Branimir Dakic Neven Elezovic MATEMATIKA 1 zbirka detaljno

Branimir DakicNeven Elezovic

MATEMATIKA 1zbirka detaljno rijesenih zadatakaiz udzbenika za 1. razredgimnazija i tehnickih skola

1. dio

� �

Intelektualno je vlasnistvo, poput svakog drugog vlasnistva, neotu -divo, zakonomzasticeno i mora se postovati. Nijedan dio ove knjige ne smije se preslikavati niti

umnazati na bilo koji nacin, bez pismenog dopustenja nakladnika.

CIP zapis dostupan u racunalnom kataloguNacionalne i sveucilisne knjiznice u Zagrebu pod brojem 000912225.

ISBN 978-953-197-814-9 (cjelina)ISBN 978-953-197-822-4 (Dio 1)

Branimir DakicNeven Elezovic

MATEMATIKA 1

zbirka detaljno rijesenih zadataka iz udzbenika

za 1. razred gimnazija i tehnickih skola

1. dio

2. izdanje

Zagreb, 2015.

c© Branimir Dakic, prof.prof. dr. sc. Neven Elezovic, 2014.

UrednicaSandra Gracan, dipl. ing.

LektoricaDunja Apostolovski, prof.

Crtezi, slog i prijelom

ELEMENT d.o.o., Zagreb

Dizajn

Edo Kadic

NakladnikELEMENT d.o.o., Zagreb, Menceticeva 2

tel. 01/ 6008-700, 01/ 6008-701faks 01/ 6008-799www.element.hr

[email protected]

TisakELEMENT d.o.o., Zagreb

Sadrzaj

1. Brojevi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1. Prirodni i cijeli brojevi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2. Racionalni brojevi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.3. Realni brojevi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.4. Operacije sa skupovima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2. Potencije i algebarski izrazi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.1. Pojam potencije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.2. Racunanje s potencijama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.3. Znanstveni zapis realnog broja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462.4. Algebarski izrazi. Potenciranje binoma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532.5. Razlika i zbroj potencija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 682.6. Rastavljanje na faktore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 762.7. Algebarski razlomci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 852.8. Linearne jednadzbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

3. Ure -daj na skupu realnih brojeva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1353.1. Svojstva relacije ure -daja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1363.2. Linearne nejednadzbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1383.3. Apsolutna vrijednost realnog broja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1723.4. Udaljenost tocaka na brojevnom pravcu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1773.5. Jednadzbe i nejednadzbe s apsolutnim vrijednostima . . . . . . . . . . 183

4. Koordinatni sustav u ravnini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1954.1. Koordinatni sustav u ravnini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1964.2. Udaljenost dviju tocaka u ravnini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2114.3. Povrsina trokuta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2194.4. Poloviste duzine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229

5. Vektori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2395.1. Definicija i opis vektora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2405.3. Zbrajanje vektora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2415.4. Rastav vektora u komponente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2475.5. Vektori u koordinatnom sustavu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251

1 BROJEVI

1.1. Prirodni i cijeli brojevi

Zadatak 1. 1) Zapisi prirodni broj koji neposredno slijedi iza prirodnog broja n .2) Zapisi prirodni broj koji neposredno prethodi prirodnom broju n − 2 . Kad

zadatak ima rjesenje?3) Zapisi broj koji je za 2 veci od zbroja brojeva m i n .4) Zapisi broj koji je dvostruko veci od razlike brojeva a i b .5) Zapisi broj koji je tri puta manji od umnoska brojeva a i b .

Rjesenje. 1) Sljedbenik broja n je broj n + 1 .2) Prethodnik broja n − 2 je (n − 2) − 1 = n − 3 . Zadatak ima rjesenje kadje n > 3 .3) To je broj m + n + 2 .4) To je broj 2(a − b) .

5) To je brojab3

.

Zadatak 2. Ispisi:1) sve cijele brojeve koji su izme -du cijelih brojeva k − 1 i k + 5 ;2) sve neparne cijele brojeve koji su veci od 2k − 1 i manji od 2k + 7, gdje

je k cijeli broj;3) sve parne cijele brojeve vece od 2k − 5 i manje od 2k + 1, gdje je k cijeli

broj.

Rjesenje. 1) To su brojevi k , k + 1 , k + 2 , k + 3 i k + 4 .2) To su brojevi 2k + 1 , 2k + 3 i 2k + 5 .3) To su brojevi 2k − 4 , 2k − 2 i 2k .

Zadatak 3. Marko je dvostruko stariji od Filipa, a Filip je 3 godine stariji od Luke. Ako jeLuki n godina, koliko ukupno godina imaju sva trojica?

Rjesenje. Ako je Luki n godina, a Filip je 3 godine stariji, onda Filip ima n + 3 godina.Marko je dvostruko stariji od Filipa pa ima 2 · (n + 3) = 2n + 6 godina. Svatrojica ukupno imaju n + n + 3 + 2n + 6 = 4n + 9 godina.

Zadatak 4. Zamisli neki broj. Dodaj mu 1 pa zbroj pomnozi s 4. Zatim oduzmi 4 padobiveni rezultat podijeli s 4. Koji je broj rezultat?Ponovi ovaj postupak nekoliko puta. Sto primjecujes? Obrazlozi!

Rjesenje. [(n + 1) · 4 − 4] : 4 = (4n + 4 − 4) : 4 = 4n : 4 = n. Tako ovim racunomuvijek dobijemo broj od kojega smo krenuli.

Zadatak 5. Neka je d dan, a m mjesec ro -denja tvojeg prijatelja. Evo kako ces odreditikoji je dan njegov ro -dendan. Zadaj mu neka provede sljedeci racun:— Podvostruci broj d.

