Embed Size (px)
Citation preview
63
BILANGAN SEMPURNA GENAP DAN KEPRIMAAN BI LANGAN
MERSENNE
Moh. Affaf
Prodi Pendidikan Matematika STKIP PGRI BANGKALAN
Email: [email protected]
abstrak. Suatu bilangan asli dikatakan bilangan sempurna jika dan hanya jika
jumlah semua pembagi positif dari selain adalah Pada Jamannya, Euler menemukan ciri untuk suatu bilangan genap merupakan bilangan
sempurna, yaitu bilangan itu harus mengandung bilangan prima
mersenne. Oleh karenanya, dalam pembahasan bilangan sempurna
genap diperlukan juga suatu prosedur untuk menyatakan suatu bilangan
mersenne prima atau bukan. Untuk mencapai hal tersebut, maka dalam
penelitian ini juga dihadirkan suatu prosedur untuk menyatakan suatu
bilangan mersenne prima atau bukan. Tes ini dikenal dengan nama Tes
Lucas-Lehmer.
Kata Kunci : Bilangan Sempurna, Bilangan Sempurna Genap,
Bilangan Mersenne, Tes Lucas, Tes Lucas-Lehmer
PENDAHULUAN
Teorema fundamental dari
bilangan bulat menyatakan bahwa
setiap bilangan bulat yang lebih dari
satu dapat difaktorkan menjadi
bilangan-bilangan prima. Teorema ini
memiliki arti lain, yaitu setiap bilangan
bulat lebih dari satu, pasti memiliki
faktor selain bilangan itu sendiri.
Kemudian, matematikawan terdahulu
tertarik untuk mempelajari hubungan
bilangan bulat lebih dari satu dengan
faktor-faktor positif yang bukan
bilangan itu sendiri. Salah satu
diantataranya adalah bilangan
sempurna. Suatu bilangan bulat positif
dikatakan sempurna jika jumlah semua
faktor positif dari bilangan tersebut
selain bilangan itu adalah bilangan itu
sendiri. Sejak jaman Euclid, bilangan
sempurna telah menjadi bahasan yang
menarik. Kemudian di jamannya, Euler
menemukan ciri khusus bilangan
sempurna dalam kasus bilangan
tersebut genap, yaitu bilangan tersebut
harus memiliki faktor prima Mersenne.
Jadi, perlu untuk mengkaji keprimaan
bilangan Mersenne jika ingin
mempelajari bilangan sempurna genap.
1. Landasan Teori
Pada bagian ini, akan dibahas
tentang pembentukan konstruksi [ ] yang nantinya bisa dijadikan
pemrbandingan dengan konstruksi baru
yang akan dibentuk pada Hasil dan
Pembahasan. Untuk mengawali bagian
ini, akan perkenalkan tentang definisi
Tripel Pythagoras
2.1. Kongruensi bilangan bulat dan
sifat-sifat didalamnya
Satu lagi konsep penting dalam
teori bilangan adalah kongruensi.
Definisi kongruensi bilangan bulat
diberikan sebagai berikut.
Definisi 2.1.1(Kongruen). Misal bilangan bulat yang lebih besar dari 1.
Bilangan bulat a dan b dikatakan
kongruen modulo m dan dituliskan
APOTEMA: Jurnal Pendidikan Matematika. Volume 2, Nomor 2 Juli 2016
p 63-75. ISSN 2407-8840
63
jika dan hanya jika
.
