Breve storia del Teorema dei Numeri Primi

Alessandro Languasco

Dipartimento di MatematicaUniversita di Padova

Incontri Mathesis13 maggio 2016

Padova

A. Languasco p. 1

Tavola dei primi I

2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157

163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281 283 293 307 311 313 317

331 337 347 349 353 359 367 373 379 383 389 397 401 409 419 421 431 433 439 443 449 457 461 463 467 479 487 491 499

503 509 521 523 541 547 557 563 569 571 577 587 593 599 601 607 613 617 619 631 641 643 647 653 659 661 673 677 683

691 701 709 719 727 733 739 743 751 757 761 769 773 787 797 809 811 821 823 827 829 839 853 857 859 863 877 881 883

887 907 911 919 929 937 941 947 953 967 971 977 983 991 997 1009 1013 1019 1021 1031 1033 1039 1049 1051 1061 1063

1069 1087 1091 1093 1097 1103 1109 1117 1123 1129 1151 1153 1163 1171 1181 1187 1193 1201 1213 1217 1223 1229

1231 1237 1249 1259 1277 1279 1283 1289 1291 1297 1301 1303 1307 1319 1321 1327 1361 1367 1373 1381 1399 1409

1423 1427 1429 1433 1439 1447 1451 1453 1459 1471 1481 1483 1487 1489 1493 1499 1511 1523 1531 1543 1549 1553

1559 1567 1571 1579 1583 1597 1601 1607 1609 1613 1619 1621 1627 1637 1657 1663 1667 1669 1693 1697 1699 1709

1721 1723 1733 1741 1747 1753 1759 1777 1783 1787 1789 1801 1811 1823 1831 1847 1861 1867 1871 1873 1877 1879

1889 1901 1907 1913 1931 1933 1949 1951 1973 1979 1987 1993 1997 1999

A. Languasco p. 2

Tavola dei primi II

Si nota che:

1 esistono 303 primi minori di 2000

2 distribuzione: subito fitti, poi piu radi; si notano “coppie” di primi;si notano “buchi” relativamente grandi (spaziatura media circa 7,differenza massima 34)

3 in definitiva, la distribuzione sembra “casuale”

A. Languasco p. 3

Perche i numeri primi sono interessanti ? (Gauss) I

A. Languasco p. 4

Perche i numeri primi sono interessanti ? (Gauss) II

Teorema Fondamentale dell’Aritmetica (Gauss):ogni intero n positivo si fattorizza in modo unico come prodotto dinumeri primi:

n = pa11 pa2

2 · · ·pakk

(8 = 23, 24 = 23 ·3, 25 = 52, 98 = 2 ·72, . . . )

A. Languasco p. 5

Quanti sono i numeri primi ? I

Euclide (≈ 300 a.C.): esistono infiniti numeri primiDim. per assurdo: siano p1 < p2 < .. . < pk tutti i primi; consideriamo

N = p1p2 · · ·pk + 1

- N non e primo (N > pk )- N non e divisibile per alcun pi , i = 1, . . . ,k , quindi N deve anch’essoessere primo.Il che e chiaramente una contraddizione. Dunque l’insieme dei numeriprimi non puo essere finito e quindi il Teorema di Euclide e dimostrato.

A. Languasco p. 6

Ricerca di formule per i numeri primi I

Domanda “giusta” (Gauss, fine ’700): quanti sono i primi fino a x ? (xmolto grande). Comportamento per x → ∞ della funzione

π(x) = numero dei primi fino a x

Congettura di Gauss (1792; pubblicato nel 1863) (basatasull’analisi delle tavole dei numeri primi disponibili all’epoca!):

π(x)≈x

∑n=2

1logn

∼ xlogx

∼∫ x

2

dtlog t

=: li(x) per x → ∞

(log10100 ≈ 230→ π(10100)≈ 5 ·1097)

A. Languasco p. 7

Ricerca di formule per i numeri primi (Legendre) I

A. Languasco p. 8

Ricerca di formule per i numeri primi (Legendre) II

Legendre (1808) congetturo che

π(x)∼ xlogx + B

per x → ∞

con B =−1.08366; approssimazione corretta solo al primo ordineasintotico.