— Pomnozi dobiveni rezultat s 10.— Dodaj 73.

2

PRIRODNI I CIJELI BROJEVI 1.1

— Pomnozi s 5.— Dodaj broj m.

Neka ti sada prijatelj kaze rezultat koji je dobio. Oduzmi krisomod tog rezultatabroj 365 i dobit ces datum njegovog ro -denja.Obrazlozi matematicku pozadinu ovog opceg rjesenja.

Rjesenje. Prati niz zapisa: 2d → 20d → (20d + 73) → (20d + 73) · 5 → (100d +365 + m) → (100d + m) . Rezultat je cetveroznamenkasti broj cije su prvedvije znamenke redni broj dana, a posljednje dvije redni broj mjeseca ro -denja.

Zadatak 6. Neka tvoj prijatelj broj svojih godina starosti pomnozi s 4. Tom broju nekadoda 10 pa rezultat pomnozi s 25. Neka potom od dobivenog rezultata oduzmebroj dana u neprestupnoj godini. Konacno, neka razlici doda iznos sitnisa ulipama koji ima u svojem dzepu (svakako neka je manji od 100). Nakon ovogracuna zahtijevajte da vam kaze rezultat. Dodat cemo tom rezultatu 115 i ocita-ti: prve dvije znamenke su godine, a sljedece dvije iznos sitnisa u dzepu vasegprijatelja. Mozete li razobliciti ovu “caroliju”?

Rjesenje. Oznacimo sa n broj godina, a sa s kolicinu sitnisa. Slijedi niz zapisa:4n → 4n+10 → (4n+10)·25 → (4n+10)·25−365 → (4n+10)·25−365+s =100n+ s−115 . Dodamo li ovom posljednjem broju 115 dobit cemo 100n+ s .Ocigledno, prve dvije znamenke su broj godina, posljednje dvije iznos su sit-nisa.

Zadatak 7. Na polici se nalazi sest svezaka Opce enciklopedije, poredanih slijeva udesno,jedan do drugog. Svaki svezak ima 515 stranica ne racunajuci korice.1) Koliko ukupno stranica ima Opca enciklopedija?2) Koliko stranica ima izme -du 313. stranice drugog sveska i 127. stranice

petog?3) Brojimo li stranice enciklopedije redom te izbrojimo 1784, u kojem svesku

i na kojoj stranici smo se zaustavili?4) Brojimo li stranice enciklopedije redom, ali otraga prema naprijed te se

zaustavimo na broju 3000, u kojem svesku i na kojoj stranici smo se zaus-tavili?

Rjesenje. 1) 6 · 515 = 3090 ;2) (515 − 313 + 1) + 2 · 515 + 127 = 1360 ;3) 1784− 3 · 515 = 239 , zaustavili smo se na 239. stranici cetvrtog sveska;4) 3090− 3000 + 1 = 91 , zaustavili smo se na 91. stranici prvog sveska.

Zadatak 8. Me -du brojevima 1, 2, 3, . . . , 9 odaberi dva me -dusobno razlicita broja. Ispisisve dvoznamenkaste brojeve kojima su znamenke ti brojevi, te ih zbroji. Taj jezbroj uvijek djeljiv s 22. Zbog cega? Obrazlozi! Mozes li provesti analognozakljucivanje za tri odabrana broja?Napomena: Dvoznamenkast broj xy zapisujemo u obliku 10x+ y . Jednako jetako xyz = 100x + 10y + z .

Rjesenje. Odaberemo li primjerice znamenke 2 i 5, svi dvoznamenkasti brojevi su 22, 25,52 i 55. Njihov zbroj je 154 i on je djeljiv s 22.

3

1 BROJEVI

Opcenito, odaberemo li dvije razlicite znamenke x i y , svi dvoznamenkastibrojevi su xx , xy , yx , i yy , a njihov zbroj je

xx + xy + yx + yy = 10x + x + 10x + y + 10y + x + 10y + y

= 22x + 22y = 22 · (x + y).

Zadatak 9. Broj 100 zapisi povezujuci racunskim operacijama

1) pet jedinica; 2) pet trojki; 3) pet petica.

Rjesenje. Primjerice: 1) 111 − 11 ; 2) 33 · 3 +33

; 3) (5 + 5 + 5 + 5) · 5 .

Zadatak 10. Ispisi redom brojeve 1 2 3 4 5 6 7 8 9. Povezi te brojeve znakovima + i −(koristeci ih ukupno triput) tako da dobijes 100.

Rjesenje. Primjerice: 123 − 45 − 67 + 89 .

Zadatak 11. Zapisi broj 100 uporabom svih 10 znamenki i uporabom cetiriju osnovnihracunskih operacija.

Rjesenje. Primjerice: 0+1+2+3+4+5+6+7+8·9 , 0−1+3·5+4+6 : 2+7+8·9 .

Zadatak 12. Rijesi rebus:O H O H O

+ A H A H A

A H A H A H

Rjesenje. A moze biti samo 1 pa imamo:

O H O H O+ 1 H 1 H 1

1 H 1 H 1 H

Odatle je O = 9 , pa sad rebus izgleda ovako:

9 H 9 H 9+ 1 H 1 H 1

1 H 1 H 1 H

Lako se vidi da je H = 0 . Dakle, rjesenje je 90 909 + 10 101 = 101 010 .

Zadatak 13. Odredi cetiri uzastopna prirodna broja kojima je zbroj jednak 1258 .

Rjesenje. Neka je n najmanji od trazena cetiri broja. Onda mora biti

n + (n + 1) + (n + 2) + (n + 3) = 1258,

4n + 6 = 1258.

Odatle je n = 313 , te su trazeni uzastopni brojevi 313, 314, 315, 316.

