C alculo das Probabilidades e Estat stica I - de.ufpb.breufrasio/CPE/Aulas/Aula_2_Probabilidade.pdf · Teorema de Bayes Independ^encia Estat ... A palavra probabilidade deriva do

Introducao a ProbabilidadeProbabilidade Condicional

Teorema de BayesIndependencia Estatıstica

Variaveis AleatoriasEsperanca e Variancia Matematica

Distribuicoes de Probabilidade

Calculo das Probabilidades e Estatıstica I

Eufrasio de Andrade Lima Neto

Universidade Federal da Paraıba

2017.2

Eufrasio de Andrade Lima Neto Calculo das Probabilidades e Estatıstica I





Introducao a Probabilidade

A palavra probabilidade deriva do Latim probare que significa provar outestar. Porem, no nosso cotidiano, e muito comum confundir a palavraprobabilidade com sorte, azar, certo, duvidoso a depender do contexto emque empregamos tal palavra.

Formalmente, contudo, probabilidade e uma medida matematica queatribuımos a conjuntos (eventos de interesses) que podem serobservados como possıveis resultados de um experimento ou fenomenoaleatorio.







Figura: Reimpressao de 1820.

O primeiro livro sobre prob-abilidade (matematizacaofrequentista) da teoria dasprobabilidades foi publicadopor Laplace em 1812.

Nessa epoca a probabilidadeera bastante utilizada parasolucoes de problemas de jo-gos de azar. Atualmente,aplica-se a todo fenomenorandomico (aleatorio).







Para que possamos progredir na introducao das teorias das probabilidadesprecisamos definir conjunto e observar algumas de suas propriedades.

Conjunto

Definicao: Na matematica, um conjunto e uma colecao de objetos queestao relacionados ao conjunto pela relacao de pertinencia.

Quando um objeto x e um dos elementos que compoem o conjunto A,dizemos que x pertence a A e escrevemos

x ∈ A.

Se, porem, x nao e um dos elementos do conjunto A, dizemos que x naopertence a A e escrevemos

x /∈ A.Eufrasio de Andrade Lima Neto Calculo das Probabilidades e Estatıstica I






Observacao: Um conjunto fica determinado ou definido quando se dauma regra que permita decidir se um objeto arbitrario x pertence ou nao aA.

Importante: Jamais denote um conjunto por letras minusculas.

Relembrando os Conjuntos Numericos:

Conjunto dos Numeros Naturais

N = 1, 2, 3, . . ..







Conjunto dos Numeros Inteiros

Z = . . . ,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, . . .

O conjunto Q, dos numeros racionais, e formado pelas fracoes pq , tal que

p e q pertencem a Z, sendo q 6= 0. Em sımbolos, temos:

Q = p/q; p, q ∈ Z, q 6= 0.

Le-se: “Q e o conjunto das fracoes p/q tais que p pertence a Z, qpertence a Z e q e diferente de zero”.







A maioria dos conjuntos encontrados na Matematica nao sao definidosespecificando-se, um a um , os seus elementos. O metodo mais frequentede definir um conjunto e por meio de uma propriedade comum e exclusivados seus elementos.

Muitas vezes a propriedade P se refere a elementos de um conjuntofundamental E .

Exemplo: O conjunto A = 8, 9, 10, . . . pode ser escrito como

A = a ∈ N; a > 7.

Le-se: “A e o conjunto dos a pertencentes a N tais que a e maior do que7”.







Importante:

As vezes, ocorre que nenhum elemento de E goza da propriedade P.Neste caso, o conjunto a ∈ E ; agoza de P nao possui nenhumelemento. Isto e o que chamamos de conjunto vazio. Para representa-lo,usaremos o sımbolo ∅.

Dados os conjuntos A e B, dizemos que A e subconjunto de B quandotodo elemento de A e tambem elemento de B. Para indicar este fato,usa-se a notacao

A ⊂ B.

Exemplo: Os conjuntos numericos anteriormente apresentados cumpremas relacoes numericas de inclusao N ⊂ Z e Z ⊂ Q, logo, N ⊂ Z ⊂ Q.







Uniao

Sejam A e B sub-conjuntos quaisquer de um conjunto Ω. A uniao dosconjuntos A e B e o conjunto A ∪ B formado pelos elementos de A maisos elementos de B. Assim, afirmar que ω ∈ A ∪ B significa dizer que pelomenos uma das afirmacoes e verdadeira:

1 ω ∈ A;2 ω ∈ B.

Em notacao matematica temos que

A ∪ B = ω ∈ Ω;ω ∈ A ou ω ∈ B.







Observe o diagrama de Venn e compreenda o que vem a ser o conjuntoA ∪ B:

Figura: Uniao dos conjuntos A e B; A ∪ B.Eufrasio de Andrade Lima Neto Calculo das Probabilidades e Estatıstica I






Intersecao

Sejam A e B sub-conjuntos quaisquer de um conjunto Ω. A intersecaodos conjuntos A e B denotada por A ∩ B e formada pelos elementoscomuns a A e B. Assim, afirma que ω ∈ A ∩ B significa dizer que se tem,ao mesmo tempo, ω ∈ A e ω ∈ B. Escrevemos entao

A ∩ B = ω ∈ Ω;ω ∈ A e ω ∈ B.

Importante

Pode ocorrer que nao exista elemento algum ω em Ω tal que ω ∈ A eω ∈ B. Nesse caso, tem-se que A ∩ B = ∅. Assim, dizemos que A e B saoconjuntos disjuntos.







