UNIDAD 3. PROCESOS DE TRANSFERENCIA3.1. Transferencia de
cantidad de movimiento. Agitacin. Velocidad y potencia de agitacin
Transferencia de cantidad de movimiento.La transferencia de
cantidad de movimiento est caracterizada por estudiar el movimiento
de fluidos y las fuerzas que lo producen, a excepcin de las fuerzas
que actan a distancia (campo gravitatorio, campo elctrico). Las
fuerzas que actan sobre un fluido como las presin y el esfuerzo
cortante, provienen de una transferencia microscpica a nivel
molecular de cantidad de movimiento.Por lo tanto, se deducirn las
ecuaciones que vinculen dicha transferencia de cantidad de
movimiento con las fuerzas que la generan.Existen tres mtodos para
hacerlo:
1. Microscpico2. Macroscpico3. Similitud
Agitacin.El xito de muchas operaciones industriales depende de
la eficaz agitacin y mezcla de fluidos. Aunque con frecuencia
tienden a confundirse, agitacin y mezcla no son sinnimos. La
agitacin se refiere al movimiento inducido de un material en una
forma especfica, generalmente con un modelo circulatorio dentro de
algn tipo de contenedor. La mezcla es una distribucin al azar de
dos o ms fases inicialmente separadas. Un nico material homogneo,
tal como un tanque con agua fra, puede ser agitado pero, en cambio,
no puede mezclarse mientras no se le adicione otro material, tal
como una cierta cantidad de agua caliente o algn slido polvoriento.
El trmino mezcla, o mezclado, se aplica a una gran variedad de
operaciones que difieren ampliamente en el grado de homogeneidad
del material mezclado. Consideremos, en un caso, dos gases que han
de mezclarse totalmente, y un segundo caso en el que arena, grava,
cemento y agua que se voltean en un tambor rotatorio durante un
largo perodo de tiempo. En ambos casos se dice que el producto
final est mezclado. Es evidente que los productos no son igualmente
homogneos. Las muestras de gases mezclados -aun cuando las muestras
sean muy pequeas- tienen toda la misma composicin. Por otra parte,
pequeas muestras de hormign mezclado difieren mucho de la
composicin.Los lquidos se agitan con diversos fines, dependiendo de
los objetivos de la etapa del proceso. Dichos fines comprenden:
Suspensin de partculas slidas. Mezclado de lquidos miscibles, por
ejemplo, alcohol metlico y agua. Dispersin de un gas en un lquido
en forma de pequeas burbujas. Dispersin de un segundo lquido,
inmiscible con el primero, para formar una emulsin o suspensin de
gotas diminutas. Promocin de la transformacin de calor entre el
lquido y un serpentn o encamisado. Con frecuencia un agitador cubre
varias finalidades al mismo tiempo, como ocurre en el caso de la
hidrogenacin cataltica de un lquido. En un recipiente de
hidrogenacin el hidrgeno gaseoso es dispersado en el lquido en el
que estn suspendidas las partculas slidas del catalizador,
retirando simultneamente el calor de reaccin por medio de un
serpentn o camisa de refrigeracin.Velocidad y Potencia de
AgitacinPara conseguir el mismo tipo de flujo en pequeos equipos y
equipos de escala industrial debe conseguirse una semejanza
geomtrica, cinemtica y dinmica. La semejanza geomtrica nos define
las condiciones de contorno del equipo en base a una serie de
nmeros adimensionales o factores de forma que se obtienen
dividiendo las distintas medidas lineales del equipo por el dimetro
del agitador, D, que es el parmetro que se toma como base. Para
mantener la semejanza geomtrica entre dos equipos es necesario que
los factores sean iguales. Estos factores de forma son:
Siendo:
Cuando ignoramos temporalmente los factores de forma la potencia
consumida por un agitador, P, puede expresarse en funcin de las
siguientes variables:
Siendo:
Haciendo uso del Anlisis Dimensional pueden agruparse dichas
variables en distintos mdulos adimensionales de la forma
siguiente:(1)
Esta ecuacin la podemos expresar como:
(2)
Siendo:
El mdulo de potencia puede expresarse, por lo tanto, como una
funcin de dichos nmeros adimensionales: (3)Si tenemos ahora en
cuenta los factores de forma, el mdulo de potencia se puede
expresar de la forma siguiente: (4)En este anlisis el nmero de
potencia es anlogo a un factor de friccin, el mdulo de Reynolds
puede interpretarse como la relacin entre las fuerzas de inercia y
las fuerzas viscosas y el mdulo de Froude es una relacin entre las
fuerzas de inercia y la fuerza gravitacional.
