BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC TRƯỜNG THPT ……………………………….

=====***=====

BÁO CÁO KẾT QUẢ

NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN Tên sáng kiến:....................................................... Tác giả sáng kiến:................................................. Môn: ……………………………………………. Trường THCS: …………………………………..

Vĩnh phúc, năm 2018

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC TRƯỜNG THPT NGUYỄN THỊ GIANG

=====***=====


NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN

Tên sáng kiến: Phương pháp giải bài tập Nhị thức Niu-tơn

Tác giả sáng kiến: Hồ Thị Kim Thúy

Mã sáng kiến: 25.52….


SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC TRƯỜNG THPT NGUYỄN THỊ GIANG

=====***=====



Tên sáng kiến: Phương pháp giải bài tập Nhị thức Niu-tơn

Tác giả sáng kiến: Hồ Thị Kim Thúy

Mã sáng kiến: 25.52….


1



1. Lời giới thiệu

Toán học có vai trò lớn trong đời sống, trong khoa học và trong công

nghệ hiện đại; kiến thức Toán học là công cụ để học sinh học tốt các môn khoa

học khác. Với tư cách là cố vấn cho quá trình học tập, người giáo viên cần có sự

đầu tư về thời gian để nghiên cứu bài học, tìm tòi kiến thức để hướng dẫn cho

học sinh tiếp cận với tri thức, xóa bỏ rào cản của học sinh khi học môn Toán.

Để hoàn thành tốt môn học này các em cần nắm vững kiến thức cơ bản từ

thấp đến cao. Rèn luyện kỹ năng bằng cách chăm chỉ làm các bài tập trong sách

giáo khoa, sách bài tập và các sách nâng cao. Ngoài ra, học tốt môn Toán cần

chú ý đến việc hệ thống hóa kiến thức. Khi làm một bài toán cần nhanh chóng tư

duy xem bài đó thuộc dạng nào để tìm ra cách giải.

Nhị thức Niu - tơn là một trong những nội dung kiến thức hay và có nhiều

điểm có thể huy động khai thác tư duy của học sinh. Việc học và rèn luyện nội

dung này cũng hết sức quan trọng và cần thiết để học sinh có sự chuẩn bị chu

đáo cho kỳ thi THPT quốc gia hiện nay khi đề thi có mở rộng sang nội dung

toán 11. Tuy nhiên do hạn chế về thời gian lên lớp và đối tượng học sinh không

đồng đều nên sách giáo khoa chỉ đưa ra những tình huống cơ bản của Nhị thức

Niu- tơn, do đó học sinh gặp nhiều hạn chế về kiến thức cũng như khả năng

phân tích khi giải các bài toán này.

Đối với đối tượng học sinh khá giỏi thì việc phân dạng bài toán này nhằm

nâng cao kiến thức và khả năng vận dụng kiến thức Nhị thức Niu-tơn một cách

hiệu quả trong các kì thi là thật sự cần thiết.

Chính vì vậy tôi xin mạnh dạn trình bày "Phương pháp giải bài tập Nhị

thức Niu - tơn" làm sáng kiến kinh nghiệm cho mình. Với hy vọng đề tài này sẽ

là một tài liệu tham khảo phục vụ tốt cho việc học tập của các em học sinh nói

riêng và cho công tác giảng dạy của đồng nghiệp nói chung.

2. Tên sáng kiến:

“Phương pháp giải bài tập Nhị thức Niu – tơn”.

2

3. Tác giả sáng kiến:

- Họ và tên: Hồ Thị Kim Thúy

- Địa chỉ tác giả sáng kiến: Việt Trì – Phú Thọ.

- Số điện thoại: 0363735787 . E_mail: [email protected].

4. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến:

Môn toán học lớp 11, 12 – các bài toán liên quan tới khai triển Nhị thức

Niu- tơn.

5. Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử:

- Đề tài được nghiên cứu và thực nghiệm từ tháng 10/2017 đến tháng 3/2018.

6. Mô tả bản chất của sáng kiến

6.1. Thực trạng của vấn đề

Nhị thức Niu - tơn trong chương trình THPT được đưa ra với thời lượng

chương trình trong 2 tiết học: 1 tiết lý thuyết và 1 tiết bài tập (chương trình cơ

bản). Như vậy việc thông thạo kiến thức cũng như tiếp cận các dạng bài tập của

học sinh sẽ còn hạn chế rất nhiều. Học sinh ít có thời gian luyện tập dẫn đến học

sinh thường không làm được bài tập.

Nhiều học sinh thụ động, chỉ áp dụng máy móc công thức, chỉ dừng lại ở

dạng bài tập khai triển một biểu thức theo công thức Nhị thức Niu-tơn. Trong

khi đó các dạng bài tập lại rất đa dạng và phong phú.

Học sinh chưa biết tự tổng hợp, hệ thống hóa kiến thức cho nên kết quả

học tập chưa cao.

6.2. Mục đích nghiên cứu

- Rèn luyện kỹ năng thành thạo cho học sinh với các dạng toán cơ

bản trong chương trình toán 11.

- Cung cấp thêm các kiến thức và các dạng toán có sử dụng các kiến

thức trong chương trình lớp 12.

- Phối kết hợp một cách linh hoạt các kiến thức trong hai chương trình

để giải quyết các bài toán phức tạp.

- Giải quyết tốt các bài trong các đề thi THPT quốc gia, thi học sinh

giỏi.

6.3. Điểm mới trong kết quả nghiên cứu

Điểm mới trong kết quả nghiên cứu là đã hệ thống hóa được kiến thức và

khai thác có hiệu quả các bài toán về “Nhị thức Niu tơn”, không áp đặt hoặc dập

3

khuôn máy móc do đó mà học sinh dễ dàng tiếp thu để giải quyết các bài toán lạ,

các bài toán khó liên quan đến “Nhị thức Niu tơn”.

6.4. Phương pháp thực hiện

- Bước 1: Khảo sát tư liệu

Nghiên cứu hệ thống lý thuyết, các dạng bài tập. Tìm hiểu các đề kiểm tra

của học sinh và các nguồn tư liệu khác có liên quan tới quá trình dạy học phần

“Nhị thức Niu tơn”.

- Bước 2: Đưa ra các dạng bài tập, phương pháp giải, ví dụ và phân tích ví

dụ minh họa, bài tập tương tự để học sinh luyện tập.

- Bước 3: Tiến hành thực nghiệm sư phạm trên đối tượng học sinh (2 lớp

khối 11).

- Bước 4: Thu thập và xử lý số liệu, rút ra kết luận.

6.5. Nội dung

Phần 1. Cơ sở lý thuyết

a) Hoán vị : Cho tập hợp A gồm n phần tử 1n

Mỗi kết quả của sự sắp xếp thứ tự n phần tử của tập hợp A được gọi là một hoán

vị của n phần tử đó

! ( 1)...2.1nP n n n *n N

* Quy ước : 0! = 1

b) Chỉnh hợp : Cho tập hợp A gồm n phần tử 1n

Kết quả của việc lấy k phần tử khác nhau từ n phần tử của tập hợp A và sắp xếp

chúng theo một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử đã

cho

¥!

1 ,!

kn

nA k n n

n k

c) Tổ hợp : Cho tập hợp A gồm n phần tử 1n

Mỗi tập con gồm k phần tử của A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử.

¥!

