UVOD

Biološka fizika ili biofizika, je fizika žive materije, na svim

nivoima: molekularnom, ćelijskom i nadćelijskom, uključujući biosferu u

cjelini. Nastala je na kontaktu biologije, fizike, fizičke hemije i matematike.

Pošto proučava žive organizme na različitim nivoima organizovanosti,

biofizika je pretežno biološka nauka, ali u punoj mjeri koristi univerzalni

karakter osnovnih fizičkih zakona i strogost matematičkih rješenja. Cilj

biofizike je, dakle, zasnivanje teorijske biologije, korištenjem zakona fizike i

metodologije prirodnih nauka.

Specifičnost žive materije se prvo ispoljava na molekularnom nivou

organizacije živog svijeta. Savremena etapa razvoja biofizike je u suštini

otpočela sa otkrićem prostorne strukture proteina (L. Poling), zatim otkrićem

poznate « spirale života» D. Votsona i F. Krika, tj. dvostruke spirale DNK.

Dosljedna primjena fizičkih metoda i predstava pri izučavanju

nadmolekularnih struktura živog svijeta, dovela je i do otkrića jonske prirode

bioelektričnih pojava (A. Hodžkin, A. Haksli, ...). Pokazalo se da ključnu

ulogu imaju membrane, i u spoju sa membranama, oksidacije sa

fosforilovanjem – osnovnom energosprežnom funkcijom mitohondrija,

bakterija i drugih bioloških čestica.

Osnovna su tri pravca u biofizičkim istraživanjima : molekularna

biofizika, biofizika ćelije i biofizika složenih sistema.

Molekularna biofizika je centralna oblast biofizike, čiji je osnovni

zadatak ispitivanje strukture i funkcionalnosti bioloških makromolekula.

Savremena biofizika napravila je daleko najveći prodor baš u molekularnoj

biofizici, na planu strukture i funkcionalnosti biopolimjera [proteina

(belančevine) i nukleinskih kiselina ( DNK i RNK )], i njihovoj povezanosti sa

genetskim kodom. Pri tome je korišten teorijski aparat različitih fizičkih

disciplina: ravnotežna termodinamika, statistička fizika i kvantna mehanika.

Eksperimentalne metode su obuhvatile sedimentaciju biopolimjera u

ultracentrifugi, i njihovu dalju karakterizaciju rentgenskom difrakcijom,

skanirajućom tunelskom mikroskopijom (STM), rasejanjem svjetlosti i -

zračenja, optičkom i vibracionom kao i - rezonantnom spektroskopijom,

fotoluminiscencijom, nuklearnom magnetnom (NMR) i elektronskom

paramagnetnom rezonancijom (EPR), itd. Naravno biofizičke eksperimentalne

metode široko se kombinuju i sa raspoloživim biohemijskim metodama.

Vrlo važna oblast biofizike, koja je ujedno i najstarija oblast biofizike,

je biofizika ćelije, koja proučava strukturu i funkcionalnost ćelija i njihovih

organela (membrane, citoskeleti, mitohondrije, ...). U ovoj oblasti koriste se

pored pomenutih teorijskih metoda u molekularnoj biofizici i elektromagnetne

metode, kao i metode neravnotežne termodinamike otvorenih sistema. Optička

i elektronska mikroskopija, zatim optička i - rezonantna spektoskopija, kao i

diferencijalna kalorimetrija, primarne su eksperimentalne metode u istraživanju

u ovoj oblasti biofizike.

Biofizika složenih sistema proučava matematičko-fizičko modeliranje

biohemijskih i bioelektričnih aktivnosti nadćelijskih struktura (tkiva i organa).

2

Glava 1. OSNOVE METROLOGIJE U BIOFIZICI

Metrologija je specijalizovani dio pojedinih prirodnih i tehničkih nauka, koja se bavi metodama mjerenja fizičkih veličina, razvojem i izradom mjernih uređaja, reprodukcijom mjernih jedinica. Metrologija je oblast saznanja koja se vezana za mjerenja. Mjerenjem se utvrđuje ili procjenjuje vrijednost neke veličine u odnosu prema odabranoj mjernoj jedinici. Mjerenje je, ustvari, tehnički postupak procjenjivanja vrijednosti neke veličine. Mjerna jedinica je neka tipična vrijednost mjerene veličine, koja je dogovorom naučnika proglašena za jediničnu. Pri tom je mjerna veličina najčešće stalna, a uvek se pretpostavlja da je i mjerna jedinica konstantna.

U vrhunskoj metrologiji, izlazi na vidjelo da toj pretpostavci nije udovoljeno u potpunosti. I uz pretpostavku da je mjerna jedinica konstantna, svaki mjerni rezultat je pogrešan, sadrži manju ili veću pogrešku. Da bi se što pouzdanije procijenila stvarna vrijednost mjerene veličine, mjerenja se višestruko ponavljaju. Zato je potrebno da se opiše postupak kojim se od mnoštva pojedinih vrijednosti, rezultata ponovljenih mjerenja, zaključuje o najpouzdanijem konačnom rezultatu i ocjenjuje nepouzdanost tog rezultata. Taj postupak, obrada podataka ponovljenih mjerenja, opisuje se sa namjerom da bi pružila jasna fizička slika i bila omogućena njena praktična primjena.