Observe o diagrama de Venn e compreenda o que vem a ser o conjuntoA ∩ B:

Figura: Intersecao dos conjuntos A e B; A ∩ B.Eufrasio de Andrade Lima Neto Calculo das Probabilidades e Estatıstica I






Complementacao

Sejam A e B sub-conjuntos quaisquer de Ω. Ao conjunto de todoselementos ω ∈ Ω tal que ω /∈ A chamaremos de complementar doconjunto A e denotaremos por Ac . Escrevemos

Ac = ω ∈ Ω; ω /∈ A.

Observacao: Alguns livros denotam o complementar do conjunto A por A.

Importante: Note que (Ac)c = A.







Observe o diagrama de Venn e compreenda o que vem a ser o conjuntoAc :

Figura: Complementar do conjunto A; Ac .Eufrasio de Andrade Lima Neto Calculo das Probabilidades e Estatıstica I






Diferenca

Sejam A e B sub-conjuntos quaisquer de Ω. Chamaremos de diferencaentre os conjuntos A e B ao conjunto formado pelos elementos ω ∈ Ω talque ω ∈ A e ω /∈ B e denotaremos por A− B. Assim, definimos talconjunto matematicamente por

A− B = ω ∈ Ω;ω ∈ A e ω /∈ B.

Exercıcio: Verifique utilizando o diagrama de Venn que A− B = A ∩ Bc .







Observe o diagrama de Venn e compreenda o que vem a ser o conjuntoA− B:

Figura: Diferenca entre os conjuntos A e B; A− B.Eufrasio de Andrade Lima Neto Calculo das Probabilidades e Estatıstica I






Abaixo estao enumeradas algumas propriedades basicas das operacoesformais de unioes e intersecoes entre conjuntos. Sejam A, B e Csub-conjuntos quaisquer de Ω. Entao,

1 A ∪ A = A;

2 A ∩ A = A;

3 A ∪ B = B ∪ A;

4 A ∩ B = B ∩ A;

5 (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C );

6 A ∪ (B ∩ C ) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C );

7 A ∩ (B ∪ C ) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C ).Eufrasio de Andrade Lima Neto Calculo das Probabilidades e Estatıstica I






Exercıcio: Sejam A, B e C sub-conjuntos quaisquer em Ω. Utilizando odiagrama de Venn identifique as regioes no diagrama correspondentesaos conjuntos abaixo:

a) Ac ∩ B;

b) Ac ∪ B;

c) (Ac ∩ Bc)c ;

d) (A ∩ (B ∩ C )c)c ;

e) (A ∩ (B ∪ C ))c .







Leis de De Morgan

Duas propriedade importantes das relacoes de uniao com intersecao entreconjuntos sao dadas pelas Leis de De Morgan enumeradas abaixo.Sejam A e B eventos quaisquer em Ω, entao:

1 (A ∪ B)c = Ac ∩ Bc ;

2 (A ∩ B)c = Ac ∪ Bc .






Introducao a Probabilidade: Experimento Aleatorio

Antes de passarmos a definicao de probabilidade e necessario fixarmos osconceitos de experimento aleatorio, espaco amostral e evento.

O que e um experimento aleatorio ?

Resposta: Um experimento aletorio caracteriza-se pelo fato de poderser repetido indefinidamente sob condicoes, essencialmente inalteradas e,embora nao sejamos capazes de afirmar que resultado “particular”ocorrera, seremos sempre capazes de descrever o conjunto de todos ospossıveis resultados do mesmo.

Notacao: ε (Experimento Aleatorio)






Experimento Aleatorio

Os seguintes tracos enumerados abaixo caracterizam um experimentoaleatorio:

1 Se for possıvel repetir as mesmas condicoes do experimento, osresultados do experimento em diferentes realizacoes podem serdiferentes;

2 Muito embora nao somos capazes de afirmar que resultado ocorrera,seremos capazes de descrever o conjunto de todos os possıveisresultados do experimento;

3 Quando o experimento for executado repetidamente, os resultadosindividuais parecem ocorrer de forma acidental. Contudo, quando oexperimento for repetido um grande numero de vezes, umaregularidade surgira. E essa regularidade que tona possıvel construirum modelo probabilıstico.Eufrasio de Andrade Lima Neto Calculo das Probabilidades e Estatıstica I





Experimento Aleatorio

Exemplos de Experimentos Aleatorios

Lancar uma moeda e observar a face superior;

Lancar um Dado e observar a face superior:

Retirar uma carta do baralho e observar seu naipe;

Retirar uma bola em um globo de bingo;

Retirar uma lampada de uma caixa e observar se a mesma edefeituosa.






Introducao a Probabilidade: Espaco Amostral

Espaco Amostral

Definicao: E o conjunto de todos os possıveis resultados de umexperimento aleatorio. Tal conjunto e denotado por Ω.

O espaco amostral precisa atender os seguintes pontos:

1 Listar os possıveis resultados do experimento;

2 Faze-lo sem duplicacao;

3 Faze-lo em um nıvel de detalhamento suficiente para os interessesdesejados;






Espaco Amostral

Exemplos de Espacos Amostrais

Ω: cara, coroa;Ω: 1, 2, 3, 4, 5, 6;Ω: Ouro, Copas, Espada, Paus;Ω: 1, 2, 3, 4, . . . , 90;Ω: Sim, Nao;






Introducao a Probabilidade: Evento

Evento

Definicao: Evento e um subconjunto do espaco amostral Ω, ou seja, eum conjunto de resultados possıveis do experimento aleatorio.Denotaremos evento por qualquer letra maiuscula (A, B, C, . . . ).

