Embed Size (px)
Citation preview
Mathématiques TROISIEMES Brevet Blanc 2, Mai 2013
Exercice.1 [ 7 points ]À l’intérieur de la maison, un menuisier étudie une plaque de boisdessinée ci-contre.La figure n’est pas aux bonnes dimensions.
Le menuisier a tracé la perpendiculaire à [EC] passant par A, il anommé D le point d’intersection de cette perpendiculaire avec[EC]. Il a également tracé [AC].Il a mesuré :AB = 115 cm, BC = 80 cm, DC = 100 cm, ED=20 cm,AC = 140 cm et AF=28 cm.
1. Le triangle ABC est-il rectangle ? Justifier.
2. Déterminer la mesure de l’angle ACD , arrondie au degré.3. Les droites (AD) et (FE) sont-elles parallèles ? Justifier.
Exercice.2 [ 5 points ]Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chaque question, une seule réponse est exacte. Aucune justification n’estdemandée. Une réponse correcte rapporte 1 point. L’absence de réponse ou une réponse fausse ne retire aucun point. Indiquersur le sujet le numéro de la question et la réponse.
Question Réponse A Réponse B Réponse C Votre choix :
1. Quelle est la forme factorisée de2( 1) 9x ? ( 2)( 4)x x 2 2 8x x ( 8)( 10)x x
2. Que vaut : 5 5n m ? 5n m 5n m 25n m
3.A quelle autre expression le nombre
7 4 5
3 3 2
est-il égal ?
3 5
3 2
7 3 2
3 4 5
7 4 2
3 3 5
4. Quels sont les nombres premiers entre eux ? 774 et 338 63 et 44 1 035 et 774
5. Quel nombre est en écriture scientifique ? 317,3 10 70,97 10 31,52 10
Exercice.3 [ 3 points ]
Au marché, un commerçant propose à ses clients diverses boissons.
Il a au total 100 boissons : 22 bouteilles de thé glacé, 32 bouteilles de jus d’ananas, 18 bouteilles de soda et les
autres bouteilles sont des bouteilles d’eau. Le commerçant gère son stock grâce au tableur ci-dessous
1. Remplir, sur la feuille du sujet et sans justification, les cellules laissées vides.
2. Quelle formule, copiée ensuite vers le bas jusqu’à la ligne 6, a-t-il écrit en D2 ? Votre réponse :
Les exercices 1 à 6 sont extraits du brevet, parfois avec légère modification.
Ex.1 : Pythagore, trigonométrie, Thalès. Ex.2 : Q.C.M.
Ex.3 : tableur. ( égalités remarquables, puissances, fractions, PGCD
Ex.4 : fonctions linéaires Ex.5 : PGCD.
Ex.6 : fonctions affines. Ex.7 : exercice de recherche ( sphère, boule ).
[ MathsEnClair.com - Thiaude P - Tous droits réservés ]
Exercice.4 [ 6 points ]En physique, la tension U aux bornes d’une « résistance » est proportionnelle à l’intensité I du courant qui latraverse, c’est-à-dire : U =R×I , où R (valeur de la résistance) est le coefficient de proportionnalité.On rappelle que l’unité d’intensité est l’ampère et que l’unité de tension est le volt.
L’intensité I ( en ampères ) 0,02 0,03 0,04 0,08
Tension U ( en volts ) 3 4,5 6 12
1. a. Vérifier, en présentant les calculs nécessaires, que ce tableau est de proportionnalité.Quel est le coefficient de proportionnalité ?
b. Calculer la tension U lorsque l’intensité I vaut 0,05 ampère.On nomme f la fonction qui donne la tension U en fonction de l’intensité I.
2. Préciser la nature de la fonction f et donner l’expression algébrique ( )f I .
3. Tracer la représentation graphique de f dans un repère avec les unités suivantes :sur l’axe des abscisses : 1 cm correspond à 0,01 ampère, et sur l’axe des ordonnées : 1 cm correspond à 1 volt.
4. a. Lire graphiquement l’intensité lorsque U = 10,5 volts.
b. Vérifier en résolvant algébriquement l’équation d’inconnue I : ( ) 10,5f I .
Exercice .5 [ 6 points ]1. Calculer le PGCD de 1 755 et 1 053 : indiquer le nom de la méthode employée et présenter les calculs.
2. Ecrire la fraction1053
1755sous forme irréductible.
3. Un collectionneur de coquillages ( un conchyliologue ) possède 1 755 cônes et 1 053 porcelaines.Il souhaite vendre toute sa collection en réalisant des lots identiques, c’est-à-dire comportant le même nombrede coquillages et la même répartition de cônes et de porcelaines.a. Quel est le nombre maximum de lots identiques qu’il pourra réaliser ? Justifier soigneusement.b. Combien y aura-t-il dans ce cas de cônes et de porcelaines par lot ?
Exercice.6 [ 6 points ]Certaines sources d’énergie (hydrocarbures, nucléaires, charbon, . . . ) présentent des inconvénients : effet de serre,stockage des déchets radioactifs..Pour cette raison, les sources d’énergie renouvelables, ou énergies « bio » (énergie éolienne, énergie hydraulique,énergie solaire, géothermie, . . . ) se développent. Certains fournisseurs proposent de l’électricité « bio ».Une famille étudie les deux tarifs d’électricité « bio » qui lui sont proposés.
Tarif A Tarif B
Abonnement mensuel. 0 € 30 €
Prix par kWh consommé. 0,24 € 0,14 €
1. Si la famille consomme 200 kWh en un mois, calculer le coût pour le tarif A, puis celui pour le tarif B. Quel tarif lafamille devra-t-elle choisir ?
2. Si la famille consomme 450 kWh en un mois, calculer le coût pour le tarif A, puis celui pour le tarif B. Quel tarif lafamille devra-t-elle choisir ?
3. Sachant que la famille a payé 77,6 € pour le tarif B pour un mois, quelle est sa consommation en kWh ?
4. On note x le nombre de kWh d’électricité « bio »consommé, ( )AT x le coût de l’électricité consommée en un
mois pour le tarif A, ( )BT x le coût de l’électricité consommée en un mois pour le tarif B.
a. Donner en justifiant les expressions de ( )AT x et ( )BT x .
b. Déterminer la consommation pour laquelle les deux tarifs sont égaux.
Exercice.7 [ 3 points ]
On coupe une boule par un plan : le disque de section a une aire égale à 3 , en 2cm et la distance entre le centre
de la sphère et le centre du disque de section est égale à 2 , en cm. Faire un schéma et déterminer le rayon decette boule.
[ MathsEnClair.com - Thiaude P - Tous droits réservés ]
CorrigéExercice.1 [ 7 points ]1. Le plus grand côté du triangle ABC est [AC], donc si ce triangle est rectangle, ce sera en B.
Calculons séparément :
On constate que BC² + BA² AC² donc d’après la réciproque du théorème de Pythagore on en déduit que le triangleABC n’est pas rectangle en B, ce qui était la seule possibilité.Autre rédaction ( conforme B.O. )
.. On constate que BC² + BA² AC² : l’égalité de Pythagore n’est pas vérifiée dans le triangle ABC donc ce triangle n’est pas rectangle.
2. Le triangle ACD est rectangle en D donc on peut écrire : cosCD
ACDCA
, qui donne : 100cos
140ACD , soit :
5cos
7ACD . On en déduit :
5Arccos
7ACD
. A l’aide de la calculatrice, on obtient : 44ACD arrondi
au degré.3. Calculons séparément :
On constate que :CD CA
CE CF .
On sait que : les points C,A,F sont alignés, les points C,D,E sont alignés dans le même ordre,CD CA
CE CF .
Donc, d’après la réciproque du théorème de Thalès, on en déduit que : (AD) // (FE).
Exercice.2 [ 5 points ]
1. A Explication :2 2 2( 1) 9 ( 1) (3) ( 1 3)( 1 3) ( 4)( 2)x x x x x x 2. B
3. C Explication :7 4 5 7 4 2 7 4 2
3 3 2 3 3 5 3 3 5
4. B Explication : PGCD(774 ; 338) = 2 ; PGCD(63 ; 44) = 1 ; PGCD(1 035 ; 774) = 9 5. C
Exercice.3 [ 3 points ]1. 2.
En D2, on doit entrer : « =B2 – C2 »
BC² + BA²= 80² + 115²= 6 400 + 13 225= 19 625
AC²= 140 ²= 19 600
100
100 20
100
120
5 20
6 20
5
6
CD
CE
140
140 28
140
168
5 28
6 28
5
6
CA
CF
[ MathsEnClair.com - Thiaude P - Tous droits réservés ]
Exercice.4 [ 6 points ]
1. a.
3
0,02
300
2
150
4,5
0,03
450
3
150
6
0,04
600
4
150
12
0,08
1200
8
150
On constate que tous les quotients sont égaux, à 150, donc on a un tableau de proportionnalité, decoefficient de proportionnalité 150.
b. 0,05 × 150 = 7,5. Pour une intensité de 0,05 ampère, la tension est égale à 7,5 volts.2. Le tableau de valeurs de f est un tableau de proportionnalité, donc f est une fonction linéaire.
On a : (I) 150 If
3.
4.a. Lorsque U = 10,5 volts, on obtient le point noté E sur la demi droite représentative de la fonction linéaire f,
et on lit graphiquement que l’abscisse de E est 0,07. Donc, pour U = 10,5 volts, on a I = 0,07 ampère.
b. L’équation d’inconnue I ( ) 10,5f I s’écrit aussi : 150 10,5I qui donne :10,5
150I , soit finalement,
à l’aide de la calculatrice : 0,07I . On obtient la même intensité que celle obtenue par une lecture
graphique.
Exercice.5 [ 6 points ]1. Calculons le PGCD de 1 755 et 1 053 en utilisant l’algorithme d’Euclide.
On obtient successivement les divisions euclidiennes :1 755 = 1 053 × 1 + 7021 053 = 702 × 1 + 351702 = 351 × 2 + 0Le dernier reste non nul est 351, donc le PGCD de 1 755 et 1 053 est 351.
2. Pour obtenir la forme irréductible de la fraction :1053
1755, il faut diviser son numérateur et son dénominateur par
leur PGCD, c’est-à-dire par 351. On a :1053 1053:351 3
1755 1755:351 5 , donc la forme irréductible de
1053
1755est
3
5.
3.a. Soit n le nombre maximal de lots qu’il pourra former ; chaque lot sera alors formé de p cônes et q
porcelaines.Chacun lot consommera pour sa fabrication p cônes et q porcelaines, donc les n lots consommeront pourleur fabrication n×p cônes et n×q porcelaines, et comme les 1755 cônes et 1 053 porcelaines serontemployés, on en déduit les deux égalités : n×p = 1 755 et n×q = 1 053.Dans l’égalité n×p = 1 755, les nombres n, p et 1 755 sont tous entiers, donc elle a pour conséquence que n
[ MathsEnClair.com - Thiaude P - Tous droits réservés ]
est un diviseur de 1 755 ; de même, n×q = 1 053 implique que n est aussi un diviseur de 1 755.Le nombre n divise à la fois 1 755 et 1 053 : c’est donc un diviseur commun de ces deux entiers.De plus, le nombre n est maximal.On reconnaît finalement la définition du PGCD de 1 755 et 1 053.Le nombre maximal de lot que l’on peut former est bien égal au PGCD de 1 755 et 1 053.
b. 1 755 : 351 = 5 et 1 053 : 351 = 3, donc chaque lot sera formé de 5 cônes et 3 porcelaines.
Exercice .6 [6 points ]Rappel des données :
Tarif A Tarif B
Abonnement mensuel. 0 € 30 €
Prix par kWh consommé. 0,24 € 0,14 €
1. Si la famille consomme 200 kWh en un moisPour le tarif A : 200 x 0,24 = 48 ; la famille devrait payer 48€.Pour le tarif B : 200 x 0,14 + 30 = 58 ; la famille devrait payer 58€.C’est le tarif A le moins cher pour une telle consommation, donc c’est celui-là que la famille devra choisir.
2. Pour le tarif A : 450 x 0,24 = 108 ; la famille devrait payer 108€.Pour le tarif B : 450 x 0,14 + 30 = 93 ; la famille devrait payer 93€.C’est le tarif B le moins cher pour une telle consommation, donc c’est celui-là que la famille devra choisir.
3. Sachant que la famille a payé 77,6 € pour le tarif B pour un mois, quelle est sa consommation en kWh ?
Il s’agit de trouver la consommation x de kWh telle que : 0,14 30 77,6x , qui donne : 0,14 77,6 30x ,
puis : 0,14 47,6x , soit :46,6
0,14x , et finalement : 340x . La famille a consommé 340 kWh.
4.
a. Pour le tarif A : chaque kWh coûte 0,24€, donc x kWh coûteront 0,24€x , ou encore : 0,24x euros.
On a donc : ( ) 0,24AT x x .
Pour le tarif B : chaque kWh coûte 0,14€, auxquels il faudra ajouter le forfait de 30€, donc x kWh coûteront
0,14€x + 30€ , ou encore : 0,14 30x euros. On a donc : ( ) 0,14 30BT x x .
b. Les deux tarifs sont égaux lorsque : ( ) ( )A BT x T x , qui s’écrit aussi : 0,24 0,14 30x x ,
d’où : 0,24 0,14 30x x , puis : 0,10 30x , soit :30
0,1x et finalement : 300x .
C’est pour une consommation de 300 kWh que les deux tarifs sont égaux.
Exercice.7 [ 3 points ]
Soit M un point sur le cercle de section, O’ le centre du disque de section et O le
centre de la sphère. L’unité de distance est le cm, et l’unité d’aire le 2cm .
L’aire du disque de section est égale à 3 , d’où, notant R’ son rayon :2' 3R . En divisant chaque membre par , on obtient : 2' 3R , puis
' 3R . Comme R’ = O’M, on a finalement : O’M = 3 .
La distance entre le centre de la sphère et le centre du disque de section est
égale à 2 ,donc OO’ = 2 .
Le triangle OO’M est rectangle en O’ donc d’après le théorème de Pythagore on en déduit que : O’O²+O’M² = OM²,
qui donne : 2 2
22 3 OM , puis : 22 3 OM , soit : 2 5OM , et finalement : 5OM .Comme O est
le centre de la sphère et M un point de la sphère, on en déduit que OM est égal au rayon de la sphère, qui est aussi
le rayon de la boule. La boule a un rayon de 5 cm.
Autre rédaction ( conforme B.O. ) Le triangle OO’M est rectangle en O’ donc on peut écrire l’égalité de Pythagore dans ce triangle : O’O²+O’M² = OM² etc..
[ MathsEnClair.com - Thiaude P - Tous droits réservés ]