Zadatak 14. Zbroj pet uzastopnih parnih prirodnih brojeva jednak je 6080 . Koji su tobrojevi?

4

PRIRODNI I CIJELI BROJEVI 1.1

Rjesenje. Oznacimo treci po redu broj s n . Onda su ostala cetiri jednaka n − 4 , n − 2 ,n + 2 i n + 4 pa mora biti

(n − 4) + (n − 2) + n + (n + 2) + (n + 4) = 6080

5n = 6080

te je n = 1216 . Rijec je o brojevima 1212 , 1214 , 1216 , 1218 , 1220 .

Zadatak 15. Zbroj sedam uzastopnih neparnih prirodnih brojeva jednak je 581. Koliki jezbroj sedam narednih neparnih prirodnih brojeva?

Rjesenje. Srednji cemo broj oznaciti s n . Onda su preostali brojevi n− 6 , n− 4 , n− 2 ,n + 2 , n + 4 i n + 6 pa mora biti

(n − 6) + (n − 4) + (n − 2) + n + (n + 2) + (n + 4) + (n − 6) = 581

7n = 581

te je n = 83 . Rijec je o brojevima 77, 79, 81, 83, 85, 87 i 89. Sedam narednihneparnih brojeva su redom 91, 93, 95, 97, 99, 101 i 103, a njihov zbroj iznosi679.

Zadatak 16. Umnozak triju uzastopnih prirodnih brojeva jednak je 4080. Koliki je zbroj tihtriju brojeva?

Rjesenje. Rastavljanjem broja 4080 na proste faktore, dobivamo 4080 = 24 · 3 · 5 · 17 =16 · 15 · 17 . Dakle, rijec je o umnosku brojeva 15, 16 i 17. Njihov zbroj je 48.

Zadatak 17. Koja je posljednja znamenka umnoska 1 · 3 · 5 · 7 · . . . · 99?

Rjesenje. Rijec je o umnosku uzastopnih neparnih prirodnih brojeva od kojih neki zavr-savaju s 5, te i cijeli umnozak zavrsava s 5.

Zadatak 18. S koliko nula zavrsava umnozak 1 · 2 · 3 · 4 · . . . · 33 ?

Rjesenje. Broj je djeljiv s 10 ako je djeljiv s 2 i s 5. Kad bismo zadani umnozak rastavilina proste faktore, zanima nas koliko u tom rastavu ima petica (dvojki ociglednoima vise nego petica). Me -du zadanim brojevima imamo tri koji zavrsavaju s5 (5, 15 i 25 – njihov je umnozak djeljiv s 5 cetiri puta), te tri koja zavrsavajus nulom (10, 20 i 30 – umnozak je djeljiv s 5 tri puta). Stoga cijeli umnozakzavrsava sa sedam nula.

Zadatak 19. Koja je posljednja znamenka umnoska prvih stotinu prostih brojeva?

Rjesenje. Broj 2 jedini je paran prost broj. Svi su ostali prosti brojevi, a me -du njima je ibroj 5, neparni. Zbog toga umnozak zavrsava nulom.

Zadatak 20. Prepisi, pa umjesto kvadratica upisi broj tako da dobijes tocne jednakosti:

1) −11 + = −24 ; 2) − (−45) = 13 ;

3) 23 + = −1 ; 4) + (−17) = −34 ;

5) 33 − (−44) = ; 6) −75 − 28 = ;

7) −61 + = 77 ; 8) − (−111) = −205 .

5

1 BROJEVI

Rjesenje. 1) = −24 + 11 = −13 ; 2) = 13 − 45 = −32 ;

3) = −1 − 23 = −24 ; 4) = −34 + 17 = −17 ;

5) = 33 + 44 = 77 ; 6) = −75 − 28 = −103 ;

7) = 77 + 61 = 138 ; 8) = −205 − 111 = −316 .

Zadatak 21. Izracunaj:

1) −5 · (2 − 11) − 4 · (3 − 12) ; 2) 2 · (−3) − 4 · (−5) + (−6) · (−7) ;3) (−12) · (−11)− (−10) · (−15) ; 4) −12 · (−3) − 5 · 14 − 11 .

Rjesenje. 1) −5 · (2 − 11) − 4 · (3 − 12) = −5 · (−9) − 4 · (−9) = 45 + 36 = 81 ;2) 2 · (−3) − 4 · (−5) + (−6) · (−7) = −6 + 20 + 42 = 56 ;3) (−12) · (−11)− (−10) · (−15) = 132 − 150 = −18 ;4) −12 · (−3) − 5 · 14 − 11 = 36 − 70 − 11 = −45 .

Zadatak 22. Racunamo: 1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 + 7 − 8 + . . . Ako imamo konacan brojpribrojnika, recimo n , koliki je rezultat ovog zbrajanja?

Rjesenje. Ako je n paran broj onda imamo (1−2)+(3−4)+(5−6)+. . .+[(n−1)−n] =n2· (−1) = −n

2.

Ako je n neparan broj onda imamo (0 + 1) + (−2 + 3) + (−4 + 5) + . . . +[−(n − 1) + n] =

n2· 1 =

n2

.

Zadatak 23. Najvisa ikad izmjerena temperatura zraka na Zemlji zabiljezena je u Libiji13.9.1922. Iznosila je 57.8 ◦C ili 136 ◦F . Najniza je izmjerena na Antark-tici (Vostok Station) 12.1.1983., kada je termometar pokazivao −89.2 ◦C ili−128.6 ◦F .Kolika je razlika izme -du najnize i najvise temperature ikad izmjerene na Zem-lji?U Hrvatskoj je do sada najvisa izmjerena temperatura iznosila 42.8 ◦C ili109 ◦F , a izmjerena je 5.8.1998. u Plocama. Najniza temperatura izmjerena jeu Cakovcu 3.2.1929., a bilo je −35.5 ◦C ili −31.5 ◦F .Kolika je razlika izme -du najvise i najnize izmjerene temperature u Hrvatskoj?

