Biografías Matemáticos

Biografías Matemáticos

Apolonio de Perga Arquímedes Bernoulli Cardano Cauchy Descartes Diofanto Fermat Fibonacci Galton Hamilton Hiparco de Nicea Lagrange Laplace & Bayes Leibniz Moivre Pappus de Alejandría Ptolomeo

Unidad 9. Lugares geométricos. Cónicas

En el panorama de la matemática griega destacan tres nombres: Euclides, Arquíme-des y Apolonio. A este último, que es quizá el menos conocido de ellos, se le lla-ma-ba el gran geómetra. Apolonio había nacido en Perga, ciudad de la antigua GreciaJonia situada en la que hoy es costa turca del Mediterráneo. Teniendo en cuenta laimprecisión en la que se manejan los datos cuando no existen documentos fiables,suele darse como año de nacimiento el 262 a.C., y el 190 a.C. como el de su muerte,por ello, al ser unos años más joven que Arquímedes, pudo beneficiarse de algunode los logros científicos del genio de Siracusa, con quien parece que mantuvo algúnintercambio epistolar. Desde Perga, Apolonio se trasladó a Alejandría, en cuyo Mu-seo estudió y trabajó con los sucesores de Euclides durante bastantes años; el Mu-seo, es decir, el templo de las musas, no era exactamente lo que ahora significa estapalabra, sino más bien un centro de investigación científica parecido a una universi-dad. También residió Apolonio en Éfeso, pero donde ultimó su obra más im-portan-te, el Tratado de las Cónicas, y donde permaneció viviendo hasta su muerte, fue enPérgamo, ciudad situada en el Asia Menor en la que existía una biblioteca y museocreadas a imagen y semejanza de las de Alejandría, y cuyo nombre es, por cierto, elorigen de la palabra pergamino.

En su obra sobre las cónicas, que constaba de ocho libros de los que siete han lle-gado hasta nosotros, Apolonio sistematiza y generaliza los conocimientos anterio-ressobre las secciones cónicas, al tiempo que introduce una visión de la forma en quese generan todavía hoy vigente: haciendo girar una recta en torno a una circunfe-rencia y manteniendo fijo uno de sus puntos, dicha recta genera por rotación un do-ble cono, probando después cómo, según la inclinación del plano que secciona aesta figura, aparecen la elipse, la parábola, la hipérbola o el círculo. Como sueleocurrir, lo que hoy nos resulta evidente, es decir, algo que no requiere de-mostra-ción, hace 22 siglos suponía el trabajoso hallazgo de una mente prodigiosa. Apolo-nio escribe otras obras: Sobre los lugares planos, Sobre las inclinaciones o Sobre lassecciones de razón; también es un importante astrónomo, dedicando gran parte desus estudios a los movimientos lunares. Así mismo, en un libro sobre la cuadraturadel círculo, dice haber mejorado la aproximación de Arquímedes del número π .

BIOGRAFÍA

APOLONIO DE PERGA

Unidad 9. Lugares geométricos. Cónicas

Al igual que ocurre con otras obras de la antigüedad clásica, los tratados de Apolo-nio siguen un azaroso camino hasta llegar a nuestros días. En primer lugar, el co-mentarista Pappus, del SIGLO IV d.C., se hace eco de sus libros que posteriormenteson traducidos al árabe por matemáticos como Tabit ibn Qurra en el SIGLO IX; en elXVI aparecen las primeras traducciones al latín y en el XVII el maestro de Newton,Isaac Barrow, publica parte de la obra de Apolonio en Londres. En esta tarea de di-vulgar su obra destaca la figura del astrónomo y físico inglés E. Halley (1656-1742)que aprende árabe en Oxford con el propósito de traducir, directamente de esteidioma, los siete libros de las cónicas que habían perdurado1 .

La influencia de la obra de Apolonio es perceptible en gran parte de la matemáticaposterior. Con ella aprenden geometría Descartes y Fermat entre otros muchos, ade-más de estar presente en las leyes de la dinámica planetaria de Kepler o en las de lagravitación universal de Newton.

(1) En español pueden verse amplios extractos, no solo de Apolonio sino también de los más importantespensadores griegos, en la obra en dos tomos Científicos griegos del extremeño Francisco Vera, matemático ehistoriador de la ciencia que tras la guerra civil se exilió a Buenos Aires donde publicó también una Breve his-toria de la matemática.

Unidad 1. Números reales

Se suele considerar a Arquímedes el matemático más importante de la antigüedad.Nació y vivió la mayor parte de su vida en Siracusa, ciudad siciliana que en aquellaépoca era una colonia griega. Se educó en Alejandría, situada en el norte de Egiptoy que, durante siglos, fue el centro del pensamiento griego. Una de las principalesfuentes sobre la vida de Arquímedes es el historiador Plutarco, ya que en sus Vidasparalelas, al escribir sobre el cónsul Marco Claudio Marcelo que comandaba las le-giones romanas que mantuvieron sitiada durante años la ciudad de Siracusa, hacereferencia al gran hombre que, con su invención de aparatos guerreros tales comocatapultas mortíferas o el sistema de espejos que conseguía incendiar las naves,mantuvo a raya a una fuerza muy superior en número. Cuenta también la anécdotade su muerte cuando un soldado romano entra en su casa para detenerle y él, ab-sorto en las figuras geométricas que dibujaba en la arena del suelo, le grita: “¡No to-ques mis diagramas!”, ante lo cual el soldado le atraviesa con la espada.

Sabemos también que Arquímedes (287-212 a.C.) era hijo de un astrónomo llamadoFidias y formaba parte de la nobleza de la ciudad; nunca tuvo cargo alguno y pudodedicarse plenamente a sus trabajos científicos y a sus inventos; estos últimos, segúnPlutarco, eran únicamente la diversión del geómetra*. Sin embargo, Arquímedes es-cribió varios tratados prácticos como Sobre la flotación de los cuerpos, Sobre el equi-librio de los planos, Sobre palancas y Sobre centros de gravedad.

En cuanto a los números se refiere, Arquímedes en su Medida del círculo, realiza uncálculo bastante preciso de la razón de la circunferencia al diámetro, estableciendoaproximaciones por defecto y por exceso:

3 + < π < 3 +

(*) “(Arquímedes) estaba en posesión de un espíritu tan alto, un alma tan profunda y una riqueza tal de cono-cimientos científicos que, a pesar de que estos inventos le habían proporcionado la celebridad de tener másque sabiduría humana, no dejaría tras él ningún trabajo escrito sobre tales cuestiones, sino que, considerandocomo innobles y viles los trabajos mecánicos y de todo tipo de arte que se puede usar y aprovechar directa-mente, centró su mayor ambición en aquellas especulaciones cuya belleza y sutileza no añaden nada a las ne-cesidades habituales de la vida”.

17

1071

BIOGRAFÍA

ARQUÍMEDES

Unidad 1. Números reales

Igualmente conoce el valor aproximado de otros números irracionales.

Además, ante la reticencia que despertaban las magnitudes muy pequeñas o muy

grandes, muestra series geométricas decrecientes como 1, , , , ... En el

Cálculo de los granos de arena, amplía el sistema de numeración griego con objetode poder escribir números del tipo 1016, 1032 hasta 10800 000 000. En esta obra, tambiénconocida como el Arenario, trata de demostrarle a su príncipe Gelón que puede es-cribir un número mayor que el que supondrían los granos de arena de toda la Tie-rra. Sus cálculos comienzan cifrando en una miríada –10 000– el número de granosque cabría en una semilla de amapola, después considera a esta como una esfera

cuyo diámetro sería de la anchura de un dedo, y así sucesivamente llega a la

conclusión de que el número total de granos de arena no superaría la cantidad de 1063.