A. Languasco p. 9

Stime per i numeri primi (Chebyshev) I

A. Languasco p. 10

Stime per i numeri primi (Chebyshev) II

Fino a meta ’800: metodi di natura elementare (“calculus” +aritmetica) ma molto ingegnosi; culmine delle ricerche conChebyshev (≈ 1850): (0 < c1 < 1 < c2 costanti opportune, ad es.c1 = 0,7, c2 = 1,4)

c1x

logx≤ π(x) ≤ c2

xlogx

Va ricordato per aver introdotto le funzioni

θ(x) := ∑p≤x

logp, e ψ(x) := ∑n≤x

Λ(n),

(dove Λ(n) = logp se n = pm e zero altrimenti, e la funzione di vonMangoldt)e aver dimostrato che se esiste limx→∞

π(x)li(x) allora tale limite e 1 e che

tale condizione equivale alle due seguenti:esiste limx→∞

θ(x)x =1 esiste limx→∞

ψ(x)x =1.

A. Languasco p. 11

Diseguaglianze (Littlewood e Skewes) I

Gauss e Riemann pensavano che π(x) < li(x) per ogni x .Nel 1914 Littlewood dimostro che π(x)− li(x) cambia segno infinitevolte.Nel 1933 Skewes dimostro che c’e un cambio di segno (assumendo

RH) per un x < S = 10101034

(numero di Skewes); nel 1955,

incondizionalmente: x < 101010964

(adesso: il primo cambio di segno sta tra 1019 (Buthe 2015) ee727.951346801 (Zegowitz 2010)).Lehman (1966) ha dimostrato che tra 1.53×101165 e 1.65×101165 cisono almeno 10500 cambi di segno.

A. Languasco p. 12

Diseguaglianze (Littlewood e Skewes) II

A. Languasco p. 13

L’approccio di Riemann I

A. Languasco p. 14

L’approccio di Riemann II

Idea fondamentale di Riemann (1859): studio dei primi con metodi dianalisi complessa!Funzione zeta di Riemann:

ζ(s) =∞

∑n=1

1ns , s ∈ C, ℜ(s) > 1

legata ai primi per mezzo dell’identita di Euler:

∞

∑n=1

1ns = ∏

p

(1− 1

ps

)−1, s ∈ C, ℜ(s) > 1

Notiamo che il fatto che la formula precedente per s ∈ R, s→ 1+,consente di provare, in modo alternativo rispetto alla dimostrazione diEuclide, l’esistenza di infiniti numeri primi.

A. Languasco p. 15

L’approccio di Riemann III

Grazie alla formula di somma per parti si ha pero che

∑n≤x

1ns =

bxcxs + s

∫ x

1

btcts+1 dt

=1

xs−1 −{x}xs +

ss−1

− s(s−1)xs−1 − s

∫ x

1

{t}ts+1 dt

(1)

Se σ = ℜs > 1 allora, per x →+∞, otteniamo

ζ(s) =s

s−1− s

∫ +∞

1

{t}ts+1 dt.

Osservando che quest’ultimo integrale e in realta convergente perσ > 0, possiamo concludere che ζ(s)− s

s−1 e olomorfa per σ > 0. Dacio deduciamo quindi che

ss−1

− s∫ +∞

1

{t}ts+1 dt

A. Languasco p. 16

L’approccio di Riemann IVe il prolungamento meromorfo di ζ(s) nella regione σ > 0. Notiamoche tale prolungamento meromorfo ha, in σ > 0, un unico polosemplice nel punto s = 1 e che tale polo semplice ha residuo pari a 1.Consideriamo adesso Γ(s/2) =

∫+∞

0 e−y ys/2−1 dy . Poniamoy = n2πx e otteniamo che

π−s/2Γ

(s2

)n−s =

∫ +∞

0xs/2−1e−n2πx dx .

Allora per σ > 1 otteniamo

π−s/2Γ

(s2

)ζ(s) =

∫ +∞

0xs/2−1

+∞

∑n=1

e−n2πx dx ,

grazie alla convergenza assoluta della serie. Definiamo, per x > 0,

θ(x) =+∞

∑n=−∞

e−n2πx

A. Languasco p. 17

L’approccio di Riemann V

ω(x) =+∞

∑n=1

e−n2πx =θ(x)−1

2.

Ricordando la formula di sommazione di Poisson

+∞

∑n=−∞

f (n) =+∞

∑n=−∞

f (n)

per f ∈ S , S spazio di Schwartz, si ha, applicandola alla funzionef (ξ) = e−ξ2πx , che la vale la seguente relazione modulare

θ

(1x

)= x1/2

θ(x)

e quindi

ω

(1x

)=−1

2+

12

x1/2 + x1/2ω(x).