1.1 Neki osnovni pojmovi mjerne tehnike

Pri obradi rezultata ponovljenih mjerenja moramo imati jasno definisano značenje izraza koji grade osnovu terminologije mjerne tehnike. Definišimo značenje nekih izraza koji se ubrajaju u osnovne:

Veličina predstavlja osobinu pojave, tijela ili supstancije koja može da se razlikuje kvalitativno i da se odredi kvantitativno. Vrijednost neke veličine A određena je proizvodom njene brojne vrijednosti { A } i njene mjerne jedinice [A], tj.

3

A = { A }[ A ] (1.1)

Na primjer, dužina neke učionice je l = 10 m, masa nekog tereta iznosi m = 100 kg, temperatura vode neke rijeke iznosi t = 22 oC, itd., pri čemu su 10, 100, 22 brojne vrijednosti posmatranih veličina, dok su m, kg, oC njihove mjerne jedinice. Jednačina (1.1) predstavlja osnovnu jednačinu metrologije.

Prava vrijednost velične je vrijednost koja karakteriše veličinu potpuno definisanu u uslovima koji su postojali kada je ova vrijednost određena. Prava vrijednost veličine idealizovan je pojam i, u opštem slučaju, ne može biti poznata.

Sporazumno prava (dogovorena) vrijednost veličine je vrijednost koja je približna pravoj vrijednosti jedne veličine, ali takva da se ova vri+jednost upotrebljava u slučaju kada razlika između ove dvije vrijednosti može da bude zanemarljiva. Određuje se metodama i instrumentima odgovarajuće tačnosti.

Veličine koje su u datom sistemu veličina prihvaćene kao međusobno nezavisne i pomoću kojih se ostale veličine mogu izraziti jednačinama nazivaju se osnovne veličine . Dok veličine koje su u datom sistemu veličina definisane kao funkcije osnovnih veličina tog sistema nazivaju se izvedene veličine.

Etalon (standard) je mjerni instrument namijenjen da definiše ili materijalizuje, sačuva ili reprodukuje jedinicu mjere jedne veličine, da bi mogla poređenjem da se prenosi na druge mjerne instrumente.

Sistem mjernih jedinica je skup osnovnih i izvedenih mjernih jedinica koji se odnosi na određeni sistem veličina. Koherentni sistem mjernih jedinica je sistem mjernih jedinica sastavljen od skupa osnovnih i koherentnih izvedenih jedinica. Mjerna jedinica koja se izražava pomoću osnovnih jedinica relacijom čiji je brojni koeficijent jednak jedinici, predstavlja koherentnu mjernu jedinicu. Ovaj izraz primjenjuje se samo na izvedene jedinice. Na primjer, Njutn je koherentna

jedinica sile u SI jer je u relaciji pomenuti brojni

koeficijent k =1, pa je

4

Decimalni metarski sistem je sistem mjernih jedinica zasnovan na prototipovima metra i kilograma i na decimalnoj podjeli. Ovakav sistem je, na primjer, Međunarodni sistem jedinica.

1.2 Mjerna greška i relativna greška

Razliku između izmjerene vrijednosti xi fizičke veličine i njene stvarne (istinite, prave) vrijednosti x zovemo mjerna greška ili kraće greška. Umjesto tih naziva upotrebljava se izraz “apsolutna greška “. Označimo li stvarnu vrijednost mjerene fizičke veličine sa x, a mjerenjem utvrđenu vrijednost sa xi, onda je prema gornjoj definiciji mjerna greška ai :

ai = xi - x (1.2)

U strogoj teoriji grešaka veličina ai zove se stvarna greška (istinita, prava greška). Ako smo, na primjer, mjerenjem dužine nekog štapa utvrdili vrijednost xi = 125.1 mm, a znamo da je njena stvarna dužina x =125 mm, onda prema jednačini (1.1) mjerna greška iznosi:

ai = xi - x = 125.1 mm - 125 mm = 0.1 mm

Ovaj primjer mogao bi nas dovesti do krivog zaključka da se stvarna greška ai može direktno izmjeriti. Ako bi to bila istina, mogli bismo zaključiti da je stvarna vrijednost x = xi - ai . Ovakav zaključak nastao je zbog pogrešne pretpostavke o tome da znamo stvarnu vrijednost x mjerene fizičke veličine. Iako nema sumnje o tome da postoji stvarna vrijednost x mjerene fizičke veličine, tu istinsku vrijednost nikako i nikada ne ćemo saznati, jer je moramo ustanoviti mjernim eksperimentom, mjerenjem, a rezultat mjerenja uvijek sadrži grešku. Najviše što možemo učiniti jeste to da saznamo interval za koji možemo reći: postoji velika vjerovatnoća da se vrijednost mjerene veličine nalazi u tom intervalu.

5

Zato se u duhu teorije vjerovatnoće jednačina (1.2) može opisati ovako: vjerovatna vrijednost x mjerene fizičke veličine jednaka je razlici između izmjerene vrijednosti xi i vjerovatne mjerne greške ai .

