1, z(1) = 0, y(2) = 2, z(2) = 1.Exemplo 2 Encontrar a extremal da funcional

J[y , z ] =∫ 1

−1(2xy − y ′2 + z ′3/3) dx tal que y = y(x), z = z(x), e sujeitaa condicoes de fronteira fixa y(1) = 0, z(1) = 1, y(−1) = 2, z(−1) = −1.


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Referencias


Considere curvas planas que nao se auto-intersecam, tal que passampelos pontos fixos A e B. Seja que elas possam ser parametrizadas daseguinte forma

C : I = [t0, t1] ⊂ R → R2

t 7→ (x(t), y(t)) = ~r(t) ≡ (x(t), y(t)), t ∈ I ,

x(t), y(t) sao funcoes reais, de variavel real, com derivadas contınuas emrelacao ao parametro t.Considere o problema variacional da funcional

J[~r(t)] =

∫ t1

t0

L(t, x , y , x , y) dt. (26)

x = dxdt , y = dy

dt .L(t, x , y , x , y) e uma funcao real e contınua ate de segunda ordem nas 5variaveis: t, x , x , y , y .


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Referencias


Para que os valores da funcional J[~r(t)] dependam somente da curva C enao da sua parametrizacao, que pode se dar de distintas formas, enecessario e suficiente que :a) A funcao integrando L nao contenha explicitamente o parametro t.b) Seja positivamente homogenea de grau um em relacao a seusargumentos x , y . Ou seja,

L(t, x , y , kx , ky) = k L(t, x , y , x , y), k > 0.

Se ~r(t) extremiza a funcional J[~r(t)] entao

δJ =dJ[~r(t) + ε~η]

dε|ε=0 = 0. (27)

Logo, a equacao de Euler-Lagrange de (26) na versao parametrica e

Lx −d

dtLx = 0,

Ly −d

dtLy = 0, (28)


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Referencias

Hamiltoniana de um sistema mecanico








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Referencias


O princıpio de Hamilton foi inspirado por outro, publicado no mesmo anode 1744 por Maupertuis. O princıpio de acao mınima de Maupertuis diziabasicamente que a quantidade de acao necessaria para que qualquermudanca seja feita pela natureza e sempre a menor possıvel.Hamilton modificou o princıpio de Maupertuis definindo a acao como aintegral da Lagrangeana:

S [q] =

∫ t1

t0

L(t, q, q′) dt, (29)

q = {q1, q2, ...., qn} representa os n graus de liberdade que descreve osistema. Como vimos na secao anterior, a imposicao de que a primeiravariacao da funcional S seja nula leva naturalmente as equacoes deLagrange na forma (25). Repetimos as equacoes aqui por completo:

Lqk −d

dtLq′

k= 0, k = 1, 2, ..., n, (30)

Dito de outro modo, a trajetoria fısica que realiza o sistema mecanico doinstante t0 ao t1 e aquela que extremiza a acao S [q] e portanto aequacao da trajetoria fısica resolve a equacao de Euler/Lagrange (30).Hector L.Carrion aula-ECT/UFRN

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A aplicacao do princıpio de Hamilton requer que as forcas aplicadas sejamderivadas de uma funcao potencial e que os vınculos sejam holonomicos∗.Princıpio de HamiltonO princıpio de Hamilton diz que dentre todos os possıveis caminhos queconecta as coordenadas iniciais qk(t0) as coordenadas finais qk(t1) doespaco de configuracoes, aquele que de fato corresponde a trajetoria realdo sistema e aquele que torna nulo a primeira variacao da acao S

δS = 0. (31)

(∗) As vezes as condicoes dentro das quais o movimento se da impoemrestricoes a ele. A tais restricoes damos o nome de vınculos. Os maiscomuns sao aqueles dados por superfıcies que restringem o movimento departıculas. Por exemplo, se ela estiver restrita ao movimento ao longo deuma superfıcie como o plano inclinado. Nesses casos escrevemos arestricao sob a forma y − x tan(θ) = 0. Em geral o vınculo holonomicotem a forma g(q1, ..., qn, t) = 0 e num sistema fısico podemos ter variosvınculos.


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Exemplo 1 Partıcula livre. Dado um Sistema de referencia inercial (SRI)uma partıcula de massa m e livre de interacoes e descreve um movimentomecanico .a) Determine a Lagrangiana da partıcula livreb) Defina a acao desta partıcula e encontre a equacao do movimento damesma utilizando o princıpio de mınima acao de Hamilton.c) Verifique que a equacao do movimento encontrada na questao anteriore a mesma proveniente da segunda lei de Newton.d) Resolva a equacao de movimento desta partıcula com as condicoesiniciais ~r(0) = (0, 2, 0), ~v(0) = (3, 4, 0).Exemplo 2 Oscilador Classico. Uma mola de massa desprezıvel econstante elastica K = 100N/cm e fixa a uma parede vertical, e a outraextremidade esta ligada a um bloco metalico, de massa m = 1kg , demodo que ela pode deslizar numa superfıcie horizonatal sem atrito.Considerando que a terra e um SRI, o movimento do oscilador eunidimensional , encontre a equacao diferencial de movimento dooscilador utilizando o princıpio de Hamilton. Resolva e equacaodiferencial com as condicoes iniciais x0 = 5cm, v0 = 0cm/s.