Contoh 2.1.1. 7 dan 5 kongruen modulo 2 karena
Teorema 2.1.1. Misal a , b , c , d ,e ,
dan m adalah bilangan bulat dengan d
>0 dan m>0, maka:
(i)
(ii) jika maka
(iii) jika dan , maka
(iv) jika dan ,
maka
(v) jika dan , maka
(vi) jika dan , maka Bukti:
(i) Jelas bahwa
(ii) maka
(iii) dan . Tetapi
menurut Lemma 2.1.1. bagian (ii)
(iv) Karena dan , maka
menurut Lemma 2.1.1
bagian (i)
(v) dan . Tetapi
menurut Lemma 2.1.1. bagian
(ii)
(vi) dan , maka
Pada bagian (i) sampai (iii)
menyatakan bahwa pada kongruensi
berlaku relasi ekivalen yang akan
dijelaskan pada bahasan akhir di bab
ini. Sedangkan untuk bagian (iv)
sampai (vi) akan sering digunakan
untuk membuktikan teorema-teorema
pada bahasan ini.
Teorema 2.1.2. a ,b , dan m bilangan
bulat dengan m >0 sehingga
. Maka untuk bilangan
bulat positif n berlaku Bukti:
1. Jelas benar
2. Jika benar untuk suatu bilangan
positif , berarti .
Karena benar , berdasarkan
Teorema 2.1.1 bagian (v), maka
, yaitu
. Jadi
juga benar. Berdasarkan Prinsip Induksi
Matematika, maka benar untuk
setiap bilangan bulat positif .
Definisi 2.1.2(residu terkecil). Jika m
> 0 dan r sisa dari pembagian b oleh m,
maka r dikatakan residu terkecil dari b
modulo m . Kemudian, dikatakan sebagai himpunan semua residu
terkecil dari b untuk , mudah
diketahui bahwa . Serta didefinisikan
. Contoh 2.1.2.
Untuk m = 6, maka
Teorema 2.1.3. Diberikan bilangan
bulat a, x, y, dan m dengan m >0. Jika
(a,m) = 1 dan , maka
.
Bukti:
Karena , maka
, dan berdasarkan teorema 2.1.6 maka
, atau dengan kata lain
.
Teorema 2.1.4. Diberikan bilangan a
dan p dengan p prima. Jika ,
maka .
Bukti:
Perhatikan himpunan . Jelas bahwa untuk
setiap dengan
berlaku . Sekarang,
63
andai untuk
dengan . Berdasarkan Teorema 2.1.3 berlaku
. Jadi . Oleh karena itu, untuk
terdapat dengan
sehingga . Maka diperoleh
( )
Dengan menerapkan Teorema 2.1.3
diperoleh
Teorema 2.1.5 (Teorema Wilson).
Untuk bilangan prima p berlaku
Bukti:
Sekarang, perhatikan persamaan
kongruensi untuk
suatu bilangan prima p. Maka , sehingga
atau menurut
teorema 2.1.9, sehingga atau . Jika
solusi persamaan kongruensi diambil dalam himpunan
, persamaan
tersebut berlaku untuk x = 1 atau x = p
- 1. Untuk , persamaan kongruensi
memiliki solusi berdasarkan Akibat
2.1.1 Jika adalah solusinya,
jelas .
Definisi 2.1.3. Untuk bilangan bulat
nonnegatif m dan n dengan ,
didefinisikan ( ) jika atau
; dan
( )
untuk
yang lainnya.
Teorema 2.1.6. Jika p prima, maka
Bukti:
Telah diketahui bahwa
∑ ( )
untuk sebarang
bilangan asli n. Jadi akan dibuktikan
bahwa (
) untuk .
Karena (
) bilangan bulat maka
.
Kemudian, karena setiap bilangan asli
yang kurang p prima relatif dengan p,
ini artinya, semua hasil kalinya, yaitu
m! Juga prima relatif dengan p
berdasarkan Teorema 2.2.1, sehingga
berdasarkan Teorema 2.1.6 , dengan kata
lain
adalah bilangan
bulat. Oleh karena itu, (
).
2.2. Residu Kuadratik
Bahasan ini akan digunakan
sebagai dasar pembukrian Tes Lucas
dan Tes Lucas-Lehmer yang
merupakan tes keprimaan untuk
bilangan Mersenne.
Definisi 2.2.1 (residu kuadratik).
