Embed Size (px)
DESCRIPTION
breviar teoretic matematica 5-8
Citation preview
BREVIAR TEORETICARITMETICĂ ŞI ALGEBRĂ
MULŢIMIRelaţii între mulţimi. Mulţimi finite.
Apartenenţă Incluziune, submulţime
1 25 6
7
A
1 ∈ A 7 ∉ A∅ ⊂ A
1 2 56 7
A BD
D ⊂ A; D submulþime a lui AB nu este submulþime a lui A
„∈“ — aparþine; „∉“ — nu aparþine; „⊂“ — inclus Mulþimea vidã ∅ este submulþime a oricãrei mulþimi. Orice mulþime este inclusã în ea însãºi.Egalitatea a două mulţimi
ConsiderămmulţimileCşiD.
D = C
C = {6, 5}
5 ∈ C, 6 ∈ C ⇒ D ⊂ C
D5
6
5 ∈ D, 6 ∈ D ⇒ C ⊂ D
Mulþimile D ºi C sunt egale; fiecare este submulþime a celeilalte.Mulþimi finite
Exemple:A = {1, 2, 5, 6}, B = mulþimea elevilor din ºcoala voastrã, C = {0, 2, 4, 6, ..., 2012} sunt mulþimi finite.
Operaţii cu mulţimi
Reuniunea Intersecţia
A ∪ B
A B
5
671 2
A ∪ B = {x | x ∈A sau x ∈B}
A ∩ B
1 2 7
A B5
6
A ∪ B = {x | x ∈A ºi x ∈B}
12
Diferenţa Diferenţa simetrică
B \ AA \ B
A B
5
61 2 7
A \ B = { x | x ∈A ºi x ∉B}B \ A = { x | x ∈B ºi x ∉A}
A ∆ B
A B
1 25
67
A ∆ B = (A \ B) ∪ (B \ A)
Produsul cartezian
(1, 7) (2, 7) (5, 7) (6, 7)
(1, 6) (2, 6) (5, 6) (6, 6)
(1, 5) (2, 5) (5, 5) (6, 5)
1 2 5 6
A × B
A
7
6
5
B
B
(5, 6) (6, 6) (7, 6)
(5, 5) (6, 5) (7, 5)
(5, 2) (6, 2) (7, 2)
(5, 1) (6, 1) (7, 1)
B × A
5 6 7
6
5
2
1
A
A × B = {(x, y) | x ∈A ºi y ∈B} B × A = {(y, x) | y ∈B ºi x ∈A}
(a, b) = (c, d) ⇔def
a = c ºi b = d.
Mulţimi infinite: , , ,
= {0, 1, 2, 3, ...} * = {1, 2, 3, 4, ...}
mulþimea numerelor naturale mulþimea numerelor naturale nenule = {..., –2, –1, 0, 1, 2, ...} * = \ {0}
mulþimea numerelor întregi mulþimea numerelor întregi nenule
= a
ba b| , *∈ ∈
* = \ {0}
mulþimea numerelor raţionale mulþimea numerelor raţionale nenule
I = 2 3 5, , , ,...−{ } Toate fracþiile infinite neperiodice sunt
mulţimea numerelor iraţionale numere raþionale.
= ∪ I * = \ {0}
mulþimea numerelor reale mulþimea numerelor reale nenule
13
Incluziunile Ì Ì Ì
–2014 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 2014
− 3 2 p
–4,93 –9
5 –
1
7 0,(3)
13
2 7,5
\
\
\
Scrierea numerelor naturale în baza 10
În baza 10 se utilizeazã cifrele 0, 1, 2, ..., 9. De exemplu, putem scrie:
48 = 4 · 10 + 8 sau
48 = 4 · 101 + 8 · 100
526 = 5 · 100 + 2 · 10 + 6 sau
526 = 5 · 102 + 2 · 101 + 6 · 100
7 342 = 7 · 1 000 + 3 · 100 + 4 · 10 + 2 sau
7 342 = 7 · 103 + 3 · 102 + 4 · 101 + 2 · 100
În general, în baza 10:
Un numãr de douã cifre se scrie: ab = a · 10 + b, a ≠ 0, a, b ∈{0, 1, 2, ..., 9}.
Un numãr de trei cifre se scrie: abc = a · 100 + b · 10 + c, a ≠ 0, a, b, c ∈{0, 1, 2, ..., 9}.
Un numãr de patru cifre se scrie: abcd = a · 1 000 + b · 100 + c · 10 + d,
a ≠ 0, a, b, c, d ∈{0, 1, 2, ..., 9}.
Un numãr de m + 1 cifre se scrie:
ama
m – 1...a
1a
0 = a
m · 10m + a
m – 1 · 10m – 1 + ... + a
1 · 10 + a
0,
unde am, a
m – 1, a
m –2, ..., a
1, a
0 ∈{0, 1, 2, ..., 9}, a
m ≠ 0, m ∈ *.
Propoziţii adevărate şi propoziţii false
O propoziþie matematicã este un enunþ despre care are sens sã spunem cã este
adevãrat sau fals, într-un anumit context.
Dacã o propoziþie este adevãratã, i se atribuie valoarea de adevãr A; dacã este falsã, i se
atribuie valoarea de adevãr F.
Exemple:
propoziþia p: „3 + 5 = 8“ este adevãratã (A);
propoziþia q: „3 + 5 > 9“ este falsã (F).
14
Împărţirea cu rest a numerelor naturale
Pentru numere naturale:
Dacã a ∈, b ∈*,
atunci existã q ∈, r ∈ astfel
încât a = bq + r, cu 0 r < b.
Exemplu:a = 23, b = 423 = 4 · 5 + 3
cât rest
Pentru numere întregi:
Dacã a ∈, b ∈*, atunci existã
q ∈, r ∈ astfel încât a = bq + r,
cu 0 r < |b|.
Exemplu:a = – 23, b = – 4– 23 = (– 4) · 6 + 1
cât rest
Divizibilitatea în şi
Definiţii, divizori, multipli:
În :
a divide ba | b ⇔
defexistã c ∈* astfel încât
b = a · c.
a se numeºte divizor al numãrului natural b;
b se numeºte multiplu al numãrului natural a.
Exemplu: 2 | 14; 7 | 14.
În :
a divide ba | b ⇔
defexistã c ∈* astfel încât
b = a · c.
a se numeºte divizor al numãrului întreg b;
b se numeºte multiplu al numãrului întreg a.
Exemplu: –2 | 14; 7 | (–14).
Divizori improprii, divizori proprii în
Definiţie:
Divizorii –a, –1, 1 a ai unui numãr întreg a se numesc divizori improprii.
Orice alt divizor al lui a ∈ se numeºte divizor propriu.
Exemple:D
18 = {1, 2, 3, 6, 9, 18} mulþimea divizorilor naturali ai lui 18;
D18
= {±1, ±2, ±3, ±6, ±9, ±18} mulþimea divizorilor întregi ai lui 18.Numerele ±2, ±3, ±6, ±9 sunt divizori proprii în ai numãrului 18.
15
C.m.m.d.c. (12, 18) = 2 · 3 = 6; c.m.m.m.c. [12, 18] = 22 · 32 = 36.
Divizor comun, multiplu comun, c.m.m.d.c., c.m.m.m.c.Fie a, b, d ∈*, m ∈.
d se numeºte divizor comun dacã d | a ºi d | b.m se numeºte multiplu comun dacã a | m ºi b | m.
Cel mai mare dintre divizorii comuni ai numerelor a ºi b se numeºte c.m.m.d.c. ºi se noteazã (a, b).
Cel mai mic dintre multiplii comuni ai numerelor a ºi b se numeºte c.m.m.m.c. ºi se noteazã [a, b].
Reþineþi! (a, b) · [a, b] = a · b.
Exemple: D12
= {1, 2, 3, 6, 12}, D18
= {1, 2, 3, 6, 9, 18} c.m.m.d.c.(12, 18) = 6;M
12 = {0, 12, 24, 36, ...}, M
18 = {0, 18, 36, ...} c.m.m.m.c.[12, 18] = 36;
Verificare: (12, 18) · [12, 18] = 12 · 18.
Definiţii:
Numere pare, numere impare{x | x = 2n, n ∈ } = {..., –2, 0, 2, 4, ...} mulþimea numerelor pare.{x | x = 2n + 1, n ∈ } = {..., –1, 1, 3, ...} mulþimea numerelor impare.
Numere prime, numere compuse
p 2, p ∈, p numãr prim ⇔def
Dp = {–p, –1, 1, p}.
Exemple: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, ...Numerele întregi care au divizori proprii se numesc numere compuse.
Exemple: 4, 6, 8, 9, 15, 18, 20, 21 ...
Numere prime între ele
Definiţie:
Douã numere a, b ∈* pentru care (a, b) = 1 se numesc prime între ele.