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Exemplo 3 Campo gravitacional uniforme. Uma partıcula de massa m elancada de uma altura h com uma velocidade inicial ~v = v01~i + v02~jdentro de um campo gravitacional uniforme na direcao −~j .a) Determine a Lagrangeana da partıcula num instante t.b) Determine a equacao do movimento da partıculaExemplo 4 Geodesica. A geodesica e a linha que representa a trajetoriamais curta entre dois pontos quaisquer, quando dita trajetoria pertence auma superfıcie determinada. Considere dois pontos arbitrarios numasuperfıcie esferica S2, demonstre que a geodesica que passa por estesdois pontos na superfıcie S2 e um cırculo maximo.Exemplo 5 Pendulo Simples. Um pendulo simples esta constituıdo porum fio inextensıvel de comprimento l e massa desprezıvel e com umapartıcula pontual de massa m num extremo, sendo que o outro extremoesta unido a um ponto fixo. Consideremos que ela e solta a uma certaaltura em relacao a superfıcie horizontal e oscila num plano vertical.a) Determine a Lagrangeana da partıcula num instante t quando o fioforma um angulo θ com a vertical que passa pelo ponto fixo da corda.b) Determine a equacao do movimento da partıcula pontual.


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Considere um sistema mecanico onde L = T − V e a energia potencial Vseja independente da velocidade generalizada qi . Logo em coordenadasgeneralizadas as componentes do momento generalizado e dado por

pi =∂L

∂qi(32)

Definicao Hamiltoniana de um sistema mecanico

H(qk , pk , t) =∑j

pjqj(q, p, t)− L(qk , qk(q, p, t), t). (33)

Se a energia potencial e independente da velocidade, e qi = qi (q, p),entao a energia mecanica E do sistema e igual a hamiltoniana H dosistema.

H(qk , pk , t) = E = T + V = constante


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seja F (x , y , y ′) e G (x , y , y ′) duas funcoes com derivadas parciaiscontınuas de ate segunda ordem em relacao aos argumentos x , y , y ′, nointervalo x0 ≤ x ≤ x1. O problema variacional de

J[y ] =

∫ x1

x0

F (x , y , y ′) dx , (34)

sujeito a condicao

K [y ] =

∫ x1

x0

G (x , y , y ′) dx = k , (35)

sendo k uma constante, consiste em encontrar a curva y = y(x) queextremiza a funcional (34) sujeita a condicao (35) dentre todas as curvasy = y(x) ∈ C 1[x0, x1]. Sendo y(x0) = y0, y(x1) = y1,


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Teorema de Euler Se a curva y = y(x) extremiza a funcional (34) coma condicao (35), e se y(x) nao e extremal da funcional G [y ]; entao existeuma constante λ tal que a curva y = y(x) e extremal da funcional

J[y ] =

∫ x1

x0

[F (x , y , y ′) + λG (x , y , y ′)] dx . (36)

Logo, para determinar y(x) e suficiente aplicar a equacao deEuler-Lagrange a funcional (36). λ→ multiplicador de Lagrande.Forma alternativa do problema variacional com condicoesauxiliares. Considere o problema variacional de determinar a funcaoy = y(x) que extremiza a funcional

J[y ] =

∫ x1

x0

F (x , y , y ′) dx , (37)

com as condicoes auxiliares (equacoes de ligadura)gj(x , y , y ′) = 0, j = 1, 2, ..m.


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Pode-se demonstrar que a equacao de Euler-Lagrange associada a esteproblema e

Fy −d

dxFy ′ +

m∑j=1

λj∂gj

∂y= 0. (38)

Ela deve ser resolvida para encontrar y(x) junto com os vınculosgj(x , y , y ′) = 0, j = 1, 2, ..m. Os parametros λj sao os chamadosmultiplicadores de Lagrange. Na mecanica classica, estes parametros saoidentificados como as forcas de ligadura [3].Exemplo 6 Resolva o problema do pendulo simples do exercıcio 5,utilizando o metodo do multiplicadores de Lagrange e identifiquematematicamente as forcas de ligadura.Exemplo 7 Encontre a curva y = y(x) que minimiza a funcional

J[y ] =∫ 1

0(y ′)2 dx com y ′ = dy

dx , y(0) = y(1) = 0, sujetia a condicao

K [y ] =∫ 1

0y2 dx = 1.