Diberikan bilangan prima p. Bilangan
bulat a dengan disebut residu kuadratik modulo p jika dan hanya jika
terdapat bilangan bulat y sehingga
. Jika tidak ada
bilangan y yang demikian, maka a
disebut residu nonkuadratik modulo p.
Contoh 2.2.1.
12 residu kuadratik modulo 13 tetapi 2
residu nonkuadratik modulo 5.
Definisi 2.2.2(Simbol Legendre).
Misal p adalah prima ganjil yang tak
membagi bilangan bulat a.
Didefinisikan (
) jika
dan hanya jika a residu kuadratik atau
nonkuadratik modulo a.
Contoh 2.2.2.
64
Dari Contoh 2.2.1 maka (
) dan
(
)
Teorema 2.2.1 (kriteria Euler). Diberikan bilangan bulat prima ganjil p
dan . Kemudian, jika: (i) a residu kuadratik modulo p, maka
(ii) a residu nonkuadratik modulo p,
maka
Bukti:
(i) Karena (
) , maka terdapat
bilangan bulat y sehingga . Tentu saja karena
, sehingga
(ii) Karena (
) , maka
untuk setiap bilangan
bulat y. Tetapi, selalu terdapat
sehingga
. Tentu saja
terdapat pasang ,
oleh karena itu
Teorema 2.2.2 (lemma Gauss).
Diberikan bilangan bulat prima ganjil p
dengan . Untuk
, misal adalah
bilangan bulat kongruen modulo p
dengan . Jika banyaknya
bilangan yang negatif sebanyak n,
maka (
)
Bukti:
Pertama akan dibuktikan jika ,
maka . Jika , maka
sehingga . Sekarang, jika , maka sehingga
, tentu saja ini juga tidak mungkin. Oleh karena itu,
∏ ∏ ∏ ∏ , sehingga diperoleh
, atau dengan kata
lain (
)
Teorema 2.2.3. Diberikan bilangan
bulat prima ganjil p. Maka (
) jika
dan (
)
jika . Bukti:
Dengan memanfaatkan Teorema 2.2.2,
maka tinggal mengetahui genap atau
ganjil banyaknya
yang memenuhi
, atau bisa
dikatakan
. Misal
. Tentu saja atau
karena bilangan ganjil, maka
.
Sekarang jelas bahwa atau
bergantung atau
, sehingga
(i) Jika dan , maka
dan , yaitu
genap
(ii) Jika dan +1, maka
dan , yaitu ganjil
(iii) Jika dan , maka
dan , yaitu ganjil
(iv) Jika dan , maka
dan , yaitu
genap
Maka bukti selesai.
Teorema 2.2.4. Diberikan bilangan
bulat prima ganjil . Maka
(
) jika
dan (
) jika
.
Bukti: Analog dengan bukti Teorema
2.2.3.
Teorema 2.2.3. Diberikan bilangan
bulat prima ganjil . Maka
(
) jika
.
65
Bukti: Analog dengan bukti Teorema
2.2.3.
1.3. Grup
Definisi 2.3.1 (grup). Diberikan
himpunan tak kosong G dengan
operasi * yang terdefinisi di G dan
dituliskan sebagai ⟨ ⟩. Kemudian, ⟨ ⟩ dikatakan grup jika dan hanya jika memenuhi 4 kondisi berikut:
1. ;
2. ;
3. . Kemudian e disebut elemen
identitas di G
4. .
Kemudian dikatakan i disebut
invers dari a dan biasanya
dituliskan sebagai –a atau a-1
.
Jika dan ⟨ ⟩ juga membentuk grup, maka dikatakan H subgroup G.
Contoh 2.3.1.
Didefinisikan √
√ serta dan
menyatakan operasi jumlah modulo m
dan operasi kali modulo m berturut-
turut. Untuk m = 3, maka √
√ √ √ √
√ √ . Dapat dicek bahwa
⟨ √ ⟩ tidak membentuk grup,
tetapi ⟨ √ ⟩ membentuk
grup. Kemudian, {1} subgroup
√
Definisi 2.3.2 (Relasi Ekivalen).
