Breve storia del Teorema dei Numeri Primi Tavola dei primiII Si nota che: 1 esistono 303 primi minori

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  • Breve storia del Teorema dei Numeri Primi

    Alessandro Languasco

    Dipartimento di Matematica Università di Padova

    Incontri Mathesis 13 maggio 2016

    Padova

    A. Languasco p. 1

  • Tavola dei primi I

    2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157

    163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281 283 293 307 311 313 317

    331 337 347 349 353 359 367 373 379 383 389 397 401 409 419 421 431 433 439 443 449 457 461 463 467 479 487 491 499

    503 509 521 523 541 547 557 563 569 571 577 587 593 599 601 607 613 617 619 631 641 643 647 653 659 661 673 677 683

    691 701 709 719 727 733 739 743 751 757 761 769 773 787 797 809 811 821 823 827 829 839 853 857 859 863 877 881 883

    887 907 911 919 929 937 941 947 953 967 971 977 983 991 997 1009 1013 1019 1021 1031 1033 1039 1049 1051 1061 1063

    1069 1087 1091 1093 1097 1103 1109 1117 1123 1129 1151 1153 1163 1171 1181 1187 1193 1201 1213 1217 1223 1229

    1231 1237 1249 1259 1277 1279 1283 1289 1291 1297 1301 1303 1307 1319 1321 1327 1361 1367 1373 1381 1399 1409

    1423 1427 1429 1433 1439 1447 1451 1453 1459 1471 1481 1483 1487 1489 1493 1499 1511 1523 1531 1543 1549 1553

    1559 1567 1571 1579 1583 1597 1601 1607 1609 1613 1619 1621 1627 1637 1657 1663 1667 1669 1693 1697 1699 1709

    1721 1723 1733 1741 1747 1753 1759 1777 1783 1787 1789 1801 1811 1823 1831 1847 1861 1867 1871 1873 1877 1879

    1889 1901 1907 1913 1931 1933 1949 1951 1973 1979 1987 1993 1997 1999

    A. Languasco p. 2

  • Tavola dei primi II

    Si nota che:

    1 esistono 303 primi minori di 2000

    2 distribuzione: subito fitti, poi piú radi; si notano “coppie” di primi; si notano “buchi” relativamente grandi (spaziatura media circa 7, differenza massima 34)

    3 in definitiva, la distribuzione sembra “casuale”

    A. Languasco p. 3

  • Perché i numeri primi sono interessanti ? (Gauss) I

    A. Languasco p. 4

  • Perché i numeri primi sono interessanti ? (Gauss) II

    Teorema Fondamentale dell’Aritmetica (Gauss): ogni intero n positivo si fattorizza in modo unico come prodotto di numeri primi:

    n = pa11 p a2 2 · · ·p

    ak k

    (8 = 23, 24 = 23 ·3, 25 = 52, 98 = 2 ·72, . . . )

    A. Languasco p. 5

  • Quanti sono i numeri primi ? I

    Euclide (≈ 300 a.C.): esistono infiniti numeri primi Dim. per assurdo: siano p1 < p2 < .. . < pk tutti i primi; consideriamo

    N = p1p2 · · ·pk + 1

    - N non è primo (N > pk ) - N non è divisibile per alcun pi , i = 1, . . . ,k , quindi N deve anch’esso essere primo. Il che è chiaramente una contraddizione. Dunque l’insieme dei numeri primi non può essere finito e quindi il Teorema di Euclide è dimostrato.

    A. Languasco p. 6

  • Ricerca di formule per i numeri primi I

    Domanda “giusta” (Gauss, fine ’700): quanti sono i primi fino a x ? (x molto grande). Comportamento per x → ∞ della funzione

    π(x) = numero dei primi fino a x

    Congettura di Gauss (1792; pubblicato nel 1863) (basata sull’analisi delle tavole dei numeri primi disponibili all’epoca!):

    π(x)≈ x

    ∑ n=2

    1 logn

    ∼ x logx

    ∼ ∫ x

    2

    dt log t

    =: li(x) per x → ∞

    (log10100 ≈ 230→ π(10100)≈ 5 ·1097)

    A. Languasco p. 7

  • Ricerca di formule per i numeri primi (Legendre) I

    A. Languasco p. 8

  • Ricerca di formule per i numeri primi (Legendre) II

    Legendre (1808) congetturò che

    π(x)∼ x logx + B

    per x → ∞

    con B =−1.08366; approssimazione corretta solo al primo ordine asintotico.

    A. Languasco p. 9

  • Stime per i numeri primi (Chebyshev) I

    A. Languasco p. 10

  • Stime per i numeri primi (Chebyshev) II

    Fino a metà ’800: metodi di natura elementare (“calculus” + aritmetica) ma molto ingegnosi; culmine delle ricerche con Chebyshev (≈ 1850): (0 < c1 < 1 < c2 costanti opportune, ad es. c1 = 0,7, c2 = 1,4)

    c1 x

    logx ≤ π(x) ≤ c2

    x logx

    Va ricordato per aver introdotto le funzioni

    θ(x) := ∑ p≤x

    logp, e ψ(x) := ∑ n≤x

    Λ(n),

    (dove Λ(n) = logp se n = pm e zero altrimenti, è la funzione di von Mangoldt) e aver dimostrato che se esiste limx→∞

    π(x) li(x) allora tale limite è 1 e che

    tale condizione equivale alle due seguenti: esiste limx→∞

    θ(x) x =1 esiste limx→∞

    ψ(x) x =1.