0 ,! !

kn

nC k n n

k n k

* Chú ý :

n

n nP A

4

. !k k

n nA C k

Tính chất của các số k

nC

1

1 1

0

1

k n k

n n

k k k

n n n

C C k n

C C C k n

d) Nhị thức Niu-tơn:

* Công thức nhị thức Niu - tơn

0 1 1 1 1...n n n n n n n

n n n na b C a C a b C ab C b (1) với ¡ ¡ ¥; ;a b n

0

nk n k k

nk

C a b

Trong vế phải của công thức (1) :

- Số các hạng tử (số hạng ) là n + 1

- Các hạng tử có số mũ của a giảm dần từ n đến 0, số mũ của b tăng dần từ

0 đến n, nhưng tổng các số mũ của a và b trong mỗi hạng tử bằng n

- Các hệ số của mỗi hạng tử cách đều hai hạng tử đầu và cuối thì bằng nhau

- Số hạng tổng quát của khai triển là

1

k n k k

k nT C a b và là số hạng thứ k +

1 trong khai triển

* Hệ quả :

0 1

0 1

... 2

... 1 ... 1

n n

n n n

k nk n

n n n n

C C C

C C C C

Phần 2. Hệ thống các dạng bài tập

Dạng 1. Các bài toán liên quan đến hệ số và số hạng trong khai triển.

Loại 1. Nhóm các bài toán tìm hệ số và số hạng trong khai triển:

a) Bài toán thường gặp :

Cho khai triển có dạng n

a b . Tìm hệ số hoặc số hạng chứa xk trong khai

triển đã cho.

b) Các bước thực hiện bài toán:

Xét khai triển : n

a b với ¡ ¡ ¥; ;a b n .

5

- Bước 1 : Tìm số hạng tổng quát của khai triển

¥1 0 ;k n k kk nT C a b k n n hoặc biểu diễn

na b

0

nk n k k

nk

C a b

Rút gọn số hạng tổng quát với số mũ thu gọn của các biến có trong khai triển.

- Bước 2 : Căn cứ và yêu cầu của bài toán để đưa ra phương trình tương ứng với

giái trị của k. Giải phương trình tìm k.

- Bước 3 : Kết luận về hệ số hoặc số hạng của xk trong khai triển.

* Một số tính chất của lũy thừa với số mũ thực sử dụng trong loại toán này (để

thu gọn số mũ của biến) : Cho a, b là những số thực dương, m,n là những số

thực tùy ý:

.m n m na a a

mm n

n

aa

a

.n

m m na a

. .m m ma b a b

m m

m

a a

b b

Cho a là số thực dương, , *m Z n N ta có : m

n m na a

c) Ví dụ minh họa :

Ví dụ 1 : Tìm hệ số của số hạng chứa 10x trong khai triển

5

3

2

2x

xvới 0x .

Lời giải :

- Số hạng tổng quát của khai triển :

53 15 5

1 5 52

2. 2 .

kk kk k k

kT C x C x

x

- Số hạng chứa 10x trong khai triển ứng với

15 5 10

0 5 1

k

k k

k N

6

- Vậy số hạng chứa 10x trong khai triển là : 1 1 10 10

5.( 2) . 10C x x

- Hệ số cần tìm là -10.

Ví dụ 2 : Tìm số hạng không chứa x trong khai triển

121

xx

với 0x .

Phân tích bài toán :

- Thực hiện theo 3 bước thực hiện bài toán nêu trên.

Lời giải :


12 12 2

1 12 12

1.

k

k k k k

kT C x C x

x

- Số hạng không chứa x trong khai triển ứng với

12 2 0

0 12 6

k

k k

k N

- Vậy số hạng không chứa x trong khai triển là : 6 0 6

12 12.C x C

Ví dụ 3 : Tìm số hạng chứa 25 10x y trong khai triển

153x xy

Lời giải :


153 45 2

1 15 15. .

k kk k k k

kT C x xy C x y

- Số hạng chứa 25 10x y trong khai triển ứng với

45 2 25

1010

0 15

k

kk

k

k N

- Vậy số hạng chứa 25 10x y trong khai triển là : 10 25 10 25 10

15. 3003. .C x y x y

Ví dụ 4 : Tìm hạng tử chứa 2x trong khai triển: 7

3 2x x

Lời giải :


72 5 147

3 2 3 31 7 7 7. .

k kkk k k k k

kT C x x C x x C x

- Hạng tử chứa 2x trong khai triển ứng với

7

5 142

3

0 7 4

k

k k

k N

- Vậy hạng tử chứa 2x trong khai triển là : 4 2 27 . 35C x x

Ví dụ 5 :

a) Tìm số hạng chính giữa trong khai triển: 313x xy

b) Tìm số hạng chính giữa trong khai triển: 12

5

3

1x

x


- Thực hiện theo 3 bước thực hiện bài toán nêu trên.

- Khi xác định số hạng chính giữa của khai triển cần chú ý

+/ Nếu n là số chẵn thì số hạng chính giữa của khai triển là số hạng thứ 12

n

+/ Nếu n là số lẻ thì số hạng chính giữa của khai triển là số hạng thứ 1

2

nvà

11

2

n.

Lời giải :

a) Tìm số hạng chính giữa trong khai triển: 313x xy


313 93 2

1 31 31. .

k kk k k k

kT C x xy C x y

- Số hạng chính giữa của khai triển là số hạng thứ 16 và số hạng thứ 17 lần

lượt ứng với các giá trị k =15 và k = 16

- Số hạng thứ 16 trong khai triển là : 15 63 15

31. .C x y và số hạng thứ 17 trong

khai triển là : 16 61 16

31. .C x y

b) Tìm số hạng chính giữa trong khai triển: 12

5

3

1x

x


12 11 725 2

1 12 123

1.

k kkk k

kT C x C x

x

- Số hạng chính giữa của khai triển là số hạng thứ 7 ứng với k = 6

8

- Số hạng thứ 7 trong khai triển là : 6 3

12.C x

Ví dụ 6 : Tìm hệ số của 5x trong khai triển thành đa thức của

5 2 101 2 (1 3 )x x x x .


Hệ số của 5x trong khai triển thành đa thức của

5 2 101 2 (1 3 )x x x x bằng

tổng hệ số của 5x trong hai khai triển

51 2x x và 2 10(1 3 )x x

Hệ số của 5x trong khai triển

51 2x x bằng hệ số của

4x trong khai triển

5

1 2x

Hệ số của 5x trong khai triển 2 10(1 3 )x x bằng hệ số của

3x trong khai triển

10(1 3 )x

Lời giải :

* Xét khai triển : 5

1 2x

- Số hạng tổng quát của khai triển 5

1 2x :

5

1 5 5.1 2 .( 2) .

kk k k k k

kT C x C x


4

0 5 4

k

k k

k N

- Vậy hệ số số hạng chứa 4x trong khai triển là : 4 4

5.( 2)C

* Xét khai triển : 10(1 3 )x

- Số hạng tổng quát của khai triển 10(1 3 )x :

10

1 10 10.1 3 .3 .

kk k k k k

kT C x C x


3

0 10 3

k

k k

k N

- Vậy hệ số số hạng chứa 3x trong khai triển là : 3 3

10.3C

9

Kết luận : Hệ số của 5x trong khai triển thành đa thức của

5 2 101 2 (1 3 )x x x x là :

3 3

10.3C + 4 4

5.( 2)C = 3320

Ví dụ 7 : Cho đa thức 9 10 14

( ) 1 1 ... 1p x x x x có dạng khai triển là

2 3 14

0 1 2 3 14( ) ...p x a a x a x a x a x . Tìm hệ số a9.


Vì 2 3 14

0 1 2 3 14( ) ...p x a a x a x a x a x nên a9 tương ứng là hệ số của x9.

Khi đó hệ số a9 bằng tổng tất cả các hệ số của x9 trong các khai triển

9 10 14

1 ; 1 ;...; 1x x x

Lời giải :

Ta có :

Hệ số a9 bằng tổng tất cả các hệ số của x9 trong các khai triển

9 10 14

1 ; 1 ;...; 1x x x

Khi đó : 9 9 9

9 9 10 14... 3003a C C C

Ví dụ 8 : Tìm hạng tử của khai triển 9

33 2 là số nguyên


Thực hiện viết số hạng tổng quát của khai triển. Để tìm được hạng tử của khai

triển là số nguyên thì số mũ của lũy thừa nguyên.