Sebuah relasi pada sebuah himpunan S dikatakan relasi ekivalen jika dan
hanya jika untuk setiap memenuhi 3 kondisi berikut:
(i) (refleksif)
(ii) berakibat (simetris)
(iii) berakibat (transitif)
Contoh 2.3.2.
Misal S adalah himpunan bilangan
bulat dan n adalah bilangan bulat yang
lebih dari 1 yang telah ditetapkan.
Kemudian, didefinisikan untuk
jika . Tentu saja
karena . Jika , maka
.
Karena (-1,n) = 1, maka .
Oleh karena itu . Jika ,
maka dan . Berdasarkan Lemma 2.1.1 diperoleh
. Jadi
. Dengan kata lain pada kongruensi bilangan bulat, berlaku relasi ekivalen.
Contoh ini merupakan generalisasi dari
“Jika G grup dan H subgroup G, maka
jika , ”. Relasi
ini merupakan relasi ekivalen
[Herstein. 1990:57].
Definisi 2.3.3. Jika adalah relasi
ekivalen pada S dan , maka [a], kelas dari a didefinisikan sebagai [ ]
Pada contoh kutipan di atas, dapat
dituliskan untuk suatu . Jadi, berakibat .
Sekarang, jika untuk suatu
, maka . Jadi, jika dan hanya jika
, dengan kata
lain [ ] .
Teorema 2.3.1. Jika adalah sebuah
relasi ekivalen pada S dan , maka
⋃[ ], gabungan ini berjalan untuk setiap kelas-kelas di S, dan jika [ ] [ ] berakibat [ ] [ ]
Bukti:
Karena [ ], maka tentu saja
⋃ [ ] . Sekarang, tinggal
membuktikan jika [ ] [ ] berakibat [ ] [ ] . Berikut akan dibuktikan
dengan kontraposisi. Misal [ ] [ ] , katakan [ ] [ ]. Berdasarkan
kelas, maka karena [ ] dan
karena [ ]. Berdasarkan sifat
simetrisnya, berakibat .
Karena dan , maka ,
maka [ ]. Sekarang, jika [ ], maka . Tetapi , oleh karena itu
[ ]. Jadi [ ] [ ]. Dengan cara
66
yang sama, mudah diperoleh [ ] [ ]. Jadi [ ] [ ], maka bukti teorema selesai.
Teorema ini mengatakan bahwa
partisi ini adalah partisi disjoin pada S.
Teorema ini akan digunakan untuk
membuktikan Teorema Lagrange yang
merupakan teorema fundamental dalam
aljabar abstrak. Namun, sebelum itu,
dibutuhkan definisi berikut:
Definisi 2.3.4. Diberikan bilangan
bulat positif n dan grup ⟨ ⟩ dengan
. Didefinisikan:
(i) sebagai banyaknya anggota G
(ii) ⏟
(iii) = m dalam kasus m bilangan
bulat positif terkecil sehingga
, dengan e elemen identitas di G.
Teorema 2.3.2(Teorema Lagrange).
Misal G himpunan berhingga dan
sehingga ⟨ ⟩ dan ⟨ ⟩ membentuk grup. Jika , maka:
(i)
(ii) 2. Hasil dan Pembahasan
Definisi 3.1. Diberikan . Jumlah semua pembagi positif dari
dinyatakan dengan .
Contoh 3.1.
Lemma 3.1. Diberikan bilangan prima
dan bilangan bulat positif, maka
Bukti :
menurut Contoh 2.2.1.
Teorema 3.1. Jika a dan b bilangan
bulat positif dengan , maka
Bukti :
Misal banyak pembagi positif dari a
adalah t dengan a1 , a2 , a3 ,…, at semua
pembaginya dan s banyak pembagi
positif dari b dengan b1 , b2 , b3 ,…, bs ,
maka
= a1 b1 + a1 b2 + a1 b3 + … + a1 bt
+ a2 b1 + a2 b2 + a2 b3 + … + a2 bt .