Exemple: (2, 3) = 1; (3, 5) = 1; (5, 9) = 1.
Descompunerea unui numãr în produs de puteri de numere primeExemple:18
| 2 18 = 2 · 32 12
| 2 12 = 22 · 3
9 3 6 2 3 3 3 3 1 1Observămcă:
16
Proprietăţi ale relaţiei de divizibilitate în 1. a | a , ∀a ∈*.
2. 1 | a , ∀a ∈.
3. a | 0 , ∀a ∈*.
4. a | b }⇒ a = b, ∀a, b ∈*.b | a
5. a | b }⇒ a | c, ∀a, b ∈*, c ∈.b | c
6. a | x }⇒ a | x + y, ∀a ∈*, x, y ∈.a | y
6'. a | x }⇒ a | x – y, ∀a ∈*, x y ∈.a | y
7. a | x ⇒ a | xy, a ∈*, unde x, y ∈.
8. a | x ºi b | x}⇒ ab | x, unde a, b ∈*, x ∈.(a, b) = 1
Fracţii
Definiţie:
O pereche ordonatã de numere întregi de forma (b ≠ 0) se numeºte fracþie.a
b
Exemple: 5
4
15
10
342
39
29
3
2 581
100, , , ,
−−
.
Definiţie:
O fracþie (b ≠ 0) se numeºte: subunitarã, dacã a < b; echiunitarã, dacã a = b; supraunitarã, dacã a > b
a
b
Definiţie:
Douã fracþii ºi se numesc echivalente, ºi scriem = , dacã ad = bc.a
b
a
b
c
d
c
d
Acestea se obþin amplificând sau simplificând o fracþie datã.
Exemplu:15
10
3
2
6
4, , sunt echivalente.
Amplificarea: 2 3
2
6
4
)
= . Simplificarea: 30
20
15
10
3
2
2 5( (
= = .
Definiţie:
O fracþie care nu se mai poate simplifica se numeºte fracþie ireductibilã.
Exemple: 3
2
5
6
8
7, , .
17
Definiţie:
Fracþiile care au numitorul o putere a lui 10 (adicã 10, 100, 1 000, 10 000 etc.) se numesc fracþii zecimale finite.
Exemple: 543
10
3
100
49
1 000
37 527, , ,
10 000.
Scrierea fracţiilor sub formă zecimală
138
10= 13,8;
7
100= 0,07;
579
1 000= 0,579;
35 478
10 000= 3,5478
partea fracþionarã
partea întreagã
Transformarea fracţiilor zecimale finite în fracţii ordinare
2,5 =25
10; 0,34 =
34
100; 0,008 =
8
1 000; 12,34567 =
1 234 567
000100.
Nu toate fracþiile ordinare se pot transforma în fracþii zecimale finite!
Exemplu:19
15019,00000... | 150
15 0 0,1266...=4 00=3 00 1 000 900
= 1000 900
100Fracþia zecimalã 0,12666... se scrie 0,12(6) ºi se numeºte fracþie zecimalã periodicã cu
perioada 6.
Fracţii periodice simple
Exemple: 175
3= 58,(3);
48
11= 4,(36) etc.
Fracţii periodice mixteExemple: 12,34(567) ;
partea neperiodicã
partea periodicã
1,2(345); 1,23(45); 1,234(5); 0,32(7) etc.
18
Transformarea unei fracţii periodice simple în fracţie ordinară
0,(3) =3
9; 0,(15) =
15
99; 0,(238) =
238
999;
2,(6) = 26
9sau 2,(6) =
26 2
9
24
9
−= ;
15,(21) = 1521
99sau 15,(21) =
1 521 15
99
1 506−=
99;
34,(872) = 34872
999 sau 34,(872) =
34 872 34
999
34 838
999
−= .
Proba se face prin împãrþirea numãrãtorului la numitor.
Transformarea unei fracţii periodice în fracţie ordinară
0,2(5) =−
=25 2
90
23
90; 0,12(6) =
−=
126 12
900
114
900;
0,3(15) =−
=315 3
990
312
990; 3,4(6) =
−=
346 34
90
312
90;
5,11(37) =−
=51137 511
9 900
50 626
9 900;
12,3(456) =−
=123 456 123
9 990
123 333
9 990.
Proba se face prin împãrþirea numãrãtorului la numitor.
Numere; terminologia specifică; reprezentare pe axă
Numere naturale0 1 2 3
= {0, 1, 2, 3, ..., n, ...}; * = {1, 2, 3, ..., n, ...};
Numere întregi
numere opuse
0 1 2 3–1–2–3
= {..., –n, ..., –2, –1, 0, 1, 2, ..., n, ...}; * = \ {0};– a este opusul numãrului a.
19
Numere raţionale
Senumeştenumăr raţionalmulţimeafracţiilorechivalentecuofracţiedată.
=a
ba b b, ,∈ ≠
0 ; reprezintănumărulraţional
0 1 2–1–2 3–3
7
3
1
22
4, ,
3
6
4
8
−−
* = \ {0}; =m
m1
∈
, deci ⊂ .
b
a este inversul numãrului raþional
a
b (a, b ≠ 0);
numãr raþional sub formã fracþionarã:6
5
25
100
2
3
2 291
990, , , ;
numãr raþional sub formã zecimalã:1,2; 0,25; 0,(6); 2,3(14).
fracþii finite fracþii infinite periodice
Numere iraţionale
Toate numerele infinite neperiodice sunt numere iraþionale.
Numerele – d , d , unde d nu este pãtrat perfect, sunt numere iraþionale. 0 1
2– 221
Numere reale Reunind mulþimea numerelor raþionale cu mulþimea numerelor iraþionale obþinem mulþimea
numerelor reale.
Definiţie:
|x| = { x, dacã x 0 –x, dacã x < 0 se numeºte modulul numãrului real x.
|x| 0, oricare ar fi x ∈.
Proprietăţix = [x] + {x},[x] ∈, 0 {x} < 1Exemple: [3,27] = 3; {3,27} = 0,27;[–3,27] = –4; {–3,27} = 0,73.
k + 1k x{
[x] {x}
partea întreagã a numãrului x
partea fracþionarã a numãrului x
20
a · b = b · a, oricare ar fi a, b ∈.
Compararea şi ordonarea numerelor reale
Dacã a, b ∈* ºi a < b, atunci a
n
b
n< ºi n
a
n
b> (n ∈*).
Dacã a, b ∈+ ºi a < b, atunci:
an < bn (n ∈*); a < b ; 1
a <
1
b.
Dintre douã numere negative este mai mare cel cu valoarea absolutã mai micã:a, b < 0 ºi |a| < |b|, atunci a > b.
a < b ⇔ a b un numãr mai mic îl „precede“ pe cel mai mare.
Dacã a, b ∈, atunci are loc una ºi numai una dintre relaþiile: a < b, a = b, a > b.
Intervale în : definiţii, reprezentări pe axă
Fie a, b ∈ ºi a < b.Intervale mãrginite:
(a, b) = {x ∈ | a < x < b}x
ba( )
+∞
[a, b] = {x ∈ | a x b}x
ba[ ]
+∞
[a, b) = {x ∈ | a x < b}x
ba[ )
+∞
(a, b] = {x ∈ | a < x b}x
ba( ]
+∞
Intervale nemãrginite:
(a, +∞) = {x ∈ | a < x}x
a(
+∞
[a, +∞) = {x ∈ | a x}x
a[
+∞
(–∞, a) = {x ∈ | x < a}x
a)
+∞
(–∞, a] = {x ∈ | x a}x
a]
+∞
Proprietăţi ale operaţiilor cu numere reale
Adunarea Înmulţirea1. Asociativitatea:
(a + b) + c = a + (b + c),oricare ar fi a, b, c ∈.
2. Elementul neutru este 0:a + 0 = 0 + a = a, oricare ar fi a ∈.
3. Opusul oricãrui numãr real a este –a:a + (–a) = (–a) + a = 0.
4. Comutativitatea:a + b = b + a, oricare ar fi a, b ∈.
1. Asociativitatea:(a · b) · c = a · (b · c), oricare ar fi a, b, c ∈.
2. Elementul neutru este 1:a · 1 = 1 · a = a, oricare ar fi a ∈.
3. Inversul oricãrui numãr real nenul a este 1
a:
a ·1
a=
1
a· a = 1, oricare ar fi a ∈*.