Lời giải :

- Số hạng tổng quát của khai triển : 9

93 32

1 9 93 2 3 2kk

k kk k

kT C C

- Hạng tử 1kT là số nguyên 9 k chia hết cho 2 và k chia hết cho 3

0 9;k k N

Khi đó 3;9k

k = 3 thì 3 34 9 3 2 4536T C

k = 9 thì 9 310 9 2 8T C

Vậy hạng tử của khai triển là số nguyên là: 4 4536T và 10 8T

Ví dụ 9: Tìm hệ số của x8 trong khai triển đa thức của: 821 1x x

Lời giải : Cách 1 :

10

Ta có : 821 1x x

3 4 80 3 2 4 2 8 2

8 8 8 8... 1 1 ... 1C C x x C x x C x x

Các hạng tử chứa x8 trong khai triển là : 33 2

8 1C x x ; 44 2

8 1C x x

Vậy hệ số của hạng tử chứa x8 là : 3 2 4 08 3 8 4 238C C C C

Cách 2:

Ta có: 8 8

82 2 28 8

0 0 0

1 1 1 1 .

kk kik k k i i

kk k i

x x C x x C x C x

Vậy ta có hệ số của x8 là: 81i k i

kC C thỏa mãn

00 8

42 8

2,

3

ii k

kk i

ii k

k

¥

Hệ số trong khai triển của x8 là: 0 24 0 3 2

8 4 8 31 1C C C C =238

Ví dụ 10: Tìm hệ số của hạng tử chứa 4x trong khai triển: 1021 2 3x x

Lời giải :

Ta có : 1021 2 3x x

102

2 1010 9 80 1 2 2 2 10 210 10 10 10

(1 2 ) 3

1 2 1 2 .3 1 2 . 3 ... . 3

x x

C x C x x C x x C x

Các hạng tử chứa x4 trong khai triển là :

210 9 80 1 2 2 2

10 10 101 2 ; 1 2 .3 ; 1 2 . 3C x C x x C x x

Hạng tử chứa x4 trong khai triển 100

10 1 2C x là : 40 4 6

10 10. .1 . 2C C x

Hạng tử chứa x4 trong khai triển 91 2

10 1 2 .3C x x là : 21 2 7 2

10 9. .1 . 2 .3C C x x

Hạng tử chứa x4 trong khai triển 282 2

10 1 2 . 3C x x là :

202 0 10 2

10 10. .1 . 2 . 3C C x x

Vậy hệ số của hạng tử chứa x4 là : 0 4 1 2 2 2 0 2

10 10 10 9 10 10. . .2 .3 . .3 8085C C C C C C

d) Bài tập áp dụng:

11

Bài 1 : Tìm số hạng thứ 21 trong khai triển: 25

2 3x

Bài 2 : a) Tìm số hạng đứng giữa trong các khai triển sau 213x xy

b) Tìm số hạng đứng giữa trong các khai triển sau

20

4

23

1x x

xy

Bài 3 : Tìm số hạng không chứa x trong khai triển 7

3

4

1x

x

với 0x

Bài 4 : Tìm hệ số của số hạng thứ 4 trong khai triển:10

1x

x

Bài 5 : Tìm hệ số của 31x trong khai triển:40

2

1x

x

Bài 6 : Tìm hạng tử chứa 2x trong khai triển: 7

3 2x x

Bài 7: Tìm số hạng chính giữa của khai triển 14

2x y

Loại 2. Nhóm các bài toán tìm hệ số và số hạng trong khai triển thỏa

mãn điều kiện cho trước


Cho khai triển có dạng n

a b . Cho biết một vài số hạng hoặc các hệ số trong

tổng thỏa mãn một đẳng thức nào đó hoặc số mũ n thỏa mãn điều kiện cho

trước. Tìm hệ số hoặc số hạng chứa xk trong khai triển đã cho.

b) Các bước thực hiện bài toán:

- Dựa vào đẳng thức đã cho hoặc điều kiện về số mũ ta thực hiện tìm n.

- Sau khi tìm được n ta thực hiện theo 3 bước như loại 1 đã nêu.

c) Ví dụ minh họa:

Ví dụ 11 : Biết rằng tổng tất cả các hệ số của khai triển 2 1n

x bằng 1024.

Tìm hệ số a của số hạng ax12 trong khai triển đó.


- Khai triển 2 1n

x theo công thức Nhị thức Niu- tơn

- Tính tổng các hệ số của khai triển và cho bằng 1024 để tìm n

- Thực hiện theo 3 bước đã nêu ở dạng 1

Lời giải :

12

Ta có:

1

2 0 2 1 21 ...n n n

n

n n nx C x C x C (1)

Thay x = 1 vào hai vế của đẳng thức (1) ta được : 0 1 ... 2n n

n n nC C C

Theo bài ta có tổng các hệ số của khai triển 2 1n

x bằng 1024 nên

2 1024 10n n

Xét khai triển : 10

2 1x


2 1x :

102 20 2

1 10 10. .

kk k k

kT C x C x

- Số hạng ax12 trong khai triển ứng với

20 2 12

0 10 4

k

k k

k N

- Vậy hệ số cần tìm là : 4

10210a C

Ví dụ 12: Cho n là số nguyên dương thỏa mãn 1 35 n

n nC C . Tìm số hạng chứa x5

trong khai triển

2 1

14

n

nx

xvới 0x


- Tìm n thỏa mãn điều kiện 1 35 n

n nC C


Lời giải :

Ta có:

1 3 ! !5 5.

1 ! 3! 3 !

n

n n

n nC C

n n

2

5 12 1 30

62 1

3 28 0

4( )

7

n nn n

n n

n KTM

n

Với n = 7 xét khai triển

72 1

2

x

x

13

- Số hạng tổng quát của khai triển

72 1

2

x

xlà :

72

14 3

1 7 7 7

1 1. . 1 . .

2 2

k kkk k k

k k

xT C C x

x

- Số hạng chứa x5 trong khai triển ứng với

14 3 5

0 7 3

k

k k

k N

- Vậy số hạng cần tìm là : 3 5 5

7

1 35.

16 16C x x

Ví dụ 13: Tìm hệ số của số hạng chứa x8 trong khai triển

n

5

3

1x

x

biết rằng

n 1 nn 4 n 3C C 7 n 3


- Tìm n thỏa mãn điều kiện 1 35 n

n nC C


Lời giải :

Ta có: n 1 nn 4 n 3C C 7(n 3)

n 1 n nn 3 n 3 n 3

n 1n 3

2n 3

C C C 7 n 3

C 7 n 3

C 7 n 3

n 2 n 37 n 3

2!

n 2 7.2! 14

n 12

Với n = 12 xét khai triển 12

5

3

1x

x


5

3

1x

x

là :

125 60 11

3 2 21 12 12

kk

kk k

kT C x x C x

14


60 118

2

0 12 4

k

k k

k N

- Vậy hệ số của số hạng chứa x8 là :

412

12!C 495

4! 12 4 !

Ví dụ 14 : Cho khai triển

13 0 3 1 3

2 2 2

2 2 2. ...

n nn n

n

n n nx C x C x C

x x x.

Biết tổng ba hệ số của ba số hạng đầu tiên của khai triển là 33. Tìm hệ số của x2


- Xác định hệ số của 3 số hạng đầu tiên của khai triển ( Chú ý hệ số là phần

không chứa biến x)

- Cho tổng ba hệ số bằng 33, giải phương trình tìm n

- Thực hiện theo 3 bước đã nêu ở dạng 1 để tìm hệ số của x2

Lời giải :

Ta có: 0 1 2 22 2 33n n nC C C

2

! !1 2. 4. 33

1 ! 2! 2 !

