BÖLÜM 3:

BASINÇ VE AKIŞKAN STATİĞİ

BASINÇ NEDİR?BASINÇ NEDİR?

Bir akışkan tarafından birim alana Bir akışkan tarafından birim alana uygulanan normal kuvvete basınç deniruygulanan normal kuvvete basınç denir

Basınç birimi Basınç birimi N/mN/m22 olup buna olup buna pascal (Pa) pascal (Pa) denirdenir. .

1 kPa = 101 kPa = 1033 Pa Pa 1 MPa = 101 MPa = 1066 Pa Pa 1 bar 1 bar = 10= 1055 Pa Pa 1 psi = 0.069 bar1 psi = 0.069 bar Binek otomobil lastiği yaklaşık 30 psi = 2 Binek otomobil lastiği yaklaşık 30 psi = 2

barbar

Etkin, mutlak ve vakum basıncı Etkin, mutlak ve vakum basıncı

Bir Noktadaki BasınçBir Noktadaki Basınç

Akışkan içerisinde herhangi bir noktadaki Akışkan içerisinde herhangi bir noktadaki basınç her yönde aynıdır.basınç her yönde aynıdır.

Basıncın büyüklüğü var, ancak yönü Basıncın büyüklüğü var, ancak yönü yoktur. Dolayısıyla skaler bir büyüklüktür.yoktur. Dolayısıyla skaler bir büyüklüktür.

Basınç derinlikle nasıl değişir?Basınç derinlikle nasıl değişir?

Basınç, akışkan ağırlığının bir sonucudur ve yerçekimi bulunan bir ortamda sadece düşey yönde değişir. Basıncın derinlikle değişimi için yandaki akışkan kütlesine denge şartı uygulanırsa,

2 1

0

0z zF ma

P x P x g x z

2 1 sP P P g z z

O halde basınç derinlikle doğrusal olarak artar. Basınç yatay yönde değişmez.

Basıncın derinlikle değişimiBasıncın derinlikle değişimi

Bir sıvı içerisindeki basınç kabın şeklinden Bir sıvı içerisindeki basınç kabın şeklinden bağımsızdır.bağımsızdır.

Pascal İlkesiPascal İlkesi Kapalı bir kaptaki Kapalı bir kaptaki

akışkana uygulanan dış akışkana uygulanan dış basınç, akışkan basınç, akışkan içerisinden her noktadaki içerisinden her noktadaki basıncı o oranda artırırbasıncı o oranda artırır. .

Pistonları aynı seviyede Pistonları aynı seviyede alırsakalırsak::

BuradaBurada A A22/A/A11 oranına oranına

ideal mekanik fayda adı ideal mekanik fayda adı verilir.verilir.

1 2 2 21 2

1 2 1 1

F F F AP P

A A F A

ManometrelerManometreler Akışkan içerisindeAkışkan içerisinde zz

kadarlık bir yükseklik farkıkadarlık bir yükseklik farkı P/P/gg büyüklüğüne büyüklüğüne karşılık gelir.karşılık gelir.

Bu ilkeye göre Bu ilkeye göre tasarlanmış düzenek tasarlanmış düzenek veya cihazlara veya cihazlara manometre manometre denirdenir..

Tipik bir manometre Tipik bir manometre yandaki gibidir.yandaki gibidir.

Büyük basınçlar için Büyük basınçlar için yükseklikten tasarruf yükseklikten tasarruf etmek amacıyla civa gibi etmek amacıyla civa gibi yoğun akışkanlar yoğun akışkanlar kullanılırkullanılır..

1 2

2 atm

P P

P P gh

Çok Tabakalı AkışkanlarÇok Tabakalı Akışkanlar Her bir sütunun basıncıHer bir sütunun basıncı P = P = ghgh

ifadesinden hesaplanır.ifadesinden hesaplanır. Basınç aşağı inildikçe artar (+), Basınç aşağı inildikçe artar (+),

yukarı çıkıldıkça azalır (-)yukarı çıkıldıkça azalır (-).. Aynı akışkanın iki noktası aynı Aynı akışkanın iki noktası aynı

seviyedeyse, bu iki noktanın seviyedeyse, bu iki noktanın basınçları aynıdırbasınçları aynıdır..