Budući da stvarnu vrijednost mjerene veličine nikako ne možemo ustanoviti, preostaje nam jedino to da je procijenimo. Njena najbolja procjena je jeste srednja vrijednost (aritmetička sredina). Ona se dobija mnogobrojnim ponavljanjem mjerenja konstantne fizičke veličine, izvršenim sa ciljom da se što više približimo stvarnoj vrijednosti ili, drugim riječima, da što više suzimo interval u kojem se nalazi nepoznata stvarna vrijednost. Zato se u mjernoj tehnici greška izražava u odnosu prema srednjoj vrijednosti, a ne prema stvarnoj vrijednosti. Strogo se tako definisana greška zove prividna greška:

(1.3)

Razlika između prividne greške bi i stvarne greške ai po pravilu je neznatna u odnosu na xi , stoga se pri praktičnom računanju jednačinom (1.3) govori jednostavno o “ grešci ”, a ne o “ prividnoj grešci ”.

Međutim, podatak o veličini mjerne greške ne daje dovoljnu informaciju o mjernom postupku. Šta znači, na primjer, podatak da mjerna greška iznosi bi = 0.1 mm? Kolika je pri tom bila dužina mjerene veličine, dva kilometra, pola metra? No ako navedemo da je srednja vrijednost iznosila 125.1 mm, onda nam upoređivanje podataka 0.1 mm i 125.1 mm pruža dobru informaciju o tom mjernom eksperimentu. Ove dvije vrste podataka udružuje posebna fizička veličina koja se naziva relativna greška:

(1.4)

U našem primjeru mjerenja dužine, relativna greška iznosi:

= 0.0008 = 8 x 10-4

6

Nekada se relativna greška izražava i procentima (%) ili promilima (o/oo). Budući da je % samo drugi oblik prikazivanja stotinke, tj.

postotak = % = 1/100 =10-2 ,

to za gornji slučaj vrijedi = 8 x 10-4 = 8 x 10-2 % = 0.08 %. Zbog toga veličinu neki autori zovu “ procentnom greškom “. To nije ispravno, jer mjerna jedinica, a % je mjerna jedinica tzv. brojčane veličine, ne smije definisati fizičku veličinu. U tom duhu bismo, naime, = 0.8 o/oo mogli nazvati “ promilnom greškom “, jer je: promil = o/oo = 1/ 1000 = 10-3

Riječ je, u stvari, stalno o istoj vrijednosti iste fizičke veličine definisane jednačinom (1.4), ali koja je izražena sa tri različite brojčane mjerne jedinice, tj. = 8 x 10-4 = 8 x 10-2 % =0.08 %.

1.3 Granice mjerne tehnike. Vrste mjernih greški

Bezbrojni su uzroci mjernih grešaka, ali i u različitim granama one imaju neka zajednička obilježja. Stoga ih možemo klasifikovati prema srodnosti.

U privredi, industriji i nauci nastoji se tačnost mjerenja poboljšati do one granice koja je ekonomski isplativa ili podnošljiva. U vrhunskoj metrologiji, na koju se oslanjaju eksperimentalna istraživanja svih grana nauke i naučno-tehnički poduhvati, ta ekonomska granica praktično ne postoji.

Ipak, postepeno izoštravanje mjernih postupaka, metoda i uređaja ima na svom kraju nesavladivu granicu koju je postavila sama priroda. Savremena vrhunska metrologija nije još doprla do te granice, ali se u nekim specijalnim slučajevima sukobila s njom. Tu prirodnu granicu opisuje relacija neodređenosti

(1.5)

koju je Heisenberg izveo iz osnovnih zakona kvantne teorije. U jednačini (1.5) simbol x predstavlja neodređenost položaja elektrona, p =(mv) neodređenost (raspršenje) impulsa, a h = 6.62 x 10-34Js je Plankova konstanta. Relacija (1.5) izražava činjenicu da se ne može istovremeno bespogrešno ustanoviti i brzina i položaj elektrona. Ako se pak zadovoljimo time da brzinu

7

elektrona poznajemo s greškom v, njegov ćemo položaj prema (1.5) u najboljem slučaju moći znati s pogreškom .

Do relacije neodređenosti (1.5) možemo doći i relativno jednostavnim ogledima kakve su učinili Heisenberg i Bohr. Zamislimo da smo u trenutku t1

vrlo tačno izmjerili brzinu v1 elektrona. Time smo s malom greškom saznali i njegov impuls p1 = m v1 . Da bismo izračunali trajektoriju elektrona, moramo u idućim trenucima t2, t3, ... izmjeriti njegov položaj u prostoru. Ako se kreće po pravoj, mjerenje položaja svodi se na utvrđivanje koordinata x2 , x3, . . . duž prave, što se može s malom greškom utvrditi mikroskopom. Posmatranje elektrona mikroskopom znači bombardovanje elektrona svjetlosnim kvantima energije . Da bismo precizno utvrdili položaj tako male čestice kao što je elektron, moramo upotrebiti svjetlost vrlo male talasne dužine , jer je razlučivanje mikroskopa, tj. svojstvo optičkog sistema da učini dvije susjedne tačke vidljivim, iznosi samo oko (d =/sin ). Prema tome, kvant svjetlosti ima zbog malog veliku energiju hc/ . Takav kvant mora pogoditi elektron, jer inače u mikroskopu ništa nećemo vidjeti. Ako je kvant svjetlosti dohvatio elektron neposredno iza trenutka t1, on u idućem trenutku t2 više neće imati impuls mv1 , već različit za

tj. . Budući da je , odavde slijedi , a to je relacija neodređenosti (1.5).