Observacao: Se ao realizarmos um experimento aleatorio e o resultadoobservado pertence ao evento A, dizemos que o evento A “ocorreu”.

Eventos Disjuntos ou Mutuamente Excludentes

Sejam A e B eventos quaisquer, isto e, A, B ⊂ Ω. Os eventos A e B saoditos serem disjuntos ou mutuamente excludentes ou mutuamenteexclusivos se nao puderem ocorrer simultaneamente, isto e, se A ∩ B = ∅.






Eventos

Exemplos de Eventos

A = sair cara = cara, coroa;B = sair numero par = 2, 4, 6;C = sair numero impar = 1, 3, 5;D = sair naipe preto = paus, espadaE = sair numero primo = 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31,37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89;D = sair lampada defeituosa = sim

Observacao: Notem que os conjuntos B e C sao mutuamenteexcludentes, visto que B ∩ C = ∅







Exemplo: Sejam A, B e C eventos em um mesmo espaco amostral Ω.Vamos expressar o seguintes eventos em funcao de A, B e C por meio deoperacoes Booleanas de conjuntos.

a) Pelo menos um deles ocorre:

A ∪ B ∪ C .

b) Exatamente um deles ocorre:

(A ∩ Bc ∩ C c) ∪ (Ac ∩ B ∩ C c) ∪ (Ac ∩ Bc ∩ C ).







c) Apenas A ocorre:(A ∩ Bc ∩ C c).

d) Pelo menos dois ocorrem:

(A ∩ B ∩ C c) ∪ (A ∩ Bc ∩ C ) ∪ (Ac ∩ B ∩ C ) ∪ (A ∩ B ∩ C ).

e) Nenhum deles ocorrem:

(Ac ∩ Bc ∩ C c).







Definicao: Seja ε um experimento aleatorio. Seja Ω o espaco amostralassociado a ε. A cada evento A em Ω associamos um numero realrepresentado por P(A) (probabilidade do evento A). P(A) satisfaz asseguintes propriedades:

1 P(A) ≥ 0.

2 P(Ω) = 1.

3 Se A e B sao eventos disjuntos (A ∩ B = ∅), entaoP(A ∪ B) = P(A) + P(B).

4 Se A1,A2, . . . ,An, . . . forem, par a par, eventos disjuntos, entao

P(∪∞i=1Ai ) = P(A1) + P(A2) + . . .+ P(An) + . . . .






Introducao a Probabilidade: Teoremas Importantes

Teorema: Se P e uma metida de probabilidade que satisfaz aspropriedades acima e A e um evento qualquer, entao e verdade que

P(A) ≤ 1.

Corolario: Sejam A e B eventos quaisquer. Entao,

P(A ∪ B) ≥ max(P(A),P(B)) ≥ min(P(A),P(B)) ≥ P(A ∩ B).







Teorema: Sejam A1, . . . ,An uma sequencia de eventos em Ω disjuntospar a par. Entao,

P( n⋃

i=1

Ai

)=

n∑i=1

P(Ai ).

Teorema: Se ∅ e o conjunto vazio, entao, P(∅) = 0.

Teorema: Se Ac for o evento complementar de A, entao

P(A) = 1− P(Ac).

Teorema (Uniao de dois eventos quaisquer): Sejam A e B doiseventos quaisquer em Ω. Entao,

P(A ∪ B) = P(A) + P(B)− P(A ∩ B).







Teorema: Sejam A e B eventos quaisquer. Se A ⊂ B, entaoP(A) ≤ P(B).

Teorema: Sejam A, B e C eventos quaisquer de Ω. Entao,

P(A ∪ B ∪ C ) = P(A) + P(B) + P(C )− P(A ∩ B)− P(A ∩ C )

− P(B ∩ C ) + P(A ∩ B ∩ C ).







Espacos Amostrais Finitos EquiprovaveisQuando associamos a cada ponto amostral (cada elemento do espacoamostral) a mesma probabilidade, o espaco amostral chama-seequiprovavel.

Seja Ω o espaco amostral, finito e equiprovavel, associado aoexperimento aleatorio ε, definimos P(A) a probabilidade de ocorrencia doevento A por:

P(A) =||A||||Ω||

,

onde ||A|| e o numero de elementos em Ω favoraveis a ocorrencia de A e||Ω|| e a quantidade de elementos no espaco amostral.







Ou seja, em situacoes em que temos Ω finito e com seus resultadosequiprovaveis, isto e, as probabilidades de cada elemento de Ω sao asmesmas, poderemos calcular probabilidades de interesse facilmente.

Exemplo: Suponhamos o experimento aleatorio ε que consiste em lancauma moeda equilibrada duas vezes. Para esse experimento aleatorio temosos seguintes resultados possıveis:

Ω = CC , KK ,CK ,KC,em que C = Cara e K = Coroa.Seja A o evento que segue:

A = aparecer exatamente uma cara.Eufrasio de Andrade Lima Neto Calculo das Probabilidades e Estatıstica I






Como o espaco amostral Ω do experimento em questao ε e finito eequiprovavel, temos queP(CC) = P(KK) = P(CK) = P(KC) = 1/4.







Exercıcio: Considere o experimento aleatorio que consiste em lancar umdado equilibrado 2 vezes e observar sua face. Calcule as probabilidades doseventos de interesses que seguem:

a) A probabilidade de cair face dois exatamente em todos oslancamentos;

b) A probabilidade de cair um numero maior que 3 em pelo menos umdos lancamentos;

c) A probabilidade de cair numeros pares em todos os lancamentos;






Probabilidade Condicional

Definicao (Probabilidade Condicional): Para quaisquer dois eventos Ae B, a probabilidade condicional de A dado que ocorreu o evento B edefinida por

P(A|B) =P(A ∩ B)

P(B),

com P(B) > 0.