Böylece bir noktadan başlayıp Böylece bir noktadan başlayıp ghgh terimini aşağı inildikçe ekleyerek, terimini aşağı inildikçe ekleyerek, yukarı çıkıldıkça çıkararak istenen yukarı çıkıldıkça çıkararak istenen noktanın basıncı hesaplanabilir:noktanın basıncı hesaplanabilir:

2 1 1 2 2 3 3 1P gh gh gh P

Basınç Düşüşünün HesaplanmasıBasınç Düşüşünün Hesaplanması Basınç düşüşünün Basınç düşüşünün

ölçümü en iyi manometre ölçümü en iyi manometre ile yapılırile yapılır. .

1 noktasından başlanarak 1 noktasından başlanarak manometre içinden 2 manometre içinden 2 noktasına gelinir. Bu noktasına gelinir. Bu esnada inerken (+) esnada inerken (+) çıkarken (-) işaret çıkarken (-) işaret kullanılarakkullanılarak PP11-P-P22 hesaplanır.hesaplanır.

Borudaki akışkan gaz iseBorudaki akışkan gaz ise, , 22>>>>11 veve PP11-P-P22= = ghgh olur.olur.

BarometreBarometre Barometreler açık hava basıncını ölçmede Barometreler açık hava basıncını ölçmede

kullanılır.kullanılır.

C atm

atm

P gh P

P gh

Bu yüzden barometre Bu yüzden barometre basıncına atmosfer basıncı da basıncına atmosfer basıncı da denirdenir..

C C noktasındaki civa buharının noktasındaki civa buharının basıncı çok küçüktür ve sıfır basıncı çok küçüktür ve sıfır alınabilir. Dolayısıyla akışkan alınabilir. Dolayısıyla akışkan sütununun ağırlığı alttan sütununun ağırlığı alttan etkiyen atmosferik basınç etkiyen atmosferik basınç kuvveti ile dengelenmelidir.kuvveti ile dengelenmelidir.

Atmosfer basıncı yükseklere Atmosfer basıncı yükseklere çıkıldıkça düşer ve bunun çıkıldıkça düşer ve bunun birçok etkisi olurbirçok etkisi olur: : pişirme pişirme süresisüresi, , burun kanamasıburun kanaması, , motor motor performansıperformansı, , uçakların uçakların performansı vb..performansı vb..

YÜZEYLERE GELEN HİDROSTATİK YÜZEYLERE GELEN HİDROSTATİK

KUVVETLERKUVVETLER

Atatürk Barajı (Şanlıurfa)Atatürk Barajı (Şanlıurfa)

DÜZ YÜZEYLERDÜZ YÜZEYLER

Düz yüzeye gelen hidrostatik Düz yüzeye gelen hidrostatik kuvvetler bir paralel kuvvetler kuvvetler bir paralel kuvvetler sistemi oluşturur.sistemi oluşturur.

Amacımız bu tür yüzeylere gelen Amacımız bu tür yüzeylere gelen hidrostatik kuvvetleri ve etki hidrostatik kuvvetleri ve etki noktalarını (basınç merkezi BM) noktalarını (basınç merkezi BM) belirlemektirbelirlemektir..

Yüzeyin her iki yanına da etkimesi Yüzeyin her iki yanına da etkimesi halinde atmosfer basıncının etkisi halinde atmosfer basıncının etkisi dikkate alınmaz. Böylece sadece dikkate alınmaz. Böylece sadece etkin basınçla çalışmış oluruz.etkin basınçla çalışmış oluruz.