Rjesenje. Na Zemlji: 57.8 ◦C − (−89.2 ◦C) = 147 ◦C ili 136 ◦F − (−128.6 ◦F) =264.6 ◦F .U Hrvatskoj: 42.8 ◦C − (−35.5 ◦C) = 78.3 ◦C ili 109 ◦F − (−31.5 ◦F) =140.5 ◦F .

Zadatak 24. Arhimed je zivio od 287. g. pr. Kr. do 212. g. pr. Kr. To bismo jednostavnijemogli zapisati: Arhimed je zivio od −287. do −212. g. Koliko je godinapozivio Arhimemed? Odgovori na isto pitanje za sljedece matematicare:Tales je zivio od −620. do −540. godine.Vitruvije je zivio od −75. do 15. godine.Heron je zivio od 10. do 70. godine.

Rjesenje. Arhimed je zivio −212 − (−287) = 75 godina. Tales je zivio −540 −(−620) = 80 godina. Vitruvije je zivio 15 − (−75) = 90 godina. Heron jezivio 70 − 10 = 60 godina.

6

RACIONALNI BROJEVI 1.2

1.2. Racionalni brojevi

Zadatak 1. Razlomke52

,54

,38

,1516

prikazi u obliku decimalnog broja.

Rjesenje.52

= 2.5 ,54

= 1.25 ,38

= 0.375 ,1516

= 0.9375 .

Zadatak 2. Brojeve 0.5 , 0.25 , 0.125 , 0.75 , 0.625 prikazi u obliku razlomka.

Rjesenje. 0.5 =12

, 0.25 =14

, 0.125 =18

, 0.75 =34

, 0.625 =58

.

Zadatak 3. Poredaj po velicini brojeve:23

, 66 % , 0.666 , 0.6 .

Rjesenje. Prikazimo razlomak i postotak u obliku decimalnog broja:23

= 0.6 i

66 % = 0.66 . Brojevi poredani po redu od najmanjeg prema najvecem su:

0.66 , 0.666 ,23

= 0.6

Zadatak 4. Ako je13

= 0.3, koliko je130

?

Ako je27

= 0.285714, koliko je 267?

Rjesenje.130

=13· 110

= 0.3 : 10 = 0.03 .

267

=14 + 6

7=

207

=27· 10 = 0.285714 · 10 = 2.857142 .

Zadatak 5. Odredi period u decimalnom zapisu racionalnog broja:

1)56

; 2)311

; 3)513

; 4)67

.

Rjesenje. 1)56

= 0.83 ; 2)311

= 0.27 ; 3)513

= 0.384615 ; 4)67

= 0.857142 .

Zadatak 6. Koja se znamenka nalazi na 101. mjestu iza decimalne tocke u decimalnomzapisu svakog od cetiriju brojeva iz prethodnog zadatka?

Rjesenje. 1)56

= 0.83 . Na svim decimalnim mjestima je znamenka 3 pa je i na 101.

mjestu.

2)311

= 0.27 . Uzastopno se ponavlja skupina od dvije znamenke (27). Podi-

jelimo li 101 s 2 dobit cemo 50 i ostatak 1. To znaci da ce na 101. mjestu bitiprva znamenka iz skupine, a to je 2.

7

1 BROJEVI

3)513

= 0.384615 . Uzastopno se ponavlja skupina od sest znamenki

(384615). Podijelimo li 101 sa 6 dobit cemo 16 i ostatak 5. To znaci dace na 101. mjestu biti peta znamenka iz skupine, a to je 1.

4)67

= 0.857142 . Uzastopno se ponavlja skupina od sest znamenki (857142).

Podijelimo li 101 sa 6 dobit cemo 16 i ostatak 5. To znaci da ce na 101. mjestubiti peta znamenka iz skupine, a to je 4.

Zadatak 7. Odredi 303. znamenku u decimalnom zapisu broja1537

.

Rjesenje.1537

= 0.405405 . . . = 0.405 .

U decimalnom zapisu broja1537

uzastopno se ponavlja skupina od tri znamen-

ke (405). Podijelimo li 303 s 3 dobit cemo 101. To znaci da na 303. mjestuzavrsava navedena skupina, te je trazena znamenka 5.

Zadatak 8. Odredi 777. znamenku u decimalnom zapisu broja −11111

.

Rjesenje. −11111

= −10.090909 . . . = 0.09 .


uzastopno se ponavlja period od dvije zna-

menke (09). Podijelimo li 777 s 2 dobit cemo 388 i ostatak 1. To znaci da cena 777. mjestu biti prva znamenka iz skupine, a to je 0.

Zadatak 9. Odredi 1500. znamenku u decimalnom zapisu broja313

.

Rjesenje.313

= 0.230769230769 . . . = 0.230769 .


uzastopno se ponavlja period od sest znamenki

(230769). Podijelimo li 1500 sa 6 dobit cemo 250. To znaci da na 1500. mjestuzavrsava navedena skupina, te je trazena znamenka 9.

Zadatak 10. Za koje su cijele brojeve a brojevi1a

,a + 2

a(a − 3),

a2a − 10

,a + 2a2 − 4

racional-

ni?

Rjesenje. Broj1a

je racionalni broj za sve cijele brojeve a , a �= 0 . Broja + 2

a(a − 3)je

racionalan za sve a , a �= 0 i a �= 3 . Broja

2a − 10je racionalan za sve a ,

a �= 5 . Broja + 2a2 − 4

je racionalan za sve a , a �= −2 i a �= 2 .