1071

164

116

14

Unidad 15. Distribuciones de probabilidad

Los Bernoulli constituyen una excepcional familia de científicos cuyos logros estánpresentes a lo largo de tres siglos, del XVII al XIX, ya que, al menos ocho de susmiembros, alcanzaron gran relevancia dentro de las matemáticas y la física. Su ori-gen reside en Amberes, pero, a causa de las violentas persecuciones a que fueronsometidos los protestantes en los Países Bajos, emigraron para instalarse definitiva-mente en Suiza. De todos ellos, cabe mencionar aquí especialmente a dos, Jacques ysu sobrino Daniel, ya que fueron los que tuvieron un mayor contacto con los temasde combinatoria, estadística y probabilidad.

Jacques Bernoulli (1654-1705) nació en Basilea y es, junto con su hermano Jean, lomás relevante de la saga en cuanto a matemáticas se refiere. Su padre quiso dedicar-le a la teología, pero finalmente prevaleció su interés por la física, las matemáticas yla astronomía. Se relacionó con Leibniz y se interesó por el cálculo; tuvo también ungran interés por el estudio de las curvas y en la descripción de una de ellas, la quehoy se conoce como “lemniscata de Bernoulli”, utilizó por primera vez en un textouna ecuación en coordenadas polares (r2 = a · cos 2θ). También escribió un Métodopara enseñar matemáticas a los ciegos.

Hasta trece años después de su muerte no se publicó una obra dedicada al cálculode probabilidades, Ars conjectandi (Arte de la conjetura). Dividida en cuatro partes,la primera reproduce los trabajos en este campo del astrónomo y físico holandésCristian Huygens y en las restantes trata sobre el análisis combinatorio, juegos deazar, series, etc. Pero, además, en la cuarta parte incluye el célebre teorema sobre larepetición de un gran número de ensayos semejantes, conocido como ley de losgrandes números*, que posteriormente sería expuesto de forma más rigurosa por La-place.

BIOGRAFÍA

BERNOULLI

( * ) Si p es la probabilidad de un cierto suceso y m es la frecuencia absoluta del mismo en n pruebas; si ε > 0

es un número suficientemente pequeño y P es la probabilidad de que se verifique la desigualdad| – p|< ε,entonces lím P = 1.

n → ∞

mn


Daniel Bernoulli (1700-1782) es más conocido como físico debido a sus trabajosen hidrodinámica, pero sus estudios de las funciones trigonométricas y de las ecua-ciones diferenciales hacen también importante su contribución a las matemáticas.En cuanto al tema de la probabilidad, encaminó sus investigaciones hacia aspectosprácticos como los negocios o la medicina. Su formación se llevó a cabo en el senofamiliar, con su padre Jean y su hermano Nicolaus, ambos, por cierto, serían tam-bién decisivos en la educación matemática de Leonhard Euler. A los veinticincoaños, Daniel se trasladó a San Petersburgo, junto con su hermano, para ejercer am-bos como profesores en la Academia de Ciencias. De esa época procede el proble-ma sobre la esperanza matemática de dos jugadores en el lanzamiento de una mo-neda, conocido con el nombre de “paradoja de San Petersburgo”. En este campotambién escribió varias memorias sobre la aplicación de las probabilidades en temastan variados como las inclinaciones de las órbitas planetarias o las ventajas de la va-cunación contra la viruela.

Unidad 3. Álgebra

Durante el Renacimiento, y especialmente durante la primera mitad del siglo XVI, seproduce en Italia un impulso del Álgebra en el que participan un grupo heterogéneode científicos. El primero de ellos, Luca Pacioli, un fraile amigo de Leonardo da Vin-ci, es el autor de la Summa, compendio de los conocimientos aritméticos de la épo-ca. Le siguen Scipione del Ferro, a quien se atribuye ser el primero que resuelve laecuación x3 + px = q, Jerónimo Cardano, quizás el más conocido, Niccolo Fontana–también llamado Tartaglia–, Ludovico Ferrari o Rafael Bombelli. Algunos, curiosospersonajes cercanosa la picaresca, participaron en la resolución de las ecuaciones detercer grado y se disputaron, a veces con la espada, la paternidad de los éxitos alge-braicos.

Jerónimo Cardano (1501-1576) nació en Pavía, estudió en Padua y fue profesor enMilán y Bolonia. Además de matemático, ejercía también otros oficios: se hizo céle-bre en toda Europa como médico y permaneció un año en Escocia con el encargode curarle el asma a un arzobispo. Practicaba también la astrología, a pesar de quealgunas de sus predicciones fueron calificadas de heréticas y, en consecuencia, fueexpulsado de la universidad. Dado que era un jugador empedernido y la baraja lesirviera a veces como medio de subsistencia, escribió un pequeño tratado sobre jue-gos de azar, por lo que algunos le consideran un precursor del cálculo de probabili-dades. En la Ars Magna, obra publicada en 1545, que constituye un hito para todoslos algebristas de la época, se atribuye a sí mismo, junto con una serie de hallazgospropios, una solución del problema de la ecuación cúbica que, en realidad, le habíasonsacado a Tartaglia con la firme promesa “ante los Santos Evangelios” de no reve-larla jamás. Este hecho da lugar a una serie de libelos con acusaciones mutuas e in-cluso a un duelo entre Ferrari, discípulo de Cardano, y Tartaglia. Por otra parte, Car-dano fue un autor prolífico que no eludió escribir también sobre su turbulenta vida:“He escrito más de lo que he leído, he enseñado a los otros más de lo que me hanenseñado” . Entre las varias leyendas que le rodean, una de ellas se refiere a la pe-culiar forma que tuvo de hacer entrar en razón a uno de sus indisciplinados hijos: lecortó las orejas. Curiosamente, a pesar de haber sido considerado un hereje, al finalde su vida el Papa le concedió una pensión y se trasladó a vivir a Roma, donde fa-lleció.

BIOGRAFÍA

CARDANO

Unidad 3. Álgebra

Aun considerando ciertas las acusaciones de plagio que se le han hecho a Cardano,bien podría decirse que su genio mejoraba los originales. Fue el primero en concluirque toda ecuación de tercer grado tiene tres raíces y, si bien le desconcertaba laaparición de números negativos o imaginarios, a los que él llamaba números ficti-cios, no por ello dejaba de utilizarlos*, lo cual supuso un impulso para el estudio dedichos números. Las siguientes generaciones de matemáticos no pudieron ya pasar-los por alto y fueron avanzando hacia su “normalización”.

(*) Por ejemplo, descompone 40 como el producto de los factores complejos conjugados 5 ± , utilizan-do un simbolismo en el que la R es la raíz cuadrada, p es más y m es menos:

5p:Rm:15 5m:Rm:15 25m:m:15 qd. est 40

Asimismo, para expresar escribe R.V.7.p:R14, donde la V indica que todo lo que sigue está

bajo el signo radical.

√√7 + √

14

√–15

Unidad 12. Iniciación al cálculo de derivadas. Aplicaciones

Cauchy (1789-1857) nació en París en el seno de una familia acomodada. Su padre,importante personaje del Senado, quiso que tuviera una buena formación humanísti-ca, por lo que cursó estudios de composición literaria, griego y latín. Después, a par-tir de los quince años, y por recomendación de dos de los grandes matemáticos de laépoca, Laplace y Lagrange, se matriculó en la Escuela Politécnica y se diplomó comoingeniero de caminos. Cauchy era un hombre profundamente religioso: considerabaque la labor principal de un científico era la búsqueda de lo absoluto, de la verdad.Además, en política, era un monárquico conservador que hacía gala de una firme ad-hesión a los Borbones. Todo ello le supuso algunos quebrantos y, durante años, vi-vió un exilio voluntario, primero en Suiza y después en Turín y Praga. Más tarde, yade vuelta en París, recibió los honores de Napoleón III y, nombrado profesor de As-tronomía en la Sorbona, permaneció dedicado a la docencia hasta su muerte.