A probabilidade condicional tambem satisfaz as seguintespropriedades:

1 P(Ω|A) = 1;

2 P(A|Ω) = P(A);

3 P(Bc |B) = 0;

4 Se A ⊇ B, entao P(A|B) = 1;

5 P(B1 ∪ B2 ∪ · · · |A) = P(B1|A) + P(B2|A) + · · · , se Bi ∩ Bj = ∅ paratodo i 6= j .







Exemplo: Dois dados sao lancados ao acaso. Qual a probabilidade dasoma ser igual a 6, dado que o primeiro dado saiu numero menor que 3?

Solucao: Na sala de aula !!!!







Exemplo 1: Suponha que, de todos os indivıduos que compram umadeterminada camera digital, 60% incluem um cartao de memoria opcionalna compra, 40% incluem uma pilha extra e 30% incluem um cartao e umapilha. Considere a selecao aleatoria de um comprador e sejamA = compra de cartao de memoria e B = compra de pilha. Qual aprobabilidade que o indivıduo selecionado ao acaso compre um cartao dememoria dado que ele comprou uma pilha extra?

Exemplo 2: Considerando o exemplos acima, calcule a probabilidade deum indivıduo selecionado ao acaso comprar uma pilha dado que elecomprou um cartao de memoria.







Definicao (Particao do Espaco Amostral): Seja B1,B2, . . . umasequencia de eventos em Ω. Dizemos que B1,B2, . . . forma uma particaode Ω se satisfaz as seguintes propriedades:

1⋃

i Bi = Ω;

2 Os eventos sao disjuntos par a par, isto e, Bi ∩ Bj = ∅, para todoi 6= j .







Seja B1,B2, . . . uma sequencia que forma uma particao do espacoamostral Ω. Entao, poderemos observar facilmente uma particao por meiodo diagrama a seguir.







Alem disso, seja A um outro evento de interesse ao qual queremos atribuirprobabilidade e esta contida na particao de Ω.







Teorema (Lei da Probabilidade Total): Seja B1,B2, . . . uma sequenciade eventos ao qual e possıvel atribuir probabilidade e admita que asequencia forma uma particao de Ω. Alem disso, seja A um outro eventoem que e possıvel atribuir probabilidade. Entao,

P(A) =k∑

i=1

= P(A ∩ Bi ) = P(A|Bi )P(Bi ).

Observacao

Note que o Teorema da Probabilidade Total estabelece meios de escreveruma probabilidade incondicional P(A) em termos de probabilidadescondicionais P(A|Bi ).






Teorema de Bayes

Teorema de Bayes: Sejam B1,B2, . . . ,Bk uma sequencia de eventos emque e possıvel atribuir probabilidade e que forma uma particao de Ω e sejaA um outro avento onde a probabilidade de sua ocorrencia esta bemdefinida. A probabilidade do evento condicional Bi |A e obtida por:

P(Bi |A) =P(Bi ∩ A)

P(A)=

P(A|Bi )P(Bi )∑kj=1 P(A|Bj)P(Bj)

, i = 1, . . . , k .

Note que pela definicao de probabilidade condicionalP(Bi ∩A) = P(A|Bi )P(Bi ). Alguns livros chamam esse resultado imediatode regra da multiplicacao.






Teorema de Bayes

Exercıcio: Uma cadeia de lojas de informatica vende tres marcasdiferentes de notebook. Dessas vendas, 50% sao da marca 1, 30% sao damarca 2 e 20% sao da marca 3. Cada fabricante oferece um ano degarantia para pecas e mao-de-obra. E sabido que 25% dos notebooks damarca 1 necessitam de reparos de garantia, enquanto os percentuaiscorrespondentes para as marcas 2 e 3 sao 20% e 30%, respectivamente.






Teorema de Bayes

Pergunta-se:

a) Qual e a probabilidade de que um comprador selecionadoaleatoriamente compre um notebook da marca 1 que precise dereparo durante a garantia?

b) Qual a probabilidade de que um comprador selecionadoaleatoriamente possua um aparelho que necessite de reparos durantea garantia?

c) Se um cliente voltar a loja com um notebook que precise de reparoem garantia, qual e a probabilidade de ele ser da marca 1? E damarca 2? E da marca 3?






Teorema de Bayes

Exercıcio: Apenas 1 em 1000 adultos e acometido por uma doenca rarapara a qual foi desenvolvido um teste de diagnostico. O teste funciona detal forma que, se o indivıduo tiver a doenca, o resultado do teste serapositivo em 99% das vezes e, se nao tiver, sera positivo em apenas 2% dasvezes. Se um indivıduo selecionado aleatoriamente for testado e oresultado for positivo, qual e a probabilidade de ele ter a doenca?






Teorema de Bayes

Exercıcio: Uma companhia multinacional possui tres polos industriais queproduzem o mesmo tipo de produto e sao eles os polos I, II e III. O polo Ie responsavel por 30% do total produzido, o polo II produz 45% do total,e o restante vem do polo III. Cada um dos polos, no entanto, produz umaproporcao de produtos que nao atendem aos padroes estabelecidos pelasnormas internacionais de especificacoes. Tais produtos sao considerados“defeituosos” e correspondem a 1%, 2% e 1.5%, respectivamente, dostotais produzidos por fabrica. No centro de distribuicao, um grande lote deprodutos possuem produtos produzidos nos tres polos (os produtos estaomisturados no mesmo lote) e e feito o controle de qualidade da producaocombinada das fabricas. Pergunta-se:






Teorema de Bayes

a) Qual e a probabilidade de encontrar um produto defeituoso durante ainspecao de qualidade?

b) Se durante a inspecao, encontramos um produto defeituoso, qual e aprobabilidade que ele tenha sido produzido no polo II? Responda amesma pergunta para os dois polos restantes.






