Bézier und NURBSKurven & Flächen

Vortrag von Stefan Endler06.01.2005

Computergraphik Seminar WS 2004/05Prof. Elmar Schömer

Inhalt

•Historie•Kurven•Flächen

Vortrag über Kurven und Flächen 3

Historie

• Römerzeitalter:

Benutzung eines Templates um Schiffsrippen herzustellen

• 13. – 16. Jh.:

Weiterentwicklung durch die Venezianer• 1752:

Erstes auftreten eines „splines“.

Vortrag über Kurven und Flächen 4

Historie

• Mathematik:– 1959:

Paul de Faget de Casteljau wird bei Citröen angestellt und beginnt seine Forschung.

– 1960:P. Bézier beginnt seine Forschung bei Peugeot

– 1960:C. de Boor angestellt bei General Motors entdeckt B-spline KurvenGeneralisierung zu NURBS (NonUniform Rational B-splineS)

Vortrag über Kurven und Flächen 5

Historie

• 1971:

Erste Konferenz in Paris mit u.a. P.Bézier • 1974:

Erste Schritte in CAGD (Computer Aided Geometric Design) von R.Barnhill und R.Riesenfeld an der Universität von Utah

• 1979:

Erstes Buch von I.Faux und M.Pratt. „Computational Geometry for Design and Manufacture“

Vortrag über Kurven und Flächen 6

Kurven

• Nicht Rationale Bézier Kurven• Rationale Bézier Kurven• Eigenschaften von Kurven• NURBS

Vortrag über Kurven und Flächen 7

Nicht Rationale Bézier Kurven

• Bernstein Polynome• Definition• De Casteljau Algorithmus• Degree Elevation

Vortrag über Kurven und Flächen 8

Bernstein Polynom

• Allgemeine Darstellung von Bernstein Polynomen:

• Rekursiv:

iinni tt

i

ntB

1)(

)()()1()( 11

1 ttBtBttB ni

ni

ni

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Bézier Kurve

Definition einer Bézier Kurve:

• bi sind hierbei die Punkte

• n gibt den Grad der Kurve an

]1,0[t

n

i

nii tBbtx

0

)()(

Vortrag über Kurven und Flächen 10

Bézier Kurve

Der de Casteljau Algorithmus:• Gegeben sind die Kontrollpunkte• Gesucht sind die Punkte der Kurve an der

Stelle t.• Formel:

• In jedem Schritt wird aus 2 Punkten, ein neuer definiert in Relation t : (1-t)

0ii bb

rni

nr

,...,0

,...,111

1)1()(

ri

ri

ri tbbttb

Vortrag über Kurven und Flächen 11

Bézier Kurve

Beispiel: Kurve mit Grad 4

00b

01b

02b

03b

10b

11b

12b

20b

21b

30b

Subdivision:

Vortrag über Kurven und Flächen 12

Bézier Kurve

Degree Elevation• Technik zum Erhöhen des Grades einer Kurve• Formel:

wobei

b-1 = bn+1 = 0

BezierKurve.exe

iii bn

ib

n

ic )

11(

1 1

1,...,0 ni

Vortrag über Kurven und Flächen 13

Rationale Bézier Kurve

• Definition• De Casteljau• Weight Points• Anwendungsbeispiel

Vortrag über Kurven und Flächen 14

Rationale Bézier Kurve

Definition einer rationalen Bézier Kurve:

• wi ist das Gewicht für den bi-ten Punkt

• Sind alle wi = 1, so erhält man die bekannte nicht rationale Bézier Kurve

n

i

nii

n

i

niii

tBw

tBbwtx

0

0

)(

)()(

Vortrag über Kurven und Flächen 15

Rationale Bézier Kurve

Der de Casteljau Algorithmus:• Es gibt 2 Varianten des Algorithmus:

– Alle Punkte werden umgewandelt zu homogenen Koordinaten

– Formel:

wobei

i

iii w

bwb̂

)(*)(*)1()( 11

1 twttwttw ri

ri

ri

)()( 0 tbtb n

rni

nr

,...,0

,...,111

1

11

11

11

)1(

)1()(

ri

ri

ri

ri

ri

rir

i twwt

btwbwttb

Vortrag über Kurven und Flächen 16

Rationale Bézier Kurve

• Weight Points ist eine Möglichkeit der Geometrischen Umsetzung von Gewichten

• Definition von Weigth Points:

• Umrechnung zu Gewichten:

RationalBezierCurve.exe

1

11

ii

iiiii ww

bwbwq

)(1

1

ii

iiii bq

qbww

Vortrag über Kurven und Flächen 17

Rationale Bézier KurveAnwendungsbeispiel• Conics werden durch 3 Punkte und

einem Gewicht repräsentiert

• w0 = w2 = 1

• Es ergeben sich 3 Fälle von Kurven:w1 < 1 Ellipse

w1 > 1 Hyperbel

w1 = 1 Parabel

)()()(

)()()()(

22

211

20

222

2111

200

tBtBwtB

tBbtBbwtBbtc

Vortrag über Kurven und Flächen 18

Eigenschaften

• Endpoint interpolation:x(0) = b0

x(1) = bn

• Symmetrie:

bo,…,bn und bn,…,b0 beschreiben die gleiche Kurve

• Konvexe Hülle

Die Kurve liegt auf jeden Fall im Kontrollpolygon, welches die Punkte bi bilden.

• …

Vortrag über Kurven und Flächen 19

NURBS

• Definition• B-Spline Basic Function

Vortrag über Kurven und Flächen 20

NURBS

Definition einer NURBS Kurve

• m gibt den Grad der Kurve an

• di sind die „de Boor“ Punkte (i = 0,…,n)

• wi sind die Gewichte

• Knot Sequence:

n

i

mii

n

i

miii

tNw

tNdwtd

0

0

)(

)()(

},...,{ 10 mntt

Vortrag über Kurven und Flächen 21

B-Spline Basic Function

• Wichtige Funktion für die Darstellung von NURBS

• Rekursive Formel:

wobei

1)()( 1

11

11

iNtt

tttN

tt

tttN m

imi

mimi

imi

imi

1m

ni ,...,0

0

1)(0 tN i sonst

ttt ii 1

Vortrag über Kurven und Flächen 22

B-Spline Basic Function

Vortrag über Kurven und Flächen 23

Flächen

• Viereckige Bézier Flächen• Dreieckige Bézier Flächen

Vortrag über Kurven und Flächen 24

Viereckige Bézier Flächen

Hyperbolic Paraboloid• Einfachste Form von Bézier Flächen

dargestellt durch 4 Punkte

• Verallgemeinerung:

oder umgeschrieben

)(

)()()(),(

11

10

1,1

1,0

0,1

0,011

10

vB

vBb

b

b

buBuBvux ]1,0[, vu

)(

...

)(

...

......

...

)(...)(),(0

,0,

,00,0

0

vB

vB

bb

bb

uBuBvuxnn

n

nmm

nmm

m

m

i

n

j

nj

miji vBuBbvux

0 0, )()(),(

Vortrag über Kurven und Flächen 25

Viereckige Bézier Flächen

Vortrag über Kurven und Flächen 26

Dreieckige Bézier Flächen

• Definition:

• Bivariate Bernstein Polynomials:

ni

nii wvuBbwvux ),,(),,(

kjini wvu

kji

nwvuB

!!!

!),,(

Vortrag über Kurven und Flächen 27

Dreieckige Bézier Flächen

Vielen Dank für ihre Aufmerksamkeit