.
+ as b1 + as b2 + as b3 + … + as bt
Jika ai bj dari susunan di atas, maka ai
bj|ab karena ab= (ai xi)( bjyj)= (ai bj)( xi
yj), dengan kata lain, setiap elemen
pada susunan di atas merupakan
pembagi positif ab. Jika c pembagi
positif a atau b jelas c muncul dalam
susunan di atas. Sekarang, jika c bukan
pembagi positif a dan b tetapi c
pembagi positif ab, maka setiap prima
pembagi c pasti membagi ab menurut
Lemma 2.2.1. Jadi jika p prima dengan
, maka p membagi salah satu dari a atau b. Karena faktor prima dari a dan
b berbeda , maka elemen pada susunan
di atas berbeda dan faktor prima c
muncul di ai dan muncul pula di bj .
Dari sini jelas bahwa setiap pembagi
positif ab muncul dalam susunan di
atas. Jadi banyaknya elemen pada
susunan di atas sama dengan banyak
elemen pembagi positif ab, atau
.
Definisi 3.2. Bilangan asli dikatakan
sempurna jika dan hanya jika jumlah
semua pembagi positif yang kurang
dari adalah , yaitu jika , atau dengan kata lain bilangan asli
sempurna jika
Contoh 3.2. 6 merupakan bilangan sempurna
karena tetapi 12 tidak sempurna karena
Teorema 3.2 (Teorema Euclid). Jika
bilangan asli sehingga prima,
maka bilangan adalah
bilangan sempurna.
67
Bukti :
Jelas bahwa dan prima
relatif sehingga menurut teorema 3.1
berlaku
Dengan menerapkan Lemma 3.1
diperoleh
(
)
Jadi merupakan bilangan
sempurna .
Contoh 3.3.
adalah prima, maka 6
bilangan sempurna karena .
Pada teorema 3.2 Jelas bahwa
bilangan yang dimaksud adalah
bilangan genap. Kemudian, pertanyaan
yang muncul adalah apakah setiap
bilangan genap yang sempurna akan
berbentuk dengan
prima? Pertanyaan ini dijawab
positif oleh Matematikiawan asal
Swiss, Leonard Euler dalam
Teorema 3.3 (Teorema Euler).
Setiap bilangan genap yang sempurna
akan berbentuk dengan
adalah prima.
Bukti :
Misal m adalah bilangan genap
sempurna yang dimaksud, tanpa
mengurangi keumuman, dituliskan m
sebagai dengan dan adalah bilangan ganjil. Maka diperoleh
Tetapi m sempurna, yaitu
Dari 2 hasil di atas, diperoleh , atau bisa pula
dituliskan
. Jelas bahwa
dan prima relatif. Misal , maka dan
.
Sekarang, andai , maka karena . Hal ini kontadiksi dengan yang diperoleh,
yaitu . Maka haruslah
. Jadi, dan
, sehingga adalah prima. Dengan menuliskan
maka bukti selesai .
Dari teorema 3.3 jelas bahwa kunci
agar suatu bilangan genap untuk
sempurna adalah bilangan berbentuk
haruslah prima. Jadi, penting
untuk mempelajari keprimaan bilangan
dalam mempelajari bilangan sempurna genap.
Definisi 3.3 (Bilangan Mersenne).
Untuk suatu bilangan bulat positif k ,
bilangan berbentuk dikatakan
bilangan Mersenne ke-k dan dituliskan
sebagai .
Contoh 3.4.
Untuk k = 1 , dan k = 5 ,
Teorema 3.4. Jika prima, maka k juga prima .
Bukti :
Andai k komposit dan prima. Misal
. Maka .
Kemudian, diperoleh . Berdasarkan definisi
kekongruenan, maka .
Karena dan , ini artinya adalah faktor dari
selain 1 dan . Hal ini
kontradiksi dengan prima. Jadi
bilangan prima.