Eventos Independentes

Definicao (Eventos Independentes): Sejam A e B eventos quaisquer. Ae B sao ditos ser eventos independentes se, e somente se,

P(A ∩ B) = P(A) · P(B).

Prova: P(A ∩ B) = P(A|B) · P(B) = P(A) · P(B).

Nota: Parafraseando, temos que se o evento A e independente do eventoB, quer dizer que a probabilidade de A nao e afetada pela ocorrencia ounao-ocorrencia do evento B. Sendo assim, de nada importa saber sobre aocorrencia de B para calcular a probabilidade de A.








P(A ∩ B) = P(A) · P(B).










P(A ∩ B) = P(A) · P(B).









Teorema: Se A e B sao eventos independentes, entao A e Bc , Ac e B, eAc e Bc tambem sao eventos independentes.

Exemplo 1: Sabe-se que 30% das lavadoras de roupa de uma determinadaempresa requerem manutencao enquanto estiverem na garantia e somente10% das secadoras precisam de manutencao. Se alguem comprar umalavadora e uma secadora de roupas feitas por essa empresa, qual e aprobabilidade de que ambas as maquinas precisem de conserto?

Exemplo 2: Uma caixa contem 4 lampadas boas e 2 queimadas.Retiram-se, ao acaso, 3 lampadas com reposicao. Calcule a probabilidadedas 3 lampadas serem boas? E no caso SEM reposicao?







Exemplo 3: Consideremos uma urna com 100 pecas das quais 80 pecassao nao-defeituosas e 20 sao defeituosas. Calcule as probabilidades dosseguintes eventos:

Eventos INDEPENDENTES - Com Reposicao:

a) A = a primeira peca e defeituosa;b) B = a segunda peca e defeituosa.

Eventos DEPENDENTES - Sem Reposicao:

c) A = a primeira peca e defeituosa;d) B = a segunda peca e defeituosa.






Variaveis Aleatorias

Definicao: Seja ε um experimento aleatorio qualquer e Ω o espacoamostral associado ao experimento ε. Uma funcao X que associe cadaelemento ω ∈ Ω um numero real X (ω) e denominada de variavelaleatoria.






Variaveis Aleatorias

Nota: Para esse curso, e suficiente entender variavel aleatoria comoqualquer caracterıstica numerica associado a um experimento aleatorio.

Exemplo: Consideremos o experimento aleatorio ε que consistem emlancar uma moeda equilibrada (honesta) n vezes e observar o numero decaras. Temos assim que,

X = 0, 1, 2, . . . , n.

Apesar do desconhecimento sobre a natureza funcional de X , sera possıvelmodelar o seu comportamento por meio de uma funcao de probabilidade(se X e uma variavel aleatoria discreta) ou funcao densidade deprobabilidade - fdp (se X e uma variavel aleatoria contınua).






Variavel Aleatoria Discreta

Definicao (Variavel Aleatoria Discreta): Seja X uma variavel aleatoria,se o numero de valores possıveis de X (seu contradomınio) for finito ouenumeravel, diremos que X e uma variavel aleatoria discreta.

Alem disso, poderemos atribuir uma medida de probabilidade aos seusvalores possıveis xi , com i ≥ 1. A cada possıvel resultado, teremos umaprobabilidade P(X = xi ), que satisfaz as seguintes propriedades:

i) P(X = xi ) ≥ 0;ii)∑∞

i=1 P(X = xi ) = 1;

iii) F (xk) = P(X ≤ xk) =∑k

i=1 P(X = xi ).

Observacao: P e chamado de funcao de probabilidade uma vez que Xe uma variavel aleatoria discreta. F (x) e chamada de funcao dedistribuicao de X.Eufrasio de Andrade Lima Neto Calculo das Probabilidades e Estatıstica I





Variavel Aleatoria Discreta

Exemplo 1: Seja X = numero de caras obtidas no lancamento de 2moedas, denote a funcao de probabilidade e a funcao de distribuicao davariavel aleatoria X.

Exemplo 2: Um par de dados e lancado. Seja X a variavel aleatoria queassocia a cada par (d1, d2) de Ω a soma desses numeros, isto e,X (d1, d2) = d1 + d2. Determine a funcao de probabilidade de X.






Variavel Aleatoria Contınua

Definicao (Variavel Aleatoria Contınua): Seja X uma variavelaleatoria. Diremos que X e uma variavel aleatoria contınua se existiruma funcao densidade de probabilidade (fdp) de X que satisfaca asseguintes condicoes:

i) f (x) ≥ 0, para todo valor de x ,

ii)∫ +∞−∞ f (x)dx = 1,

iii) para quaisquer a e b tal que −∞ < a < b < +∞, teremos que

P(a ≤ X ≤ b) =

∫ b

af (x)dx .







Importante

Se X e uma variavel aleatoria contınua, temos que para qualquer a ∈ R,P(X = a) = 0, isto e, a probabilidade de X assumir um valor particular eigual a zero (a probabilidade de um ponto e zero).

Sendo assim, as igualdadesP(a < X < b) = P(a ≤ X ≤ b) = P(a < X ≤ b) = P(a ≤ X < b) saoverdadeiras.