1.4 Klasifikacija mjernih grešaka

Pojam mjerna greška upotrebljava se u svim granama nauke, tehnike i privrede, tj. u svim ljudskim djelatnostima. Svaka od tih mnogobrojnih grana služi se mnogim mjernim postupcima i mjernim uređajima. Stoga je očito da možemo sastaviti veoma velik opus uzoraka koji dovode do mjernih grešaka. Uprkos tome greške se mogu donekle klasifikovati. Uopšteno, mjerne se greške mogu razvrstati u dvije velike grupe. Prvu grade odredljive (odredive, obuhvatljive) greške, tj. one koje možemo ili znamo (ponekad samo teoretski) utvrditi. Greške takve grupe najčešće se zovu sistematske. Drugu grupu čine neodredljive greške, koje se najčešće zovu slučajne greške. Njih zapažamo prilikom ponovljenih mjerenja iste konstantne fizičke veličine, jer se pojedini mjerni rezultati prividno bez razloga međusobno razlikuju. Analiza velikog broja rezultata ponovljenih mjerenja pokazuje da se pojavljivanje tih neodredljivih grešaka, s obzirom na njihovu vrijednost i učestalost, pokorava zakonu slučaja, tj. teoriji vjerovatnoće.

8

1.4.1 Sistematske mjerne greške

Ove greške nastaju zbog nesavršenosti mjernog postupka, mjera, mjernih uređaja, mjerene fizičke veličine, kao i zbog određenih uticaja poremećenih veličina okoline i ličnog uticaja ispitivača. Većina tih sistematskih grešaka ima stalnu vrijednost, a time i određen predznak, tj. sistematske greške djeluju jednostrano. Zbog njihove mnogobrojnosti, sistematske greške ponekad klasifikujemo u tri grupe.

Izvor metodskih sistematskih grešaka jeste sam mjerni postupak, metoda. Zatim, sistematske greške mjernih uređaja takođe su bezbrojne. Mjerne sistematske greške i sistematske greške mjernih uređaja mogu se uspešno korigovati jedino ako temeljno poznajemo karakteristike mjerne metode, mjernog uređaja i mjernog objekta. Ako djelovanje pojedinih uticajnih veličina nije poznato u dovoljnoj mjeri, treba ih utvrditi eksperimentalno: namjerno se mijenja intezitet svake od njih i registruje njihov učinak na mjerni rezultat. Iz njega se može otkriti šta valja učiniti da bi se greške smanjile. Sistematske se greške, dakle, pokoravaju poznatim fizičkim zakonima i zato njihov uticaj možemo uzeti naknadno.

Treću glavnu grupu sistematskih grešaka čine lične greške ispitivača uzrokovane njegovim psihičkim i fiziološkim nedostacima.

1.4.2 Grube greške

Grube greške nastaju zbog nepažnje i nemara ispitivača, njegovog manjkavog stručnog znanja i zbog izbora neprikladnog mjernog postupka. Mogućnost pojavljivanja grubih mjernih grešaka jedan je od razloga što se mjerenja ponavljaju. Ako se u mnoštvu tako dobijenih rezultata jedan bitno razlikuje, postoji snažna indikacija da je grubo pogriješeno. Uopšte se smatra da je riječ o gruboj grešci onda kada njena vrijednost premaši trostruku vrijedost srednje greške, tj. trostruku vrijednost standardnog odstupanja.

1.4.3 Slučajne greške

Slučajne greške rezultat su neizbježnih promjena koje nastaju u mjerama, mjernim uređajima, mjernom objektu, okolini i ispitivaču, a koje on nije u stanju ocijeniti i korekcijom uzeti u obzir. Te neodredljive greške mogu se prepoznati ovako: ako isti ispitivač uzastopno više puta jednakom brižljivošću

9

mjeri istu konstantnu fizičku veličinu, istim mjernim uređajem i pod istim spoljašnjim uslovima (prema njegovoj ocjeni), ipak će dobijati rezultate koji međusobno odstupaju. Ti rezultati gomilaju se oko jedne određene vrijednosti, ali metrolog ne zna objasniti zašto je jedan rezultat znatno manji od te vrijednosti, a drugi nije. Zato se takve neobjašnjene (neodredljive, neizbježne ) greške zovu slučajne greške.

Te greške su za ispitivača slučajne, ali objektivno nema slučajnih grešaka, jer ništa se ne događa slučajno, pa ni greške. Svaki događaj ima svoj uzrok, a mjerna greška rezultat je mnogih uzroka. Događaji koji uzrokuju te slučajne greške dešavaju se prema fizičkim zakonima, ali za metrologa su posljedice njihova djelovanja na njegove mjerne rezultate slučajni, zato jer ne zna ustanoviti koji poremećaji i promjene utiču, i u kojoj mjeri.

Uopšteno možemo izvore slučajnih grešaka svrstati u četiri glavne grupe: 1) nesavršenost mjera i mjernih uređaja; 2) nesavršenost ljudskih čula; 3) uticaj i promjenljivost uticaja okoline; 4) nedovoljno mjerno iskustvo i znanje ispitivača.

1.5 Statistička obrada ponovljenih mjerenja

Uspješan rad u raznim eksperimentalnim naučnim disciplinama nemoguće je zamisliti bez analize dobijenih rezultata mjerenja. Činjenica je da ne postoji apsolutno tačna vrijednost bilo kakvog izvršenog mjerenja, što znači da se idealno tačna vrijednost mjerene veličine ne može saznati, odnosno, rezultat svakog realnog mjerenja sadrži u sebi određenu mjernu nesigurnost. Uzroci mjernih nesigurnosti mogu biti veoma brojni i po pravilu se ne mogu svi uzeti u obzir. Da bi se postigla jednoobraznost u izražavanju mjernih rezultata vodeće institucije međunarodnog metrološkog sistema, 1993. godine, publikovale su Uputstvo za izražavanje mjerne nesigurnosti.

Obradom mjernih rezultata na način opisan u Uputstvu dobija se mjerni rezultat, zatim mjerna nesigurnost i statistička sigurnost sa kojom važe dobijeni podaci. Pojam greška mjerenja odnosi se isključivo na razliku dobijenog rezultata i odgovarajuće vrijednosti dobijene pomoću etalonskog mjernog instrumenta. Koncept izražavanja mjerne nesigurnosti iznesen u Uputstvu ima kao teorijsku podlogu isti matematički aparat koji se koristi kod teorije grešaka. Međutim, metod izražavanja mjerne nesigurnosti je praktično orijentisan i može se dobro primjeniti u svim eksperimentalnim mjerenjima.

10

Nasuprot tome, polazne veličine teorije grešaka su slučajne i sistematske greške, koje kao idealizovani pojmovi ne postoje u praksi. Naime, sistematske greške, po klasičnoj teoriji, potiču od fizičkih veličina koje izraživaju promjenu uvijek iste veličine i znaka. Nausuprot tome, slučajne greške su prouzrokovane veličinama koje izazivaju isključivo slučajne (stohastičke) promjene mjerene veličine. Ovakve pretpostavke nisu ispunjene u stvarnim mjerenjima.

1.5.1 Srednja vrijednost, medijana i standardno odstupanje populacije

Ukoliko se pod istim uslovima vrše ponovljena mjerenja neke veličine, dobijeni rezultati će po pravilu imati manje ili veće razlike. Ovo je posljedica uticaja raznih ometajućih veličina koje se ne mogu niti ukloniti niti u potpunosti objasniti. Ukoliko je izvršen veoma veliki broj N ponovljenih mjerenja jedne iste fizičke veličine pomoću instrumenta visoke rezolucije, rezultati mjerenja

(1.6)

nazivaju se populacija. Srednja vrednost populacije izračunava se kao aritmetička sredina rezultata mjerenja

(1.7)

Pomoću srednje vrijednosti populacije definišu se odstupanja ai kao razlike pojedinih rezultata od srednje vrijednosti

(1.8)

Po pravilu broj odstupanja sa pozitivnim znakom blizak je broju sa negativnim znakom. U matematičkoj statistici uobičajeno je da se karakteristike nepoznatog parametra populacije označavaju slovima grčke azbuke.

Medijana karakteriše centar statističke raspodjele tako što polovina rezultata mjerenja ima vrijednost manju ili jednaku medijani, a druga polovina rezultata mjerenja ima vrijednost veću ili jednaku medijani. Za razliku od

11

aritmetičke sredine, koja se računa pomoću iznosa svih rezultata mjerenja statističke populacije, medijana se naziva pozicionom sredinom, jer je to vrijednost jednog rezultata mjerenja statističke populacije koji se nalazi na sredini statističke serije u kojoj su rezultati poređani po rastućim vrijednostima. Za statističku seriju od n mjernih rezultata medijana je jednaka vrijednosti

člana, tj.

Me = vrijednosti rezultata mjerenja (1.9)

Odstupanja ponovljenih mjerenja dobijena raznim instrumentima mogu se znatno razlikovati po veličini. Dok kod grubljih uređaja moduo odstupanja može iznositi nekoliko procenata od srednje vrijednosti, kod kvalitetnijih instrumenata odstupanja iznose daleko ispod 1%. Da bi se dobila univerzalna osnova za procjenjivanje ponovljivosti mjernog postupka, odnosno izražavanja veličine odstupanja koristi se standardno odstupanje ili standardna devijacija populacije .

Standardno odstupanje populacije definiše se kao veličina čiji kvadrat pomnožen sa brojem mjerenja N ima vrijednost jednaku zbiru kvadrata odstupanja

,

odnosno,

(1.10)

U statistici se često koristi i kvadrat standardnog odstupanja koji se naziva varijansa ili disperzija.

(1.11)

12

Mjerodavniji dojam o validnosti mjernog postupka dobija se pomoću relativnog standardnog odstupanja r , koje se definiše izrazom

(1.12)

a koristi se za izražavanje ponovljivosti mjerenja. Što je r manje ponovljivost je bolja i obrnuto.

1.5.2 Srednja vrijednost i standardno odstupanje uzorka

Pojam populacije vezan je za ogroman (teorijski beskrajno veliki) broj mjerenja. Svi elementi populacije se ne mogu saznati u praksi, pa populacija ima uglavnom teorijski značaj. U realnim eksperimentima mjerenja se ponavljaju ograničen broj puta, na primjer desetak ili nekoliko desetina puta. Ako se radi o jednakim industrijskim proizvodima, praktično se testira manji broj n djelova, tj. mjerenjem se dobija skup rezultata

Ovakav manji skup rezultata se naziva uzorak. Svaki uzorak može se smatrati podskupom odgovarajuće populacije. Na primjer, uzorak od 20 čokolada smatra se dijelom populacije svih čokolada proizvedenih u nekoj seriji u toj fabrici.

Vrlo važno za statističku obradu podataka je odluka o broju elemenata uzorka iz populacije. Veličina ili brojnost uzorka naziva se obim uzorka. Većina istraživača se slaže u ocjeni da obim uzorka treba da bude najmanje 5

do 10 % obima posmatrane populacije, tj. do . Dakle da

bi uzorak bio reprezentativan, potrebno je da uzorak bude dovoljno brojan.Jedan od osnovnih zadataka statističke obrade rezultata je da se na

osnovu uzorka dobije što bolja aproksimacija, odnosno ocjena karakteristika populacije, prije svega srednje vrijednosti i standardnog odstupanja .

13

Najboljom aproksimacijom srednje vrijednosti populacije smatra se srednja vrijednost uzorka

(1.13)

U matematičkoj statistici uobičajeno je da se karakteristike uzorka označavaju slovima latinice. Može se pokazati da srednja vrijednost ima

svojstvo da suma kvadrata odstupanja xi - ima najmanju moguću vrijednost

(1.14)Izjednačavanjem prvog izvoda (1.14) po sa nulom dobija se 2

, odakle slijedi izraz (1.7). Pošto je drugi izvod (1.14) pozitivan

suma kvadrata odstupanja ima zaista minimum. Odstupanja od srednje vrijednosti uzorka su

(1.15)

Uz pomoć izraza (1.13) lako se dokazuje da je zbir svih odstupanja bi jednak nuli, tj.

(1.16)

Standardno odstupanje uzorka od n članova označava se sa s, a dato je izrazom

(1.17)

i označuje procjenu standardnog odstupanja populacije . Standardno odstupanje uzorka smatra se najboljom aproksimacijom (ili procjenom) standardnog odstupanja populacije . S takvim procijenjenim standardnim odstupanjem s stvarno računamo u mjernoj tehnici,

1.5.3 Standardno odstupanje srednje vrijednosti

14

Svaka veličina slučajnog karaktera ima svoje standardno odstupanje. Srednja vrijednost se dobija na osnovu elemenata uzorka xi čija je priroda slučajna, pa stoga i srednja vrijednost predstavlja slučajnu veličinu. To znači da srednja vrijednost ima svoje standardno odstupanje koje se označava sa . Standardno odstupanje srednje vrijednosti dato je izrazom

(1.18)

Iz izraza (1.18) vidi se da je standardno odstupanje srednje vrijednosti manje puta od standarnog odstupanja pojedinih rezultata s. Drugim riječima, srednja vrijednost kao mjerni podatak je pouzdanija nego pojedinačni rezultati xi, što opravdava potrebu višestrukog ponavljanja nekog eksperimenta.

1.5.4 Tačnost, ponovljivost i reproduktivnost rezultata mjerenja

Kao krajnji rezultat nekog ponovljenog mjerenja smatra se srednja vrijednost uzorka xs. Greška mjerenja se određuje kao razlika izmjerenog i uslovno tačnog rezultata ako se do njega može doči. Uslovno tačnom vrijednošću može se smatrati ona koja se dobija etalonskim instrumentom. Tačnost mjerenja predstavlja bliskost slaganja rezultata mjerenja i prave (uslovno tačne) vrijednosti mjerene veličine.

Ponovljivost se odnosi na seriju mjerenja izvršenih pri istim uslovima. Isti uslovi mjerenja znače istovjetnost mjernog postupka, posmatrača, mjerila, kao i to da je ponavljanje izvršeno u kratkom vremenskom periodu. Ponovljivost instrumenta je utoliko bolja ukoliko je relativno standardno odstupanje manje

(1.19)

U ranijoj literaturi se umjesto termina ponovljivost koristio termin preciznost, čija se upotreba više ne preporučuje.