Teorema 3.4 membatasi keprimaan
bilangan Mersenne dari segi indeknya.
Jadi, jika indek bilangan Mersenne
68
komposit maka bilangan Mersennenya
komposit. Tetapi tidak selalu berlaku
bahwa Jika k prima, maka prima.
Di jamannya, Euler menemukan faktor
bilangan Mersenne dengan indek prima
dalam bentuk untuk . Penulis menetapkannya dalam teorema
3.5 berikut.
Teorema 3.5 (Teorema Euler). Diberikan bilangan bulat positif m
dengan sehingga
prima. Jika prima, Maka
dan komposit. Bukti:
Karena prima dan ,
maka berdasarkan teorema 2.4.3
diperoleh (
) , dan berdasarkan
Kriteria Euler didapatkan
. Dengan kata lain
. Karena , maka dan
, oleh karena itu komposit.
Contoh 3.5.
11 adalah bilangan prima dan dapat
dituliskan sebagai . Dan
mudah diketahui bahwa adalah prima. Oleh karena itu,
. Jadi bukan bilangan
sempurna.
Teorema 3.6 (Tes Lucas). Diberikan
barisan bilangan dengan
dan untuk
. Jika p bilangan prima dengan bentuk
untuk suatu bilangan bulat
nonnegatif , maka merupakan
bilangan prima jika dan hanya jika
.
Bukti:
Sebelum membuktikan teorema ini,
Penulis akan memberikan klaim untuk
3 kondisi berikut:
(i) klaim bahwa barisan bilangan
dengan sifat di atas ekivalen
dengan ( √
)
( √
)
untuk .
1. Untuk , jelas.
2. Andai benar untuk , yaitu
( √
)
( √
)
benar,
akan ditunjukkan juga benar
( √
)
( √
)
(( √
)
)
(( √
)
)
(( √
)
( √
)
)
( √
)
( √
)
(( √
)
( √
)
)
Jadi ( √
)
( √
)
benar untuk semua bilangan asli
n menurut prinsip Induksi
Matematika.
(ii) Klaim bahwa .
Karena dengan k bilangan
bulat nonnegatif, maka diperoleh
(iii) klaim bahwa
1. Untuk , jelas bahwa
2. Andai pernyataan benar untuk , yaitu benar,
akan ditunjukkan juga benar
69
Jadi benar untuk
bilangan asli menurut prinsip Induksi Matematika. Atau boleh
dikatakan benar untuk
bilangan prima ganjil
untuk suatu bilangan nonnegatif k.
( ) Andai prima sehingga dan
( ) Maka ⌊√ ⌋
menurut Teorema 2.1.2 dan
berdasarkan Definisi 2.1.1 diperoleh
kesamaan ( √
)
( √
)
untuk suatu . Dengan
mengalikan kedua ruas dengan
( √
)
, diperoleh
( √
)
(( √
)
( √
)
)
( √
)
(( √
)
)
(( √
) (
√
))
( √
)
(( √
)
)
( √
)
(( √
)
)
( √
)
(( √
)
)
( √
)
Sekarang, perhatikan grup
⟨ √ ⟩. Mudah
diketahui bahwa √ . Karena
( √
) √ , mudah
dipahami bahwa ( √
)
di √ . Dengan
mengkuadratkan kedua ruas
diperoleh
(( √
)
)
( √
)
( √
)
di √ . Jadi order dari ( √
)
adalah . Berdasarkan Teorema
2.5.1 maka ( √
)
( √ ) , dan menurut
Lemma 2.1.1 bagian (iii) diperoleh
hasil . Tetapi , oleh karena itu
. Hal ini kontradiksi
dengan . Jadi, jika
maka prima.
( ) Karena dan
, maka (
) dan
(
) menurut Teorema 2.4.5 dan
Teorema 2.4.3. Kemudian, berdasarkan
Kriteria Euler, diperoleh
dan
. Berdasarkan Teorema
2.3.6 diperoleh ( √
)
√
menurut Teorema2.3.6. Kemudian
√
√
70
√
(
)√
(
)
√
√
√
√
di √ . Sehingga
( √
)
( √
)
( √
)
( √
)
( √
) (
√
)
( √
)
di √ . Dengan mengalikan kedua ruas pada
persamaan terkhir dengan ( √
)
, diperoleh
( √
)
( √
)
( √
)
( √
)
( √
)
( √
)
( √
)
( √
)
(( √
) (
√
))
( √
)
( √
)
( √
)
( √
)
( √
)
( √
)
( √
)
( √
)
( √
)
di √ . Dengan kata kain,
Contoh 3.6.
Untuk . Kemudian, . Jadi prima menurut Tes Lucas.
Teorema 3.4 dan 3.5 sudah cukup
baik dalam mengkarakterisasi
keprimaan bilangan Mersenne.
Kekurangan Teorema 3.4 adalah tak
berlaku dua arah dan Teorema 3.5 dan
Teorema 3.6 hanya mengkarakterisasi
bilangan prima yang kongruen 3
modulo 4 saja. Untuk mengakhiri
pembahasan pada skripsi ini, penulis
akan menyajikan teorema terakhir yang
penulis anggap lebih baik dalam
mengkarakterisasi keprimaan bilangan
Mersenne. Penulis menempatkannya
dalam teorema berikut yang sekaligus
merupakan teorema terakhir dalam bab
pembahasan ini.
Teorema 3.7 (Tes Lucas-Lahmer).
Diberikan barisan bilangan
dengan dan
untuk . Jika p bilangan prima
ganjil, merupakan bilangan prima
jika dan hanya jika
.
Bukti:
Pertama, klaim bahwa barisan bilangan
dengan sifat di atas
ekivalen dengan ( √ )
( √ )
untuk .
1. Untuk , jelas.
2. Andai benar untuk , yaitu
( √ )
( √ )
benar, akan
ditunjukkan juga benar
( √ )
( √ )
71
(( √ )
)
(( √ )
)
(( √ )
( √ )
)
( √ )
(
√ )
(( √ )
( √ )
)
Jadi ( √ )
( √ )
benar untuk semua
bilangan asli n menurut prinsip
Induksi Matematika.
( ) Andai prima sehingga dan
. Maka ⌊ ⌋ menurut Teorema
2.1.2. Karena , maka diperoleh
( √ )
( √ )
untuk suatu
. Dengan mengalikan kedua ruas dengan
( √ )
, diperoleh
( √ )
(( √ )
( √ )
)
( √ )
(( √ )
)
(( √ )( √ ))
( √ )
(( √ )
)
( √ )
(( √ )
)
( √ )
(( √ )
)
( √ )
Sekarang, perhatikan grup ⟨ √
⟩. Jelas √
. Karena ( √ ) √ ,
mudah dipahami bahwa (
√ )
di √ . Dengan
mengkuadratkan kedua ruas diperoleh
(( √ )
)
( √ )
( √ )
di √ , jadi order dari (
√ ) adalah . Berdasarkan Teorema
2.5.1 maka ( √ )
( √ ) , dan menurut
Lemma 2.1.1 bagian (iii) diperoleh
hasil . Tetapi , oleh karena itu . Hal ini kontradiksi dengan
. Jadi, jika
maka prima.
( ) Terlebih dahulu, akan diklaim
dan
.
(i) Klaim untuk
1. Untuk , jelas bahwa
2. Andai pernyataan benar
untuk , yaitu
benar,
akan ditunjukkan juga benar
Jadi benar
untuk bilangan asli menurut prinsip Induksi
Matematika. Atau dengan kata
lain, benar
untuk bilangan prima ganjil p.
(ii) Klaim untuk
Akan dibuktikan benar
untuk semua bilangan asli
n.
1. Untuk , jelas bahwa
2. Andai pernyataan benar untuk , yaitu
benar,
akan ditunjukkan juga benar
72
Jadi
benar untuk semua bilangan asli
n menurut prinsip Induksi
Matematika. Atau boleh
dikatakan,
benar untuk bilangan prima ganjil
p.
Karena dan
, maka (
)
dan (
) menurut teorema
2.4.3 dan teorema 2.4.4 berturut-
turut. Berdasarkan Kriteria Euler,
diperoleh
dan
.
Berdasarkan Teorema 2.3.6
diperoleh
( √ )
√
. Kemudian
√
(
)
(
)
(
)
(
)√
√
√
√
( √ )
Jadi ( √ )
√ . Dengan
memerhatikan ( √ ) ( √ )
, maka
( √ )
(
( √ )
)
( √ )
( √ )
( √ )
( √ )
( √ )
( √ )
( √ )( √ )
(
)
( √ )
( √ )( √ )
(
) (
)
( √ )
( √ )( √ )
( √ )
( √ )
di √ . Dengan mengalikan kedua ruas pada
persamaan terakhir dengan ( √ )
,
diperoleh
( √ )
( √ )
( √ )
( √ )
( √ )
( √ )
( √ )
( √ )
(( √ )( √ ))
( √ )
( √ )
( √ )
( √ )
( √ )
( √ )
( √ )
( √ )
( √ )
73
di √ . Dengan kata kain,
Contoh 3.7.
1. Untuk . Kemudian, , , , ,
. Jadi berdasarkan Tes Lucas-Lehmer,
prima. Dengan kata lain, 8128 merupakan bilangan sempurna
karena dan
bilangan prima.
2. Untuk . Kemudian
, ,
, , ,
, ,
, ,
. Jadi berdasarkan Tes Lucas-
Lehmer, prima. Hal
ini telah dijelaskan dalam Contoh
3.5 yang juga menyatakan 23
adalah salah satu faktor dari
KESIMPULAN
Penelitian ini telah berhasil
mengidentifikasi bilamana suatu
bilangan genap merupakan bilangan
sempurna atau bukan, yaitu bilangan
tersebut harus berbentuk
dengan adalah bilangan
mersenne ke- yang harus merupakan bilangan prima. Selanjutnya, untuk
mengetahui merupakan
bilangan prima atau bukan, dapat dicek
dengan melakukan Tes Lucas-Lehmer,
yaitu saat diberikan barisan bilangan
dengan dan
untuk . Jika p
bilangan prima ganjil, merupakan
bilangan prima jika dan hanya jika
.
Adapun saran penelitian ke
depannya, bisa dilakukan penelitian
untuk mengidentifikasi bilangan
sempurna ganjil. Penelitian terakhir
menyatakan bahwa tidak ada bilangan
sempurna ganjil yang kurang dari .
Selain itu, dapat pula dilakukan
penelitian untuk memodifikasi Tes
Lucas-lehmer agar lebih sederhana,
baik dalam bukti maupun prosedurnya.
3. Daftar Pustaka
[1] Khosy, Thomas. 2007. Elementary
number theory with applications.
Amsterdam. Elsivier
[2] J. W. Bruce. 1993. A Really
Trivial Proof of Lucas-Lehmer
Test. Math Montly. Amer.
[3] M, I, Rosen. 1988. A Proof of
Lucas-Lehmer Test. Math Montly.
Amer.
[4] I, R, Herstein. Abstract Algebra.
1999. Jon Wiley and Son. New
York
[5] Kravist, Sidney. 2011. The Lucas-
Lehmer Test For Mersenne
Numbers. Dover. New Jersey.
[6] Jaroma, John, H. Note On The
Lucas-Lehmer Test. Irish Math
Society, pg 63 – 72, 2004.
[7] Jaroma, John, H. Equivalence of
pepin’s Test and Lucas-Lehmer
Test. European Journal of Pure and
Applied Mathematics, Vol 2, No 3,
pg 352 – 360, 2009.
74