4. Comutativitatea:
21
Ridicarea la putere cu exponent întregFie a ∈, n ∈*. Fie a, b ∈, p, q ∈*.an = a a a a
n
⋅ ⋅ ⋅ ⋅... factori
, n 2. ap · aq = ap + q
a1 = a; a0 = 1, a ≠ 0 a p : a q = a p – q, a ≠ 0 1n = 1; 0n = 0 (a p)q = a pq
a–n = 1
an , a ≠ 0 (a · b) p = a p · b p
(–1)n =1
1
,
,
n
n
par
impar−
(a : b) p = a p : b p, b ≠ 0
10 n =100 0...n zerouri
a
b
b
a
p p
=
−
, a, b ≠ 0
10–n = 0 00 01, ...n cifre
Radicali
Definiţii: Fie a ∈, a 0. Numãrul a se numeºte pãtrat perfect dacã existã x ∈ astfel încât
a = x2.
Fie a ∈, a 0. Numãrul a se numeºte rãdãcina pãtratã a numãrului a ( a estenumãrul pozitiv al cãrui pãtrat este a).
Proprietãþi:1. a( )2
= a, a ∈+ . 3. a nu existã dacã a < 0.
2. a 0, a ∈+ . 4. a2 = |a|, a ∈.
Reguli de calcul cu radicali
a b a b⋅ = ⋅ , a, b ∈+
a
b
a
b= , a, b ∈
+ , b ≠ 0
a b a b= 2 , a, b ∈+
a b a b2 = , a ∈, b ∈+
x a y b xy ab⋅ = , a, b ∈+
x a
y b
x
y
a
b= , a, b ∈
+ ,
y, b ≠ 0
x a y a x y a± = ±( ) , a ∈+
x a x an
n n( ) = , a, b ∈+
Raţionalizarea numitorilor Exemple:b x
a b
x b
ab
)=
3 2
3
2 3
3
)=
a b x
a b
x a b
a b
− )
+=
−( )−2
2 3 1
2 3
2 3
4 32 3
− )
+=
−−
= −
a b x
a b
x a b
a b
+ )
−=
+( )−2
3 2 5
3 2
5 3 2
9 2
5 3 2
7
+ )
−=
+( )−
=+( )
22 Matematică pentru Evaluarea Naţională 2014
Medii
Fie a, b ∈*, p, q ∈*.
ma =
a b+2
este media aritmeticã
map
=pa qb
p q
++
este media aritmeticã ponderatã
mg = ab este media geometricã
Exemple: Fie a = 3 – 5 , b = 3 + 5 .
ma =
3 5 3 5
2
− + += 3;
mg = 3 5 3 5−( ) +( ) = 9 5− = 2.
Rapoarte şi proporţii
Definiţii. Proprietatea fundamentală a proporţiilorRaportul numerelor raþionale a ºi b (b ≠ 0) este numãrul a
b.
Raportul a douã mãrimi este raportul mãsurilor lor exprimate cu aceeaºi unitate de mãsurã.
Numãrul r =a
b se numeºte valoarea raportului
a
b.
Egalitatea a douã rapoarte a
b=
c
d (b, d ≠ 0) se numeºte proporþie.
Într-o proporþiea
b=
c
d produsul extremilor este egal cu produsul mezilor: ad = bc.
Aflarea unui termen necunoscuta
b=
c
d
a =bc
db =
ad
cc =
ad
bd =
bc
a
Proporţii derivate
a b
b
c d
d
−=
− a
c
b
d=
d
b
c
a=
a b
b
c d
d
+=
+
a
b=
c
d
a
b
a c
b d=
++
a
b a
c
d c+=
+a
b a
c
d c−=
−a
b
c a
d b=
−−
23Breviar teoretic — Aritmetică şi algebră
Şir de rapoarte egalea
b
c
d
e
f
x
y
a c e x
b d f y= = = = =
+ + + ++ + + +
......
...
Proporţionalitate directă, proporţionalitate inversă
{a, b, c} direct proporþionale {x, y, z}a
x
b
y
c
z= =
{a, b, c} invers proporþionale {x, y, z}a
x
b
y
c
z1 1 1
= =
Procente
Definiţie:
Fie p ∈*+ . Raportul
p
100 se numeºte raport procentual.
Numãrul p din proporþia a
b=
p
100 se numeºte procent.
Notãm p%. Avem p% din a =p
100· a. Exemplu: 15% din 700 = 105.
Aflarea unui numãr când cunoaºtem p% din el:p
100· x = a ⇒ x = a ·
100
p. Exemplu: 15% din x = 105 ⇒ x = 700.
Aflarea raportului procentual:
a
b=
p
100⇒ p =
a
b
⋅100. Exemplu:
3
8 100=
p ⇒ p = 37,5.
Probabilitatea realizării unui eveniment
p = numãrul cazurilor favorabile evenimentului
numãrul cazurilor posibileExemple:
1. Într-o urnã sunt 17 bile albe ºi 13 bile negre. Se extrage o bilã.Probabilitatea ca bila extrasã sã fie albã este:
1730
numãrul bilelor albe numãrul total al bilelor( = )
2. Se aruncã douã zaruri. Numãrul cazurilor posibile este 36 (toate perechile (x, y), unde x, ysunt numere naturale de la 1 la 6).
Probabilitatea sã aparã dubla 3: 1
36 (existã 1 caz favorabil: (3, 3)).
Probabilitatea sã aparã 2, respectiv 5: 2
36
1
18= ((2; 5) ºi (5; 2)).
24 Matematică pentru Evaluarea Naţională 2014
CALCUL ALGEBRICReguli de calcul cu numere reale reprezentate prin litere
ax + bx + cx = (a + b + c) · x a · (x + y + z) = ax + ay + az
(a + b) · (x + y + z) = ax + ay + az + bx + by + bz
Formule de calcul prescurtat
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca
(a + b)(a – b) = a2 – b2
Descompunerea în factori
Metoda factorului comun: ab + ac = a(b + c) ab – ac + ad = a(b – c + d)
Utilizarea formulelor de calcul prescurtat: a2 + 2ab + b2 = (a + b)2
a2 – 2ab + b2 = (a – b)2
a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc = (a + b + c)2
a2 – b2 = (a + b)(a – b)
Exemple:4x 2 + 6xy + 9y 2 = (2x + 3y)2
4x 2 – 6xy + 9y 2 = (2x – 3y)2
4x 2 – 9y2 = (2x – 3y)(2x + 3y)Gruparea termenilor ºi metode combinate:ax + ay + bx + by = a(x + y) + b(x + y) = (x + y)(a + b)ax + ay – bx – by = a(x + y) – b(x + y) = (x + y)(a – b)a(x2 ± 2xy + y2) = a(x ± y)2
x2 ± 2xy + y2 – a2 = (x ± y)2 – a2 = (x ± y – a)(x ± y + a)a2 – b2 – c2 + 2bc = a2 – (b2 + c2 – 2bc) = a2 – (b – c)2 = (a – b + c)(a + b – c)Exemple:5x2 – 30x + 45 = 5(x2 – 6x + 9) = 5(x – 3)2 ;4x2 + 4x + 1 – 16y 2 = (2x + 1)2 – 16y2 = (2x + 1 – 4y)(2x + 1 + 4y).
25
Rapoarte de numere reale reprezentate prin litere
amplificarea simplificareac a
b
ac
bc
)
= , b, c ≠ 0 a
b
a c
b c
c( :
:= , b, c ≠ 0
adunarea sau scãderea înmulþirea
a
b
c
b
a c
b± =
±, b ≠ 0
a
b
c
d
a c
b d⋅ =
⋅⋅
, b, d ≠ 0
puterea cu exponent natural împãrþirea
a
b
a
b
n n
n
= , b ≠ 0, n ∈* a
b
c
d
a
b
d
c: = ⋅ , b, c, d ≠ 0
puterea cu exponent întreg negativa
b
b
a
n n
n
=−
, a, b ≠ 0, n ∈*
FUNCŢIISistem de axe ortogonale; reprezentarea punctelor în plan
y
x
M(x, y)y
x0
axa absciselor
abscisa punctului M
axa ordonatelor
ordonata punctului M
Oricãrei perechi ordonate (x, y) i se poate asocia un punct M din plan.
Noţiunea de funcţie
Definiţie:
Fiind date douã mulþimi nevide, A ºi B, ºi o lege de corespondenþã care face ca fiecãrui element x din A sã-i corespundã un unic element y din B, spunem cã am definit o funcþie pe A cu valori în B ºi scriem f : A → B.
Exemplu:f (x) = x 2
Im f = {y ∈B | y = f (x), x ∈A}
domeniul de definiþie
codomeniul (mulþimea în care funcþia ia valori)
legea de corespondenþã
imaginea funcþiei
12
32
123456
26
Funcţii de tipul f : A → , f (x) = ax + b, unde a, b ∈, A = mulţime finităDefiniţie:
Fie f : A → B. Prin graficul funcþiei f vom înþelege mulþimea G
f = {(x, f (x)) | x ∈A} ⊂ A × B.
Deci (a, b) ∈Gf ⇔ f (a) = b ºi a ∈A, b ∈B.
Graficul Gf al unei funcþii f are tot atâtea elemente câte are ºi domeniul A.
Exemplu:Fie funcþia numericã f : {0, 1, 2, 3} → , datã prin f (x) = 2x + 1.G
f = {(0, 1), (1, 3), (2, 5), (3, 7)} iar reprezentarea sa geometricã
este mulþimea punctelor: A, B, C, D.
y
x
0 1 2 3
1
3
5
7
A
B
C
D
Funcţii de tipul f : → , f (x) = ax + b, unde a, b ∈Cum domeniul de definiþie este , atunci G
f este o mulþime infinitã ºi se reprezintã într-un
sistem de axe ortogonale printr-o dreaptã.
y
x
a = 0
0
b Gf
y
x0
ba ≠ 0
−b
a
Gf
Gf ∩ Ox = −
ba
, 0 , Gf ∩ Oy = (0, b)
Un punct M(x, y) ∈Gf ⇔ y = ax + b.
Reþineþi! Pentru o trasare rapidã a graficului este suficient sã-i determinãm douã puncte.
ECUAŢII ŞI INECUAŢIIRezolvarea în a ecuaţiilor de forma ax + b = 0, a ∈*,b ∈
ax + b = 0, x ∈D ⇔ ax = – b ⇔ x = – b
a.
Dacã – b
a∈D ⇒ S = −
b
a. Dacã – b
a∉D ⇒ S = ∅.
Am notat D domeniul de definiþie al ecuaþiei ºi S mulþimea soluþiilor.Exemplu:
–7x + 3 = 0 ⇔ –7x = – 3 ⇔ x =3
7.
În avem S = ∅, dar în avem S =3
7
.
27
*Rezolvarea în a ecuaţiilor de forma ax 2 + bx + c = 0, unde a, b, c ∈, a ≠ 0
Pentru a rezolva în ecuaþia ax2 + bc + c = 0, a ≠0, a, b, c ∈, calculãm discriminantul
∆ = b2 – 4ac.
Vom avea urmãtoarele situaþii: I. ∆ < 0 ⇒ S = ∅. II. ∆ = 0 ⇒ S = −
b
a2.
III. ∆ > 0 ⇒ S = − − − +
b
a
b
a
∆ ∆2 2
, .
* Notă: Aceastătemănuestecuprinsăînprogramapentruevaluarenaţională.
Rezolvarea în × a sistemelor de două ecuaţii liniare cu două necunoscute
Metoda substituþiei (exemplu)y x
x y
y x
x x
y x
x x
+ =− =
⇔= −− −( ) =
⇔= −− + =
⇔5
2 3 0
5
2 3 5 0
5
2 15 3 0
y x
x
y x
x
x
yS
= −− =
⇔= −=
⇔==
⇒ = ( ){ }5
5 15 0
5
3
3
23, 2 .
Etapele metodei substituþiei: se rezolvã o ecuaþie în raport cu o necunoscutã; înlocuind în cealaltã ecuaþie, se obþine o ecuaþie cu o singurã necunoscutã, care se rezolvã,
obþinându-se o componentã a soluþiei; revenind la substituþia fãcutã, se obþine cealaltã componentã a soluþiei.Metoda reducerii (exemplu)
x y
x y
x y
x y
+ =− =
⋅⋅
⇔+ =− =
4 11
2 3 0
3
4
3 12 33
8 12 0
11x / = 33 ⊕x
x y
x
y
x
y
x
y
=+ =
⇔=+ =
⇔=
=
⇔==
3
4 11
3
3 4 11
3
4 8
3
2
Etapele metodei substituþiei: se înmulþeºte convenabil fiecare termen (dintr-o ecuaþie sau din ambele) cu acelaºi numãr; adunând sau scãzând membru cu membru noile ecuaþii, se eliminã una dintre necunoscute; se determinã cealaltã necunoscutã, apoi se înlocuieºte în una dintre ecuaþiile iniþiale.
Rezolvarea în a inecuaţiilor de forma ax + b 0 (<, , >), a ∈*, b ∈
Dacã a > 0: ax + b 0 ⇔ x –b
a –∞ +∞
−b
a]
Dacã a < 0: ax + b 0 ⇔ x –b
a –∞ +∞
−b
a
[
Analog, pentru formele <, , >.Exemple:
1. 2x + 3 < 0 ⇔ 2x < –3 ⇔ x < –3
2. 2. –2x + 3 0 ⇔ –2x –3 ⇔ 2x 3 ⇔ x
3
2.
3. –2x – 3 > 0 ⇔ –2x > 3 ⇔ 2x < –3 ⇔ x < –3
2.
28
GEOMETRIEMĂSURARE ŞI MĂSURI
Unităţi de măsură pentru lungime
mm cm dm m dam hm km
submultiplii metrului multiplii metrului 1 m = 1 000 mm 1 dam = 10 m
1 m = 100 cm 1 hm = 100 m1 m = 10 dm 1 km = 1 000 m
Reþineþi! Dacã transformãm o unitate mai mare într-o unitate mai micã, înmulþim cu 10, 100,1 000, ...
1 mm = 0,001 m 1 m = 0,1 dam1 cm = 0,01 m 1 m = 0,01 hm1 dm = 0,1 m 1 m = 0,001 km
Reþineþi! Dacã transformãm o unitate mai micã într-o unitate mai mare, împãrþim la 10,100, 1 000, ...
Unităţi de măsură pentru arie
mm2 cm2 dm2 m2 dam2 hm2 km2
submultiplii metrului pãtrat multiplii metrului pãtrat 1 m2 = 1 000 000 mm2 1 dam2 = 100 m2
1 m2 = 10 000 cm2 1 hm2 = 10 000 m2
1 m2 = 100 dm2 1 km2 = 1 000 000 m2
Reþineþi! Dacã transformãm o unitate mai mare într-o unitate mai micã, înmulþim cu 100,10 000, 1 000 000, ...
1 mm2 = 0,000001 m2 1 m2 = 0,01 dam2
1 cm2 = 0,0001 m2 1 m2 = 0,0001 hm2
1 dm2 = 0,01 m2 1 m2 = 0,000001 km2
Reþineþi! Dacã transformãm o unitate mai micã într-o unitate mai mare, împãrþim la 100,10 000, 1 000 000, ...1 ha = 10 000 m2 1 ar = 100 m2
Unităţi de măsură pentru volum
mm3 cm3 dm3 m3 dam3 hm3 km3
submultiplii metrului cub multiplii metrului cub 1 m3 = 1 000 000 000 mm3 1 dam3 = 1 000 m3
1 m3 = 1 000 000 cm3 1 hm3 = 1 000 000 m3
1 m3 = 1 000 dm3 1 km3 = 1 000 000 000 m3
Dacã transformãm o unitate mai mare într-o unitate mai micã, înmulþim cu 1 000, 1 000 000,1 000 000 000, ...
1 mm3 = 0,000000001 m3 1 m3 = 0,001 dam3
1 cm3 = 0,000001 m3 1 m3 = 0,000001 hm3
1 dm3 = 0,001 m3 1 m3 = 0,000000001 km3
Dacã transformãm o unitate mai micã într-o unitate mai mare, împãrþim la 1 000, 1 000 000,1 000 000 000, ...
29
Unităţi de măsură pentru capacitate
ml cl dl l dal hl klsubmultiplii litrului multiplii litrului
1 l = 1 000 ml 1 dal = 10 l1 m = 100 cl 1 hl = 100 l1 m = 10 dl 1 kl = 1 000 l
Reþineþi! Dacã transformãm o unitate mai mare într-o unitate mai micã, înmulþim cu 10, 100,1 000, ...
1 ml = 0,001 l 1 l = 0,1 dal1 cl = 0,01 l 1 l = 0,01 hl1 dl = 0,1 l 1 l = 0,001 kl
Reþineþi! Dacã transformãm o unitate mai micã într-o unitate mai mare, împãrþim la 10, 100,1 000, ...Relaþia de legãturã între unitãþile de volum este 1 dm3 = 1l
Unităţi de măsură pentru masă
mg cg dg g dag hg kg
submultiplii gramului
submultiplii kilogramului 1 g = 1 000 mg 1 dag = 10 g 1 g = 100 cg 1 hg = 100 g
1 g = 10 dg 1 kg = 1 000 g
1 mg = 0,001 g 1 g = 0,1 dag 1 cg = 0,01 g 1 g = 0,01 hg 1 dg = 0,1 g 1 g = 0,001 kg
1 q = 100 kg 1 t = 1 000 kgchintalul tona
Unităţi de măsură pentru timp
Unitatea principalã de mãsurã pentru timp este secunda (s).
Alte unitãþi:minutul: 1 min = 60 sora: 1 h = 60 min = 3 600 sziua: 1 zi = 24 hsãptãmâna: 1 sãptãmânã = 7 zileluna: 1 lunã are 28, 29, 30 sau 31 zileanul: 365 zile sau 366 zile (an bisect)deceniul: 10 anisecolul: 100 animileniul: 1 000 ani
30
Notãm AOB sau AOB .
FIGURI ŞI CORPURI GEOMETRICE
Punctul, dreapta, planul, semiplanul, semidreapta, segmentul de dreaptă, unghiul
Noþiunile primare nu se definesc, ci se descriu prin exemple.A
Punctul nu are „întindere“.
A B
Cd
A, B ∈dC ∉ dd = AB
Dreapta este nemãrginitã ºi „nu are grosime“.B
Ad
a
A ∈aB ∉ ad ⊂ ABAB ⊄ a
Planul este comparabil cu suprafaþa unei ape liniºtite (presupusã nemãrginitã).
Dreapta este o mulþime de puncte, numite coliniare. Planul este o mulþime de puncte, numite coplanare. Planul conþine drepte.
Semidreapta este mãrginitã la un capãt,
Semidreapta deschisã (AB sau semidreapta închisã [AB.
A C C ∈[ABD ∉[ABD B
numit origine.
Segmentul de dreaptã este
Segmentul deschis (AB) sau segmentul închis [AB].
A B C ∈[AB]D ∉[AB]D C
mãrginit la ambele capete.
O dreaptã inclusã într-un plan îl împarte
În desen am haºurat semiplanul deschis (dA.
d
a
DB
AC
C ∈(dAB ∈[dAD ∉[dA
în douã semiplane.
Douã semidrepte având aceeaºi origine A
BO
formeazã un unghi.
31
Planele ºi dreptele sunt submulþimi ale spaþiului.
UNGHIURI FORMATE DE DOUĂ DREPTE TĂIATE DE O SECANTĂDouã drepte a, b tãiate de o secantã s formeazã urmãtoarele perechi de unghiuri:alterne interne: 3 5 ,( ) , 4 6 ,( )
a
b
1 234
5 68 7
s
alterne externe: 1 7 ,( ) , 2 8 ,( )corespondente: 1 5 ,( ) , 2 6 ,( ) , 3 7 ,( ) , 4 8 ,( )interne de aceeaºi parte a secantei: 4 5 ,( ) , 3 6 ,( )externe de aceeaºi parte a secantei: 1 8 ,( ) , 2 7 ,( )
Axioma lui EuclidPrintr-un punct exterior unei drepte se poate duce o paralelã ºi numai una la dreapta datã.
Criterii de paralelism
a
b
4
s
8
4 8 ≡ ⇒ a b||
a
b
4
s
5
4 5 , || supl. ⇒ a b
a
b
2s
7
2 7 , || supl. ⇒ a b
a
b
4
s
6
4 6 ≡ ⇒ a b||
Axiomele geometriei în spaţiu
A1 Douã puncte distincte determinã o dreaptã.A B
Punctele A, B determinã dreapta AB.
Existã puncte exterioare unei drepte.
Cd
C ∉d.
A2 Trei puncte necoliniare determinã un plan.
EF G
E, F, G necoliniare determinã planul (EFG).
Existã puncte exterioare unui plan.H
a H ∉aA3 Dacã douã puncte ale unei drepte aparþin
unui plan, atunci dreapta este inclusã în plan.
I Jb
I, J ∈b ⇒ IJ ⊂ b
A4 Dacã douã plane au un punct comun atunci au o dreaptã comunã.
δK
L
g
K, L ∈δ ∩ g ⇒ δ ∩ g = KLA5 Spaþiul este o mulþime de puncte.
32
Determinarea planului
I. Trei puncte necoliniare determinã un plan.
planul (ABC)
A
B CII. O dreaptã ºi un punct care nu îi aparþine
determinã un plan.
planul (D, a)
D
a
III. Douã drepte paralele determinã un plan.planul (b, c)b
c
IV. Douã drepte concurente determinã un plan.
planul (e, d)e d
Poziţiile relative a două drepte în spaţiu
Drepte coplanare Drepte necoplanare
paralele concurentea ∩ b = ∅ a ∩ b ≠ ∅ a ∩ b = ∅
aa
b a
a
b
I
a
a
b
A
a, b ⊂ a; a, b ⊂ a; b ⊂ a; a || b a ∩ b = {I} a ∩ a = {A}
Poziţiile relative ale unei drepte faţă de un plan
Dreapta este paralelã cu planul
a
d
d || a
Dreapta este inclusã în plan
a
d
A
d ⊂ a
Dreapta este inclusã în plan
ad
d ⊂ a
Poziţiile relative a două plane
Plane paralele
a
ba || b
Plane secante
bd
a
a ∩ b = d
33
Unghiul a două drepte în spaţiuDefiniţie:
Unghiul a douã drepte în spaþiu este orice unghi ascuþit sau drept cu vârful în orice punct al spaþiului având laturile paralele cu dreptele date.
Drepte perpendiculare în spaţiu
a ⊥ b ⇔def
m a b,( ) = 90° a
b
dg
d, g necoplanare
A
O BOA d
OB gd g OAB
||
||,
⇒ ( ) =
Dreapta perpendiculară pe un plan
Definiţie:
Se numeºte dreaptã perpendicularã pe un plan o dreaptã care este perpendicularã
a
da d ⊥ a }⇒ d ⊥ a
a ⊂ ape orice dreaptã din plan.
Criteriul de perpendicularitate Dacã o dreaptã este perpendicularã
pe douã drepte concurente dintr-unplan, atunci ea este perpendicularã pe plan.
d ⊥ a }a, b ⊂ a ⇒ d ⊥ (a, b)a ∩ b ≠ ∅a
dab
Teoreme de perpendicularitate şi paralelism
Douã plane perpendiculare pe aceeaºi dreaptã sunt paralele.
a ⊥ d }⇒ a || bb ⊥ d
ad
b
Douã drepte perpendiculare pe acelaºi plan sunt paralele.
a ⊥ a }⇒ a || bb ⊥ a
a
a b
34
Perpendiculare şi obliceDefiniţii:
O dreaptã care intersecteazã un plan, dar nu este perpendicularã pe plan, se numeºte oblicã faþã de plan.
a
d
Pm
d ∩ a = {P}}⇔defd este oblicã faþã de planul a
d, a( ) ≠ 90°
Se numeºte distanþa de la un punct la un plan lungimea segmentului care uneºte punctul dat cu piciorul perpendicularei duse din punct pe plan.
a
A
P
AP ⊥ a ⇔def
d(A, a) = AP
Distanţa dintre două plane paralele
Definiţie:
Se numeºte distanþa dintre douã plane paralele lungimea unui segment cuprins între cele douã plane ºi perpendicular pe ele. a
A
b BAB ⊥ a } ⇒ d(a, b) = ABAB ⊥ b
Proiecţii ortogonale pe un plan
Definiţie:
Se numeºte proiecþia unui punct pe un plan piciorul perpendicularei duse din acel punct pe plan.A′ = pra A,AA′ este proiectanta punctului A pe a a
A
A′
Definiţie:
Se numeºte proiecþia unei figuri geometrice pe un plan mulþimea proiecþiilor punctelor acelei figuri pe plan. A
aA′
B′
C′
B
C
A′B′C′ = praABC
35
Proiecţia unei drepte pe un plan
Teoremå: Proiecþia unei drepte pe un plan
este o dreaptã sau un punct. a
d′
d
d′ = prad
a
d
A
{A} = prad
Definiţie:
Se numeºte unghiul unei drepte cu un plan unghiul pe care aceastã dreaptã îl face cu proiecþia ei pe plan.
a
A
d
d′(d, a) = (d, d′), unde d′ = prad
Lungimea proiecţiei unui segment pe un plan
Lungimea proiecþiei unui segment pe un plan este egalã cu lungimeasegmentului înmulþitã cu cosinusul unghiului format de dreapta suporta segmentului cu planul.
au
A′ B′
AB
A′B′ = AB cos u
Aplicaþie:A′B′ = 5 cm, AB = 10 cm.
Avem cos u =A′B′AB
= 5
10 =
1
2⇒ u = 60°.
Teorema celor trei perpendiculare
d ⊥ a } a ⊥ b ⇒ c ⊥ b
aP A
b
cd
a a, b ⊂ a
Distanþa de la un punct la o dreaptãMP ⊥ a } a ⊥ b ⇒ MA ⊥ b ⇒ d(M, b) = MA
aP A
b
cM
a a ∩ b = {A} a, b ⊂ a
Teoremele reciproce ale teoremei celor 3 perpendiculare
Prima teoremå reciprocå a teoremei celor trei perpendiculare d ⊥ a } c ⊥ b ⇒ a ⊥ b
aP A
b
cd
a a, b ⊂ a a ∩ b = {A}
A doua teoremå reciprocå a teoremei celor trei perpendiculare d ⊥ a } a ⊥ b ⇒ d ⊥ a
aP A
b
cd
a c ⊥ b a, b ⊂ a
36
Unghiul diedruDefiniţii:
Se numeºte unghi diedru figura geometricã formatã de douã semiplane delimitate de aceeaºi dreaptã.
Se numeºte unghi plan asociat unui unghi diedru unghiul determinat de douã semidrepte conþinute respectiv în semiplanele ce formeazã diedrul, ambele având originea pe muchia diedrului ºi fiind perpendiculare pe aceasta. a ⊥ d, b ⊥ d ⇒ (a, b) este unghiul plan al diedrului de muchie d.
d
a
b
Plane perpendiculare
Definiţie:
Douã plane se numesc perpendiculare dacã formeazã un unghi diedru drept.
Teoremå: Dacã un plan conþine o dreaptã perpendicularã pe alt plan,
b
ad
atunci cele douã plane sunt perpendiculare.d ⊂ a }⇒ a ⊥ bd ⊥ b
Simetria în plan
Definiţii:
Spunem cã douã puncte A ºi A′ sunt simetrice faþã de un punct O, dacã O este mijlocul segmentului [AA′].
A O A′A ºi A′ sunt simetrice faþã
de O
Spunem cã un punct O este centrul de simetrie al unei figuri geometrice plane dacã orice punct al figurii are simetric faþã de O tot un punct al figurii.
OF
O este centrul de simetrie al figurii F
Definiţii:
Spunem cã douã puncte distincte sunt simetrice faþã de o dreaptã s, dacã dreapta s este mediatoarea segmentului determinat de cele douã puncte. A, A′ sunt simetrice faþã
de dreapta s
AO
A′s
Spunem cã o figurã geometricã planã admite o axã de simetrie s dacã orice punct al figurii are simetric faþã de dreapta s tot un punct al figurii. s este axa de simetrie a
figurii F
F
s
Triunghiul
Triunghiul oarecare, perimetrul ºi aria
PABC
= a + b + c perimetrul triunghiului
AABC
=baza · înãlþimea
2 aria triunghiului
A
B C D
c
a
b
sauA
ABC = AB · AC · sin A
2
m A( ) + m B( ) + m C( ) = 180°.
ACD este unghi exterior triunghiului ABC.Triunghiul isoscel
[AB] ≡ [AC] ⇔ B ≡ C
B C
A
Triunghiul echilateral [AB] ≡ [BC] ≡ [CA] ⇔ m A( ) = m B( ) = m C( ) = 60°.
PABC
= 3l;
h =l 3
2;
B C
A
l h l
l A
ABC =
l 2 3
4.
Linii importante în triunghi
Mediatoarea
Definiţie:
Mediatoarea unui segment este perpendiculara dusã prin mijlocul segmentului.
A
B C
O
Punctul de intersecþie a mediatoarelor unui triunghi este centrul cercului circumscris triunghiului.
Bisectoarea
Definiţie:
Bisectoarea unui unghi este semidreapta cu originea în vârful unghiului care împarte unghiul în douã unghiuri congruente.
A
B C
I
Punctul de intersecþie a bisectoarelor unui triunghi estecentrul cercului înscris.
Mediana
Definiţie:
Mediana este dreapta care trece printr-un vârf al triunghiului ºi mijlocul laturii opuse.
A
B CG
MPunctul de intersecþie a medianelor se numeºte
centrul de greutate al triunghiului.
ÎnălţimeaDefiniţie:
Înãlþimea este perpendiculara dusã dintr-un vârf al triunghiului pe latura opusã.
A
B C
H
M Punctul de intersecþie a înãlþimilor se numeºte ortocentrul
triunghiului.
Linia mijlocie în triunghi
Definiţie:
Segmentul care uneºte mijloacele a douã laturi ale unui triunghi se numeºte linie mijlocie.
Teorema asupra liniei mijlocii Într-un triunghi, segmentul care uneºte mijloacele a douã laturi este
paralel cu cea de-a treia laturã ºi are lungimea egalã cu jumãtatedin lungimea acesteia.
A
B C
NM
MN linie mijlocie ⇒MN BC
MNBC
||
=
2Teorema reciprocå a teoremei asupra liniei mijlocii [AM] ≡ [MB] } ⇒ [AN] ≡ [NC] ºi MN =
BC
2
A
B C
NMMN || BC
Aplicaþie:Fie M, N mijloacele laturii [AB], respectiv [AC] ale unui triunghi. Atunci mijloacele înãlþimii, bisectoarei ºi medianei din vârful A aparþin dreptei MN.
A
B C
NM
A B ′′B C ′′A C ′′
Criteriile de congruenţă a triunghiurilor
A
B C
A′
B′ C′
Definiţie:
[AB] ≡ [A′B′]; A ≡ A′;[BC] ≡ [B′C′]; B ≡ B′; } ⇔
def ∆ABC ≡ ∆A′B′C′
[CA] ≡ [C′A′]; C ≡ C′
[AB] ≡ [A′B′] Cazul LUL [BC] ≡ [B′C′] } ⇔ ∆ABC ≡ ∆A′B′C′
B ≡ B′B ≡ B′
Cazul ULU [BC] ≡ [B′C′] } ⇔ ∆ABC ≡ ∆A′B′C′C ≡ C′
[AB] ≡ [A′B′] Cazul LLL [BC] ≡ [B′C′] } ⇔ ∆ABC ≡ ∆A′B′C′
[CA] ≡ [C′A′][AB] ≡ [A′B′]
Cazul LUU B ≡ B′ } ⇔ ∆ABC ≡ ∆A′B′C′C ≡ C′
Criteriile de asemănare a triunghiurilor
A
B C
A′
B′ C′
Definiţie:
A ≡ A′;B ≡ B′; }C ≡ C′ ⇔
def ∆ABC ~ ∆A′B′C′
AB
A B
BC
B C
AC
A C′ ′ ′ ′ ′ ′= =
Criteriul 1 de asemãnare:
A ≡ A′; AB
A B
AC
A C′ ′ ′ ′= ⇒ ∆ABC ~ ∆A′B′C′
Criteriul 2 de asemãnare:A ≡ A′; B ≡ B′ ⇒ ∆ABC ~ ∆A′B′C′
Criteriul 3 de asemãnare:AB BC AC
= = ⇒ ∆ABC ~ ∆A′B′C′
TeoremeFie triunghiul ABC ºi punctele D ∈AB, E ∈AC.
Teorema lui Thales
A
B C
D EDE BC
AD
DB
AE
EC|| ⇒ =
Teorema reciprocå a teoremei lui Thales A
B CD EAD
DB
AE
ECDE BC= ⇒ ||
Teorema fundamentalå a asemånårii A
B C
DE
DE || BC ⇒ ∆ADE ~ ∆ABC ⇒ AB
AD
AC
AE
BC
DEr= = = .
Triunghiul dreptunghic
Triunghiul dreptunghic isoscelA
B C
m A( ) = 90°
[AB] ≡ [AC] ⇔
⇔ m B( ) = m C( ) = 45°
Triunghiul dreptunghic oarecareA
B CD
AB ⊥ AC saum A( ) = 90°
AABC
=AB AC⋅
2
Teorema înålÆimii
m A( ) = 90° } ⇒ AD2 = BD · DCAD ⊥ BC
Teorema catetei
m A( ) = 90° } ⇒ AB2 = BC · BD, AC2 = BC · CDAD ⊥ BC
Teorema lui Pitagora AB 2 = BC 2 – AC 2
m A( ) = 90° ⇒ BC 2 = AB 2 + AC 2AC 2 = BC 2 – AB 2
Teorema reciprocå a teoremei lui PitagoraBC 2 = AB 2 + AC 2 ⇒ m A( ) = 90°
Rapoarte constante în triunghiul dreptunghic
sin B =b
a, cos B =
c
a
tg B =b
c, ctg B =
c
b
A
B C
c
a
b
tg B =sin
cos
B
B, ctg B =
1
tg Bsin B = cos C
Tabele trigonometrice
afuncþia
30° 45° 60°
sin a1
22
2
3
2
cos a 3
2
2
2
1
2
tg a1
31 3
ctg a 3 11
3
Patrulaterul convex
Suma mãsurilor unghiurilor unui patrulater convex este 360°.
Paralelogramul Patrulaterul convex care are laturileopuse paralele se numeºte paralelogram.
A B
D CAB || CD; BC || DA ⇔def
ABCD paralelogram.
Teoremå referitoare la laturi În orice paralelogram laturile opuse sunt congruente.
A B
D C ABCD paralelogram ⇔ [AB] ≡ [CD] ºi [BC] ≡ [DA].
Teoremå referitoare la unghiuri În orice paralelogram oricare douã unghiuri opuse sunt congruente
ºi oricare douã unghiuri consecutive sunt suplementare.A B
D CABCD paralelogram ⇔ A ≡ C; B ≡ D.A, B suplementare.
Teoremå referitoare la diagonale În orice paralelogram diagonalele au acelaºi mijloc. A B
D COABCD paralelogram ⇔ {
[OA] ≡ [OC]; [OB] ≡ [OD].
Definiţie:
DREPtUnGhIULParalelogramulcareareununghidreptsenumeştedreptunghi.
A B
D CABCD paralelogram, m A( ) = 90° ⇔
def ABCD dreptunghi.
Teoremå referitoare la unghiuriÎnoricedreptunghitoateunghiurilesuntcongruente,decidrepte. ABCD dreptunghi ⇔ A ≡ B ≡ C ≡ D.
A B
D C
Teoremå referitoare la diagonaleÎnoricedreptunghidiagonalelesuntcongruente. ABCD dreptunghi ⇔ [AC] ≡ [BD].
A B
D C
Definiţie:
RoMBULParalelogramulcarearedouălaturiconsecutivecongruentesenumeşteromb.
A
B
C
D
ABCD paralelogram, [AB] ≡ [BC] ⇔def
ABCD romb.
Teoremå referitoare la laturi A
B
C
DÎnoricerombtoatelaturilesuntcongruente. ABCD romb ⇔ [AB] ≡ [BC] ≡ [CD] ≡ [DA].
Teorema 1 referitoare la diagonaleÎnoricerombdiagonalelesuntperpendiculare. ABCD romb ⇔ AC ⊥ BD.
Teorema 2 referitoare la diagonale
A
B
C
DÎnoricerombdiagonalelesuntbisectoare. ABCD romb ⇔ [BD] bisectoarea unghiului D.
Definiţie:
PãtRAtULUnparalelogramcareareununghidreptşidouălaturiconsecutivecongruentesenumeştepătrat.
A B
D CABCD dreptunghi ºi romb ⇔def
ABCD pãtrat.
Proprietăţile pătratului
Diagonalele sunt perpen- diculare, congruente ºi au
acelaºi mijloc.
Diagonalele sunt bisectoarele pãtratului.
Toate unghiurile sunt drepte.
Toate laturile sunt congruente.
Definiţii:
TrapezulPatrulaterulconvexcarearedouălaturiopuseparaleleşicelelaltedouăneparalelesenumeştetrapez.AB | CD ºi AD } BC ⇔
def ABCD trapez.
A B
D C
Trapezul dreptunghicTrapezulcareareunadintrelaturileneparaleleperpendicularăpebazăsenumeştetrapez dreptunghic.
ABCD trapez, m A( ) = 90° ⇔def
ABCD trapez dreptunghic.
A B
D C
Linia mijlocie în trapezSegmentul care uneºte mijloacele laturilor neparalele ale unui trapez se numeºte linia mijlocie a trapezului.
Teorema asupra liniei mijlocii în trapez
[AM] ≡ [MD]; [BN] ≡ [NC] ⇔ MN || AB; MN =AB CD+
2.
A B
D C
M N
Teorema reciprocå asupra liniei mijlocii în trapez
[AM] ≡ [MD]; MN || AB ⇔ [BN] ≡ [NC]; MN =AB CD+
2.
A B
D C
M N
Definiţie: tRAPEzUL ISoSCEL
Trapezulcarearelaturileneparalelecongruentesenumeştetrapez isoscel.
ABCD trapez, [AD] ≡ [BC] ⇔def
ABCD trapez isoscel.
A B
D C
Teoremå referitoare la unghiuri A B
D C
ABCD trapez isoscel ⇔ A ≡ B ºi D ≡ C.
Teoremå referitoare la diagonale A B
D C
ABCD trapez isoscel ⇔ [AC] ≡ [BD].
Perimetrele şi ariile poligoanelor
DreptunghiulA B
D C
L
ld
PABCD
= 2(L + l)A
ABCD = L · l
d = L l2 2+
RombulA B
CD
lh
l
PABCD
= 4lA
ABCD = l · h
AABCD
=d d1 2
2
⋅
ParalelogramulA B
D C
hL
l
PABCD
= 2(L + l)A
ABCD = L · h
AABCD
= L · l · sin B
PãtratulA B
D C
l
PABCD
= 4lA
ABCD = l2
d = l 2
TrapezulA B
D C
h
b
BP
ABCD = AB + BC + CD + DA
AABCD
=B +( )⋅b h
2
Matematică pentru Evaluarea Naţională 2014
CerculDefiniţii:
C(O, r)
rOcentrul
coardã
razã
diametruMulþimea punctelor din plan situate la distanþa r faþã de punctul O se numeºte cerc de centru O ºi razã r.
Segmentul care uneºte douã puncte de pe cerc se numeºte coardã.
Coarda care trece prin centrul cercului se numeºte diametru, iar capetele diametrului se numesc puncte diametral opuse.
Definiţii:
arcul mic AB
A B
O
O
Ointeriorexterior
semicerc
Porþiunea dintr-un cerc determinatã de douã puncte distincte ale cercului se numeºte arc de cerc.
Dacã extremitãþile unui arc de cerc sunt diametral opuse, atunci arcul se numeºte semicerc.
Toate punctele situate, faþã de centrul cercului, la distanþe mai mici decât raza, formeazã interiorul cercului.
Toate punctele situate, faþã de centrul cercului, la distanþe mai mari decât raza, formeazã exteriorul cercului.
Mulþimea punctelor cercului C(O, r) reunitã cu interiorul cercului se numeºte disc de centru O ºi razã r: D(O, r).
Unghi la centru; sector de cerc
Definiţii:
A B
O
m( ADB ) = m AOB( )
DUn unghi cu vârful în centrul unui cerc se numeºte unghi la centru.
Se numeºte sector de cerc o porþiune dintr-un cerc cuprinsã între douã raze ale sale ºi arcul pe care îl subîntind.
Într-un cerc, arcelor congruente le corespund coarde congruente. Reciproc, într-un cerc, coardelor congruente le corespund
arce congruente.
B C
A D
AB CD ≡ ⇔ [AB] ≡ [CD]
Diametrul perpendicular pe o coardã Într-un cerc, diametrul perpendicular pe o coardã trece prin
mijlocul arcului subîntins de coardã.A B
O
Teoremå privind coardele egal depårtate de centru Douã coarde ale unui cerc sunt congruente dacã ºi numai dacã
sunt egal depãrtate de centru.[AB] ≡ [CD] ⇔ d(O, AB) = d(O, CD)
A
B
O D
C
Teoremå privind arcele cuprinse între coarde paralele Dacã douã coarde ale unui cerc sunt paralele, atunci arcele
cuprinse între ele sunt congruente.
A B
OD C
AB || CD ⇒ AB CD ≡
Unghiul înscris în cerc
Definiţie:
Un unghi cu vârful pe cerc ale cãrui laturi includ douã coarde ale cercului se numeºte unghi înscris în cerc.
AB
O
C
mm
ACBAB
( ) =( )2
m mAOB AB ( ) = ( )
Mãsura unghiului înscris în cerc este jumãtate din mãsura arculuicuprins între laturile sale.
Poziþiile relative ale unei drepte faþã de un cercO dreaptã poate avea cu un cerc:
b) un punct comun
O
t
r
tangentã
OT ⊥ t OT = d(O, t) = r
c) niciun punct comun
O
e
dreaptã exterioarã cercului d(O, e) > r
a) douã puncte comune
O
s
secantã
d(O, s) < r
Tangente dintr-un punct exterior la un cerc Dintr-un punct exterior unui cerc se pot duce douã tangente
ºi numai douã la cerc. OA
T
T ′
Proprietãþile tangentei dintr-un punct exterior la un cerca) [TA] ≡ [T ′A];b) [AO este bisectoarea unghiului TAT ′ ;
c) [OA este bisectoarea unghiului TOT ′ ;d) OA este mediatoarea segmentului [TT′]. Mãsura unui unghi cu vârful pe cerc, care are una dintre laturi
secantã ºi cealaltã tangentã la cerc, este jumãtate din mãsuraarcului cuprins între laturile sale. O
T A
B
mm
2ATB
AB
( ) =
( )Aplicaþie:
BT = 4 3 cm, m ATB( ) = 60°.
Se cere mãsura arcului mic BT ºi raza r.Soluþie:
m ATB( ) =m
2
BT( ) ⇔ 60° =
m
2
BT( ) ⇔ m BT( ) = 120°.
Deducem uºor cã m OTB( ) = 30°. Triunghiul TOB este isoscel cu baza (TB).
Se obþine r = 4 cm.
Definiţie:
BC
A
O
Un cerc se numeºte cerc înscris într-un triunghi, dacã laturile triunghiului sunt tangente la cerc.În acest caz, triunghiul se numeºte circumscris cercului.
Centrul cercului înscris într-un triunghi se aflã la intersecþiabisectoarelor triunghiului.
Cercul circumscris unui triunghi
Definiţie:
Un cerc se numeºte circumscris unui triunghi, dacã vârfurile triunghiului sunt situate pe cerc.În acest caz, triunghiul se numeºte triunghi înscris în cerc.
BC
A
O
Centrul cercului circumscris unui triunghi se aflã la intersecþiamediatoarelor triunghiului.
Lungimea cercului ºi aria discului; lungimea arcului de cerc; aria sectorului de cerc
Lcerc
= 2pR; Adisc
= pR2
R
n° L
arc =
n Rp180
; Asector circular
=n Rp 2
360Aplicaþii:1. Aflaþi raza r ºi lungimea unui cerc cu aria discului egalã cu 20p dm2.
Soluþie: pR2 = 20p ⇒ R = 2 5 dm; Lcerc
= 2p 5 dm.2. Aflaþi raza unui cerc având un arc de cerc cu lungimea 15p cm ºi mãsura unghiului la centru
corespunzãtor n° = 60°.
Soluþie: 15p =n Rp180
⇔ 15p =60
180
pR⇒ R = 45 cm.
Elemente în poligoane regulate
Pãtratul
45°
lR R
O
ap
l = R 2
ap =
R 2
2
hexagonul regulat
60°
l R R
O
ap
l = R; ap =
R 3
2
P = 6l; A =3 3
2
2l
triunghiul echilateral
30°
l R
R RO
ap
l = R 3
ap =
R
2
Corpuri geometrice. Poliedre
Prisma dreaptã
Cu baza pãtrat
bazãfaþã lateralã
muc
hie
late
ralã
Cu baza hexagon regulat
diagonalã
înãl
þime
Cu baza triunghi echilateral
vârf
muchia bazei
înãlþime
lãþime
lungime
Feþele unui paralelipiped dreptunghic suntdreptunghiuri, douã câte douã congruente.
D
A B
C
D′
A′ B′
C′
Feþele unui cub au formã de pãtrat ºi suntcongruente.
A B
D CD′
A′
C′
B′
D′ C′C′
B′
A′ B′
Des
fãºu
rare
a cu
bu
lui
Paralelipipedul dreptunghic
Cubul
V
ED
CB
A
vârful piramidei
baza piramidei
faþã lateralã
muchie lateralã
înãlþimea piramidei
În funcþie de natura bazei, folosimdenumirile: piramidã triunghiularã,patrulaterã, pentagonalã, hexagonalã.
A
B
C
D
Definiţii:
Punctele necoplanare A, B, C, D determinã poliedrul cu cel mai mic numãr de feþe numit tetraedru.
Reuniunea feþelor tetraedrului se numeºte suprafaþa tetraedrului.
Piramida tetraedrul
Definiţie:
O piramidã care are baza poligon ºi muchiile laterale congruente se numeºte piramidã regulatã.
Feþele laterale ale unei piramide regulate sunt triunghiuriisoscele (congruente).
V
C A
BM O
apotema piramidei
înãlþimea piramidei
apotema bazei
Piramida regulată, tetraedrul regulat
Definiţii: Distanþa de la un vârf la o laturã a bazei se numeºte apotema piramidei.
Distanþa de la centrul bazei la o laturã a bazei se numeºte apotema bazei.
Un tetraedru cu toate muchiile congruente se numeºte tetraedru regulat.
în p
rism
ã
planul de secþiune
Planul de secþiune este un poligon (cutoate punctele interioare) congruent cubazele ºi paralel cu acestea.
Obþinem douã prisme de acelaºi tip cuprisma iniþialã, dar de înãlþimi mai mici.
în p
iram
idã planul de
secþiune
Planul de secþiune este un poligonasemenea cu baza ºi paralel cu aceasta.
Obþinem o piramidã micã, al cãrei vârfeste vârful piramidei iniþiale iar bazapoligonul (cu toate punctele interioare) ºiun trunchi de piramidã.
Secţiuni paralele cu baza în poliedre
Trunchiul de piramidă
Definiţii:
baza mare
baza micãlaturã a
bazei mici
laturã a bazei mari
muchie lateralã
faþãlateralã
Se numeºte trunchi de piramidã corpul geometric obþinut prin secþionarea unei piramide printr-un plan paralel cu baza, situat între bazã ºi planul de secþiune.
Distanþa dintre bazele trunchiului se numeºte înãlþimea trunchiului.
Corpuri rotunde
Cilindrul circular drept
A
OR
BC
B
ADA
B
D
C
O razãgeneratoaresuprafaþã lateralãbazã
R
Bazele unui cilindru au formã de disc.
Definiţii:
Raza fiecãreia dintre baze se numeºte raza cilindrului.
Suprafaþa care mãrgineºte cilindrul se numeºte suprafaþa lateralã a cilindrului.
Desfãºurarea suprafeþei laterale a unui cilindru este dreptunghi.
Conul circular drept
B A
vârfgeneratoare
bazã
V
O
ORBV
A
A
Baza unui con are formã de disc.
Definiţii:
Raza bazei se numeºte raza conului.
Desfãºurarea suprafeþei laterale a unui con este un sector de disc.
în cilindru circular drept
planul de secþiune
Planul de secþiune este un disc congruentcu bazele ºi paralel cu acestea.
Obþinem doi cilindri având aceeaºi razã cucilindrul iniþial, dar de înãlþimi mai mici.
în con circular drept
planul de secþiune
Planul de secþiune este un disc asemeneacu baza ºi paralel cu aceasta.
Obþinem un con mic, al cãrui vârf estevârful conului iniþial, iar baza discul desecþiune ºi un trunchi de con.
Secţiuni paralele cu baza în corpuri rotunde
trunchiul de con
Definiţii:
baza mare
baza micã
raza bazei mari
suprafaþa lateralã
raza bazei miciînãlþimea trunchiului
generatoarea
Se numeºte trunchi de con corpul geometric obþinut prin secþionarea unui con circular drept printr-un plan paralel cu baza ºi îndepãrtarea conului mic obþinut.
Distanþa dintre bazele trunchiului de con se numeºte înãlþimea trunchiului.
Desfãºurarea suprafeþei laterale a unui trunchi de coneste un sector de coroanã circularã.
Sferã de centru O ºi razã R S (O, R)S (O, R) = {P | P punct din
spaþiu a.î. OP = R}
O R
Prin rotaþia unui cerc în jurul unuidiametru al sãu obþinem o sferã avândraza egalã cu raza cercului de rotaþie ºicentrul în centrul cercului de rotaþie.
Bilã de centru O ºi razã R B (O, R)
B (O, R) = {P | P punct din spaþiu a.î. OP R}
O R
Planul de secþiune este un disc asemeneacu baza ºi paralel cu aceasta.
Obþinem un con mic, al cãrui vârf estevârful conului iniþial, iar baza discul desecþiune ºi un trunchi de con.
Sfera; descriere. Bila
Secţiuni axiale în corpuri rotunde
Definiţie:
Spunem cã un corp geometric admite o axã de simetrie s dacã orice punct al corpului are simetric faþã de dreapta s tot un punct al corpului.
Secþiunea axialã este dreptunghi de dimensiuni
2R ºi G
Rs
G
triunghi isoscel cu baza 2R ºi laturile R
s
G
R
trapez isoscel cu baza micã r, baza mare R ºi
latura neparalelã G
s
G
R
disc de razã R
R
s
Ariile şi volumele corpurilor geometrice
Piramida regulatã
h
Al = suma ariilor
feþelor lateraleA
t = A
l + A
b
V = A
b · h
3
Trunchiul de piramidã regulatã
h
Al = suma ariilor
feþelor lateraleA
t = A
l + A
B + A
b
V =h
B b B b3A A A A+ + ⋅( )
Prisma dreaptã
h
Al = suma ariilor
feþelor lateraleA
t = A
l + 2A
b
V = Ab · h
Raportul volumelor a douã piramide asemenea este cubul raportului de asemãnare.Conul
Gh
RG2 = h2 + R2
Al = pRG
At = pR(R + G)
V = pR2h
3
Trunchiul de con
Gh
r
RG2 = h2 + (R – r)2
Al = pG(R + r)
At = A
l + A
B +A
b
V = ph
· (R2 + r2 + Rr) 3
Cilindrul
Gh
RG = hA
l = 2pRG
At = 2pR(R + G)
V = pR2h
Cubul
a d
aa
At = 6a2
V = a3
d = a 3
Sfera
R
Asferei
= 4pR2
Vbilei
= 4pR3
3
Paralelipipedul dreptunghic
b da
c
At = 2(ab + bc + ca)
V = abc
d = a b c2 2 2+ +