Importante: Sob hipotese alguma essas igualdades serao verdadeiras parao caso em que X e uma variavel aleatoria discreta.







Observacao

Se f ∗ e uma funcao que satisfaz a condicao de nao-negatividade, isto e,f ∗(x) ≥ 0, para todo x tal que

∫ +∞−∞ f ∗(x)dx = C , em que C e uma

constante real eque C 6= 1, teremos que f ∗(x) nao e funcao densidade deprobabilidade. Porem, poderemos por meio de f ∗(x) obter uma funcaodensidade de probabilidade f (x). Esta e obtida por:

f (x) =f ∗(x)

C, para todo x .

Exercıcio: Seja h(x) = x2, tal que 0 ≤ x ≤ 2. A funcao h(x) e funcaodensidade de probabilidade? Explique. Em caso negativo, obtenha pormeio de h(x) uma funcao que seja fdp.







Observacao

Se f ∗ e uma funcao que satisfaz a condicao de nao-negatividade, isto e,f ∗(x) ≥ 0, para todo x tal que

∫ +∞−∞ f ∗(x)dx = C , em que C e uma

constante real eque C 6= 1, teremos que f ∗(x) nao e funcao densidade deprobabilidade. Porem, poderemos por meio de f ∗(x) obter uma funcaodensidade de probabilidade f (x). Esta e obtida por:

f (x) =f ∗(x)

C, para todo x .

Exercıcio: Seja h(x) = x2, tal que 0 ≤ x ≤ 2. A funcao h(x) e funcaodensidade de probabilidade? Explique. Em caso negativo, obtenha pormeio de h(x) uma funcao que seja fdp.Eufrasio de Andrade Lima Neto Calculo das Probabilidades e Estatıstica I






Exercıcio: As funcoes apresentadas abaixo sao fdp’s? Explique. Para asfuncoes nao negativas que nao sao fdp’s, obtenha uma funcao densidadede probabilidade utilizando as respectivas funcoes.

a) g(x) = e−3x , com 0 ≤ x <∞;

b) g(x) = cx3 , com 1 < x ≤ 3 e c uma constante real;






Valor Esperado

Sendo X uma variavel aleatoria contınua ou discreta, e possıvel calcular ovalor esperado de X ou esperanca matematica de X .

Importante

Jamais confunda media de uma variavel aleatoria X com mediaaritmetica das observacoes de X , isto e, jamais confunda media de Xcom media aritmetica dos dados observados na amostra. O valoresperado de X fornecera a media da funcao que gera os dados.

Notacao: E(X)






Valor Esperado

O valor esperado de uma v.a. X sera calculado por meio de uma soma seX e uma v.a. discreta. Ja na situacao em que X e uma v.a. contınua, oseu valor esperado e obtido por meio de uma integral. O valor esperadoda v.a. X sera denotado em ambos os casos por E (X ).

Caso Discreto:

Definicao: Seja X uma v.a. discreta assumindo os valores possıveisx1, x2, . . .. Seja tambem P(X = xi ), i = 1, 2, . . . uma funcao deprobabilidade da v.a. X . Entao, a esperanca de X e definida como






Valor Esperado

E (X ) =∞∑i=1

xiP(X = xi ).

Caso Contınuo:

Definicao: Seja X uma v.a. contınua com funcao densidade deprobabilidade - fdp f (x). A esperanca de X e definida por

E (X ) =

∫ +∞

−∞x f (x)dx .






Variancia

Da mesma forma que podemos calcular o valor esperado de uma variavelaleatoria (caso discreto e contınuo), tambem poderemos calcular avariancia de X .

Definicao: Seja X uma v.a. com funcao de probabilidade (se X e v.a.discreta) ou funcao densidade de probabilidade (se X e v.a.contınua). A variancia de X e definida por

Var(X ) = E (X 2)− [E (X )]2,

onde:






Variancia

Caso Discreto:

E (X 2) =∞∑i=1

x2i P(X = xi ).

Caso Contınuo:

E (X 2) =

∫ +∞

−∞x2 f (x)dx .

Observacao: O desvio-padrao de X e dado por σX =√

Var(X ).






Variancia

Exemplo: Calcule o valor esperado e a variancia da v.a. X seguindo asdistribuicoes abaixo:

a) P(X = x) = px(1− p)1−x , com 0 < p < 1 e x ∈ 0, 1;b) f (x) = 1

b−a , com a ≤ x ≤ b.







As distribuicoes de probabilidade representam modelos probabilısticos parauma variavel aleatoria e podem ser aplicados em diversos problemas reais.

As distribuicoes de probabilidade dividem-se em discretas e contınuas.






Distribuicao de Bernoulli

Figura: Jacob Bernoulli (1654-1705).

Na teoria das probabilidades,a distribuicao de Bernoulli euma distribuicao de probabili-dade de uma variavel aleatoriadistrata X dicotomica.







A distribuicao de Bernoulli e utilizada para modelar uma variavel aleatoriaX associada a experimento aleatorio que admite apenas 2 possıveisresultados (dicotomica): sucesso/fracasso, sim/nao, falso/verdadeiro, etc.

Muito embora sucesso e fracasso nao sao propriamente caracterısticasnumericas, poderemos atribuir um numero a cada uma dessas categorias.Normalmente, atribuımos 0 ao fracasso e 1 ao sucesso. Sendo assim,temos que:

X =

0 se fracasso;1 se sucesso.