1 2 2 ( 1) 33

2 32 0

4

4( )

n n

n n

n n n

n

n

n KTM


4

3

2

2x

x

- Số hạng tổng quát của khai triển

4

3

2

2x

xlà :

43 12 5

1 4 42

2. .2 .

kk

k k k k

kT C x C x

x


15

12 5 2

0 4 2

k

k k

k N

- Vậy hệ số của x2 là : 2 2

4.2 24C

Ví dụ 15 : Trong khai triển

12

4

n

x

x tổng các hệ số của hạng tử thứ hai và thứ

ba bằng 36. Hạng tử thứ ba gấp 7 lần hạng tử thứ hai. Tìm x


Bài toán trên tuy không yêu cầu tìm hệ số hay số hạng chứa xk trong khai triển

nhưng vẫn dẫn đến việc ta cần tìm n và sau đó tìm x là số mũ liên quan đến các

số hạng trong khai triển

- Xác định hệ số của của hạng tử thứ hai và thứ ba lần lượt là : 1 2;n nC C ; cho

tổng hai hệ số bằng 36, giải phương trinh trình tìm n

- Xác định hạng tử thứ ba và hạng tử thứ hai, từ giả thiết hạng tử thứ ba gấp

7 lần hạng tử thứ hai ta thu được một phương trình mũ; giải phương trình

tìm x

Lời giải :

Xét khai triển :

12

4

n

x

x

Hạng tử thứ hai của khai triển là : 1

1 1. 2 .

4

nx

n xC

Hạng tử thứ ba của khai triển là :

22

2 1. 2 .

4

nx

n xC

- Theo bài có : 1 2 36n nC C

2

( 1)36

2

72 0

8

9( )

n nn

n n

n

n KTM

16


81

24

x

x

- Ta có :

26 7

2 1

8 8

1 1. 2 . 7 . 2 .

4 4

x x

x xC C

6 4 7 2

2 5

2 5 1

28.2 .2 56.2 .2

2 2.2

2 2

5 1 2

1

3

x x x x

x x

x x

x x

x

Vậy 1

3x là giá trị cần tìm

d) Bài tập áp dụng

Bài 1 : Tìm số hạng không chứa x trong khai triển 3

15 28

1n

x xx

biết rằng

1 2 79n n nn n nC C C

Bài 2 : Cho đa thức 10 11 12 13 14

( ) 1 1 1 1 1P x x x x x x

được viết dưới dạng 2 14

0 1 2 14( ) ...P x a a x a x a x . Tìm hệ số a7.

Bài 3 : Tìm số thực x sao cho trong khai triển 1

12

2

n

x

x

tổng các hạng tử thứ

3 và thứ 5 bằng 135 và tổng hệ số ba hạng tử cuối bằng 22

Bài 4 : Tìm hệ số của số hạng chứa x26 trong khai triển nhị thức Niutơn của

7

4

1n

xx

biết rằng

1 2 202 1 2 1 2 1... 2 1n

n n nC C C

Bài 5 : Với n là số nguyên dương, gọi a3n-3 là hệ số của x3n-3 trong khai triển

thành đa thức của n n2x 1 x 2 . Tìm n để a3n-3 = 26n.

Bài 6 : Tìm hệ số của số hạng chứa x8 trong khai triển n

5

3

1x

x

biết rằng n 1 nn 4 n 3C C 7 n 3

17

Loại 3. Nhóm bài toán tìm hệ số lớn nhất của số hạng trong khai triển

nhị thức:


Tìm hệ số lớn nhất trong các hệ số của các số hạng trong khai triển nhị thức.

b) Các bước thực hiện bài toán :

- Biểu diễn : n

a b

0

nk n k k

nk

C a b

- Giả sử uk là hệ số lớn nhất trong các hệ số của khai triển

- Thực hiện giải bất phương trình

1

1

k k

k k

u u

u u và đối chiếu điều kiện của k để

tìm k. Từ đó suy ra hệ số lớn nhất trong các hệ số của khai triển với k tìm được.

c) Ví dụ minh họa :

Ví dụ 16 : Tìm hệ số lớn nhất trong các hệ số của các số hạng khi khai triển

101

1 x


Bài toán yêu cầu tìm hệ số lớn nhất trong các hệ số của các số hạng khi khai

triển 101

1 x nên ta thực hiện theo ba bước đã phân tích nêu trên

Lời giải :

Ta có :

101

101

1010

1 .k k

k

x C x

Giả sử 101

0 101,k

ku C k k N là hệ số lớn nhất trong các hệ số của khai

triển.

Xét hệ :

1

1 101 101

11 101 101

k k

k k

k kk k

u u C C

u u C C

101! 101!

! 101 ! 1 ! 100 !

101! 101!

! 101 ! 1 ! 102 !

k k k k

k k k k

18

1 1

101 1

1 1

102

k k

k k

1 101

102

2 100

2 102

50 51

k k

k k

k

k

k

Mà k N nên k = 50 hoặc k = 51

Khi đó có hai số hạng có hệ số lớn nhất.

Vậy hệ số lớn nhất trong các hệ số của các số hạng là 50 51

101 101C C

Ví dụ 17 : Cho khai triển 2

0 1 21 2 ... , *

n n

nx a a x a x a x n N và các

hệ số a0, a1,a2,…,an thỏa mãn hệ thức 10

... 40962 2

n

n

aaa . Tìm số lớn nhất

trong các hệ số a0,a1,a2,…,an.


- Thực hiện tìm số mũ n theo yêu cầu bài toán.

- Tìm hệ số lớn nhất trong các hệ số của các số hạng khi khai triển theo ba bước

đã phân tích nêu trên

Lời giải :

Ta có : 2

0 1 21 2 ...

n n

nx a a x a x a x (1)

Thay 1

2x vào hai vế của (1) ta được :

10

2 ... 2 4096 122 2

n nn

n

aaa n

Xét khai triển

12 12

12

12 120 0

1 2 . 2 .2 .kk k k k

k k

x C x C x

Giả sử 12

.2 0 12,k k

ku C k k N là hệ số lớn nhất trong các hệ số của khai

triển.

Xét hệ :

1 1

1 12 12

1 11 12 12

2 . .2

2 . 2 .

k k k k

k k

k k k kk k

u u C C

u u C C

19

1

1

2 .12! 2 .12!

! 12 ! 1 ! 11 !

2 .12! 2 .12!

! 12 ! 1 ! 13 !

k k

k k

k k k k

k k k k

1 2

12 1

1 1

2 13

k k

k k

1 24 2

26 2

3 23

3 26

23 26

3 3

k k

k k

k

k

k

Mà k N nên k = 8

Vậy hệ số lớn nhất trong các hệ số của các số hạng là 8 8

122 .C


Bài 1 : Trong khai triển

101 2

3 3

xthành đa thức

2 3 10

0 1 2 3 10...a a x a x a x a x . Tìm hệ số lớn nhất trong các hệ số

a0;a1;…;a10

Bài 2 : Trong khai triển 12

1 2x thành đa thức

2 3 12

0 1 2 3 12...a a x a x a x a x . Tìm hệ số lớn nhất trong các hệ số

a0;a1;…;a12

Bài 3 : Biết rằng số hạng thứ 11 trong khai triển 1n

x có hệ số lớn nhất. Tìm

số nguyên dương n.

Dạng 2. Chứng minh một đẳng thức tổ hợp, tính tổng số tổ hợp dựa

vào khai triển một biểu thức.

a) Bài toán thường gặp:

- Tính tổng số các tổ hợp dựa vào khai triển một biểu thức.

- Tìm số nguyên dương n trong khai triển một biểu thức.

20

- Chứng minh một đẳng thức tổ hợp dựa vào khai triển một biểu thức.

b) Các bước thực hiện:

- Dựa vào yêu cầu bài toán chọn một hàm số thích hợp và thực hiện khai triển

theo công thức Nhị thức Niu – tơn. Ví dụ :

1 ; 1 ; 1 ; 1n n n n

x x x x …

- Thay x những giá trị thích hợp kết hợp với các phép biến đồi đại số để giải bài

toán ban đầu.