A. Languasco p. 18

L’approccio di Riemann VI

Abbiamo allora

π−s/2Γ

(s2

)ζ(s) =

∫ +∞

1xs/2−1

ω(x) dx +∫ 1

0xs/2−1

ω(x) dx

=∫ +∞

1xs/2−1

ω(x) dx +∫ +∞

1x−s/2−1

ω

(1x

)dx .

Ma usando la relazione modulare su ω otteniamo∫ +∞

1x−s/2−1

ω

(1x

)dx =−1

s+

1s−1

+∫ +∞

1x−s/2−1/2

ω(x) dx

e quindi

π−s/2Γ

(s2

)ζ(s) =

1s(s−1)

+∫ +∞

1

(x−s/2−1 + x−s/2−1/2)

ω(x) dx .

Siccome ω(x)� e−πx per x → ∞ abbiamo che l’integrale precedenteconverge uniformemente in ogni compatto di C ed e quindi una

A. Languasco p. 19

L’approccio di Riemann VII

funzione olomorfa. Allora il lato destro dell’equazione precedente e ilprolungamento meromorfo in C di π−s/2Γ( s

2 )ζ(s), con poli in s = 0,1.Poiche Γ(s) ha poli semplici in s =−n, n ∈ N, abbiamo che ζ(s) haun unico polo semplice in s = 1.Dalla formula di Legendre

Γ(s)Γ(

s +12

)= 21−2s

π1/2Γ(2s)

otteniamo che Γ( 12 ) = π1/2 e quindi il residuo di ζ(s) in s = 1 vale 1.

E dunque chiaro che

πs/2

Γ( s2 )

(1

s(s−1)+

∫ +∞

1

(x−s/2−1 + x−s/2−1/2)

ω(x) dx

)realizza il prolungamento di ζ(s) a tutto C come funzione meromorfaavente un unico polo in s = 1.

A. Languasco p. 20

L’equazione funzionale (Euler) I

A. Languasco p. 21

L’equazione funzionale (Euler) II

Detta

Φ(s) =s(s−1)

2π−s/2Γ

(s2

)ζ(s),

si osservi che Φ(s) e una funzione olomorfa su C che dalle relazioniprecedenti si ottiene l’equazione funzionale per la funzione ζ diRiemann nella forma

Φ(s) = Φ(1− s).

Allora da cio segue che

ζ(s) 6= 0 in σ > 1 perche il prodotto di Euler e assolutamenteconvergente in ogni compatto contenuto in σ > 1;

gli unici zeri di ζ(s) nella regione s < 0 sono zeri semplici neipunti s =−2n, n ≥ 1, n ∈ N (dipende dal fatto precedente, dallaequazione funzionale e dai poli di Γ(s));

A. Languasco p. 22

L’equazione funzionale (Euler) III

gli zeri di ζ(s) nella regione 0≤ s ≤ 1 sono simmetrici rispettoalla retta s = 1

2 e all’asse reale e quindi simmetrici rispetto s = 12 .

(dipende dall’equazione funzionale e dal fatto che ζ(s) ∈ R perogni s ∈ R).

A. Languasco p. 23

Formula esplicita I

Con il termine formula esplicita intendiamo il collegamento tra i primi egli zeri della funzione ζ di Riemann. Considerando il logaritmo dellafunzione di Riemann abbiamo, per σ > 1 (dominio di convergenzaassoluta), che logζ(s) = ∑p ∑

+∞

m=11

mpms e, derivando, abbiamo laderivata logaritmica della funzione di Riemann

−ζ′

ζ(s) =

+∞

∑n=1

Λ(n)n−s,

dove Λ(n) = logp se n = pm e zero altrimenti, e la funzione di vonMangoldt. Si noti che il lato sinistro non dipende dai primi, mentre illato destro dipende strettamente dai primi.Utilizzando la formula di Perron nella forma:se f (s) = ∑

+∞

n=1 a(n)n−s e assolutamente convergente in σ > σ, allora

A(x) = ∑n≤x

a(n) =1

2πi

∫ c+i∞

c−i∞f (s)

xs

sds, c > σ,

A. Languasco p. 24

Formula esplicita II

otteniamo che

ψ(x) = ∑n≤x

Λ(n) =1

2πi

∫ c+i∞

c−i∞−ζ′

ζ(s)

xs

sds, c > 1.

Da quanto sappiamo sugli zeri ed i poli di ζ(s) deduciamo che − ζ′

ζ(s)

si puo estendere meromorficamente a C con poli semplici in s = 1 edin s = ρ i cui residui sono rispettivamente 1 e −m, dove m e lamolteplicita dello zero ρ. Applicando il teorema dei residui otteniamoallora (siccome la funzione − ζ′

ζ(s) ha una crescita controllata nella

striscia −12 ≤ σ≤ c) che

ψ(x) = x− ∑ρ

ℜρ>− 12

xρ

ρ− 1

2πi

∫ 12+i∞

− 12−i∞

ζ′

ζ(s)

xs

sds,

A. Languasco p. 25

Formula esplicita III

in cui la somma su ρ percorre gli zeri di ζ(s) contati con la loromolteplicita. Nel caso si riesca a provare che

gli zeri di ζ(s) soddisfano ℜρ < 1 e non sono “troppi”;

la crescita di ζ′

ζ(s) e “sotto controllo”;

si dimostra che il contributo della somma sugli zeri e dell’integralesono in realta o(x).

A. Languasco p. 26

Stime per ζ(s) e regione priva di zeri I

I risultati minimali che consentono di arrivare alla dimostrazione delteorema dei numeri primi sono:

Theorem 1.Abbiamo che

ζ(s) = O(log |t|) per σ≥ 1, |t| ≥ 2,

ζ′(s) = O(log3 |t|) per σ≥ 1, |t| ≥ 2,

ζ(s) = Oδ(|t|1−δ) per σ≥ δ, |t| ≥ 2 e 0 < δ < 1.

A. Languasco p. 27

Stime per ζ(s) e regione priva di zeri II

Theorem 2.Abbiamo che esiste una costante c > 0 tale che

ζ(s) 6= 0 per σ≥ 1− clog(|t|+ 2)

, t ∈ R,

ζ′(s)

ζ(s)= O(log |t|) per σ≥ 1− c/10

log(|t|+ 2), |t| ≥ 1

2.

La regione dell’ultimo teorema viene detta regione priva di zeri; non ela migliore nota; I.M. Vinogradov e Korobov hanno provato che

ζ(s) 6= 0 per σ≥ 1− c

log2/5+ε(|t|+ 2), t ∈ R.

A. Languasco p. 28

Il TNP (Hadamard e de la Vallee-Poussin) I

A. Languasco p. 29

Il TNP (Hadamard e de la Vallee-Poussin) II

Dalle stime dei due teoremi precedenti e la formula esplicita si deduceil Teorema dei Numeri Primi nella forma (Hadamard e de laVallee-Poussin; 1896)

ψ(x) = x + o(x).

Il termine d’errore puo essere raffinato usando la regione priva di zeridi Vinogradov-Korobov; si ottiene

ψ(x) = x + O(

x exp(−c(ε) log3/5−ε x)).

Inoltre sappiamo che

ψ(x) = x + o(x)⇐⇒ ζ(1 + it) 6= 0.

A. Languasco p. 30

Altre dimostrazioni del PNT

Infine ricordiamo che esistono dimostrazioni del TNP che non fannouso dell’Analisi Complessa; Erdos e Selberg (indipendentemente) nel1957 hanno fornito una dimostrazione “elementare” del TNP.

A. Languasco p. 31

The Lord of Numbers: Atle Selberg

A. Languasco p. 32

Pal Erdos

A. Languasco p. 33

Per chi vuole sapere tutta la verita:

Referenze tecniche (in inglese):1) Apostol. T.M., “Introduction to Analytic Number Theory”, SpringerUTM, 1976. (per costruirsi le basi)2) Edwards, H.M., “Riemann’s Zeta Function”, Dover 2001. (per unatrattazione classica)3) Ingham, A.E., “The Distribution of Prime Numbers”, CambridgeUniversity Press, 1990. (la via piu breve per il TNP dimostrato in modoclassico)4) Montgomery, H.L. - Vaughan, R.C., “Multiplicative Number Theory I:Classical Theory”, Cambridge University Press, 2006. (il testo di basepiu moderno)

Referenze divulgative1) Derbyshire, J., “L’ossessione dei numeri primi”, Bollati Boringhieri,2006. (storia nei capitoli dispari e matematica, partendo quasi da zero,nei capitoli pari)

A. Languasco p. 34