Seja X uma variavel aleatoria discreta tal que X ∼ Bernoulli(p) (le-se: “avariavel aleatoria - v.a. X segue distribuicao de Bernoulli com parametrop”). Entao, a funcao de probabilidade da v.a. X e dada por:

P(X = x) = px(1− p)1−x ,

com 0 < p < 1 e x ∈ 0, 1, sendo a probabilidade de sucessoP(X = 1) = p e seu complementar a probabilidade de fracasso, isto e,P(X = 0) = 1− p.

Nesse caso, temos que o valor esperado e a varancia da variavel aleatoriaX expressa por E (X ) = p e Var(X ) = p(1− p), respectivamente.







Exercıcio: Obtenha o valor esperado e a variancia de X , tal queX ∼ Bernoulli(p).






Distribuicao Binomial

Seja X1,X2, . . .Xn uma sequencia de v.a’s. tal que Xi ∼ Bernoulli(p), comi = 1, . . . , n. Temos que a soma da sequencia X1,X2, . . .Xn nos gera umaoutra v.a. Y com interpretacao pratica bastante importante e convenientepara um grande numero de problemas discretos, em que

Y =n∑

i=1

Xi .

Importante

Perceba que Y e a soma de variaveis aleatorias com distribuicao deBernoulli(p), sendo assim, Y e a soma de sucessos (1) e fracassos (0) oque equivale a somar sucessos uma vez que os fracassos sao contabilizadospor zero.






Distribuicao de Binomial

Sucesso nem sempre e algo bom!

Sempre lembre-se que o “sucesso” ao qual nos referimos e o evento deinteresse. Assim, poderıamos estarmos interessados no numero deacidentes com vıtimas fatais em Joao Pessoa. Nessa situacao, nossosucesso e o numero de acidentes com vıtimas fatais.







Assim, Y e dito ser uma variavel aleatoria com distribuicao binomial comparametros n e p e denotaremos por Y ∼ Binomial(n, p). A funcao deprobabilidade da v.a. Y e dada por:

P(Y = y) =

(n

y

)px(1− p)n−y ,

com 0 < p < 1 (probabilidade de sucesso) e y ∈ 0, 1, 2, · · · , n. Alemdisso temos que E (Y ) = np (valor esperado de Y ou media de Y ) eVar(Y ) = np(1− p) (variancia de Y ). Note que(

n

y

)=

n!

y !(n − y)!.







Exemplo: Cada um de seis consumidores de refrigerante selecionadosaleatoriamente recebe um copo com o refrigerante S e um com orefrigerante da marca F . Os copos sao identicos, exceto por um codigo nofundo que identifica o refrigerante. Suponha que nao haja uma tendenciade preferencia entre os consumidores e defina X como a v.a. referente aonumero entre os seis que preferem S . Calcule:

a) A probabilidade de exatamente tres preferirem a marca S .

b) A probabilidade de ao menos dois preferirem a marca S .

c) Menos que dois preferirem a marca S .

d) Qual a media e variancia do numero de pessoas que preferem a marcaS?







Exercıcio: Suponha que 20% de todas as copias de um livro-textoapresentem falha em um determinado teste de resistencia deencadernacao. Seja X o numero de copias que apresentam falhas entre 15copias selecionadas aleatoriamente. Pergunta-se:

a) Qual a probabilidade de no maximo 1 apresentarem falha?

b) Qual a probabilidade de no mınimo 3 apresentarem falha?

c) Qual a probabilidade de que no minimo 1 e no maximo 3apresentarem falha?

d) Qual a media e a variancia em relacao ao numero de falhas?







Exercıcio: Considere uma prova com 12 questoes, cada uma com 4alternativas. Suponha que o aluno escolha as resposta ao acaso (ele naoestudou para a prova). Pergunta-se:

a) Qual a probabilidade que ele acerte pelo menos 3 questoes da prova?

b) Qual a probabilidade que o aluno acerte entre duas e quatro questoes?

c) Qual a media de acertos do aluno na prova?






Distribuicao de Poisson

Figura: Simeon Denis Poisson(1781-1840).

Diversos experimen-tos aleatorios discretospodem ser modeladosutilizando a distribuicaode Poisson.Os problemas em que seaplicam a distribuicao bi-nomial com n → ∞ ep → 0, poderemos utilizauma v.a. com distribuicaode Poisson de parametroλ > 0.







Algumas situacoes em que poderemos utilizar a distribuicao dePoisson:

Numero de acidentes em um determinado cruzamento na Av.Epitacio Pessoa, Joao Pessoa, PB.

Numero de chamadas telefonicas em um Call Centre em um intervalode tempo.

Numero de erros tipograficos por folhas de um livro.

Numero de defeitos em um processo de producao de um equipamentoeletronico.







Note que uma aplicacao importante da distribuicao de Poisson surge coma ocorrencia de eventos, de um tipo particular, no decorrer de um intervalode tempo, ou seja, a distribuicao de Poisson sera util para modelar taxas(“x” ocorrencia de um evento em uma certa unidade de tempo, medida,etc..).

Por exemplo, uma urgencia de um determinado hospital poderia estarinteressada no numero de atendimentos que irao ocorrer em um perıodode 5 horas. Trata-se de um processo de Poisson que viria ajudar aequipe de socorristas a se prepararem para receber os atendimento.







Definicao: Seja X uma variavel aleatoria discreta podendo assumir osvalores no conjunto 0, 1, 2, . . ., isto e, x ∈ 0, 1, 2, . . .. Dizemos que av.a. X segue uma distribuicao de Poisson de parametro λ e denotamos porX ∼ Poisson(λ) se X tem funcao de probabilidade da forma que segue:

P(X = x) =e−λλx

x!,

com λ > 0. Nesse caso, temos que E (X ) = Var(X ) = λ.