Ví dụ 18 : Chứng minh rằng : 16 0 15 1 14 2 13 3 16 16

16 16 16 16 163 3 3 3 ... 2C C C C C


Ta thấy vế trái của đẳng thức cần chứng minh có những đặc điểm : Số mũ của 3

giảm từ 16 về 0, trong các số hạng có xuất hiện 0 16,k

nC k k N . Nên ta

có thể chọn hàm số 16

( ) 1f x x , thực hiện khai triển và sau đó thay x = - 3

(Vì số hạng ứng với k lẻ thì âm)

Lời giải :

Ta có : 16 0 16 1 15 2 14 3 13 16

16 16 16 16 161 ...x C x C x C x C x C (1)

Thay x= - 3 vào hai vế của (1) ta được :

16 0 15 1 14 2 13 3 16 16

16 16 16 16 163 3 3 3 ... 2C C C C C

Vậy đẳng thức được chứng minh.

Ví dụ 19 : Chứng minh rằng : 0 1 2 3 ... 1 0n n

n n n n nC C C C C


Tương tự ví dụ 18 đã nêu

Lời giải :

Ta có : 0 1 2 2 3 31 ... 1 .n n n n

n n n n nx C C x C x C x C x (1)

Thay x= 1 vào hai vế của (1) ta được : 0 1 2 3 ... 1 0n n

n n n n nC C C C C


Ví dụ 20 : Chứng minh rằng :

0 1 1 2 2 0 1 2 24 4 4 ... 1 2 2 ... 2nn n n n n n

n n n n n n n nC C C C C C C C

21


Nhận thấy cả 2 vế của đẳng thức đều được khai triển theo công thức Nhị thức

Niu tơn nhưng các số hạng có đặc điểm khác nhau nên ta cần thực hiện như sau

- Ta thấy vế trái của đẳng thức cần chứng minh có những đặc điểm : Số mũ

của 4 giảm từ n về 0, trong các số hạng có xuất hiện

0 ,k

nC k n k N . Nên ta có thể chọn hàm số ( ) 1

nf x x , thực

hiện khai triển và sau đó thay x = 4

- Ta thấy vế phải của đẳng thức cần chứng minh có những đặc điểm : Số

mũ của 2 tăng từ 0 đến n, trong các số hạng có xuất hiện

0 ,k

nC k n k N . Nên ta có thể chọn hàm số ( ) 1

nf x x , thực

hiện khai triển và sau đó thay x = 2

- Khi đó ta thu được kết quả vế trái và vế phải của đẳng thức cùng bằng

một giá trị trung gian là 3n

Lời giải :

Ta có : 0 1 1 2 21 ... 1n nn n n n

n n n nx C x C x C x C (1)

Thay x= 4 vào hai vế của (1) ta được :

0 1 1 2 24 4 4 ... 1 3nn n n n n

n n n nC C C C

Lại có : 0 1 2 21 ...n n n

n n n nx C C x C x C x (2)

Thay x= 2 vào hai vế của (2) ta được : 0 1 2 22 2 ... 2 3n n n

n n n nC C C C

Suy ra 0 1 1 2 2 0 1 2 24 4 4 ... 1 2 2 ... 2nn n n n n n

n n n n n n n nC C C C C C C C


Ví dụ 21 : Tìm số nguyên dương n sao cho 0 1 2 22 2 ... 2 243n n

n n n nC C C C


- Thực hiện thu gọn vế trái của đẳng thức ( sử dụng cách làm như ví dụ 19)

- Giải phương trình tìm n

Lời giải :

Ta có : 0 1 2 21 ... .n n n


Thay x= 2 vào hai vế của (1) ta được : 0 1 2 23 2 2 ... .2n n n

n n n nC C C C

22

Khi đó ta có : 3 243 5n n

Vậy n = 5 là số nguyên dương cần tìm.

Ví dụ 22: Tìm số nguyên dương n sao cho 1 3 2 1

2 2 2... 2048n

n n nC C C


- Thực hiện thu gọn vế trái của đẳng thức ( sử dụng cách làm như ví dụ 20)

- Giải phương trình tìm n.

Lời giải :

Ta có : 2 0 1 2 2 3 3 2 2

2 2 2 2 21 ... .

n n n


Thay x= 1 vào hai vế của (1) ta được : 2 0 1 2 3 2

2 2 2 2 22 ...n n

n n n n nC C C C C (3)

Thay x= -1 vào hai vế của (1) ta được : 0 1 2 3 2

2 2 2 2 2... n

n n n n nC C C C C (4)

Từ (3) và (4) ta được :

1 3 2 1 2 1 3 2 1 2 1

2 2 2 2 2 22( ... ) 2 ... 2n n n n

n n n n n nC C C C C C

Khi đó : 2 12 2048 2 1 11 6n n n

Vậy n = 6 là số nguyên dương cần tìm

Ví dụ 23 : Chứng minh rằng với mọi n nguyên dương ta có :

2 2 2

0 1

2...n n

n n n nC C C C


Để ý các số hạng của đẳng thức ở vế phải đều được viết dưới dạng 2

k

nC với

0 ,k n k N nên ta thực hiện khai triển một biểu thức theo hai hướng khác

nhau sau đó thực hiện đồng nhất thức hệ số.

Lời giải :

Ta có : 2 0 1 2 2 3 3 2 2

2 2 2 2 2 21 ... ... .

n n n n n

n n n n n nx C C x C x C x C x C x (1)

Mặt khác : 2

1 1 1n n n

x x x

2 0 1 2 2 0 1 2 21 ... . ... .n n n n n

n n n n n n n nx C C x C x C x C C x C x C x

(2)

Hệ số của xn ở vế phải của (1) là 2

n

nC

Hệ số của xn ở vế phải của (2) là:

23

0 1 1 2 2 1 1 0

2 2 20 1

. . . ... .

...

n n n n n

n n n n n n n n n n

n

n n n

C C C C C C C C C C

C C C

Vậy 2 2 2

0 1

2...n n

n n n nC C C C

Ví dụ 24 : Chứng minh rằng với mọi n nguyên dương ta có :

0 2 2 4 4 2 2 2 1 22 2 2 23 3 ... 3 2 2 1n n n n

n n n nC C C C


Ta thấy các số hạng của đẳng thức ở vế trái của đẳng thức cần chứng minh có

đặc điểm :Số mũ của 3 tăng và đều là số chẵn ; trong các số hạng có xuất hiện

k

nC ( 0 2 ,k n k N , k chẵn)

Vậy để chứng minh được đẳng thức ta cần triệt tiêu các số hạng ứng với k lẻ.

Lời giải :

Ta có : 2 0 1 2 2 2 1 2 1 2 2

2 2 2 2 21 ...n n n n n


2 0 1 2 2 2 1 2 1 2 2

2 2 2 2 21 ...n n n n n


Cộng hai vế của (1) và (2) ta được :

2 2 0 2 2 2 2

2 2 21 1 2 ...n n n n

n n nx x C C x C x (3)

Thay x = 3 vào hai vế của (3) ta được :

2 2 0 2 2 2 22 2 2

4 20 2 2 2 22 2 2

2 2

0 2 2 2 22 2 2

2 1 2 0 2 2 2 22 2 2

4 2 2 3 ... 3

2 23 ... 3

2

2 2 13 ... 3

2

2 (2 1) 3 ... 3

n n n nn n n

n nn n

n n n

n n

n nn n n

n n n nn n n

C C C

C C C

C C C

C C C


Ví dụ 25 : Rút gọn biểu thức

a) 0 2 2 4 42 2 2 ...n n n

n n nA C C C

b) 1 1 3 3 5 52 2 2 ...n n n

n n nB C C C


24

Nếu ta thực hiện cộng vế phải của biểu thức A và biểu thức B ta thu được một

khai triển Nhị thức Niu tơn trong đó số mũ của 2 giảm dần. Vậy để tính giá trị

của A và B ta không thực hiện tính riêng lẻ mà thực hiện liên kết A và B vào hệ

phương trình gồm 2 ẩn A và B, từ đó tính A và B

Lời giải :