En 1823, Cauchy publicó sus Lecciones sobre el cálculo infinitesimal, donde unasapropiadas definiciones de función, continuidad y, sobre todo, de límite1 le permi-ten asentar el análisis sobre unas bases más aritméticas que geométricas y más fir-mes que las de sus antecesores. Un infinitésimo, lo que hasta entonces se considera-ba un número constante infinitamente pequeño, pasa a verse como una variable2 .En cuanto a su conocida definición de continuidad en un punto, permanece hoy,con pequeñas variaciones, tal y como él la concibió. Por otra parte, la integración,en lugar de tratarla como la operación inversa de la diferenciación, la plantea comolímite de una cierta suma, lo que supone un giro respecto al trabajo en este campodurante el siglo XVII, a la par que una vuelta a posiciones anteriores al mismo. Porúltimo, es fundamental la aportación de Cauchy a la teoría de funciones de variablecompleja, donde culmina el trabajo de sus predecesores en este campo, Euler.

BIOGRAFÍA

AUGUSTIN-LOUIS CAUCHY

(1) “Cuando los valores sucesivamente atribuidos a una misma variable, se aproximan indefinidamente a unvalor fijo, de manera que llegan a diferir tan poco como se quiera de él, este último se llama el límite de todoslos demás”.

(2) “Cuando los valores numéricos sucesivos de una misma variable decrecen indefinidamente de manera quedisminuyen por debajo de todo número dado, esta variable resulta ser lo que se llama infinitamente pequeñao una cantidad infinitamente pequeña. Una variable de esta especie tiene cero como límite”.


Además de los temas citados, los trabajos de Cauchy abarcan también los determi-nantes, los números complejos, la teoría de números y otras cuestiones. Su inmensaobra, editada en Francia, ocupa veintisiete volúmenes, sin contar los libros dedica-dos a la enseñanza y los múltiples artículos. Probablemente, solo Euler le supera eneste aspecto. A diferencia de otros matemáticos que no tenían demasiada preocupa-ción por los aspectos pedagógicos de su obra, y tampoco publicaban todo lo queescondían sus cajones, Cauchy era un asiduo de las revistas científicas de la época yen sus exposiciones estaba siempre presente un afán didáctico. También impartióconferencias en algunas ciudades europeas, entre ellas, alguna española. A menudose le compara con Gauss, al ser los dos grandes matemáticos de la primera mitaddel siglo XIX, si bien podría decirse, usando el lenguaje actual, que aún sin tener laprimacía, Cauchy supo vender mejor su producto que Gauss.

Unidad 8. Geometría analítica

René Descartes (1596-1650) es, al igual que Leibnitz, tan conocido por sus trabajosen Filosofía como en Matemáticas. En 1637 publica el Discurso del método para di-rigir bien la razón y buscar la verdad en las ciencias, como introducción a tres trata-dos científicos, uno de los cuales, la Geometría, es la única obra que dedica a lasmatemáticas. En ella introduce como unidad un segmento arbitrario a imagen de loque en Aritmética supone el número uno, asignando a cada punto del plano dos nú-meros que expresan su distancia a dos líneas rectas no necesariamente perpendicu-lares entre sí. En realidad, en su Geometría*, no aparecen explícitamente los térmi-nos coordenadas o ejes, pero sí las ideas que les dan origen (Descartes empleaúnicamente una recta horizontal como eje X y, además, no utiliza las abscisas negati-vas). Por otra parte, indica los datos a través de letras, siguiendo métodos algebrai-cos, y expresa las relaciones entre las letras, es decir ecuaciones. Un siglo despuésVoltaire se referirá a Descartes como el inventor del método que permite asignarecuaciones algebraicas a las curvas.

Según Rey Pastor, Descartes aspira a una ciencia única en la que las matemáticasconstituirían únicamente la envoltura, y manifiesta a veces un cierto cansancio delos aspectos formales. Para él la Geometría está siempre tan ligada a consideracio-nes sobre las figuras que no pueden ejercer el intelecto sin cansar mucho la imagina-ción, y en el álgebra se está tan sujeto a ciertas reglas y ciertas letras que en lugar deuna ciencia que eduque a la mente se convierte en un arte oscuro y confuso que laturba. A pesar de este aparente menosprecio, las aficiones geométricas de Descartesson tempranas; así, en su juventud, descubre la fórmula c + v = a + 2, que relacionael número de caras, vértices y aristas de un poliedro convexo. También resuelve al-gunos problemas planteados doce siglos antes por Pappus, el matemático de Ale-jandría. Ya en su madurez, polemiza con su contemporáneo Fermat sobre la formade determinar la tangente a una curva.

BIOGRAFÍA

DESCARTES

(*) Descartes ironiza al final de su tratado con la siguiente frase: “Mi objeto no es escribir un libro abultado; tra-ta más bien de muchas cosas en pocas palabras (...). Espero que la posteridad me juzgue con benevolencia, nosolo por las cosas que he explicado, sino también por aquellas que he omitido intencionadamente, para dejara los demás el placer de descubrirlas”.

Unidad 8. Geometría analítica

Descartes se educó con los jesuitas, quienes le inculcaron la curiosa costumbre dequedarse estudiando en la cama buena parte de la mañana, costumbre que al pare-cer mantuvo durante mucho tiempo. Bertrand Rusell, hablando de su capacidad pa-ra permanecer horas y horas absorto en sus disquisiciones filosóficas, escribe: “Só-crates podía meditar días enteros entre la nieve, pero la mente de Descartes solotrabajaba cuando él estaba caliente”. Abandona definitivamente Francia en 1628 pa-ra instalarse en Holanda bajo la protección del príncipe de Orange, época conside-rada como la más fructífera, ya que se dedicó por entero a la ciencia y a la filosofía.Veinte años después viajó a Suecia invitado por la reina Cristina, que tenía verdade-ra obsesión por acumular nuevos conocimientos, y obligaba diariamente a Descar-tes a darle clases de madrugada. Ello, unido al clima frío de Estocolmo, hizo quecontrajera una neumonía y falleciera a los cuatro meses de su llegada.

Unidad 3. Álgebra

Diofanto es el primer matemático griego que plantea los problemas aritméticos enun campo totalmente abstracto, rompiendo de esa forma la costumbre bastantearraigada de escribir los enunciados aludiendo a historias mitológicas o cálculos deagrimensor. Sus ecuaciones no tratan de resolver cuestiones geométricas, sino queconstituyen un fin en sí mismas. Las matemáticas comienzan a interesarse por lasoperaciones que pueden realizarse con cualquier número, y esta idea de cualquiernúmero desconocido o incógnita permite dar el salto desde la Aritmética al Álgebra.En este contexto, Diofanto introduce símbolos para designar incógnitas y operacio-nes, y utiliza algunas abreviaturas. Todo ello supone el comienzo de una nueva eta-pa del Álgebra que suele denominarse Sincopada o Intermedia. La anterior expresa-ba todas las cuestiones con palabras del lenguaje ordinario: Álgebra retórica. Y, ya apartir del siglo XVI, se introduce un simbolismo completo y un lenguaje formal conun grado mayor de abstracción: Álgebra simbólica.

Sobre la vida de Diofanto se conoce muy poco: vivió en Alejandría y cronológica-mente se le sitúa en la segunda mitad del siglo II d.C. Gracias al conocido epitafio1

incluido en una Antología griega del siglo V, se sabe que murió a los 84 años. En di-cha antología y bajo la forma de epigramas, se recogen problemas muy variados, lamayoría de ellos resolubles mediante una ecuación de primer grado.