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Aplicacoes

Exercıcio 1 Problema do corda pendurada Uma corda de densidadelinear ρ e comprimento fixo igual a L e pendurada pelos extremos entredois pontos fixos y(x0) = y0, y(x1) = y1. Considere a situacao final deequilıbrio estatico da corda, entao determine a equacao da curva quedefine a corda nesta situacao.Exercıcio 2 Problema isoperimetrico 1 Uma corda que nao seauto-interseca, de comprimento igual a L e colocada num planohorizontal entre dois pontos fixos A = (−a, 0) e B = (a, 0). Considere aregiao D limitada pela curva que definie a corda e a reta AB. Determinea equacao da curva que define a corda, se queremos que a regiao Dtenha area maxima.Exercıcio 3 Problema isoperimetrico 2 Uma corda fechada que nao seauto-interseca, de perımetro igual a L e colocada num plano horizontal.Determine a equacao da curva que define a corda tal que a regiaolimitada por ela tenha area maxima.


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Seja r uma funcao que parametriza a superfıcie S no seguinte modo:

r : I1 × I2 ⊂ R2 → S ⊂ R3

(u, v) 7→ ~r(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) ∈ S , u ∈ I1, v ∈ I2

consideremos uma curva γ na superficie S , definida da seguinte forma:

γ : I ⊂ I1 × I2 ⊂ R → S ⊂ R3

t 7→ ~r(u(t), v(t)) = (x(u(t), v(t)), y(u(t), v(t)), z(u(t), v(t))) ∈ S , t ∈ I .

Seja lAB =∫ B

Ads o comprimento de arco da curva γ entre os pontos A e

B da superfıcie S . Qual e a forma da curva γ0 tal que o comprimento lABseja mınimo?. A esta curva γ0 se denomina geodesica.Seja ds o elemento de linha infinitesimal ao longo da curva γ : ~r(t)

ds = |d~r | =√< d~r , d~r >

ds =

√< ~r ,~r > dt, ~r =

d~r

dt(39)


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Considere ~r = d~rdu u + d~r

dv v = ~ru u +~rv v .

< ~r ,~r >= E u2 + 2F uv + G v2, (40)

onde E =<~ru,~ru >, F =<~ru,~rv >,G =<~rv ,~rv >,. substituindo aequacao (40) na equacao (39), obtemos o comprimento da curva γ quepassa pelos ponto A e B que pertencen a superficie S .

lAB [γ] =

∫ B

A

ds =

∫ B

A

√E u2 + 2F uv + G v2 dt, (41)

Exemplo 1 Parametrize a superficie esferica S2 e logo demonstre que alinha geodesica que passa por dois pontos arbitrarios de S2 e um circulomaior.Exemplo 2 Parametrize a superfıcie cilindrica R × S1 e determine aequacao das geodesicas que passam por esta superfıcie.


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Exercıcios variadosExercıcio 1 Uma superfıcie tem coordenadas (x,y), definida no semiplano

∞ < x <∞, 0 < y <∞, tal que a metrica e ds2 = (dx2+dy2)y2 . Encontre a

forma geral da geodesica nesta superfıcie (curvas da menor comprimentoentre dois pontos da superfıcie). Esta superfıcie tem curvatura negativa,a diferenca da superfıcie esferica que tem curvatura negativa.Exercıcio 2 Considere o movimento de uma partıcula de massa matraıda para a origem de coordenadas por uma forca central, ~F = − k

r2 er .sendo er o vetor unitario na direcao radial.a) Encontre a equacao diferencial do movimento da partıcula.a) Determine a hamiltoniana associada a partıcula.b) Identifique algumas quantidade fısicas conservadas.d) encontre a forma da trajetoria realizada por esta partıcula. hint:utilize coordenadas polares.


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Referencias

”calculo variacional”, M. Krasnov, G. Makarenko, A. Kiseliov.Editorial MIR, Moscou.

Notas de aula ”introducao ao calculo das variacoes”, JuscelinoPereira Silva, departamento de matematica UFC-2005.

Dinamica clasica de las partıculas y sistemas, J. Marion, editoralReverte (1981).

”Topicos de Mecanica Classica”, Marcus A. M. de Aguiar, notas deaula (Mecanica Avancada, Posgraduacao IF) Unicamp (2010).

”O Calculo Variacional e o Problema da Braquistocrona”, dissertacaode Mestrado Profissional em Matematica, Jose Ribamar Alves de S.J., UNESP (Instituto de Geociencias e Ciencias Exatas) 2010

”Introduction to variacional calculus: Lecture notes”, EdwinLangamann, KTH Physics,Sweden (october 2006).


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C alculo Variacionalarquivos.info.ufrn.br/arquivos/2011244010f88d69967533e312d9ccf0… · Summary C alculo Variacional Hector L. Carrion ECT-UFRN Natal, Maio, 2011 Hector L.Carrion