Ta có

0 1 1 1 2 2 2 3 3 3 4 4 42 1 2 2 2 2 2 ...n n n n n n n n n n n

n n n n nx C x C x C x C x C x (1

0 1 1 1 2 2 2 3 3 3 4 4 42 1 2 2 2 2 2 ...n n n n n n n n n n n

n n n n nx C x C x C x C x C x (2)


0 1 1 2 2 3 3 4 43 2 2 2 2 2 ...n n n n n n

n n n n nC C C C C

Khi đó : 3n A B (3)


0 1 1 2 2 3 3 4 41 2 2 2 2 2 ...n n n n n

n n n n nC C C C C

Khi đó : 1 A B(4)

Từ (3) và (4) ta được :

3 13 2

1 3 1

2

n

n

n

AA B

A BB

d) Bài tập áp dụng :

Bài 1 : Chứng minh rằng 2 4 2 2 1 3 2 1

2 2 2 2 2 2... ... 2n n

n n n n n nC C C C C C

Bài 2 : Chứng minh rằng 0 3 2 4 4 2 2 2 1 2

2 2 2 23 3 ... 3 2 2 1n n n n

n n n nC C C C

Bài 3 : Tính tổng 0 1 2 2 30 20

20 20 20 203 3 ... 3S C C C C

Bài 4 : Tìm số nguyên dương n thỏa mãn : 0 1 ... 4096n

n n nC C C

Dạng 3. Sử dụng đạo hàm và tích phân trong bài toán khai triển nhị

thức Niu – tơn

a) Bài toán thường gặp:

- Tính tổng số các tổ hợp dựa vào khai triển một biểu thức.

- Tìm số nguyên dương n trong khai triển một biểu thức.

- Chứng minh một đẳng thức tổ hợp dựa vào khai triển một biểu thức.

b) Các bước thực hiện:

25

* Đối với bài toán sử dụng đạo hàm :

- Dấu hiệu nhận biết bài toán có sử dụng đạo hàm :

+ Trong tổng hoặc đẳng thức cần chứng minh có chứa dạng k

nkC hoặc không

chứa 0

nC hoặc không chứa

n

nC ta thực hiện dùng đạo hàm cấp 1.

+ Trong tổng hoặc đẳng thức cần chứng minh các số hạng có chứa dạng

1 k

nk k C hoặc không chứa

0 1;n nC C hoặc không chứa

1;n n

n nC C ta thực hiện

dùng đạo hàm cấp 2.

- Phương pháp thực hiện :

+ Dùng Nhị thức Niu – tơn khai triển n

a bx hoặc n

a bx với cách chọn a,b

thích hợp với yêu cầu bài toán.

+ Lấy đạo hàm hai vế đẳng thức vừa khai triển ở trên và chọn x thay vào.

* Đối với bài toán sử dụng tích phân :

- Dấu hiệu nhận biết bài toán có sử dụng tích phân:

+ Trong tổng hoặc đẳng thức cần chứng minh các số hạng có chứa dạng

1

1k

nC

k

- Phương pháp thực hiện :

+ Dùng Nhị thức Niu – tơn khai triển n

a bx hoặc n

a bx với cách chọn a,b

thích hợp với yêu cầu bài toán.

+ Lấy tích phân hai vế đẳng thức vừa khai triển ở trên với cận thích hợp và chọn

x thay vào.


Ví dụ 26 : Tính tổng 1 2 2 3 14 3.2 ... .2n n

n n n nS C C C n C


Trong biểu thức cần tính tổng ta thấy không có 0

nC và trong mỗi số hạng có xuất

hiện dạng k

nkC với 0 ,k n k N nên ta thực hiện sử dụng đạo hàm cấp 1.

Lời giải :

Ta có : 0 1 2 21 ... .n n n


Lấy đạo hàm hai vế của (1) ta được :

1 1 2 2 3 11 2 3 ... .

n n n

n n n nn x C xC x C n x C (2)

26


1 2 2 3 1 12.2 3.2 ... .2 2.3n n n

n n n nC C C n C

Vậy 12.3nS


11 2 32 3 ... 1 . . 0

n n

n n n nC C C nC


Trong vế trái của đẳng thức cần tính tổng ta thấy không có 0

nC và trong mỗi số

hạng có xuất hiện dạng k

nkC với 0 ,k n k N nên ta thực hiện sử dụng đạo

hàm cấp 1.

Chú ý các số hạng ứng với k chẵn là số âm nên ta thực hiện chọn khai triển

1n

x thay vì chọn khai triển 1n

x như ví dụ 27.

Lời giải :

Ta có : 0 1 2 2 3 31 ... 1 .n n n n


Lấy đạo hàm hai vế của (1) ta được :

1 1 2 2 3 11 2 3 ... 1

n n n n


Thay x= 1 vào hai vế của (2) ta được

1 2 3

11 2 3

2 3 ... 1 0

2 3 ... 1 0

n n

n n n n

n n

n n n n

C C C n C

C C C n C



2 3 4 22.1 3.2. 4.3. ... ( 1) ( 1)2n n

n n n nC C C n n C n n


Trong biểu thức cần tính tổng ta thấy không có 0 1;n nC C và trong mỗi số hạng có

xuất hiện dạng 1 k

nk k C với 0 ,k n k N nên ta thực hiện sử dụng đạo

hàm cấp 2.

Lời giải :

Ta có : 0 1 2 21 ... .n n n


27

Lấy đạo hàm cấp hai hai vế của (1) ta được :

2 2 3 2 4 21 1 2.1 3.2 4.3. ... .( 1)n n n

n n n nn n x C xC x C n n x C (2)


2 3 4 22.1 3.2 4.3 ... .( 1) ( 1).2n n

n n n nC C C n n C n n


Ví dụ 29 : Tìm số nguyên dương n sao cho

1 2 2 3 2 2 1

2 1 2 1 2 1 2 12.2 3.2 ... (2 1).2 2005n n

n n n nC C C n C


- Thực hiện tương tự ví dụ 27 với khai triển

2 1

1n

x để rút gọn vế trái

của đẳng thức.

- Giải phương trình tìm n thỏa mãn điều kiện.

Lời giải :

Ta có :

2 1 0 1 2 2 2 1 2 1

2 1 2 1 2 1 2 11 ... .

n n n


Lấy đạo hàm hai vế của (1) theo x ta được :

2 1 2 2 3 2 2 1

2 1 2 1 2 1 2 1(2 1) 1 2 3 ... (2 1)

n n n


Thay x= -2 vào hai vế của (2) ta được

1 2 2 3 2 2 1

2 1 2 1 2 1 2 12.2 3.2 ... (2 1)2 2 1n n

n n n nC C C n C n

Khi đó ta có : 2 1 2005 1002n n



10 1 2 31 1 1 1 2 1

...2 3 4 1 1

nn

n n n n nC C C C C

n n


Trong mỗi số hạng ở vế trái của đẳng thức cần chứng minh có xuất hiện dạng

1

1k

nC

k với 0 ,k n k N nên ta thực hiện sử dụng tích phân

Lời giải :

Ta có : 0 1 2 21 ... .n n n


28

1 1 1 1 1

0 1 2 2

0 0 0 0 0

1

0 1 1 2 1 2 3 1 1 1

0 0 0 0

10 1 2 3

1 ...

1 1 1 1...

1 2 3 1

1 1 1 1 2 1...

2 3 4 1 1

n n n

n n n n

n

n n

n n n n

nn

n n n n n

x dx C dx C xdx C x dx C x dx

xC x C x C x C x

n n

C C C C Cn n



0 1 2 311 1 1 1

...2 3 4 1 1

n

n

n n n n nC C C C C

n n


Trong mỗi số hạng ở vế trái của đẳng thức cần chứng minh có xuất hiện dạng

1

1k

nC

k với 0 ,k n k N nên ta thực hiện sử dụng tích phân.

Chú ý các số hạng ứng với k lẻ là số âm nên ta thực hiện chọn khai triển

1n

x thay vì chọn khai triển 1n

x như ví dụ 31.