Zadatak 11. Odredi sve cijele brojeve n za koje je razlomak6

n + 1cijeli broj.

8


Rjesenje. Razlomak6

n + 1je cijeli broj za n = −7 , −4 , −3 , −2 , 0, 1, 2 i 5.

Zadatak 12. Za koje je cijele brojeve n razlomak6

n − 1cijeli broj?

Rjesenje. n ∈ {−5,−2,−1, 0, 2, 3, 4, 7} .

Zadatak 13. Odredi sve cijele brojeve n za koje je razlomakn + 2n − 2

cijeli broj.

Rjesenje. Zapisimon + 2n − 2

=n − 2 + 4

n − 2= 1 +

4n − 2

te je n ∈ {−2, 0, 1, 3, 4, 6} .

Zadatak 14. Odredi prirodni broj x tako da vrijede jednakosti:

1)x12

=23

; 2)4x

=25

; 3)37

=x21

.

Rjesenje. U rjesavanju primjenjujemo definiciju jednakosti racionalnih brojeva.1) 3x = 24 , slijedi x = 8 ; 2) 2x = 20 , slijedi x = 10 ;3) 7x = 63 , slijedi x = 9 .

Zadatak 15. Za koji cijeli broj x vrijedi:

1)15

=x20

; 2)x6

= −13

; 3) − x24

=56

?

Rjesenje. 1) Iz 5x = 20 slijedi x = 4 ; 2) Iz 3x = −6 slijedi x = −2 ;3) Iz −6x = 120 slijedi x = −20 .

Zadatak 16. Za koji je broj x ispunjena jednakost9+x15+x

=23

?

Rjesenje.9 + x15 + x

=23,

3(9 + x) = 2(15 + x),27 + 3x = 30 + 2x,

x = 30 − 27 = 3.

Zadatak 17. Za koji je broj x ispunjena jednakost123−x101+x

=59

?

Rjesenje.

9(123 − x) = 5(101 + x),1107− 9x = 505 + 5x,

−14x = −602,

x = 43.

9

1 BROJEVI

Zadatak 18. Ako od brojnika i nazivnika razlomka1532

oduzmemo isti broj x , dobit cemo

razlomak421

. Koliki je x ?

Rjesenje.

15 − x32 − x

=421

,

21(15 − x) = 4(32 − x),315 − 21x = 128 − 4x,

−21x + 4x = 128 − 315,

−17x = −187,

x = 11.

Zadatak 19. Ako brojniku razlomka113212

dodamo neki broj, a isti taj broj oduzmemo od

nazivnika, dobit cemo razlomak23

. O kojem se broju radi?

Rjesenje.

113 + x212 − x

=23,

3(113 + x) = 2(212 − x),339 + 3x = 424 − 2x,

5x = 85,

x = 17.

Zadatak 20. Skrati razlomke:

1)105168

; 2)11555775

; 3)6930

12 870; 4)

3 333 3335 555 555

; 5)135 135234 234

.

Rjesenje. 1) 105 = 3 · 5 · 7, 168 = 8 · 3 · 7,105168

=3 · 5 · 78 · 3 · 7 =

58

;

2) 5775 = 5 · 1155,11555775

=1155

5 · 1155=

15

;

3) 6930 = 10 · 9 · 7 · 11, 12 870 = 10 · 9 · 11 · 13,693012 870

=713

;

4) 3 333 333 = 3 · 1 111 111, 5 555 555 = 5 · 1 111 111,3 333 3335 555 555

=35

;

5) 135 135 = 135 ·1001 = 9 ·15 ·1001 , 234 234 = 234 ·1001 = 9 ·26 ·1001 ,135 135234 234

=1526

.

10


Zadatak 21. Poredaj po velicini brojeve:

1)34

,1112

,1924

,1718

,6772

; 2)34

, 0.7 ,1316

, 0.7 ,2932

;

3) −34

, −1112

, −1924

, −1718

, −6772

.

Rjesenje. 1)34

,1924

,1112

,6772

,1718

; 2) 0.7 ,34

, 0.7 ,1316

,2932

;

3) −6772

, −1112

, −34

, −1718

, −1924

.

Zadatak 22. Ako je a = 0.3 , b = 0.25 , koliko je1a

, a2 , a + b , a · b ,ab

?

Rjesenje. a =13

=⇒ 1a

= 3 , a2 =19

, b =25100

=14

=⇒ a + b =13

+14

=712

,

a · b =13· 14

=112

,ab

=

1314

=43

.

Zadatak 23. Ako je1a

+1b

= 1 ,1b

+1c

= 2 ,1c

+1a

= 5 , koliko je a + b + c ?

Rjesenje. a =12

, b = −1 , c =13

, a + b + c = −16

.

Zadatak 24. Primjenjujuci jednakost1n− 1

n + 1=

1n · (n + 1)

izracunaj:

11 · 2 +

12 · 3 +

13 · 4 + . . . +

199 · 100

.

Rjesenje.1

1 · 2 +1

2 · 3 +1

3 · 4 +. . .+1

99 · 100=

12− 1

2+

12− 1

3+

13− 1

4+. . .+

199

− 1100

= 1 − 1100

=99100

.

Zadatak 25. Izracunaj:1

1 · 3 +1

3 · 5 +1

5 · 7 + . . . +1

99 · 100.

Rjesenje. Imamo1

1 · 3 +1

3 · 5 +1

5 · 7 + . . . +1

99 · 100=

12

[(1 − 1

3

)+(1

3− 1

5

)+

. . . +( 1

99− 1

101

)]=

12

(1 − 1

101

)=

50101

.