Şekil 3-24

Düz Yüzeye Gelen KuvvetDüz Yüzeye Gelen Kuvvet

Plaka üzerinde herhangi bir noktadaki basınçPlaka üzerinde herhangi bir noktadaki basınç

0 0 sinP P gh P gy

0 0( sin ) sinRA A A

F PdA P gy dA P A g ydA 1

cA

y ydAA

Ağırlık merkezinin tanımından:

Bileşke KuvvetBileşke Kuvvet

Homojen (sabit yoğunluğa sahip) bir sıvıya tamamen Homojen (sabit yoğunluğa sahip) bir sıvıya tamamen daldırılan düz bir yüzey üzerine etki eden bileşke kuvvet, daldırılan düz bir yüzey üzerine etki eden bileşke kuvvet, yüzeyin kütle merkezindeki basınç ile yüzeyin alanının yüzeyin kütle merkezindeki basınç ile yüzeyin alanının çarpımına eşittir (Şekil 3–27).çarpımına eşittir (Şekil 3–27).

0 0 ( sin ) ( ) R c c c ortF P gy A P gh A P A P A

Bileşke Kuvvetin YeriBileşke Kuvvetin Yeri Bileşke kuvvetin etki çizgisi ile yüzeyin Bileşke kuvvetin etki çizgisi ile yüzeyin

kesişme noktasına BM denir.kesişme noktasına BM denir. Yüzeyin kütle merkezi ile BM, alan yatay Yüzeyin kütle merkezi ile BM, alan yatay

olmadıkça üst üste çakışmaz.olmadıkça üst üste çakışmaz. BM, moment alınarak bulunur:BM, moment alınarak bulunur:

0

20

( sin )

sin

p RA A

A A

y F yPdA y P gy dA

P ydA g y dA

0 , sinc xx OP y A g I Alan 2. momenti veya alan atalet momenti

BM’nin hesabıBM’nin hesabı Çeşitli kaynaklarda verilen atalet momentleri alanın kütle Çeşitli kaynaklarda verilen atalet momentleri alanın kütle

merkezinden geçen eksene göre tanımlıdır (burada ise merkezinden geçen eksene göre tanımlıdır (burada ise eksen takımı alanın kütle merkezinden geçmemektedir)eksen takımı alanın kütle merkezinden geçmemektedir)

Ancak Paralel Eksen Teoremi ile bu sorun da kolaylıkla Ancak Paralel Eksen Teoremi ile bu sorun da kolaylıkla aşılabilir:aşılabilir:

2, , xx O xx c cI I y A

,

0

/( sin )

xx cp c

c

Iy y

y P g A

Böylece BM:

Ancak 0 0P ise;, xx c

p cc

Iy y

y A

Bazı düz yüzeyler ve özellikleriBazı düz yüzeyler ve özellikleri

Basınç Prizması: Geometrik yolBasınç Prizması: Geometrik yol Düz bir yüzey üzerine etki eden Düz bir yüzey üzerine etki eden

kuvvetler, tabanı (sol yüz) kuvvetler, tabanı (sol yüz) yüzeyin alanı, yüksekliği de yüzeyin alanı, yüksekliği de basınç olan bir hacim meydana basınç olan bir hacim meydana getirir. getirir.

Bu prizmanın hacmi, istenen Bu prizmanın hacmi, istenen bileşke kuvveti, kütle merkezinin bileşke kuvveti, kütle merkezinin yüzey üzerindeki izdüşümü ise yüzey üzerindeki izdüşümü ise bu kuvvetin etki noktasını verir.bu kuvvetin etki noktasını verir.