15

1.5.5 Grafičko prikazivanje raspodjele rezultata mjerenja - histogram

Eksperimentalno iskustvo pokazuje da se pri ponavljanju nekog mjerenja rezultati na određeni način grupišu oko srednje vrijednosti. Ovo grupisanje se slikovito, grafički, prikazuje histogramom koji se dobija na sljedeći način:

Polazi se od tablice od n rezultata nekog ponovljenog mjerenja, tj. od uzorka x1, x2,..., xi,..., xn, a rezultati mjerenja se poređaju po veličini i nanose na horizontalnu osu počev od minimalnog rezultata xmin do maksimalnog xmax. Ukupni raspon u kome postoje rezultati xmax - xmin dijeli se na m jednakih intervala širine

(1.20)

U svakom od intervala postoji nekoliko mjernih rezultata čiji se broj označava sa nx , a naziva se učestanost ili frekvencija datog izmjerenog rezultata. Svakom intervalu takođe odgovara relativna učestanost koja je data izrazom

(1.21)

gdje je n ukupan broj mjernih rezultata. Za svaki interval potrebno je odrediti takođe gustinu relativne učestanosti (frekvencije) pi

(1.22)

1.5.6 Funkcija raspodjele

Posmatrajmo histogram nekog velikog uzorka rezultata dobijenih instrumentom vrlo visoke rezolucije, sl.1. U graničnom slučaju, kada broj rezultata n teži beskonačnosti, uzorak prelazi u populaciju, a rezultati se praktično kontinualno raspodjeljuju po x-osi. Pri tome nastaju sljedeći granični procesi: broj segmenata histograma se beskonačno povećava, , dok širina segmenata postaje infinitezimala, x ~ dx; relativna učestanost postaje

16

infinitezimala, , a gustina relativne učestanosti prelazi u

kontinualnu funkciju . To znači da obvojnica histograma formira kontinualnu funkciju

(1.23)

Izraz p( x) se naziva funkcija raspodjele datog mjerenja.

Sl. 1. Grafički prikaz konačnog broja mjernih rezultata histogramom; funkcija raspodjele pri beskonačnom broju rezultata (kontinualna

linija)

U nekom malom intervalu (x, x + dx) vjerovatnoća nalaženja datog rezultata predstavljena je izrazom

(1.24)

dok je vjerovatnoća za konačni interval data izrazom

17

(1.25)

Svaka funkcija raspodjele je normirana, kao i histogram. To znači da je ukupna površina ispod krive jednaka jedinici

(1.26)

Ako je funkcija rapodjele poznata, srednja vrijednost i standardno odstupanje mogu se odrediti preko sljedećih formula

(1.27)

(1.28)

1.5.7 Kriterijum Šovenea

Ako broj mjerenja n neke veličine nije velik, što je najčešće slučaj, za ocjenu da li neki od ovih rezultata ( x1, x2, x3, ..., xn ) predstavlja promašaj, tj. da li je pri tome učinjena neka gruba slučajna greška, služi kriterijum Šovenea.

Za primjenu ovog kriterijuma potrebno je izračunati :aritmetičku sredinu svih rezultata u nizu n ponovljenih mjerenja

=

prividne apsolutne greške pojedinih mjerenja ( i tablično ih srediti)

= -srednje kvadratno odstupanje pojedinih mjerenja u nizu n mjerenja

18

s =

Zatim je potrebno ocjeniti koja je od grešaka najveća i provjeriti da

li je promašaj. To se postiže na sljedeći način. Za i-to mjerenje treba izračunati parametar Šovenea

(1.29)

a za broj mjerenja na osnovu tablice 1 ustanoviti njegovu gornju graničnu

vrijednost .

Tabela 1. Gornje granične vrijednosti parametra Šovenea

n qg n qg

2 1.15 29 2.383 1.38 30 2.394 1.54 31 2.405 1.65 32 2.426 1.73 33 2.437 1.80 34 2.448 1.86 35 2.459 1,91 36 2.46

10 1.96 37 2.4711 2.00 38 2.4812 2.04 39 2.4913 2.07 40 2.5014 2.10 45 2.5415 2.13 50 2.5816 2.16 55 2.6117 2.18 60 2.6418 2.20 65 2.6619 2.22 70 2.69

19

20 2.24 75 2.7221 2.26 80 2.7422 2.28 85 2.7623 2.30 90 2.7824 2.32 95 2.8025 2.33 100 2.8126 2.34 150 2.9327 2.35 200 3.0228 2.37

Ukoliko je

>

(1.30)

uočeni rezultat mjerenja je promašaj, pa ga treba odbaciti. Cjelokupni postupak treba zatim ponoviti sa preostalih n-1 rezultata mjerenja, pri čemu će se dobiti

nove vrijednosti . Ako je za uočeno mjerenje

, potrebno je odbaciti i ovaj rezultat. Postupak se ponavlja sve dok se ne dođe do k-tog odbačenog rezultata

mjerenja za koje je .

20

1.6 Definicije osnovnih i dopunskih mjernih jedinica

1.6.1 Definicje osnovnih mjernih jedinica

Za dužinu :Metar je dužina putanje koju u vakuumu pređe svjetlost za vrijeme od 1/299 792 458 sekunde.

Za masu :Kilogram je masa međunarodnog etalona kilograma. / Etalon je mjerni instrument koji je namijenjen da definiše ili materijalizuje, sačuva ili reprodukuje jedinicu jedne veličine da bi mogla poređenjem da se prenosi na druge mjerne instrumente. Međunarodni etalon kilograma je potvrdila 1889.g. I Generalna konferencija za tegove i mjere (CGPM), kada je proglašeno da se ovaj međunarodni etalon ubuduće smatra jedinicom za masu i on se čuva u Međunarodnom birou za tegove i mjere u Sevru kraj Pariza/.

Za vrijeme :Sekunda je trajanje od 9 192 631770 perioda zračenja koje odgovara prelasku između dva hiperfina nivoa osnovnog stanja atoma cezijuma 133.

Za jačinu električne struje :

21

Amper je jačina stalne električne struje koja, kad se održava u dva prava paralelna provodnika, neograničene dužine i zanemarljivo malog kružnog poprečnog presjeka (koji se nalazi u vakuumu na rastojanju od jednog metra), prouzrokuje među tim provodnicima silu koja je jednaka 2 x 10-7 njutna po metru dužine.

Za termodinamičku temperaturu :Kelvin je termodinamička temperatura koja je jednaka 1/273.16 termodinamičke temperature trojne tačke vode.

Za jačinu svjetlosti :Kandela je jačina svjetlosti ( u određenom pravcu ) izvora koji emituje monohromatsko zračenje frekvencije 540 x 1012 herca i čija je jačina zračenja u tom pravcu 1 / 683 vata po steradijanu.

Za količinu supstancije ( gradiva ) :Mol je količina supstancije (gradiva ) sistema koji sadrži toliko elementarnih jedinki koliko ima atoma u 0.012 kilograma ugljenika 12.

Tabela 2. Prefiksi SI sistema jedinica 

Naziv Znak Vrijednost Naziv Znak Vrijednost

jota Y 1024 deci d 10–1

zeta Z 1021 centi c 10–2

eksa E 1018 mili m 10–3

peta P 1015 mikro µ 10–6

tera T 1012 nano n 10–9

giga G 109 piko p 10–12

mega M 106 femto f 10–15

kilo k 103 ato a 10–18

hekto h 102 zepto z 10–21

deka da 10 jokto y 10–24

 

22

1.6.2 Definicije dopunskih jedinica SI

Tabela 3. Izvedene jedinice SI sa posebnim nazivima i oznakama

Veličina Naziv Oznaka

Izražene drugim

jedinicama SI

Izražene osnovnim

jedinicama SIfrekvencija herc (hertz) Hz s-1

sila njutn (newton) N m kg s-2

pritisak, napon paskal (pascal) Pa N/m2 m-1 kg s-2

energija, rad, kol. top. dzul (joule) J N m (W s) m2 kg s-2

snaga, energijski fluks, toplotni fluks

vat(watt)

W J/s m2 kg s-3

količina elektriciteta kulon(coulomb) C s Aelektrični napon, elektromotorna sila, električni potencijal

volt(volt) V W/A m2 kg s-3 A-1

električna kapacitivnost

farad(farad)

F C/V m-2 kg-1 s4 A2

električna otpornost om (ohm) V/A m2 kg s-3 A-2

električna provodnost simens (siemens) S A/V m-2 kg-1 s3 A2

magnetni fluks veber (Weber) Wb V s (T m2 ) m2 kg s-2 A-1

magnetna indukcija tesla (Tesla) T Wb/m2 kg s-1 A-1

induktivnost henri (henry) H Wb/A m2 kg s-2 A-2

Celzijusova temperatura

stepenCelzijusa

oC K

svjetlosni fluks lumen (lumen) lm cd sr cdosvijetljenost Luks (luks) lx lm/m2 m-2 cdaktivnost radioaktivnog izvora

bekerel(becquerel)

Bq s-1

apsorbovana doza jonizujućeg zračenja

grej(gray)

Gy J/kg m2 s-2

ekvivalentna doza jonizujućeg zračenja

sivert(sievert)

Sv J/kg m2 s-2

23

Tabela 4. Neke izvedene jedinice SI

Veličina Oznaka Izražene osnovnim jedinicama SI

površina m2 m2

zapremina m3 m3

brzina m/s m s-1

ubrzanje m/s2 m s-2

ugaona brzina rad/s s-1

ugaono ubrzanje rad/s2 s-2

zapreminski protok m3/s m3 s-1

maseni protok kg/s kg s-1

podužna masa kg/m m-1 kgpovršinska masa kg/m2 m-2 kgzapreminska masa (gustina ) kg/m3 m-3 kgspecifična* zapremina m3/kg m3 kg-1

molarna** zapremina m3/mol m3 mol-1

molarna masa kg/mol kg mol-1

molarna energija J/mol m2 kg s-1 mol-1

specifična energija J/kg m2 s-2 zapreminska energija J/m3 m-1 kg s-2 koncentracija supstancije mol/m3 mol m-3

molalitet mol/kg mol kg-1

toplotna kapacitivnost, entropija

J/K m2 kg s-2 K-1

toplotna provodnost W/(m K) m kg s-3 K-1

kinematička viskoznost m2/s m2 s-1

dinamička viskoznost Pa s m-1 kg s-1

jačina električnog polja V/m m kg s-3 A-1

jačina magnetnog polja A/m m-1 Agustina struje A/m2 m-2 Apermitivnost F/m m-3 kg-1 s4 A2

permeabilnost H/m m kg-1 s-2 A-2

luminacija cd/m2 m-2 cdekspoziciona doza jonizujćeg C/kg kg-1 s A

24

zračenja

energijska jačina zračenja W/sr m2 kg s-3

_____ * Veličine koje se odnose na jediničnu masu supstancije su specifične ** Veličine koje se odnose na jediničnu količinu supstancije su molarne

25