1)(1.6 − 3

5

)·(−2

14

)− 0.2 :

(−4

5

);

2)(4

5− 1.8

):(−1

45

)+ 0.1 ·

(−5

9

);

11

1 BROJEVI

3)[32−2

3

(1 +

23

)]:

[(0.75−2

3

): 1.25−1

];

4)[35−1.2

(1 + 1

12

)]:

[(2.5−2

5

):

78−3

].

Rjesenje.1)

(1.6 − 3

5

)·(−2

14

)− 0.2 :

(−4

5

)=(

1610

− 35

)·(−9

4

)− 2

10:

(−4

5

)

=(

85− 3

5

)·(−9

4

)− 1

5·(−5

4

)= 1 ·

(−9

4

)+

14

= −94

+14

= −84

= −2;

2)(

45− 1.8

):

(−1

45

)+ 0.1 ·

(−5

9

)=(

45− 18

10

):

(−9

5

)+

110

·(−5

9

)

=(

45− 9

5

)·(−5

9

)− 1

18= −1 ·

(−5

9

)− 1

18=

59− 1

18=

10 − 118

=918

=12;

3)[32− 2

3

(1 +

23

)]:

[(0.75 − 2

3

): 1.25 − 1

]

=[32− 2

3· 3 + 2

3

]:

[(75100

− 23

):125100

− 1

]

=[32− 2

3· 53

]:

[(34− 2

3

):

54− 1

]=[32− 10

9

]:

[9 − 812

· 45− 1

]

=27 − 20

18:

[112

· 45− 1

]=

718

:

(115

− 1

)=

718

:1 − 15

15

=718

·(−15

14

)= − 5

12;

4)[35− 1.2

(1 + 1

12

)]:

[(2.5 − 2

5

):

78− 3

]

=[35− 12

10

(1 +

32

)]:

[(2510

− 25

):78− 3

]

=[35− 6

5· 2 + 3

2

]:

[(52− 2

5

)· 87− 3

]

=[35− 6

5· 52

]:

[25 − 4

10· 87− 3

]=[35− 3

]:

[2110

· 87− 3

]

=3 − 15

5:

[125

− 3

]= −12

5:

12 − 155

= −125

·(−5

3

)= 4.

12



1)

23

+712

− 14

34− 1

2

−34− 2

532− 4

5

− 72

;

2)

23− 4

154

−3 − 8

32

−83− 1

22

− 15

+320

;

3)

(25− 3

20+

110

):

12( 3

20+

110

− 18

)· 5

+( 3

20− 2

25

)· 4 ;

4)1 +

135

− 72(4

5: 4 +

23

):

132

:

27

+(2 − 3

7

):

115

1 − 17

:(2 − 5

7

) ;

5)

52−{3

4+[(16

3+

512

)− 7

8

]:

132

}( 5

12+

34

)·(3

2− 15

14

)+(5

4− 7

6

)· 9

.

Rjesenje. 1)

23

+712

− 14

34− 1

2

−34− 2

532− 4

5

− 72

=

8 + 7 − 312

3 − 24

−15 − 8

2015 − 8

10

− 72

= −12− 7

2=

8 − 1 − 72

= 0 ;

2)

23− 4

154

−3 − 8

32

−83− 1

22

−15+

320

=

10 − 4154

−9 − 8

32

−16 − 3

62

−15+

320

=110

− 16− 13

12− 1

5+

320

=6 − 10 − 65 − 12 + 9

60= −72

60= −6

5;

3)

(25− 3

20+

110

):

12( 3

20+

110

− 18

)· 5

+( 3

20− 2

25

)· 4 =

8 − 3 + 220

· 26 + 4 − 5

40· 5

+15 − 8100

=

71058

+725

=2825

+725

=3525

=75

;

13

1 BROJEVI

4)

(25− 3

20+

110

):

12( 3

20+

110

− 18

)· 5

+( 3

20− 2

25

)·4 =

10 + 26 − 3510(1

5+

23

)· 213

·1 − 1

7:

14 − 57

27

+14 − 3

7· 511

=

110

1315

· 213

·1 − 1

7· 79

27

+117

· 511

=34·

1 − 19

27

+57

=34·

891

=23

;

5)

52−{3

4+[(16

3+

512

)− 7

8

]:

132

}( 5

12+

34

)·(3

2− 15

14

)+(5

4− 7

6

)· 9

=

52−{3

4+[64 + 5

12− 7

8

]· 213

}5 + 912

· 21 − 1514

+15 − 14

12· 9

=

52−{3

4+(69

12− 7

8

)· 213

}1412

· 614

+912

=

52−(3

4+

138 − 2124

· 213

)12

+34

=

52−(3

4+

34

)54

=

52− 6

454

=45

.


1)3

425

+ 0.59(34− 0.15

): 4

; 2)

724

: 0.125 + 3.5

23− 0.25

.

Rjesenje. 1)3

425

+ 0.59(34− 0.15

): 4

=

7925

+59100(

34− 15

100

): 4

=

316 + 59100(

75 − 15100

)· 14

=

375100

60100

· 14

=

37510015100

=37515

= 25 ;

2)

724

: 0.125 + 3.5

23− 0.25

=

724

:1251000

+3510

23− 25

100

=

724

:18

+72

23− 1

4

=

724

· 8 +72

8 − 312

=

73

+72

512

=

14 + 216512

=

356512

=705

= 14 .

14



1)(1.5+

25

)· 53−[(

0.25+23

)· 0.75− 3

20· 54

]: 3 ;

2)

(2 +

32− 0.8

)· 53−(3

4+ 0.5 +

53

)· 0.6

2 + 0.875 − 32

;

3)0.9−

(34−0.7

)· 16+0.4−

(2.1−5

6−3

5

)2

[(45+0.9−1.2 · 3

4−6

7: 1.2

):

97+

35

]2 .