    A. Languasco p. 11

  • Diseguaglianze (Littlewood e Skewes) I

    Gauss e Riemann pensavano che π(x) < li(x) per ogni x . Nel 1914 Littlewood dimostrò che π(x)− li(x) cambia segno infinite volte. Nel 1933 Skewes dimostrò che c’è un cambio di segno (assumendo

    RH) per un x < S = 1010 1034

    (numero di Skewes); nel 1955,

    incondizionalmente: x < 1010 10964

    (adesso: il primo cambio di segno sta tra 1019 (Buthe 2015) e e727.951346801 (Zegowitz 2010)). Lehman (1966) ha dimostrato che tra 1.53×101165 e 1.65×101165 ci sono almeno 10500 cambi di segno.

    A. Languasco p. 12

  • Diseguaglianze (Littlewood e Skewes) II

    A. Languasco p. 13

  • L’approccio di Riemann I

    A. Languasco p. 14

  • L’approccio di Riemann II

    Idea fondamentale di Riemann (1859): studio dei primi con metodi di analisi complessa! Funzione zeta di Riemann:

    ζ(s) = ∞

    ∑ n=1

    1 ns

    , s ∈ C, ℜ(s) > 1

    legata ai primi per mezzo dell’identità di Euler:

    ∑ n=1

    1 ns

    = ∏ p

    ( 1− 1

    ps

    )−1 , s ∈ C, ℜ(s) > 1

    Notiamo che il fatto che la formula precedente per s ∈ R, s→ 1+, consente di provare, in modo alternativo rispetto alla dimostrazione di Euclide, l’esistenza di infiniti numeri primi.

    A. Languasco p. 15

  • L’approccio di Riemann III

    Grazie alla formula di somma per parti si ha però che

    ∑ n≤x

    1 ns

    = bxc xs

    + s ∫ x

    1

    btc ts+1

    dt

    = 1

    xs−1 − {x}

    xs +

    s s−1

    − s (s−1)xs−1

    − s ∫ x

    1

    {t} ts+1

    dt (1)

    Se σ = ℜs > 1 allora, per x →+∞, otteniamo

    ζ(s) = s

    s−1 − s

    ∫ +∞ 1

    {t} ts+1

    dt.

    Osservando che quest’ultimo integrale è in realtà convergente per σ > 0, possiamo concludere che ζ(s)− ss−1 è olomorfa per σ > 0. Da ciò deduciamo quindi che

    s s−1

    − s ∫ +∞

    1

    {t} ts+1

    dt

    A. Languasco p. 16

  • L’approccio di Riemann IV è il prolungamento meromorfo di ζ(s) nella regione σ > 0. Notiamo che tale prolungamento meromorfo ha, in σ > 0, un unico polo semplice nel punto s = 1 e che tale polo semplice ha residuo pari a 1. Consideriamo adesso Γ(s/2) =

    ∫+∞ 0 e

    −y ys/2−1 dy . Poniamo y = n2πx e otteniamo che

    π−s/2Γ (s

    2

    ) n−s =

    ∫ +∞ 0

    xs/2−1e−n 2πx dx .

    Allora per σ > 1 otteniamo

    π−s/2Γ (s

    2

    ) ζ(s) =

    ∫ +∞ 0

    xs/2−1 +∞

    ∑ n=1

    e−n 2πx dx ,

    grazie alla convergenza assoluta della serie. Definiamo, per x > 0,

    θ(x) = +∞

    ∑ n=−∞

    e−n 2πx

    A. Languasco p. 17

  • L’approccio di Riemann V

    ω(x) = +∞

    ∑ n=1

    e−n 2πx =

    θ(x)−1 2

    .

    Ricordando la formula di sommazione di Poisson

    +∞

    ∑ n=−∞

    f (n) = +∞

    ∑ n=−∞

    f̂ (n)

    per f ∈ S , S spazio di Schwartz, si ha, applicandola alla funzione f (ξ) = e−ξ2πx , che la vale la seguente relazione modulare

    θ (1

    x

    ) = x1/2θ(x)

    e quindi

    ω (1

    x

    ) =−1

    2 +

    1 2

    x1/2 + x1/2ω(x).

    A. Languasco p. 18

  • L’approccio di Riemann VI

    Abbiamo allora

    π−s/2Γ (s

    2

    ) ζ(s) =

    ∫ +∞ 1

    xs/2−1ω(x) dx + ∫ 1

    0 xs/2−1ω(x) dx

    = ∫ +∞

    1 xs/2−1ω(x) dx +

    ∫ +∞ 1

    x−s/2−1ω (1

    x

    ) dx .

    Ma usando la relazione modulare su ω otteniamo∫ +∞ 1

    x−s/2−1ω (1

    x

    ) dx =−1

    s +

    1 s−1

    + ∫ +∞

    1 x−s/2−1/2ω(x) dx

    e quindi

    π−s/2Γ (s

    2

    ) ζ(s) =

    1 s(s−1)

    + ∫ +∞

    1

    ( x−s/2−1 + x−s/2−1/2

    ) ω(x) dx .

    Siccome ω(x)� e−πx per x → ∞ abbiamo che l’integrale precedente converge uniformemente in ogni compatto di C ed è quindi una

    A. Languasco p. 19

  • L’approccio di Riemann VII

    funzione olomorfa. Allora il lato destro dell’equazione precedente è il prolungamento meromorfo in C di π−s/2Γ( s2 )ζ(s), con poli in s = 0,1. Poiché Γ(s) ha poli semplici in s =−n, n ∈ N, abbiamo che ζ(s) ha un unico polo semplice in s = 1. Dalla formula di Legendre

    Γ(s)Γ (

    s + 1 2

    ) = 21−2sπ1/2Γ(2s)