BUCHI NERI BUCHI NERI ROTANTIROTANTI

Guarcello Mario Giuseppe – XXI CicloGuarcello Mario Giuseppe – XXI Ciclo

Fisica del Campo Gravitazionale – Prof. G. CompagnoFisica del Campo Gravitazionale – Prof. G. Compagno

METRICA DI SCHWARZSCHILD

• Soluzione dell’equazione di Einstein per il campo gravitazionale nel vuoto prodotto da una corpo di massa M sferico, statico e neutro.

Per un piccolo movimento lungo r, tenendo costanti le altri coordinate:

SINGOLARITA’ E PSEUDOSINGOLARITA’:

• Superficie di redshift infinito: • Orizzonte degli eventi:

Singolarità delle coordinate

Forze mareali finite

SOLE

TERRA

invariante di curvatura:

Nessuna divergenza all’orizzonte; divergenza all’origine

Singolarità del buco nero:

• vera singolarità dello spazio-tempo

• forze mareali infinite

Equazioni di Boyer e Lindquist (1964)

Le superfici r=[costante] sono elissoidi confocali.

Le superfici θ=[costante] sono iperboloidi

Coordinate sferoidale nel piano x-y

METRICA DI KERR

Soluzione dell’equazione di Einstein nel caso di un corpo di massa M, sferico, neutro e rotante (coordinate di Boyer & Lindquist):

Soluzione di Kerr stazionaria ma non statica

Per Trascurando i termini:

Trascurare il penultimo termine perché minore di un fattore:

rispetto l’ultimo

Il coefficiente dell’ultimo termine in coordinate cartesiane:

Metrica di Schwarzschild Termini non diagonali

I primi 4 termini identificano M con la massa del buco nero

Termini non diagonali in coordinate cartesiane:

Identificano il prodotto Ma con il momento angolare del buco nero:

( dal campo debole prodotto da una massa rotante)

SUPERFICI DI REDSHIFT INFINITO:

Due superfici: una interna ed una esterna

BUCO NERO ROTANTE CON

Velocità di un segnale di luce in una superficie di redshift infinito:

• porre:

• considerare, per comodità, un segnale nel piano equatoriale:

• sostituire:

Se:

Il segnale non esce dalla superficie

Se:

Il segnale può uscire dalla superficie se ha una componente di velocità nella direzione di rotazione del buco nero

ORIZZONTE DEL BUCO NERO:

Porre :

e porre la condizione:

rimane un fattore Δ moltiplicativo, per cui:

SINGOLARITA’ DI UN BUCO NERO ROTANTE:

La singolarità si trova da:

Singolarità a disco (disco con densità infinita di massa).

che porta alla condizione:

In coordinate cartesiane:

Coni di luce sull’asse di

rotazione di un buco nero

rotante

Linea di universo di un segnale di luce

entrante

Tra gli orizzonti g00<0 e g11>0:

t coordinata di tipo spazio

r coordinata di tipo tempo

ESTENSIONE DELLA GEOMETRIA DI KERR

• La linea d’universo si interrompe, non in singolarità

• Le pseudosingolarità possono essere rimosse con opportuni cambi di coordinate, che permettono alle linee di universo di terminare solo nelle singolarità

DEFINIZIONE:

le geodetiche o sono infinite o terminano nelle singolarità

Coordinate di Kruskal-Szekeres per un buco nero statico (Kruskal, 1960)

Nessuna singolarità ad rs.

Singolarità

Orizzonte

Buco nero (regione II)

Spazio asintoticamente piatto (regione I)

Estensione massima dello spazio-tempo di Schwarzschild

Estensione sotto la linea u=-v;

due spazi asintoticamente piatti per u→∞ e u→-∞; ognuno fuori dal cono di luce dell’altro

v costante: due singolarità nei due spazi

asintoticamente piatti

Al tempo v=1 le due singolarità coincidono e gli spazi sono collegati

WORMHOLE

Regione che connette due spazi separati attraverso una singolarità tra i tempi -1<v<1

Wormhole al tempo v=0

Wormhole a v=0 che connette due punti dello stesso

spazio

Evoluzione del

wormhole per -<v<1

Estensione massima della geometria di Kerr

• Si possono usare coordinate simili a quelle di Kruskal per estendere la geometria

• La particella può attraversare la superficie a r- se viene a trovarsi in un buco bianco di un altro universo.

• L’estensione massima della geometria di Kerr comprende più di due universi.

• La completezza delle geodetiche comporta che un universo che contiene un buco nero ne contiene anche uno bianco e così via.

ERGOSFERA:

Regione dello spazio tempo compreso tra la superficie di redshift infinito esterna e l’orizzonte esterno del buco nero

LIMITE STATICO

Se:

Nell’ergosferai corpi sono costretti a

ruotare nella direzione in cui ruota il buco nero

Processo Penrose

Nell’ergosfera g00<0, g03>0, u0>0, u0>0: si possono avere traiettorie ad energia negativa (energia gravitazionale > energia cinetica ed a riposo

Una particella che cade nel buco nero decade in due particelle: una ad energia positiva che attraversa l’orizzonte, una ad energia positiva che si allontana con più energia

Con la metrica di Kerr:

L’energia può essere estratta fino alla massa irriducibile (Christodoulou & Ruffini 1970, 1971) :

La particella che cade sul buco nero ne riduce l’energia.

La particella che esce dal buco nero trasporta la quantità di energia estratta

che corrisponde all’estrazione di tutta l’energia rotazionale del buco nero, per cui rimane un buco nero statico di

massa Mirr

BUCO NERO ROTANTE CON

• Singolarità ad anello.

• Nessun orizzonte (singolarità nuda).

• Ipotesi del Censore Cosmico (Penrose):

“il collasso gravitazionale di una massa non può terminare in una singolarità nuda”.

• Non dimostrata: è ritenuto che la massa collassante con grande momento angolare si distrugga durante il processo.

Nei processi che coinvolgono uno o più buchi neri, l’area totale delle superfici d’orizzonte non cambia.

(Hawking & Ellis 1973)

DINAMICA DEI BUCHI NERI

• La struttura dei buchi neri è descritta solamente da:

Massa

Carica

Momento Angolare

• Leggi di conservazione di energia, quadrimomento e momento angolare durante le interazioni che coinvolgono buchi neri