3.2. Transferencia de masa. Aeracin. Rgimen de aeracin. Rapidez
de transferencia de oxgeno. Coeficiente volumtrico de transferencia
de oxgeno.Transferencia de Masa.Las operaciones de transferencia de
masa tienen una gran importancia desde el punto de vista qumico
industrial, ya que es muy difcil encontrar un proceso qumico que no
requiera previamente la purificacin de la materia prima o un
producto intermedio, o simplemente separar el o los productos
finales del proceso de sus subproductos. Las mismas casi siempre
van acompaadas de operaciones de transferencia de calor y del
movimiento o flujo de fluidos. Las operaciones de transferencia de
masa estn presentes en la produccin de fertilizantes, la industria
azucarera, la produccin de cidos sulfrico y clorhdrico, las
refineras de petrleo, etc.Estas operaciones se caracterizan por la
transferencia, a escala molecular, de una sustancia a travs de
otra. Las leyes fundamentales que las rigen y los equipos
principales que se utilizan para las mismas sern objeto de estudio
de este mdulo.
Aireacin.El rol de los dispositivos de aireacin colocados en los
fermentadores, es de proveer a los microorganismos del oxgeno
necesario para su crecimiento. Por otra parte el fin de la agitacin
es asegurar la uniformidad de la suspensin microbiana de manera de
acelerar la rapidez de intercambio entre esta y el medio de
cultivo. La turbulencia generada por la agitacin adems, permite la
divisin de las burbujas de aire lo que aumenta la superficie de
contacto y la duracin de este, entre el oxgeno y los
microorganismos. La demanda de oxigeno de cultivos lquidos es
satisfecha inicialmente por el oxgeno disuelto en el medio
proveniente del aire atmosfrico, debido a la solubilidad
extremadamente baja del mismo en medios lquidos, (7 ppm a 37 C),
esta no puede ser satisfecha, si no se toman medidas para restituir
el oxgeno disuelto, por ejemplo en un cultivo denso y de rpido
crecimiento. El mtodo corriente es el burbujeo, pero a veces no
logra aumentar el factor crtico (concentracin de oxgeno disuelto),
porque por ejemplo, si las burbujas son de gran tamao escapan
rpidamente del seno del lquido hacia la superficie del mismo. La
solubilidad el oxgeno es baja en agua pura (7 ppm ), pero esta tasa
no es alcanzada en la industria ya que el aire no contiene ms del
20,9 % de oxgeno. La solubilidad del oxgeno es inversamente
proporcional a la temperatura y entre 5 y 30 C puede ser calculada
por la siguiente formula: La presencia de compuestos disueltos
disminuye la solubilidad del oxgeno, por este motivo es que en el
agua de mar, la cantidad de oxigeno es el 80 % del disuelto en agua
pura. Como las enzimas microbianas estn localizadas en el interior
de los microorganismos estos no pueden utilizar fcilmente el oxgeno
disuelto en el medio de cultivo, por esta causa y por la baja
solubilidad, la reserva de gas es muy baja, la cantidad disuelta en
todo momento y lugar del medio de cultivo debe ser superior a un
valor critico pre-establecido, por debajo del cual los disturbios
metablicos acarrean la muerte celular. A todo esto debe sumarse la
viscosidad del medio, densidad celular, presencia de metabolitos,
variaciones en la composicin del sustrato, presencia de micelio,
etc. Todos los factores que disminuyen la disponibilidad del oxgeno
disuelto. El mtodo corriente de suministro es la aireacin, pero a
veces no se logra aumentar la eficacia de la oxigenacin porque por
ejemplo el aire introducido escapa rpidamente del medio. La demanda
de oxigeno por ml de cultivo es igual a la demanda por clula por el
nmero de clulas por ml. La mayor demanda para un cultivo se
registra al final del crecimiento exponencial, sin embargo, la
demanda por clula es mayor en la fase de latencia debido al aumento
de tamao y permanece constante por unidad de peso durante todo el
ciclo de crecimiento. La respiracin celular y el crecimiento es
prcticamente independiente de la concentracin de oxigeno ha
condicin que esta concentracin sea mantenida por encima de un valor
critico por lo tanto no hay necesidad de trabajar con oxgeno en
exceso. Es necesario conocer la demanda mxima de oxgeno de un
microorganismo ya que condiciona su productividad. Se utiliza el
coeficiente de absorcin de oxgeno QO2 definido por la cantidad de
microlitros de oxgeno absorbidos por miligramo de clulas secas y
por hora, podemos decir entonces que si C es la concentracin, la