Lời giải :

Ta có : 0 1 2 2 3 31 ... 1 .n n n n


1 1 1 1 1

0 1 2 2

0 0 0 0 0

1

1 0 1 1 2 1 2 3 1 1 1

0 0 0 0 0

0 1 2 3

1 ... 1

1 11 1...

1 2 3 1

11 1 1 1...

2 3 4 1 1

n n n n

n n n n

n n

n n

n n n n

n

n

n n n n n

x dx C dx C xdx C x dx C x dx

xC x C x C x C x

n n

C C C C Cn n



Bài 1 : Cho n là số nguyên dương. Chứng minh rằng

2 3 1 10 1 2 32 2 1 2 3 1

2 ...2 3 4 1 1

n nn

n n n n nC C C C C

n n

Bài 2 : Tính tổng :

6 5 4 3 2

0 1 2 3 4 5 6

6 6 6 6 6 6 6

2 2 2 2 2 2 1

1 2 3 4 5 6 7S C C C C C C C

29

Bài 3 : Cho n là số nguyên dương. Chứng minh rằng :

2 3 22.1 3.2 ... 1 1 2n nn n nC C n nC n n

Bài 4 : Chứng minh rằng :

20040 2 1 2004 20042004 2004 2004

3 12 ... 2

2C C C


1 2 3 12 3 ... .2n n

n n n nC C C nC n


2 3 1 10 1 2 32 2 1 2 3 1

2 ...2 3 4 1 1

n nn

n n n n nC C C C C

n n

Bài 7 : Cho n là số nguyên dương. Chứng minh rằng

21 3 5 2 1

2 2 2 2

1 1 1 1 2 1...

2 4 6 2 2 1

nn

n n n nC C C C

n n

Bài 8 : Cho n là số nguyên dương. Tính tổng :

2 3 10 1 22 1 2 1 2 1

...2 3 1

nn

n n n nS C C C C

n

6.6. Thực nghiệm sư phạm

Để có được sự đánh giá khách quan hơn tôi đã chọn ra 2 lớp 11, một lớp

để đối chứng và một lớp để thực nghiệm. Lớp đối chứng vẫn được tiến hành ôn

tập bình thường, đối với lớp thực nghiệm tôi thực hiện chọn lọc những nội dung

phù hợp với lớp 11 trong đề tài và phô tô cho học sinh, học sinh nhóm thực hiện

sẽ nghiên cứu và thực hiện ôn tập. Sau đó cả hai lớp được làm một bài kiểm tra

trong thời gian một tiết, hình thức kiểm tra là tự luận, nội dung bài kiểm tra gồm

một số dạng bài tập trong đề tài (giới hạn nội dung trong lớp 11) và thống kê

điểm cho kết quả sau:

Lớp Sĩ số Giỏi Khá Trung bình Yếu

Lớp đối

chứng

40 2 (5%) 13 (32,5%) 20 (50%) 5 (12,5%)

Lớp thực

nghiệm

39 9 (23,1%) 18 (46,2%) 11 (28,2%) 1 (2,6%)

Dựa trên các kết quả thực nghiệm cho thấy chất lượng học tập của học

sinh các lớp thực nghiệm cao hơn học sinh các lớp đối chứng.

- Tỷ lệ học sinh yếu kém của lớp thực nghiệm là thấp hơn so với lớp đối chứng.

30

- Tỷ lệ học sinh đạt trung bình đến khá, giỏi của các lớp thực nghiệm là cao hơn

so với lớp đối chứng.

Trước khi tiến hành thực nghiệm tôi thấy rằng học sinh còn bỡ ngỡ, mơ

hồ khi thực hiện giải các bài tập Nhị thức Niu – tơn, thời gian luyện tập ngắn

nên giáo viên không thể truyền tải hết được các dạng bài tập đến với học sinh.

Nhưng khi áp dụng đề tài thì tôi thấy rằng học sinh nắm vững được lý thuyết,

biết phân tích bài toán để tìm ra hướng giải, hạn chế được những sai lầm trong

quá trình làm bài. Như vậy có thể khẳng định rằng kinh nghiệm trên phần nào có

tác dụng nâng cao chất lượng học tập của học sinh.

GIÁO ÁN THỰC NGHIỆM

Chương II. TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT

Bài 3. NHỊ THỨC NIU – TƠN

Tiết 28 : LUYỆN TẬP NHỊ THỨC NIU – TƠN

I. Mục tiêu bài học:

1. Kiến thức:

- Củng cố, khắc sâu công thức nhị thức Niutơn.

2. Kỹ năng:

- Biết khai triển (a+b)n theo công thức nhị thức Niutơn.

- Tính tổng của một biểu thức dựa vào công thức nhị thức Niutơn

- Tìm số hạng chứa xk trong khai triển.

3. Thái độ:

- Tự giác, tích cực, sáng tạo

4. Năng lực cần đạt:

- Năng lực tính toán, năng lực giải quyết vấn đề, năng lực sử dụng ngôn ngữ,

năng lực sáng tạo...

II.Chuẩn bị của giáo viên và học sinh:

1. Chuẩn bị của giáo viên:

- Giáo án, Sgk, bảng phụ...

- Chuẩn bị nội dung bài giảng phù hợp đối tượng học sinh.

2. Chuẩn bị của học sinh:

- Sách,vở , đồ dùng học tập, đọc trước bài mới...

- Ôn tập công thức nhị thức Niu – tơn.

31

III. Phương pháp dạy học:

- Nêu và giải quyết vấn đề, phát vấn, giảng giải...

IV.Tiến trình tổ chức dạy học:

1.Ổn định lớp: Kiểm tra sĩ số

2. Kiểm tra bài cũ:

CH1: Nhắc lại công thức nhị thức Niu – tơn ?

CH2 : Thực hiện khai triển biểu thức : 5

a 2b

3. Bài mới:

Hoạt động của GV và HS Nội dung ghi bảng

GV cho BT1

HS ghi bài, suy nghĩ

GV yêu cầu HS nêu cách

thực hiện bài toán

HS trả lời :

+ Xác định số hạng tổng quát

của khai triển .

+ Dựa vào yêu cầu bài toán

tìm k

+ Kết luận về hệ số và số

hạng cần tìm

GV nhận xét

GV chia lớp thành 4 nhóm và

cho HS hoạt động nhóm trong

thời gian 3 phút

Nhóm 1+3 : Ý a

Nhóm 2+4 : Ý b

HS : Đại diện nhóm lên trình

bày

GV nhận xét

GV cho BT2

HS ghi bài

Bài 1: Cho biểu thức 8

3 1A x

x

a) Tìm hệ số của 16x trong khai triển của A.

b) Tìm số hạng không chứa x trong khai triển của A.

Giải:

Số hạng tổng quát của khai triển là

k

8 kk 3 k 24 4k8 8

1C x C x 0 k 8

x

a) Hạng tử chứa 16x ứng với

24 4k 16

0 k 8 k 2

k N

Vậy hệ số của 16x trong khai triển là 28C 28

b) Hạng tử không chứa x ứng với

24 4k 0

0 k 8 k 6

k N

Vậy hạng tử không chứa x trong khai triển đó là 68C 28

Bài 2 : Cho n là số nguyên dương thỏa mãn

1 35 n

n nC C .

32

GV yêu cầu HS nêu sự khác

nhau giữa bài tập 2 và bài tập

1

HS trả lời : Bài tập 2 có điều

kiện của n

GV gọi 1HS lên bảng thực

hiện tìm n

HS trình bày

GV chính xác hóa bài làm

của học sinh

HS thực hiện bước tiếp theo

(3 bước đã nêu ở bài tập 1)

GV yêu cầu HS lên trình bày

HS trình bày

GV nhận xét, cho điểm

GV cho bài 3

HS ghi bài, suy nghĩ

GV yêu cầu HS nêu cách tìm

Tìm số hạng chứa x5 trong khai triển

2 1

14

n

nx

xvới

0x .

Lời giải :

Ta có:

1 3 ! !5 5.