Bazı Özel DurumlarBazı Özel Durumlar

Örnek: Batmış Bir Arabanın Kapısına Örnek: Batmış Bir Arabanın Kapısına

Etkiyen Hidrostatik KuvvetEtkiyen Hidrostatik Kuvvet

Ağır bir araba, kaza sonucu göle uçarak Ağır bir araba, kaza sonucu göle uçarak tekerlekleri üzerinde gölün tabanına tekerlekleri üzerinde gölün tabanına çökmüştür (Şekil 3–31). Arabanın çökmüştür (Şekil 3–31). Arabanın kapısı 1.2 m yüksekliğinde ve 1 m kapısı 1.2 m yüksekliğinde ve 1 m eninde olup üst kenarı suyun serbest eninde olup üst kenarı suyun serbest yüzeyinden 8 m aşağıdadır. Kapı yüzeyinden 8 m aşağıdadır. Kapı üzerindeki hidrostatik kuvveti ve üzerindeki hidrostatik kuvveti ve basınç merkezinin konumunu basınç merkezinin konumunu belirleyerek sürücünün kapıyı açıp belirleyerek sürücünün kapıyı açıp açamayacağını tartışınız.açamayacağını tartışınız.

KabullerKabuller

11 Göl tabanı yataydır. Göl tabanı yataydır. 22 Yolcu kabini içeri su sızdırmayacak şekilde iyi Yolcu kabini içeri su sızdırmayacak şekilde iyi

yalıtılmıştır. yalıtılmıştır. 33 Arabanın kapısı dik bir dikdörtgensel plaka olarak Arabanın kapısı dik bir dikdörtgensel plaka olarak

düşünülebilir. düşünülebilir. 44 İçeri su girmediği için kabin içerisindeki basınç İçeri su girmediği için kabin içerisindeki basınç

atmosferik olarak kalmakta ve dolayısıyla içerdeki atmosferik olarak kalmakta ve dolayısıyla içerdeki havanın sıkışması söz konusu değildir. Bu yüzden, havanın sıkışması söz konusu değildir. Bu yüzden, kapının her iki tarafına da etkimesinden ötürü atmosferik kapının her iki tarafına da etkimesinden ötürü atmosferik basınç hesaplamalarda dikkate alınmaz. basınç hesaplamalarda dikkate alınmaz.

55 Arabanın ağırlığı, üzerine etkiyen kaldırma kuvvetinden Arabanın ağırlığı, üzerine etkiyen kaldırma kuvvetinden daha fazladır.daha fazladır.

ÇözümÇözüm

2 (84.4kN/m )(1m 1.2m) 101.3kNR ortF P A

( / 2)ort c cP P gh g s b

3 2 22

1kN(1000 kg/m )(9.81m/s )(8 1.2 / 2 m) 84.4kN/m

1000kg.m/s

2 21.2 1.2 8 8.61m

2 12( / 2) 2 12(8 1.2 / 2)pb b

y ss b

EĞRİSEL YÜZEYLEREĞRİSEL YÜZEYLER

Eğrisel yüzey üzerine etkiyen hidrostatik kuvvetin yatay Eğrisel yüzey üzerine etkiyen hidrostatik kuvvetin yatay bileşeni, yüzeyin düşey izdüşümüne etki eden hidrostatik bileşeni, yüzeyin düşey izdüşümüne etki eden hidrostatik kuvvete eşittir (hem büyüklük hem de etki çizgisi olarak).kuvvete eşittir (hem büyüklük hem de etki çizgisi olarak).

Eğrisel yüzey üzerine etkiyen hidrostatik kuvvetin düşey Eğrisel yüzey üzerine etkiyen hidrostatik kuvvetin düşey bileşeni, yüzeyin yatay izdüşümüne etki eden hidrostatik bileşeni, yüzeyin yatay izdüşümüne etki eden hidrostatik kuvvet ile akışkan bloğunun ağırlığının toplamına (zıt kuvvet ile akışkan bloğunun ağırlığının toplamına (zıt yönde etkiyorsa, farkına) eşittir. yönde etkiyorsa, farkına) eşittir.

H xF F

V yF F W

2 2R H VF F F

Eğrisel YüzeylerEğrisel Yüzeyler

Eğrisel yüzey sıvı üzerinde Eğrisel yüzey sıvı üzerinde kalıyorsa, sıvı ağırlığı ve kalıyorsa, sıvı ağırlığı ve hidrostatik kuvvetin düşey hidrostatik kuvvetin düşey bileşeni zıt yönlerde etkir bileşeni zıt yönlerde etkir

Basınç kuvvetlerinin yüzeye dik olması ve hepsinin de merkezden geçmesinden ötürü, dairesel bir yüzey üzerine etki eden hidrostatik kuvvet daima dairenin merkezinden geçer.

H xF F

V yF F W

Çok tabakalı akışkanların düz Çok tabakalı akışkanların düz yüzey üzerine etkisiyüzey üzerine etkisi

Çok tabakalı bir akışkan içerisinde dalmış bir yüzey üzerindeki Çok tabakalı bir akışkan içerisinde dalmış bir yüzey üzerindeki hidrostatik kuvvet, farklı akışkanlar içerisinde kalan yüzeyleri ayrı hidrostatik kuvvet, farklı akışkanlar içerisinde kalan yüzeyleri ayrı ayrı göz önüne almak suretiyle belirlenebilir ayrı göz önüne almak suretiyle belirlenebilir

, ,R R i c i iF F P A

Örnek 3-9Örnek 3-9

AA noktasından mafsallı 0.8 m yarıçapında uzun bir silindir, Şekil 3– noktasından mafsallı 0.8 m yarıçapında uzun bir silindir, Şekil 3–36’da görüldüğü gibi otomatik kapak olarak kullanılmakta olup su 36’da görüldüğü gibi otomatik kapak olarak kullanılmakta olup su seviyesi 5 m’ye ulaştığında kapak seviyesi 5 m’ye ulaştığında kapak AA noktasındaki mafsal etrafında noktasındaki mafsal etrafında açılmaktadır. (açılmaktadır. (aa) Kapak açıldığında silindir üzerindeki hidrostatik ) Kapak açıldığında silindir üzerindeki hidrostatik kuvveti ve etki çizgisini ve (kuvveti ve etki çizgisini ve (bb) silindirin 1 metre uzunluğunun ) silindirin 1 metre uzunluğunun ağırlığını belirleyiniz. ağırlığını belirleyiniz.

Yatay kuvvet:Yatay kuvvet:

Örnek 3-9: ÇÖZÜMÖrnek 3-9: ÇÖZÜM

( / 2)H x ort cF F P A gh A g s R A

3 22

1kN(1000kg/m )(9.81m/s )(4.2 0.8 / 2m)(0.8m 1m) 36.1 kN

1000kg.m/s

Düşey kuvvet:Düşey kuvvet:

y ave c tabanF P A gh A gh A

3 22

1kN(1000kg/m )(9.81m/s )(5m)(0.8m 1m) 39.2 kN

1000kg.m/s

Akışkan bloğunun 1 m uzunluğunun ağırlığı (aşağı yönlü):Akışkan bloğunun 1 m uzunluğunun ağırlığı (aşağı yönlü):

Örnek 3-9: ÇÖZÜMÖrnek 3-9: ÇÖZÜM

2 2 ( ) ( - / 4)(1m) 1.3 kNW mg g hacim g R R

Düşey yöndeki net kuvvet:Düşey yöndeki net kuvvet:

39.2 1.3 37.9kNV yF F W

2 2 2 2 36.1 37.9 52.3kNR H VF F F

Bileşke kuvvet:Bileşke kuvvet:

Kapak açılmak üzereyken tabanda tepki kuvveti Kapak açılmak üzereyken tabanda tepki kuvveti yoktur. Mafsala göre moment alınarak;yoktur. Mafsala göre moment alınarak;

sin - 0R silindirF R W R

0 sin (52.3kN)sin 46.4 37.9kNsilindir RW F

Kaldırma KuvvetiKaldırma KuvvetiARCHIMEDES İLKESİARCHIMEDES İLKESİBir akışkan içerisinde daldırılan cisim üzerine etki Bir akışkan içerisinde daldırılan cisim üzerine etki

eden kaldırma kuvveti, cisim tarafından yeri eden kaldırma kuvveti, cisim tarafından yeri değiştirilen akışkanın ağırlığına eşittir ve bu değiştirilen akışkanın ağırlığına eşittir ve bu kuvvet, yer değiştiren hacmin kütle merkezi kuvvet, yer değiştiren hacmin kütle merkezi boyunca etkir.boyunca etkir.

- ( ) - ( )K alt üst a a a aF F F g s h A gsA ghA g Hacim

Yüzen Cisimler:Yüzen Cisimler:

KF W

Örnek 3-40: HidrometreÖrnek 3-40: Hidrometre((aa) Bir sıvının bağıl yoğunluğunu, saf suya karşılık ) Bir sıvının bağıl yoğunluğunu, saf suya karşılık

gelen işaretten itibaren ∆gelen işaretten itibaren ∆z z mesafesinin mesafesinin fonksiyonu olarak veren bir bağıntı elde ediniz. fonksiyonu olarak veren bir bağıntı elde ediniz. ((bb) 1 cm çapında ve 20 cm boyunda olan bir ) 1 cm çapında ve 20 cm boyunda olan bir hidrometrenin saf su içerisinde yarısı batmış hidrometrenin saf su içerisinde yarısı batmış olarak yüzmesi için (10 cm çizgisinde) içerisine olarak yüzmesi için (10 cm çizgisinde) içerisine konulması gereken kurşun kütlesini belirleyiniz.konulması gereken kurşun kütlesini belirleyiniz.

Önce suda sonra da sudan daha hafif bir sıvıda yüzme şartı yazılır ve birbirine eşitlenirse:

, 0 ( ) hidro K su su bat suW F g hacim gAz

, 0 ( ) ( )hidro K a su bat suW F g hacim gA z z 0

,0

akışkanb a

su

z

z z

RİJİT CİSİM HAREKETİRİJİT CİSİM HAREKETİBu tür bir harekette kayma gerilmesi oluşmaz. Dolayıyla Bu tür bir harekette kayma gerilmesi oluşmaz. Dolayıyla

akışkana etkiyen yalnızca kütle ve basınç kuvvetleridir. akışkana etkiyen yalnızca kütle ve basınç kuvvetleridir. Sadece Sadece zz yönü için bu kuvvetlerin gösterildiği diferansiyel yönü için bu kuvvetlerin gösterildiği diferansiyel hacim elemanı alalım ve Newton’un 2. yasasını uygulayalım:hacim elemanı alalım ve Newton’un 2. yasasını uygulayalım:

( )F m a dx dy dz a

, 2 2s z

P dz P dz PF P dxdy P dxdy dxdydz

z z z

,s xP

F dxdydzx

,s yP

F dxdydzy

Rijit Cisim HareketiRijit Cisim Hareketi

, , , s s x s y s zF F i F j F k

P P P

i j k dxdydz P dxdydzx y z

,B zF g m k g dxdydz k

Toplam yüzey (basınç) kuvveti:

Kütle kuvveti:

( )S BF F F P g k dxdydz

( )m a dx dy dz a

P g k a TEMEL DENKLEM

Özel Durumlar:Özel Durumlar:Denklemin açık hali:Denklemin açık hali:

0yP

ay

( )x y zP P P

i j k g k a i a j a kx y z

Özel Durum 1: Statik haldeki akışkanlarÖzel Durum 1: Statik haldeki akışkanlar

0xP

ax

Pg

z

Özel Durum 2: Serbest düşme Özel Durum 2: Serbest düşme za g

0P P P

x y z

Doğrusal Yörünge Üzerinde Sabit Doğrusal Yörünge Üzerinde Sabit İvmeli Hareketİvmeli Hareket

Doğrusal bir yörünge üzerindeki hareketi Doğrusal bir yörünge üzerindeki hareketi xzxz--düzleminde inceleyeceğiz düzleminde inceleyeceğiz P=P(x, z)=?:P=P(x, z)=?:

xP

ax

0P

y

( )zP

g az

( , ) P P

dP x z dx dzx z

( )x zdP a dx g a dz

Doğrusal hareketDoğrusal hareket

( )x zP a x g a z Sonlu büyüklükler cinsinden iki nokta arasındaki basınç farkı:

Veya;

2 1 2 1 2 1( ) ( )( )x zP P a x x g a z z Orijin (z= 0 ve x = 0) noktasındaki basınç

0P alınırsa, herhangi bir noktadaki basınç;

0 ( )x zP P a x g a z

Yüzeyin eğiminin belirlenmesiYüzeyin eğiminin belirlenmesi

1 ve 2 noktalarının her ikisi de serbest 1 ve 2 noktalarının her ikisi de serbest yüzeyde seçilirse yüzeyde seçilirse dPdP = 0 olacaktır. = 0 olacaktır.

( ) 0x zdP a dx g a dz

Buradan,

tan sabitizobar x

z

dz a

dx g a

Bu tür hareketlerde de sıvı kütlesinin korunduğu unutulmamalıdır.

Örnek 3-12Örnek 3-12

80 cm yüksekliğinde ve 2 m 80 cm yüksekliğinde ve 2 m 0.6 0.6 m kesit alanında kısmen suyla m kesit alanında kısmen suyla doldurulmuş bulunan bir balık doldurulmuş bulunan bir balık tankı bir kamyonun arkasında tankı bir kamyonun arkasında taşınacaktır (Şekil 3–52). Tank taşınacaktır (Şekil 3–52). Tank 0 km/h’den 90 km/h hıza 10 0 km/h’den 90 km/h hıza 10 saniyede ivmelenmektedir. Bu saniyede ivmelenmektedir. Bu ivmelenme sırasında tanktan ivmelenme sırasında tanktan su boşalması istenmemesi su boşalması istenmemesi halinde, tanktaki başlangıç su halinde, tanktaki başlangıç su yüksekliğini belirleyiniz. Tankın yüksekliğini belirleyiniz. Tankın uzun veya kısa kenarının uzun veya kısa kenarının hangisinin hareket hangisinin hareket doğrultusuyla paralel olarak doğrultusuyla paralel olarak hizalanmasını önerirsiniz?hizalanmasını önerirsiniz?

ÇözümÇözüm

2(90 0) km/h 1m/s = 2.5m/s

10s 3.6km/hxV

at

Tanker sadece x-yönünde ivmelenmektedir.

2.5tan 0 0.255

9.81x

z

a

g a

Durum 1: Uzun kenar hareket doğrultusunda:

1 1 ( / 2) tan = (2m) / 2 0.255 0.255msz b

Durum 2: Kısa kenar hareket doğrultusunda:

2 2 ( / 2) tan = (0.6m)/2 0.255 0.076msz b

Silindirik Kapta DönmeSilindirik Kapta Dönme

2 , 0 ( , )r za r a a P P r z ( , )

P PdP r z dr dz

r z

rP

ar

( )z

Pg a g

z

2( , ) dP r z r dr gdz

Yüzeyin şekliYüzeyin şekli

Serbest yüzeyde Serbest yüzeyde dPdP = 0 alınırsa: = 0 alınırsa:

2( , ) 0dP r z r dr gdz

2 2 2izobar

1 2

dz r rz C

dr g g

Serbest yüzey paraboliktir !.. Şekilde Serbest yüzey paraboliktir !.. Şekilde rr = 0 için = 0 için zz = = h = C h = C olduğundan,olduğundan,c 1

22

2s cz r hg

Oluşan hacim ve özellikleriOluşan hacim ve özellikleri

2 2 22 2

0 0

2 2 2 4

R R

s c cr r

Rz rdr r h rdr R h

g g

2

0R h

Taşma olmaması halinde (son hacim) = (ilk hacim) olacağından;

2 2

0 4c

Rh h

g

Böylece en düşük derinlik:

22 2

0 ( 2 ) 4sz h R r

g

Yüzeyin denklemi:

Maksimum yükseklik farkı:

22

,maks ( ) (0) 2s s sz z R z R

g

Basınç dağılımıBasınç dağılımı2 2

1 1

22

1

( , ) r z

r z

dP r z r dr gdz 2

2 22 1 2 1 2 1( ) ( )

2P P r r g z z

Eğer (r, z) = (0, 0) noktasındaki basınç P alınır ve 2 noktası herhangi bir nokta olarak düşünülürse;

0

22

0 2

P P r gz

ÖRNEK 3-13 Bir sıvının dönme sırasında ÖRNEK 3-13 Bir sıvının dönme sırasında yükselmesiyükselmesi

Şekil 3Şekil 355’te gösterilen 20 cm çapında, 60 cm 55’te gösterilen 20 cm çapında, 60 cm yüksekliğindeki düşey silindir, yoğunluğu yüksekliğindeki düşey silindir, yoğunluğu 850 kg/m3 olan bir sıvıyla 50 cm 850 kg/m3 olan bir sıvıyla 50 cm yüksekliğine kadar kısmen yüksekliğine kadar kısmen doldurulmuştur. Silindir sabit bir hızla doldurulmuştur. Silindir sabit bir hızla döndürülmektedir. Sıvının kap döndürülmektedir. Sıvının kap kenarlarından taşmaya başlayacağı kenarlarından taşmaya başlayacağı dönme hızını belirleyiniz dönme hızını belirleyiniz

ÇÖZÜM

Dönen düşey silindir tabanının merkezini orijin (r = 0, z = 0) alındığında sıvı serbest yüzeyinin denklemi;

22 2

0 ( 2 )4sz h R r

g

Buna göre kap çeperindeki su yükselmesi r = R alınarak,

2 2

0 4s

Rz h

g

Su dökülme seviyesine ulaştığında z = 60 cm = 0.60 m

olacağından;

2 20.10.60 0.50 19.8 rad/s = 189 devir/dakika

4 9.81

Kap tabanının orta noktasının kuru kalması için devir sayısı ne olmalı dersiniz?

EES Ne İşe Yarar?EES Ne İşe Yarar?

Örnek 2-72Örnek 2-72

T, K µ, Pa · s

273.15 1.787 10-3

278.15 1.519 10-3

283.15 1.307 10-3

293.15 1.002 10-3

303.15 7.975 10-4

313.15 6.529 10-4

333.15 4.665 10-4

353.15 3.547 10-4

373.15 2.828 10-4

Suyun dinamik viskozitesinin mutlak sıcaklık ile değişimi yukarıdaki tabloda verilmiştir. Tablodaki değerleri kullanarak viskozite için = (T) = A + BT + CT2 + DT3 + ET4 formunda bir bağıntı geliştiriniz. Geliştirdiğiniz bağıntıyı kullanarak suyun 50C’de 5.468 10-4 Pa s olması gerektiği bildirilen viskozitesini hesaplayınız. Elde ettiğiniz sonucu = D eB/T ile verilen Andreas denkleminin sonucuyla karşılaştırınız (bu ifadedeki D ve B değerleri, tablodan verilen viskozite verileri kullanılarak, bulunacak olan sabitlerdir).

ÇÖZÜM

Adım 1: EES ekranında mu = a+T şeklinde rastgele bir fonksiyon tanımla (mu=viskozite, a=katsayılar, T = sıcaklık)

Adım 2: Tables menüsünden “new parametric table” seç ve verilen tablo değerlerini iki sütun halinde gir.

Adım 3: “Plot” menüsünden “X-Y plot” seç.

Adım 4: “Plot” menüsünden “curve-fit” seç

270 292 314 336 358 3800.0002

0.0004

0.0006

0.0008

0.001

0.0012

0.0014

0.0016

0.0018

T

= 0.489291758 - 0.00568904387T + 0.0000249152104T2 - 4.8615574510-8T3 + 3.5619807910-11T4

= 0.000001475*EXP(1926.5/T) Andreas denklemi

Eksenleri belirliyoruz.