BIOGRAFÍA

DIOFANTO

(1) “Esta es la tumba que guarda las cenizas de Diofanto. Es verdaderamente maravillosa porque, gracias a unartificio aritmético, descubre toda su existencia. Dios le permitió ser niño durante la sexta parte de su vida; lue-go de una doceava sus mejillas se cubrieron de barba; después de una séptima se encendió la llama del matri-monio, del que, a los cinco años, tuvo un hijo; pero este niño, desgraciado aunque amado apasionadamente,murió apenas llegado a la mitad de la vida alcanzada por su padre, el cual vivió cuatro años más mitigando sudolor con investigaciones sobre la ciencia de los números”.

Unidad 3. Álgebra

La principal obra de Diofanto es la Aritmética2 , que inicialmente constaba de 13 to-mos, y de los que solo se conocen los 6 primeros; en el siglo XV fueron recupera-dos por Johann Müller, también llamado Regiomontano. En esta obra no aparecenteore-mas propiamente dichos, sino que incluye 189 problemas con sus soluciones;la mayoría de ellos son ecuaciones de primer y segundo grado, desechando aque-llas que presentan soluciones negativas o imaginarias. En sus planteamientos apare-cen también potencias de exponente mayor que tres, lo que resulta una novedad,ya que la matemática griega, al tener siempre como referente del problema su signi-ficado geométrico, no podía concebir productos de más de tres factores. Sin embar-go, en un sentido netamente aritmético, dicha restricción desaparece. Diofanto re-suelve correctamente en su Aritmética problemas con ecuaciones indeterminadas,de ahí que se suela llamar análisis diofántico a esta rama. Su obra ejerció gran in-fluencia en el matemático francés Fermat, y su famoso teorema surge al intentar ge-neralizar una proposición que leyó en el tomo II de la Aritmética: “dividir un cua-drado dado en dos cuadrados”.

(2) Diofanto escribe en el preámbulo de su Aritmética: “Como sé, muy honorable Dionisio, que quieresaprender a resolver problemas numéricos, he emprendido la tarea de exponer la naturaleza y el poder de losnúmeros, empezando por las bases que sustentan estas cuestiones. Es posible que parezcan más difíciles de loque son por ser desconocidas aún y que los principiantes duden de conseguir alcanzarlas, pero las compren-derás fácilmente gracias a tu actividad y a mis demostraciones, pues que el deseo unido a la enseñanza con-duce rápidamente al conocimiento”.

Unidad 10. Las funciones elementales

A menudo resulta más conocido el problema de Fermat* que la propia figura del ma-temático francés, lo que no deja de ser un signo de cómo en ocasiones una obraeclipsa al propio autor y oculta en parte el resto de sus hallazgos. Pierre de Fermat(1601-1665) nació cerca de Toulouse y vivió toda su vida en el sur de Francia, lejos,por tanto, de los grandes centros europeos del saber. En realidad, su verdadera pro-fesión era la de jurista y la amplia participación que tuvo en las matemáticas de sutiempo se produjo a través de las cartas que se cruzaba con otros estudiosos. De he-cho, prácticamente ninguno de sus trabajos fue conocido hasta mucho después desu muerte. No era una persona vanidosa, y las matemáticas eran para él un entrete-nimiento, de manera que sus resultados más bellos a menudo aparecen en los már-genes o como apéndices de tratados escritos por otros.

Sus trabajos inciden en temas tan variados como la teoría de números, el cálculo deprobabilidades y la geometría analítica. En cuanto a las funciones y al cálculo dife-rencial e integral que nos ocupan en estos capítulos, Fermat desarrolló una regla pa-ra la determinación de los puntos extremos de las funciones algebraicas. Traducidoal lenguaje de hoy se formularía así: Si f(a) es un valor máximo o mínimo de la fun-ción f(x), entonces f'(a) = 0. Por otra parte, paralelamente a su compatriota y con-temporáneo Descartes, estudió la determinación de la tangente a una curva sentan-do el principio de que es posible “sustituir las coordenadas de las curvas por las delas tangentes”, y “los arcos de las curvas, por las longitudes correspondientes de lastangentes halladas”.

BIOGRAFÍA

PIERRE DE FERMAT

(*) Para n > 2 no existen x, y, z, números enteros positivos que verifiquen la igualdad: xn + yn = zn. Lo que di-cho con las palabras del propio Fermat: “ ... es imposible que un cubo sea suma de otros dos cubos, una cuar-ta potencia suma de dos cuartas potencias o, en general, que ningún número que sea potencia mayor que lasegunda pueda ser suma de dos potencias semejantes. He descubierto una demostración verdaderamente ma-ravillosa de esta proposición que este margen es demasiado estrecho para contener”. En realidad, desconoce-mos si Fermat llegó a demostrar su teorema. Recientemente, un matemático inglés, Andrew Wiles, publicó en1995 una demostración rigurosa que ha recibido las bendiciones de la comunidad científica.

Unidad 10. Las funciones elementales

Si en los temas de cálculo diferencial e integral los trabajos de Fermat son una partedel edificio que culminaría con Newton y Leibniz, él mismo era un continuador delos matemáticos de épocas anteriores. En este sentido es perceptible una gran in-fluencia de los matemáticos de la escuela de Alejandría, Diofanto y Pappus, quepro-tagonizaron lo que se ha dado en llamar la Edad de Plata de la matemática grie-ga durante los años que van del 250 al 350 d.C. Son célebres las observaciones que,so-bre la obra de Diofanto, iba escribiendo en los márgenes de un tomo que conte-nía una traducción de los problemas del griego.

En definitiva, la contribución de Fermat está presente en muy distintos campos delas matemáticas, si bien, en opinión de algún historiador, estaba absorbido por suspreocupaciones y era prisionero de su genio, lo que le hacía correr de descubri-miento en descubrimiento y, a pesar de ser partidario de una demostración rigurosa,a menudo ni siquiera tenía tiempo de exponerla, por lo que daba generalmente elresultado sin más desarrollo. Quizá sea esa la explicación de que su famoso proble-ma no haya tenido demostración durante 350 años.

Unidad 2. Sucesiones

En el siglo XIII se produjo un despertar cultural y científico de gran relevancia. Enmatemáticas, buena parte de este avance se debió a la obra de un matemático ymercader italiano llamado Leonardo de Pisa (117-1250), más conocido como Fibo-nacci (“hijo de Bonaccio”).

Su padre, Guglielmo Bonaccio, era agente de comercio en un puerto del norte deÁfrica y Leonardo, aunque nacido en Pisa, fue educado inicialmente por maestrosárabes que le pusieron al corriente de los muchos conocimientos matemáticos queposeían, heredados de los griegos a través de los matemáticos indios.

Durante su juventud residió en Argelia y recorrió zonas de influencia árabe. Así, se pu-so en contacto con estas culturas y conoció las ventajas de sus métodos de numeración.

Esto le llevó a publicar, en 1202, su obra más conocida, el Liber Abaci (Libro delÁbaco), que poco tiene que ver, en realidad, con el ábaco y que constituye, funda-mentalmente, una colección de problemas aritméticos y algebraicos, junto con unaapasionada defensa de la superioridad de los métodos de numeración de los árabes(notación posicional con las nueve cifras 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 más el 0, el céfiro delos árabes, de donde provienes nuestas palabras cero y también cifra).

En 1228 publicó una segunda edición, ampliada y reelaborada, del Liber Abaci, aun-que en su época no fue muy apreciada (la mayor parte era muy avanzada para serentendida por sus contemporáneos). La obra no apareción hasta el siglo XIX. El pro-blema más famosos que aparece en el Liber Abaci es el siguiente:

En una granja hay, al principio del año, una pareja de conejos que acaban de na-cer. Al cabo de dos meses, esta pareja está preparada para reproducirse. Produce ca-da mes una pareja de conejos que, al cabo de dos meses, está a su vez preparada pa-ra empezar a reproducirse, dando otra pareja cada mes. ¿Cuál es el número deparejas de conejos en la granja el día quince de cada mes del año?

Este problema da lugar a la llamada “sucesión de Fibonacci”: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,21, 34..., donde cada término de la sucesión es suma de los anteriores; es decir,

BIOGRAFÍA

LEONARDO DE PISA (FIBONACCI)

Unidad 2. Sucesiones

an

= an – 1

+ an – 2

, para n ≥ 3. La sucesión de de Fibonacci tiene propiedades ma-temáticas muy curiosas e interesantes (por ejemplo, dos términos consecutivoscualesquiera son primos entre sí; y, si consideramos los cocientes a

n – 1/ a

n pa-

ra valores cada vez más grandes de n, obtenemos números cada vez más pró-

ximos al número de oro, φ = . Por otra parte, aparece de modo natural en

las situaciones más diversas (crecimiento de seres vivos...).

Aunque Fibonacci fue principalmente un algebrista, utilizaba el álgebra también pa-ra resolver problemas geométricos y escribió obras como Practica geometriáe, en laque incluía, entre otras cosas, una demostración de que las medianas de un triángu-lo se cortan unas a otras en segmentos que están en la razón 2 : 1.

Leonardo de Pisa, Fibonacci, fue sin duda el mejor y más original matemático del si-glo XIII.

√5 + 12

Unidad 13. Distribuciones bidimensionales

Sir Francis Galton (1822-1911) fue el creador de la escuela biométrica inglesa, cuyoprograma consistía en la introducción de métodos estadísticos para el estudio de labiología, labor en la que también participó un brillante matemático, Karl Pearson,que popularizó el término “chi-cuadrado” y que es, además, el autor de una extensabiografía de Galton. Este último desarrolló el concepto de regresión, en el contextode sus investigaciones sobre la herencia, al plantearse de qué manera determinadosrasgos de los padres pueden influir en la reproducción, por parte de los hijos, de losmismos rasgos, y al buscar las relaciones entre los distintas variables que intervie-nen, intentando expresarlas mediante un coeficiente numérico*.

Se considera a Galton un pionero del siglo XIX dentro de la, entonces relativamentereciente, teoría estadística, y muchas de sus intuiciones en este campo fueron desa-rrolladas posteriormente y con un mayor rigor por Pearson y otros. Tenía un amplioabanico de intereses que le llevó, con veintitrés años, a visitar países como Egipto,Sudán y Siria, o a emprender exploraciones en territorios ignotos de África del Sur,llevando a cabo investigaciones geográficas y astronómicas. El profesor James R.Newman escribe que Galton “no era un matemático, pero poseía una actitud mate-mática. Solía estar obsesionado por la idea de contar y medir. En su laboratorio me-día cabezas, narices, brazos, piernas, color de ojos y pelo, capacidad respiratoria(...). Hizo un mapa de la belleza de las islas Británicas, clasificando a las chicas queveía pasar en las diferentes localidades como atractivas, indiferentes o repelentes,anotando sus observaciones usando un método que consistía en ir haciendo estraté-gicos agujeros en un trozo de papel que llevaba escondido en el bolsillo”.

Galton, autor de libros como Genio hereditario, Investigaciones en torno a las facul-tades humanas o Herencia natural, había nacido en Birmingham –el mismo añoque el botánico austriaco Mendel–, su padre era banquero y en su familia había tam-bién otro sabio eminente, Charles Darwin. El autor de El Origen de las especies eraprimo suyo, y esta obra, publicada en 1859, ejerció una gran influencia en Galton,quien cree, sobre todo, en el progreso evolutivo de la especie humana aplicandopara su perfeccionamiento las leyes biológicas de la herencia o, dicho con sus pala-bras, “el fin del esfuerzo humano no es el cielo, sino el superhombre”.

BIOGRAFÍA

FRANCIS GALTON

Unidad 6. Números complejos

El estudio de los números imaginarios, como empezaron a denominarse, seguía ins-pirando a lo largo de los siglos XVII y XVIII una gran desconfianza: se les considerabaalgo enigmático y causaban la misma reticencia que la que anteriormente habíanproducido los números negativos. Pero teniendo en cuenta que el gran motor quehace avanzar las matemáticas es la resolución de problemas, se iba llegando a laconvicción de que si los números imaginarios permitían resolver las ecuaciones desegundo y tercer grado, permitirían resolver también ecuaciones de cualquier grado.En este camino que inicia Cardano y sigue entre otros De Moivre, son fundamenta-les las aportaciones de Euler y Gauss. Este último considera las partes real e imagi-naria de un número complejo como las dos coordenadas de un punto en el plano alque se asociaría dicho número complejo y, a través de esta “visión”, se van elimi-nando todas las cautelas y generalizando su uso.

Al irlandés Hamilton se le debe un paso importante dentro del campo complejo.Trabajando con vectores descubre lo útil que resulta establecer correspondenciasentre las operaciones con complejos y las transformaciones geométricas. La dificul-tad que se le plantea es que en la Física se manejan magnitudes en el espacio –fuer-zas, velocidades, etc.– y, por tanto, necesita encontrar algo semejante a los númeroscomplejos, pero en tres dimensiones. Hamilton introduce un tipo de números, loscuaterniones, de la forma a + bi + cj + dk, donde a, b, c y d son números reales e i,j, k representan los vectores unitarios asociados a los ejes de coordenadas. Sumar-losno le ofrecía ninguna dificultad, pero para poder multiplicarlos tuvo que olvidar-sede las leyes tradicionales de la conmutatividad del producto al considerar ij = –ji, loque suponía una revolución dentro del campo del álgebra*. Además de sus investi-gaciones con los complejos y de ser, en cierta forma, precursor del concepto de ma-triz que más tarde desarrollaría el matemático inglés Cayley, Hamilton es también unfísico eminente y son conocidos sus trabajos en dinámica y óptica.

BIOGRAFÍA

HAMILTON

(*) Hamilton tardó 10 años en encontrar la solución a este problema; al principio trabajaba con ternas de la for-ma a + bi + cj, hasta que un día de 1843, tras mucho discurrir y mientras paseaba con su esposa por un puen-te de Dublín, se le ocurrió la feliz idea de transformarlos en cuádruplas y de cómo efectuar el producto. Esta-bleció entonces las igualdades, i2 = j2 = k2 = ijk = 1, ij = k, ji = k, y así suce-sivamente.

Unidad 6. Números complejos

William Rowan Hamilton nació en 1805 en Dublín. Se educó en el Trinity College,del que más tarde, a los 21 años, fue nombrado profesor de Astronomía, cargo quedesempeñó hasta su muerte en 1865. Ya en su infancia se le consideraba un talentoprecoz que dominaba gran número de lenguas como el latín, el griego, el árabe, elsánscrito o el hebreo, y siempre mantuvo un gran interés por la filosofía y por la li-teratura, materias de las que solía conversar con sus amigos Wordsworth y Colerid-ge, dos de los grandes poetas románticos ingleses.

Unidad 4. Resolución de triángulos

Hiparco de Nicea (180-125 a.C.), llamado así por haber nacido en esta antigua ciu-dad de Bitinia, región situada al NO del Asia Menor, llamada hoy Iznik. La mayorparte de sus escritos se perdieron, por lo que su vida y obra se reconstruyen a travésde los documentos de comentaristas posteriores, sobre todo de Ptolomeo. En la his-toria de las matemáticas suele aparecer como el fundador de la Trigonometría grie-ga. Por otra parte, sus trabajos en Astronomía son fundamentales, no solo por sus re-sultados, sino también por los instrumentos que introduce y por sus renovadastécnicas de observación. En este campo, Hiparco siguió la estela de los astrónomosque le precedieron: Eudoxo de Cnido (408-355 a.C.), contemporáneo de Platón, au-tor de una hipótesis sobre esferas concéntricas que pretendía explicar los movimien-tos aparentes del Sol, la Luna y los cinco planetas conocidos hasta entonces; Aristar-co de Samos (310-230 a.C.), que se adelantó 17 siglos a Copérnico al afirmar que laTierra y los planetas giraban alrededor del Sol; el gran geómetra Apolonio de Perga1

(262-190 a.C.), que realiza un estudio definitivo de las cónicas; y, por último, Eratós-tenes (276-194 a.C.), al que se deben los primeros cálculos rigurosos para determi-nar las dimensiones de la Tierra.

Una de las obras de Hiparco es la construcción de una tabla de cuerdas, considera-da un precedente de la tabla de los senos. En ella se calculan, para una serie de án-gulos, los valores correspondientes de los arcos y sus cuerdas. Al mismo tiempo co-mienza a utilizar la división del círculo en 360º. También se le atribuye el método delocalización de posiciones geográficas a través de latitudes y longitudes.

BIOGRAFÍA

HIPARCO

(1) Varios de los matemáticos griegos de la escuela de Alejandría eran conocidos también con el nombre de unaletra, Apolonio es Épsilon y Eratóstenes es Beta. Sin embargo, en contra de lo que a menudo se piensa, este so-brenombre no obedece necesariamente a una clasificación deportiva. En la astronomía de Apolonio estaba muypresente la Luna y el símbolo que se utilizaba para designar a nuestro satélite era ε . Por otra parte, Eratóstenesera conocido como βητα lo que, al parecer, se debía a que era considerado el segundo en varias ramas del sa-ber, quedando reservado el primer lugar a algún especialista de cada materia, aunque menos erudito.

Unidad 4. Resolución de triángulos

Hiparco realizó observaciones astronómicas en la isla de Rodas y en Alejandría a lolargo de 35 años. Para ello perfeccionó un primitivo instrumento geodésico, llamadola dioptra, e inventó el astrolabio2 . La aparición de una estrella nova (134 a.C.) lelleva a revisar el mapa estelar, y redacta el primer catálogo de estrellas conocidoque contiene un total de 1026 cuerpos celestes. También lleva a cabo medicionessobre la irregularidad de los movimientos lunares, determina la inclinación de laeclíptica y descubre el fenómeno conocido como precesión de los equinoccios. Hi-parco efec-túa cálculos muy precisos sobre la duración del año, llegando a distin-guir entre dos magnitudes muy próximas entre sí: el año solar medio o trópico–tiempo compren-dido entre dos pasos del Sol por el mismo punto equinoccial– yel año sidéreo –tiempo comprendido entre dos pasos consecutivos del Sol ante lamisma estrella–. Para apreciar la aproximación que alcanzó esta medición hay quetener en cuenta que la diferencia entre ambos se cifra hoy en día en 20'.

(2) El astrolabio es un instrumento que permite medir la posición de los cuerpos celestes. Consiste en un cír-culo dividido en grados, con un brazo móvil enclavado en el centro. Al dirigir el punto cero del círculo al ho-rizonte y observar el brazo, puede medirse la altura o acimut de cualquier astro.

Unidad 11. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas

Lagrange (1736-1813) está considerado como uno de los grandes matemáticos del si-glo XVIII, junto con su amigo y protector Leonhard Euler. Por otra parte, es uno delos miembros de la brillante generación de matemáticos franceses, como D’Alem-bert, Monge, Laplace o Legendre, que ejercieron su labor en la época convulsa de laRevolución. Sin embargo, Lagrange había nacido en Turín, donde cursó sus prime-ros estudios, y fue profesor en la Escuela de Artillería. En esa ciudad publicó sus pri-meros trabajos y fundó la Academia de Ciencias. En 1766, y por recomendación deEuler, ocupó el cargo que este había abandonado en la Academia de Berlín paratrasladarse a San Petersburgo. La invitación formal para este puesto se la había for-mulado el rey de Prusia, Federico II, en estos términos: “El más grande rey de Euro-pa debía tener en su corte al más grande matemático”. Allí estuvo hasta 1787, año enque acepta la invitación de Luis XVI para entrar en la Academia de Ciencias de París,ciudad en la que permaneció hasta su muerte.

Estas tres etapas de su vida son también apreciables en su obra. En Turín inició unarelación epistolar con Euler, a quien le expuso su versión del cálculo de variaciones,y trabajó con funciones de varias variables y ecuaciones con derivadas parciales.Después, en Berlín, se editaron sus Reflexiones sobre la resolución algebraica de lasecuaciones. Sus estudios en este campo* son la base de los trabajos posteriores dedos matemáticos pertenecientes a la generación siguiente a la de Lagrange, Abel yGalois –ambos, curiosamente, dos genios de vida breve, veintisiete y veintiún años,respectivamente–. También se interesa por la descomposición de los números, resol-viendo un enunciado de Fermat: “Todo entero positivo es la suma de, como mucho,cuatro cuadrados perfectos”.

BIOGRAFÍA

JOSEPH-LOUIS LAGRANGE

(*) Su resolución de ecuaciones utiliza las soluciones de ecuaciones auxiliares para obtener después las de

la ecuación original. Por ejemplo, para resolver x3 + mx + n = 0, parte del cambio x = y – para lle-

gar a y6 + ny3 – = 0. Posteriormente, haciendo s = y3 , llega a s2 + ns – = 0m3

27m3

27

m3y( )

Unidad 11. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas

Por último, en París publicó diversos tratados o lecciones sobre funciones analíticas,en los que expuso los principios del cálculo infinitesimal. Alguno de ellos tuvo grandifusión como manual para estudiantes, incluso en Norteamérica. Pero quizá la obramás conocida de esta etapa es la Mecánica analítica que, como su nombre indica,supone el predominio del análisis, como manifiesta el propio autor en el prólogo:“No se encontrarán figuras en esta obra, solo operaciones algebraicas”.

La obra de Lagrange se caracteriza por su variedad e importancia: sus tratados sonnotables por la claridad en la exposición y por su elegancia, cualidades que nosiempre son frecuentes en el mundo científico. En cuanto a los símbolos, de él pro-viene la notación mediante ápices f '(x), f ''(x), f'''(x), así como el uso de la palabraderivada.

.

Unidad 14. Cálculo de probalidades

El matemático francés PIERRE SIMON DE LAPLACE1 (1749–1827) contribuye engran medida a sistematizar el cálculo de probabilidades. En 1812 publicó su Teoríaanalítica de las probabilidades en la cual resumía los trabajos que, sobre este tema,había efectuado hasta entonces. En este tratado desarrolla el cálculo que permiteasignar un grado de credibilidad racional a los sucesos aleatorios o, dicho tambiéncon sus palabras, en el fondo, la teoría de probabilidades es solo sentido común ex-presado con números. Curiosamente, la segunda edición de su Teoría va acompaña-da de un amplio preámbulo, Ensayo filosófico sobre las probabilidades, que carecede fórmulas matemáticas escritas y donde Laplace concluye que el futuro del mundoestá totalmente determinado por su pasado y que, por consiguiente, con un conoci-miento exhaustivo –matemático– del presente, podría predecirse el futuro.

Se considera a Laplace un matemático profundo, si bien algo difícil de leer, y a esterespecto se cuenta la anécdota sobre las muchas horas que debían emplear sus dis-cípulos para poder descifrar algunos pasos de sus desarrollos, carentes de toda argu-mentación y con un único comentario al margen: “es fácil de ver”. El matemático es-cocés Eric Temple Bell le atribuye un uso desmedido de los resultados ajenos2 ymenciona en este sentido su deuda con Lagrange, a quien, a pesar de su larga amis-tad, nunca le manifestó en sus escritos su agradecimiento por las considerablesaportaciones a sus textos. En cualquier caso, su contribución a la ciencia permane-cerá no solo por su teoría de las probabilidades, sino también por su otra gran obra,la Mecánica Celeste, cinco volúmenes que culminan la teoría de Newton sobre lagravitación.

BIOGRAFÍA

LAPLACE y BAYES

(1) Laplace había nacido en Normandía y, tras sus estudios, se estableció en París, donde consiguió el apoyode D’Alembert, por aquel entonces el matemático más importante de Francia, al remitirle un brillante ensayosobre los principios generales de la mecánica. También conoció a Lagrange, con quien colaboró estrechamen-te. El hecho fortuito de ser examinador del cuerpo de artillería en el momento en el que por allí pasaba un talNapoleón Bonaparte le fue muy útil más adelante.

(2) “Se caracterizó [Laplace] por robar desvergonzadamente, a diestro y siniestro, todo aquello en lo que podíaposar sus manos, perteneciente a sus contemporáneos o predecesores y que él podía usar”.

Unidad 14. Cálculo de probalidades

THOMAS BAYES, nacido en Londres en 1702, era un clérigo presbiteriano que in-vestigó sobre las probabilidades de causas desconocidas, deduciéndolas de aconte-cimientos observados. Su conocida fórmula sería publicada en 1763, en una memo-ria póstuma, dos años después de su muerte. La fórmula de Bayes fue al prin-cipiopoco aceptada. Más tarde, combinada con los teoremas de probabilidad total y com-puesta, permitió a Laplace calcular la probabilidad de numerosos fenómenos, ba-sándose en observaciones anteriores. El matemático francés había analizado el teo-rema de Bayes en su Teoría analítica de las probabilidades. Ya en la primera mi-taddel siglo XX, gracias al trabajo del matemático inglés Fisher, su importancia se fueconsolidando al propiciar el comienzo de una teoría matemática del razonamientoinductivo. En palabras de Fisher: Bayes tiene asegurada la inmortalidad, al ser elprimero en emplear la probabilidad matemática inductivamente, es decir, razonan-do de lo particular a lo general o del individuo a la masa.


Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646-1716) nació en la ciudad alemana de Leipzig.Fue diplomático, político y manifestó un gran interés por la filosofía, la teología, lajurisprudencia y, por supuesto, las matemáticas. Sus misiones diplomáticas le permi-tieron viajar por Europa, lo que facilitó su comunicación con otros pensadores, co-mo el astrónomo y físico Christian Huygens, en París, o los Bernouilli, en Suiza, ycon-trastar con ellos sus curiosidades científicas. En esto se diferencia de otros mate-máticos, como el ya mencionado Fermat, o incluso el omnipresente Gauss, que secaracterizaron por permanecer durante toda su vida sin salir de su entorno geográfi-co.

Leibniz estaba poseído por una pasión de universalidad e intentó unificar toda lacomplejidad del pensamiento del siglo XVII bajo un único lenguaje que ensamblaramatemáticas, física, metafísica, psicología y teología. En sus escritos aparecen a ve-ces estas mezclas; por ejemplo, al tratar el tema de los números complejos, dondeconsigue factorizar la expresión x4 + a 4 , muestra sus reticencias al uso de la expre-

sión i = con las siguientes palabras: “la es un anfibio entre el ser y la na-da”. Todo ello, teniendo en cuenta sus convicciones religiosas y sus preocupacionesteológicas, permite afirmar a algunos investigadores, como C. B. Boyer, que Leibnizidentificaba la, todavía en su tiempo, naturaleza ambigua de la unidad imaginariacon la situación a medio camino entre la existencia y la no existencia del EspírituSanto dentro de la teología cristiana.

Una gran parte de la notación para el cálculo que se utiliza hoy se debe fundamen-talmente a Leibniz: recomendó el uso de los paréntesis para separar los términos delas expresiones algebraicas, en lugar de una línea que se situaba sobre los mismos,llamada vinculum, y que se usó durante mucho tiempo; introdujo ~ para designar“es semejante a” y ≅ para “es congruente con”. Pero, quizá, entre los símbolos másconocidos, figuran los correspondientes al cálculo diferencial e integral, como dife-rencial de x, dx, y, para indicar la sumación directa de una infinidad de infinita-mente pequeños, la s alargada en la expresión ∫ f(x)dx.

√–1√–1

BIOGRAFÍA

GOTTFRIED WILHELM VON LEIBNIZ


En el cálculo fue desarrollando la idea de función, y su concepción del mismo lellevaba a identificar el problema inverso de las tangentes con el de la cuadratura oin-tegración, es decir, al determinar las tangentes y observar la figura formada por lafunción y los ejes, el triángulo característico, consideraba los tres lados del mismocomo diferencias: diferencia dx de la abscisa, diferencia dy de la ordenada, diferen-cia ds del arco. Entonces, si el problema inverso consistía en pasar de las diferenciasa las mismas funciones, la operación inversa de las diferencias es la de las sumas.

Leibniz, en cuanto a matemáticas se refiere, era un autodidacto, lo que explica quealgunos de sus resultados fueran ya conocidos, aunque él los redescubriera. A pesarde la cantidad de hallazgos que se le asocian, algunos investigadores todavía se la-mentan de lo que habría supuesto en caso de haberse dedicado íntegramente a lasmatemáticas, y recuerdan la cantidad de años que dedicó a la diplomacia o a resol-ver asuntos triviales entre los poderosos de su país. Pero eran cuestiones que a éltambién le interesaban y le permitían viajar y mezclarse con la gente y sus proble-mas, en lugar de vivir de forma rutinaria en una aburrida ciudad universitaria.


De Moivre (1667-1754), nacido en Francia, vivió desde los veintiún años en Inglate-rra. Por su origen protestante se vio afectado por la decisión del llamado Rey Sol derevocar el Edicto de Nantes, lo que supuso la persecución y el exilio de los hugono-tes o calvinistas franceses. Una vez en Londres formó parte del círculo de amigos ydiscípulos de Newton y del astrónomo Halley. También mantuvo relación epistolarcon los hermanos Bernoulli y con Leibniz. No obstante, a pesar de todas sus relacio-nes y de ser miembro de diversas sociedades y academias de ciencias, nunca consi-guió una cátedra de matemáticas, por lo que tuvo que sobrevivir dando clases parti-culares durante toda su larga vida.

Sus trabajos en matemáticas se desarrollan fundamentalmente en torno a dos temas:la teoría de la probabilidad y el aspecto analítico de la trigonometría. En sus dos li-bros sobre probabilidades, De Moivre utilizó una notación propia (por ejemplo, si xes la probabilidad de un suceso, llama 1 – x a la probabilidad de que no se produz-ca). Se le atribuye también el cálculo de la probabilidad de un suceso compuesto co-mo el producto de las probabilidades de sus componentes. Por otra parte, en una desus obras aparece por primera vez la curva normal descrita por Gauss cincuenta añosdespués, y en ella escribe una aproximación de la fórmula de las probabilidades:

∫0

∞e–x2 dx =

De Moivre había llegado a la famosa campana a través del estudio de los juegos de azar.

En trigonometría, el otro sector de las matemáticas que ha hecho ilustre el nombreDe Moivre, enunció su conocida fórmula, (cosθ + i senθ)n = cos nθ + i senθ, en tér-minos menos claros y sin demostración*. Asimismo, demuestra que la raíz enésima

√π2

2

BIOGRAFÍA

ABRAHAM DE MOIVRE

(*) Según la Historia de la matemática, de Rey Pastor y Babini, De Moivre escribió la fórmula que lleva sunombre de la siguiente forma:

x = + , donde l = cos A; x = cos B; A = nB√l + √l2 – 1

12

1/2

√l + √l2 – 1

n

n


de a + , lo que él llama “binomio imposible”, se calcula como hacemos ahora

tomando la raíz enésima del módulo, dividiendo el argumento entre n y añadiendo

los múltiplos de .