Rjesenje. 1)(1.5 +

25

)· 53−[(

0.25 +23

)· 0.75 − 3

20· 54

]: 3

=(3

2+

25

)· 53−[(1

4+

23

)· 34− 3

20· 54

]· 13

=15 + 4

10· 53−(3 + 8

12· 34− 3

16

)· 13

=196

−(11

16− 3

16

)· 13

=196

− 12· 13

=196

− 16

=186

= 3 ;

2)

(2 +

32− 0.8

)· 53−(3

4+ 0.5 +

53

)· 0.6

2 + 0.875− 32

=

(2 +

32− 8

10

)· 53−(3

4+

510

+53

)· 610

2 +8751000

− 32

=

20 + 15 − 810

· 53− 9 + 6 + 20

12· 35

2 +78− 3

2

=

276

− 3512

· 35

16 + 7 − 128

=

92− 7

4118

=

18 − 74118

= 2 ;

3)0.9 −

(34− 0.7

)· 16 + 0.4 −

(2.1 − 5

6− 3

5

)2

[(45

+ 0.9 − 1.2 · 34− 6

7: 1.2

):

97

+35

]2

=

910

−(3

4− 7

10

)· 16 +

410

−(21

10− 5

6− 3

5

)2

[(45

+910

− 1210

· 34− 6

7· 1012

)· 79

+35

]2

15

1 BROJEVI

=

910

− 15 − 1420

· 16 +25−(63 − 25 − 18

30

)2

[(45

+910

− 910

− 57

)· 79

+35

]2 =

9 − 8 + 410

− 49(28 − 25

35· 79

+35

)2

=

12− 4

9( 115

+35

)2 =

9 − 818(1 + 915

)2 =

118(23

)2 =

11849

=18

.


1)(1

4− 1

10

)2:(7

3− 5

6

)2−( 7

10− 3

5

)2;

2)(2+

14−3

2

)2·(3

2−2

3

)2−(15

2−25

4

)2: 4 ;

3)[(3

2− 1

4

)2−(1

2− 1

4

)2]:(1 +

12

)2;

4)[(5

3−5

4

)2·(2+

25

)−(5

6− 7

10

)2· 15

4

]· 10

7;

5)[(11

12− 1

2

)2· 12

5−( 8

15− 2

5

)2· 15

4

]:

75

.

Rjesenje. 1)(1

4− 1

10

)2:(7

3− 5

6

)2−( 7

10− 3

5

)2

=(5 − 2

20

)2:(14 − 5

6

)2−(7 − 6

10

)2

=9

400· 3681

− 1100

=1

100− 1

100= 0 ;

2)(2 +

14− 3

2

)2·(3

2− 2

3

)2−(15

2− 25

4

)2: 4

=(8 + 1 − 6

4

)2·(9 − 4

6

)2−(30 − 25

4

)2· 14

=916

· 2536

− 2516

· 14

=2564

− 2564

= 0 ;

3)[(3

2− 1

4

)2−(1

2− 1

4

)2]:(1 +

12

)2

=[(6 − 1

4

)2−(2 − 1

4

)2]:(3

2

)2

=(25

16− 1

16

)· 49

=2416

· 49

=23

;

4)[(5

3− 5

4

)2·(2 +

25

)−(5

6− 7

10

)2· 15

4

]· 10

7

16


=[(20 − 15

12

)2·(10 + 2

5

)−(25 − 21

30

)2· 15

4

]· 10

7

=( 25

144· 12

5− 4

225· 15

4

)· 10

7

=( 5

12− 1

15

)· 10

7=

25 − 460

· 107

=2142

=12

;

5)[(11

12− 1

2

)2· 12

5−( 8

15− 2

5

)2· 15

4

]:

75

=[(11 − 6

12

)2· 12

5−(8 − 6

15

)2· 15

4

]· 57

=( 52

122· 12

5− 4

152· 15

4

)· 57

=( 5

12− 1

15

)· 57

=25 − 4

60· 57

=2160

· 57

=14

.


1)

⎛⎜⎝ 0.75

123− 1.2

:3 + 1

12

1.4

⎞⎟⎠ ·

12− 1

313− 1

4

; 2)

⎛⎜⎝ 0.875

3.2 − 113

:3 +

34

1.2

⎞⎟⎠ ·

1 − 13

1 +14

.

Rjesenje.

1)

⎛⎜⎝ 0.75

123− 1.2

:3 + 1

12

1.4

⎞⎟⎠ ·

12− 1

313− 1

4

=

⎛⎜⎝

75100

53− 12

10

:3 +

32

1410

⎞⎟⎠ ·

3 − 26

4 − 312

=

⎛⎜⎝

34

53− 6

5

:

6 + 3275

⎞⎟⎠ ·

16112

=

⎛⎜⎝

34

25 − 1815

:

9275

⎞⎟⎠ · 2 =

⎛⎜⎝

34715

:4514

⎞⎟⎠ · 2

=(

4528

· 1445

)· 2 =

12· 2 = 1;

2)

⎛⎜⎝ 0.875

3.2 − 113

:3 +

34

1.2

⎞⎟⎠ ·

1 − 13

1 +14

=

⎛⎜⎝

8751000

3210

− 43

:

12 + 341210

⎞⎟⎠ ·

3 − 13

4 + 14

=

⎛⎜⎝

78

165

− 43

:

15465

⎞⎟⎠ ·

2354

=

⎛⎜⎝

78

48 − 2015

:258

⎞⎟⎠ · 8

15=

⎛⎜⎝

782815

· 825

⎞⎟⎠ · 8

15

=1532

· 825

· 815

=225

.

17

1 BROJEVI

Zadatak 32. Izracunaj x iz sljedecih jednakosti, primjenjujuci svojstva osnovnih racunskihoperacija s racionalnim brojevima:

1) (5 − 0.2) : (3.3 − x) = 12 ; 2) (184 + x):325

= (2x − 48) : 2.4 ;

3) 1 :(345− 0.8x

)= 55 : (x + 4) ; 4) 1.2 − (0.8 + x) = −3.6 ;

5) 1.1 − (5x + 5.5) = 11.1 ; 6) 12 · (0.22 − x) = −1.44 ;

7) −1.2 · (0.3 + x) = −3.6 ; 8)10

[(8x + 24) : 5] : 4 + 6= 1 ;

9) 208:

[112 − (100 − 3x)·4

23

]=2 ; 10)

(x − 11.875) :58

0.625 · 825

− 215

= 1 ;

11)[(145−24x) : 5

29+24

]: 5 = 5 ; 12)

3415

(5.5 + x) : 2137

− 138

= 5.625 .

Rjesenje. 1) 2)(5 − 0.2) : (3.3 − x) = 12

4.8 : (3.3 − x) = 12

4.8 = 12(3.3 − x)4.8 = 39.6 − 12x

12x = 39.6 − 4.8

12x = 34.8

x = 34.8 : 12

x = 2.9;

(184 + x) :325

= (2x − 48) : 2.4

(184 + x) · 532

= 2(x − 24) :2410

(184 + x) · 532

= (x − 24) · 2 · 512

(184 + x) · 116

= (x − 24) · 13

3 · (184 + x) = (x − 24) · 16

552 + 3x = 16x− 384

3x − 16x = −384− 552

−13x = −936

x = 72;3) 1 :

(345− 0.8x

)= 55 : (x + 4)

x + 4 = 55 ·(

345− 0.8x

)

x + 4 = 55 · 15 + 45

− 55 · 0.8x

x + 4 = 209 − 44x

x + 44x = 209 − 4

45x = 205

x =419

;

18


4) 5)1.2 − (0.8 + x) = −3.6

1.2 − 0.8 − x = −3.6

0.4 − x = −3.6

−x = −3.6 − 0.4

x = 4;

1.1 − (5x + 5.5) = 11.1

1.1 − 5x − 5.5 = 11.1

−4.4 − 5x = 11.1

−5x = 11.1 + 4.4

−5x = 15.5

x = −3.1;

6) 7)12 · (0.22 − x) = −1.44

12 · 0.22 − 12x = −1.44

2.64 − 12x = −1.44

−12x = −1.44 − 2.64

−12x = −4.08

x = 0.34;

−1.2 · (0.3 + x) = −3.6

−1.2 · 0.3 − 1.2x = −3.6

−0.36− 1.2x = −3.6

−1.2x = −3.6 + 0.36

−1.2x = −3.24

x = 2.7;

8) 9)10[(8x + 24) : 5] : 4 + 6

=1

[(8x + 24) : 5] : 4 + 6=10

[(8x + 24) : 5] : 4=4

(8x + 24) : 5=16

8x + 24=80

8x=80−24

8x=56

x=7;

208:

[112−(100−3x) · 4

23

]=2

104:

[112−400−12x

23

]=1

112−400−12x23

=104

−400−12x23

=104−112

400−12x=−8 · (−23)−12x=184−400

x=−216−12

x=18;

10) 11)(x−11.875) :58

0.625 · 825

−215

=1

(x−11875

1000

):

58=

6251000

· 825

−115(

x−958

)· 85=

58· 825

−115

85x−19=

15−11

585x=−2 + 19

x=17 · 58

x=858

x=1058;

[(145−24x) : 5

29+ 24

]: 5=5

(145−24x) : 5 + 24 · 2929

=25

29−245

x + 696=725

725−245

x=725

−245

x=0

x=0;

19

1 BROJEVI

12)3

415

(5.5 + x) : 2137

− 138

= 5.625

4915

(5.5 + x) :1507

=56251000

+118

4915(

5510

+ x

)· 7150

=458

+118

49155510

· 7150

+7

150x =

568

4915

77300

+7

150x

= 7

4915

=539300

+49150

x

49 · 20 = 539 + 49 · 2x

−98x = −980 + 539

−98x = −441

x =92.

Zadatak 33. Ako je a : b : c = 1 : 2 : 4 , koliko jea + 2b − 3c3a − 2b + c

?

Rjesenje. Iz a : b : c = 1 : 2 : 4 =⇒ a = k , b = 2k , c = 4k .a + 2b − 3c3a − 2b + c

=k + 2 · 2k − 3 · 4k3k − 2 · 2k + 4k

=k + 4k − 12k3k − 4k + 4k

=−7k3k

= −73

.

Zadatak 34. Broj 135 podijeli na dva dijela koji su u omjeru 7 : 8 .

Rjesenje. Iz x + y = 135 i x : y = 7 : 8 imamo x = 7k i y = 8k . 7k + 8k = 135 =⇒k = 9 . Odavde sljedi da je x = 7 · 9 = 63 i y = 8 · 9 = 72 . 135 = 63 + 72 .

Zadatak 35. Ako je 3x : 5y = 7 : 11 , koliko je x : y ?

Rjesenje.3x5y

=711

=⇒ xy

=711

· 53

=⇒ xy

=3533

. Slijedi x : y = 35 : 33 .

Zadatak 36. Ako su velicine kutova u trokutu u omjeru 1 : 3 : 4 , koliki je najveci kuttrokuta?

Rjesenje. = k , = 3k i = 4k . Iz ++ = 180◦ slijedi k+3k+4k = 180◦ =⇒8k = 180◦ =⇒ k = 22.5◦ . Najveci kut u trokutu je = 4k = 4·22.5 = 90◦ .

20

Documents

Branimir Dakic Neven Elezovic MATEMATIKA 1 zbirka detaljno