frmula seria: DEMANDA MXIMA = QO2 C moles / litro / hora
Velocidad de transferencia de oxgenoExisten varias teoras que
han sido propuestas para el mecanismo de transferencia de oxgeno en
el agua. Estas teoras son ampliamente utilizadas al modelar la
cintica de la transferencia de oxgeno. De manera interesante, las
formas ms sencillas han probado ser efectivas en el diseo de
aireacin, cediendo resultados cercanos a modelos ms complejos y
que, por lo general, proporcionan predicciones equivalentes de
transferencia de oxgeno. La primera ley de Fick describe la tasa de
movimiento de gas dentro de un lquido. Esta relacin describe la
tasa de transferencia de masa como directamente proporcional al
gradiente de la concentracin. Esto se expresa de la manera
siguiente
En la ecuacin anterior, dm/dt es la tasa de transferencia de
masa en gramos por segundo (g/s), Dm es el coeficiente de difusin
molecular del gas en centmetros cuadrados por segundo (cm2/s), A es
el rea a travs de la cual ocurre la transferencia (cm2), y dC/dt es
el gradiente de concentracin del gas. Uno de los modelos iniciales
para la transferencia de gas es el conocido modelo de dos pelculas,
o modelo de Lewis y Whitman. Este modelo sugiere que existen dos
pelculas laminares de gas y lquido en la interfase, movilizndose el
gas por difusin molecular a travs de la pelcula lquida y
distribuyndose por difusin turbulenta a travs del lquido. El modelo
de dos pelculas para la transferencia de oxgeno describe la tasa de
transferencia de la manera siguiente:
En esta ecuacin, dm/dt/A es la tasa de transferencia por unidad
de rea, Cs es la concentracin de saturacin de gas, Lf es el grosor
de la pelcula lquida, y C es la concentracin de gas. El modelo est
basado en una pelcula laminar estable en la interfase, requiriendo
condiciones de flujo tranquilo. Estas condiciones rara vez se
encuentran en el campo; aun as, la ecuacin planteada ha sido
ampliamente utilizada para describir efectivamente la transferencia
de oxgeno y el diseo de aireacin para muchas aplicaciones. El
modelo bsico de transferencia de oxgeno, utilizado para determinar
el tamao de los sistemas de aireacin, est basado en el modelo de
Lewis y Whitman. Las siguientes ecuaciones presentan el modelo en
formato diferencial En estas ecuaciones, C es la concentracin de
oxgeno disuelto (OD) en miligramos por litro (mg/L), Cs es la
concentracin de equilibrio de OD que se logra cuando el tiempo se
acerca al infinito, Co es la concentracin de OD en el tiempo cero,
y KLa es el coeficiente de transferencia de masa definido como la
tasa de transferencia de masa por unidad de volumen dividida entre
el gradiente diferencial de concentracin (Cs - Co), y t es el
tiempo en horas (h).Los datos recolectados a travs de experimentos
de transferencia de oxgeno pueden ser analizados a travs del modelo
de transferencia de masa, para calcular el coeficiente de
transferencia de masa, KLa y la concentracin de saturacin, Cs. El
coeficiente de transferencia de oxigeno KLa es funcin de la
naturaleza del agua (agua limpia, agua residual con materias en
suspensin o disueltas; presencia de materias tenso-activas), del
sistema de aeracin empleado y de la forma geomtrica del
reactor.Coeficiente volumtrico de transferencia de oxgeno.En el
metabolismo aerbico el O2 acta como ltimo aceptor de electrones,
siendo este proceso clave para la generacin de energa (ATP).Debido
a la baja solubilidad del O2 en agua (7 mg/l a 35C) y a que los
microorganismos son capaces de utilizar solamente el O2 disuelto,
es evidente que ste deber ser suministrado continuamente al medio
de cultivo. Para lograrlo, es necesario transferir O2 desde la fase
gaseosa (normalmente aire) a la fase lquida (medio de cultivo) de
modo permanente.En el diseo de reactores destinados a cultivos
aerbicos es de fundamental importancia tener en cuenta el aspecto
mencionado anteriormente. En la Figura 1 puede observarse un tipo
de biorreactor (tanque agitado) empleado para la produccin en gran
escala. El chorro de aire ingresa al biorreactor por debajo del
agitador y al ser golpeado por las paletas se transforma en miles
de pequeas burbujas. El primer efecto que se consigue con la
agitacin es aumentar enormemente el rea interfacial gas-lquido
facilitando la transferencia de O2 desde la fase gaseosa a la
lquida. La presencia de deflectores impide la formacin de vrtice y
hace que el sentido de circulacin del lquido sea el indicado por
las flechas en la figura. De este modo las burbujas no ascienden
directamente hacia la superficie sino que quedan temporalmente
retenidas por la circulacin del lquido. El aumento del tiempo de
retencin de las burbujas implica un aumento en la transferencia de
O2
De acuerdo a la ley de Henry, la concentracin mxima que puede
alcanzar un gas en un lquido (su solubilidad) es proporcional a la
presin parcial de dicho gas en contacto con el lquido. La expresin
que representa a esta relacin es
donde C* es la solubilidad del gas a una cierta temperatura, PO2
es la presin parcial de dicho gas y H es la constante de Henry que,
para un sistema gas/lquido dado, depende solamente de la
temperatura. Macroscpicamente, la transferencia de O2 puede
explicarse mediante la ecuacin
OTR = KLa (C*-CL)
donde OTR es la velocidad de transferencia de O2, KLa es el
coeficiente volumtrico de transferencia de O2, C* es el valor del
concentracin de O2 dado por la constante de Henry y CL es el valor
de la concentracin de O2 en el seno del lquido. La diferencia de
estos dos ltimos trminos es la fuerza impulsora de la
transferencia. El KLa es una constante de proporcionalidad que
puede tomar diferentes formas dependiendo del modelo que se utilice
para explicarla. Modelo de la pelculaEste modelo propone que a
ambos lados de la interfase entre dos fluidos (en este caso
gas-lquido) se establece una pelcula o film estanco, en el cual se
concentra toda la resistencia a la transferencia. En dicha pelcula
el movimiento del soluto (en este caso el O2) ocurre por difusin
simple, de acuerdo a la ley de Fick que establece que:
donde Ni es el flujo del componente i en la direccin x (moles de
i . rea-1. t-1), D es una constante de proporcionalidad
(coeficiente de difusin)En el caso particular del O2, la
resistencia del film gaseoso es despreciable y el flujo est
controlado por la resistencia del film lquido. Un esquema se
aprecia en la Figura 2. En este modelo un aumento en la agitacin se
visualiza como una disminucin en el espesor de la pelcula. En la
interfase gas-lquido la concentracin de O2 disuelto C* es la
correspondiente al equilibrio con la presin parcial de O2 en el
seno de la fase gaseosa, tal como establece la ley de
Henry.Supongamos que en un momento dado la concentracin de O2 en el
seno del lquido CL es menor que C* y permanece constante en el
tiempo (estado estacionario). Si en la pelcula no hay reaccin
qumica el flujo de O2 en estado estacionario ser igual en todo
punto de la pelcula (desde x = 0 hasta x = L; ver Fig. 2, <
0.1). Esto es lo mismo que decir que:
(3)y por la ecuacin 2
Si se integra la ecuacin entre x=0 y x=L se llega a la
expresin:
(6)que da la expresin de la velocidad de transferencia de O2 a
travs de la interfase gas-lquido en funcin del gradiente de
concentracin de O2 en el film.Como L es muy difcil de estimar,
suele agruparse como KL = DO/L, siendo KL el llamado coeficiente de
transferencia de materia en medio lquido, de esta forma se puede
escribir:
(7)Si se define el rea interfacial por unidad de volumen
como:
(8)donde A es el rea interfacial y V es el volumen de medio
lquido, se puede escribir:
Con lo que KLa adquiere un significado fsico segn el modelo de
la pelcula.A esta altura cabra una pregunta, como es posible
suponer que se est transfiriendo O2 de la fase gaseosa a la lquida
y la concentracin de O2 en esta (CL) permanece constante? el
sentido comn indica que CL debera aumentar hasta que finalmente
CL=C* y , por lo tanto, OTR = 0. De hecho esto es lo que sucede
llegando finalmente a un estado de equilibrio en el que se cumple
la ley de Fick para todo el seno del lquido. Para que se establezca
el estado estacionario es necesario que el O2 transferido a la fase
lquida sea simultneamente consumido, ya sea por microorganismos o
por cualquier reaccin qumica. Sin embargo hay un aspecto que merece
la mayor atencin.Supongamos que el lquido contiene una sustancia B
que reacciona con el O2 segnB + O2 BO2Las molculas de B estarn
uniformemente distribuidas en todo el seno del lquido y tambin en
la pelcula lquida, donde se encontrarn con las molculas de O2 que
difunden y reaccionan para dar BO2. Se pueden dar dos casos
extremos, que caracterizaremos mediante el parmetro , definido
como
= a) < 0,1.En este caso la velocidad de difusin es muy
superior a la de reaccin y podemos suponer que en la pelcula no hay
reaccin qumica, por lo que es vlida la ecuacin (3) y
subsiguientes.b) >> 0,1.
Aqu se da el caso inverso, y las molculas de O2 reaccionan muy
cerca de la interfase para dar BO2. Naturalmente esto provoca que
el perfil de concentracin de O2 dentro de la pelcula (y por lo
tanto el gradiente) se modifique tal como se muestra en la Figura
2. En este caso el kL estar dado por . Es evidente que existirn
infinitos valores de kL dependiendo de cun rpida sea la reaccin, y
en todos los casos se cumplir que kL > kL.
A los efectos de caracterizar el sistema, debemos ubicarnos en
el primer caso, donde para un lquido dado y condiciones de aireacin
y agitacin prefijadas existe un nico valor de kL = Fase gaseosa0 L
LC*CLPelcula lquidaSeno de la fase lquida >> 0.1 < 0.1
El valor de kLa est directamente relacionado con la eficiencia
de un biorreactor para transferir O2, ya que para una diferencia
(C* - CL) dada, la velocidad de transferencia depende del valor de
kLa. Es evidente que si deseamos saber qu tan bueno es un
biorreactor para realizar un cultivo aerbico, debemos medir qu
valor de kLa lo caracteriza.Tecnolgicamente importa determinar el
valor de KLa en su conjunto, para tal fin existen una diversidad de
mtodos. Entre ellos, el mtodo del sulfito es de uso general, el
mismo se basa en la reaccin entre el sulfito de sodio con el O2 en
medio ligeramente alcalino y en presencia de iones Cu+2 o Co+2.
Mtodo del sulfitoSe basa en que el SO3Na2 en presencia de iones
Cu2+ o Co2+, reacciona rpidamente con el O2 segn la reaccin:
SO3Na2 + O2 Cuando la concentracin de Cu2+ est en el orden de
0,5 - 2 x 10-3 M, y el pH se mantiene neutro o ligeramente
alcalino, esta reaccin es suficientemente rpida como para que en
todo momento el valor de CL sea prcticamente nulo (aunque para que
esto se cumpla se requiere adems otra condicin, que se discutir ms
adelante), pero no tan rpida como para que afecte el espesor de la
pelcula.Adems se debe cumplir que:- La velocidad de la reaccin no
dependa de la concentracin de SO3= (reaccin de orden cero). Para
ello, sta debe ser mayor que 0.015 M.- El volumen ocupado por la
pelcula lquida debe ser muy pequeo en relacin al volumen total de
la fase lquida. Esto hace que el O2, luego de difundir a travs de
la pelcula, pueda reaccionar con un gran volumen de solucin de
SO3Na2, garantizando as que CL = 0.En estas condiciones la reaccin
de oxidacin ocurrir totalmente en el seno del lquido, y la
velocidad de la reaccin (r) estar controlada por la velocidad mxima
de difusin de O2, o sea kLa . C*:r = kLa . C*donde r es la
velocidad de oxidacin del sulfito en el seno del lquido.Este mtodo,
si bien simple, presenta el inconveniente de que soluciones salinas
concentradas provocan una disminucin en la coalescencia de las
burbujas, aumentando, por tanto, el rea por unidad de volumen. De
este modo el kLa que se obtiene suele ser mayor que el que se tendr
con lquidos no coalescentes, como lo son, en general, los medios de
cultivo.Si conocemos C* podemos estimar kLa a partir de r. La
velocidad de oxidacin del sulfito puede estimarse de diversos
modos. Entre ellos se destacan: Determinacin del sulfito residual
en el reactor (por ejemplo, mediante iodometra) Determinando la
velocidad de consumo de oxgeno en la reaccin por balance en fase
gaseosa.
3.3. Transferencia de calor. Balances de calor en el reactor en
operacin.
Cuando el calor de reaccin, o bien el calor intercambiado con
los alrededores, modifica de forma significativa la temperatura de
la mezcla reaccionante, debe tenerse en cuenta en el diseo
desarrollando los correspondientes balances de energa,
adicionalmente a los de materia y el modelo cintico. En el caso ms
general, se tratar de reacciones incompletas donde el calor se
invierte ntegramente en modificar la entalpa del estado final
respecto al inicial. Para el diseo de reactores en rgimen no
isotrmico es necesario obtener las lneas de operacin a partir del
balance de energa: T(To,x,q).El balance trmico se basa normalmente
en la equivalencia del calor intercambiado y la variacin de entalpa
(en ausencia de trabajo): q=h, y su clculo en funcin de la
conversin y las temperaturas en el reactor: dh= (h/x)Tdx +(h/T)xdT;
en forma integrada esta ecuacin puede expresarse como: h = F[Xi xi
/iHr(T) + CFdT]. Tomando como base la temperatura inicial de los
reactivos [HR(To)=0] y 1 kmol de reactivo limitante, el balance
resultante es: Q= Hr= Hr(To)x + [CR(1-x)+CPx]T = Hr(T)x + CRT donde
C representa el calor especfico de la parte convertida o inalterada
(por kmol de componente limitante de la reaccin), y Q el calor
intercambiado por el reactor (por kmol de reactivo limitante) en
una operacin no adiabtica; la representacin de esta ecuacin T(x)
nos da una curva que, en general, se aproxima tanto ms a una recta
cuanto ms parecidas sean las capacidades calorficas de reactivos y
productos (en rgimen adiabtico).
En el balance de cantidad de energa trmica para un sistema
aparece el trmino de transferencia de calor que es el intercambio
de energa entre el sistema de reaccin y el fluido que circula
alrededor del mismo, con el objetivo de entregarle o quitarle
energa trmica.El calor involucrado en el intercambio puede
evaluarse de la siguiente manera:
Donde: Ta1: Temperatura de entrada del refrigerante Ta2:
Temperatura de salida del refrigerante U: Coeficiente global de
transferencia de calor A: rea de intercambio de calor T:
Temperatura de la reaccin ( fluido en el reactor)
El coeficiente global de transferencia de calor, U, puede
calcularse mediantecorrelaciones. Definido como sigue:
Donde: : Coeficiente de transferencia de calor en el lado de la
mezcla reaccionante, en unidades derespectivamente. :Superficie de
transferencia de calor en el lado de la mezcla reaccionante en : Lo
mismo que el anterior, pero en el lado medio de la transferencia de
calor. : Media logartmica de : Conductividad trmica a travs de la
pared en : Espesor de pared enEl calor intercambiado puede ser
positivo si (> T) y negativo si (< T), o cero, como en el
caso de unaoperacin adiabtica.
Si se tiene un reactor discontinuo la ecuacin del balance de
cantidad de energa trmica correspondientea una operacinadiabtica
est dado por:
Donde el trmino acumulacin expresa el cambio de energa con el
tiempo para el cambio en la composicin y en la temperatura de la
mezcla. Entonces, la expresin de cada trmino del balance est dado
por:(11)(12)Ecuacin que puede resolverse simultneamente con la
ecuacin del balance de masa.As, por ejemplo para una reaccin de
primer orden irreversible la solucin ser:
Ecuacin del balance de masa para la reaccin de primer orden
irreversible:(13)Ecuacin que dividida conel balance de energa (11)
resulta:(14)La solucin, est dada por:
Otra forma de resolucin es resolver simultneamente la ecuacin
(11) con la ecuacin del balance de masa (12) como pares de
ecuaciones diferenciales.
Bibliografa Coca, J., Mato, F. y col. (1981), Operaciones bsicas
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