Exemplo: Se uma editora de livros nao-tecnicos se esforca para garantirque seus livros nao possuem erros tipograficos, de forma que aprobabilidade de uma pagina conter um erro desse tipo e de 0.005 e oserros sao independentes de pagina para pagina, qual e a probabilidade deum de seus romances de 400 paginas conter exatamente uma pagina comerros? Qual seria a probabilidade de no maximo tres paginas apresentaremerros? Porque seria difıcil resolver este exercıcio assumindo queX ∼ Binomial(n = 400, p = 0.005)?







Exemplo: Suponha que um hospital de urgencia recebe uma taxa de 5atendimentos por hora. Qual a probabilidade desse mesmo hospitalreceber ao menos um paciente no perıodo de 10 minutos?

Exemplo: Suponhamos um contador Geiger, equipamento que conta onumero de pulsos de radiacao ionizantes (partıculas alfa, beta, radiacaogama e raios-X). Suponha que os pulsos cheguem no contador em um taxamedia de seis por minuto. Qual a probabilidade de que pelo menos umpulso chegue ao contador de Geiger em um intervalo de tempo de meiominuto?






Distribuicao Normal

Representa a distribuicao de probabilidade mais importante da Estatıstica.

Nota

A distribuicao normal tambem e chamada de distribuicao Gaussiana etem a forma de um sino.Diversos resultados na inferencia estatıstica se apoiam no uso dessadistribuicao.






Distribuicao Normal

Definicao: Uma variavel aleatoria X (contınua) que assume valores em−∞ < X <∞ tem distribuicao normal ou (Gaussiana) se sua funcaodensidade de probabilidade e dada por:

f (x) =1√2πσ

exp

−(x − µ)2

2σ2

,

com x ∈ R, µ ∈ R e σ2 ≥ 0.

Observacao: Se X e uma variavel aleatoria normalmente distribuıda deparametros µ e σ2, denotaremos esse fato por X ∼ N (µ, σ2).






Distribuicao Normal

−4 −2 0 2 4

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

x

f(x)

µ = 0, σ2 = 0.7µ = 0, σ2 = 1.0µ = 0, σ2 = 1.2µ = 0, σ2 = 1.7

Figure: Distribuicao normal variando o parametro σ2 ∈ 0.7, 1.0, 1.2, 1.7.






Distribuicao Normal

Observe que o parametro σ2 (variancia de uma v.a. X ∼ N (µ, σ2)) alteraa dispersao da distribuicao e o seu achatamento. Alterar o valor de µapenas ira transladar a media da distribuicao ao valor de µ.

Grande Problema

Caso X ∼ N (µ, σ2) e desejarmos calcular P(a < X < b), com a < b ∈ R,teremos que calcular:∫ b

a

1√2πσ

exp

−(x − µ)2

2σ2

dx .

Qual o problema? Resp: A integral acima nao tem forma fechada!






Distribuicao Normal

Aqui no curso, iremos fazer uso de tabelas ao inves de calcularnumericamente tais integrais.

Definicao (Normal Reduzida): Seja X ∼ N (µ, σ2). Uma variavelaleatoria Z ∼ N (0, 1) tem distribuicao normal reduzida (media zero evariancia um). Sempre conseguimos transformar uma variavel aleatoriaX ∼ N (µ, σ2) em uma variavel aleatoria Z ∼ N (0, 1). Para isto, bastafazer:

Z =X − µσ

,

em que σ e o desvio-padrao de X ∼ N (µ, σ2), isto e, σ =√σ2.






Distribuicao Normal

Sendo assim, para calcular P(a < X < b), com a < b ∈ R,em queX ∼ N (µ, σ2) poderıamos calcular da seguinte forma:

P(a < X < b) = P

(a− µσ

< Z <b − µσ

)=

1√2π

∫ (b−µ)/σ

(a−µ)/σexp

−x2

2

dx .

A integral acima tambem nao tem forma fechada e so podera sercalculada numericamente.






Distribuicao Normal

Porem, como Z ∼ N (0, 1) (Z sempre tera distribuicao normal reduzidatambem chamada de distribuicao normal padrao). Isso garante queapenas precisaremos de uma unica tabela, isto e, necessitaremos conhecerapenas a tabela de Z para obtermos o resultado da integral.






Distribuicao Normal






Distribuicao Normal

Muito Importante

A Tabela da distribuicao normal encontra-se disponıvel emwww.de.ufpb.br/~eufrasio/CPE/Aulas.

Exercıcio: Seja Z ∼ N (0, 1). Obtenha por meio da Tabela da distribuicaonormal padrao, as seguintes probabilidades:

a) P(Z ≤ 1.25);

b) P(Z > 1.25);

c) P(Z = 0);

d) P(Z ≤ −1.25);

e) P(−0.38 ≤ Z ≤ 1.25).


www.de.ufpb.br/~eufrasio/CPE/Aulas





Distribuicao Normal

Exercıcio: O tempo que um motorista leva para reagir as luzes de freioem um veıculo em desaceleracao e crucial para evitar colisoes traseiras.Um artigo sugere que o tempo de reacao de uma resposta no transito aum sinal de frenagem com luzes de freio convencionais pode ser modeladocom uma distribuicao normal de media 1.25 segundos e desvio padrao de0.46 segundos. Qual e a probabilidade de que o tempo de reacao estejaentre 1.00 e 1.75 segundos?


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C alculo das Probabilidades e Estat stica I - de.ufpb.breufrasio/CPE/Aulas/Aula_2_Probabilidade.pdf · Teorema de Bayes Independ^encia Estat ... A palavra probabilidade deriva do