Una muestra de su capacidad de trabajo y de la amplitud de sus conocimientos vie-ne expresada por la frase que Newton, al final ya de su vida, dirigió a aquellos quevan a plantearle cuestiones de matemáticas: “Vayan, vayan a ver a Mr. De Moivre; élsabe esas cosas mejor que yo”.

2πn

√– b

Unidad 7. Vectores

Pappus es el autor de la Colección Matemática, en la que se presenta un panoramahistórico de la matemática clásica y se comentan los trabajos de Euclides, Arquíme-des, Apolonio, Ptolomeo y otros, a la vez que se incluyen algunas demostracionesalternativas y nuevas proposiciones geométricas de gran importancia. A esta obra,en ocho libros, se la suele considerar como el último de los grandes tratados. Gra-cias a ella han llegado hasta nosotros documentos que de otra forma habrían sido ig-norados. Posteriormente, durante mil años más, se siguieron escribiendo obras engriego, si bien no alcanzaron la altura de la Colección. Durante el siglo XVI fue tradu-cida y publicada en Italia y ejerció gran influencia entre los matemáticos de la época.

En cuanto a la vida de Pappus, sabemos que vivió en Alejandría a finales del siglo IIIy principios del IV. Fue contemporáneo de Theón de Alejandría, al que, junto conProclo, también se incluye dentro del grupo de los llamados “comentaristas”. Theón,por cierto, era el padre de la primera matemática griega conocida de la historia: Hy-patia, personaje relevante, víctima de la intolerancia religiosa surgida en una épocaen la que la nueva civilización cristiana conseguía imponerse a la vieja civilizacióngrecorromana. Por aquel entonces, Alejandría contaba con una población de 300 000personas y recogía enormes riquezas provenientes del comercio con Arabia, India yÁfrica Ecuatorial. Sin embargo, los tesoros científicos que albergaban los templos ybibliotecas de la ciudad fueron poco a poco destruidos y, lo poco que quedaba, fuequemado por los musulmanes al conquistar Egipto en el siglo VII.

La colección rescata y amplía una serie de problemas clásicos: la trisección del án-gulo, las cónicas, el estudio de las medias aritmética, geométrica y armónica; da tam-bién una generalización del teorema de Pitágoras y, comentando lo que en la anti-güedad era conocido como el Tesoro del Análisis, Pappus se refiere a él como “unmétodo que consiste en considerar como conocido aquello que se busca y obtenerlas consecuencias de ello hasta llegar a algo que se admite ya como un resultado desíntesis”. En el libro VII aparece un precedente del cálculo integral, conocido bajo elnombre de teorema de Guldin por el matemático suizo del siglo XVII que lo redescu-brió, que dice que “si se hace girar una curva cerrada y plana alrededor de una rec-ta que no la corta y situada en su mismo plano, entonces el volumen del sólido en-

BIOGRAFÍA

PAPPUS

Unidad 7. Vectores

gendrado se obtiene multiplicando el área encerrada por la curva, por la longitudde la circunferencia que describe el centro de gravedad de esta área en un girocompleto”. En el libro V de la Colección, dedicado a estudiar las figuras geométricascon el mismo perímetro, Pappus escribe un interesante texto no exento de cierto es-tilo literario, en el que glosa la habilidad matemática de las abejas al construir lasceldillas de sus panales de miel*.

(*) Al final de un largo párrafo dedicado a las figuras isoperimétricas y a la elección, por parte de las abejas,del hexágono, Pappus concluye: “Las abejas conocen solamente lo que les es útil, o sea que el hexágono esmayor que el cuadrado y que el triángulo, y que con una misma cantidad de materia gastada para la construc-ción de cada figura, el hexágono podrá contener más miel. Pero, en cuanto a nosotros, que pretendemos po-seer una parte mayor que las abejas en la sabiduría, investigaremos algo más amplio, a saber, que de todas lasfiguras planas equiláteras y equiángulas de idéntico perímetro, la que tiene un número mayor de ángulos essiempre mayor, y la mayor de todas es el círculo que tiene su mismo perímetro”.

Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas

Del matemático y astrónomo Ptolomeo se sabe que trabajó en Alejandría durante elsiglo II d.C., pero los datos acerca de su vida (¿100-170?) son imprecisos. Sin embar-go, pudo conservarse su obra a lo largo de los siglos. Lo más importante es un trata-do de trigonometría y astronomía en trece tomos denominado Almagesto, nombreárabe derivado del original griego que significa obra magna o sintaxis matemática.Ptolomeo vive ya en una época en la que la cultura clásica griega se encuentra endecadencia.

En trigonometría, Ptolomeo continúa y engrandece los trabajos de Hiparco y de Me-nelao, otro de los matemáticos de Alejandría de finales del siglo I d.C. En el círculo,cuya división en 360 partes o grados ya era conocida, divide a su vez cada una deellas en 60 partes minutae primae y estas en otras 60 partes minutae secundae, si-guiendo así el camino iniciado por los matemáticos babilonios. Este sistema sexage-simal se aplica también a las cuerdas del círculo y al diámetro, al que divide en 120partes. Los griegos desconocían las razones trigonométricas tal y como hoy las en-tendemos, sin embargo, usaban algo equivalente para sus cálculos: las líneas trigo-nométricas en forma de cuerdas, como también hicieron después los hindúes o losárabes. En el Almagesto, Ptolomeo considera un polígono regular de 720 lados ins-crito en una circunferencia cuyo radio divide en 60 unidades, obteniendo un valorpara la cuerda de medio grado que le permite llegar a una medida de π = 3° 8' 30'',

es decir, 3 + + = 3,1416, mejorando la aproximación dada por Arquímedes.

En geometría demuestra el teorema que hoy lleva su nombre: “el producto de lasdiagonales de un cuadrilátero inscrito en una circunferencia es igual a la suma de losproductos de los lados opuestos”. Este teorema, en el caso particular de que uno delos lados del cuadrilátero sea el diámetro, conduce a las actuales fórmulas trigono-métricas del seno y coseno de la suma y la diferencia de dos ángulos. Asimismo, co-nocida la medida de la cuerda de un arco, Ptolomeo calcula la cuerda del arco mi-

tad, y, traducida al lenguaje actual, escribe la fórmula: sen = . Con todo

ello construye una tabla de cuerdas, o tabla trigonométrica, muy precisa que aparece

√1 – cos α2

α2

30602

860

BIOGRAFÍA

PTOLOMEO

Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas

en el libro primero del Almagesto y que abarca desde 1/2° hasta 180°, instru- mentofundamental para los astrónomos. La obra de Ptolomeo, que también es autor detratados de geografía, óptica y música, tiene gran influencia en la astronomía. Susconcepciones se basan en la idea de que el Sol se mueve alrededor de la Tierra, locual fue un principio incuestionable entre los griegos, con la única excepción deAristarco, que defendió la tesis heliocéntrica. La teoría geocéntrica de Ptolomeo* ytodo el cuerpo teórico que la sostiene es la referencia principal en la astronomíadesde el siglo II hasta el XVI, en el que aparece la obra del astrónomo polaco NicolásCopérnico.

(*) En el Almagesto Ptolomeo escribe: “El astrónomo debe esforzarse todo lo posible por hacer que las hipóte-sis más sencillas concuerden con los movimientos celestes; pero si no lo consigue, debe tomar las hipótesisque más le convengan”.

Documents

Biografías Matemáticos