1 ! 3! 3 !

n

n n

n nC C

n n

2

5 12 1 30

62 1

3 28 0

4( )

7

n nn n

n n

n KTM

n


72 1

2

x

x

Số hạng tổng quát của khai triển

72 1

2

x

xlà :

72

14 3

1 7 7 7

1 1. . 1 . .

2 2

k kkk k k

k k

xT C C x

x

Số hạng chứa x5 trong khai triển ứng với

14 3 5

0 7 3

k

k k

k N

Vậy số hạng cần tìm là : 3 5 5

7

1 35.

16 16C x x

Bài 3 : Tìm số nguyên dương n sao cho

0 1 2 22 2 ... 2 243n n

n n n nC C C C

Lời giải :

Ta có : 0 1 2 21 ... .n n n



0 1 2 23 2 2 ... .2n n n

n n n nC C C C

33

n

HS trả lời : Ta thực hiện thu

gọn vế trái

GV yêu cầu HS khai triển

1n

x theo công thức Nhị

thức Niu – tơn

HS trả lời tại chỗ

GV : Với x bằng bao nhiêu ta

thu được biểu thức giống vế

trái của đẳng thức

HS thảo luận và tư duy : x = 2

HS tìm n

GV nhận xét

GV cho bài 4

HS suy nghĩ

CH : Hãy cho biết các hệ số

trong mỗi hạng tử ?

HS trả lời

GV hướng dẫn HS tính tổng

và chú ý HS : Tổng các hệ số

chính là khai triển của một

biểu thức theo công thức nhị

thức Niuton

Khi đó ta có : 3 243 5n n


Bài 4: Trong các khai triển biểu thức, hãy tính tổng

các hệ số của nó: 17

3x 4

Giải:

1717 17 k kk

17k 0

17kk 17 k 17 k

17k 0

3x 4 C 3x 4

C 3 4 x

Tổng hệ số trong khai triển là:

17

k 17k 17 k17

k 0

C 3 4 3 4 1

4. Củng cố:

- Qua bài HS cần nắm 2 dạng bài cơ bản:

Dạng 1: Xác định hệ số hoặc số hạng chứa xk trong khai triển (có điều kiện hoặc

không)

Dạng 2: Tìm số nguyên dương n thỏa mãn điều kiện cho trước hoặc tính tổng sử

dụng Nhị thức Niu – tơn.

5. Hướng dẫn về nhà:

- Xem lại các bài đã chữa.

- Hoàn thiện các bài còn lại trong SGK.

- Xem trước bài mới.

34

7. Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến:

* Đối với học sinh:

Chủ động trong giờ học, phát huy tính tích cực, sáng tạo trong tư duy của

mình dưới sự chỉ đạo, hướng dẫn của giáo viên.

* Đối với giáo viên

- Thường xuyên trao đổi, học hỏi kinh nghiệm của đồng nghiệp.

- Tăng cường hệ thống bài tập (tự luận và trắc nghiệm) theo các dạng.

* Đối với các cấp lãnh đạo

- Nhà trường cần quan tâm đầu tư cung cấp tài liệu, sách tham khảo, cơ sở

vật chất: máy chiếu, tranh ảnh...

- Xây dựng đội ngũ giáo viên toán học đủ về số lượng, đạt chuẩn về trình

độ đào tạo, vững vàng về chuyên môn.

8. Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng

kiến.

- Nội dung trong sáng kiến được áp dụng một phần cho học sinh lớp 11

và đặc biệt sử dụng cho học sinh ôn thi học sinh giỏi cấp tỉnh, thi THPT quốc

gia.

- Với các dạng toán đã nêu tôi tin rằng chuyên đề này sẽ cung cấp cho

học sinh một lượng kiến thức khá tổng hợp, bao quát tương đối đầy đủ về nhị

thức Niu-tơn và các kỹ năng cơ bản để xử lí khi gặp các bài tập về nhị thức

Niu-tơn. Học sinh có thể tự tin khi tiếp cận các dạng bài tập về Nhị thức Niu -

tơn, từ đó cảm thấy hứng thú và yêu thích nội dung kiến thức nói riêng và đối

với Toán học nói chung.

- Trong quá trình thực hiện đề tài này tôi nhận thấy: Khi việc kiểm tra,

đánh giá học sinh chuyển sang hình thức kiểm tra TNKQ đồng nghĩa với đó đề

thi sẽ kiểm tra kiến thức của học sinh ở nhiều mảng khác nhau, vấn đề lớn của

học sinh là thời gian thi hạn chế. Do vậy nếu các mảng kiến thức được phân

hóa chi tiết thành từng dạng bài tập sẽ giúp học sinh khắc sâu vấn đề, ôn tập tốt

hơn.

- Không tốn kém tiền của.

- Ứng dụng cho tất cả các đối tượng (học sinh yếu chỉ áp dụng loại 1, 2.

Học sinh khá giỏi xử lí được tất cả các dạng theo hướng dẫn của giáo viên).

35

Vì thời gian, kinh nghiệm, khả năng còn hạn chế nên bài viết không thể

tránh khỏi những thiếu sót. Rất mong được sự góp ý bổ sung của các đồng chí

và các bạn đồng nghiệp để đề tài của tôi ngày càng hoàn thiện hơn.

Tôi xin chân thành cảm ơn!

............., ngày.....tháng......năm......

Thủ trưởng đơn vị/

Chính quyền địa phương

(Ký tên, đóng dấu)

............., ngày.....tháng......năm......

Tác giả sáng kiến

(Ký, ghi rõ họ tên)

Hồ Thị Kim Thúy

36

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1. Sách giáo khoa Giải tích 12 Ban nâng cao, NXB Giáo dục.

2. Sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11 Ban nâng cao, NXB Giáo dục.

3. Các đề thi học sinh giỏi toán cấp tỉnh 11, 12

4. Các đề thi THPT quốc gia.

5. Phương pháp giải toán Đại số tổ hợp 12, NXB Đại học quốc gia Hà Nội.

6. Các chuyên đề nâng cao và phát triển giải tích 11- Nguyễn Quang Sơn, NXB

Đại học quốc gia Hà Nội.

7. Internet.

37

MỤC LỤC

1. Lời giới thiệu....................................................................................................1

2. Tên sáng kiến...................................................................................................1

3. Tác giả sáng kiến…………………………………………………………….2

4. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến............................................................................2

5. Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử…………………2

6. Mô tả sáng kiến………………………………………………………………2

6.1.Thực trạng của vấn đề……………………………………………………….2

6.2.Mục đích nghiên cứu………………………………………………………...2

6.3.Điểm mới trong kết quả nghiên cứu…………………………………………2

6.4.Phương pháp thực hiện chuyên đề…………………………………………...3

6.5.Nội dung……………………………………………………………………..3

Phần 1: Cơ sở lý thuyết.................................................................................3

Phần 2. Hệ thống các dạng bài tập............................................................4

Dạng 1. Các bài toán liên quan đến hệ số và số hạng trong khai triển..........4

Loại 1.Nhóm các bài toán tìm hệ số và số hạng trong khai triển..........................4

Loại 2. Nhóm các bài toán tìm hệ số và số hạng trong khai triển thỏa mãn điều

kiện cho trước…………………………………………………………………..11

Loại 3. Nhóm bài toán tìm hệ số lớn nhất của số hạng trong khai triển nhị

thức……………………………………………………………………………..17

Dạng 2. Chứng minh một đẳng thức tổ hợp, tính tổng số tổ hợp dựa vào

khai triển một biểu thức………………………………………………………19

Dạng 3. Sử dụng đạo hàm và tích phân trong bài toán khai triển nhị thức

Niu-tơn…………………………………………………………………………24

6.6.Thực nghiệm sư phạm……………………………………………………...29

7. Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến………………………………..34

8. Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng

kiến……………………………………………………………………………..34

TÀI LIỆU THAM KHẢO…………………………………………………….. 36

38

Documents

BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN